精品解析：山西吕梁市柳林县鑫飞中学2026--2027学年第一学期9月月考高二数学试题

柳林县鑫飞中学2026－－2027学年第一学期9月月考试题 高二数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟.请将答案填写在答题纸上. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如图，在三棱锥中，点D是棱的中点，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题设及图知. 2. 在空间直角坐标系中，与点关于平面对称的点为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系的对称点坐标特点直接求解即可. 【详解】解：因为点，则其关于平面对称的点为. 故选：A. 3. 在正四面体ABCD中，不能与构成空间的一个基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，，为空间基底，将各选项向量用表示，判断三个向量是否共面，共面则不能构成基底. 【详解】由正四面体的性质，不共面，设，，，则为空间的一组基底，则. 选项A：，， 设，整理得，由不共面，得系数全为0， 解得，故三个向量不共面，可构成基底，A不符合题意； 选项B：，，， 三个向量均仅由线性表示，都在平面内，故共面，不能构成基底，B符合题意； 选项C：，； 设，整理得， 由系数全为0解得，故三个向量不共面，可构成基底，C不符合题意； 选项D：，； 设，整理得，由系数全为0解得，故三个向量不共面，可构成基底，D不符合题意. 4. 设，，，则线段的中点到点的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据空间中中点的公式与点到点的距离公式求解即可. 【详解】由,可知的中点. 故到点的距离为. 故选：A 【点睛】本题主要考查了空间中中点的公式与点到点的距离公式,属于基础题. 5. 已知三点，，共线，那么（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】由题意知，，结合三点共线，则， 所以，可得，故. 6. 已知平面的法向量为，点在平面内，点到平面的距离为，则（ ） A. -1 B. -11 C. -1或-11 D. -21 【答案】C 【解析】 【分析】根据点到平面距离的向量法公式求解即可. 【详解】，而， 即， 解得或－11. 故选：C 7. 以下命题中，不正确的个数为（ ） ①“”是“，共线”的充要条件；②若，则存在唯一的实数，使得；③若，，则；④若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底；⑤. A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】利用不等式等号成立的条件判断①即可；利用与任意向量共线，来判断②是否正确；利用共面向量定理判断③是否正确；根据不共面的三个向量可构成空间一个基底，结合共面向量定理，用反证法证明即可；代入向量数量积公式验证即可． 【详解】对①，向量、同向时，， 故时，必有向量、反向且， 只满足充分性，不满足必要性，①错误； 对②，当为零向量，为零向量时，不唯一，当为零向量，不为零向量时，不存在；②错误； 对③，，，则，，不能得到，故③错误； 对④，用反证法，若不构成空间的一个基底，即共面， 设，则，方程组无解，矛盾， ， 即不共面，构成空间的另一个基底，④正确； 对⑤，，⑤错误． 故选：C． 8. 在九章算术中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，平面BCD，，且，M为AD的中点，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法可以求得向量夹角的余弦值，再根据向量夹角与异面直线夹角的关系可以求得异面直线夹角的余弦值. 【详解】画出四面体，建立坐标系，利用向量法求异面直线所成角的余弦值即可. 解：四面体是由正方体的四个顶点构成的，如下图所示 建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为 因为异面直线夹角的范围为，所以异面直线BM与CD夹角的余弦值为 故选：C 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知空间向量，则（ ） A. B. 与平行 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由空间向量线性运算，垂直，平行，数量积坐标表示可判断各选项正误. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，若，则存在实数，使，则，方程无解，从而与不平行，故B错误； 对于C，,，则，又,均不是零向量，则，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：AC 10. 下列结论正确的是（　　） A. 已知向量a＝（9，4，－4），b＝（1，2，2），则a在b上的投影向量为（1，2，2） B. 若对空间中任意一点O，有则P，A，B，C四点共面 C. 已知{a，b，c}是空间的一组基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一组基底 D. 若直线l的方向向量为e＝（1，0，3），平面α的法向量n＝（－2，0，），则直线l⊥α 【答案】ABC 【解析】 【详解】分析：利用投影向量的定义判断A，利用空间四点共面，满足＝m＋n＋t，其中m＋n＋t＝1判断B，根据向量基底的概念判断C，利用线面关系的向量表示判断D. 详解：因为a＝（9，4，－4），b＝（1，2，2），所以a在b上的投影向量为·＝·b＝·（1，2，2）＝（1，2，2），故A正确；因为＋＋＝1，故B正确；{a，b，c}是空间的一组基底，m＝a＋c，所以{a，b，a＋c}两向量之间不共线，所以{a，b，m}也是空间的一组基底，故C正确；因为直线l的方向向量为e＝（1，0，3），平面α的法向量n＝（－2，0，），e·n＝－2＋0＋2＝0，则直线l∥α或l⊂α，故D错误．故选ABC. 【考查意图】考查空间向量应用． 11. 如图，菱形ABCD边长为2，∠BAD=60°，E为边AB的中点，将△ADE沿DE折起，使A到，连接，，且，平面与平面的交线为l，则下列结论中正确的是（ ） A. 平面平面 B. C. ВС与平面所成角的余弦值为 D. 二面角的余弦值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A.利用面面垂直的判定定理判断；B.利用线面平面的判定定理和性质定理判断；C、D.利用空间向量夹角进行求解判断即可. 【详解】在菱形ABCD中，E为边AB的中点，所以，因为， 所以ED⊥DC，因为A′D⊥DC， ，所以平面A′DE， 因为，所以平面A′DE，因为平面A′BE， 所以平面A′DE⊥平面A′BE ，故A正确； 因为，平面A′BE，平面A′BE ，所以平面A′BE，又平面A′BE与平面A′CD的交线为l，所以CD∥l ，故B正确； 由A知，平面A′DE，则A′E，又菱形ABCD边长为2，∠BAD＝60°，E为边AB的中点，所以A′E，又BE∩DE=E，所以A′E平面BED,，以E为原点，分别以EB，ED,E A′为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系： 则， 所以， 由上可知：平面A′DE， 设平面的一个法向量为：， 则， 所以有，因此选项C不正确； 显然平面的一个法向量为：， 设平面的一个法向量为： 则有则，即，所以 所以，所以选项D正确， 故选：ABD 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量的基本定理、向量的线性运算及向量相等求解即可. 【详解】由题意可知. 设， 所以，解得，则， 则以为基底时的坐标是． 13. 已知向量，求______． 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量夹角坐标公式计算即可. 【详解】由题意得，， 所以. 故答案为： 14. 正四面体的所有棱长都是2，分别是，的中点，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】以向量为空间向量的基底，求出，再利用空间向量的数量积运算即得. 【详解】正四面体的所有棱长都是2，分别是，的中点， 则， ， 因此 . 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知空间三点、、，设，． （1）若向量与互相垂直，求实数的值； （2）若向量与共线，求实数的值． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）求出向量、的坐标，利用空间向量垂直的坐标表示可得出关于实数的方程，解之即可； （2）求出向量与的坐标，设，可得出关于、的方程组，即可解得实数的值. 【小问1详解】 解：由已知可得，， 所以，， ， 由题意可知， 即，解得或. 【小问2详解】 解：， ， 由题意，设，所以，，解得或. 因此，. 16. 如图所示，平行六面体中，. （1）用向量表示向量； （2）求； （3）求的长度. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合图形，利用空间向量的线性运算即可得解； （2）（3）利用空间向量的线性运算，结合空间向量数量积的定义与运算法则即可解. 【小问1详解】 在平行六面体中， . 【小问2详解】 因为，，， 所以，， ， 则 . 【小问3详解】 因为， 所以 ， 则. 17. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，是中点． （1）求直线与平面的夹角余弦值； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量与的坐标，由两向量所成角的余弦值可得直线与平面所成角的正弦值，进一步得到直线与平面的夹角余弦值； （2）求得的坐标，由（1）可得平面的一个法向量，由求点到平面的距离． 【小问1详解】 以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系， ，，则有,0,，,4,，,4,，,0,， 是的中点，,2,， ，，， 设平面的一个法向量为,,， 则有，取，得,,， 设直线与平面所成的角为，则有 ， ． 故直线与平面所成的角的余弦值为； 【小问2详解】 ,0,，平面的一个法向量为,,， 设点到平面的距离为，则有 ． 故点到平面的距离为． 18. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，平面，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明：连接交于点，连接， 因为为菱形，则为的中点， 又因为为的中点，在三角形中，， 且平面，平面， 所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，根据题意可得，结合线面平行判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，分别求解平面与平面的法向量，结合面面夹角余弦公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 建立如图所示坐标系， 则，，，，， 可得，，， 设平面法向量， 则，令，则 设平面法向量， 则，令，则 设平面与平面夹角， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 19. 如图，在四棱锥中，平面平面，是等腰三角形，，是的中点. （1）求证：； （2）若底面是梯形，，，，，求二面角的余弦值； （3）在（）的条件下，线段上是否存在点，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 因为是等腰三角形，，是的中点， 所以. 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 因为平面， 所以. （2） （3） 不存在，理由如下： 假设线段上存在点，使得平面， 则设，. 因为，，， 所以. 因为平面，所以， 故，即， 解得，与矛盾，所以假设不成立. 因此线段上不存在点，使得平面. 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质定理进行证明； （2）过点作直线，交于点，建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量进行向量运算求解； （3）设，，利用空间向量的运算求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点作直线，交于点. 因为，，所以，. 又因为平面，所以，， 故如图建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，. 设平面的法向量，则，即. 令，则，，于是. 平面的法向量. 所以， 因此，锐二面角的余弦值为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 柳林县鑫飞中学2026－－2027学年第一学期9月月考试题 高二数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟.请将答案填写在答题纸上. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如图，在三棱锥中，点D是棱的中点，若，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 在空间直角坐标系中，与点关于平面对称的点为（ ） A. B. C. D. 3. 在正四面体ABCD中，不能与构成空间的一个基底的是（ ） A. B. C. D. 4. 设，，，则线段的中点到点的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 已知三点，，共线，那么（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知平面的法向量为，点在平面内，点到平面的距离为，则（ ） A. -1 B. -11 C. -1或-11 D. -21 7. 以下命题中，不正确的个数为（ ） ①“”是“，共线”的充要条件；②若，则存在唯一的实数，使得；③若，，则；④若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底；⑤. A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 在九章算术中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，平面BCD，，且，M为AD的中点，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为（    ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知空间向量，则（ ） A. B. 与平行 C. D. 10. 下列结论正确的是（　　） A. 已知向量a＝（9，4，－4），b＝（1，2，2），则a在b上的投影向量为（1，2，2） B. 若对空间中任意一点O，有则P，A，B，C四点共面 C. 已知{a，b，c}是空间的一组基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一组基底 D. 若直线l的方向向量为e＝（1，0，3），平面α的法向量n＝（－2，0，），则直线l⊥α 11. 如图，菱形ABCD边长为2，∠BAD=60°，E为边AB的中点，将△ADE沿DE折起，使A到，连接，，且，平面与平面的交线为l，则下列结论中正确的是（ ） A. 平面平面 B. C. ВС与平面所成角的余弦值为 D. 二面角的余弦值为 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标是________． 13. 已知向量，求______． 14. 正四面体的所有棱长都是2，分别是，的中点，则______. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知空间三点、、，设，． （1）若向量与互相垂直，求实数的值； （2）若向量与共线，求实数的值． 16. 如图所示，平行六面体中，. （1）用向量表示向量； （2）求； （3）求的长度. 17. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，是中点． （1）求直线与平面的夹角余弦值； （2）求点到平面的距离． 18. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，平面，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 19. 如图，在四棱锥中，平面平面，是等腰三角形，，是的中点. （1）求证：； （2）若底面是梯形，，，，，求二面角的余弦值； （3）在（）的条件下，线段上是否存在点，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $