2027届高三物理一轮复习讲义：专题03 自由落体和竖直上抛运动

专题03　自由落体和竖直上抛　【江苏专用】 2027年高考物理一轮复习（人教版2019） 专题03　自由落体和竖直上抛 2027年高考物理一轮复习 人教版（2019）　江苏专用 建议用时：70 分钟 题量：47 题 难度：★★★★☆ 版本：原卷版 ● 内容概览 ● 01 　自由落体运动 　考点一　自由落体运动的基本规律 　考点二　自由落体运动的比例关系 　考点三　自由落体运动的实验探究 02 　竖直上抛运动 　考点四　竖直上抛运动的基本规律 　考点五　竖直上抛运动的对称性 　考点六　竖直上抛运动的图像 03 　相遇问题 　考点七　自由落体与竖直上抛的相遇 　考点八　竖直方向多物体的相对运动与相遇 04 　综合练习 ▎学习目标 1．理解自由落体运动的条件与性质，掌握自由落体运动的三个基本公式，能正确求解下落时间、速度和位移。 2．掌握初速度为零的匀加速运动的比例关系，能区分“累计位移”与“各段位移”，会逆向处理问题。 3．了解伽利略研究自由落体的科学方法和牛顿管实验，会用打点计时器、频闪等方法测量重力加速度。 4．掌握竖直上抛运动的规律和分段、全程两种处理方法，能正确计算最大高度、上升时间和总时间。 5．理解竖直上抛运动的时间、速度对称性，能借助运动图像分析运动，并能解决自由落体与竖直上抛的相遇、相对运动问题。 ▎课标与考情 【课标要求】通过实验，了解自由落体运动规律，结合物理学史体会伽利略的科学研究方法；能用公式、图像等方法描述自由落体运动与竖直上抛运动，能将竖直上抛运动的全过程作为匀变速直线运动处理，能解决自由落体、竖直上抛及其相遇等实际问题，发展模型建构与科学推理能力。 【考情分析】江苏高考物理采用自主命题（满分100分，考试时间75分钟）：单项选择题10题（每题4分，共40分）；非选择题5题（含1道实验题和4道计算题，共60分）。“自由落体运动和竖直上抛运动”是运动学的重要特例，也是江苏高考的高频考点：自由落体规律、竖直上抛的最大高度与总时间、对称性、相遇问题等常以选择题和计算题出现，情境新颖，常以跳水、跳伞、无人机、体育运动、滴水计时、高楼坠物等为背景；利用自由落体（纸带、频闪）测量重力加速度是实验题的重要内容；相关规律还常与运动图像、牛顿运动定律结合综合考查，是力学复习的重要基础。 ▎思维导图 图1　自由落体和竖直上抛知识网络 考向一　自由落体运动 本考向聚焦自由落体运动的条件、规律与实验探究。考查自由落体公式、初速度为零的比例关系及重力加速度的测量，常以高楼坠物、滴水计时、体育运动、物理学史等情境为载体。 考点一　自由落体运动的基本规律 ▎知识梳理 1．自由落体运动 （1）定义：物体只在重力作用下从静止开始下落的运动，叫作自由落体运动。 （2）条件：①初速度为零；②只受重力（空气阻力很小，可忽略）。 （3）性质：自由落体运动是初速度为零、加速度为 g 的匀加速直线运动。 2．重力加速度 （1）定义：物体做自由落体运动时的加速度，通常用 g 表示。 （2）方向：竖直向下。 （3）大小：，粗略计算时 g 可取 10 m/s2；g 随纬度的增大而增大，随高度的增大而减小。 3．自由落体运动的基本规律（取竖直向下为正） （1）速度公式： （2）位移公式： （3）速度—位移公式： 图1　自由落体运动的 v-t 图像 公式名称 公式 适用情形 速度公式 求速度、时间 位移公式 求下落高度、时间 速度—位移公式 不含时间 下落时间 已知下落高度求时间 ▎重难诠释 自由落体运动的两个条件缺一不可：初速度为零、只受重力（空气阻力可忽略）。 物体下落的快慢与质量无关：在真空中，重物与轻物下落得一样快，加速度同为 g。 记忆点：自由落体运动是“从静止出发的匀加速”，是匀变速直线运动的特例。 ◆ 例题·变式演练 【例题】如图所示，A、B两小球从不同高度，同时做自由落体运动。已知A的质量比B大，则在两小球落地之前，下列说法正确的是（　　） A．A、B两小球之间的距离保持不变 B．A、B两小球可能在空中相撞 C．A、B两小球之间的距离越来越小 D．A、B两小球的速度差越来越大 【变式1】某人估测一竖直枯井深度，从井口静止释放一石头并开始计时，经3s听到石头落地声，由此可知井深约为（不计声音传播时间，重力加速度g取10）（　　） A．20m B．30m C．40m D．45m 【变式2】冬季，高架、桥梁、房屋边缘常有冰凌悬挂，冰凌下落可能产生危险。一冰凌（可看作质点）从距离地面高度为h处开始做自由落体运动，下落到距离地面处时的速度大小为10m/s，取重力加速度g＝10，下列说法正确的是（　　） A．冰凌自由下落过程的平均速度大小为10m/s B．冰凌经过距离地面处的速度大小为20m/s C．冰凌从开始自由下落所用的时间为1s D．冰凌后半段时间内的平均速度大小为20m/s 【变式3】一个做自由落体运动的物体，其落地速度为15m/s，重力加速度取10，则下列描述正确的是（　　） A．下落的时间为2s B．下落时距地面的高度为15m C．下落过程中的平均速度为10m/s D．最后1s的位移为10m 考点二　自由落体运动的比例关系 ▎知识梳理 1．等分时间的比例（初速度为零） （1）1T、2T、3T…末速度之比：1:2:3； （2）前 1T、前 2T、前 3T…内（累计）位移之比：1:4:9； （3）第 1T、第 2T、第 3T…内（各段）位移之比：1:3:5。 2．等分位移的比例 （1）通过连续相等位移末速度之比：1：： （2）通过连续相等位移所用时间之比：1：：。 图2　自由落体等时间间隔的位置（间距 1:3:5） 类别 比例关系 记忆点 等分时间·末速度 1:2:3 与时间成正比 等分时间·累计位移 1:4:9 与时间平方成正比 等分时间·各段位移 1:3:5 连续奇数比 等分位移·末速度 与 成正比 等分位移·各段时间 越来越短 ▎重难诠释 比例关系只适用于初速度为零的匀加速运动，使用时要先确认初速度为零。 分清“前 nT 内（累计）位移”1:4:9 与“第 nT 内（各段）位移”1:3:5。 记忆点：累计位移随时间平方增长（1:4:9），各段位移是连续奇数（1:3:5）。 ◆ 例题·变式演练 【例题】如图所示，悬停在空中的无人机释放一重物，当重物下落的距离分别为1m、4m、9m时，所用时间分别为、、，不计空气阻力，则（　　） A．：：＝1：4：9 B．：：＝1：3：5 C．：：＝1：9：25 D．：：＝1：2：3 【变式1】柿子树上的3个柿子，由不同高度掉落到同一水平地面上。已知柿子1、柿子2和柿子3的下落高度之比为4：9：1，忽略空气阻力，则三者下落的时间之比为（　　） A．1：2：1 B．2：3：1 C．4：6：1 D．4：9：1 【变式2】物体自楼顶由静止开始自由落下（不计空气阻力），落地的速度为v，在此过程中，物体下落时间为总时间的一半时，物体距离地面的高度为（　　） A． B． C． D． 【变式3】音乐喷泉随着音乐变换，竖直向上喷出的水柱可以高达几十米，现有一音乐喷泉，喷出的水经2s到达最高点，把水喷射的总高度分成四等份，水通过第一个等份高度用时记为，通过最后一个等份高度用时记为，不计空气阻力，则满足（　　） A． B． C． D． 考点三　自由落体运动的实验探究 ▎知识梳理 1．伽利略的研究方法 （1）逻辑推理：通过“归谬”否定了“重物下落得快、轻物下落得慢”的观点； （2）斜面实验：让小球沿斜面下滑以“冲淡”重力，间接证明了自由落体运动是匀加速运动； （3）科学方法：观察现象→提出假设→逻辑推理→实验验证→修正推广。 2．牛顿管（毛钱管）实验 （1）有空气时：羽毛比硬币下落得慢； （2）抽去空气后：羽毛与硬币同时落地，说明物体下落的快慢与质量无关。 3．测量重力加速度 （1）方法：利用打点计时器、频闪、光电门等研究自由落体运动； （2）计算：由 或 求 g。 图3　牛顿管（真空管）实验 研究方法 内容 结论或公式 逻辑推理 归谬分析“重物与轻物” 下落快慢与质量无关 斜面实验 “冲淡”重力，小球滚下斜面 自由落体是匀加速运动 牛顿管 对比有无空气时的下落 真空时同时落地 纸带/频闪 记录自由落体各时刻位置 求 g ▎重难诠释 牛顿管中有空气时羽毛慢，是因为空气阻力相对其重力影响大；抽真空后两者加速度相同、同时落地。 用打点计时器测 g 时，常用 ，注意判断纸带起始点是否为自由释放点。 记忆点：伽利略用斜面“冲淡”重力、放慢运动，再合理外推到自由落体。 ◆ 例题·变式演练 【例题】如图所示，牛顿管中玻璃管的长度为1.25m，用抽气机抽去牛顿管内的空气后，将管竖直放置，从管顶同时静止释放一枚硬币和一片羽毛，下落过程中均不与管壁接触。若将管内环境视为真空，下列判断正确的是（　　） A．硬币先落至管底 B．硬币落至管底的速度更大 C．羽毛在管中运动的时间约为0.5s D．下落过程中，硬币的加速度大于羽毛的加速度 【变式1】伽利略从斜面实验外推到自由落体运动的情景模型如图所示，下列说法符合史实的是（　　） A．伽利略先猜想下落物体的速度随时间均匀增加，然后通过斜面实验直接得出v∝t B．伽利略通过斜面实验得出：从静止开始小球必须沿光滑的斜面运动才有s∝ C．伽利略发现，改变斜面的倾角，s∝依然成立，斜面的倾角越大，加速度越大 D．伽利略采用“冲淡”重力的方法，实质是增大小球的位移。 【变式2】如图是频闪摄影拍摄的小球自由落体运动的照片，频闪仪每隔相等时间频闪一次，频闪时间间隔未知，根据照片信息（　　） A．可以判断小球从0点由静止释放 B．可以求出当地重力加速度 C．可以求出3.2cm位置的瞬时速度 D．不能说明自由落体运动是匀变速直线运动 【变式3】为研究自由落体运动特点，实验小组在暗室中静止释放小球，并按下胶片照相机的快门并使之处于常开状态，频闪仪每隔时间T发出一次强烈闪光，得频闪照片部分截图如图所示，测量并按照比例尺换算得相邻位置距离，重力加速度为g，不计空气阻力，则小球在图中D位置瞬时速度为（　　） A．3gT B． C． D． 考向二　竖直上抛运动 本考向聚焦竖直上抛运动的规律、对称性与图像。考查最大高度、上升时间的计算、分段与全程两种方法及 v-t、h-t、a-t 图像，常以球类运动、跳水、杂技表演等情境为载体。 考点四　竖直上抛运动的基本规律 ▎知识梳理 1．竖直上抛运动 （1）定义：将物体以一定的初速度竖直向上抛出去，物体只在重力作用下的运动，叫作竖直上抛运动。 （2）特点：初速度竖直向上，加速度恒为 g（竖直向下），是匀变速直线运动。 2．运动规律（取竖直向上为正） （1）速度公式： （2）位移公式： （3）速度—位移公式： 3．两个重要物理量 （1）上升的最大高度： （2）上升到最高点的时间：；落回抛出点的总时间：。 图4　竖直上抛运动示意 项目 分段法 全程法 上升过程 匀减速到 0： 全程使用： 下落过程 自由落体（v=gt、h=） 位移公式自动给出 最高点 速度为 0、加速度为 g 取 t 使 v=0 落回抛出点下方 需分两段计算 h 为负，带符号代入 关键 抓住最高点速度为 0 注意矢量性，统一正方向 ▎重难诠释 竖直上抛的物体在最高点速度为零，但仍受重力、加速度仍为 g，并非“不受力、处于平衡”。 用全程法处理落回抛出点下方的问题时，位移 h 为负，必须带符号代入。 记忆点：最高点是“瞬间静止”，不是“静止状态”，加速度始终为 g。 ◆ 例题·变式演练 【例题】国庆期间，小明观看了海狮抛球表演，海狮从水面将可视为质点的球以8m/s的初速度竖直向上顶出，经过一段时间后在同一位置接住球，忽略空气阻力，g取10，关于小球在空中运动过程中，下列说法正确的（　　） A．小球在最高点不受外力作用 B．小球每秒钟速度变化量大小为20m/s C．球被顶出到再次被海狮接住用时0.8s D．球在运动过程中第1个0.4s内和第2个0.4s内的位移之比为3：1 【变式1】一架模型飞机从地面以10m/s的速度匀速竖直上升至距离地面40m时，一颗螺丝突然由飞机上脱落，若不计空气阻力，则螺丝从脱落至落到地面所需的时间为（　　） A．2s B． C．3s D．4s 【变式2】在高为h＝40m的山崖顶上将一小球以＝10m/s的速度竖直向上抛出，不计空气阻力，重力加速度g取10，求： （1）小球上升到最高点的时间？ （2）小球上升到最高点距离地面的高度？ 【变式3】一个气球以10m/s的速度匀速上升到距离地面120m处时，从气球脱落一个小球，重力加速度g取10，不计空气阻力。求 （1）小球从脱落气球到刚落地的运动时间； （2）小球刚落到地面时速度的大小。 考点五　竖直上抛运动的对称性 ▎知识梳理 1．时间对称性 （1）物体从某点上升到最高点的时间，等于从最高点下降到该点的时间； （2）物体从抛出到落回抛出点的总时间： 2．速度对称性 （1）物体在同一位置，上升时与下落时的速度大小相等、方向相反； （2）物体落回抛出点时速度大小等于初速度，方向竖直向下。 图5　竖直上抛运动的对称性（h-t 图） 项目 上升过程 下降过程 同一位置速度 竖直向上 竖直向下（等大反向） 同一段高度用时 与下落用时相等 与上升用时相等 最高点 速度为 0、加速度为 g 速度为 0、加速度为 g 位移 向上为正 向下为负（关于最高点对称） 抛出点速度 初速度向上 落回时速度向下、等大 ▎重难诠释 利用时间对称性：两次经过同一位置的时刻，关于到达最高点的时刻对称。 利用速度对称性：同一位置上升与下落速度等大反向，可据此快速求速度。 记忆点：竖直上抛的运动关于最高点“左右对称”，上升下落如“镜像”。 ◆ 例题·变式演练 【例题】如图所示，玻璃小球从O点竖直向上抛出，经过t时间通过A点，又经过t时间再次通过A点，重力加速度为g，不计空气阻力，则小球（　　） A．经4t时间落回O点 B．AO之间的距离为 C．两次通过A点的速度大小均为gt D．抛出时的初速度为gt 【变式1】如图所示，将小球自A处竖直向上抛出。传感器记录的数据显示：自抛出起计时，经过时间和2，小球的速率均为。小球向上抛出后的位移、速度、运动时间分别用x、v、t表示。不计空气阻力，关于小球竖直向上抛出的运动过程，下列图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】某同学在操场进行抛球实验。第一次，他将小球以某一初速度竖直向上抛出，测得从抛出到返回出发点的总时间为t；第二次，他在小球第一次上升所能达到最大高度的中点处水平放置一块弹性极好的挡板，在同一位置以相同的初速度将小球竖直向上抛出，小球撞击挡板后速度大小不变、方向相反，碰撞时间极短。不计空气阻力，则小球第二次从抛出到最终落回出发点的总时间为（　　） A．t B． C．t D．t 【变式3】2026年春节晚会上表演武术的机器人引起轰动，宇树科技在测试人形机器人的反应和肢体协调能力的训练过程中，机器人沿竖直方向将石子从A处由静止匀加速到B处后松手，石子由于惯性继续向上运动。同时机器人去捡地面石子并恰好在A处接住石子。已知A离地0.10m，B离地0.60m，从松手到接住的时间为0.5s，A处运动到B处可视为匀加速直线运动，不计空气阻力，重力加速度g取10。则石子从A处运动B处的加速度为（　　） A．0.8 B．1.25 C．2.25 D．2.55 考点六　竖直上抛运动的图像 ▎知识梳理 1．v-t 图像 （1）是一条斜率为 −g 的直线，与 t 轴的交点表示到达最高点； （2）t 轴上方为上升过程、下方为下降过程；图线与 t 轴围成的面积表示位移。 2．h-t 图像 （1）是一条开口向下的抛物线，顶点表示最高点； （2）与 t 轴的交点表示物体落回抛出点。 3．a-t 图像 （1）全程加速度恒为 −g，是一条水平直线。 图6　竖直上抛运动的 v-t、h-t 图像（a-t 为 −g 水平线） 图像 形状 关键信息 v-t 图 斜率为 −g 的直线 与 t 轴交点为最高点，面积为位移 h-t 图 开口向下的抛物线 顶点为最高点，对称分布 a-t 图 位于 −g 的水平直线 全程加速度恒定，含最高点 斜率 v-t 斜率恒为 −g 最高点处斜率不变 面积 t 轴上、下方面积 上方为上升、下方为下降 ▎重难诠释 全过程（含最高点）加速度恒为 −g：v-t 图斜率不变、a-t 图为水平直线。 最高点处 v=0 但斜率不变，不要误判为“加速度为零”。 记忆点：图像三看——v-t 看斜率，h-t 看顶点，a-t 看恒定。 ◆ 例题·变式演练 【例题】某同学在地面上，把一物体以一定的初速度竖直向上抛出，物体达到最高点后落回抛出点。如果取竖直向上为正方向，不计空气阻力。下列描述该运动过程的v﹣t图像或a﹣t图像正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】以某一初速度竖直向上抛出一个苹果，并落回手中，忽略空气阻力，以竖直向上为正方向，以下描述此过程苹果的位移—时间图像或速度—时间图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】将一羽毛球竖直上抛，过一段时间球回到抛出点。取向上为正方向，假设羽毛球受到的空气阻力与速度大小成正比。下列描述两物体运动的v﹣t图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式3】可视为质点的甲、乙两个小球，先后在同一水平面相邻的两个位置竖直向上抛出，不计空气阻力，小球与出发位置的高度差h和时间t的图像如图所示，可判断在时刻（　　） A．甲的速度大于乙的速度 B．甲的速度小于乙的速度 C．甲的加速度大于乙的加速度 D．甲的加速度小于乙的加速度 考向三　自由落体与竖直上抛的相遇问题 本考向聚焦竖直方向多物体的相遇与相对运动。考查相遇时间、临界条件的判断及相对速度的处理，常以无人机、气球、高楼抛接、空中对接等真实情境为载体。 考点七　自由落体与竖直上抛的相遇 ▎知识梳理 1．建立运动方程 （1）物体 A 从高 H 处自由下落： （2）物体 B 从地面竖直上抛： 2．相遇条件 （1）相遇时两物体高度相等，解得相遇时间：，其中重力项 相消； （2）相遇时的高度： 3．临界条件 （1）B 在上升途中相遇： ＞ （2）B 在下降途中相遇： ＜ ＜ （3）B 到达地面时相遇： ＝ （4）不能相遇： ＜ 图7　自由落体与竖直上抛的相遇 初速度条件 相遇情形 临界值 ＞ B 上升途中相遇 相遇时间早于 B 到最高点 ＜ ＜ B 下降途中相遇 相遇时间晚于 B 到最高点 ＝ 在地面相遇 恰好在 B 落回地面时 ＜ 不能相遇 A 已落地，B 尚未到 ▎重难诠释 相遇时间 ，与重力加速度无关：两物体加速度相同，重力项相消。 判断 B 上升还是下降，比较相遇时间与上升时间；判断能否相遇，比较临界速度。 记忆点：两物体加速度相同，“抵消”重力，相当于一个静止、一个匀速靠近。 ◆ 例题·变式演练 【例题】黄州青云塔始建于1574年，距今400多年。某物理研究小组测量出塔高为H，甲同学在塔顶让物体A自由落下，同时乙同学将物体B自塔底以初速度竖直上抛，且A、B两物体在同一直线上运动，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．若，则两物体在地面相遇 B．若两物体能在空中相遇，则从抛出到相遇的时间t C．若则两物体相遇时，B正在上升途中 D．若，则两物体相遇时，B正在下落途中 【变式1】如图所示，小球甲从距离水平地面h高度处自由下落，同一时刻，小球乙从水平地面上以某一初速度开始做竖直上抛运动，上升过程中的最大高度为h。已知重力加速度为g，则当甲、乙两小球处于同一高度时，下列说法正确的是（　　） A．甲、乙两小球距离地面的高度为 B．甲、乙两小球距离地面的高度为h C．甲、乙两小球速度大小均为 D．甲、乙两小球的速度大小不一定相等 【变式2】t＝0时刻，小球甲（视为质点）从地面开始做竖直上抛运动，小球乙（视为质点）从距地面高度为处由静止释放，两小球距地面的高度h与运动时间t的关系图像如图所示，重力加速度大小为g，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．甲的初速度比乙落地时的速度大 B．甲上升过程的平均速度比乙下降过程的平均速度小 C．甲、乙处于同一高度的时刻为 D．甲、乙落地的时间差为 【变式3】将小球b从某一高度处由静止释放，同时将a球从地面竖直向上抛出，结果两球运动1s相遇，v﹣t图像如图所示，不计空气阻力，不计球的大小，重力加速度g取10，则小球b释放点离地面的高度为（　　） A．15m B．20m C．25m D．30m 考点八　竖直方向多物体的相对运动与相遇 ▎知识梳理 1．相对运动规律 （1）两个物体都做竖直上抛（或自由落体）运动，加速度相同（均为 g）； （2）两物体的相对加速度为零，相对速度恒定，即相对做匀速运动。 2．先后释放（抛出） （1）设先后时间间隔为 Δt，则后释放者开始时，先释放者已有速度 gΔt； （2）此后两物体速度差恒定为 gΔt，但两物体间距随时间增大（先释放者继续领先）。 3．相遇判断 （1）同一位置、同方向先后抛出：时间间隔 Δt 决定能否相遇； （2）可在任一物体的参考系中，把另一物体看成匀速运动，用“相对速度＝相对位移／时间”求解。 图8　两竖直上抛物体的相对运动（h-t 图） 情形 相对速度 间距变化 同时、同初速度抛出 相对速度为零 间距保持不变 先后释放，同向 相对速度恒为 gΔt 间距随时间增大 相向（一上抛一落体） 相对速度为两速度之和 间距随时间减小，能相遇 同初速度、不同时 相对速度恒定 由时间间隔决定能否相遇 ▎重难诠释 两物体加速度相同，相对速度恒定；但“先落者有初速度”，两物体间距会随时间增大。 处理相遇时，可在一个物体的参考系（惯性系）中，把另一物体看成匀速运动。 记忆点：加速度相同，“相对抵消”重力，只看相对速度与初始间距。 ◆ 例题·变式演练 【例题】辽宁沈阳沈北新区大学城内顺丰开始利用无人机配送快递包裹，如图所示是无人机定点悬停在配送空域某一高度，先后间隔Δt释放两件快递包裹，不计空气阻力，包裹在空中下落的过程中，下列说法正确的是（　　） A．质量大的包裹在空中下落的时间长 B．两包裹的加速度之差逐渐增大 C．两包裹的速度之差逐渐增大 D．两包裹之间的距离逐渐增大 【变式1】杂技演员每隔相等时间竖直向上抛出一小球（不计一切阻力，小球间互不影响，重力加速度为g），若每个小球抛出时的初速度大小都是，他一共有4个小球，要想使节目连续不断表演下去，在他的手中总要有1个小球停留，则每个小球在手中停留的时间为（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图，某同学将小球A以速度竖直向上抛出，到达最高点时，将小球B也以速度从同一位置竖直向上抛出，不计空气阻力，A、B两球均可视为质点，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（　　） A．自A球抛出到与B球相遇，该过程时间为 B．相遇时，B球的速度大小为 C．自B球抛出到与A球相遇时，B球上升高度为 D．自A球抛出到A、B两球相遇的过程中，A球的速度变化量大小为 【变式3】如图所示，在杂技抛球表演中，演员的右手将五颗相同的球在同一高度每隔时间T依次斜向上抛出；球回到抛出高度时，左手将球接住，然后水平移动到右手再抛出。各球的运动轨迹均相同，形成连续的循环。该过程中在空中且不在手中的球至少有四颗，空气阻力可忽略，则（　　） A．球从抛出到最高点的时间为2T B．球到达最高点的速度为0 C．球抛出的速度大小为2gT D．球离抛出点的最大高度一定大于2 ★ 综合练习 ★ 本部分精选15道选择题，覆盖本专题全部考点，请在规定时间内独立完成。 1．雨后，某人用高速相机拍下一幅水滴下落的照片，如图所示，其中第4滴水刚要离开屋檐。若滴水的时间间隔相同，拍下照片的瞬间，第1滴水的速度大小为6m/s，取重力加速度大小g＝10，认为雨滴做自由落体运动，则图中第2滴水与第3滴水间的距离为（　　） A．0.4m B．0.6m C．0.8m D．1m 2．关于地球的重力加速度，下列说法正确的是（　　） A．两极地表的重力加速度最大 B．地球表面的重力加速度处处相等 C．地球表面的重力加速度方向处处指向地心 D．同一地点上空，距离地面越高，重力加速度越大 3．物体从离地面45m高处开始做自由落体运动，取g＝10，下列说法错误的是（　　） A．物体运动3s后落地 B．物体在整个下落过程的平均速度是20m/s C．物体落地时的速度大小为30m/s D．落地前最后1s的位移为25m 4．“飞流直下三千尺，疑是银河落九天”形容庐山瀑布的壮观。把其中一团水简化为小球做自由落体运动，如图所示，一小球从A点开始做自由落体运动到D点。其中从B点运动到C点的下落高度Δh＝1m，且AB段与CD段长度相等。已知小球在B、C两点间的平均速度大小v＝5m/s，重力加速度g取10，下列说法正确的是（　　） A．小球从B点到C点的运动时间为1s B．小球在B点的速度大小为4m/s C．A、B两点的高度差为 D．小球从A点到D点的运动时间为 5．如图，篮球架下的运动员原地垂直起跳完成扣篮后，离地后重心上升的最大高度为H。把上升高度H从低到高均匀分成四份，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．运动员在上升的每一个中的速度变化量相等 B．上升第一个所用的时间与第四个所用的时间之比为 C．上升完第三个的速率与起跳时的速率之比为 D．上升完第三个的速度与整个上升过程中的平均速度相等 6．在苏州园林中，有不少亭台的设计非常巧妙，下雨时可清晰地听到雨滴落下的滴答声。在高11.25m的屋檐上，每隔一定的时间有一滴水落下。已知第一滴水落到地面时，第四滴水刚好离开屋檐，设水滴的运动是自由落体运动，g取10，求： （1）水滴落下的时间间隔； （2）第一滴水滴落地时，第三滴水滴距离地面的高度； （3）第一滴水滴落地时，第二滴水滴和第三滴水滴间的距离。 7．在“验证自由落体运动规律”的物理实验课上，小明将一个红苹果从桌面由静止释放，苹果在重力作用下竖直自由下落（不计空气阻力）。请分析苹果下落过程中，下落位移h、下落速度v、下落时间t的图像关系，下列图像中符合实际规律的是（　　） A． B． C． D． 8．“伽利略相信，自然界的规律是简洁明了的。他从这个信念出发，猜想落体一定是一种最简单的变速运动，而最简单的变速运动，它的速度应该是均匀变化的。但是，速度的变化怎样才算“均匀”呢？他考虑了两种可能：一种是速度的变化对时间来说是均匀的，即v与t成正比，例如每过1s，速度的变化量都是2m/s；另一种是速度的变化对位移来说是均匀的，即v与x成正比，例如每下落1m，速度的变化量都是2m/s。后来他发现，如果v与x成正比，将会推导出十分荒谬的结果。”某同学在阅读完该材料后引发了一系列的思考并写出了如下的结论，现在请你帮他判断下列哪些结论是正确的（　　） A．若v与x成正比，则v与t成正比 B．若v与x成正比，则物体运动后加速度a逐渐变小 C．若v与x成正比，且物体的初、末速度分别为1m/s、7m/s，则物体在该过程的中间位置速度为5m/s D．若v与x成正比，则物体静止释放后将悬浮在空中不会下落 9．如图所示，气球下面用细线吊着一个物体，从地面由静止释放后一起匀加速上升，＝6s时速度达到v＝20m/s，此时细线恰好断开。重力加速度大小g＝10，不计物体受到的空气阻力，在物体落地前的过程中，求： （1）物体离地面的最大高度h； （2）从气球被释放到物体再次落回地面的时间t； （3）气球被释放后，经时间＝10s时物体获得的速度。 10．2025年7月，在第11届自治区少数民族传统体育运动会上，赤峰市代表队的节目《舞龙》将跳绳与舞蹈结合，获得诸多好评。图甲为某人跳绳时的情况。起跳过程中，脚离地前，重心加速度与重心上升高度关系如图乙所示，脚离地后重心上升的最大高度为（取g＝10）（　　） A．0.15m B．0.20m C．0.30m D．0.40m 11．为了测量蹦床运动员跃起的高度，在弹性网上安装压力传感器记录弹性网所受的压力，作出图像如图所示。重力加速度g取10，不计空气阻力，则（　　） A．2.3∼4.3s时间内，平均速率为零 B．2.3∼4.3s时间内，速度变化量为零 C．2.3∼4.3s时间内，速度变化率为零 D．运动员跃起的最大高度是5.0m 12．某同学将弹性球从某高度处由静止释放，与地面碰撞（碰撞时间极短）后等速率反弹，再竖直向上运动，直至最高点，若空气阻力大小恒定，下列关于其运动过程的v﹣t图像、a﹣t图像，正确的是（　　） A． B． C． D． 13．将一乒乓球从水平桌面上方水平抛出，从抛出至第二次接触桌面，其运动轨迹如图中虚线所示，忽略空气阻力和球与桌面碰撞的时间，此过程中乒乓球的竖直分速度v，随时间t变化的规律可能正确的是（　　） A． B． C． D． 14．如图所示，t＝0时刻，长＝0.8m直管在其底端离地高＝3.2m处自由下落，此时在直管正下方的地面上有一小球以＝8m/s的初速度竖直上抛。已知小球的直径小于直管的直径，小球穿过直管时互不影响，重力加速度大小g＝10。下列说法正确的是（　　） A．ts时，直管刚好落地 B．t＝0.5s时，小球刚好穿过直管 C．小球在直管中的运动时间为0.4s D．直管落地时，小球的速度方向向下 15．如图所示，小球甲从距离地面高度为h＝15m处以速度＝10m/s竖直向上抛出，同时小球乙从同一高度处以速度＝10m/s竖直向下抛出。已知小球运动的过程中均不计空气阻力，重力加速度取g＝10。若两小球落地后均能原速率反弹，当二者处于同一高度时视为相遇，则下列说法中正确的是（　　） A．小球乙落地前，乙球的速度比甲球的速度变化得更快 B．小球乙落地后，两小球的高度差一直增大 C．从一开始到小球乙落地前，两小球的速度差不断增大 D．在之后的运动过程中，两小球每隔2s都会相遇一次 2027年高考物理一轮复习（人教版2019）· 江苏专用 · 专题03 自由落体和竖直上抛 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $专题03　自由落体和竖直上抛　【江苏专用】 2027年高考物理一轮复习（人教版2019） 专题03　自由落体和竖直上抛 2027年高考物理一轮复习 人教版（2019）　江苏专用 建议用时：70 分钟 题量：47 题 难度：★★★★☆ 版本：解析版 ● 内容概览 ● 01 　自由落体运动 　考点一　自由落体运动的基本规律 　考点二　自由落体运动的比例关系 　考点三　自由落体运动的实验探究 02 　竖直上抛运动 　考点四　竖直上抛运动的基本规律 　考点五　竖直上抛运动的对称性 　考点六　竖直上抛运动的图像 03 　相遇问题 　考点七　自由落体与竖直上抛的相遇 　考点八　竖直方向多物体的相对运动与相遇 04 　综合练习 ▎学习目标 1．理解自由落体运动的条件与性质，掌握自由落体运动的三个基本公式，能正确求解下落时间、速度和位移。 2．掌握初速度为零的匀加速运动的比例关系，能区分“累计位移”与“各段位移”，会逆向处理问题。 3．了解伽利略研究自由落体的科学方法和牛顿管实验，会用打点计时器、频闪等方法测量重力加速度。 4．掌握竖直上抛运动的规律和分段、全程两种处理方法，能正确计算最大高度、上升时间和总时间。 5．理解竖直上抛运动的时间、速度对称性，能借助运动图像分析运动，并能解决自由落体与竖直上抛的相遇、相对运动问题。 ▎课标与考情 【课标要求】通过实验，了解自由落体运动规律，结合物理学史体会伽利略的科学研究方法；能用公式、图像等方法描述自由落体运动与竖直上抛运动，能将竖直上抛运动的全过程作为匀变速直线运动处理，能解决自由落体、竖直上抛及其相遇等实际问题，发展模型建构与科学推理能力。 【考情分析】江苏高考物理采用自主命题（满分100分，考试时间75分钟）：单项选择题10题（每题4分，共40分）；非选择题5题（含1道实验题和4道计算题，共60分）。“自由落体运动和竖直上抛运动”是运动学的重要特例，也是江苏高考的高频考点：自由落体规律、竖直上抛的最大高度与总时间、对称性、相遇问题等常以选择题和计算题出现，情境新颖，常以跳水、跳伞、无人机、体育运动、滴水计时、高楼坠物等为背景；利用自由落体（纸带、频闪）测量重力加速度是实验题的重要内容；相关规律还常与运动图像、牛顿运动定律结合综合考查，是力学复习的重要基础。 ▎思维导图 图1　自由落体和竖直上抛知识网络 考向一　自由落体运动 本考向聚焦自由落体运动的条件、规律与实验探究。考查自由落体公式、初速度为零的比例关系及重力加速度的测量，常以高楼坠物、滴水计时、体育运动、物理学史等情境为载体。 考点一　自由落体运动的基本规律 ▎知识梳理 1．自由落体运动 （1）定义：物体只在重力作用下从静止开始下落的运动，叫作自由落体运动。 （2）条件：①初速度为零；②只受重力（空气阻力很小，可忽略）。 （3）性质：自由落体运动是初速度为零、加速度为 g 的匀加速直线运动。 2．重力加速度 （1）定义：物体做自由落体运动时的加速度，通常用 g 表示。 （2）方向：竖直向下。 （3）大小：，粗略计算时 g 可取 10 m/s2；g 随纬度的增大而增大，随高度的增大而减小。 3．自由落体运动的基本规律（取竖直向下为正） （1）速度公式： （2）位移公式： （3）速度—位移公式： 图1　自由落体运动的 v-t 图像 公式名称 公式 适用情形 速度公式 求速度、时间 位移公式 求下落高度、时间 速度—位移公式 不含时间 下落时间 已知下落高度求时间 ▎重难诠释 自由落体运动的两个条件缺一不可：初速度为零、只受重力（空气阻力可忽略）。 物体下落的快慢与质量无关：在真空中，重物与轻物下落得一样快，加速度同为 g。 记忆点：自由落体运动是“从静止出发的匀加速”，是匀变速直线运动的特例。 ◆ 例题·变式演练 【例题】如图所示，A、B两小球从不同高度，同时做自由落体运动。已知A的质量比B大，则在两小球落地之前，下列说法正确的是（　　） A．A、B两小球之间的距离保持不变 B．A、B两小球可能在空中相撞 C．A、B两小球之间的距离越来越小 D．A、B两小球的速度差越来越大 【答案】A 【解答】解：A、B两小球均做自由落体运动，加速度均为重力加速度g，与小球质量大小无关。 ABC、由于两球同时释放，任意时刻两球下落的位移均为，可知两球下落位移始终相等，故两小球之间的距离保持不变，不可能在空中相撞，故A正确，BC错误； D、任意时刻两球的速度均为v＝gt，可知两者的速度差始终为零，保持不变，故D错误。 故选：A。 【易错点】　自由落体运动的下落快慢与质量无关：两球同时从静止开始，加速度均为 g，任意时刻速度、下落高度都相同，故两球速度差、间距均恒定，不会在空中相撞。切勿认为“质量大的下落得快、会追上质量小的”。 【变式1】某人估测一竖直枯井深度，从井口静止释放一石头并开始计时，经3s听到石头落地声，由此可知井深约为（不计声音传播时间，重力加速度g取10）（　　） A．20m B．30m C．40m D．45m 【答案】D 【解答】解：石头的运动可认为做自由落体运动，则有，故D正确，ABC错误。 故选：D。 【变式2】冬季，高架、桥梁、房屋边缘常有冰凌悬挂，冰凌下落可能产生危险。一冰凌（可看作质点）从距离地面高度为h处开始做自由落体运动，下落到距离地面处时的速度大小为10m/s，取重力加速度g＝10，下列说法正确的是（　　） A．冰凌自由下落过程的平均速度大小为10m/s B．冰凌经过距离地面处的速度大小为20m/s C．冰凌从开始自由下落所用的时间为1s D．冰凌后半段时间内的平均速度大小为20m/s 【答案】A 【解答】解：冰凌下落到距离地面处时，下落位移；根据，即，解得；冰凌下落的总时间；落地速度大小v＝gt＝10×2s＝20m/s。 A、冰凌自由下落过程的平均速度大小，故A正确； B、冰凌经过距离地面处时，下落的位移，此时速度大小，故B错误； C、冰凌从开始自由下落的位移为，所用的时间，故C错误； D、前一半时间t'＝1s末的速度v'＝gt'＝10×1s＝10m/s，后半段时间内的平均速度大小，故D错误。 故选：A。 【变式3】一个做自由落体运动的物体，其落地速度为15m/s，重力加速度取10，则下列描述正确的是（　　） A．下落的时间为2s B．下落时距地面的高度为15m C．下落过程中的平均速度为10m/s D．最后1s的位移为10m 【答案】D 【解答】解：A．已知落地速度v＝15m/s，重力加速度g＝10，由v＝gt，求得物体下落总时间，故A错误； B．下落时距地面的高度为，故B错误； C．下落过程中的平均速度为，故C错误； D．总下落时间为1.5s，最后1s的位移等于总位移减去前0.5s的位移，前0.5s位移为 则最后1s位移Δh＝h﹣＝11.25m﹣1.25m＝10m，故D正确。 故选：D。 考点二　自由落体运动的比例关系 ▎知识梳理 1．等分时间的比例（初速度为零） （1）1T、2T、3T…末速度之比：1:2:3； （2）前 1T、前 2T、前 3T…内（累计）位移之比：1:4:9； （3）第 1T、第 2T、第 3T…内（各段）位移之比：1:3:5。 2．等分位移的比例 （1）通过连续相等位移末速度之比：1：： （2）通过连续相等位移所用时间之比：1：：。 图2　自由落体等时间间隔的位置（间距 1:3:5） 类别 比例关系 记忆点 等分时间·末速度 1:2:3 与时间成正比 等分时间·累计位移 1:4:9 与时间平方成正比 等分时间·各段位移 1:3:5 连续奇数比 等分位移·末速度 与 成正比 等分位移·各段时间 越来越短 ▎重难诠释 比例关系只适用于初速度为零的匀加速运动，使用时要先确认初速度为零。 分清“前 nT 内（累计）位移”1:4:9 与“第 nT 内（各段）位移”1:3:5。 记忆点：累计位移随时间平方增长（1:4:9），各段位移是连续奇数（1:3:5）。 ◆ 例题·变式演练 【例题】如图所示，悬停在空中的无人机释放一重物，当重物下落的距离分别为1m、4m、9m时，所用时间分别为、、，不计空气阻力，则（　　） A．：：＝1：4：9 B．：：＝1：3：5 C．：：＝1：9：25 D．：：＝1：2：3 【答案】D 【解答】解：根据自由落体运动规律 解得 即，故ABC错误，D正确。 故选：D。 【易错点】　要区分“累计时间、累计位移”与“各段时间、各段位移”：通过 1m、4m、9m 处是累计位移，由 可知累计时间之比为 1:2:3（相邻两段时间之比不是 1:4:9 或 1:3:5，而是 1:（√2−1）:（√3−√2））。 【变式1】柿子树上的3个柿子，由不同高度掉落到同一水平地面上。已知柿子1、柿子2和柿子3的下落高度之比为4：9：1，忽略空气阻力，则三者下落的时间之比为（　　） A．1：2：1 B．2：3：1 C．4：6：1 D．4：9：1 【答案】B 【解答】解：根据自由落体运动公式 可得，因此下落时间t与高度h的平方根成正比。已知柿子1、柿子2和柿子3的下落高度之比为4：9：1， 代入数据整理解得则时间之比为，故ACD错误，B正确。 故选：B。 【变式2】物体自楼顶由静止开始自由落下（不计空气阻力），落地的速度为v，在此过程中，物体下落时间为总时间的一半时，物体距离地面的高度为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：设物体自楼顶自由下落的总高度为H，落地所需总时间为t。 物体做自由落体运动，根据速度与时间关系式v＝gt，可推得总时间。 根据位移公式，下落的总高度为。 当物体下落时间为总时间的一半，即时，物体已经下落的距离为。 此时物体距离地面的高度为。 A、计算得出的是该时刻物体已经下落的位移，并非距离地面的高度，故A错误； B、根据总高度与已下落位移的差值计算，物体距离地面的高度确为，故B正确； C、剩余高度的表达式中不包含，该选项不符合自由落体的位移几何关系，故C错误； D、表达式代表的是物体下落的总高度（即楼顶离地高度），并不是下落一半时间时的位置，故D错误。 故选：B。 【变式3】音乐喷泉随着音乐变换，竖直向上喷出的水柱可以高达几十米，现有一音乐喷泉，喷出的水经2s到达最高点，把水喷射的总高度分成四等份，水通过第一个等份高度用时记为，通过最后一个等份高度用时记为，不计空气阻力，则满足（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：竖直上抛运动到最高点的逆过程为初速度为0的自由落体运动，二者时间、位移对称。 根据初速度为0的匀加速直线运动规律，通过连续相等位移的时间比为 逆过程下落第1份s的时间对应原上抛通过最后1份高度的时间，对应比例项为1； 逆过程下落第4份s的时间对应原上抛通过第1份高度的时间，对应比例项； 则有 满足 故ABD错误，C正确。 故选：C。 考点三　自由落体运动的实验探究 ▎知识梳理 1．伽利略的研究方法 （1）逻辑推理：通过“归谬”否定了“重物下落得快、轻物下落得慢”的观点； （2）斜面实验：让小球沿斜面下滑以“冲淡”重力，间接证明了自由落体运动是匀加速运动； （3）科学方法：观察现象→提出假设→逻辑推理→实验验证→修正推广。 2．牛顿管（毛钱管）实验 （1）有空气时：羽毛比硬币下落得慢； （2）抽去空气后：羽毛与硬币同时落地，说明物体下落的快慢与质量无关。 3．测量重力加速度 （1）方法：利用打点计时器、频闪、光电门等研究自由落体运动； （2）计算：由 或 求 g。 图3　牛顿管（真空管）实验 研究方法 内容 结论或公式 逻辑推理 归谬分析“重物与轻物” 下落快慢与质量无关 斜面实验 “冲淡”重力，小球滚下斜面 自由落体是匀加速运动 牛顿管 对比有无空气时的下落 真空时同时落地 纸带/频闪 记录自由落体各时刻位置 求 g ▎重难诠释 牛顿管中有空气时羽毛慢，是因为空气阻力相对其重力影响大；抽真空后两者加速度相同、同时落地。 用打点计时器测 g 时，常用 ，注意判断纸带起始点是否为自由释放点。 记忆点：伽利略用斜面“冲淡”重力、放慢运动，再合理外推到自由落体。 ◆ 例题·变式演练 【例题】如图所示，牛顿管中玻璃管的长度为1.25m，用抽气机抽去牛顿管内的空气后，将管竖直放置，从管顶同时静止释放一枚硬币和一片羽毛，下落过程中均不与管壁接触。若将管内环境视为真空，下列判断正确的是（　　） A．硬币先落至管底 B．硬币落至管底的速度更大 C．羽毛在管中运动的时间约为0.5s D．下落过程中，硬币的加速度大于羽毛的加速度 【答案】C 【解答】解：A、用抽气机抽去牛顿管内的空气后，管内环境视为真空，硬币和羽毛均做自由落体运动，加速度相同，下落高度h相同，根据可知，两者同时落至管底，故A错误； B、根据﹣0＝2gh可知两者下落高度h相同，速度大小相等，故B错误； C、牛顿管中玻璃管的长度为1.25m，根据解得ts＝0.5s，故C正确； D、下落过程中硬币和羽毛均做自由落体运动，加速度均为重力加速度g，两者的加速度大小相等，故D错误。 故选：C。 【易错点】　牛顿管抽成真空后，硬币与羽毛都只受重力、加速度同为 g，因而同时落地，与质量、形状无关。有空气时羽毛慢，是因为空气阻力相对其重力影响大，并非“轻的下落得慢”。 【变式1】伽利略从斜面实验外推到自由落体运动的情景模型如图所示，下列说法符合史实的是（　　） A．伽利略先猜想下落物体的速度随时间均匀增加，然后通过斜面实验直接得出v∝t B．伽利略通过斜面实验得出：从静止开始小球必须沿光滑的斜面运动才有s∝ C．伽利略发现，改变斜面的倾角，s∝依然成立，斜面的倾角越大，加速度越大 D．伽利略采用“冲淡”重力的方法，实质是增大小球的位移。 【答案】C 【解答】解：A、伽利略的时代，无法直接测出瞬时速度，是通过s∝间接推理得出v∝t，得出落体运动是一种匀变速直线运动，故A错误； B、伽利略通过斜面实验得出小球从静止开始沿着斜面向下运动，运动的距离与时间的平方成正比，即s∝，不论斜面是否光滑，故B错误； C、伽利略发现，改变斜面的倾角，s∝依然成立，斜面的倾角越大，加速度越大，故C正确。 D、伽利略采用“冲淡”重力的方法，延长小球的运动时间，故D错误； 故选：C。 【变式2】如图是频闪摄影拍摄的小球自由落体运动的照片，频闪仪每隔相等时间频闪一次，频闪时间间隔未知，根据照片信息（　　） A．可以判断小球从0点由静止释放 B．可以求出当地重力加速度 C．可以求出3.2cm位置的瞬时速度 D．不能说明自由落体运动是匀变速直线运动 【答案】A 【解答】解：根据照片相邻两段的位移差﹣＝2.4cm﹣0.8cm＝1.6cm，﹣＝4.0cm﹣2.4cm＝1.6cm，﹣＝5.6cm﹣4.0cm＝1.6cm，﹣＝7.2cm﹣5.6cm＝1.6cm，根据照片相邻两段的位移差Δx＝1.6cm恒定，说明小球做匀加速直线运动。 A、如果小球从 0 点由静止释放，那么相等时间间隔内的位移之比为：：…＝1：3：5：…， 图中的为：：…＝0.8：2.4：4.0：…＝1：3：5：…，则可以判断小球从0点由静止释放，故A正确； B、匀变速直线运动中Δx＝＝，但题目中频闪时间间隔T未知，因此无法求出当地重力加速度，故B错误； C、根据，题目中频闪时间间隔T未知，无法求出3.2cm位置的瞬时速度，故C错误； D、根据照片相邻两段的位移差Δx＝1.6cm恒定，说明自由落体运动是匀变速直线运动，故D错误； 故选：A。 【变式3】为研究自由落体运动特点，实验小组在暗室中静止释放小球，并按下胶片照相机的快门并使之处于常开状态，频闪仪每隔时间T发出一次强烈闪光，得频闪照片部分截图如图所示，测量并按照比例尺换算得相邻位置距离，重力加速度为g，不计空气阻力，则小球在图中D位置瞬时速度为（　　） A．3gT B． C． D． 【答案】C 【解答】解：AD．根据题意分析可知，由匀变速直线运动速度与时间的关系有＝+g•3T＝+3gT 根据题意分析可知，由匀变速直线运动速度与位移的关系有 解得 因A位置不一定是自由落体运动的起始位置，故不一定为零，故AD错误； B．根据题意分析可知，由匀变速直线运动的规律可得重力加速度，故B错误； C．根据题意分析可知，由匀变速直线运动某段时间内的平均速度等于中间时刻的速度有，故C正确。 故选：C。 考向二　竖直上抛运动 本考向聚焦竖直上抛运动的规律、对称性与图像。考查最大高度、上升时间的计算、分段与全程两种方法及 v-t、h-t、a-t 图像，常以球类运动、跳水、杂技表演等情境为载体。 考点四　竖直上抛运动的基本规律 ▎知识梳理 1．竖直上抛运动 （1）定义：将物体以一定的初速度竖直向上抛出去，物体只在重力作用下的运动，叫作竖直上抛运动。 （2）特点：初速度竖直向上，加速度恒为 g（竖直向下），是匀变速直线运动。 2．运动规律（取竖直向上为正） （1）速度公式： （2）位移公式： （3）速度—位移公式： 3．两个重要物理量 （1）上升的最大高度： （2）上升到最高点的时间：；落回抛出点的总时间：。 图4　竖直上抛运动示意 项目 分段法 全程法 上升过程 匀减速到 0： 全程使用： 下落过程 自由落体（v=gt、h=） 位移公式自动给出 最高点 速度为 0、加速度为 g 取 t 使 v=0 落回抛出点下方 需分两段计算 h 为负，带符号代入 关键 抓住最高点速度为 0 注意矢量性，统一正方向 ▎重难诠释 竖直上抛的物体在最高点速度为零，但仍受重力、加速度仍为 g，并非“不受力、处于平衡”。 用全程法处理落回抛出点下方的问题时，位移 h 为负，必须带符号代入。 记忆点：最高点是“瞬间静止”，不是“静止状态”，加速度始终为 g。 ◆ 例题·变式演练 【例题】国庆期间，小明观看了海狮抛球表演，海狮从水面将可视为质点的球以8m/s的初速度竖直向上顶出，经过一段时间后在同一位置接住球，忽略空气阻力，g取10，关于小球在空中运动过程中，下列说法正确的（　　） A．小球在最高点不受外力作用 B．小球每秒钟速度变化量大小为20m/s C．球被顶出到再次被海狮接住用时0.8s D．球在运动过程中第1个0.4s内和第2个0.4s内的位移之比为3：1 【答案】D 【解答】解：A．小球在最高点仍受到地球的吸引，仍受到重力作用，故A错误； B．由加速度定义式，可知小球每秒钟速度变化量大小为Δv＝gΔt＝10×1m/s＝10m/s，故B错误； C．球被顶出到再次被海狮接住用时，故C错误； D．球上升到最高点的时间为 逆过程为自由落体运动，则从最高点到最低点的第1个0.4s和第2个0.4s内的位移之比为1：3，则球从最低点到最高点的运动过程中第1个0.4s内和第2个0.4s内的位移之比为3：1，故D正确。 故选：D。 【易错点】　竖直上抛的物体在最高点速度为零，但仍受重力、加速度仍为 g，并非“不受力、处于平衡”；从抛出到落回抛出点的总时间为 。 【变式1】一架模型飞机从地面以10m/s的速度匀速竖直上升至距离地面40m时，一颗螺丝突然由飞机上脱落，若不计空气阻力，则螺丝从脱落至落到地面所需的时间为（　　） A．2s B． C．3s D．4s 【答案】D 【解答】解：根据题意分析可知，规定向上为正方向，根据竖直上抛规律有 题意可知y＝﹣40m，g＝10，＝10m/s 联立解得t＝4s，故D正确，ABC错误。 故选：D。 【变式2】在高为h＝40m的山崖顶上将一小球以＝10m/s的速度竖直向上抛出，不计空气阻力，重力加速度g取10，求： （1）小球上升到最高点的时间？ （2）小球上升到最高点距离地面的高度？ 【答案】（1）小球上升到最高点的时间为1s； （2）小球上升到最高点距离地面的高度为45m。 【解答】解：（1）根据竖直上抛运动速度公式可得 0＝﹣gt 则小球上升到最高点的时间； （2）小球上升的最大高度 则小球上升到最高点距离地面的高度H＝h+h′＝40m+5m＝45m。 答：（1）小球上升到最高点的时间为1s； （2）小球上升到最高点距离地面的高度为45m。 【变式3】一个气球以10m/s的速度匀速上升到距离地面120m处时，从气球脱落一个小球，重力加速度g取10，不计空气阻力。求 （1）小球从脱落气球到刚落地的运动时间； （2）小球刚落到地面时速度的大小。 【答案】（1）小球从脱落气球到刚落地的运动时间为6s； （2）小球刚落到地面时速度的大小为50m/s。 【解答】解：（1）规定竖直向上为正方向，脱落小球具有与气球相同的初速度＝10m/s； 小球在空中仅受重力做匀变速直线运动，加速度a＝﹣g＝﹣10，落地总位移x＝﹣120m； 根据匀变速直线运动的位移时间公式有，代入数据得， 解得小球的运动时间t＝6s，另一解t＝﹣4s不符合题意，予以舍去。 （2）根据匀变速直线运动的速度—时间公式有v＝+at，代入数据得v＝10m/s+（﹣10）×6s＝﹣50m/s； 负号表示速度方向与正方向相反，即竖直向下，故小球刚落到地面时速度的大小为50m/s。 答：（1）小球从脱落气球到刚落地的运动时间为6s； （2）小球刚落到地面时速度的大小为50m/s。 考点五　竖直上抛运动的对称性 ▎知识梳理 1．时间对称性 （1）物体从某点上升到最高点的时间，等于从最高点下降到该点的时间； （2）物体从抛出到落回抛出点的总时间： 2．速度对称性 （1）物体在同一位置，上升时与下落时的速度大小相等、方向相反； （2）物体落回抛出点时速度大小等于初速度，方向竖直向下。 图5　竖直上抛运动的对称性（h-t 图） 项目 上升过程 下降过程 同一位置速度 竖直向上 竖直向下（等大反向） 同一段高度用时 与下落用时相等 与上升用时相等 最高点 速度为 0、加速度为 g 速度为 0、加速度为 g 位移 向上为正 向下为负（关于最高点对称） 抛出点速度 初速度向上 落回时速度向下、等大 ▎重难诠释 利用时间对称性：两次经过同一位置的时刻，关于到达最高点的时刻对称。 利用速度对称性：同一位置上升与下落速度等大反向，可据此快速求速度。 记忆点：竖直上抛的运动关于最高点“左右对称”，上升下落如“镜像”。 ◆ 例题·变式演练 【例题】如图所示，玻璃小球从O点竖直向上抛出，经过t时间通过A点，又经过t时间再次通过A点，重力加速度为g，不计空气阻力，则小球（　　） A．经4t时间落回O点 B．AO之间的距离为 C．两次通过A点的速度大小均为gt D．抛出时的初速度为gt 【答案】B 【解答】解：A.根据竖直上抛运动的对称性可知，玻璃小球经3t时间落回O点，故A错误； B.根据题意可知，玻璃小球上升的时间为，所以AO之间的距离，故B正确； C.根据竖直上抛运动的对称性可知，两次通过A点的速度大小相等，均为，故C错误； D.抛出时的初速度为，故D错误。 故选：B。 【易错点】　利用竖直上抛的对称性：物体在同一位置上升与下落时的速度等大反向，两次经过同一位置的时间关于到达最高点的时刻对称。故两次经过 A 的时间中点，就是到达最高点的时刻。 【变式1】如图所示，将小球自A处竖直向上抛出。传感器记录的数据显示：自抛出起计时，经过时间和2，小球的速率均为。小球向上抛出后的位移、速度、运动时间分别用x、v、t表示。不计空气阻力，关于小球竖直向上抛出的运动过程，下列图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：A、根据题意分析可知，小球做竖直上抛运动，加速度为向下的g。设初速度为为正方向，则t时刻的速度＝v﹣gt，是一条直线，故A错误； B、自抛出起计时，经过时间和2，小球的速率均为，根据对称性可知小球上升到最高的时刻为1.5，可知小球在时刻的速度＝0.5 小球的初速度v＝1.5＝3 根据速度—位移公式可得2gx 可知B图中图线与纵坐标的交点坐标值错误，故B错误； C、根据题意分析可知，由x，可知x﹣t图像为开口向下的抛物线，故C正确； D、由x，可得 当时，t 可知D图中图线与横坐标的交点坐标值错误，故D错误。 故选：C。 【变式2】某同学在操场进行抛球实验。第一次，他将小球以某一初速度竖直向上抛出，测得从抛出到返回出发点的总时间为t；第二次，他在小球第一次上升所能达到最大高度的中点处水平放置一块弹性极好的挡板，在同一位置以相同的初速度将小球竖直向上抛出，小球撞击挡板后速度大小不变、方向相反，碰撞时间极短。不计空气阻力，则小球第二次从抛出到最终落回出发点的总时间为（　　） A．t B． C．t D．t 【答案】A 【解答】解：竖直上抛运动具有对称性，从抛出到最高点的时间等于从最高点落回出发点的时间，因此第一次运动中：上升总时间为 设最大高度为H，由运动学公式可得： 同时初速度。 挡板放置在最大高度的中点，即高度。 设从抛出点上升到h处的时间为，代入位移公 式，解得 小球碰撞挡板时的速度大小不变、方向反向， 碰撞后会以碰撞点的速度竖直向下运动，从高 度处落回出发点。根据竖直上抛的对称 性，从h处上升到最高点的时间，和从最高点 落回h处的时间相等，这段时间为： 因此小球从h处（碰撞后）向下运动到出发点 的时间也等于 第二次总时间＝上升到挡板的时间+碰撞后下 落回出发点的时间： ，故A正确，BCD错误。 故选：A。 【变式3】2026年春节晚会上表演武术的机器人引起轰动，宇树科技在测试人形机器人的反应和肢体协调能力的训练过程中，机器人沿竖直方向将石子从A处由静止匀加速到B处后松手，石子由于惯性继续向上运动。同时机器人去捡地面石子并恰好在A处接住石子。已知A离地0.10m，B离地0.60m，从松手到接住的时间为0.5s，A处运动到B处可视为匀加速直线运动，不计空气阻力，重力加速度g取10。则石子从A处运动B处的加速度为（　　） A．0.8 B．1.25 C．2.25 D．2.55 【答案】C 【解答】解：石子从B点被抛出后做竖直上抛运动，A、B两点的高度差为h＝0.60m﹣0.10m＝0.50m，从B点到A点的位移为s＝﹣h＝﹣0.50m，运动时间t＝0.5s，加速度a＝﹣g＝﹣10。 根据匀变速直线运动的位移公式有，解得石子在B点的速度＝1.5m/s。 石子从A点由静止开始沿竖直方向匀加速运动到B点，根据匀变速直线运动的速度—位移公式有 ，解得石子从A点到B点的加速度a＝2.25，故ABD错误，C正确。 故选：C。 考点六　竖直上抛运动的图像 ▎知识梳理 1．v-t 图像 （1）是一条斜率为 −g 的直线，与 t 轴的交点表示到达最高点； （2）t 轴上方为上升过程、下方为下降过程；图线与 t 轴围成的面积表示位移。 2．h-t 图像 （1）是一条开口向下的抛物线，顶点表示最高点； （2）与 t 轴的交点表示物体落回抛出点。 3．a-t 图像 （1）全程加速度恒为 −g，是一条水平直线。 图6　竖直上抛运动的 v-t、h-t 图像（a-t 为 −g 水平线） 图像 形状 关键信息 v-t 图 斜率为 −g 的直线 与 t 轴交点为最高点，面积为位移 h-t 图 开口向下的抛物线 顶点为最高点，对称分布 a-t 图 位于 −g 的水平直线 全程加速度恒定，含最高点 斜率 v-t 斜率恒为 −g 最高点处斜率不变 面积 t 轴上、下方面积 上方为上升、下方为下降 ▎重难诠释 全过程（含最高点）加速度恒为 −g：v-t 图斜率不变、a-t 图为水平直线。 最高点处 v=0 但斜率不变，不要误判为“加速度为零”。 记忆点：图像三看——v-t 看斜率，h-t 看顶点，a-t 看恒定。 ◆ 例题·变式演练 【例题】某同学在地面上，把一物体以一定的初速度竖直向上抛出，物体达到最高点后落回抛出点。如果取竖直向上为正方向，不计空气阻力。下列描述该运动过程的v﹣t图像或a﹣t图像正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：AB．根据题意分析可知，物体先向上做加速度为g的匀减速运动，到达最高点后，反向做加速度也为g的匀加速运动，故v﹣t图线应为B，故A错误，B正确； CD．根据题意分析可知，竖直上抛运动的加速度保持不变，为自由落体加速度，由于取竖直向上为正方向，故a﹣t图线应为一条在a轴负半轴，且平行于t轴的直线，故CD错误。 故选B。 【易错点】　竖直上抛全过程（含最高点）加速度恒为 −g：v-t 图是一条斜率不变的直线，a-t 图是位于 −g 的水平直线。最高点处 v=0，但斜率不变、加速度不为零，不要误判为“加速度为零”。 【变式1】以某一初速度竖直向上抛出一个苹果，并落回手中，忽略空气阻力，以竖直向上为正方向，以下描述此过程苹果的位移—时间图像或速度—时间图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：AB、苹果做竖直上抛运动，忽略空气阻力，其加速度为重力加速度g，方向竖直向下。以竖直向上为正方向，根据位移公式，位移x与时间t成二次函数关系，x﹣t图像应为开口向下的抛物线。图A的曲线不具备该函数特征，图B为折线（表示匀速运动），故AB错误； CD、根据速度公式v＝﹣gt，速度v是时间t的一次函数，v﹣t图像应为一条斜率为负值（即﹣g）的倾斜直线。图C显示速度先均匀增加后均匀减小，不符合重力加速度恒定的规律；图D为一条向下倾斜的直线，反映了速度从正值均匀减小至0（到达最高点）再变为负值（下落）的过程，符合物理规律，故C错误，故D正确。 故选：D。 【变式2】将一羽毛球竖直上抛，过一段时间球回到抛出点。取向上为正方向，假设羽毛球受到的空气阻力与速度大小成正比。下列描述两物体运动的v﹣t图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：由题意，根据牛顿第二定律上升阶段mg+kv＝ 下降阶段mg﹣kv＝ 可得小球在上升和下降阶段加速度大小分别为＝g，，上升阶段v逐渐减小，则逐渐减小，下降阶段v逐渐增大，则也逐渐减小，即v﹣t图像的斜率的绝对值始终减小，直至减为零，故A正确，BCD错误。 故选：A。 【变式3】可视为质点的甲、乙两个小球，先后在同一水平面相邻的两个位置竖直向上抛出，不计空气阻力，小球与出发位置的高度差h和时间t的图像如图所示，可判断在时刻（　　） A．甲的速度大于乙的速度 B．甲的速度小于乙的速度 C．甲的加速度大于乙的加速度 D．甲的加速度小于乙的加速度 【答案】A 【解答】解：CD、两小球都是竖直上抛运动，加速度相同，都是重力加速度，CD错误； AB、由图像可知，时刻两球高度相同，甲球的最大高度大于乙球的最大高度，根据＝2gh，可知时刻 甲球的速度大，故A正确，B错误。 故选：A。 考向三　自由落体与竖直上抛的相遇问题 本考向聚焦竖直方向多物体的相遇与相对运动。考查相遇时间、临界条件的判断及相对速度的处理，常以无人机、气球、高楼抛接、空中对接等真实情境为载体。 考点七　自由落体与竖直上抛的相遇 ▎知识梳理 1．建立运动方程 （1）物体 A 从高 H 处自由下落： （2）物体 B 从地面竖直上抛： 2．相遇条件 （1）相遇时两物体高度相等，解得相遇时间：，其中重力项 相消； （2）相遇时的高度： 3．临界条件 （1）B 在上升途中相遇： ＞ （2）B 在下降途中相遇： ＜ ＜ （3）B 到达地面时相遇： ＝ （4）不能相遇： ＜ 图7　自由落体与竖直上抛的相遇 初速度条件 相遇情形 临界值 ＞ B 上升途中相遇 相遇时间早于 B 到最高点 ＜ ＜ B 下降途中相遇 相遇时间晚于 B 到最高点 ＝ 在地面相遇 恰好在 B 落回地面时 ＜ 不能相遇 A 已落地，B 尚未到 ▎重难诠释 相遇时间 ，与重力加速度无关：两物体加速度相同，重力项相消。 判断 B 上升还是下降，比较相遇时间与上升时间；判断能否相遇，比较临界速度。 记忆点：两物体加速度相同，“抵消”重力，相当于一个静止、一个匀速靠近。 ◆ 例题·变式演练 【例题】黄州青云塔始建于1574年，距今400多年。某物理研究小组测量出塔高为H，甲同学在塔顶让物体A自由落下，同时乙同学将物体B自塔底以初速度竖直上抛，且A、B两物体在同一直线上运动，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．若，则两物体在地面相遇 B．若两物体能在空中相遇，则从抛出到相遇的时间t C．若则两物体相遇时，B正在上升途中 D．若，则两物体相遇时，B正在下落途中 【答案】D 【解答】解：ACD、若物体B正好运动到最高点时两物体相遇，物体B速度减小为零所用的时间 t 得此时A下落的高度 B上升的高度 且 +＝H 解得 若A、B两物体恰好在落地时相遇，则有 t 此时A下落的高度 H 解得 所以若，则物体B运动到最高点时两物体相遇；若，则两物体在地面相遇；若则两物体在B上升途中相遇；若，则两物体在B下落途中相遇，故D正确，AC错误。 B、无论在上升过程还是下降过程中相遇，设相遇时间为t，有+＝H，，＝t，代入数据解得t，故B错误。 故选：D。 【易错点】　自由落体与竖直上抛相遇的时间为 ，二者的重力项 相消；再比较相遇时间与上升时间，即可判断 B 是在上升途中还是下降途中相遇，注意区分临界条件。 【变式1】如图所示，小球甲从距离水平地面h高度处自由下落，同一时刻，小球乙从水平地面上以某一初速度开始做竖直上抛运动，上升过程中的最大高度为h。已知重力加速度为g，则当甲、乙两小球处于同一高度时，下列说法正确的是（　　） A．甲、乙两小球距离地面的高度为 B．甲、乙两小球距离地面的高度为h C．甲、乙两小球速度大小均为 D．甲、乙两小球的速度大小不一定相等 【答案】B 【解答】解：AB、甲做自由落体运动，乙做竖直上抛运动，由于甲下落过程的高度与乙上升的最大高度相等，所以甲、乙落地时的速度相等，即乙做竖直上抛运动的初速度大小等于甲落地时的速度大小，大小为 同时甲与乙相遇时，乙上升的时间与甲下落的时间相等，设为t。 以甲为参考系，则甲、乙相遇时间t 相遇甲下降的距离为 联立可得 所以甲、乙两小球距离地面的高度 故A错误，B正确； CD、根据竖直上抛运动的对称性，结合前面的分析，可知二者相遇时速度一定大小相等，都是v，故CD错误。 故选：B。 【变式2】t＝0时刻，小球甲（视为质点）从地面开始做竖直上抛运动，小球乙（视为质点）从距地面高度为处由静止释放，两小球距地面的高度h与运动时间t的关系图像如图所示，重力加速度大小为g，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．甲的初速度比乙落地时的速度大 B．甲上升过程的平均速度比乙下降过程的平均速度小 C．甲、乙处于同一高度的时刻为 D．甲、乙落地的时间差为 【答案】C 【解答】解：AB、由题图可知，乙由静止释放时距地面的高度与甲上升到最高点时距地面的高度相等，乙由静止释放直到落地与甲由抛出直到上升到最高点所用时间相等，所以，甲的初速度与乙落地时的速度大小相等，甲上升过程的平均速度与乙下降过程的平均速度大小相等，故AB错误； C、根据题意分析可知，设甲竖直上抛的初速度为，则当甲、乙到达同一高度时有 又 联立求得 故C正确； D、根据题意分析可知，乙落地时甲刚好上升到最高点，所以甲、乙落地的时间差就等于甲从最高点下落到地面所用的时间，满足 得 故D错误。 故选：C。 【变式3】将小球b从某一高度处由静止释放，同时将a球从地面竖直向上抛出，结果两球运动1s相遇，v﹣t图像如图所示，不计空气阻力，不计球的大小，重力加速度g取10，则小球b释放点离地面的高度为（　　） A．15m B．20m C．25m D．30m 【答案】C 【解答】解：由v﹣t图像能够判断，图线a代表竖直上抛运动，图线b代表自由落体运动。 已知t＝1s时a球的瞬时速度v＝15m/s，加速度大小g＝10，根据速度公式 v＝﹣gt，解得a球抛出的初速度＝25m/s。 两个小球同时启动运动，b球从高处下落、a球自地面向上抛出，两球相遇时，a球向上的位移与b球向下的位移之和恰好等于b球释放位置距离地面的高度H，两球相遇时间为t＝1s。 竖直上抛小球位移，自由落体小球位移，可得b球释放点离地高度H＝+＝20m+5m＝25m，故ABD错误，C正确。 故选：C。 考点八　竖直方向多物体的相对运动与相遇 ▎知识梳理 1．相对运动规律 （1）两个物体都做竖直上抛（或自由落体）运动，加速度相同（均为 g）； （2）两物体的相对加速度为零，相对速度恒定，即相对做匀速运动。 2．先后释放（抛出） （1）设先后时间间隔为 Δt，则后释放者开始时，先释放者已有速度 gΔt； （2）此后两物体速度差恒定为 gΔt，但两物体间距随时间增大（先释放者继续领先）。 3．相遇判断 （1）同一位置、同方向先后抛出：时间间隔 Δt 决定能否相遇； （2）可在任一物体的参考系中，把另一物体看成匀速运动，用“相对速度＝相对位移／时间”求解。 图8　两竖直上抛物体的相对运动（h-t 图） 情形 相对速度 间距变化 同时、同初速度抛出 相对速度为零 间距保持不变 先后释放，同向 相对速度恒为 gΔt 间距随时间增大 相向（一上抛一落体） 相对速度为两速度之和 间距随时间减小，能相遇 同初速度、不同时 相对速度恒定 由时间间隔决定能否相遇 ▎重难诠释 两物体加速度相同，相对速度恒定；但“先落者有初速度”，两物体间距会随时间增大。 处理相遇时，可在一个物体的参考系（惯性系）中，把另一物体看成匀速运动。 记忆点：加速度相同，“相对抵消”重力，只看相对速度与初始间距。 ◆ 例题·变式演练 【例题】辽宁沈阳沈北新区大学城内顺丰开始利用无人机配送快递包裹，如图所示是无人机定点悬停在配送空域某一高度，先后间隔Δt释放两件快递包裹，不计空气阻力，包裹在空中下落的过程中，下列说法正确的是（　　） A．质量大的包裹在空中下落的时间长 B．两包裹的加速度之差逐渐增大 C．两包裹的速度之差逐渐增大 D．两包裹之间的距离逐渐增大 【答案】D 【解答】解：A．根据题意分析可知，忽略空气阻力，包裹都做自由落体运动，高度相同，下落时间相同，与质量无关，故A错误； B．由A项分析可知，两包裹的加速度之差为零，故B错误； C．根据题意分析可知，设后投放的包裹下落时间t，则先投放的包裹下落时间t+Δt，下落的速度＝g（t+Δt），＝gt 故Δv＝﹣＝gΔt 即两包裹的速度之差保持不变，故C错误； D．根据题意分析可知，前、后投放的包裹下落位移分别为， 故间距 Δt固定，t变大，Δx持续变大，故D正确。 故选：D。 【易错点】　两球加速度相同，相对速度恒定（相对做匀速运动）；但后释放的球开始运动时，先释放的球已有速度 gΔt，故两球间距随时间增大，不会缩小或相遇。切勿认为“后面的球会追上前面的球”。 【变式1】杂技演员每隔相等时间竖直向上抛出一小球（不计一切阻力，小球间互不影响，重力加速度为g），若每个小球抛出时的初速度大小都是，他一共有4个小球，要想使节目连续不断表演下去，在他的手中总要有1个小球停留，则每个小球在手中停留的时间为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：每个小球上升的时间是 设两球抛出的时间间隔为Δt，结合竖直上抛运动的对称性，当手刚接住一个小球时，空中有3个小球，一个刚上升，有一个在上升，一个在下降，共3个时间间隔Δt，球在手中停留的时间为空中总时间的三分之一，故B正确，ACD错误。 故选：B。 【变式2】如图，某同学将小球A以速度竖直向上抛出，到达最高点时，将小球B也以速度从同一位置竖直向上抛出，不计空气阻力，A、B两球均可视为质点，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（　　） A．自A球抛出到与B球相遇，该过程时间为 B．相遇时，B球的速度大小为 C．自B球抛出到与A球相遇时，B球上升高度为 D．自A球抛出到A、B两球相遇的过程中，A球的速度变化量大小为 【答案】A 【解答】解：A、设B抛出后经时间与A相遇，B抛出后的过程做竖直上抛运动，A做自由落体运动，相遇时有：，解得：，则自A抛出到与B相遇，该过程时间为：，故A正确； B、相遇时，B速度大小为：，故B错误； C、B抛出后做竖直上抛运动，则B自抛出到与A相遇时，B上升高度为：，故C错误； D、A的加速度大小为g，则两球各自抛出到相遇的过程中，A的速度变化量大小为：，故D错误。 故选：A。 【变式3】如图所示，在杂技抛球表演中，演员的右手将五颗相同的球在同一高度每隔时间T依次斜向上抛出；球回到抛出高度时，左手将球接住，然后水平移动到右手再抛出。各球的运动轨迹均相同，形成连续的循环。该过程中在空中且不在手中的球至少有四颗，空气阻力可忽略，则（　　） A．球从抛出到最高点的时间为2T B．球到达最高点的速度为0 C．球抛出的速度大小为2gT D．球离抛出点的最大高度一定大于2 【答案】D 【解答】解：若第5个小球刚好要离开右手，第4个小球刚好要落到左手上，则最高处刚好有一个小球，另外空中等高处还有两个小球； A.为了保证在空中且不在手中的球至少有四颗，球从抛出到最高点的时间大于2T，故A错误； B.小球做斜抛运动，小球到达最高点的速度不为0，还有水平速度，故B错误； C.若小球做竖直上抛运动，根据竖直上抛运动规律，抛出时的速度＝g•2T＝2gT，由于小球做斜抛运动，且保证不在手中的球至少有四颗，因此小球抛出的速度大小大于2gT，故C错误； D.若小球做竖直上抛运动，根据竖直上抛运动规律，上升的最大高度，为了保证在空中且不在手中的球至少有四颗，球从抛出到最高点的时间大于2T，因此球离抛出点的最大高度一定大于2，故D正确。 故选：D。 ★ 综合练习 ★ 本部分精选15道选择题，覆盖本专题全部考点，请在规定时间内独立完成。 1．雨后，某人用高速相机拍下一幅水滴下落的照片，如图所示，其中第4滴水刚要离开屋檐。若滴水的时间间隔相同，拍下照片的瞬间，第1滴水的速度大小为6m/s，取重力加速度大小g＝10，认为雨滴做自由落体运动，则图中第2滴水与第3滴水间的距离为（　　） A．0.4m B．0.6m C．0.8m D．1m 【答案】B 【解答】解：设每滴水间的时间间隔为Δt，第4滴水刚要离开屋檐时，第一滴水的运动时间为3Δt。第1滴水的速度大小为＝6m/s，＝3Δt•g 代入数据可得Δt＝0.2s，则 ＝2Δt•g，＝Δt•g 第2滴水与第3滴水间的距离 代入数据可得x＝0.6m，故B正确，ACD错误。 故选：B。 2．关于地球的重力加速度，下列说法正确的是（　　） A．两极地表的重力加速度最大 B．地球表面的重力加速度处处相等 C．地球表面的重力加速度方向处处指向地心 D．同一地点上空，距离地面越高，重力加速度越大 【答案】A 【解答】解：AB、考虑地球自转，处于地球表面的物体随地球的自转而做匀速圆周运动，重力、所需向心力均为万有引力的分力，由平行四边形定则可得如下图所示的几何关系，图中的、是万有引力的分力。 由此可知，在赤道处所需向心力大小为mR，且最大，此时重力G＝＝﹣mR 在两极处物体不需要向心力，此时重力G＝＝ 可得两极地表的重力加速度最大，赤道地表的重力加速度最小，由赤道向两极地表的重力加速度逐渐变大，故A正确，B错误； C、地球表面的重力加速度方向只有在两极与赤道处指向地心，而在其它纬度处不指向地心，故C错误； D、根据万有引力定律：Fmg，可知同一地点上空，距离地面越高，即r越大，万有引力越小，重力与重力加速度就越小，故D错误。 故选：A。 3．物体从离地面45m高处开始做自由落体运动，取g＝10，下列说法错误的是（　　） A．物体运动3s后落地 B．物体在整个下落过程的平均速度是20m/s C．物体落地时的速度大小为30m/s D．落地前最后1s的位移为25m 【答案】B 【解答】解：A、物体落地运动时间 故A正确 C、物体落地时的速度大小为 v＝gt 代入数据解得 v＝30m/s 故C正确； B、物体在整个下落过程的平均速度是 代入数据解得 故B错误； D、落地前最后1s的位移为 故D正确。 本题选错误的， 故选：B。 4．“飞流直下三千尺，疑是银河落九天”形容庐山瀑布的壮观。把其中一团水简化为小球做自由落体运动，如图所示，一小球从A点开始做自由落体运动到D点。其中从B点运动到C点的下落高度Δh＝1m，且AB段与CD段长度相等。已知小球在B、C两点间的平均速度大小v＝5m/s，重力加速度g取10，下列说法正确的是（　　） A．小球从B点到C点的运动时间为1s B．小球在B点的速度大小为4m/s C．A、B两点的高度差为 D．小球从A点到D点的运动时间为 【答案】B 【解答】解：A、小球从B点到C点的平均速度 可知小球从B点到C点的运动时间为s＝0.2s，故A错误； B、设小球在B点的速度大小为，根据匀变速直线运动的规律可知 解得＝4m/s，故B正确； C、小球从A点做自由落体运动，设A、B两点的高度差为，可知 解得＝0.8m，故C错误； D、由题意知，AB段与CD段长度相等，小球从A点到D点下落的总高度为＝2+Δh＝2×0.8m+1m＝2.6m 根据自由落体运动的规律，小球从A点到D点的运动时间满足 解得，故D错误。 故选：B。 5．如图，篮球架下的运动员原地垂直起跳完成扣篮后，离地后重心上升的最大高度为H。把上升高度H从低到高均匀分成四份，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．运动员在上升的每一个中的速度变化量相等 B．上升第一个所用的时间与第四个所用的时间之比为 C．上升完第三个的速率与起跳时的速率之比为 D．上升完第三个的速度与整个上升过程中的平均速度相等 【答案】D 【解答】解：设起跳初速度为。 A、运动员在上升过程中速度逐渐减小，因此通过每一段相等位移所用的时间逐渐变长，根据速度变化量公式Δv＝﹣gΔt可知，由于时间不同，各段位移中的速度变化量大小不相等，故A错误； B、利用初速度为零的匀变速直线运动比例推论，自由下落通过连续四段相等位移的时间之比为，将其逆向映射到上抛运动，可知上升第一个与第四个所用时间之比为，故B错误； CD、根据运动学公式，起跳初速度，上升完第三个时，小球距离最高点的高度为，由逆向思维可得此时的速率，即与起跳时的速率之比为；而匀变速直线运动全程的平均速度，由此可知上升完第三个的速度等于整个上升过程中的平均速度，故C错误，D正确。 故选：D。 6．在苏州园林中，有不少亭台的设计非常巧妙，下雨时可清晰地听到雨滴落下的滴答声。在高11.25m的屋檐上，每隔一定的时间有一滴水落下。已知第一滴水落到地面时，第四滴水刚好离开屋檐，设水滴的运动是自由落体运动，g取10，求： （1）水滴落下的时间间隔； （2）第一滴水滴落地时，第三滴水滴距离地面的高度； （3）第一滴水滴落地时，第二滴水滴和第三滴水滴间的距离。 【答案】（1）水滴落下的时间间隔为0.5s； （2）第一滴水滴落地时，第三滴水滴距离地面的高度为10m； （3）第一滴水滴落地时，第二滴水滴和第三滴水滴间的距离为3.75m。 【解答】解：（1）设水滴落下的时间间隔为T，根据自由落体运动规律可得h 代入数据解得T＝0.5s （2）第一滴水滴落地时，第三滴水下落的时间为T，则下落的高度为，解得＝1.25m 所以第三滴水距离地面的高度为Δh＝h﹣ 解得Δh＝10m （3）第一滴水滴落地时，第二滴水下落的时间为2T，则下落的高度为，解得＝5m 则第二滴水滴和第三滴水滴间的距离为＝﹣ 解得＝3.75m 答：（1）水滴落下的时间间隔为0.5s； （2）第一滴水滴落地时，第三滴水滴距离地面的高度为10m； （3）第一滴水滴落地时，第二滴水滴和第三滴水滴间的距离为3.75m。 7．在“验证自由落体运动规律”的物理实验课上，小明将一个红苹果从桌面由静止释放，苹果在重力作用下竖直自由下落（不计空气阻力）。请分析苹果下落过程中，下落位移h、下落速度v、下落时间t的图像关系，下列图像中符合实际规律的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：A、自由落体运动的初速度为零，加速度为重力加速度g，位移与时间的关系满足h，可知位移与时间的平方成正比，与时间不是成正比，故A错误； B、根据位移—速度公式可知＝2gh 则h 可知h与速度v不是成正比，故B错误； CD、自由落体运动的速度v＝gt，可知速度与时间成正比，故C正确，D错误。 故选：C。 8．“伽利略相信，自然界的规律是简洁明了的。他从这个信念出发，猜想落体一定是一种最简单的变速运动，而最简单的变速运动，它的速度应该是均匀变化的。但是，速度的变化怎样才算“均匀”呢？他考虑了两种可能：一种是速度的变化对时间来说是均匀的，即v与t成正比，例如每过1s，速度的变化量都是2m/s；另一种是速度的变化对位移来说是均匀的，即v与x成正比，例如每下落1m，速度的变化量都是2m/s。后来他发现，如果v与x成正比，将会推导出十分荒谬的结果。”某同学在阅读完该材料后引发了一系列的思考并写出了如下的结论，现在请你帮他判断下列哪些结论是正确的（　　） A．若v与x成正比，则v与t成正比 B．若v与x成正比，则物体运动后加速度a逐渐变小 C．若v与x成正比，且物体的初、末速度分别为1m/s、7m/s，则物体在该过程的中间位置速度为5m/s D．若v与x成正比，则物体静止释放后将悬浮在空中不会下落 【答案】D 【解答】解：AB、根据题意分析可知，若v与x成正比，可设v＝kx，则 可得a＝kv 由于物体运动起来后速度在增大，可知加速度在增大，速度与时间不成正比，故AB错误； C、根据题意分析可知，若v与x成正比，且物体的初、末速度分别为1m/s、7m/s，即＝，＝ 设物体在该过程的中间位置的速度为，又 可得，故C错误； D、根据题意分析可知，静止释放时，初速度为零，根据a＝kv可知此时加速度为零，没有加速度，在接下来很短的时间Δt内物体的速度变化量就是零，物体就会一直停在释放处，不会下落，故D正确。 故选：D。 9．如图所示，气球下面用细线吊着一个物体，从地面由静止释放后一起匀加速上升，＝6s时速度达到v＝20m/s，此时细线恰好断开。重力加速度大小g＝10，不计物体受到的空气阻力，在物体落地前的过程中，求： （1）物体离地面的最大高度h； （2）从气球被释放到物体再次落回地面的时间t； （3）气球被释放后，经时间＝10s时物体获得的速度。 【答案】（1）物体离地面的最大高度是80m； （2）从气球被释放到物体再次落回地面的时间是12s； （3）气球被释放后，经时间＝10s时物体获得的速度是20m/s，方向竖直向下。 【解答】解：（1）物体匀加速上升的加速度为 匀加速上升的高度为m＝60m 细线断开后，物体做竖直上抛运动，继续上升的高度m＝20m 物体离地面的最大高度h＝+＝60m+20m＝80m （2）细线断开后，物体从60m处开始运动，以向上为正方向，根据位移—时间公式，有 代入数据解得t′2＝6s；t″2＝﹣2s（舍去） 从气球被释放到物体再次落回地面的时间t＝+t′2＝6s+6s＝12s （3）前6s物体随气球匀加速上升，末速度v＝20m/s 后4s物体做竖直上抛运动，根据速度—时间公式，有v′＝v﹣＝20m/s﹣10×4m/s＝﹣20m/s 负号表示速度方向竖直向下，大小为20m/s。 答：（1）物体离地面的最大高度是80m； （2）从气球被释放到物体再次落回地面的时间是12s； （3）气球被释放后，经时间＝10s时物体获得的速度是20m/s，方向竖直向下。 10．2025年7月，在第11届自治区少数民族传统体育运动会上，赤峰市代表队的节目《舞龙》将跳绳与舞蹈结合，获得诸多好评。图甲为某人跳绳时的情况。起跳过程中，脚离地前，重心加速度与重心上升高度关系如图乙所示，脚离地后重心上升的最大高度为（取g＝10）（　　） A．0.15m B．0.20m C．0.30m D．0.40m 【答案】A 【解答】解：在起跳过程中，加速度a随位移x变化的图像与横轴所围成的面积表示速度平方的一半，即。 由图乙可知，脚离地前重心上升高度x＝0.20m，图像围成的三角形面积，则脚离地时的速度平方＝3/；脚离地后重心做竖直上抛运动，根据运动学公式，代入数据解得重心离地后继续上升的最大高度h＝0.15m，故A正确，BCD错误， 故选：A。 11．为了测量蹦床运动员跃起的高度，在弹性网上安装压力传感器记录弹性网所受的压力，作出图像如图所示。重力加速度g取10，不计空气阻力，则（　　） A．2.3∼4.3s时间内，平均速率为零 B．2.3∼4.3s时间内，速度变化量为零 C．2.3∼4.3s时间内，速度变化率为零 D．运动员跃起的最大高度是5.0m 【答案】D 【解答】解：A．根据F﹣t图像可知，在2.3∼4.3s内对蹦床的压力为零，即运动员在做竖直上抛运动，且竖直上抛时间为t＝4.3s﹣2.3s＝2s 根据竖直上抛运动的对称性可知，下落时间为 根据图像可知2.3s和4.3s，运动员虽然在同一位置，但2.3∼4.3s时间内路程不为零，平均速率也不为零，故A错误； B．2.3s和4.3s，速度大小相同，但方向相反，速度变化量不为零，故B错误； C．运动员离开蹦床后（在空中），只受重力，速度变化率（加速度）恒为 g，不为零，故C错误； D．由自由落体运动公式可知运动员跃起的最大高度为，故D正确。 故选：D。 12．某同学将弹性球从某高度处由静止释放，与地面碰撞（碰撞时间极短）后等速率反弹，再竖直向上运动，直至最高点，若空气阻力大小恒定，下列关于其运动过程的v﹣t图像、a﹣t图像，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：小球被释放后，先沿竖直方向向下做匀加速直线运动，与地面碰撞后反弹，转而向上做匀减速直线运动。 AB.在下落阶段，小球受到竖直向下的重力mg和竖直向上的空气阻力f，由牛顿第二定律可得mg﹣f＝ma 代入数据得其加速度 在上升阶段，小球受到竖直向下的重力mg和同样竖直向下的空气阻力f，由牛顿第二定律可得mg+f＝ 代入数据得其加速度 比较可知，＞。在v﹣t图像中，图线斜率代表加速度。若选定竖直向下为正方向，则下落过程中速度为正且均匀增大，对应图线斜率为；反弹后速度变为负值并均匀向零增大，对应图线斜率为。因为＞，所以上升阶段的图线应比下落阶段更陡峭。又由于上升与下落过程速度变化量大小相等，上升时间必然小于下落时间，故A正确，B错误； CD.在整个运动过程中，小球所受合力方向始终竖直向下，因此加速度方向也始终竖直向下。并且在反弹瞬间，由于空气阻力方向突变，加速度大小从突然增大为更大的。图像C显示加速度方向发生了改变，图像D显示加速度大小在减小，均与上述物理过程不符，故CD错误。 故选：A。 13．将一乒乓球从水平桌面上方水平抛出，从抛出至第二次接触桌面，其运动轨迹如图中虚线所示，忽略空气阻力和球与桌面碰撞的时间，此过程中乒乓球的竖直分速度v，随时间t变化的规律可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：A、图像中速度始终为正，不符合下落时速度方向向下（为负）的实际情况，故A错误； B、碰撞后速度大小没有变化，不符合碰撞有能量损失的实际情况，故B错误； C、而反弹的高度比之前要低一些，说明球与桌面碰撞有能量损失，则反弹的竖直分速度比落地的竖直分速度小一些，故C正确； D、第二次下落的初速度为0，不符合从最高点开始下落的实际情况，故D错误。 故选：C。 14．如图所示，t＝0时刻，长＝0.8m直管在其底端离地高＝3.2m处自由下落，此时在直管正下方的地面上有一小球以＝8m/s的初速度竖直上抛。已知小球的直径小于直管的直径，小球穿过直管时互不影响，重力加速度大小g＝10。下列说法正确的是（　　） A．ts时，直管刚好落地 B．t＝0.5s时，小球刚好穿过直管 C．小球在直管中的运动时间为0.4s D．直管落地时，小球的速度方向向下 【答案】B 【解答】解：A、直管刚好落地时的位移是3.2m，则落地的时间s＝0.8s，故A错误； BC、当小球刚进入金属管的底端时，由匀变速直线运动规律得 解得＝0.4s 小球刚到达金属管的上端时（小球刚好穿过直管时），由匀变速直线运动规律得 解得＝0.5s 小球在金属管内运动的时间Δt＝﹣ 代入数据解得Δt＝0.1s 故B正确，C错误； D、选取向上为正方向，直管刚好落地时小球的速度v＝﹣＝8m/s﹣10×0.8m/s＝0 可知直管刚好落地时小球恰好达到最高的，故D错误。 故选：B。 15．如图所示，小球甲从距离地面高度为h＝15m处以速度＝10m/s竖直向上抛出，同时小球乙从同一高度处以速度＝10m/s竖直向下抛出。已知小球运动的过程中均不计空气阻力，重力加速度取g＝10。若两小球落地后均能原速率反弹，当二者处于同一高度时视为相遇，则下列说法中正确的是（　　） A．小球乙落地前，乙球的速度比甲球的速度变化得更快 B．小球乙落地后，两小球的高度差一直增大 C．从一开始到小球乙落地前，两小球的速度差不断增大 D．在之后的运动过程中，两小球每隔2s都会相遇一次 【答案】D 【解答】解：A.小球乙落地前，两球加速度相同，两球速度变化一样快，故A错误； C.取向下为正方向，小球乙落地前，两球速度差为Δv＝（+gt）﹣（﹣+gt）＝2 代入数据得Δv＝20m/s，即在小球乙落地前，速度差不变，故C错误； BD.小球甲上升到最高点的时间为 代入数据得＝1s，小球乙落地时间为 代入数据得＝1s，小球乙落地时，小球甲恰好上升到最高点，小球乙落地后反弹向上运动时，小球甲向下运动，小球乙到达最高点时，小球甲落地，两个小球总是一个落地时，另一个一定位于最高点；以小球乙为参考系，小球甲一直在小球乙的上方，以20m/s的速率上升1s、下降1s，做往复运动，两小球每隔2s都会相遇一次；小球乙落地后，两小球的高度差，有时增大，有时减小，故B错误，D正确。 故选：D。 2027年高考物理一轮复习（人教版2019）· 江苏专用 · 专题03 自由落体和竖直上抛 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $