专题03 自由落体运动和竖直上抛运动 多过程问题 讲义- 2027届高考物理一轮复习模型精讲及课时精练

专题03 自由落体运动和竖直上抛运动 多过程问题 题型一 自由落体运动 2 题型二 竖直上抛运动 7 题型三 多过程问题 13 课时精练 19 【基础回顾】 1．自由落体运动 (1)定义：物体只在_重力__作用下从_静止__开始下落的运动。 (2)运动性质：初速度v0＝0、加速度为重力加速度g的_匀加速直线__运动。 (3)基本规律 ①速度与时间的关系式：v＝_gt__。 ②位移与时间的关系式：h＝ gt2　。 ③速度与位移的关系式：v2＝2gh。 (4)伽利略对自由落体运动的研究 ①伽利略通过_逻辑推理__的方法推翻了亚里士多德的“重的物体下落得快”的结论。 ②伽利略对自由落体运动的研究方法是逻辑推理―→猜想与假设―→实验验证―→合理外推。这种方法的核心是把实验和_逻辑推理__(包括数学演算)和谐地结合起来。 2．竖直上抛运动 (1)运动特点：初速度方向竖直向上，加速度为g，上升阶段做匀减速直线运动，下降阶段做_自由落体__运动。 (2)基本规律 ①速度与时间的关系式：v＝_v0－gt__。 ②位移与时间的关系式：h＝ v0t－gt2　。 ③速度与位移的关系式：v2－v＝－2gh 。 ④上升的最大高度：H＝ 　。 ⑤上升到最高点所用时间：t＝ 　。 题型一 自由落体运动 1．求解自由落体运动的两点注意 (1)可充分利用自由落体运动初速度为零的特点、比例关系及推论等规律解题。 a.从运动开始连续相等时间内的下落高度之比为1∶3∶5∶7∶… b.从运动开始一段时间内的平均速度＝＝＝gt c.连续相等时间T内的下落高度之差Δh＝gT2 (2)物体由静止开始的自由下落过程才是自由落体运动，从中间截取的一段运动过程不是自由落体运动，等效于竖直下抛运动，应该用初速度不为零的匀变速直线运动规律去解决此类问题。 2．自由落体运动和竖直上抛运动的相遇问题 (1)同时运动，相遇时间的确定 gt2＋v0t－gt2＝H，解得t＝，或a以b为参照物，a相对b向上做匀速运动H＝v0t，t＝。 (2)要使a、b相遇，a的初速度v0满足条件的确定 ①若在a球上升时两球相遇，则有t<，即<，解得v0>。 ②若在a球下降时两球相遇且相遇处在a球抛出点上方，则有<t<，即<<，解得<v0<。 【例题精讲】 1．（2025秋•青海期末）一个苹果从枝头由静止下落，若苹果在落地前0.4s内下落的高度为4m，取重力加速度大小g＝10m/s2，不计空气阻力，则苹果离开枝头时距地面的高度为（　　） A．5m B．6.05m C．7.2m D．9.8m 【答案】C 【解析】解：设苹果下落总时间为t，则总高度 落地前0.4s内下落高度为4m，即 代入数据得t＝1.2s 则苹果离开枝头时距地面的高度为，故ABD错误，C正确。 故选：C。 2．（2025秋•台州期末）钢球由静止开始做自由落体运动，落地时的速度为20m/s，下列说法正确的是（　　） A．下落的时间是4s B．下落的高度是40m C．第1s内的平均速度是10m/s D．最后1s内下落的高度是15m 【答案】D 【解析】解：A．根据自由落体运动公式，v＝gt代入数据解得，下落时间为ts＝2s，故A错误； B．根据自由落体运动公式2gh＝v2，代入数据解得hm＝20m，故B错误； C．下落1s时的平均速度vgt10×1m/s＝5m/s，故C正确； D．钢球在2s内下落的高度hgt210×22m＝20m，1s内下落的高度h110×12m，最后1s内下落的高度是20m﹣5m＝15m，故D正确； 故选：D。 3．（2025秋•汕尾期末）如图所示，B同学捏住直尺的顶端，A同学在直尺O刻度处做捏住直尺的准备，但手不碰到直尺。在B同学放手让直尺自由下落时，A同学立刻捏住直尺，读出其捏住直尺的刻度，就可估测A同学的反应时间。把刻度尺的长度刻度对应标注为“时间”刻度，它就变为“人的反应时间测量尺”，已知g取10m/s2，则关于该测量尺，下列说法正确的是（　　） A．长度刻度与时间刻度不成正比，20cm对应时间刻度0.2s B．长度刻度与时间刻度成正比，20cm对应时间刻度0.2s C．长度刻度与时间刻度不成正比，20cm对应时间刻度0.02s D．长度刻度与时间刻度成正比，20cm对应时间刻度0.02s 【答案】A 【解析】解：根据，可知长度刻度与时间刻度不成正比，刻度尺下落高度为20cm，对应时间刻度t，故A正确，BCD错误。 故选：A。 4．（2025秋•湖州期末）如图所示为某款“眼疾手快”玩具，该玩具的圆棒长度为0.25m。游戏者将手放在圆棒的正下方，保持拇指的夹持位置离圆棒下端的距离为1.25m。不计空气阻力，，以圆棒由静止释放时为0时刻，则游戏者能抓住圆棒的时刻可能是（　　） A．0.40s B．0.44s C．0.54s D．0.60s 【答案】C 【解析】解：圆棒下端下落位移h＝1.25m，由自由落体位移公式 则 圆棒上端到达手指位置的时间t2圆棒上端下落总位移h+L＝1.25m+0.25m＝1.5m 同理L 代入数据得t2≈0.55s，确定可抓住的时间区间游戏者能抓住圆棒的时刻需满足t1＜t＜t2，即0.5s＜t＜0.55s，故C正确，ABD错误。 故选：C。 5．（2025秋•天津期末）如图是必修第一册封面上的沙漏照片，为了进一步研究，小林同学找到一个沙漏，设A点为出沙口，B点在A点正下方20cm处（高于沙粒的堆积高度），若近似认为沙粒下落的初速度为0，忽略空气阻力，不计沙粒间的相互影响，设沙粒随时间均匀漏下，重力加速度g＝10m/s2。下列说法正确的是（　　） A．沙粒下落到B点时的速度大小为2m/s B．沙粒从A点下落到B点的时间为0.1s C．沙粒从A点下落0.05s和0.1s内的位移之比为1：3 D．沙粒从A点下落10cm和20cm时的速度之比为1：2 【答案】A 【解析】解：A、根据题意分析可知，沙粒下落到B点时，根据 代入数据解得vA′＝﹣1m/s，故A正确； B、根据题意分析可知，沙粒从A点下落到B点的时间为 代入数据解得t＝0.2s，故B错误； C、根据 代入数据解得沙粒从A点下落0.05s的位移大小为h1＝0.0125m 沙粒从A点下落0.1s的位移大小为h2＝0.05m 则，故C错误； D、根据题意分析可知，2gh＝v2 可得沙粒从A点下落10cm的速度大小为 沙粒从A点下落20cm的速度大小为v2＝2m/s 则，故D错误。 故选：A。 （多选）6．（2025秋•巴音郭楞州期末）甲、乙两物体从离地面相同高度处做自由落体运动，甲落地时的速度大小为30m/s，甲比乙重（g取10m/s2）。下列说法正确的是（　　） A．甲比乙先落地 B．乙下落的时间为3s C．甲、乙两物体是从离地面高度为20m处开始做自由落体运动的 D．甲物体在整个下落过程中的平均速度为15m/s 【答案】BD 【解析】解：A、物体做自由落体运动，下降的高度为，自由落体运动所用的时间只与高度有关，因此两物体同时落地，故A错误； B、两物体运动情况相同，时间，故B正确； C、高度，故C错误； D、甲物体在整个下落过程中的平均速度，故D正确。 故选：BD。 （多选）7．（2025秋•朝阳区期末）如图所示，两位同学在教学楼上做自由落体实验，甲同学在三、四楼交接处先将小球A释放，当下落距离为h时，乙同学在二、三楼交接处将小球B释放，小球B释放时间t后，两球恰好同时落地。小球A、B不在同一条竖直线上，每层楼高度相等，不计空气阻力，重力加速度为g。下列说法中正确的是（　　） A．小球A经过每层楼的时间之比为1：3：5 B．甲同学释放点离地高度为 C．在下落的过程中，A、B间高度差随时间均匀变化 D．若两位同学均各上一层楼重做以上实验，需要增大h，两小球才能同时落地 【答案】BC 【解析】解：A、小球A做自由落体运动，，初速度为0，经过相等位移的时间比为，故A错误； B、有 小球A下落h所用时间为t1， 解得 小球A下落的总时间为t′＝t+t1 下落的总高度为，故B正确； C、小球A做自由落体运动，， 在下落的过程中，A、B间高度差为 A、B间高度差随时间均匀变化，故C正确； D、设每层楼高度为l，则有 若二人再各上升一层楼做同样实验，有 根据数学知识可知 应减小h，两小球才能同时落地，故D错误。 故选：BC。 题型二 竖直上抛运动 1．竖直上抛运动的两种研究方法 分段法 上升阶段：a＝g的匀减速直线运动 下降阶段：自由落体运动 全程法 初速度v0向上、加速度g向下的匀变速直线运动，v＝v0－gt，h＝v0t－gt2(以竖直向上为正方向)； 若v>0，物体上升，若v<0，物体下落； 若h>0，物体在抛出点上方，若h<0，物体在抛出点下方 2．竖直上抛运动的多解性：当物体经过抛出点上方某个位置时，可能处于上升阶段，也可能处于下降阶段，形成多解，在解决问题时要注意这个特性。 3．竖直上抛运动的对称性 如图所示，物体以初速度v0竖直上抛，A、B为途中的任意两点，C为最高点，则： (1)时间对称性：物体上升过程中从A→C所用时间tAC和下降过程中从C→A所用时间tCA相等，同理有tBC＝tCB。 (2)速度对称性：物体上升过程经过A点的速度与下降过程经过A点的速度大小相等，方向相反。 【例题精讲】 1．（2026•市南区校级二模）一小球以初速度v0做竖直上抛运动，第4s内的位移大小为2m，则小球的初速度可能是（　　）（g＝10m/s2） A．33m/s B．34m/s C．35m/s D．36m/s 【答案】A 【解析】解：竖直上抛运动是匀变速直线运动，其位移表达式为。前4秒内的位移为，前3秒内的位移为。第4秒内的位移Δx4＝x（4）﹣x（3）＝（4v0﹣80）﹣（3v0﹣45）＝v0﹣35。已知|Δx4|＝2m，因此|v0﹣35|＝2，解得：v0＝37m/s或v0＝33m/s。故A正确，BCD错误。 故选：A。 2．（2026•淄博一模）对跳蚤和跳蚤仿生机器人原地竖直起跳的研究。原地起跳时，先屈腿下蹲，然后突然蹬地。从开始蹬地到离地是加速过程（视为匀加速），加速过程中重心上升的时间称为“加速时间”。离地后重心继续上升，此过程中重心上升的最大距离称为“竖直高度”。已知跳蚤的“加速时间”为0.8ms，上跳的“竖直高度”为0.25m。若机器人具有与跳蚤相等的起跳加速度，“加速时间”为1.6ms。不计空气阻力，则机器人上跳的“竖直高度”为（　　） A．2m B．1.5m C．1m D．0.5m 【答案】C 【解析】解：设跳蚤加速过程加速度为a1，时间为t1，刚离地时速度为v1。机器人加速过程加速度为a2，时间为t2，刚离地速度为v2。 则v1＝a1t1，v2＝a2t2 依题意有a1＝a2，则v1：v2＝t1：t2＝0.8：1.6＝1：2 跳蚤上跳过程，有h1 机器人上跳过程，有h2 则h1：h2：1：22＝1：4 解得机器人上跳的“竖直高度”为h2＝1m，故ABD错误，C正确。 故选：C。 3．（2026•天心区校级开学）小球以某一速度竖直上抛，在上升过程中，小球在最初1s内的上升高度是其上升过程正中间1s内上升高度的倍，不计空气阻力，重力加速度g＝10m/s2，则下列说法正确的是（　　） A．小球上升的时间为5s B．小球上升的最大高度为 C．小球中间1s内上升的高度为20m D．小球最初1s内上升的高度为5m 【答案】B 【解析】解：ACD、设小球的初速度为v0，最初1s内小球上升高度为 设上升时间内正中间1s内的平均速度为v1，该速度也是上升过程中全程的平均速度，则有 则中间1s内小球上升高度为 又B 联立解得v0＝25m/s 故小球上升的时间s＝2.5s 小球中间1s内上升的高度为m＝12.5m 小球最初1s内上升的高度为20m，故ACD错误； B、小球上升的最大高度为Hmm，故B正确。 故选：B。 4．（2026•城关区校级开学）如图所示，小球甲从距离地面高度为h＝15m处以速度v0＝10m/s竖直向上抛出，同时小球乙从同一高度处以速度v0＝10m/s竖直向下抛出。已知小球运动的过程中均不计空气阻力，重力加速度取g＝10m/s2。若两小球落地后均能原速率反弹，当二者处于同一高度时视为相遇，则下列说法中正确的是（　　） A．小球乙落地前，乙球的速度比甲球的速度变化得更快 B．小球乙落地后，两小球的高度差一直增大 C．从一开始到小球乙落地前，两小球的速度差不断增大 D．在之后的运动过程中，两小球每隔2s都会相遇一次 【答案】D 【解析】解：A.小球乙落地前，两球加速度相同，两球速度变化一样快，故A错误； C.取向下为正方向，小球乙落地前，两球速度差为Δv＝（v0+gt）﹣（﹣v0+gt）＝2v0 代入数据得Δv＝20m/s，即在小球乙落地前，速度差不变，故C错误； BD.小球甲上升到最高点的时间为 代入数据得t1＝1s，小球乙落地时间为 代入数据得t2＝1s，小球乙落地时，小球甲恰好上升到最高点，小球乙落地后反弹向上运动时，小球甲向下运动，小球乙到达最高点时，小球甲落地，两个小球总是一个落地时，另一个一定位于最高点；以小球乙为参考系，小球甲一直在小球乙的上方，以20m/s的速率上升1s、下降1s，做往复运动，两小球每隔2s都会相遇一次；小球乙落地后，两小球的高度差，有时增大，有时减小，故B错误，D正确。 故选：D。 5．（2025秋•晋城期末）如图所示，小球甲从距离水平地面h高度处自由下落，同一时刻，小球乙从水平地面上以某一初速度开始做竖直上抛运动，上升过程中的最大高度为h。已知重力加速度为g，则当甲、乙两小球处于同一高度时，下列说法正确的是（　　） A．甲、乙两小球距离地面的高度为 B．甲、乙两小球距离地面的高度为h C．甲、乙两小球速度大小均为 D．甲、乙两小球的速度大小不一定相等 【答案】B 【解析】解：AB、甲做自由落体运动，乙做竖直上抛运动，由于甲下落过程的高度与乙上升的最大高度相等，所以甲、乙落地时的速度相等，即乙做竖直上抛运动的初速度大小等于甲落地时的速度大小，大小为 同时甲与乙相遇时，乙上升的时间与甲下落的时间相等，设为t。 以甲为参考系，则甲、乙相遇时间t 相遇甲下降的距离为 联立可得 所以甲、乙两小球距离地面的高度 故A错误，B正确； CD、根据竖直上抛运动的对称性，结合前面的分析，可知二者相遇时速度一定大小相等，都是v，故CD错误。 故选：B。 （多选）6．（2025秋•钦州期末）笛音雷是人们在节日时放的一种鞭炮，一颗笛音雷点着后，以10m/s的初速度竖直向上离开地面，并以5m/s2的加速度加速运动了2s后助推火药燃尽，继续做竖直上抛运动。不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2，则下列说法正确的是（　　） A．助推火药燃尽时，笛音雷的速度大小为20m/s B．助推火药燃尽时，笛音雷的速度大小为30m/s C．笛音雷离地面的最大高度为50m D．笛音雷离地面的最大高度为30m 【答案】AC 【解析】解：AB．根据匀变速直线运动速度—时间关系可得v1＝v0+at1＝10m/s+5×2m/s＝20m/s，故A正确，B错误； CD．根据平均速度公式可得匀加速阶段位移大小为 竖直上抛阶段位移大小为 所以笛音雷离地面的最大高度为h＝x1+x2，解得h＝50m，故C正确，D错误。 故选：AC。 （多选）7．（2025秋•青羊区校级期末）“抓子”是一种中国民间的常见游戏，其玩法是：将小石子以某一初速度竖直上抛，然后迅速用同一只手将地面若干石子捡起，最后将抛出的石子在落地前瞬间接住。如图所示，某时刻当甲石子自由下落的同时，乙石子以初速度v0竖直向上抛出，此时甲乙两石子间距为H，不计空气阻力，重力加速度为g，则下列判断正确的是（　　） A．甲石子下落过程中，前半程和后半程运动的时间之比为1：3 B．乙石子从抛出到返回地面的运动时间为 C．乙石子抛出初速度无论多大都能和甲在空中相遇 D．两石子若能在空中相遇，相遇时间一定为 【答案】BD 【解析】解：A、甲下落前时： 可得 甲落地时：H 可得 前半程和后半程运动的时间之比为，故A错误； B、乙石子达到最高的时间 结合竖直上抛运动的对称性，可得乙石子从抛出到返回地面的运动时间为t＝2t0，故B正确； C、两石子若能在空中相遇，则甲落地的时间一定要相遇乙落地的时间，即 可得 故C错误； D、两石子若能在空中相遇，则相遇时满足H 可得t 故D正确。 故选：BD。 题型三 多过程问题 两个自由落体，或两个竖直上抛或一个自由落体和一个竖直上抛结合的问题。 【例题精讲】 1．（2026•哈尔滨校级开学）如图所示，空中有A、B两个小球的初始高度差为h1。先将小球A由静止释放，当A下落高度为h2时，再将小球B由静止释放，结果小球B经过时间t，两小球同时落到地面上。重力加速度为g，不计空气阻力，则小球B经过的时间t为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：小球A自由下落h2的过程，由自由落体位移公式有 设小球B距离地面高度为h0，从静止释放后经时间t落地，由自由落体位移公式有 小球A的总下落高度为初始高度差h1与小球B的下落高度h0之和，小球A的总下落时间为t+t1，根据自由落体位移公式有 解得，故B正确，ACD错误。 故选：B。 2．（2026•庐阳区校级模拟）如图所示，直杆长L1＝2.2m，圆筒高L2＝1.8m，直杆位于圆筒正上方H＝3.2m处。圆筒离地面足够高，直杆从静止开始自由下落，并能竖直无接触穿过圆筒。g取10m/s2，忽略空气阻力，由此可知（　　） A．直杆开始自由下落到下端刚好到达圆筒A端高度时经历的时间为1s B．直杆穿过圆筒所用的时间为0.5s C．若直杆下端刚好到达圆筒A端高度时，同时释放圆筒自由下落，则直杆穿过圆筒的时间为0.5s D．若直杆开始自由下落的同时，将圆筒以4m/s的初速度竖直上抛，则在圆筒达到最高点时，直杆下端刚好与圆筒A端处于同一高度 【答案】C 【解析】解：A．直杆下端到圆筒A端的下落高度为H＝3.2m，可得自由落体的时间s＝0.8s，故A错误； B．直杆上端刚好穿出圆筒时总下落高度为H总＝L1+H+L2＝2.2m+3.2m+1.8m＝7.2m，可得自由落体的时间s＝1.2s，直杆穿过圆筒所用的时间为Δt＝t2﹣t1＝1.2s﹣0.8s＝0.4s，故B错误； C．直杆下端到达A端时速度v杆＝gt1＝10×0.8m/s＝8m/s，释放圆筒后两者均存在竖直向下的重力加速度g，以圆筒为参考系直杆做匀速运动，穿过圆筒的时间为s＝0.5s，故C正确； D．若直杆开始自由下落的同时，将圆筒以v筒＝4m/s的初速度竖直上抛，圆筒达到最高点用时s＝0.4s，该段时间内圆筒上升高度为m＝0.8m，直杆下降高度为0.42m＝0.8m，可知直杆下端与圆筒A端相距1.6m，故D错误。 故选：C。 3．（2025秋•裕华区校级月考）将质量为m的小球甲和质量为2m的小球乙，分别从离地高度为h、2h处同时由静止释放，不计空气阻力和小球与地面碰撞的时间，碰撞后小球速度大小不变。则下列说法正确的是（　　） A．甲乙两球空中下落的加速度比之等于1：2 B．甲乙第一次落地时速度大小之比等于1：2 C．甲乙与地面第一次碰撞前下落的时间之比为1：4 D．从开始下落计时t时两球第一次在空中相遇 【答案】D 【解析】解：A．不计空气阻力，小球做自由落体运动，加速度都等于重力加速度，故加速度相等，故A错误； B．根据公式v2＝2gh，可知落地速度之比为，故B错误； C．根据 可知下落时间之比为，故C错误； D．甲先落地，速度大小为v，此时乙的速度也是v，乙球下落高度也是h，设再经过Δt 两者相遇，则h 其中v2＝2gh 解得 根据 可知甲下落h所用时间t1 故相遇时间为t＝t1+Δt 故D正确。 故选：D。 4．（2025秋•新建区校级月考）一长为L的金属管从地面以v0的速率竖直上抛，管口正上方高h（h＞L）处有一小球同时自由下落，金属管落地前小球从管中穿过。已知重力加速度为g，不计空气阻力。关于该运动过程说法错误的是（　　） A．若小球刚好在管上升最高点穿过管，则 B．若小球在管刚着地时穿管，则 C．若小球在管上升阶段穿过管，则 D．只要v0大小合适，小球就可以在管下降阶段穿过管 【答案】C 【解析】解：A.若小球刚好在管上升最高点穿管金属管上升到最高点的时间为t1 此时金属管的高度为h管 小球刚好在管最高点穿管时，满足h管+h球＝h+L 代入得数据v0，故A正确； B.若小球在管刚落地时穿管金属管落地的时间为t2 此时金属管的位移为0，小球下落的高度为h球g 满足h球＝h+L，代入数据得v0，故B正确； C.若小球在管上升阶段穿管，管上升阶段的时间范围是0＜t 小球下落高度h管gt2 管上升高度h管＝v0tgt2 穿管时满足h管+h球＝h+L，且t 代入数据得v0，故C错误； D.只要v0大小合适，小球就可以在管下降阶段穿管，管下降阶段的时间范围是t，结合选项B的结论，当 v0且v0时，小球会在管下降阶段穿管，故D正确。 故选：C。 5．（2025秋•鼓楼区校级期中）一长为L＝0.45m的金属管从地面以2m/s的速率竖直上抛，管在运动过程中保持竖直，管口正上方高h处有一小球同时自由下落，已知重力加速度g＝10m/s2，不计空气阻力，若金属管落地前小球从管中穿过，则h可能是（　　） A．0.3m B．0.4m C．0.5m D．0.6m 【答案】A 【解析】解：设金属管从抛出到落地的时间为t，以向上为正方向，根据竖直上抛运动位移公式有（地面为原点），代入，解得t＝0.4s（t＝0舍去）。 小球自由下落的位移为（小球从h处下落，穿过长度为L的金属管），代入L＝0.45m，t＝0.4s，解得h＝0.35m。 要使金属管落地前小球从管中穿过，h需小于0.35m，故A正确，BCD错误。 故选：A。 （多选）6．（2025秋•市南区校级月考）如图所示，AB为空心圆管、C为可视为质点的小球，AB长度为L＝0.2m，AB与C在同一竖直线上，AC之间距离为h＝0.8m。零时刻，AB做自由落体运动，C从地面以初速度v0开始做竖直上抛运动，g取10m/s2。若圆管、小球落地后均不反弹。则下列说法中正确的是（　　） A．若要使小球在AB落地前从B端穿过AB，则v0应至少为2.5m/s B．若要使小球在上升过程中从B端穿过AB，则v0应至少为3m/s C．若v0＝4m/s，则共有三个时刻小球C与圆管A端距离为0.2m D．若v0＝5m/s，则稍降低AC之间距离h后，小球C向上穿过AB的用时将变短 【答案】AC 【解析】解：A．在AB落地前，小球与AB空心圆管的加速度均为重力加速度，则小球相对于AB空心圆管向上做速度为v0的匀速运动，小球从地面到穿过AB所用时间为 AB空心圆管做自由落体运动的时间为s 若要使小球在AB落地前从B端穿过AB，则有t0≤t1 联立解得v0≥2.5m/s，故A正确； B．小球上升的时间为 若要使小球在上升过程中从B端穿过AB，则有t0≤t2 联立解得，故B错误； C．若v0＝4m/s，则小球从地面到穿过AB所用时间为s＝0.25s＜0.4s 可知小球在圆管A端下面时，存在一时刻小球C与圆管A端距离为0.2m，小球相对圆管向上经过B端和向下经过B端时刚好与圆管A端距离为0.2m，故C正确； D．若v0＝5m/s，则有s＝0.2s＜0.4s 小球在圆管落地前已经穿过AB，由于穿过过程小球相对于圆管做匀速运动，从A端穿过AB的所用时间为s＝0.04s 可知稍降低AC之间距离h后，小球C从A端穿过AB的用时将不变，故D错误。 故选：AC。 （多选）7．（2024秋•天心区校级期末）如图所示，小球甲从距地面高为H处由静止下落，同时小球乙以初速度v0＝2竖直向上抛出，已知两小球在以后的运动过程中不计空气阻力，两小球与地面碰撞后均以碰前的速度大小竖直反弹，不计碰撞时间，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．则当小球甲距地面高度为时，乙距地面的高度可能为H B．当t＝2n（n为正整数）甲、乙两球都回到初始位置 C．则当小球甲距地面高度为时，乙距地面的高度有4种不同的值 D．则当小球甲距地面高度为时，乙距地面的高度最大值为 【答案】AD 【解析】解：由于乙的初速度大小为，根据v0＝gt可得乙向上运动速度为0时的时间为2。 假设小球甲距地面高度为时，速度方向竖直向下，则运动时间为；根据运动学公式可得乙距地面的高度。 假设小球甲距地面高度为时，速度方向竖直向上，则向下运动的时间为，落到地面速度大小为；上升到时，碰撞后均以碰前的速度大小竖直反弹，根据，解得；运动时间为，或。当t＞t总，可知乙此时间段向上运动，则根据运动学公式可得乙距地面的高度；当t≤t总，可知乙此时间段向下运动，则根据运动学公式可得乙距地面的高度。故AD正确，BC错误。 故选：AD。 课时精练 一．选择题（共8小题） 1．（2025秋•宜春期末）2025年11月19日，清华学子邵雨琪在第十五届全运会女子跳高决赛中获得金牌，若起跳过程中，其重心上升的高度约为1m，请估算她起跳离地时，竖直向上速度最接近的数值为（　　） A．2.5m/s B．3.5m/s C．4.5m/s D．5.5m/s 【答案】C 【解析】解：起跳后运动员在竖直方向的运动可以看成竖直上抛运动，由竖直上抛运动的规律 解得vmm/s≈4.5m/s，故C正确，ABD错误。 故选：C。 2．（2025秋•石家庄月考）一小球（可视为质点）从一定高度处由静止释放，利用曝光周期为T的频闪相机对下落的小球拍照，如图所示，照片中1、2间的距离为2.94cm，3、4间的距离为6.86cm，照片中相邻两球之间的高度与小球下落的实际高度之比为1：20，忽略空气阻力，重力加速度g取9.8m/s2。则下列说法正确的是（　　） A．图中的1位置为小球的释放点 B．位置2、3间的实际高度为4.9cm C．曝光周期T＝0.2s D．小球在位置3的速度大小为3.92m/s 【答案】C 【解析】解：AB.由题意可知，小球从释放点开始做自由落体运动，则由匀变速直线运动的推论可知x21﹣x12＝x14﹣x23 代入数据得x23＝4.90cm，则位置2、3间的实际距离为h23＝20x23 代入数据得h23＝98.0cm，设小球在位置1的速度大小为v1，由速度公式得v3＝v1+g2T 代入数据得v1＝1.96m/s，显然图中的1位置不是小球的释放点，故AB错误； C.1、2间的实际高度为h12＝20x12 代入数据得h12＝58.8cm，3、4间的实际高度为h34＝20x34 代入数据得h34＝137.2cm，由匀变速直线运动的推论得 代入数据得 T＝0.2s，故C正确； D.小球在位置3的速度大小为，故D错误。 故选：C。 3．（2025秋•青岛期末）拧开流量恒定的水龙头后，发现水流不太大时，连续流出的水会形成一稳定的水柱，如图所示。流量是指单位时间内流过某一横截面水的体积，其数值为横截面的面积与流过该截面时速度的乘积。已知水龙头出口处水的速度为1m/s，横截面积为S，水龙头距地面高度为40cm，重力加速度g＝10m/s2，不计空气阻力，则水到达地面时水柱的横截面积为（　　） A． B． C． D．S 【答案】B 【解析】解：由自由落体运动规律可得：，解得水落地时的速度为：，设水落地瞬间的水柱的横截面积为S′，由题意：拧开水龙头，水向下流出的过程中流量处处相等，可知，v1St＝v2S′t，解得：，故B正确，ACD错误。 故选：B。 4．（2025秋•百色期末）某探险队为了测量一天坑深度，在坑口由静止释放一小铃铛，同时用传感器记录从释放时到接收小铃铛撞击坑底声音信号的时间为t＝5s。已知声速为340m/s，g取10m/s2，，忽略空气阻力，则天坑深度约为（　　） A．125m B．170m C．120m D．110m 【答案】D 【解析】解：设天坑深度为h，小铃铛自由下落时间为t1，声音传播时间为t2，由题意知总时间t1+t2＝5s 铃铛自由下落，声音传播h＝v声t2＝340t2 代入数据得t1≈4.68 s，另一个根为负值，舍弃。 根据 代入数据得h≈110m，故D正确，ABC错误。 故选：D。 5．（2025秋•岳阳期末）如图所示，直杆长L1＝2.2m，圆筒高L2＝1.8m，直杆位于圆筒正上方H＝3.2m处。圆筒离地面足够高，直杆从静止开始自由下落，并能竖直无接触穿过圆筒。g取10m/s2，忽略空气阻力，由此可知（　　） A．直杆开始自由下落到下端刚好到达圆筒A端高度时经历的时间为1s B．直杆穿过圆筒所用的时间0.5s C．若直杆下端刚好到达圆筒A端高度时，同时释放圆筒自由下落，则直杆穿过圆筒的时间为0.5s D．若直杆开始自由下落的同时，将圆筒以4m/s的初速度竖直上抛，则在圆筒达到最高点时，直杆下端刚好与圆筒A端处于同一高度 【答案】C 【解析】解：直杆做自由落体运动，其下端抵达A点时下落高度为H＝3.2m。 由，解得下落时间t1＝0.8s 此时直杆的速度为v1＝gt1，解得：v1＝8m/s 当直杆完全穿过圆筒时，其上端到达圆筒底部，总下落位移h2＝L1+H+L2，解得：h2＝7.2m 根据，解得t2＝1.2s AB、根据分析，直杆下端到达A点历时0.8s，其穿过圆筒的时间为Δt＝t2﹣t1，解得：Δt＝0.4s，故AB错误； C、若在直杆下端到达A点时释放圆筒，两者加速度均为g，处于相对匀速运动状态，相对速度保持v相对＝8m/s不变，直杆下端穿过圆筒的相对位移为h3＝L1+L2＝4m。 由，解得：t＝0.5s，故C； D、假设直杆下落同时圆筒竖直上抛，设经时间t'两者相遇，位移关系满足H＝v0t'，解得t'＝0.8s，而圆筒上升至最高点的时间，解得：t高＝0.4s，两者时间不匹配，表明圆筒抵达最高点时两者不在同一高度，故D错误。 故选：C。 6．（2025秋•西安校级月考）科研气球下方用细线悬挂一探测仪，从地面静止释放后一起竖直向上做匀加速直线运动，经过时间t后细线断裂，探测仪脱落，再经过相同时间t探测仪落回地面。空气阻力不计，重力加速度大小为g。则（　　） A．细线断裂前气球的加速度大小为 B．细线断裂前气球的加速度大小为 C．细线断裂时探测仪的速度大小为 D．探测仪落地时的速度大小为 【答案】A 【解析】解：根据题意分析可知，断裂前，探测仪与气球一起匀加速上升，初速度为0，时间为t，加速度为a，根据匀变速直线运动的位移公式有，位移 断裂时速度v＝at 断裂后，探测仪以初速度v＝at做竖直上抛运动，时间为t，加速度为﹣g。位移公式 总位移需满足x1+x2＝0（落回地面） 即 解得 断裂时速度 落地时速度 大小为，故A正确，BCD错误。 故选：A。 7．（2025秋•扬州期末）如图所示，悬停在空中的无人机释放一重物，当重物下落的距离分别为1m、4m、9m时，所用时间分别为ta、tb、tc，不计空气阻力，则（　　） A．ta：tb：tc＝1：4：9 B．ta：tb：tc＝1：3：5 C．ta：tb：tc＝1：9：25 D．ta：tb：tc＝1：2：3 【答案】D 【解析】解：根据自由落体运动规律 解得 即，故ABC错误，D正确。 故选：D。 8．（2025秋•市南区校级月考）小洋同学在一次观看跳水比赛时，想到了一些问题。他做了如下假设：比赛时，将运动员看作1.6m长的竖直细杆，离开跳台后在空中做竖直上抛运动（不考虑起跳时跳台的形变，且下落过程中运动员不会与跳台相撞），整个运动过程中始终保持竖直方向，不转动。运动员在距水面10m的跳台向上跳起，离开跳台时速度v0＝5m/s。该同学上网查得重力加速度大小10m/s2，且运动员从接触水面到身体全部入水过程视为做减速直线运动，其速度与入水深度关系为，（其中l为运动员的身长，h为入水的长度，v1为入水时的速度）；身体全部入水后做匀减速直线运动，加速度大小为25m/s2，直到停止时触底。下列说法正确的是（　　） A．运动员到达最高点时离跳台的距离为1m B．运动员身体全部入水时的速度为7m/s C．运动员起跳到最高点到时间0.2s D．运动员从起跳至到达池底的过程中，全程的平均速度约为5.17m/s 【答案】D 【解析】解：A.根据速度一位移公式有 运动员到达最高点时人的最高点离跳台的距离代入数据得h1＝1.25m，故A错误； B.人的最高点离水面的距离为h'＝h1+h0 运动员刚入水时速度 身体全部入水时的速度 代入数据得v＝7.5m/s，方向向下，故B错误； C.运动员起跳到最高点到时间 运动员从最高点落至水面时的时间 代入数据得t1＝1.5s，故C错误； D.运动员从接触水面到身体全部入水过程，由每一小段时间 累加而成，即做图像，利用图像的面积可得时间t，由 整理得可知图像为一次函数 由图中梯形得面积可求得，身体全部入水后做匀减速直线运动，运动员的位移为 代入数据得x＝1.125m 时间为 代入数据得t3＝0.3s 综上所述全程平均速度为 代入数据得5.17m方向向下，故D正确。 故选：D。 二．多选题（共3小题） （多选）9．（2025秋•罗山县期末）库里在训练中进行定点罚球竖直抛球练习，将篮球从离手高度处竖直上抛，经过时间t后在同一位置接住篮球。不计空气阻力，重力加速度为g，取竖直向上为正方向，篮球从抛出到再被接住的过程中，下列说法正确的是（　　） A．篮球上升的最大距离为 B．篮球抛出时的速度大小为 C．篮球速度的变化量为gt D．篮球的平均速率为 【答案】BC 【解析】解：A、篮球从抛出到再被接住的过程的时间是t，结合竖直上抛运动的对称性可知上升的时间和下降的时间都是，则篮球上升的最大距离h，故A错误； B、篮球上升到最高的速度为零，则初速度v＝g，故B正确； C、篮球在空中的时间为t，则速度的变化量Δv＝gt，故C正确； D、根据竖直上抛运动的对称性可知，篮球落回手中时的路程s＝2h，所以平均速率，故D错误。 故选：BC。 （多选）10．（2025秋•滨海新区期末）排球自O点竖直向上抛出，到最高点后又返回O点，用频闪照相机分别对其上升和下落过程进行拍摄，频闪照片如图所示，图中相邻两球的时间间隔相同。已知排球上升和下落过程均做匀变速直线运动，t1和t2分别表示两过程所用的时间，a1和a2表示两过程球的加速度大小，则（　　） A．上升过程物体所受合力向上 B．下落过程物体所受合力向下 C． D． 【答案】BD 【解析】解：AB、由题可知，上升过程排球做减速运动，a1方向与v1相反，同理知a2方向与v2相同，a1、a2均向下，所以上升过程和下落过程物体所受合力都向下，故A错误，B正确； CD、球在上升和下落阶段运动时间分别为t1和t2，由题图可知t1：t2＝3：4，即 上升阶段有h 下落阶段有h 代入数据得，故C错误，D正确。 故选：BD。 （多选）11．（2025秋•达州期末）一根长L＝0.8m的棒，上端悬挂在天花板上的O点，在棒的正下方，距棒的下端也为L＝0.8m处固定着一个高H＝3.4m的空心圆筒。如图所示，现将棒由静止释放（视为自由落体运动），重力加速度g取10m/s2，则（　　） A．棒的上端到达圆筒上端时棒的速度v1＝4m/s B．棒的上端穿出圆筒瞬间棒的速度v2＝10m/s C．棒穿过圆筒所用的时间t＝0.6s D．若改用长L′＝1.6m棒，则从O点静止释放到穿出圆筒过程所用时间更短 【答案】BC 【解析】解：A．棒的上端到达圆筒上端时，棒的位移为2L，根据自由落体运动速度—位移公式2gh＝4gL 代入数据得v1＝4m/s，故A错误； B．棒的上端穿出圆筒瞬间，棒的位移为2L+H，根据自由落体运动速度—位移公式2gh′＝2g（L+H） 代入数据得v2＝10m/s，故B正确； C．棒的下端到达圆筒上端时，棒的位移为L，根据自由落体运动位移—时间公式L 代入数据得t1＝0.4s；棒的上端穿出圆筒瞬间速度v2＝10m/s，根据自由落体运动速度—时间公式v2＝gt2 代入数据得t2＝1s；棒穿过圆筒所用的时间t＝t2﹣t1 代入数据得t＝0.6s，故C正确； D．若改用长L＝1.6m棒，从O点静止释放到穿出圆筒过程，棒的位移仍为1.6m+3.4m＝5m，根据自由落体运动位移—时间公式5m 代入数据得t3＝t2＝1s，故D错误； 故选：BC。 三．解答题（共3小题） 12．（2026•九台区校级开学）升降机以大小为5m/s的速度v匀速竖直上升，升降机内的天花板上有一个螺丝帽突然松脱，脱离天花板。已知升降机天花板到其地板的高度为h＝3.2m，重力加速度g取10m/s2，不计空气阻力。求： （1）螺丝帽上升的时间； （2）螺丝帽上升至最高点时，螺丝帽与升降机的地板之间的距离； （3）螺丝帽落到地板上时，升降机的地板上升的位移。 【答案】（1）螺丝帽上升的时间是0.5s； （2）螺丝帽上升至最高点时，螺丝帽与升降机的地板之间的距离是1.95m； （3）螺丝帽落到地板上时，升降机的地板上升的位移是4m。 【解析】解：（1）螺丝帽脱落后做竖直上抛运动，则：ts＝0.5s （2）螺丝上升至最高点时的位移为：h1m＝1.25m 此过程中升降机的位移：h2＝v0t＝5×0.5m＝2.5m 螺丝上升至最高点时，螺丝与升降机的地板之间的距离：Δh＝h﹣h2+h1＝3.2m﹣2.5m+1.25m＝1.95m （3）以地面为参考系，螺丝帽松脱后的初速度v0＝5m/s，做竖直上抛运动，设经时间t′螺丝帽落到升降机的地板上，则： 升降机的位移：x1＝vt′ 螺丝帽的位移：x2＝vt′ 又：x1﹣x2＝h 解得：t′＝0.8s，x1＝4m 答：（1）螺丝帽上升的时间是0.5s； （2）螺丝帽上升至最高点时，螺丝帽与升降机的地板之间的距离是1.95m； （3）螺丝帽落到地板上时，升降机的地板上升的位移是4m。 13．（2025秋•市南区校级月考）如图为我校举办的篮球比赛中抢发球场景，裁判将篮球从距地面h0＝1.25m处向上抛起（视为竖直上抛），学生稍后向上起跳将下落中的篮球拍向队友，为了更快拍到球需在自身起跳达到最高处时刚好碰到篮球。已知篮球被抛出时的初速度v0＝7m/s，学生静态摸高h1＝2m，跳起后摸高h2＝2.45m、忽略空气阻力，g取10m/s2。求： （1）学生跳至最高点的时间？ （2）为了更快拍到球学生需在裁判抛球后多久起跳？ 【答案】（1）学生跳至最高点的时间为0.3s； （2）为了更快拍到球学生需在裁判抛球后0.9s起跳。 【解析】解：（1）根据题意有 代入数据得t1＝0.3s； （2）篮球上升的最大距离为h0'，则根据速度—位移关系可知h0' 代入数据得h0′＝2.45m。球至最高点时间为t2，有v0＝gt2学生恰好在跳至最高处拍球，球下降的时间为t3，有 学生起跳延时时间为Δt＝t2+t3﹣t1 代入数据得Δt＝0.9s。 答：（1）学生跳至最高点的时间为0.3s； （2）为了更快拍到球学生需在裁判抛球后0.9s起跳。 14．（2025秋•镜湖区校级期末）从离地面高45m处，每隔0.5s由静止依次释放A、B、C三个小球。小球可看成质点，空气阻力不计，重力加速度g＝10m/s2。求： （1）小球A经过多长时间落地？ （2）在A落地前，A、C间最大距离是多少？ （3）小球C下落后经过多长时间小球A、B间与小球A、C间距离之比hAB：hAC＝3：5。 【答案】（1）小球A经过3s时间落地； （2）在A落地前，A、C间最大距离是25m； （3）小球C下落后经过0.75s时间小球A、B间与小球A、C间距离之比hAB：hAC＝3：5。 【解析】解：（1）小球A做自由落体运动，由自由落体运动规律可得：，解得：； （2）由题意可知，设C下落时间为t，则A下落时间为：tA＝t+1.0s，t≤2s，由自由落体运动规律可得：，，则A、C间的相对距离为：，由此可知，当t＝2s时，ΔhAC有最大值，则有：ΔhACm＝10×2m+5m＝25m； （3）设C下落时间为t，则A下落的时间为：tA＝t+1.0s，B下落的时间为：tB＝t+0.5s，t≤2s，由自由落体运动规律可得：，联立可得： ，解得：t＝0.75s。 答：（1）小球A经过3s时间落地； （2）在A落地前，A、C间最大距离是25m； （3）小球C下落后经过0.75s时间小球A、B间与小球A、C间距离之比hAB：hAC＝3：5。 1 / 31 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 自由落体运动和竖直上抛运动 多过程问题 题型一 自由落体运动 2 题型二 竖直上抛运动 5 题型三 多过程问题 8 课时精练 11 【基础回顾】 1．自由落体运动 (1)定义：物体只在_重力__作用下从_静止__开始下落的运动。 (2)运动性质：初速度v0＝0、加速度为重力加速度g的_匀加速直线__运动。 (3)基本规律 ①速度与时间的关系式：v＝_gt__。 ②位移与时间的关系式：h＝ gt2　。 ③速度与位移的关系式：v2＝2gh。 (4)伽利略对自由落体运动的研究 ①伽利略通过_逻辑推理__的方法推翻了亚里士多德的“重的物体下落得快”的结论。 ②伽利略对自由落体运动的研究方法是逻辑推理―→猜想与假设―→实验验证―→合理外推。这种方法的核心是把实验和_逻辑推理__(包括数学演算)和谐地结合起来。 2．竖直上抛运动 (1)运动特点：初速度方向竖直向上，加速度为g，上升阶段做匀减速直线运动，下降阶段做_自由落体__运动。 (2)基本规律 ①速度与时间的关系式：v＝_v0－gt__。 ②位移与时间的关系式：h＝ v0t－gt2　。 ③速度与位移的关系式：v2－v＝－2gh 。 ④上升的最大高度：H＝ 　。 ⑤上升到最高点所用时间：t＝ 　。 题型一 自由落体运动 1．求解自由落体运动的两点注意 (1)可充分利用自由落体运动初速度为零的特点、比例关系及推论等规律解题。 a.从运动开始连续相等时间内的下落高度之比为1∶3∶5∶7∶… b.从运动开始一段时间内的平均速度＝＝＝gt c.连续相等时间T内的下落高度之差Δh＝gT2 (2)物体由静止开始的自由下落过程才是自由落体运动，从中间截取的一段运动过程不是自由落体运动，等效于竖直下抛运动，应该用初速度不为零的匀变速直线运动规律去解决此类问题。 2．自由落体运动和竖直上抛运动的相遇问题 (1)同时运动，相遇时间的确定 gt2＋v0t－gt2＝H，解得t＝，或a以b为参照物，a相对b向上做匀速运动H＝v0t，t＝。 (2)要使a、b相遇，a的初速度v0满足条件的确定 ①若在a球上升时两球相遇，则有t<，即<，解得v0>。 ②若在a球下降时两球相遇且相遇处在a球抛出点上方，则有<t<，即<<，解得<v0<。 【例题精讲】 1．（2025秋•青海期末）一个苹果从枝头由静止下落，若苹果在落地前0.4s内下落的高度为4m，取重力加速度大小g＝10m/s2，不计空气阻力，则苹果离开枝头时距地面的高度为（　　） A．5m B．6.05m C．7.2m D．9.8m 2．（2025秋•台州期末）钢球由静止开始做自由落体运动，落地时的速度为20m/s，下列说法正确的是（　　） A．下落的时间是4s B．下落的高度是40m C．第1s内的平均速度是10m/s D．最后1s内下落的高度是15m 3．（2025秋•汕尾期末）如图所示，B同学捏住直尺的顶端，A同学在直尺O刻度处做捏住直尺的准备，但手不碰到直尺。在B同学放手让直尺自由下落时，A同学立刻捏住直尺，读出其捏住直尺的刻度，就可估测A同学的反应时间。把刻度尺的长度刻度对应标注为“时间”刻度，它就变为“人的反应时间测量尺”，已知g取10m/s2，则关于该测量尺，下列说法正确的是（　　） A．长度刻度与时间刻度不成正比，20cm对应时间刻度0.2s B．长度刻度与时间刻度成正比，20cm对应时间刻度0.2s C．长度刻度与时间刻度不成正比，20cm对应时间刻度0.02s D．长度刻度与时间刻度成正比，20cm对应时间刻度0.02s 4．（2025秋•湖州期末）如图所示为某款“眼疾手快”玩具，该玩具的圆棒长度为0.25m。游戏者将手放在圆棒的正下方，保持拇指的夹持位置离圆棒下端的距离为1.25m。不计空气阻力，，以圆棒由静止释放时为0时刻，则游戏者能抓住圆棒的时刻可能是（　　） A．0.40s B．0.44s C．0.54s D．0.60s 5．（2025秋•天津期末）如图是必修第一册封面上的沙漏照片，为了进一步研究，小林同学找到一个沙漏，设A点为出沙口，B点在A点正下方20cm处（高于沙粒的堆积高度），若近似认为沙粒下落的初速度为0，忽略空气阻力，不计沙粒间的相互影响，设沙粒随时间均匀漏下，重力加速度g＝10m/s2。下列说法正确的是（　　） A．沙粒下落到B点时的速度大小为2m/s B．沙粒从A点下落到B点的时间为0.1s C．沙粒从A点下落0.05s和0.1s内的位移之比为1：3 D．沙粒从A点下落10cm和20cm时的速度之比为1：2 （多选）6．（2025秋•巴音郭楞州期末）甲、乙两物体从离地面相同高度处做自由落体运动，甲落地时的速度大小为30m/s，甲比乙重（g取10m/s2）。下列说法正确的是（　　） A．甲比乙先落地 B．乙下落的时间为3s C．甲、乙两物体是从离地面高度为20m处开始做自由落体运动的 D．甲物体在整个下落过程中的平均速度为15m/s （多选）7．（2025秋•朝阳区期末）如图所示，两位同学在教学楼上做自由落体实验，甲同学在三、四楼交接处先将小球A释放，当下落距离为h时，乙同学在二、三楼交接处将小球B释放，小球B释放时间t后，两球恰好同时落地。小球A、B不在同一条竖直线上，每层楼高度相等，不计空气阻力，重力加速度为g。下列说法中正确的是（　　） A．小球A经过每层楼的时间之比为1：3：5 B．甲同学释放点离地高度为 C．在下落的过程中，A、B间高度差随时间均匀变化 D．若两位同学均各上一层楼重做以上实验，需要增大h，两小球才能同时落地 题型二 竖直上抛运动 1．竖直上抛运动的两种研究方法 分段法 上升阶段：a＝g的匀减速直线运动 下降阶段：自由落体运动 全程法 初速度v0向上、加速度g向下的匀变速直线运动，v＝v0－gt，h＝v0t－gt2(以竖直向上为正方向)； 若v>0，物体上升，若v<0，物体下落； 若h>0，物体在抛出点上方，若h<0，物体在抛出点下方 2．竖直上抛运动的多解性：当物体经过抛出点上方某个位置时，可能处于上升阶段，也可能处于下降阶段，形成多解，在解决问题时要注意这个特性。 3．竖直上抛运动的对称性 如图所示，物体以初速度v0竖直上抛，A、B为途中的任意两点，C为最高点，则： (1)时间对称性：物体上升过程中从A→C所用时间tAC和下降过程中从C→A所用时间tCA相等，同理有tBC＝tCB。 (2)速度对称性：物体上升过程经过A点的速度与下降过程经过A点的速度大小相等，方向相反。 【例题精讲】 1．（2026•市南区校级二模）一小球以初速度v0做竖直上抛运动，第4s内的位移大小为2m，则小球的初速度可能是（　　）（g＝10m/s2） A．33m/s B．34m/s C．35m/s D．36m/s 2．（2026•淄博一模）对跳蚤和跳蚤仿生机器人原地竖直起跳的研究。原地起跳时，先屈腿下蹲，然后突然蹬地。从开始蹬地到离地是加速过程（视为匀加速），加速过程中重心上升的时间称为“加速时间”。离地后重心继续上升，此过程中重心上升的最大距离称为“竖直高度”。已知跳蚤的“加速时间”为0.8ms，上跳的“竖直高度”为0.25m。若机器人具有与跳蚤相等的起跳加速度，“加速时间”为1.6ms。不计空气阻力，则机器人上跳的“竖直高度”为（　　） A．2m B．1.5m C．1m D．0.5m 3．（2026•天心区校级开学）小球以某一速度竖直上抛，在上升过程中，小球在最初1s内的上升高度是其上升过程正中间1s内上升高度的倍，不计空气阻力，重力加速度g＝10m/s2，则下列说法正确的是（　　） A．小球上升的时间为5s B．小球上升的最大高度为 C．小球中间1s内上升的高度为20m D．小球最初1s内上升的高度为5m 4．（2026•城关区校级开学）如图所示，小球甲从距离地面高度为h＝15m处以速度v0＝10m/s竖直向上抛出，同时小球乙从同一高度处以速度v0＝10m/s竖直向下抛出。已知小球运动的过程中均不计空气阻力，重力加速度取g＝10m/s2。若两小球落地后均能原速率反弹，当二者处于同一高度时视为相遇，则下列说法中正确的是（　　） A．小球乙落地前，乙球的速度比甲球的速度变化得更快 B．小球乙落地后，两小球的高度差一直增大 C．从一开始到小球乙落地前，两小球的速度差不断增大 D．在之后的运动过程中，两小球每隔2s都会相遇一次 5．（2025秋•晋城期末）如图所示，小球甲从距离水平地面h高度处自由下落，同一时刻，小球乙从水平地面上以某一初速度开始做竖直上抛运动，上升过程中的最大高度为h。已知重力加速度为g，则当甲、乙两小球处于同一高度时，下列说法正确的是（　　） A．甲、乙两小球距离地面的高度为 B．甲、乙两小球距离地面的高度为h C．甲、乙两小球速度大小均为 D．甲、乙两小球的速度大小不一定相等 （多选）6．（2025秋•钦州期末）笛音雷是人们在节日时放的一种鞭炮，一颗笛音雷点着后，以10m/s的初速度竖直向上离开地面，并以5m/s2的加速度加速运动了2s后助推火药燃尽，继续做竖直上抛运动。不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2，则下列说法正确的是（　　） A．助推火药燃尽时，笛音雷的速度大小为20m/s B．助推火药燃尽时，笛音雷的速度大小为30m/s C．笛音雷离地面的最大高度为50m D．笛音雷离地面的最大高度为30m （多选）7．（2025秋•青羊区校级期末）“抓子”是一种中国民间的常见游戏，其玩法是：将小石子以某一初速度竖直上抛，然后迅速用同一只手将地面若干石子捡起，最后将抛出的石子在落地前瞬间接住。如图所示，某时刻当甲石子自由下落的同时，乙石子以初速度v0竖直向上抛出，此时甲乙两石子间距为H，不计空气阻力，重力加速度为g，则下列判断正确的是（　　） A．甲石子下落过程中，前半程和后半程运动的时间之比为1：3 B．乙石子从抛出到返回地面的运动时间为 C．乙石子抛出初速度无论多大都能和甲在空中相遇 D．两石子若能在空中相遇，相遇时间一定为 题型三 多过程问题 两个自由落体，或两个竖直上抛或一个自由落体和一个竖直上抛结合的问题。 【例题精讲】 1．（2026•哈尔滨校级开学）如图所示，空中有A、B两个小球的初始高度差为h1。先将小球A由静止释放，当A下落高度为h2时，再将小球B由静止释放，结果小球B经过时间t，两小球同时落到地面上。重力加速度为g，不计空气阻力，则小球B经过的时间t为（　　） A． B． C． D． 2．（2026•庐阳区校级模拟）如图所示，直杆长L1＝2.2m，圆筒高L2＝1.8m，直杆位于圆筒正上方H＝3.2m处。圆筒离地面足够高，直杆从静止开始自由下落，并能竖直无接触穿过圆筒。g取10m/s2，忽略空气阻力，由此可知（　　） A．直杆开始自由下落到下端刚好到达圆筒A端高度时经历的时间为1s B．直杆穿过圆筒所用的时间为0.5s C．若直杆下端刚好到达圆筒A端高度时，同时释放圆筒自由下落，则直杆穿过圆筒的时间为0.5s D．若直杆开始自由下落的同时，将圆筒以4m/s的初速度竖直上抛，则在圆筒达到最高点时，直杆下端刚好与圆筒A端处于同一高度 3．（2025秋•裕华区校级月考）将质量为m的小球甲和质量为2m的小球乙，分别从离地高度为h、2h处同时由静止释放，不计空气阻力和小球与地面碰撞的时间，碰撞后小球速度大小不变。则下列说法正确的是（　　） A．甲乙两球空中下落的加速度比之等于1：2 B．甲乙第一次落地时速度大小之比等于1：2 C．甲乙与地面第一次碰撞前下落的时间之比为1：4 D．从开始下落计时t时两球第一次在空中相遇 4．（2025秋•新建区校级月考）一长为L的金属管从地面以v0的速率竖直上抛，管口正上方高h（h＞L）处有一小球同时自由下落，金属管落地前小球从管中穿过。已知重力加速度为g，不计空气阻力。关于该运动过程说法错误的是（　　） A．若小球刚好在管上升最高点穿过管，则 B．若小球在管刚着地时穿管，则 C．若小球在管上升阶段穿过管，则 D．只要v0大小合适，小球就可以在管下降阶段穿过管 5．（2025秋•鼓楼区校级期中）一长为L＝0.45m的金属管从地面以2m/s的速率竖直上抛，管在运动过程中保持竖直，管口正上方高h处有一小球同时自由下落，已知重力加速度g＝10m/s2，不计空气阻力，若金属管落地前小球从管中穿过，则h可能是（　　） A．0.3m B．0.4m C．0.5m D．0.6m （多选）6．（2025秋•市南区校级月考）如图所示，AB为空心圆管、C为可视为质点的小球，AB长度为L＝0.2m，AB与C在同一竖直线上，AC之间距离为h＝0.8m。零时刻，AB做自由落体运动，C从地面以初速度v0开始做竖直上抛运动，g取10m/s2。若圆管、小球落地后均不反弹。则下列说法中正确的是（　　） A．若要使小球在AB落地前从B端穿过AB，则v0应至少为2.5m/s B．若要使小球在上升过程中从B端穿过AB，则v0应至少为3m/s C．若v0＝4m/s，则共有三个时刻小球C与圆管A端距离为0.2m D．若v0＝5m/s，则稍降低AC之间距离h后，小球C向上穿过AB的用时将变短 （多选）7．（2024秋•天心区校级期末）如图所示，小球甲从距地面高为H处由静止下落，同时小球乙以初速度v0＝2竖直向上抛出，已知两小球在以后的运动过程中不计空气阻力，两小球与地面碰撞后均以碰前的速度大小竖直反弹，不计碰撞时间，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．则当小球甲距地面高度为时，乙距地面的高度可能为H B．当t＝2n（n为正整数）甲、乙两球都回到初始位置 C．则当小球甲距地面高度为时，乙距地面的高度有4种不同的值 D．则当小球甲距地面高度为时，乙距地面的高度最大值为 课时精练 一．选择题（共8小题） 1．（2025秋•宜春期末）2025年11月19日，清华学子邵雨琪在第十五届全运会女子跳高决赛中获得金牌，若起跳过程中，其重心上升的高度约为1m，请估算她起跳离地时，竖直向上速度最接近的数值为（　　） A．2.5m/s B．3.5m/s C．4.5m/s D．5.5m/s 2．（2025秋•石家庄月考）一小球（可视为质点）从一定高度处由静止释放，利用曝光周期为T的频闪相机对下落的小球拍照，如图所示，照片中1、2间的距离为2.94cm，3、4间的距离为6.86cm，照片中相邻两球之间的高度与小球下落的实际高度之比为1：20，忽略空气阻力，重力加速度g取9.8m/s2。则下列说法正确的是（　　） A．图中的1位置为小球的释放点 B．位置2、3间的实际高度为4.9cm C．曝光周期T＝0.2s D．小球在位置3的速度大小为3.92m/s 3．（2025秋•青岛期末）拧开流量恒定的水龙头后，发现水流不太大时，连续流出的水会形成一稳定的水柱，如图所示。流量是指单位时间内流过某一横截面水的体积，其数值为横截面的面积与流过该截面时速度的乘积。已知水龙头出口处水的速度为1m/s，横截面积为S，水龙头距地面高度为40cm，重力加速度g＝10m/s2，不计空气阻力，则水到达地面时水柱的横截面积为（　　） A． B． C． D．S 4．（2025秋•百色期末）某探险队为了测量一天坑深度，在坑口由静止释放一小铃铛，同时用传感器记录从释放时到接收小铃铛撞击坑底声音信号的时间为t＝5s。已知声速为340m/s，g取10m/s2，，忽略空气阻力，则天坑深度约为（　　） A．125m B．170m C．120m D．110m 5．（2025秋•岳阳期末）如图所示，直杆长L1＝2.2m，圆筒高L2＝1.8m，直杆位于圆筒正上方H＝3.2m处。圆筒离地面足够高，直杆从静止开始自由下落，并能竖直无接触穿过圆筒。g取10m/s2，忽略空气阻力，由此可知（　　） A．直杆开始自由下落到下端刚好到达圆筒A端高度时经历的时间为1s B．直杆穿过圆筒所用的时间0.5s C．若直杆下端刚好到达圆筒A端高度时，同时释放圆筒自由下落，则直杆穿过圆筒的时间为0.5s D．若直杆开始自由下落的同时，将圆筒以4m/s的初速度竖直上抛，则在圆筒达到最高点时，直杆下端刚好与圆筒A端处于同一高度 6．（2025秋•西安校级月考）科研气球下方用细线悬挂一探测仪，从地面静止释放后一起竖直向上做匀加速直线运动，经过时间t后细线断裂，探测仪脱落，再经过相同时间t探测仪落回地面。空气阻力不计，重力加速度大小为g。则（　　） A．细线断裂前气球的加速度大小为 B．细线断裂前气球的加速度大小为 C．细线断裂时探测仪的速度大小为 D．探测仪落地时的速度大小为 7．（2025秋•扬州期末）如图所示，悬停在空中的无人机释放一重物，当重物下落的距离分别为1m、4m、9m时，所用时间分别为ta、tb、tc，不计空气阻力，则（　　） A．ta：tb：tc＝1：4：9 B．ta：tb：tc＝1：3：5 C．ta：tb：tc＝1：9：25 D．ta：tb：tc＝1：2：3 8．（2025秋•市南区校级月考）小洋同学在一次观看跳水比赛时，想到了一些问题。他做了如下假设：比赛时，将运动员看作1.6m长的竖直细杆，离开跳台后在空中做竖直上抛运动（不考虑起跳时跳台的形变，且下落过程中运动员不会与跳台相撞），整个运动过程中始终保持竖直方向，不转动。运动员在距水面10m的跳台向上跳起，离开跳台时速度v0＝5m/s。该同学上网查得重力加速度大小10m/s2，且运动员从接触水面到身体全部入水过程视为做减速直线运动，其速度与入水深度关系为，（其中l为运动员的身长，h为入水的长度，v1为入水时的速度）；身体全部入水后做匀减速直线运动，加速度大小为25m/s2，直到停止时触底。下列说法正确的是（　　） A．运动员到达最高点时离跳台的距离为1m B．运动员身体全部入水时的速度为7m/s C．运动员起跳到最高点到时间0.2s D．运动员从起跳至到达池底的过程中，全程的平均速度约为5.17m/s 二．多选题（共3小题） （多选）9．（2025秋•罗山县期末）库里在训练中进行定点罚球竖直抛球练习，将篮球从离手高度处竖直上抛，经过时间t后在同一位置接住篮球。不计空气阻力，重力加速度为g，取竖直向上为正方向，篮球从抛出到再被接住的过程中，下列说法正确的是（　　） A．篮球上升的最大距离为 B．篮球抛出时的速度大小为 C．篮球速度的变化量为gt D．篮球的平均速率为 （多选）10．（2025秋•滨海新区期末）排球自O点竖直向上抛出，到最高点后又返回O点，用频闪照相机分别对其上升和下落过程进行拍摄，频闪照片如图所示，图中相邻两球的时间间隔相同。已知排球上升和下落过程均做匀变速直线运动，t1和t2分别表示两过程所用的时间，a1和a2表示两过程球的加速度大小，则（　　） A．上升过程物体所受合力向上 B．下落过程物体所受合力向下 C． D． （多选）11．（2025秋•达州期末）一根长L＝0.8m的棒，上端悬挂在天花板上的O点，在棒的正下方，距棒的下端也为L＝0.8m处固定着一个高H＝3.4m的空心圆筒。如图所示，现将棒由静止释放（视为自由落体运动），重力加速度g取10m/s2，则（　　） A．棒的上端到达圆筒上端时棒的速度v1＝4m/s B．棒的上端穿出圆筒瞬间棒的速度v2＝10m/s C．棒穿过圆筒所用的时间t＝0.6s D．若改用长L′＝1.6m棒，则从O点静止释放到穿出圆筒过程所用时间更短 三．解答题（共3小题） 12．（2026•九台区校级开学）升降机以大小为5m/s的速度v匀速竖直上升，升降机内的天花板上有一个螺丝帽突然松脱，脱离天花板。已知升降机天花板到其地板的高度为h＝3.2m，重力加速度g取10m/s2，不计空气阻力。求： （1）螺丝帽上升的时间； （2）螺丝帽上升至最高点时，螺丝帽与升降机的地板之间的距离； （3）螺丝帽落到地板上时，升降机的地板上升的位移。 13．（2025秋•市南区校级月考）如图为我校举办的篮球比赛中抢发球场景，裁判将篮球从距地面h0＝1.25m处向上抛起（视为竖直上抛），学生稍后向上起跳将下落中的篮球拍向队友，为了更快拍到球需在自身起跳达到最高处时刚好碰到篮球。已知篮球被抛出时的初速度v0＝7m/s，学生静态摸高h1＝2m，跳起后摸高h2＝2.45m、忽略空气阻力，g取10m/s2。求： （1）学生跳至最高点的时间？ （2）为了更快拍到球学生需在裁判抛球后多久起跳？ 14．（2025秋•镜湖区校级期末）从离地面高45m处，每隔0.5s由静止依次释放A、B、C三个小球。小球可看成质点，空气阻力不计，重力加速度g＝10m/s2。求： （1）小球A经过多长时间落地？ （2）在A落地前，A、C间最大距离是多少？ （3）小球C下落后经过多长时间小球A、B间与小球A、C间距离之比hAB：hAC＝3：5。 1 / 31 学科网（北京）股份有限公司 $