1.2 匀变速直线运动的规律 讲义 -2027届高考物理一轮复习

该高中物理讲义聚焦匀变速直线运动核心考点，涵盖规律公式、推论应用、自由落体与竖直上抛、多过程问题及运动图像、追及相遇等专题，按“基础规律—特殊运动—综合应用”逻辑架构知识体系，通过知识梳理、方法指导、真题训练（含2024-2025年高考题）等环节，帮助学生系统突破难点。 讲义突出科学思维与科学探究，如用逆向思维法将匀减速转化为匀加速，图像法分析v-t关系，实验部分结合纸带处理与创新装置（光电门、滴水法）培养数据处理能力。设置分层练习与即时反馈，助力学生高效掌握解题模型，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第2讲　 匀变速直线运动的规律 【学习目标】 1.理解匀变速直线运动的特点,掌握匀变速直线运动的公式,并理解公式中各物理量的含义。 2.会灵活应用运动学公式及推论解题。 考点1　匀变速直线运动的规律及应用(必考点) 【知识梳理】 1.匀变速直线运动 (1)定义:物体沿一条直线运动,且加速度不变的运动。 (2)分类: a.匀加速直线运动:a与v0同向; b.匀减速直线运动:a与v0反向。 2.匀变速直线运动的基本规律 (1)三个基本关系式: a.速度—时间关系式:①　　　　　　;   b.位移—时间关系式:②　　　　　　;   c.速度—位移关系式:③　　　　　　。   (2)平均速度公式:④　　　　　　。   　　【答案】①v=v0+at　②x=v0t+at2　③v2-=2ax　④v平均= 【判断对错】 1.速度逐渐增大的直线运动是匀加速直线运动。 (　　) 2.做匀变速直线运动的物体的加速度越大,运动时间越长,则物体的末速度越大。 (　　) 3.匀变速直线运动中,经过相同的时间,速度变化量相同。 (　　) 　　【答案】1.×　2.×　3.√ 【能力突破】 【例1】(教科版必修第一册习题改编)某物体做匀加速直线运动,初速度的大小为2 m/s,物体运动了24 m时的速度为14 m/s。求: (1)物体运动的加速度的大小。 (2)物体第2 s内的位移的大小。 (3)物体第5 s初的速度的大小。 　　【答案】(1)4 m/s2　(2)8 m　(3)18 m/s 【解析】(1)物体做匀加速运动,根据速度—位移公式可知v2-=2ax 解得a=4 m/s2。 (2)物体前2 s内的位移 x2=v0t2+a=2×2 m+×4×22 m=12 m 物体前1 s内的位移x1=v0t1+a=2×1 m+×4×12 m=4 m 故物体第2 s内的位移Δx=x2-x1=8 m。 (3)物体第5 s初的速度即为第4 s末的速度,设其为v4,则 v4=v0+at4=2 m/s+4×4 m/s=18 m/s。 【例2】(2025·广西卷)某乘客乘坐的动车进站时,动车速度从36 km/h减小为0,此过程可视为匀减速直线运动,期间该乘客的脉搏跳动了70次。已知他的脉搏跳动每分钟约为60次,则此过程动车行驶距离约为(　　)。 A.216 m　　　　　　　　B.350 m C.600 m D.700 m 　　【答案】B 【解析】动车运动的时间t=×70 s=70 s,动车共行驶的距离x=t=×70 m=350 m,B项正确。 【例3】(2024·广西卷)如图,轮滑训练场沿直线等间距地摆放着若干个定位锥筒,锥筒间距d=0.9 m,某同学穿着轮滑鞋向右匀减速滑行。现测出他从1号锥筒运动到2号锥筒用时t1=0.4 s,从2号锥筒运动到3号锥筒用时t2=0.5 s。求该同学: (1)滑行的加速度大小。 (2)最远能经过几号锥筒。 　　【答案】(1)1 m/s2　(2)4 【解析】(1)根据匀变速运动中某段过程内的平均速度等于中间时刻的瞬时速度,可知在1、2号锥筒间中间时刻的速度 v1==2.25 m/s 2、3号锥筒间中间时刻的速度 v2==1.8 m/s 故可得加速度大小a===1 m/s2。 (2)设到达1号锥筒时的速度为v0,根据匀变速直线运动规律得 v0t1-a=d 解得v0=2.45 m/s 从1号锥筒运动到停止时通过的位移大小 x==3.001 25 m≈3.33d 故可知最远能经过4号锥筒。 【思路引领】 考点2　匀变速直线运动的推论及应用(3年58卷5考) 【知识梳理】 1.匀变速直线运动的三个重要推论 (1)中间时刻速度 　　　== (2)中间位置速度 =⇐ (3)连续相邻等时间段(T)的位移差相等 2.初速度为零的匀加速直线运动的四个重要推论 (1)1T末,2T末,3T末,…,nT末的瞬时速度之比为v1∶v2∶v3∶…∶vn=⑤　　　　。  (2)1T内,2T内,3T内,…,nT内的位移之比为x1∶x2∶x3∶…∶xn=⑥　。  (3)第1个T内,第2个T内,第3个T内,…,第n个T内的位移之比为xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…∶xN=⑦　。  (4)从静止开始通过连续相等的位移所用时间之比为t1∶t2∶t3∶…∶tn=⑧  　。  　　【答案】⑤1∶2∶3∶…∶n　 ⑥1∶4∶9∶…∶n2　 ⑦1∶3∶5∶…∶(2n-1)　⑧1∶(-1)∶(-)∶…∶(-) 【判断对错】 1.任何运动都有中间位置瞬时速度大于中间时刻瞬时速度。 (　　) 2.做匀减速直线运动的物体,任意两个相等相邻时间的位移的差值相等。 (　　) 　　【答案】1.×　2.√ 【能力突破】 考向1　平均速度法和推论法 1.平均速度法 =:对任何性质的运动都适用。 ==:只适用于匀变速直线运动。 2.推论法 利用Δx=aT2或xm-xn=(m-n)aT2,纸带类问题一般用此方法。 　　　　　 　　　　　 　　　　　 一质点做匀加速直线运动,速度变化Δv时发生位移x1,紧接着速度变化同样的Δv时发生位移x2。该质点的加速度大小为(　　)。 A.(Δv)2 B.2(Δv)2 C. D. 　　【答案】D 【解析】速度变化Δv所用的时间t=,根据Δx=at2,得x2-x1=a·,解得a=,A、B、C三项错误,D项正确。 【例5】(2024·海南卷)商场自动感应门如图所示,人走进时两扇门从静止开始同时向左右平移,经4 s恰好完全打开,两扇门移动距离均为2 m,若门从静止开始以相同加速度大小先匀加速运动后匀减速运动,完全打开时速度恰好为0,则加速度的大小为(　　)。 A.1.25 m/s2 B.1 m/s2 C.0.5 m/s2 D.0.25 m/s2 　　【答案】C 【解析】设门的最大速度为v,根据匀变速直线运动的规律可知加速过程和减速过程的平均速度均为,且时间相等,均为2 s,根据x=×4,可得v=1 m/s,则加速度a== m/s2=0.5 m/s2,C项正确。 考向2　比例法和逆向思维法 1.比例法 适用于初速度为零的匀加速直线运动与末速度为零的匀减速直线运动。 2.逆向思维法 把末速度为零的匀减速直线运动转化为反向的初速度为零的匀加速直线运动。 在某次跳水比赛中,若将运动员入水后向下的运动视为匀减速直线运动,该运动过程的时间为8t。设运动员入水后向下的过程中,第一个t时间内的位移为x1,最后两个t时间内的位移为x2,则x1∶x2为(　　)。 A.17∶4 B.13∶4 C.15∶4 D.15∶8 　　【答案】C 【解析】初速度为零的匀加速直线运动,在第一个t时间内,第二个t时间内,第三个t时间内,…的位移之比xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…=1∶3∶5∶…,运动员运动总时间为8t,则第一个t时间内的位移可视为初速度为零的匀加速直线运动中第八个t时间内的位移;最后两个t时间内的总位移,可视为初速度为零的匀加速直线运动中前两个t时间内的位移。故x1∶x2=15∶(1+3)=15∶4,C项正确。 【思路引领】 运动员在水中做末速度为零的匀减速直线运动,故可利用逆向思维,将其视为初速度为零的匀加速直线运动。 考向3　图像法 【例7】(2025·安徽合肥模拟预测)2024年第十八届北京国际汽车展览会顺利闭幕,在十天的展会中,国产新能源汽车受到广泛关注。假设一辆新能源汽车在水平地面上做直线运动,其速度v与时间t的关系如图所示。下列说法正确的是(　　)。 A.汽车刚出发时的加速度大小为1 m/s2 B.汽车在3 s时加速度开始反向 C.汽车在4 s末的位移大小为9 m D.汽车在前6内通过的路程为24 m 　　【答案】B 【解析】根据v-t图像的斜率表示加速度,可得汽车刚出发时的加速度大小a== m/s2=2 m/s2,A项错误;根据v-t图像的斜率表示加速度可知,3 s时斜率由正值变为负值,则汽车在3 s时加速度开始反向,B项正确;根据v-t图像的图线与坐标轴围成的面积表示位移,可得汽车在4 s末的位移大小x1=×4×6 m=12 m,C项错误;同理可知,汽车在前6 s内通过的路程s=x1+x2=×4×6 m+×2×4 m=16 m,D项错误。 【延伸点】 两类匀减速直线运动 问题处理方法 刹车类 问题(1)其特点为匀减速到速度为零后停止运动,加速度a突然消失。 (2)求解时要注意确定实际运动时间。 (3)如果问题涉及最后阶段(到停止)的运动,可把该阶段运动看成反向的初速度为零的匀加速直线运动 双向 可逆 类问题如果物体先做匀减速直线运动,速度减为零后又反向做匀加速直线运动,若全过程加速度大小、方向均不变,则求解时可对全过程列式,但必须注意x、v、a等矢量的正负号及物理意义 【例8】(2025·湖北武汉三模)某场足球比赛中,一球员不小心踢歪了球,足球往边界滚去。足球距离边界35 m时,速度v0=12 m/s,加速度大小a=2 m/s2。若将足球的运动看作匀减速直线运动,下列说法正确的是(　　)。 A.足球到达不了边界 B.经过6 s,足球越过了边界 C.经过7 s,足球恰好到达边界 D.经过8 s,足球距离边界3 m 　　【答案】B 【解析】足球停止所需时间t==6 s,位移x=t=36 m,Δx=36 m-35 m=1 m,可见经过6 s,足球越过了边界,且经过8 s,足球距离边界1 m,B项正确。 【例9】 一个小球沿光滑斜面向上运动,初速度大小为5 m/s,C为斜面的最高点,A、C间距离为5 m。小球在t=0时刻自A点出发,4 s后途经A下方的B点(B点未在图上标出)。下列说法正确的是(　　)。 A.小球加速度的最大值为2.5 m/s2 B.小球加速度应大于2.5 m/s2 C.若小球加速度大小为5 m/s2,则斜面至少长22.5 m D.小球到达B点时的速度大小可能是4.5 m/s 　　【答案】B 【解析】小球在A点的初速度v=5 m/s,若当小球到达C处时速度减为0,根据速度—位移关系v2=2ax,可求得a=2.5 m/s2,加速度低于此值时小球会从C点抛出斜面,由于4 s后小球会经过B点,故加速度应大于2.5 m/s2,B项正确,A项错误;小球加速度越大,到达B点时的速度越大,当小球加速度取最小值时,4 s末到达A点,此时可理解为A与B重合,速度最小为5 m/s,D项错误;若小球加速度为5 m/s2,则小球沿斜面向上的最大距 离为2.5 m,向下运动3 s后位移x=a't2=22.5 m,在第4 s末到达斜面上B点,当B为斜面最低点时,可求得斜面最小长度应为25 m,C项错误。 考点3　自由落体运动和竖直上抛运动(3年58卷7考) 【知识梳理】 1.自由落体运动 物体只受重力作用所做的初速度为零的运动。 (1)特点:初速度v0=0,加速度为⑨　　　　的匀变速直线运动。   　　　匀变速直线运动　　　自由落体运动 (2)规律: 2.竖直上抛运动 将物体沿竖直方向向上抛出,抛出后只在⑩　　　　作用下的运动。   (1)上升到最高点的时间:　　　　。   (2)上升到的最大高度:　　　　。   (3)上升过程与下降过程对称。 时间对称性:t上=t下,且从抛出点到A与从A到抛出点的时间相同。 速度对称性:上升阶段与下降阶段经过相同位置A时速度大小相等,方向相反。 　　【答案】⑨重力加速度g　⑩重力　t=　hm= 【判断对错】 1.自由落体运动中的加速度的方向垂直地面向下。 (　　) 2.初速度竖直向上的运动是竖直上抛运动。 (　　) 　　【答案】1.×　2.× 【能力突破】 考向1　自由落体运动 【例10】(人教版必修第一册习题改编)钢球由静止开始做自由落体运动,不计空气阻力,落地时的速度为30 m/s,g取10 m/s2。 (1)它下落的时间是多少? (2)它下落的高度是多少? (3)它在前2 s内的平均速度是多大? 　　【答案】(1)3 s　(2)45 m　(3)10 m/s 【解析】(1)由v=gt可得钢球下落的时间t==3 s。 (2)由速度—位移公式有v2=2gh 解得h=45 m。 (3)第2 s末的速度v2=gt2=10 m/s2×2 s=20 m/s 前2 s的平均速度==10 m/s。 【例11】(2024·广西卷)让质量为1 kg的石块P1从足够高处自由下落,P1在下落的第1 s末速度大小为v1,再将P1和质量为2 kg的石块绑为一个整体P2,使P2从原高度自由下落,P2在下落的第1 s末速度大小为v2,g取10 m/s2,则(　　)。 　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.v1=5 m/s B.v1=10 m/s C.v2=15 m/s D.v2=30 m/s 　　【答案】B 【解析】重物自由下落做自由落体运动,速度与质量无关,则下落1 s后速度v1=v2=gt=10 m/s2×1 s=10 m/s,B项正确。 考向2　竖直上抛运动 【例12】某物体以30 m/s的初速度竖直上抛,不计空气阻力,g取10 m/s2。5 s内物体的(　　)。 A.路程为65 m B.位移大小为25 m,方向向下 C.速度改变量的大小为10 m/s D.平均速度大小为13 m/s,方向向上 　　【答案】A 【解析】物体上升到最高点所需时间t上升==3 s,可知5 s内物体的路程s=t上升+g(t-t上升)2=65 m,A项正确;依题意,有x=v0t-gt2=25 m,方向向上,B项错误;速度的改变量Δv=gΔt=50 m/s,方向向下,C项错误;平均速度==5 m/s,方向向上,D项错误。 【思维拓展】 　　若物体从地面处上抛,计算物体到达离地面15 m高处的时间。 　　【答案】(3-)s或(3+)s 【解析】以向上为正方向,根据匀变速直线运动公式有x=v0t-gt2,将v0=30 m/s,x=15 m代入,解得t1=(3-) s,t2=(3+) s。 考点4　匀变速直线运动中的多过程问题 【例13】红绿灯的设置对指挥城市路口交通影响很大。某城市道路汽车行驶限速vm=15 m/s,该市一个十字路口只有红灯和绿灯,没有黄灯,且每次绿灯持续时间是Δt=30 s。该路口有很多排队等待通行的车辆,其中第一辆车的车头与停止线齐平,每辆车长均为L=4.5 m,前后两车相距均为L0=1.5 m,绿灯亮时第一辆车立即启动,后一辆车相对前一辆车启动均延后t0=1 s,且均以加速度a=1.5 m/s2匀加速到最大限速,然后做匀速直线运动。只要车头在红灯亮之前通过停止线,车辆就可以通过该路口。 (1)绿灯亮后,求经过多长时间停止线后第3辆车车头到达停止线。 (2)若在停止线后第17辆车的司机考虑到有可能不可以通过路口,于是看到绿灯倒计时显示“6”时立即刹车,做匀减速运动,在车头与停止线相齐时刚好停下,求刹车时加速度的大小。 　　【答案】(1)6 s　(2)1.5 m/s2 【解析】(1)在绿灯亮后,第3辆车等待时间Δt3=2t0=2 s 设第3辆车从启动到经过停止线一直做匀加速直线运动,所用时间为t1,则有 2(L+L0)=a 解得t1=4 s 由于v1=at1=6 m/s<vm=15 m/s 则绿灯亮后,停止线后第3辆车车头到达停止线所用时间t=Δt3+t1=6 s。 (2)第17 辆车距离停止线x=16(L0+L)=96 m 匀加速运动的时间t=Δt-6 s-t等=8 s 匀加速运动的位移x1=at2=48 m 匀加速运动的末速度v=at=12 m/s 则匀减速运动的位移x2=x-x1=48 m 匀减速运动的加速度大小a2==1.5 m/s2 。 专题强化1　运动图像的分类研究 【综合强化】 【复习目标】 1.掌握x-t、v-t、a-t图像的作图方法,会分析其截距、斜率、面积等含义。 2.会用函数思想分析非常规图像来确定物体的运动情况,解决物体运动问题。 3.掌握运动学图像的相互转化。 考向1　常规运动学图像 　　通过横纵坐标所代表的物理量之间的函数关系式分析图像斜率、截距、面积、交点的含义,尤其需要注意斜率的物理意义。 图像x-t图像v-t图像a-t图像 图像 实例 图线 含义 图线①表示质点做匀速直线运动(斜率表示速度v) 图线①表示质点做匀加速直线运动(斜率表示加速度a) 图线①表示质点做加速度逐渐增大的直线运动 图线②表示质点静止 图线②表示质点做匀速直线运动 图线②表示质点做匀变速直线运动 图线③表示质点向负方向做匀速直线运动 图线③表示质点做匀减速直线运动 图线③表示质点做加速度逐渐减小的直线运动 交点④表示此时三个质点相遇 交点④表示此时三个质点有相同的速度 交点④表示此时三个质点有相同的加速度 点⑤表示t1时刻质点位移为x1(图中阴影部分的面积没有意义) 点⑤表示t1时刻质点速度为v1(图中阴影部分面积表示质点在0~t1时间内的位移) 点⑤表示t1时刻质点加速度为a1(图中阴影部分面积表示质点在0~t1时间内的速度变化量) 【例1】多功能道路检测车是一套模块化的数据采集平台,由一辆特别改装的汽车底盘和各种数据采集子系统组成,用于在高速公路和一般公路上即时收集公路的信息资料,由计算机即时处理或后期处理。现在某个测试场的一平直公路上行驶的两辆多功能道路检测车a和b,其位移—时间图像分别如图中直线a和曲线b所示,t=3 s时直线a和曲线b刚好相切,下列说法正确的是(　　)。 A.t=3 s时,a车的速度等于b车的速度 B.a车做匀速运动,b车做加速运动 C.在0~3 s时间内,a车的平均速度等于b车的平均速度 D.在0~4 s时间内,b车的速度始终小于a车的速度 　　【答案】A 【解析】根据位移—时间图像切线的斜率表示瞬时速度可知,t=3 s时,a车的速度等于b车的速度,a车做匀速运动,b车做减速运动,A项正确,B项错误;在0~3 s时间内,a车的平均速度== m/s=2 m/s,b车的平均速度== m/s,可知在0~3 s时间内,a车的平均速度比b车的小,C项错误;1 s~3 s内,b车的速度大于a车的速度,D项错误。 【例2】(2025·河北石家庄三模)“打弹珠”是一种常见的游戏,该游戏的规则为:将手中一弹珠以一定的初速度瞬间弹出,并与另一静止的弹珠发生碰撞,被碰弹珠若能进入小坑中即为胜出。某次游戏时的示意图如图1所示,弹珠A和弹珠B与坑在同一直线上,两弹珠间距x1=28 cm,弹珠B与坑的间距x2=9 cm。现用手指将A以某一初速度弹出,在坐标纸中作出A、B运动的v-t图像如图2所示(实线代表A,虚线代表B),忽略弹珠A、B碰撞的时间,g取10 m/s2。下列说法正确的是(　　)。 A.碰撞后瞬间弹珠A的速度大小为0.8 m/s B.碰撞前弹珠A运动时间为0.4 s C.弹珠B会落入坑中 D.弹珠A会落入坑中 　　【答案】C 【解析】 由图像可知,碰撞后瞬间弹珠A的速度大小v1=0.4 m/s,A项错误;碰撞前弹珠A的平均速度= m/s=1.4 m/s,则运动时间t== s=0.2 s,B项错误;碰撞前后两弹珠均做匀减速运动,加速度大小均为a== m/s2=2 m/s2,弹珠B碰后运动的距离xB== m=16 cm>9 cm,可知弹珠B会落入坑中,A碰后运动的距离xA== m=4 cm<9 cm,可知弹珠A不会落入坑中,C项正确,D项错误。 【例3】 (2025·陕西汉中一模)某同学乘坐高铁时,利用智能手机中的加速度传感器研究了高铁的启动过程。取高铁前进方向为正方向,若测得高铁的加速度—时间图像如图所示,下列说法正确的是(　　)。 A.0~t1时间内,高铁在做匀速直线运动 B.t1~t2时间内,高铁在做减速直线运动 C.t1时刻,高铁开始减速 D.t2时刻,高铁速度达到最大 　　【答案】D 【解析】0~t1时间内,高铁的加速度不变,高铁做匀加速直线运动,A项错误;t1~t2时间内,加速度与速度方向相同,高铁仍然做加速直线运动,B、C两项错误;t2时刻加速度为零,高铁速度达到最大,D项正确。 【巩固训练】 1.(2025·湖北模拟预测)四个质量不同的物体,t=0时刻从坐标x=0位置由静止开始运动,下列图像分别是描述它们的运动情况的图像,在0~4 s内,位移最大的是(　　)。 　　　A　　　　　　　　　　　　B 　　　C　　　　　　　　　　　　D 　　【答案】C 【解析】由图可知,A物体做初速度为零的匀加速直线运动,由v2=2ax可知,a==0.25 m/s2,在0~4 s内,位移x1=at2=×0.25×42 m=2 m;B物体v-t图像与时间轴所包围的面积表示位移,所以在0~4 s内,位移x2=×4×2 m=4 m;C物体a-t图像与时间轴所包围的面积表示速度变化量,因初速度为零,所以4 s末物体的速度v=×4×2 m/s=4 m/s,定性作出物体的v-t图像如图所示, 图中直线AB为v-t图像在A点的切线,由题意知该切线交时间轴于t=2 s,设图中实线在0~4 s内与时间轴所包围的面积为S,则S△ABC<S<S△AOC,而S△ABC=×2×4 m=4 m,S△AOC=×4×4 m=8 m,所以0~4 s内,位移x3满足4 m<x3<8 m;由图可知,D物体在0~4 s内,位移x4=2 m,C项正确。 考向2　非常规运动学图像 　　对于非常规图像,可由运动学公式推导出两个物理量间的函数关系,来分析图像的斜率、截距、面积的含义。 图像 种类图像示例解题关键 a-x 图像公式依据:v2-=2ax→ax= 面积意义:速度平方变化量的一半 v2-x 图像公式依据:-=2ax→=2ax+ 斜率意义:2a 截距意义: -t 图像公式依据:x=v0t+at2→=v0+at 斜率意义:a 截距意义:v0 【例4】在平直公路上有甲、乙两辆汽车同时从同一位置沿着同一方向做匀加速直线运动,它们速度的二次方随位移变化的图像如图所示,则下列说法错误的是(　　)。 A.甲车的加速度比乙车的加速度大 B.在x=0.5 m处甲、乙两车的速度相等 C.在x=0.5 m处甲、乙两车相遇 D.在t=2 s末甲、乙两车相遇 　　【答案】C 【解析】由-=2ax知,图像的斜率表示加速度的2倍,故甲车的加速度比乙车的加速度大,A项正确,不符合题意;由图像可知x=0.5 m处两车的速度相等,B项正确,不符合题意;由图像知甲的加速度a1=2 m/s2,乙的加速度a2=1 m/s2,乙的初速度为1 m/s,当位移相等时两车相遇,有a1t2=v0t+a2t2,解得t=2 s,x=a1t2=4 m,D项正确,不符合题意,C项错误,符合题意。 【巩固训练】 2.动力车在刹车过程中位移和时间的比值与t之间的关系图像如图所示,则下列说法正确的是(　　)。 A.动力车的初速度为10 m/s B.刹车过程中动力车的加速度大小为2.5 m/s2 C.刹车过程持续的时间为8 s D.从开始刹车时计时,经过2 s,动力车的位移为30 m 　　【答案】D 【解析】由图可得=-2.5t+20(m/s),根据匀变速直线运动的位移—时间公式x=v0t+at2,得=at+v0,对比可得,v0=20 m/s,a=-5 m/s2,即刚刹车时动力车的速度大小为20 m/s,刹车过程动力车的加速度大小为5 m/s2,A、B两项错误;刹车过程持续的时间t==4 s,C项错误;经过2 s,动力车的位移x=20×2 m-×5×22 m=30 m,D项正确。 专题强化2　追及相遇问题 【学习目标】 1.掌握处理追及相遇问题的方法和技巧。 2.会在图像中分析追及相遇问题。 3.熟练运用运动学公式结合运动学图像解决追及相遇的综合问题。 题型一　追及相遇问题 　　追及相遇问题的实质就是分析两物体在相同时间内能否到达相同的空间位置。 追及相遇问题的基本物理模型:(以甲追乙为例) 1.二者距离变化与速度大小的关系 (1)不论v甲是增大、减小还是不变,只要v甲<v乙,甲、乙间的距离就不断增大。 (2)不论v甲是增大、减小还是不变,只要v甲>v乙,甲追上乙前,甲、乙间的距离就不断减小。 2.分析思路 可概括为“一个临界条件”“两个等量关系”。 (1)一个临界条件:速度相等。它往往是物体能否追上或两物体距离最大(或最小)的临界条件,也是分析、判断问题的切入点; (2)两个等量关系:时间等量关系和位移等量关系。通过画草图找出两物体的位移关系是解题的突破口。 3.常见追及情境 (1)初速度小者追初速度大者:当二者速度相等时,二者距离最大。 (2)初速度大者追初速度小者(避免碰撞问题):二者速度相等是判断是否追上的临界条件,若此时追不上,二者之间距离有最小值。 物体甲追赶物体乙:开始时,两个物体相距x0,当v甲=v乙时,若x甲>x乙+x0,则能追上;若x甲=x乙+x0,则恰好追上;若x甲<x乙+x0,则不能追上。 特别提醒:若被追赶的物体做匀减速直线运动,一定要注意判断被追上前该物体是否已经停止运动。 水平长直公路上,甲、乙两汽车正以相同速度v0=20 m/s同向匀速行驶,甲车在前,乙车在后,乙车头与甲车尾的距离d=32 m,t=0时刻甲车以大小为2 m/s2的加速度减速刹车。 (1)若甲车开始刹车后,乙车司机反应了2 s后也开始刹车。 ①求甲车刹车到停下通过的距离。 ②乙车至少以多大的加速度刹车减速才能避免两车相撞? (2)若甲车开始刹车后,乙车司机因故一直未采取制动措施,甲车司机发现后立即又以2 m/s2的加速度加速前进。为了避免两车相撞,甲车最多减速多长时间? 　　【答案】(1)①100 m　②2.17 m/s2　(2)4 s 【解析】(1)①根据速度—位移关系可得x0==100 m 即甲车刹车到停下通过的距离为100 m。 ②当乙车减速到甲车停下位置刚好速度为0时,乙车刹车减速的加速度最小,则有v0Δt+=x0+d 解得a'=2.17 m/s2。 (2)设甲车刹车最长时间为t1,则当甲车再次加速到20 m/s时两车恰好未相撞,根据对称性可知甲车减速阶段和加速阶段的位移均为 x1=x2=v0t1-a 乙车的位移x3=v0·2t1 由位移关系有x1+x2+d=x3 解得t1=4 s。 【思路指引】 处理多过程问题时将运动过程分阶段,根据运动状态将每阶段的运动信息计算出来,再联系前后运动过程。 (1) (2) 【巩固训练】 1.(2025·辽宁朝阳模拟预测)甲车以10 m/s的速度匀速行驶,经过乙车时,乙车司机反应了0.6 s,才从静止开始以2 m/s2的加速度匀加速追赶甲车。两车的运动为在同一方向的直线运动,乙车追上甲车前,两车最大距离是多少?乙车启动后需多久追上甲车? 　　【答案】31 m　(5+) s 【解析】乙车开始启动时,甲、乙两车的距离x0=v甲t0=10×0.6 m=6 m 乙车追上甲车前,当乙车速度等于甲车速度时,两车距离最大,则有v乙=v甲=at1 解得t1=5 s 从乙车开始启动到两车速度相等,发生的相对位移Δx=x甲-x乙=v甲t1-t1=t1=25 m 则两车最大距离Δxmax=x0+Δx=31 m 设乙车从开始启动经过t2时间追上甲车,则有 a-v甲t2=x0 解得t2=(5+) s或t2=(5-) s(舍去)。 题型二　图像中的追及相遇问题 1.x-t图像、v-t图像中的追及相遇问题: (1)利用图像中斜率、面积、交点的含义进行定性分析或定量计算。 (2)有时将运动图像还原成物体的实际运动情况更便于理解。 2.利用v-t图像分析追及相遇问题:在有些追及相遇情境中可根据两个物体的运动状态作出v-t图像,再通过图像分析计算得出结果,这样更直观、简捷。 3.若为x-t图像,注意交点的意义,图像相交即代表两物体相遇;若为a-t图像,可转化为v-t图像进行分析。 【例2】 (2025·宁夏石嘴山三模)一鲨鱼发现正前方x0处有一条小鱼,立即开始追捕,同时小鱼也发现了鲨鱼,立即朝正前方加速逃离。两条鱼的v-t图像如图所示,两者在同一直线上运动。下列说法正确的是(　　)。 A.鲨鱼加速阶段的加速度大小为5 m/s2 B.t=2 s时两条鱼速度相等 C.当x0=6 m时鲨鱼恰好能追上小鱼 D.当x0=8 m且鲨鱼追了小鱼4 s时,鲨鱼与小鱼之间的距离为7.5 m 　　【答案】B 【解析】根据v-t图像的斜率表示加速度,可知鲨鱼加速阶段的加速度大小a= m/s2=4 m/s2,A项错误;由题图可知,两条鱼速度相等对应的时刻t== s=2 s,根据v-t图像与坐标轴围成的面积表示位移可知,在0~2 s内,鲨鱼比小鱼多走的位移大小Δx=×(6-2)×2 m=4 m,可知当x0=4 m时鲨鱼恰好能追上小鱼,B项正确,C项错误;当x0=8 m且鲨鱼追了小鱼4 s时,该段时间内鲨鱼和小鱼的位移分别为x鲨=×(6+20)×3.5 m+20×0.5 m=55.5 m,x鱼=×(2+26)×4 m=56 m,则此时鲨鱼与小鱼之间的距离Δx'=x0+x鱼-x鲨=8 m+56 m-55.5 m=8.5 m,D项错误。 【巩固训练】 2.(2025·山东青岛模拟预测)(多选) 某次接力赛时在直道接力区域完成交接棒过程中,a、b两运动员运动的v-t图像如图所示。下列说法正确的是(　　)。 A.a为接棒运动员,b为交棒运动员 B.0~t1时间内,a和b间的距离越来越大 C.由图可知,两运动员在t1时刻完成交接棒 D.交接棒时的速度越大,因交接棒对比赛成绩的影响越小 　　【答案】CD 【解析】由题图可知,交接棒过程中,接棒运动员在前,从静止开始向前加速运动,交棒运动员在后,开始时交棒运动员速度大于接棒运动员速度,二者之间的距离越来越小,当二者速度相等时,二者距离达到最小,即t1时刻完成交接棒动作。交接棒完成后,接棒运动员继续加速直到达到最大速度,交棒运动员继续减速直到停下,综上分析,a为交棒运动员,b为接棒运动员,A项错误,C项正确;根据上述可知,0~t1过程中,b在前,a在后,二者距离越来越小,B项错误;交接棒时的速度越大,移动相同位移所需时间越短,因交接棒而损失的时间越少,对比赛成绩的影响越小,D项正确。 实验 　测量做直线运动物体的瞬时速度 一、实验目的 通过纸带求解物体运动的速度和加速度。 二、实验设计指引 实验时,要保证物体做匀变速直线运动,且打下来的计数点要适合测量读数。 三、基本原理与操作 实验装置图实验原理实验步骤 实验仪器:电火花计时器(或①　　　　　　)、一端附有定滑轮的长木板、小车、②　　　　、细线、钩码、③　　　　、导线、电源、复写纸小车在钩码的牵引下运动,通过研究纸带上的信息,就可以知道小车运动的速度是怎样随时间变化的(1)按照实验装置图,把打点计时器固定在长木板④　　　　一端,接好电源。  (2)把一细线系在小车上,细线绕过定滑轮,下端挂合适的钩码,纸带穿过打点计时器,固定在小车后面。 (3)把小车停在⑤　　　　打点计时器处,接通电源,放开小车。  (4)小车运动到定滑轮前,断开电源,取下纸带。 (5)换纸带重复做三次,选择一条比较理想的纸带进行测量分析 　　【答案】①电磁打点计时器　②纸带　③刻度尺　④无定滑轮　⑤靠近 四、数据处理方法 1.利用平均速度求瞬时速度:vn=。 2.分析物体的运动性质——测量相邻计数点间的距离,计算相邻计数点间的距离之差,看其是否为常数,从而确定物体的运动性质,若物体做匀变速直线运动,则应满足Δs=s2-s1=s3-s2=…=aT2。 3.利用纸带求物体加速度的两种方法 (1)逐差法 根据s4-s1=s5-s2=s6-s3=3aT2(T为相邻计数点之间的时间间隔),求出a1=,a2=,a3=,然后取平均值,即==,即为物体的加速度。 在数据处理时可以将纸带重新分段,把6段距离分为“前三”和“后三”,“后三”减“前三”也为相邻相等时间间隔内的位移差,时间间隔为3T。 (2)图像法 利用vn=求出打各点时纸带的瞬时速度,然后作出v-t图像,用v-t图像的斜率求物体运动的加速度。 五、误差分析 1.根据纸带测量的位移有误差。 2.电源频率不稳定,造成相邻两点的时间间隔不完全相等。 3.纸带运动时打点不稳定引起测量误差。 六、注意事项 1.平行:纸带、细线要和长木板平行。 2.两先两后:实验中应先接通电源,后放开小车;实验完毕应先断开电源,后取纸带。 3.防止碰撞:在到达长木板末端前应让小车停止运动,防止钩码落地和小车与滑轮相撞。 4.减小误差:小车的加速度宜适当大些,可以减小长度的测量误差产生的影响,加速度大小以能在约50 cm的纸带上清楚地取出6~7个计数点为宜。 5.小车从靠近打点计时器位置释放。 考向1　教材原型实验的考查 【例1】某班同学充分利用实验室资源,采用不同的实验装置和方法研究匀变速直线运动规律。 (1)第一小组利用打点计时器对物块沿倾斜的长木板加速下滑时的运动进行探究,物块拖动纸带下滑,打出的纸带一部分如图1所示。已知打点计时器所用交流电的频率为50 Hz,纸带上标出的每两个相邻计数点之间还有4个计时点未画出。在A、B、C、D、E五个点中,A、E两点的间距是　　　cm;在打出C点时物块的速度大小为　　　　m/s(结果保留2位有效数字);物块下滑的加速度大小为　　　　 m/s2(结果保留2位有效数字)。  图1 (2)第二小组利用如图2所示装置研究匀变速直线运动规律。 ①实验时必要的措施是　　　　。  A.细线必须与长木板平行 B.先接通电源再释放小车 C.小车的质量远大于钩码的质量 D.平衡小车与长木板间的摩擦力 图4 ②某次实验通过电磁打点计时器打出纸带的一部分如图3所示,图中A、B、C、D、E为相邻的计数点,每两个相邻计数点间有4个计时点没有画出,打点计时器所接交流电源频率为50 Hz。分别测出A点到B、C、D、E点之间的距离为x1、x2、x3、x4,以A点作为计时起点,算出小车位移与对应运动时间的比值,并作出-t图像如图4所示。由图4求出小车加速度a=　　　　 m/s2,打A点时小车的速度vA=　　　　 m/s。(结果均保留2位有效数字)  　　【答案】(1)9.30　0.23　0.73　(2)①AB　②5.0　0.40 【解析】(1)刻度尺的分度值是0.1 cm,则读数为9.30 cm 由于每两个相邻计数点之间还有四个计时点,则相邻计数点之间的时间间隔T=5×0.02 s=0.1 s 根据匀变速直线运动中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度知vC=≈0.23 m/s 由图1得C点的读数为3.20 cm。由逐差法得 a=≈0.73 m/s2。 (2)①为了使小车做匀变速直线运动,细线必须与长木板平行,A项正确;先接通电源再释放小车,以充分利用纸带,B项正确;此实验中小车做匀加速运动即可,没必要使得小车的质量远大于钩码的质量,也没必要平衡小车与长木板间的摩擦力,C、D两项错误。 ②由x=vAt+at2,得=vA+at 结合图4得a= m/s2,vA=0.40 m/s 解得a=5.0 m/s2。 【巩固训练】 (2025·福建阶段练习)在气垫导轨上研究匀变速直线运动的示意图如图1所示,滑块上装有宽度为d的遮光条,滑块在钩码作用下先后通过两个光电门,用光电计时器记录遮光条通过光电门2的时间Δt及遮光条从光电门1运动到光电门2的时间t,用刻度尺测出两个光电门之间的距离x。 (1)用游标卡尺测量遮光条的宽度d,示数如图2所示,则d=　　　　cm。  (2)保持其他实验条件不变,只调节光电门2的位置,滑块每次都从同一位置由静止释放。 ①若记录几组x及对应t的数据,作出-t图像如图3所示,其斜率为k1,则滑块的加速度大小a=　　　　　(用k1表示);  ②若记录几组x及对应Δt的数据,作出-x图像如图4所示,其斜率为k2,则滑块的加速度大小a=　　　　　(用k2、d表示)。  　　【答案】(1)1.14　(2)①2k1　② 【解析】(1)遮光条的宽度d=11 mm+4×0.1 mm=11.4 mm=1.14 cm。 (2)①滑块从光电门1运动到光电门2,由位移公式有 x=v0t+at2 变化得=v0+at,结合-t图像可得a=2k1。 ②滑块从光电门1运动到光电门2,由速度—位移公式有 -=2ax 变化得=+x,结合-x图像得a=。 考向2　实验创新与拓展的考查 1.实验器材及速度的测量方法的改进(如图) 2.获得加速度方法的改进 靠重物的拉力获得加速度→长木板倾斜,靠重力获得加速度,如图1、图2所示。 3.用频闪照相的方法、滴水法或用光电计时器、手机录像代替打点计时器 通过以上装置的改进能最大限度地减少长木板和打点计时器的限位孔的阻力导致的小车加速度不恒定,使小车尽可能做匀加速直线运动,以提高实验的精确度。 【例2】(2025·江西二模)一辆小车上装有一个滴墨水的容器,每分钟滴出120滴墨水。重物通过滑轮用细绳牵引小车向右做匀加速直线运动,结果在水平桌面上留下一串墨滴,如图所示,测出ab=0.11 m,bc=0.15 m,cd=0.19 m,不计空气阻力。(计算结果均保留2位小数) 请回答下列问题: (1)b、c墨滴刚滴下时小车的速度分别是　　　m/s、　　　m/s。  (2)小车运动的加速度为　　　　m/s2。  　　【答案】(1)0.26　0.34　(2)0.16 【解析】(1)每分钟滴出120滴墨水,则时间间隔t==0.5 s 小车在滴下墨滴b的瞬时速度vb== m/s=0.26 m/s 小车在滴下墨滴c的瞬时速度vc== m/s=0.34 m/s。 (2)加速度a1===0.16 m/s2。 【例3】使用如图所示的装置探究物体沿斜面下滑的运动特点,操作步骤如下: ①让滑块从距离挡板s处由静止下滑,同时打开水箱阀门,让水流到量筒中(假设水流是均匀稳定的); ②当滑块碰到挡板时立即关闭阀门; ③记录量筒收集的水量V; ④改变s,重复以上操作; ⑤记录测得的数据并填写在表格中。 次数s/mV/mL 14.5095 24.0089 33.5084 43.0077 52.5071 根据表中数据得到s与　　　　(选填“”“V”或“V2”)  成正比,由此可得滑块沿斜面向下做　　　　运动。若保持下滑的距离s不变,仅增大滑块的质量,水量V将　　　　(选填“增大”“不变”或“减小”)。(实验允许有误差)  　　【答案】V2　匀变速直线　不变 【解析】在表格中计算出、V2,如表 次数s/mV/mL/V2/mL2 14.50959.759 025 24.00899.437 921 33.50849.177 056 43.00778.775 929 52.50718.435 041 　　从表格数据可以得出s与V2成正比,则s=kV2,由于水流均匀稳定,则量筒中收集的水量V和时间t成正比,所以s∝t2,由此可得滑块沿斜面向下做匀变速直线运动 位移s与体积V的二次方成正比,与滑块的质量无关,所以若保持下滑的距离s不变,仅增大滑块的质量,水量V将不变。 1 学科网（北京）股份有限公司 $