第1-2单元解答题高频易错题考点汇总训练（七大类型）-2026-2027学年北师大版数学九年级上册《典例全解·题型通关》

2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 第1-2单元解答题高频易错题考点汇总训练（七大类型） 目录 考点一菱形的性质与判定 1 考点二矩形的性质与判定 5 考点三正方形的性质与判定 9 考点四一元二次方程的认识 13 考点五一元二次方程的解法 15 考点六一元二次方程的根与系数的关系 18 考点七一元二次方程的应用 20 考点一菱形的性质与判定 1．如图，在菱形中，，为对角线，．求菱形各内角的度数． 【答案】 菱形的四个内角度数分别为，，， 【分析】利用菱形对角线平分内角、对角相等、邻角互补的性质，结合已知计算各内角． 【解答】解： ∵四边形是菱形，为对角线， ∴平分，，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴． 综上所述，菱形各内角的度数为，，，． 2．如图，在四边形中，平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）若的周长为18，求菱形的面积． 【答案】（1）证明：设与交于点O，如图所示： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； （2）24 【分析】（1）由角平分线的定义得，由平行线的性质得，，根据等腰三角形的判定得出，证明，得出，先证明四边形为平行四边形，再证明四边形为菱形； （2）先根据菱形的性质得出，，，，再根据的周长为18，得出，根据勾股定理求出，最后根据菱形的面积公式求出结果即可． 【解答】（1）略 （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵的周长为18， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得：， ∴， ∴菱形的面积为． 3．已知：如图，四边形是平行四边形，分别以、为腰作等腰三角形和等腰三角形，且顶角，连接、相交于点G，与相交于点H． （1）求证：； （2）当线段满足时，求证：四边形是菱形． 【答案】（1）证明： ∵， ∴， 即． ∵和都是等腰三角形， ∴，， 在和中， ， ∴． ∴． （2）证明： ∵线段满足， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴． 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 【分析】（1）由和公共角，可得；由和都是等腰三角形可得两三角形两腰分别相等，再由 与边、角、边对应相等可得，最后由全等三角形对应边相等从而得出结论． （2）先由推出（相似三角形的判定：两边成比例且夹角相等），再结合第（1）问的全等结论，推导，从而证明平行四边形是菱形（菱形定义：邻边相等的平行四边形是菱形）． 【解答】（1）略 （2）略 考点二矩形的性质与判定 4．如图，在矩形中，点在的延长线上，，连接与相交于点．若，求的度数． 【答案】 【分析】证明，得出，再根据，求出，即可得出答案． 【解答】解：∵四边形是矩形，点E在的延长线上， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 5．如图，某学校有一块形状为矩形的空地，米，米，现要在矩形空地中修建两个长为米，宽为米的矩形花坛（阴影部分）． （1）矩形空地的周长为______米；（结果化为最简二次根式） （2）除去修建花坛的地方，学校计划在其他地方铺上地砖，若铺地砖的造价为元/平方米，则铺完地砖需要花费多少元？ 【答案】（1） （2）元 【分析】（1）根据矩形的周长公式即可求出矩形空地的周长； （2）首先根据矩形的面积公式求出需要铺地砖的面积，再根据费用铺地砖的面积地砖的造价求出需要的费用． 【解答】（1）解：矩形空地的周长为： ； （2）解：根据题意得： （平方米）， 铺完地砖需要花费（元）， 答：铺完地砖需要花费元． 6．活动与探究 问题情境：在中，，，．直角三角板中，将三角板的直角顶点放在斜边的中点处，并将三角板绕点旋转，三角板的两边、分别与边、交于点、． （1）猜想证明：如图1，在三角板旋转过程中，当点为边的中点时，试判断四边形的形状，并说明理由； （2）问题解决：如图2，在三角板旋转过程中，当时，请求出线段的长． 【答案】（1）四边形是矩形，理由如下： ∵点为边的中点，点为边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形． （2） 【分析】（1）容易判断是的中位线，则，结合，因此四边形是矩形； （2）分别取、的中点、，连接、、，设，由中位线的性质可得，， ，，从而证明四边形是矩形，则．由勾股定理可得，，由列出方程，求解出的值即可． 【解答】（1）略 （2）解：如图，分别取、的中点、，连接、、，设， ∵点为的中点，点为的中点 ∴是的中位线， ∴，， ∴， 同理，也是的中位线， ∴，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴． 考点三正方形的性质与判定 7．如图，点在正方形的内部，连接，，若，，，求正方形的面积． 【答案】5 【分析】根据勾股定理求出的长，即可求出正方形的面积． 【解答】解：， ， 正方形的面积． 8．如图，将边长为的正方形折叠，使点落在边的中点处，点落在处，折痕为． （1）求线段长； （2）连接，并求的长． 【答案】（1）； （2） 【分析】（1）设线段长为，利用折叠性质得到，在中，根据勾股定理列方程求解的长度； （2）连接，先在中用勾股定理算出的长，再由折叠性质，得到的长． 【解答】（1）解：设，则， 由翻折的性质可知：， 为中点， ， 在中，由勾股定理可知：，， 解得：，即； （2）解：如图所示，连接， 由（1）得， ， 在中，， 由翻折的性质可知． 9．按要求解答下列问题： 【问题探究】 （1）如图1，四边形是正方形，是等腰直角三角形，，点在左侧，点在正方形内，连接、，判断与是否互余，请说明理由； 【问题解决】 （2）如图2，正方形是某农场一块种植区的示意图（周围空地可用），边的中点处有一口灌溉水井，现要对该种植区进行扩建与重新规划，在正方形内部的点处修一个蓄水池，连接，以为边向上方围出一块正方形区域，再从点向点修一条地下水管，为节约成本，要求水管的长度尽可能小．已知，，求地下水管长度的最小值．（水管的宽度和水井、蓄水池的大小均忽略不计） 【答案】（1）与互余，理由如下： ∵四边形为正方形， ∴，， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴与互余； （2） 【分析】（1）由正方形的性质可得，，由等腰直角三角形的性质可得，，证明，得出，求出，即可得证； （2）连接，，先证明，得出，，延长至点，使得，连接，则，再证明，得出，由题意可得，点在以点为圆心，为半径的半圆（正方形内部的部分）上运动，求出，连接，交半圆于点，则，再结合，得出当点、、在同一直线上时，的值最小，由勾股定理可得，从而即可得出结果． 【解答】（1）略； （2）解：如图，连接，， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 延长至点，使得，连接，则， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴当取得最小值时，取得最小值． ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵点在正方形内部，且， ∴点在以点为圆心，为半径的半圆（正方形内部的部分）上运动， 连接，交半圆于点，则， ∵， ∴当点、、在同一直线上时，的值最小， 由勾股定理可得， ∴的最小值为， ∴地下水管长度的最小值为． 考点四一元二次方程的认识 10．如图，大小两个四边形都是矩形，且阴影部分的面积为800．请列出关于x的方程． 【答案】 【解答】解：根据题意，得， 整理，得． 11．已知关于的方程． （1）当时，写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项． （2）当为何值时，此方程是一元一次方程？ 【答案】（1）一元二次方程的二次项系数是16，一次项系数是，常数项是7 （2）当时，此方程是一元一次方程 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元一次方程的定义． （1）将代入，得到，进而根据一元二次方程的定义作答即可； （2）根据一元一次方程的定义得到且，求解即可． 【解答】（1）解：当时，方程为， 即， 此时一元二次方程的二次项系数是16，一次项系数是，常数项是7； （2）解：根据题意，得且， 解得且， 即， 当时，此方程是一元一次方程． 12．定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”．例如方程的两个根是，因为，所以这个方程是“邻根方程”． （1）判断：方程_____“邻根方程”（填“是”或“不是”）； （2）已知关于的一元二次方程（m是常数）是“邻根方程”，求的值． 【答案】（1）是 （2）m的值为0或2 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，正确理解题意和熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据因式分解法解一元二次方程，然后根据“邻根方程”的定义判断即可； （2）解方程得到，，再由“邻根方程”的定义得到关于m的方程，解方程即可得到答案． 【解答】（1）解：， ∴，， ∵， ∴方程是“邻根方程”． 故答案为：是． （2）解：， ， ∴，， 由题意得：，即或， 解得，， ∴m的值为0或2． 考点五一元二次方程的解法 13．用适当的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解答】（1）解： 或 ， （2）解： 或 ， （3）解： 或 ， （4）解： 或 ， 14．已知关于x的方程． （1）求证：无论m取何实数，该方程总有实数根； （2）若该方程的一个根为2，求m的值及方程的另一个根． 【答案】（1）证明：， ∵，即， ∴无论m取何实数，该方程总有实数根； （2），另一个根为 【分析】（1）根据根的判别式进行证明即可； （2）先把代入方程，求出，再把代入方程，解方程即可． 【解答】（1）略 （2）解：把代入方程，得：， 即， 解得：， 此时方程为， 即， ∴或， 解得：，, ∴另一个根为． 15．阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题． 计算：．令，则原式． 问题：解方程：． 【答案】， 【分析】令，将原方程变形后计算即可． 【解答】解：令，则原方程化为，， 解得或． 当时，，， 解得，； 当时，，即． 因为，此时方程无实数根． 故原方程的解为，． 考点六一元二次方程的根与系数的关系 16．若关于x的一元二次方程的两根分别为，且，求k的值． 【答案】或 【分析】根据根与系数关系得到，由得到或，再利用根的判别式验证即可． 【解答】解：， ． ， ， 解得或． 当时，， 当时，， 即或符合题意． 17．已知关于的一元二次方程． （1）若方程的一个根为，求的值； （2）若方程有两个实数根，且它们的积为，求的值． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）把已知根直接代入方程，解出参数； （2）先用判别式保证方程有两个实数根，再用韦达定理，根据两根之积列式求． 【解答】（1）解：关于的一元二次方程，其中一个根为， ， 解得． （2）解：根据题意，得，解得， 该方程的两根之积为， ，解得，， 故． 18．已知m，n是关于x的一元二次方程的两个实数根． （1）若，求a的值； （2）已知等腰的一边长为7，若m，n恰好是另外两边的长，求的周长． 【答案】（1）6 （2）17 【分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． （2）分类讨论：①当7为底边长时，此时方程有两个相等的实数根，②当7为腰长时，设，再进一步求解即可． 【解答】（1）解：∵m，n是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴，且，， ， ∴ ， ∴， ∴， 或 ， ， 舍去． . （2）解：①当7为底边长时，此时方程有两个相等的实数根． ∴， 解得：， ∴方程化为：， ∴， ∴， ∵， ∴此时三角形不存在； ②当7为腰长时，设． 将代入方程， 得， ∴， 解得：或， 当时，方程变为， 解得或， ∵， ∴此时三角形不存在； 当时，方程变为， 解得：或， ∴的周长为17， 综上，的周长为17． 考点七一元二次方程的应用 19．为了响应“践行核心价值观，传递青春正能量”的号召，小颖决定走入社区号召大家参加“传递正能量志愿服务者”，被号召参加的人（包括小颖）下一周会继续号召，已知每一个人每周能够号召个人参加． 甲说：“第一周结束后，包括小颖在内有人参加了‘传递正能量志愿服务者’．” 乙说：“第二周新参加‘传递正能量志愿服务者’的有人．” （1）______的说法正确（填“甲”“乙”或“甲和乙”）； （2）丙说：“两周后，包括小颖在内有120人参加了‘传递正能量志愿服务者’．”请你通过列方程分析丙的说法是否正确． 【答案】（1）甲和乙 （2）丙的说法不正确 【分析】本题考查了列代数式、一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）根据每一个人每周能够号召个人参加列出代数式求解即可得； （2）根据题意建立方程，解方程，结合为正整数求解即可得． 【解答】（1）解：由题意可知，第一周结束后，包括小颖在内有人参加了“传递正能量志愿服务者”， 第二周新参加“传递正能量志愿服务者”的有人， 所以甲和乙的说法都正确， 故答案为：甲和乙． （2）解：由题意得：， 整理得：， 解得或（舍去）， 又∵是正整数， ∴不符合题意， 所以丙的说法不正确． 20．中秋是我国传统佳节，赏月、挂灯笼是流传千年的中秋民俗．莲花中学学生会开展中秋公益义卖活动，制作中秋主题灯笼文创套装，义卖所得全部捐给乡村学校，用于添置阅读书籍．每套灯笼制作成本40元，义卖标价58元/套．9月份第一期义卖售出256套，第三期义卖售出400套． （1）若每期义卖销售量的平均增长率相同，求销售量的每期平均增长率； （2）为筹集更多公益资金，学生会调整义卖标价．经调研：每套灯笼价格每降低1元，义卖的总套数会在第三期销售量的基础上增加20套．若要使义卖总筹款利润（筹款扣除制作成本）达到4800元，则每套灯笼的义卖价格应定为多少元？ 【答案】（1）销售量的每期平均增长率为 （2）每套灯笼的义卖价格应定为元 【分析】（1）设销售量的每期平均增长率为x，根据第一期和第三期的销售关系，利用增长后的量增长前的量，列方程求解即可； （2）设每套灯笼的义卖价格为y元，根据利润售价成本销售量，结合条件列出方程求解即可． 【解答】（1）解：设销售量的每期平均增长率为x， 根据题意，得 解得，（不符合题意，舍去） 答：销售量的每期平均增长率为； （2）解：设每套灯笼的义卖价格为y元， 根据题意，得 解得，（不符合题意，舍去） 答：每套灯笼的义卖价格应定为元． 21．某学校九年级举办了一场乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（每两位参赛选手之间都赛1场）． 乐乐和淇淇针对这次比赛有如下对话： 假设有x人报名参加比赛． （1）根据题意，乐乐列出的方程应该是：_________________________．请利用乐乐所列的方程分析淇淇的说法是否正确； （2）乐乐补充道：本次比赛的确一共进行了40场，只是在比赛过程中遇到了特殊情况，有1人身体不适，只参加了4场比赛后就中途退赛．请直接写出此时x的值． 【答案】（1），淇淇的说法正确 （2）10 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键． （1）设有x人报名参赛，根据题意列方程，然后解方程，根据方程根的情况可得结论； （2）结合设有x人报名参赛，有一人比赛了4场后退出比赛，由题意得，整理并求解即可． 【解答】（1）解：     淇淇的说法正确，理由如下： 解得：，     ∵x取正整数， ∴，均不满足实际问题，舍去 所以淇淇的说法正确． （2）解：∵有一人比赛了4场后退出比赛， 由题意得， 解得（舍去）， ∴x的值为10． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 第1-2单元解答题高频易错题考点汇总训练（七大类型） 目录 考点一菱形的性质与判定 1 考点二矩形的性质与判定 2 考点三正方形的性质与判定 4 考点四一元二次方程的认识 6 考点五一元二次方程的解法 7 考点六一元二次方程的根与系数的关系 7 考点七一元二次方程的应用 8 考点一菱形的性质与判定 1．如图，在菱形中，，为对角线，．求菱形各内角的度数． 2．如图，在四边形中，平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）若的周长为18，求菱形的面积． 3．已知：如图，四边形是平行四边形，分别以、为腰作等腰三角形和等腰三角形，且顶角，连接、相交于点G，与相交于点H． （1）求证：； （2）当线段满足时，求证：四边形是菱形． 考点二矩形的性质与判定 4．如图，在矩形中，点在的延长线上，，连接与相交于点．若，求的度数． 5．如图，某学校有一块形状为矩形的空地，米，米，现要在矩形空地中修建两个长为米，宽为米的矩形花坛（阴影部分）． （1）矩形空地的周长为______米；（结果化为最简二次根式） （2）除去修建花坛的地方，学校计划在其他地方铺上地砖，若铺地砖的造价为元/平方米，则铺完地砖需要花费多少元？ 6．活动与探究 问题情境：在中，，，．直角三角板中，将三角板的直角顶点放在斜边的中点处，并将三角板绕点旋转，三角板的两边、分别与边、交于点、． （1）猜想证明：如图1，在三角板旋转过程中，当点为边的中点时，试判断四边形的形状，并说明理由； （2）问题解决：如图2，在三角板旋转过程中，当时，请求出线段的长． 考点三正方形的性质与判定 7．如图，点在正方形的内部，连接，，若，，，求正方形的面积． 8．如图，将边长为的正方形折叠，使点落在边的中点处，点落在处，折痕为． （1）求线段长； （2）连接，并求的长． 9．按要求解答下列问题： 【问题探究】 （1）如图1，四边形是正方形，是等腰直角三角形，，点在左侧，点在正方形内，连接、，判断与是否互余，请说明理由； 【问题解决】 （2）如图2，正方形是某农场一块种植区的示意图（周围空地可用），边的中点处有一口灌溉水井，现要对该种植区进行扩建与重新规划，在正方形内部的点处修一个蓄水池，连接，以为边向上方围出一块正方形区域，再从点向点修一条地下水管，为节约成本，要求水管的长度尽可能小．已知，，求地下水管长度的最小值．（水管的宽度和水井、蓄水池的大小均忽略不计） 考点四一元二次方程的认识 10．如图，大小两个四边形都是矩形，且阴影部分的面积为800．请列出关于x的方程． 11．已知关于的方程． （1）当时，写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项． （2）当为何值时，此方程是一元一次方程？ 12．定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”．例如方程的两个根是，因为，所以这个方程是“邻根方程”． （1）判断：方程_____“邻根方程”（填“是”或“不是”）； （2）已知关于的一元二次方程（m是常数）是“邻根方程”，求的值． 考点五一元二次方程的解法 13．用适当的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 14．已知关于x的方程． （1）求证：无论m取何实数，该方程总有实数根； （2）若该方程的一个根为2，求m的值及方程的另一个根． 15．阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题． 计算：．令，则原式． 问题：解方程：． 考点六一元二次方程的根与系数的关系 16．若关于x的一元二次方程的两根分别为，且，求k的值． 17．已知关于的一元二次方程． （1）若方程的一个根为，求的值； （2）若方程有两个实数根，且它们的积为，求的值． 18．已知m，n是关于x的一元二次方程的两个实数根． （1）若，求a的值； （2）已知等腰的一边长为7，若m，n恰好是另外两边的长，求的周长． 考点七一元二次方程的应用 19．为了响应“践行核心价值观，传递青春正能量”的号召，小颖决定走入社区号召大家参加“传递正能量志愿服务者”，被号召参加的人（包括小颖）下一周会继续号召，已知每一个人每周能够号召个人参加． 甲说：“第一周结束后，包括小颖在内有人参加了‘传递正能量志愿服务者’．” 乙说：“第二周新参加‘传递正能量志愿服务者’的有人．” （1）______的说法正确（填“甲”“乙”或“甲和乙”）； （2）丙说：“两周后，包括小颖在内有120人参加了‘传递正能量志愿服务者’．”请你通过列方程分析丙的说法是否正确． 20．中秋是我国传统佳节，赏月、挂灯笼是流传千年的中秋民俗．莲花中学学生会开展中秋公益义卖活动，制作中秋主题灯笼文创套装，义卖所得全部捐给乡村学校，用于添置阅读书籍．每套灯笼制作成本40元，义卖标价58元/套．9月份第一期义卖售出256套，第三期义卖售出400套． （1）若每期义卖销售量的平均增长率相同，求销售量的每期平均增长率； （2）为筹集更多公益资金，学生会调整义卖标价．经调研：每套灯笼价格每降低1元，义卖的总套数会在第三期销售量的基础上增加20套．若要使义卖总筹款利润（筹款扣除制作成本）达到4800元，则每套灯笼的义卖价格应定为多少元？ 21．某学校九年级举办了一场乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（每两位参赛选手之间都赛1场）． 乐乐和淇淇针对这次比赛有如下对话： 假设有x人报名参加比赛． （1）根据题意，乐乐列出的方程应该是：_________________________．请利用乐乐所列的方程分析淇淇的说法是否正确； （2）乐乐补充道：本次比赛的确一共进行了40场，只是在比赛过程中遇到了特殊情况，有1人身体不适，只参加了4场比赛后就中途退赛．请直接写出此时x的值． 学科网（北京）股份有限公司 $