专题05 一元二次方程的解法及根与系数的关系《典例全解·题型通关》（十大题型30道题）2026-2027学年九年级上册数学北师大版

**基本信息** 以十大题型30道题系统覆盖一元二次方程解法及根与系数关系，通过从特殊到一般的方法进阶和问题拓展，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直接开平方法|3题|含参数方程求解及根的存在性判断|从特殊形式方程入手，奠定解法基础| |配方法|3题|方程变形、参数求解及最值应用|转化思想，为公式法推导做铺垫| |公式法|3题|直接应用求根公式及根的范围判断|一般解法，体现代数推理严谨性| |判别式应用|3题|根的情况判断及参数取值范围|连接方程解法与根的性质，培养逻辑推理| |因式分解法|3题|提公因式、十字相乘法解方程|特殊形式简便解法，强化运算技能| |换元法|3题|整体代换转化复杂方程|化归思想，拓展方程求解路径| |分式方程转化|3题|换元法转化及实际应用问题|模型意识，建立数学与现实联系| |根与系数关系|3题|代数式求值及参数求解|深化方程根的性质，提升综合应用能力|

2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 专题05 一元二次方程的解法及根与系数的关系 （十大题型30道题） 目录 知识点一直接开平方法解一元二次方程 1 知识点二配方法解一元二次方程 2 知识点三配方法的应用 2 知识点四公式法解一元二次方程 3 知识点五根据判别式判断一元二次方程根的情况 3 知识点六根据一元二次方程根的情况求参数 3 知识点七因式分解法解一元二次方程 4 知识点八换元法解一元二次方程 5 知识点九解分式方程（化为一元二次） 5 知识点十一元二次方程的根与系数的关系 5 知识点一直接开平方法解一元二次方程 1．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．一元二次方程的解是______． 3．计算 （1） （2）解方程： 知识点二配方法解一元二次方程 4．用配方法解方程时，原方程应变形为（     ） A． B． C． D． 5．把方程化成的形式，则m的值是________． 6．解方程： （1）； （2）（用配方法解方程）． 知识点三配方法的应用 7．将一元二次方程配方后变形为，则的值为（    ） A．－1 B．1 C． D． 8．将代数式配方后，发现它的最小值为______________________ 9．阅读下列材料： 材料一 “”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如： ，， 解决下列问题： （1）填空： ． （2）已知，求的值． （3）比较代数式与的大小，并说明理由 知识点四公式法解一元二次方程 10．方程的解为（  ） A． B． C． D．以上结论都不对 11．方程的正根介于正整数与之间，则________． 12．用公式法解一元二次方程：． 知识点五根据判别式判断一元二次方程根的情况 13．下列方程中，有两个不相等的实数根的是（     ） A． B． C． D． 14．若关于的方程没有实数根，则的取值范围为________． 15．已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程有两个实数根； （2）若为整数，该方程的两个实数根是否可以都为正整数？请说明理由． 知识点六根据一元二次方程根的情况求参数 16．若关于x的方程有两个实数根，则k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 17．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为______． 18．已知关于的一元二次方程（）有两个相等的实数根．求证：是非负数． 知识点七因式分解法解一元二次方程 19．一元二次方程的解是（     ） A． B． C．或 D．或 20．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中引用的三角形数表如图所示，此数表又被称为“杨辉三角”．若将“杨辉三角”中每一行从左往右数的第三个数字取出，比如，从第3行中取出数字1，从第4行中取出数字3，从第5行中取出数字6，…，以此类推，则数字15是从第_________行中取出的． 21．解方程： （1）； （2）． 知识点八换元法解一元二次方程 22．已知，则的值是（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 23．若，其中为实数且，，则____________． 24．已知，求的值． 知识点九解分式方程（化为一元二次） 25．解方程时，如果设，那么原方程可化为（   ） A． B． C． D． 26．方程的解为________． 27．为落实乡村快递配送，某物流园准备购入A、B两种型号的无人配送车，承担快递转运任务．已知A型无人车运送720件快递所用的时间与B型无人车运送480件快递所用的时间相同，且A型无人车每小时比B型无人车多运送15件，由于充电及道路拥堵问题，无人配送车的每天工作时间为8小时． （1）求A、B两种型号无人配送车每小时分别运送快递的件数； （2）若该物流园计划购入这两种无人配送车共20辆，保证每天至少6000件快递的转运量，求至少购入A型无人配送车多少辆？ 知识点十一元二次方程的根与系数的关系 28．设，是一元二次方程的两个根，则代数式的值为（     ） A．2 B． C． D． 29．已知，分别是关于x的方程的两个根，且满足，则k的值为______． 30．已知关于的方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程的两个不相等的实数根分别为，，且满足，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 专题05 一元二次方程的解法及根与系数的关系 （十大题型30道题） 目录 知识点一直接开平方法解一元二次方程 1 知识点二配方法解一元二次方程 2 知识点三配方法的应用 4 知识点四公式法解一元二次方程 6 知识点五根据判别式判断一元二次方程根的情况 7 知识点六根据一元二次方程根的情况求参数 9 知识点七因式分解法解一元二次方程 10 知识点八换元法解一元二次方程 12 知识点九解分式方程（化为一元二次） 14 知识点十一元二次方程的根与系数的关系 16 知识点一直接开平方法解一元二次方程 1．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程有实数根的条件，利用实数平方的非负性即可求解，整理方程后根据平方的非负性列不等式求解即可得到的取值范围． 【解答】解：对原方程移项整理得 ∵方程有实数根，任意实数的平方都大于等于 ∴ 解得． 2．一元二次方程的解是______． 【答案】4或/或4 【解答】解：， 开方得：． 3．计算 （1） （2）解方程： 【答案】（1） （2） 【解答】（1）解： ； （2）解：， ∴， ∴， ∴， ． 知识点二配方法解一元二次方程 4．用配方法解方程时，原方程应变形为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照配方法的步骤，先移项，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式即可得到结果． 【解答】解：∵， ∴， 等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得， ∴． 5．把方程化成的形式，则m的值是________． 【答案】3 【解答】解： ， ， ， ， ∴． 6．解方程： （1）； （2）（用配方法解方程）． 【答案】（1） （2） 【解答】（1）解：， ， 或， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 知识点三配方法的应用 7．将一元二次方程配方后变形为，则的值为（    ） A．－1 B．1 C． D． 【答案】D 【解答】解：∵方程两边同时加得， 整理为完全平方形式得， 对比，可得． 8．将代数式配方后，发现它的最小值为______________________ 【答案】 【分析】用配方法对二次代数式变形，根据完全平方式的非负性即可求出代数式的最小值． 【解答】解：对进行配方， ， ， 因此该代数式的最小值为． 9．阅读下列材料： 材料一 “”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如： ，， 解决下列问题： （1）填空： ． （2）已知，求的值． （3）比较代数式与的大小，并说明理由 【答案】（1）；1 （2） （3），理由见解析 【分析】（1），再根据完全平方公式进行配方； （2）将原式变形为，再由非负性求解； （3）利用作差法结合配方法求解即可． 【解答】（1）解：； （2）解： ∵ ∴， ∴ ∴； （3）解：，理由如下： ∵ ∴， ∴ ∴． 知识点四公式法解一元二次方程 10．方程的解为（  ） A． B． C． D．以上结论都不对 【答案】D 【分析】先将原方程整理为标准一元二次方程，求解后判断选项，注意不要误将方程右边当成0直接求解． 【解答】解：∵原方程为， 展开左边得， 整理为标准形式得， 计算判别式得， 由求根公式得方程的解为，该解不等于或， ∴选项A，B，C都错误，故选D． 11．方程的正根介于正整数与之间，则________． 【答案】2 【分析】先求解方程得到正根，再估算正根的范围，即可得到整数的值． 【解答】解：， ∴ ， ∴方程的正根为， ， ， ，则． 12．用公式法解一元二次方程：． 【答案】， 【分析】根据公式法求解即可． 【解答】解：一元二次方程为． 其中，，， 则， ∴， 解得， ． 知识点五根据判别式判断一元二次方程根的情况 13．下列方程中，有两个不相等的实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根，计算各选项的判别式即可得到结果． 【解答】对于一元二次方程，判别式为 选项A：方程中，， ， 方程没有实数根，A不符合要求； 选项B：方程中，， ， 方程有两个相等的实数根，B不符合要求； 选项C：方程中， ， 方程有两个不相等的实数根，C符合要求； 选项D：方程中， ， 方程没有实数根，D不符合要求． 14．若关于的方程没有实数根，则的取值范围为________． 【答案】 【解答】解：， ， ∵关于的方程没有实数根， ∴， 解得， ． 15．已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程有两个实数根； （2）若为整数，该方程的两个实数根是否可以都为正整数？请说明理由． 【答案】（1）证明：∵该方程是关于的一元二次方程， ∴ ∴该方程有两个不相等的实数根，即有两个实数根； （2）解：可以，理由如下： 由求根公式得， ∴， ∵为整数，且方程的两个实数根都为正整数， ∴为正整数 ∴为整数，且 ∵为整数， ∴的可能取值为， 当时，，两根为和，均为正整数； 当时，，两根为和，均为正整数； 当时，，不符合要求； 当时，，不符合要求 ∴该方程的两个实数根可以都为正整数． 【分析】（1）计算值，再判断的符号即可； （2）先由求根公式求出，，则为正整数，故为整数，且，则的可能取值为，，再分别代入求解即可． 【解答】（1）略 （2）略 知识点六根据一元二次方程根的情况求参数 16．若关于x的方程有两个实数根，则k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】当一元二次方程有两个实数根时，根的判别式，据此列出不等式求解即可得到的取值范围． 【解答】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴根的判别式， 方程中，，， 代入得：， 化简得， 解得， 因此的取值范围是． 17．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义可得二次项系数不为，再根据方程有两个相等的实数根，可得根的判别式的值为，据此列方程求解即可得到的值． 【解答】解：方程是关于的一元二次方程， ，即． 方程有两个相等的实数根， ， 整理得， 解得． ，符合题意， 故m的值为． 18．已知关于的一元二次方程（）有两个相等的实数根．求证：是非负数． 【答案】证明：关于的一元二次方程（）有两个相等的实数根， ， ， ， ， ∴是非负数． 【分析】首先根据一元二次方程有两个相等的实数根得到，然后代入得，即可得出结论． 【解答】略 知识点七因式分解法解一元二次方程 19．一元二次方程的解是（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题用因式分解法解一元二次方程，利用“若两个数乘积为0，则至少其中一个数为0”的性质求解即可． 【解答】解：∵， ∴或， 解得或． 20．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中引用的三角形数表如图所示，此数表又被称为“杨辉三角”．若将“杨辉三角”中每一行从左往右数的第三个数字取出，比如，从第3行中取出数字1，从第4行中取出数字3，从第5行中取出数字6，…，以此类推，则数字15是从第_________行中取出的． 【答案】7 【分析】观察杨辉三角中每一行第三个数字的变化规律，归纳出第行第三个数字的通项公式，建立方程求解行数． 【解答】解：由图可知：第3行从左往右数的第3个数字为1，即； 第4行从左往右数的第3个数字为3，即； 第5行从左往右数的第3个数字为6，即； 归纳规律：第行第三个数字为， 令， 整理得， 解得，（舍去）， 故数字15是从第7行中取出的． 21．解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2），． 【分析】（1）用因式分解法解一元二次方程； （2）用求根公式法解一元二次方程． 【解答】（1）解： ， 移项得： 提公因式得：， 整理得：， 可得：或， 解得：； （2）解：。 整理得：， 其中，，， ， 方程有两个不相等的实数根， ， 方程的解为，． 知识点八换元法解一元二次方程 22．已知，则的值是（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】D 【分析】本题考查换元法和完全平方公式的应用，通过设，将原式转化为关于的方程，利用完全平方公式展开求解即可． 【解答】解：∵ ∴设，则， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 即 故选：D． 23．若，其中为实数且，，则____________． 【答案】 【分析】先对第二个方程变形，整理得到关于的一元二次方程，该方程与已知关于的方程形式相同，结合条件可知和是该一元二次方程的两个不同根，计算可得两者的和． 【解答】解：已知，，且，． 由可得，若，等式左边为，不成立． 将两边同时除以， 得：， 移项整理得：， 因此和都是一元二次方程的根． 对因式分解， 得， 解得方程的两个根为，． ∵，因此和为方程两个不同的根． ． 24．已知，求的值． 【答案】3 【分析】本题考查了代数式求值，用换元法解一元二次方程，解题的关键是掌握换元法． 设，可得一元二次方程，解一元二次方程可得答案． 【解答】解：设，则原方程等价于， ∴， 解得或（不符合题意，舍取）， ∴． 知识点九解分式方程（化为一元二次） 25．解方程时，如果设，那么原方程可化为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了换元法解分式方程．先将原方程根据完全平方公式变形，然后用换元即可解答． 【解答】解：， ∴， 设，则， 整理得：． 故选：C． 26．方程的解为________． 【答案】 【分析】把分式方程转化为一元二次方程进行求解，需要对根进行检验． 【解答】， ， ， ， ， ， 解得：， 检验：当时，，是增根，舍去， 当时，，是原分式方程的根， 方程的解为． 27．为落实乡村快递配送，某物流园准备购入A、B两种型号的无人配送车，承担快递转运任务．已知A型无人车运送720件快递所用的时间与B型无人车运送480件快递所用的时间相同，且A型无人车每小时比B型无人车多运送15件，由于充电及道路拥堵问题，无人配送车的每天工作时间为8小时． （1）求A、B两种型号无人配送车每小时分别运送快递的件数； （2）若该物流园计划购入这两种无人配送车共20辆，保证每天至少6000件快递的转运量，求至少购入A型无人配送车多少辆？ 【答案】（1）A型无人配送车每小时运送快递45件，B型无人配送车每小时运送快递30件 （2） 至少购入A型无人配送车10辆 【分析】（1）根据“时间工作总量工作效率”列式，根据两种型号车的时间关系列等式求解即可； （2）根据“工作总量总工作效率总工作时间”列不等式． 【解答】（1）解：设A型号无人配送车每小时运送快递的件数为件，则B型号无人配送车每小时运送快递的件数为件， 由题意得， 解得， 经检验，当时，， ∴是原分式方程的解， ∴， ∴A型无人配送车每小时运送快递45件，B型无人配送车每小时运送快递30件． （2）解：设A型无人配送车有辆，则B型号无人配送车有辆， 则， 解得， ∴至少购入A型无人配送车10辆． 知识点十一元二次方程的根与系数的关系 28．设，是一元二次方程的两个根，则代数式的值为（     ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，． 【解答】解：∵，是一元二次方程的两个根， ，． ． 29．已知，分别是关于x的方程的两个根，且满足，则k的值为______． 【答案】 【分析】关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，． 【解答】解：∵，分别是关于x的方程的两个根， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 30．已知关于的方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程的两个不相等的实数根分别为，，且满足，求的值． 【答案】（1） （2）5 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可得，求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，，结合求出k的值． 【解答】（1）解：∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴． （2）解：∵该方程的两个不相等的实数根分别为，， ∴，， ， ， ， ∴， 解得， 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