第三章 图形的相似 单元检测 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

北师大版（2024）九年级上册 第三章 图形的相似 单元检测 一、选择题 1．已知△ABC∽△DEF，△ABC的面积为1，△DEF的面积为4，则△ABC与△DEF的周长之比为(　　) A．1∶2 B．1∶4 C．2∶1 D．4∶1 2．已知△ABC的三边长分别为1，3，2，△A′B′C′的两边长分别为2和6，如果△ABC∽△A′B′C′，那么△A′B′C′的第三边为(　　) A．2 B．22 C．62 D．2 3．如果两个相似三角形对应高的比为3∶5，面积之比为2∶x，那么x的算术平方根为(　　) A． B．± C． D．± 4．若四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，AB与A′B′，AD与A′D′分别是对应边，AB＝8cm，A′B′＝6cm，AD＝5cm，则A′D′等于（ ） A．cm B．cm C．cm D．cm 5．如图，已知在△ABC中，∠AED＝∠ACE，且D，E分别为AC，AB的中点，则AC∶AB的值为 （      ）  A．1∶2 B．∶2 C．2∶3 D．(－1)∶2 6．如图，正五边形FGHMN是由正五边形ABCDE经过位似变换得到的，若AB∶FG＝2∶3，则下列结论正确的是 （      ）  A．2DE＝3MN B．3DE＝2MN C．3∠A＝2∠F D．2∠A＝3∠F 7．若两个三角形相似，且相似比为1∶3，则这两个三角形对应角平分线的比为(　　) A．1∶ B．1∶3 C．1∶6 D．1∶9 8．如果一个直角三角形的两条边分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3,4及x，那么x的值(　　) A．只有一个 B．可以有2个 C．可以有3个 D．无数个 9．如图，点P是△ABC的重心，点D是边AC的中点，PE∥AC交BC于点E，DF∥BC交EP延长线于点F.若四边形CDFE的面积为6，则△ABC的面积为(　　) A．12 B．14 C．18 D．24 10．如图，矩形中，，，点E在边上，点在边上，点G、H在对角线上，若四边形是菱形，则的长是（  ） A． B．7 C．8 D． 11．如图，大三角形与小三角形是位似图形．若小三角形一个顶点的坐标为（m，n），则大三角形中与之对应的顶点坐标为（  ） A．（﹣2m，﹣2n） B．（2m，2n） C．（﹣2n，﹣2m） D．（2n，2m） 12．如图，在△ABC中，E、F分别是AB和AC上的中点，P是BC所在直线上任一点，当点P在BC所在直线上移动时，下列结论不正确的(　　) A．△PEF的周长总等于△AEF的周长 B．PE+PF可能等于 C．S△EFP=S△ABC D．S△EFP＝S△AEF 二、填空题 13．如图，在▱ABCD中，点E为CD上一点，且DE＝CE，连接BE并延长，交AD的延长线于点F，连接AE，则S△FED∶S△EAB＝　　　　　　. 14．已知△ABC∽△A′B′C′，且S△ABC∶S△A′B′C′＝16∶9，若AB＝4，则A′B′＝__________. 15．若△ABC∽△DEF，且相似比k＝12，当S△ABC＝6 cm2时，则S△DEF＝__________ cm2. 16．已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为1，△DEF的周长为3，则△ABC与△DEF的面积之比为__________． 17．已知P是x轴的正半轴上的点，△ADC是由等腰直角三角形EOG以P为位似中心变换得到的，如图，已知EO＝1，OD＝DC＝2，则位似中心P点的坐标是  __________ ． 三、解答题 18．已知△ABC和△DEF，根据下列条件判断它们是否相似，并说明理由. 19．如图，作一个新四边形，使其与四边形ABCD位似，且各边均为四边形ABCD的3倍. 20．如图，已知A（﹣4，2），B（﹣2，6），C（0，4）是直角坐标系平面上三点． （1）把△ABC向右平移4个单位再向下平移1个单位，得到△A1B1C1．画出平移后的图形，并写出点A的对应点A1的坐标； （2）以原点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的一半，得到△A2B2C2，请在所给的坐标系中作出所有满足条件的图形． 21．如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC三个顶点分别为A（﹣1，2）、B（2，1）、C（4，5）． （1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1； （2）以原点O为位似中心，在x轴的上方画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2． 22．综合探究 如图1，平面直角坐标系中，，反比例函数的图象分别交矩形的两边、于、（、不与A重合），沿着将矩形折叠使A、重合． （1）当点为中点时，求点的坐标，并直接写出与对角线的关系； （2）如图2，连接． ①与是否相似？请说明理由； ②的周长是否有最小值，若有，请求出最小值；若没有，请说明理由． ③当平分时，直接写出的值． 北师大版（2024）九年级上册 第三章 图形的相似 单元检测（参考答案） 一、选择题 1．已知△ABC∽△DEF，△ABC的面积为1，△DEF的面积为4，则△ABC与△DEF的周长之比为(　　) A．1∶2 B．1∶4 C．2∶1 D．4∶1 【答案】A 【解析】∵△ABC∽△DEF，∴△ABC的面积：△DEF的面积＝△ABC与△DEF的周长之比的平方，而△ABC的面积为1，△DEF的面积为4，∴△ABC与△DEF的周长之比＝1∶2.故选A. 2．已知△ABC的三边长分别为1，3，2，△A′B′C′的两边长分别为2和6，如果△ABC∽△A′B′C′，那么△A′B′C′的第三边为(　　) A．2 B．22 C．62 D．2 【答案】D 【解析】设△A′B′C′的第三边为x，∵△ABC∽△A′B′C′，△ABC的三边长分别为1，3，2，△A′B′C′的两边长分别为2和6，∴1∶2＝3∶6＝2∶x，解得x＝2.故选D. 3．如果两个相似三角形对应高的比为3∶5，面积之比为2∶x，那么x的算术平方根为(　　) A． B．± C． D．± 【答案】A 【解析】∵两个相似三角形对应高的比为3∶5，∴两个相似三角形的相似比为3∶5，∴两个相似三角形面积比为9∶25，∴2∶x＝9∶25，解得x＝，∴x的算术平方根为，故选A. 4．若四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，AB与A′B′，AD与A′D′分别是对应边，AB＝8cm，A′B′＝6cm，AD＝5cm，则A′D′等于（ ） A．cm B．cm C．cm D．cm 【答案】B 【解析】∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，AB与A′B′，AD与A′D′分别是对应边， ∴， ∵AB=8cm，A′B′=6cm，AD=5cm， ∴， 解得：A′D′= ． 故选：B． 5．如图，已知在△ABC中，∠AED＝∠ACE，且D，E分别为AC，AB的中点，则AC∶AB的值为 （      ）  A．1∶2 B．∶2 C．2∶3 D．(－1)∶2 【答案】B 【解析】设AD＝x，则AC＝2x， ∵∠AED＝∠ACE，∠A＝∠A， ∴△AED∽△ACE， ∴，∴， 解得AE＝x， ∴AB＝2x， ∴AC∶AB＝2x∶2x＝∶2. 6．如图，正五边形FGHMN是由正五边形ABCDE经过位似变换得到的，若AB∶FG＝2∶3，则下列结论正确的是 （      ）  A．2DE＝3MN B．3DE＝2MN C．3∠A＝2∠F D．2∠A＝3∠F 【答案】B 【解析】∵正五边形FGHMN和正五边形ABCDE位似， ∴DE∶MN＝AB∶FG＝2∶3， ∴3DE＝2MN. 7．若两个三角形相似，且相似比为1∶3，则这两个三角形对应角平分线的比为(　　) A．1∶ B．1∶3 C．1∶6 D．1∶9 【答案】B 8．如果一个直角三角形的两条边分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3,4及x，那么x的值(　　) A．只有一个 B．可以有2个 C．可以有3个 D．无数个 【答案】B 【解析】∵一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形的边长分别是3和4及x，∴x可能是斜边或4是斜边，∴x＝5或7.∴x的值可以有2个．故选B. 9．如图，点P是△ABC的重心，点D是边AC的中点，PE∥AC交BC于点E，DF∥BC交EP延长线于点F.若四边形CDFE的面积为6，则△ABC的面积为(　　) A．12 B．14 C．18 D．24 【答案】C 【解析】如图，连接BD，CP，延长CP交AB于点G，连接DG. ∵点P是△ABC的重心， ∴点G是AB的中点， ∵点D是边AC的中点， ∴P在BD上，S△ABC=2S△BDC， DG∥BC，DG=BC， ∵DF∥BC， ∴D，F，G在一条直线上， ∴△DGP∽△BCP， ∴==， ∵DF∥BC， ∴△DFP∽△BEP， ∴=. ∵EF∥AC， ∴△BEP∽△BCD. ∴===. 设△DFP的面积为m，则△BEP的面积为4m，△BCD的面积为9m， ∵四边形CDFE的面积为6， ∴m+9m-4m=6，∴m=1. ∴△BCD的面积为9， ∴△ABC的面积是18. 10．如图，矩形中，，，点E在边上，点在边上，点G、H在对角线上，若四边形是菱形，则的长是（  ） A． B．7 C．8 D． 【答案】D 【解析】如图，连接交于O， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵ ， ∵，， ∴， ， ∴． 故选：D． 11．如图，大三角形与小三角形是位似图形．若小三角形一个顶点的坐标为（m，n），则大三角形中与之对应的顶点坐标为（  ） A．（﹣2m，﹣2n） B．（2m，2n） C．（﹣2n，﹣2m） D．（2n，2m） 【答案】A 【解析】解：过C作CR⊥X轴于R，CK⊥y轴于K，过F作FG⊥X轴于G，FH⊥y轴， 根据图象得：＝， ∵大三角形与小三角形是位似图形，∴＝＝＝， 根据平行线分线段成比例定理得：＝＝＝， ∵CR＝OK＝﹣n，CK＝OR＝﹣m， ∴FH＝OG＝﹣2m，FG＝﹣2n， ∴小三角形上的顶点（m，n）对应于大三角形上的顶点是（﹣2m，﹣2n）， 故选：A． 12．如图，在△ABC中，E、F分别是AB和AC上的中点，P是BC所在直线上任一点，当点P在BC所在直线上移动时，下列结论不正确的(　　) A．△PEF的周长总等于△AEF的周长 B．PE+PF可能等于 C．S△EFP=S△ABC D．S△EFP＝S△AEF 【答案】A 【解析】当P是BC中点时， ∵E是AB中点，F是AC中点， ∴PE、PF是△ABC的中位线， ∴PE＝AC＝AF，PF＝AB＝AE， ∴PE+PF＝（AB+AC），AE+AF＝PE+PF， ∴此时△PEF的周长＝△AEF的周长， 若P不是BC中点，则△PEF的周长≠△AEF的周长， 故A符合题意；B不符合题意； 过A作AN⊥BC于N交EF于M， ∵EF是△ABC的中位线， ∴EF∥BC，BC＝2EF， ∴AM：MN＝AE：BE，AN⊥EF， ∵AE＝BE， ∴AM＝MN， ∴S△PEF＝S△AEF， 故D不符合题意； ∵S△AEF＝EF•AM，S△ABC＝BC•AN，BC＝2EF，AN＝2AM， ∴S△AEF＝S△ABC， ∴S△PEF＝S△ABC， 故C不符合题意． 故选：A． 二、填空题 13．如图，在▱ABCD中，点E为CD上一点，且DE＝CE，连接BE并延长，交AD的延长线于点F，连接AE，则S△FED∶S△EAB＝　　　　　　. 【答案】1∶6 【解析】设＝a，则S△EAB＝a， S△ADE＋S△BCE＝a. ∵DE＝CE，∴S△ADE∶S△BCE＝1∶2， ∴S△BCE＝×a＝a. ∵AD∥BC，∴△FED∽△BEC， ∴， ∴S△FED＝×a＝a， ∴S△FED∶S△EAB＝a∶a＝1∶6. 14．已知△ABC∽△A′B′C′，且S△ABC∶S△A′B′C′＝16∶9，若AB＝4，则A′B′＝__________. 【答案】3 【解析】∵△ABC∽△A′B′C′，且S△ABC∶S△A′B″C′＝16∶9，∴AB∶A′B′＝4∶3，∵AB＝4，∴A′B′＝3. 15．若△ABC∽△DEF，且相似比k＝12，当S△ABC＝6 cm2时，则S△DEF＝__________ cm2. 【答案】24 【解析】∵△ABC∽△DEF，且相似比k＝12，∴面积比为1∶4， ∵S△ABC＝6 cm2，∴S△DEF＝4S△ABC＝24(cm2)． 16．已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为1，△DEF的周长为3，则△ABC与△DEF的面积之比为__________． 【答案】1∶9 【解析】∵△ABC∽△DEF，△ABC的周长为1，△DEF的周长为3，∴△ABC与△DEF的周长比为1∶3，∴△ABC与△DEF的相似比为1∶3，∴△ABC与△DEF的面积之比为1∶9， 17．已知P是x轴的正半轴上的点，△ADC是由等腰直角三角形EOG以P为位似中心变换得到的，如图，已知EO＝1，OD＝DC＝2，则位似中心P点的坐标是  __________ ． 【答案】（，0） 【解析】解：∵EO＝1，DC＝2， ∴△ACD与△GOE的位似比是2：1， ∴AD：OG＝2：1， ∵△ADC是等腰直角三角形， ∴AD⊥x轴，∴AD∥OG， ∴△OPG∽△DPA， ∴PD：OP＝2：1， ∵OD＝2，∴OP＝， ∴位似中心P点的坐标是（，0）． 三、解答题 18．已知△ABC和△DEF，根据下列条件判断它们是否相似，并说明理由. 【答案】解 在△ABC中，AB>BC>CA，在△DEF中，DE>EF>FD. ∵＝0.6， ＝0.6， ＝0.6， ∴， ∴△ABC∽△DEF. 19．如图，作一个新四边形，使其与四边形ABCD位似，且各边均为四边形ABCD的3倍. 【答案】解　方法一　位似中心在图形外，在图形的外面任选一点O，如图①. (1)作射线OA，OB，OC，OD，在这些射线上分别截取OA'＝3OA，OB'＝3OB，OC'＝3OC，OD'＝3OD. (2)顺次连接点A'，B'，C'，D'，所得四边形A'B'C'D'即为所求. 方法二　位似中心在图形上，例如：以点B为位似中心，如图②. (1)延长BA，BC分别到点A'，C'，使BA'＝3BA，BC'＝3BC. (2)连接BD并延长到点D'，使BD'＝3BD. (3)连接A'D'，D'C'，所得四边形A'BC'D'即为所求. 20．如图，已知A（﹣4，2），B（﹣2，6），C（0，4）是直角坐标系平面上三点． （1）把△ABC向右平移4个单位再向下平移1个单位，得到△A1B1C1．画出平移后的图形，并写出点A的对应点A1的坐标； （2）以原点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的一半，得到△A2B2C2，请在所给的坐标系中作出所有满足条件的图形． 【答案】解：（1）△A1B1C1如图所示，其中A1的坐标为：（0，1）； （2）符合条件△A2B2C2有两个，如图所示． 21．如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC三个顶点分别为A（﹣1，2）、B（2，1）、C（4，5）． （1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1； （2）以原点O为位似中心，在x轴的上方画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2． 【答案】解：（1）如图所示，△A1B1C1就是所求三角形. （2）如图所示，△A2B2C2就是所求三角形． ∵A（﹣1，2），B（2，1），C（4，5），△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2， ∴A2（﹣2，4），B2（4，2），C2（8，10）. 22．综合探究 如图1，平面直角坐标系中，，反比例函数的图象分别交矩形的两边、于、（、不与A重合），沿着将矩形折叠使A、重合． （1）当点为中点时，求点的坐标，并直接写出与对角线的关系； （2）如图2，连接． ①与是否相似？请说明理由； ②的周长是否有最小值，若有，请求出最小值；若没有，请说明理由． ③当平分时，直接写出的值． 【答案】（1）解： 点E为中点，，， 将代入，得， 点F的坐标为， ∴，分别为，的中点， ∴． （2）解：①与相似，理由如下： 连接、，， ∴， 将代入得，， 将代入得，， ， ，又， ； ②∵ ，， ∵A，关于对称， ，， ∴点D在过点A且与垂直的直线上． ， 当时取最小值时，有最小值， 如图，此时，点D在线段上． ， 又， ， ，即， ∴， 有最小值为． ③当点在x轴上时，同理可得：， ∵矩形中， ∴， ∴， 而， ∴， ，即 ， ∴， ∴点坐标为， 设直线解析式为：，代入，， 得， 解得， ∴直线解析式为：， 如图，当平分时，延长与x轴交于点G， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴直线与轴的交点坐标为：， ∴同理可得：直线解析式为：， 联立得， 解得， ， ∴中点坐标为， 点，， 同理可得：直线解析式为：， ∵， ∴设解析式为：，代入得， 解得， ∴解析式为：， 当时，， ∴点F的坐标为， ． 学科网（北京）股份有限公司 $