第三章 图形的相似 单元检测2026-2027学年北师大版九年级数学上册

北师大版（2024）九年级上册 第三章 图形的相似 单元检测 一、选择题 1．已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为，则△ABC与△DEF对应中线的比为（　　） A． B． C． D． 2．如图，△ABC与△DEF是位似图形，点A（﹣1，2）和点D（2，﹣4）是对应点，则△ABC内的点P（m，n）的对应点P′的坐标为（　　） A．（2m，2n） B．（﹣2m，﹣2n） C．（2m，﹣2n） D．（﹣2m，2n） 3．在平面直角坐标系中，已知点A(6，4)，B(4，-2)，以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A'的坐标是(　　) A．(3，2) B．(12，8) C．(12，8)或(-12，-8) D．(3，2)或(-3，-2) 4．一个三层折叠花架如图所示，已知AB∥CD∥EF，AC＝30 cm，CE＝50 cm，BD＝45 cm，则BF＝(　　) A．60 cm B．65 cm C．75 cm D．120 cm 5．若两个相似三角形的相似比是1∶3，则这两个相似三角形的面积比是 A．1∶3 B．1∶4 C．1∶6 D．1∶9 6．为测量操场上旗杆的高度，小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理，她拿出随身携带的镜子和卷尺，先将镜子放在脚下的地面上，然后后退，直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E，标记好脚掌中心位置为B，测得脚掌中心位置B到镜面中心C的距离是50 cm，镜面中心C距离旗杆底部D的距离为4 m，如图所示.已知小丽同学的身高是1.54 m，眼睛位置A距离小丽头顶的距离是4 cm，则旗杆DE的高度等于 A．10 m B．12 m C．12.4 m D．12.32 m 7．小颖同学是校园艺术节的主持人，学完黄金分割后她想，主持节目时如果站在舞台长的黄金分割点的位置，会让台下的同学们看起来效果更好，于是她将舞台的长看作线段AB，量得AB＝8米，若点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则线段AC的长为(　　) A． B．4（） C． D． 8．如图，△ABC与△DEC都是等边三角形，固定△ABC，将△DEC从图示位置绕点C逆时针旋转一周，在△DEC旋转的过程中，△DEC与△ABC位似的位置有 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个及3个以上 9．如图，平面直角坐标系中，A（1，4）、B（3，1）、C（9，7）、D（13，1），若以CD为边的三角形与△OAB位似，则这两个三角形的位似中心为（　　） A．（0，0） B．（3，4）或（﹣6，2） C．（5，3）或（﹣7，1） D．不能确定 10．一个等腰直角三角形和一个正方形如图摆放，被分割成了5个部分．①，②，③这三块的面积比依次为1：4：41，那么，④，⑤这两块的面积比是（　　） A．3：4 B．9：14 C．4：5 D．9：16 11．如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，AB＝4，则A1B1的长为（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 12．如图，在△ABC中，E、F分别是AB和AC上的中点，P是BC所在直线上任一点，当点P在BC所在直线上移动时，下列结论不正确的(　　) A．△PEF的周长总等于△AEF的周长 B．PE+PF可能等于 C．S△EFP=S△ABC D．S△EFP＝S△AEF 二、填空题 13．如图，已知矩形ABCD中，AB=2，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点处，若四边形CEFD与矩形ABCD相似，则AD=__________.  14．将三角形纸片(△ABC)按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B'，折痕为EF.已知AB=AC=3，BC=4，若以点B'，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是__________.  15．如图，点P是AB的黄金分割点，如果AB的长为(4＋4)cm，那么AP的长为__________ cm. 16．如图，正方形ABCD中，BC＝2，点M是边AB的中点，连接DM，DM与AC交于点P，点E在DC上，点F在DP上，且∠DFE＝45°．若PF＝__________，则CE＝ __________ ． 17．如图，O点是△ABC与△D1E1F1的位似中心，△ABC的周长为1．若D1、E1、F1分别是线段OA、OB、OC的中点，则△D1E1F1的周长为；若OD2＝OA、OE2＝OB、OF2＝OC，则△D2E2F2的周长为；…若ODn＝OA、OEn＝OB、OFn＝OC，则△DnEnFn的周长为__________．（用正整数n表示） 三、解答题 18．如图所示，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，把小正方形的顶点叫做格点，O为平面直角坐标系的原点，矩形OABC的4个顶点均在格点上，连接对角线OB. (1)在平面直角坐标系内，以原点O为位似中心，把△OAB缩小，作出它的位似图形，并且使所作的位似图形与△OAB的相似比等于； (2)将△OAB以原点O为旋转中心，逆时针旋转90°，得到△OA1B1，作出△OA1B1，并求出线段OB旋转过程中所形成扇形的周长. 19．根据下列条件求x∶y∶z的值. (1)x∶y=3∶7，y∶z=4∶7； (2)x∶y=∶，x∶z=0.3∶0.2. 20．为测量操场上悬挂国旗的旗杆的高度，设计的测量方案如图所示：标杆高度CD＝3 m，标杆与旗杆的水平距离BD＝15 m，人的眼睛与地面的高度EF＝1.6 m，人与标杆CD的水平距离DF＝2 m，E，C，A三点共线，求旗杆AB的高度． 21．△ABC∽△A′B′C′，，AB边上的中线CD＝4 cm，△ABC的周长为20 cm，△A′B′C′的面积是64 cm2，求： （1）A′B′边上的中线C′D′的长； （2）△A′B′C′的周长； （3）△ABC的面积． 22．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度，沿射线BC方向运动，动点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度，沿线段CD方向运动．点P和点Q同时出发，当点Q到达点D时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）． （1）用含t的代数式表示线段CP的长； （2）当PQ与矩形的对角线平行时，求t的值． 北师大版（2024）九年级上册 第三章 图形的相似 单元检测（参考答案） 一、选择题 1．已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为，则△ABC与△DEF对应中线的比为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为， ∴△ABC与△DEF对应中线的比为， 故选：A． 2．如图，△ABC与△DEF是位似图形，点A（﹣1，2）和点D（2，﹣4）是对应点，则△ABC内的点P（m，n）的对应点P′的坐标为（　　） A．（2m，2n） B．（﹣2m，﹣2n） C．（2m，﹣2n） D．（﹣2m，2n） 【答案】B 【解析】∵点A（﹣1，2）和点D（2，﹣4）是对应点，可得其位似比为1：2， ∴△ABC内的点P（m，n）的对应点P′的坐标为：（﹣2m，﹣2n）． 故选：B． 3．在平面直角坐标系中，已知点A(6，4)，B(4，-2)，以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A'的坐标是(　　) A．(3，2) B．(12，8) C．(12，8)或(-12，-8) D．(3，2)或(-3，-2) 【答案】D 【解析】如图，△A'B'O与△A″B″O即为所作的位似图形，可求得点A的对应点的坐标为(3，2)或(-3，-2). 4．一个三层折叠花架如图所示，已知AB∥CD∥EF，AC＝30 cm，CE＝50 cm，BD＝45 cm，则BF＝(　　) A．60 cm B．65 cm C．75 cm D．120 cm 【答案】D 【解析】∵AB∥CD∥EF， ∴， ∵AC＝30 cm，CE＝50 cm，BD＝45 cm， ∴， 解得：DF＝75， ∴BF＝BD+DF＝45+75＝120(cm)， 故选：D． 5．若两个相似三角形的相似比是1∶3，则这两个相似三角形的面积比是 A．1∶3 B．1∶4 C．1∶6 D．1∶9 【答案】D 6．为测量操场上旗杆的高度，小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理，她拿出随身携带的镜子和卷尺，先将镜子放在脚下的地面上，然后后退，直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E，标记好脚掌中心位置为B，测得脚掌中心位置B到镜面中心C的距离是50 cm，镜面中心C距离旗杆底部D的距离为4 m，如图所示.已知小丽同学的身高是1.54 m，眼睛位置A距离小丽头顶的距离是4 cm，则旗杆DE的高度等于 A．10 m B．12 m C．12.4 m D．12.32 m 【答案】B 【解析】由题意可得AB=1.5 m，BC=0.5 m，DC=4 m，△ABC∽△EDC. 则=，即=. 解得DE=12 m. 7．小颖同学是校园艺术节的主持人，学完黄金分割后她想，主持节目时如果站在舞台长的黄金分割点的位置，会让台下的同学们看起来效果更好，于是她将舞台的长看作线段AB，量得AB＝8米，若点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则线段AC的长为(　　) A． B．4（） C． D． 【答案】B 【解析】∵点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），AB＝8米， ∴AC＝AB＝×8＝4（﹣1）米， 故选：B． 8．如图，△ABC与△DEC都是等边三角形，固定△ABC，将△DEC从图示位置绕点C逆时针旋转一周，在△DEC旋转的过程中，△DEC与△ABC位似的位置有 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个及3个以上 【答案】C 【解析】∵△ABC与△DEC都是等边三角形， ∴△ABC∽△DEC， 由位似变换的概念可知，在△DEC旋转的过程中，当点D落在线段AC和线段AC的延长线上时，AD和BE相交于点C，此时△DEC与△ABC位似， ∴△DEC与△ABC位似的位置有2个. 9．如图，平面直角坐标系中，A（1，4）、B（3，1）、C（9，7）、D（13，1），若以CD为边的三角形与△OAB位似，则这两个三角形的位似中心为（　　） A．（0，0） B．（3，4）或（﹣6，2） C．（5，3）或（﹣7，1） D．不能确定 【答案】C 【解析】作AE⊥DB于E，CF⊥BD于F， 则AE∥CF， 当点P′是CA、DB的延长线的交点时， ∵A（1，4）、B（3，1）、C（9，7）、D（13，1）， ∴HE＝1，AE＝3，BE＝2，BD＝10，FD＝4，CF＝6，EF＝8， ∴＝，即＝， 解得，P′E＝8， ∴P′H＝7， ∴三角形的位似中心为（﹣7，1）， 当点P是AD、BC的交点时， 同理可得，三角形的位似中心为（5，3）， 故选：C． 10．一个等腰直角三角形和一个正方形如图摆放，被分割成了5个部分．①，②，③这三块的面积比依次为1：4：41，那么，④，⑤这两块的面积比是（　　） A．3：4 B．9：14 C．4：5 D．9：16 【答案】B 【解析】①和②的面积比为1：4，故边长比即KB：KH＝1：2，设BK＝x，则HK＝2x， 根据①和③的面积等于1：41，故EH＝＝7x， 故⑤的面积为7x×（7x﹣3x）＝28x2， ④的面积为×（7x﹣x）×（7x﹣x）＝18x2， 故④和⑤的面积比为18：28＝9：14． 故选：B． 11．如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，AB＝4，则A1B1的长为（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【解析】∵C1为OC的中点， ∴OC1＝OC， ∵△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形， ∴＝，B1C1∥BC， ∴＝， ∴＝， 即＝ ∴A1B1＝2． 故选：B． 12．如图，在△ABC中，E、F分别是AB和AC上的中点，P是BC所在直线上任一点，当点P在BC所在直线上移动时，下列结论不正确的(　　) A．△PEF的周长总等于△AEF的周长 B．PE+PF可能等于 C．S△EFP=S△ABC D．S△EFP＝S△AEF 【答案】A 【解析】当P是BC中点时， ∵E是AB中点，F是AC中点， ∴PE、PF是△ABC的中位线， ∴PE＝AC＝AF，PF＝AB＝AE， ∴PE+PF＝（AB+AC），AE+AF＝PE+PF， ∴此时△PEF的周长＝△AEF的周长， 若P不是BC中点，则△PEF的周长≠△AEF的周长， 故A符合题意；B不符合题意； 过A作AN⊥BC于N交EF于M， ∵EF是△ABC的中位线， ∴EF∥BC，BC＝2EF， ∴AM：MN＝AE：BE，AN⊥EF， ∵AE＝BE， ∴AM＝MN， ∴S△PEF＝S△AEF， 故D不符合题意； ∵S△AEF＝EF•AM，S△ABC＝BC•AN，BC＝2EF，AN＝2AM， ∴S△AEF＝S△ABC， ∴S△PEF＝S△ABC， 故C不符合题意． 故选：A． 二、填空题 13．如图，已知矩形ABCD中，AB=2，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点处，若四边形CEFD与矩形ABCD相似，则AD=__________.  【答案】1+ 【解析】设AD=x，∵AB=2， ∴CE=FD=x-2，CD=2， ∵四边形CEFD与矩形ABCD相似， ∴=，即=， 解得x1=1+，x2=1-(不符合题意，舍去)， 经检验，x=1+是原方程的解， ∴AD=1+. 14．将三角形纸片(△ABC)按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B'，折痕为EF.已知AB=AC=3，BC=4，若以点B'，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是__________.  【答案】或2 【解析】根据△B'FC与△ABC相似时的对应关系，有两种情况： ①△B'FC∽△ABC时，=， 又∵AB=AC=3，BC=4，B'F=BF， ∴=. 解得BF=. ②△B'CF∽△BCA时，=， 又∵AB=AC=3，BC=4，B'F=BF， ∴=. 解得BF=2. 故BF的长度是或2. 15．如图，点P是AB的黄金分割点，如果AB的长为(4＋4)cm，那么AP的长为__________ cm. 【答案】8 【解析】∵，AB＝(4＋4)cm， ∴AP＝AB ＝×(4＋4)＝8(cm)， ∴AP的长为8 cm. 16．如图，正方形ABCD中，BC＝2，点M是边AB的中点，连接DM，DM与AC交于点P，点E在DC上，点F在DP上，且∠DFE＝45°．若PF＝__________，则CE＝ __________ ． 【答案】 ； 【解析】如图，连接EF． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝DA＝2，∠DAB＝90°，∠DCP＝45°， ∴AM＝BM＝1， 在Rt△ADM中，DM＝＝＝， ∵AM∥CD， ∴＝＝， ∴DP＝，∵PF＝， ∴DF＝DP﹣PF＝， ∵∠EDF＝∠PDC，∠DFE＝∠DCP， ∴△DEF∽△DPC， ∴＝， ∴＝， ∴DE＝， ∴CE＝CD﹣DE＝2﹣＝． 故答案为． 17．如图，O点是△ABC与△D1E1F1的位似中心，△ABC的周长为1．若D1、E1、F1分别是线段OA、OB、OC的中点，则△D1E1F1的周长为；若OD2＝OA、OE2＝OB、OF2＝OC，则△D2E2F2的周长为；…若ODn＝OA、OEn＝OB、OFn＝OC，则△DnEnFn的周长为__________．（用正整数n表示） 【答案】 【解析】∵O点是△ABC与△D1E1F1的位似中心，△ABC的周长为1， 当D1、E1、F1分别是线段OA、OB、OC的中点，则△D1E1F1的周长为； 当OD2＝OA、OE2＝OB、OF2＝OC，则△D2E2F2的周长为； … 故当ODn＝OA、OEn＝OB、OFn＝OC，则△DnEnFn的周长为：． 故答案为：． 三、解答题 18．如图所示，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，把小正方形的顶点叫做格点，O为平面直角坐标系的原点，矩形OABC的4个顶点均在格点上，连接对角线OB. (1)在平面直角坐标系内，以原点O为位似中心，把△OAB缩小，作出它的位似图形，并且使所作的位似图形与△OAB的相似比等于； (2)将△OAB以原点O为旋转中心，逆时针旋转90°，得到△OA1B1，作出△OA1B1，并求出线段OB旋转过程中所形成扇形的周长. 【答案】解　(1)如图，△OA'B'或△OA″B″即为所求. (2)如图，△OA1B1即为所求.OB＝＝2， 线段OB旋转过程中所形成扇形的周长＝2×2＝4π. 19．根据下列条件求x∶y∶z的值. (1)x∶y=3∶7，y∶z=4∶7； (2)x∶y=∶，x∶z=0.3∶0.2. 【答案】解　(1)因为x∶y=3∶7=12∶28， y∶z=4∶7=28∶49， 所以x∶y∶z=12∶28∶49. (2)因为x∶y=∶=2∶3， x∶z=0.3∶0.2=3∶2， 所以x∶y∶z=2∶3∶2. 20．为测量操场上悬挂国旗的旗杆的高度，设计的测量方案如图所示：标杆高度CD＝3 m，标杆与旗杆的水平距离BD＝15 m，人的眼睛与地面的高度EF＝1.6 m，人与标杆CD的水平距离DF＝2 m，E，C，A三点共线，求旗杆AB的高度． 【答案】解：过E作EH⊥AB于H，交CD于G， ∵CD⊥FB，AB⊥FB， 则四边形EFDG和四边形BHGD是矩形， ∴CD∥AB，EF＝GD＝HB，EG＝FD，EH＝FB， ∴△CGE∽△AHE， ∴， 即：， ∴， ∴AH＝11.9， ∴AB＝AH+HB＝AH+EF＝11.9+1.6＝13.5（m）． 答：旗杆AB的高度为13.5 m． 21．△ABC∽△A′B′C′，，AB边上的中线CD＝4 cm，△ABC的周长为20 cm，△A′B′C′的面积是64 cm2，求： （1）A′B′边上的中线C′D′的长； （2）△A′B′C′的周长； （3）△ABC的面积． 【答案】解：（1）∵△ABC∽△A′B′C′，=，AB边上的中线CD＝4 cm， ∴＝， ∴C′D′＝4 cm×2＝8 cm， ∴A′B′边上的中线C′D′的长为8 cm； （2）∵△ABC∽△A′B′C′，=，△ABC的周长为20 cm， ∴＝， ∴C△A′B′C′＝20×2＝40(cm)， ∴△A′B′C′的周长为40 cm； （3）∵△ABC∽△A′B′C′，=，△A′B′C′的面积是64 cm2， ∴＝＝， ∴S△ABC＝64÷4＝16(cm2)， ∴△ABC的面积是16 cm2． 22．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度，沿射线BC方向运动，动点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度，沿线段CD方向运动．点P和点Q同时出发，当点Q到达点D时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）． （1）用含t的代数式表示线段CP的长； （2）当PQ与矩形的对角线平行时，求t的值． 【答案】解：（1）∵四边形ABCD为矩形，AB＝5，BC＝4， ∴CD＝AB＝5，AD＝BC＝4，AD∥BC， ∵点Q在CD上运动，运动的速度为每秒1个单位长度，且点Q到达点D停止运动， ∴点Q从点C运动到点D所用的时间为：5÷1＝5（秒），且CQ＝t， ∴0＜t≤5， ∵动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度，运动时间为t秒（t＞0）， ∴BP＝2t， ①当0＜t≤2时，CP＝4﹣2t； ②当2＜t≤5时，CP＝2t﹣4， （2）当PQ与矩形ABCD的对角平行时，有以下两种情况， ①当PQ∥BD时，此时点P在线段BC上，如图1所示： 则0＜t≤2, 根据平行线分线段成比例定理得：CP：CB＝CQ：CD， 即（4﹣2t）：4＝t：5， 解得：t＝， 即当PQ∥BD时，t＝； ②当PQ∥AC时，此时点P在BC的延长线上，设PQ的延长线交AD于M，如图2所示： 则2＜t≤5， ∵AD∥BC，PQ∥AC， ∴四边形ACPM为平行四边形， ∴AM＝CP＝2t﹣4， 根据平行线分线段成比例定理得：AM：AD＝CQ：CD， 即（2t﹣4）：4＝t：5， 解得：t＝， 即当PQ∥AC时，t＝． 综上所述：当PQ与矩形的对角线平行时，求t的值为秒或秒． 学科网（北京）股份有限公司 $