5.6 函数y=Asin(ωx+φ)-【志鸿优化训练】2026-2027学年高中数学必修第一册(人教A版)

数学必修第—册人教A版 5.6 函数y= 学业目标·定位 课标要求 1.掌握图象的变换规律，解决三角函数的变换问题。 2.灵活掌握平移、伸缩变换规律，掌握与函数中变换量之 关系。 3.会利用图象的特点求函数的解析式。 4.会求图象变换前后函数的解析式. 5.会解决与三角函数有关的综合问题。 必备知识 梳理 目情境探究 在物理中，简谐运动中单摆相对平衡位置的位 移y与时间x的关系、交流电的电流y与时间 x的关系等都是形如y=Asin(ux十p)的函数. 如图(1)所示是某次实验测得的交流电的电流 y随时间x变化的图象 y 43 2 0 314 0.010.020.030.04x 3 -3 -4 -4 -5 图(1) 图(2) 将测得的图象放大如图(2)所示，可以看出它和 正弦曲线很相似 能否通过函数y=sinx的图象得到函数y= Asin(wx十p)的图象呢？ .。204 Asin(axto) 学习目标 间的 会画函数的图象，会结合图象解决与函数有关 的性质问题，会求函数的解析式，掌握函数图象 的变换规律 答案见P4131 国知识梳理 l.p对y=sin(x十p),x∈R的图象的影响 p>0时向 y=sinx 平移lply=sin(c+p) p<0时向】 个单位 的图象 2.w(aw>0)对y=sin(aux十p)的图象的影响 y=sin(g+p)图象上 w>1时 所有点的横坐标 0<w<1时 y=sin(@x+p) 原来的品倍 3.A(A>0)对y=Asin(ax十g)的图象的影响 y=sinc+p)图象上 A>1时 所有点的纵坐标 0<A<1时 y=Asin(@x+p) 原来的A倍 科学思维 一、思考判断 1.判断正误.（请在括号中打“/”或“×”） (1)y=sin3x的图象向左平移牙个单位所得 图象的解析式是y=simn(3x+平).( ) (2)y=sinx的图象上所有点的横坐标都变 为原来的2倍所得图象的解析式是y= sin 2x.() (3)y=sinx的图象上所有点的纵坐标都变为 原来的2倍所得图象的解析式是y=2snx. ( (4)将函数y=sinx的图象向左平移受个单 位所得图象的解析式是y=cosx的图象. ( 2.将函数y=2cosx图象上各点的纵坐标伸 长为原来的4倍，横坐标不变，得到的函数解 析式为( ) A.y=4cos x B.y=2cos x C.y=cos x D.y=cos 3把函数y=血x的图象向左平移个单位长度 后所得图象的解析式为( 关键能力 ·探究 探究 三角函数图象的变换 目知识深化 一般地，函数y=Asin(x十p)(A>0,w>0,x ∈R)的图象可以由y=sinx的图象经过平移 变换和伸缩变换得到.在图象变换中要注意变 换的次序：可以先平移后伸缩，也可先伸缩后平 移.两种变换次序中，平移的量是不同的：先平 移后伸缩，平移||个单位；先伸缩后平移，平 移9个单位. ⑧典例精析 【典例1】(1)将函数y=2cos(2x+)的图 象向左平移个单位长度，再向下平移3个 。第五章三角函数 Ay=sinx-君 By=mx+骨 C.y=sin(-) D.y=sim(x+） 4.为了得到函数y=sin(x十1)的图象，只需把 函数y=sinx的图象上所有的点() A.向左平行移动1个单位长度 B.向右平行移动1个单位长度 C.向左平行移动π个单位长度 D.向右平行移动π个单位长度 5.函数y=Asin(wx十p)十1(A>0,w>0)的 最大值为5，则A= 二、思维探究 “五点法”作正弦、余弦函数的图象时，需要作出 哪五个点？ 答案见P4131 单位长度，则所得图象的解析式为 (2)将y=sinx的图象怎样变换可得到函 数y=3sin(2x-爱)+1的图象？ 205。. 数学必修第一册人教A版 名师点拨 三角函数图象平移变换问题的分类及解题策略 (1)确定函数y=sinx的图象经过平移变 换后图象对应的解析式，关键是明确左右平移 的方向，按“左加右减”的原则进行.左右平移 时要注意：明确平移的方向；要弄清楚平移的 单位长度是针对“自变量x”的改变量，以免混 淆而导致失误.总之，弄清平移对象是减少失 误的好方法 (2)已知两个函数解析式判断其图象间的 平移关系时，首先要将解析式化为同名三角函 数形式，然后再确定平移方向和单位长度， [针对训练1](1)要得到y=cos(2x一)的图 象，只要将y=sin2x的图象( A向左平移个单位 且向右平移管个单位 C.向左平移牙个单位 D.向右平移于个单位 (2)把函数y=sin(wr十p)(w>0,|p|<π)的 图象向左平移。个单位长度，再将图象上所有 点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）， 所得图象的函数解析式为y=sinx,则( ) A.w=2,p= 6 B.w=2,p= 3 C.ω= 29= 6 D.u=29= 3 由图象求函数y=Asin 探究已 (wx+p)的解析式 自知识深化 给出y=Asin(awx十p)的图象的一部分，确定 A,w,p的方法 4.206 (1)逐一定参法： ①求A:一般可由图象上的最高点、最低点的纵 坐标来确定引A ②求m:因为T=2红，所以往往通过求周期T 来确定.图象上相邻的两个对称中心间的距 离为？，相邻的两条对称轴之间的距离为了，相 邻的对称轴与对称中心之间距离为 ③求：从“五点法”中的第一个点（一号，0（也 叫初始点)作为突破口，要从图象的升降情况找 准第一个点的位置。 (2)待定系数法：通过若干特殊点代入函数式 可以求得相关待定系数A,w,P.这里需要注意 的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一 点，并能正确代入列式 (3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定 函数的基本解析式y=Asinωz,再根据图象平 移规律确定相关的参数 ⊙典例精析 【典例2】已知函数f(x)=Asin(wx十p) (A>0,w>0,lp<）的部分图象如图所 示，为了得到函数g(x)=Asin(ar)的图 象，只需要将y=f(x)的图象( 0 -3- A向左平移个单位长度 B向右平移5个单位长度 C向左平移个单位长度 D向右平移答个单位长度 名师点拨 形如f(x)=Asin(a十p)+B的解析式 求法： (1)A、B求法： ①观察法：A代表偏离平衡位置的最大距 离；B平衡位置 ②代数法：记f(x)=Asin(x+p)+B 的最大值为M,最小值为m;则： (A+B=M, -A+B=m, 联立求解。 (2)w求法：通过观察图象，计算周期T, 利用公式T=行求出。 (3)p求法： ①第一关键点法：通过观察图象找出第 关键，点(x0,B),将第一关键点(x0,B)代入 to十p=0求解. (第一关键点判断方法：图象呈上升状态 与平衡位置的交点，且该点离y轴最近) ②最值代入法：通过观察图象的最高点 (x1,M)(或者最低点(x2,m)代入解析式 f(x)=Asin(wx十p)十B求解. ③特殊点法：当图象给出的信息缺乏①② 中的条件，可以寻找图象的其他特殊点(x0, y)代入解析式f(x)=Asin(aux十p)十B求 解，但用此法求解，若有多个答案注意根据条 件取合答案 [针对训练2]已知函数f(x)=Asin(ax十p) (4>0,w>0,p<罗)的部分图象如图所示。 2 (1)求f(x): 。第五章三角函数 (2)将函数y=f(x)图象向左平移是个单位， 得到函数y=g(x)的图象，求g(x)在 [0,]上的值域 207 数学必修第一册人教A版 探究三函数y=Asinkn十o)图像的椒对称性 自知识深化 (1)函数y一Asin(ax十o)图象的对称轴方程 由or十p=kx十受k∈Z求得： 对称中心横坐标由x十9=kπ，k∈Z求得 (2)对于y=Acos(ax十p),由x十p=kπ， k∈Z求对称轴：由ur十9=kx+受，k∈Z可求 对称中心横坐标。 @典例精析 【典例3】（多选）已知函数f(x)=Asin(wz十 p)(A>0,>0,<)的部分图象如图 所示，则下列说法正确的有( 0 A.w=2 B.函数fx)的图象关于直线x=一2π对称 C函数f化）是偶函数 D.将函数f(x)图象上所有点的横坐标变 为原来的2倍，得到函数y=2sin(x+ 3》)的图象 [针对训练3]（多选）已知函数f(x)=Acos (arx十p)(A>0,w>0,-<9<）的部分图 象如图所示，则下列说法正确的有() 4.208 A.ω=3 Bg=开 C直线x=为fx)图象的一条对称轴 D.将f(x)图象上的所有点向左平移天个单位 长度得到y=一2sin3.x的图象 探究四三角函数图象与性质的综合应用 目知识深化 研究y=Asin(wx十o)性质的两种方法 (1)客观题可用验证法：x=0为对称轴，则 f(0)=士A;(0,0)为对称中心，则f(0)=0; [m,n]为函数单调区间，则[wm十p,wn十p]为 y=sinx单调区间的子区间. (2)确定y=Asin(az十p)(A>0,w>0)的单 调区间，采用“换元法”整体代换，将x十p看 作一个整体，可令“x=wx十p”,即通过求y= Asin的单调区间而求出函数的单调区间.若 仙<0，则可利用诱导公式先将x的系数转变为 正数，再求单调区间. @典例精析 【典例4】知函数f(x)=sin+贺）(w>0, 若f(）=f(》,且fx)在区间(，）上 有最小值，无最大值，则ω=( A.3 c [针对训练4]已知函数f(x)=Asin(ax十p) (A>0,w>0,-2<9<受)在-个周期内的图 象如图所示. (1)求函数的最小正周期T及f(x)的解析式： (2)求函数f(x)的对称轴方程及单调递增 区间； 随堂演练·达标 1.函数y=Acos(ax十p)十1(A>0,w>0)的 最大值为5，则A=( A.5 B.-5 C.4 D.-4 2.把函数y=sim3x一开)的图象向左平移个单 位长度，再把所得图象上各点的横坐标扩大为 原来的2倍，则所得函数的解析式为( A.y=sin(3+) By-sin() Cy=snm(侵x+)） Dy=simr+8） 3.如图所示为函数y= Asin(ax+)(A>0, w>0,0<19<)的 6 图象的一部分，则函数的一个解析式为 。第五章三角函数 (3)将f(x)的图象向右平移个单位长度，再 将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2 倍（纵坐标不变），得到函数g(x)的图象，若 8)=a-1在x∈[臣]上有两个解，求实 数a的取值范围。 答案见P4151 Ay=2sn侣+》）y=2sn侣c- C.y=2sin(2x+)D.y=2sin(2x-) 4.(多选)将函数f(x)=sin2x的图象向左平移 登个单位后得到函数g)的图象，则( A.f(x)与g(x)的最小正周期都是元 Bg(x)的图象关于点(-0对称。 C.f()的图象关于直线x=吾对称 Dgx)在区间[-一吾，看]上单调递增 5.在函数y=2sin(ax十p)(w>0)的一个周期 上，当x=吾时，有最大值2，当x=号时，有 最小值一2，则w= 209。.5,51简单的三角智幕变换 【必备知识·植理1 情境深究] 提示者，如受是：竹学角是2的车角等 (科学总维】 ,1.1》×(2/(3)×4) 2.C解折：180㎡<a<0.∴90<号<18时，又 心告空。 2. 3A那折：a(货a∴号e(停血是 5 4D糊折：m色=-=n 2in5日网a 5.喻： 解新：器为了0)-m上-1兰，所议f 2 的表小压月南T一智= 二，提示在积化和表的公式中，如果“从右丝衣"看， 实质上就是和差化机为了用起来才德，在机免和是时公式 中，中果◆+日月产g照。生08子 把这套值代人标化和是的会或1中，杭有 -++m生安 -2lng+ap以 月林可件n9-恤甲一2如告·a与 s叶p-2m生m m食-g-一m生，m字这组公 2 式明装和差死和会式 【关键伦力探究】 探究一皮用半角公式求值 [奥例镜析] 块制门捕：血9-专吾<<，m6 一个-m6-是 m0-2omr号-1imw号-1z9 <费 一子20一市边 原人成主， 方法二 友造m。 csasin是 【针对调练1订解！琴为g为税角日为忆角，m®= m登m呈m是一m号 2 m是m是 5 件假cosa一一言c0m月一，米以ma一肌 ma咖分m员 oo9血m一君×名+×指-器 一号in-血么一右选 又用为登a<,0K登所以0心a-K:所 箭以愿太成点 探究三辅陆角公式的应用 [典侧精析] [我例门解：1)fx)=2im2a-若)+em(十 2 65 m 深究二三角西数化第与证期 典例精析) [典例2]解：虑式= 色+m) c sin 停oern (3 sin 2:-com 2r )+2com 2r (色是-cm} 一5a2z十euw2=2mf2a+7》 n 两以fr-sin2+若) 登经学w20n>0 ◆2+号62r+<法：+要E,郎待 im受+m号】 +管+eD, 一 tf在洲果e区间%[a十音标]E五 (白告w号 四当re[一音]时，以2+晋∈[-营， 2hn员 ]片+)[小 中m登，中分立w告 故函数x)的位城为[一1,2] 2 [针对训练3]解：f(上》=一m上·（一6%上》一 ctan专 +-+- [针对请修】证明：方清一左边 1-tar号 -ood'a 最小正周麻为T-受-南2五红一音一标十 “1-m号 音€z得出时作地：号晋e五 +9e[告 甲g心)最小位为0，最大住为1+停 【随堂演练·达标】 1B解析：由道多如血。-侣∈(k》所 两为受（侵》斯以a(货十受}=m是 2D解断：“x<0<m∈（度a小，号e 停) 厚 kB解断：f)-n了一o+》-m 停mr+nr-mgm一月lg》. 所x高数f)的佳域为[一3各们，故选B 4.答案：士 解斩：国为f--g马，片法/ 的藏小正周期T一受-元 5解：-71阿°<<270时<号<135， 中是第二限角，n是<0 -】 -2 √+() 漆二1<270”，即6是第三象限年， 咖一6-√1一第子 ng上m9_1(》 =-2 原注明：左边■ in rom r {a壹ms营-细如萱+m引 2xim rem 4m经到o草-im）2n号 1士四4这一右边 m草如os呈 组上 时以®等式成土， 56孟数y=Anx十gl 【必备知识·植理】 (槽境家究] 提采能. 「与识魔理】 上左右2馏短伸长王种长密园 [料华愿幢] 一.L.(1)×(2)x(3)×《40/ 2.B 3,D制析，根据图是贵装的才业，y两加：竹图 良向点平移行个单丝长度后件到y=m(:十)竹 温桑， 4.A解析：只需把动数y一面工的国象上所有 的流向友平行移动1个单往装度，使得函蟹y一 in(x十1)的周象，故远A 5.答案：4 解析：南已如得A十1-5，故A=4 二提示 器正孩函数 0,0) -1(2x00 国象的五无 A余孩品配 困章的五点 【关键能力·探究】 探究一三角函数窗象的变换 [肉例精析】 C黄例门1)答案：y-一2ms2x一3 解析：y-Ecm化a+)岭图票向左平得个单 位张度， 保y2m[2(+》+5]-2msat0 com 2r. 异向下平移3个单位长2得y-一2四s2一3的 思象 (2为法一 先平移后种解：y一脚 肉君平号写个单位类度 y=m-} 林多发物安特的短有身水的空 超堂单不发 少一名一哥）#地件装有的多 9=3a红》1uy=3e- 》+1 T得：（行十-l,从若+g+张h长D 方法二先骨缩后平移，5一西上 将1的精务华将超为男系奶立 格合<受得g一营 气业标不堂 所af儿e)-2n(2+受} 肉右平格二个幸桃表魔 ysin 22- ym2-) 2)题喜)-f+》-2到红+》+ 并A所长生内A的y一3an2(一} 雄堂秘不皇 ]=2(+）=2am2=, -n色晋）41+a号y-3n( )+1 [钟对调练1】(DN(2)书解析：()四为y= 所以gx)AX网[6晋上的值线为-1， ox)-m2-t]-m包+》 探究三函数y=A(r十中)图象的对将性 =白2司x十)，所以将y=m2二的周泉约左干 [奥例习ΛD解桥：由图车得A-2,背一 移音个羊维，体到y一（亿一引的围泉 上X红.解博-2，哉A￡确 (2》将西教y■nT圆象上斯有流的横经特解短为犀 文画数图章经址a(债2，则2sin(2×是+e) 长的2（佩丝秘不变），秤解桥文为y一血2红的图象，吾向 2,即（后十）-1 右年移号个单位长度挥解新成为y=m2(:一) 国g<受故音十g-受，解得e一，城fx) nz一}的图象，所以w-tg一子做站且 2m(2+） 限究二由图象求函数y-Awr十的解所式 [典侧精析】 对于B.当：=一品时，2+背=一受灰时品餐 [典制习D解折：南圈家知A=3,T=号 取得最小佳，址B正确： 最是T=*w=亭-2 对于c,f)-m包货+》 一2in2r,是奇函敏，故C特溪： 南图可知.8i加2×+)-3. 时子D,济画数f一2m(2+三}国象上所者 营tg-爱+法∈五 点的稀受称史为原桌的2鲁， 特每到高戴y一2in十要）的图京.敢D正璃 p-含+me0,又<登 放选An 9=8 [针对闲练3]ACD解折：向西餐了x)的圈象，可 f-8ine+}-3[l+] 将T-员-(}-受得T则9=3 又由A=2,前议fx)=2e如(3r十g》, f代x)舟右平移若可得画数ez)一Asa) 又南f(）-2m(ax+小-2m便+) 故域D [针对证s】解：(1)南最大且了确定A一2， amn使+p）小0 此时fx)-2n(2x十p).画数f(x)圈章址A 7降以f=2a3r一》 (信2 所以A正用，B不正精： 对于C中，齿f)-2oa3×是-)-2为画 数f红)的最大组， 所区直提上一吾为f)图阜的一事财都物，所以 C正用： 对于D中，务∫(：)周象上的州有流肉左平移个 果位餐度， y得y-2o[l+)-]-oz+} -2n3x,所以D正确. 北选ACD 探究四三角面背图象与性质的策合应用 [典例精新 〔典酬B解折：图为八倍)一八行，所以直纯 音空泛款)圆永的一务对林格， 偶分红)在区可（后，）上有最小，无藏夫值， 所联省=时(：泉得滚小值 所区只+情一被一费：E么解择。-融-曾 又为T-号-以w12 又网方0，后以-：净-8-男-号 针对辑练订解：1由道务A一1，号-是+营 t别语=w=2,以f=a(2+ w 文国为图章址点（最小，所以2×益十年一营十沙： e2→p=亨+xE,西-骨<g<登到 于，于是fa)-im(2+) 2)站合腾泉可知，西截的对称转为：=十受 ◆营+谈m2+骨<受+2张，k长2户是+ 红6玉《是十红：去E么即画数的排区用为： [+最+e刀. 妇)避果向右平移行个单丝长度得到：y一 [6-）+】=m(红引子是x()=