3.2 探索三角形相似的条件 第3课时 (课件) 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

3.2 探索三角形相似的条件 北师版九年级上册 第三章　图形的相似 第3课时 利用三边判定三角形相似 1 如果有两边成比例相等，它们一定相似吗？ 如果两个三角形的三边成比例呢？ 边的关系 不相似 一个条件 两个条件 A B C A' B' C' 情景导入 画 △ABC 与 △A′B′C′，使 ， 和 都等于给定的值 k。 操作·交流 A B C A′ B′ C′ 探究新知 设法比较 ∠A 和 ∠A′ 的大小。 你能发现 △ABC 与 △A′B′C′ 有何关系？说说你的理由。 改变k值的大小，再试一试，并与同伴进行交流。 A B C A′ B′ C′ △ABC∽△A′B′C′ （两边成比例且夹角相等的两个三角形相似） 操作·交流 三角形相似的判定定理3 三边成比例的两个三角形相似 几何语言： A B C A' C' B' 在 △ABC 和 △A'B'C' 中， ∴△ABC∽△A'B'C'。 ∵ 例 如图，在 △ABC 和 △ADE 中， ，∠BAD = 20°，求∠CAE 的度数。 A D C E B ∴△ABC∽△ADE （三边成比例的两个三角形相似）。 解：∵ ， ∴∠BAC = ∠DAE。 ∴∠BAC－∠DAC = ∠DAE－∠DAC。 即∠BAD = ∠CAE。 ∵∠BAD = 20°， ∴∠CAE = 20°。 我们学习了哪些判断三角形相似的方法？它们各自有哪些特点？ 三角形相似 判定定理1：两个角相等 判定定理2：两边成比例 + 夹角相等 定义：三个角相等 + 三边成比例 判定定理3：三边成比例 需要角相等 需要边成比例 尝试·交流 如图，已知方格纸中每个小方格的边长均为1，△ABC 与 △A′B′C′ 相似吗？你有哪些判断方法？与同伴进行交流。 4 8 假设每一小格的边长为1， （三边成比例的两个三角形相似） 通过数一数、勾股定理分别计算两个三角形三边的长度，并计算对应边的比值，利用判定定理判断 尝试·交流 如图，已知方格纸中每个小方格的边长均为1，△ABC 与 △A′B′C′ 相似吗？你有哪些判断方法？与同伴进行交流。 4 8 假设每一小格的边长为1， （一角相等且两边成比例的两个三角形相似） 通过图形可以看出∠A与∠A′均等于45°，计算AB、 A′B′ 、AC′、A′C′的长度，求出 与 的值，利用判定定理判断 尝试·交流 如图，已知方格纸中每个小方格的边长均为1，△ABC 与 △A′B′C′ 相似吗？你有哪些判断方法？与同伴进行交流。 （两角相等的两个三角形相似） 借助辅助线，先证明∠C = ∠C′，再结合∠A = ∠A′，利用判定定理判断 1.若甲三角形的三边长分别为2，2，3，乙三角形的三边长分别为4，4，6，则这两个三角形( ) A.一定不相似 B.不一定相似 C.一定相似 D.全等 C 随堂练习 A　　 B C　　 D 2.［教材P74习题3.2第6题改编］如图，每个小正方形的边长均为1，则下列选项中的四个三角形与图中的三角形相似的是( ) D 3.已知△ABC的三边长分别为7.5，9和10.5，△DEF的一边长为5.当△DEF的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似( ) A.4，5 B.5，6 C.6，7 D.7，8 C 4.在△ABC和△DEF中，AB＝AC，DE＝DF，根据下列条件，能判断△ABC和△DEF相似的是( ) A. B. C.∠A＝∠E D.∠B＝∠D B 5.在△ABC和△A1B1C1中，AB＝12 cm，AC＝15 cm，BC＝21 cm，A1B1＝16 cm，B1C1＝28 cm，当A1C1＝ 　 　cm时，△ABC∽△A1B1C1.  　20　 6.如图，O是△ABC内一点，D，E，F分别是OA，OB，OC的中点.求证：△ABC∽△DEF. 证明：∵D，E，F分别是OA，OB，OC的中点， ∴，∴△ABC∽△DEF. 7.如图，某地四个乡镇A，B，C，D之间建有公路，已知AB＝14千米，AC＝28千米，BC＝21千米，BD＝42千米，CD＝31.5千米，请问公路AB与CD平行吗？说出你的理由. 解：公路AB与CD平行. 理由：∵AB＝14，AC＝28，BC＝21，BD＝42，CD＝31.5， ∴， ∴，∴△ACB∽△BDC， ∴∠ABC＝∠BCD，∴AB∥CD. 8.如图，△PQR在边长为1的小正方形组成的方格纸中，它的顶点在小正方形的顶点上，其中A，B，C，D也是小正方形的顶点，那么下列三角形中，与△PQR相似的是( ) B A.以P，Q，A为顶点的三角形 B.以P，Q，B为顶点的三角形 C.以P，Q，C为顶点的三角形 D.以P，Q，D为顶点的三角形 A.①处 B.②处 C.③处 D.④处 9.在如图所示的象棋盘(各个小正方形的边长均相等)中，根据“马走日”的规则，使“马”“车”“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形相似，“马”应落在( ) B 10.［分类讨论思想］已知△ABC的三边长分别为20 cm，50 cm，60 cm，现要利用长度分别为30 cm和60 cm的细木条各一根，做一个三角形木架与△ABC相似，要求以其中一根为一边，将另一根截成两段(允许有余料)作为另外两边，那么另外两边的长度(单位：cm)分别为_______________.　 10，25或12，36　 证明：过点C作CH⊥OB于点H. 根据题意，得OA＝3，OB＝4，AD＝1，CD＝2， OH＝CD＝2，BH＝OB－OH＝2，CH＝OD＝4， ∴AB＝＝5，AC＝， BC＝＝2,∴， ∴，∴△ACD∽△ABC. 11.如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为A(3，0)，B(0，4)，C(4，2)，过点C作CD⊥x轴，垂足为点D.求证：△ACD∽△ABC. 12.［开放题］如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF都是格点三角形(顶点是网格线的交点). (1)判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由； 解：(1)△ABC和△DEF相似.理由略. (2)P1，P2，P3，D，F是△DEF边上的5个格点，请在这5个格点中选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC相似.(写出一个即可，说明理由) (2)△ABC∽△DP2P3.(答案不唯一，合理即可) 理由：连接P2P3. 由(1)知AB＝2，AC＝，BC＝5. 又∵DP2＝2，DP3＝，P2P3＝， ∴， ∴△ABC∽△DP2P3. ①三边成比例 (2) 两个条件 ①两边成比例 (1) 一个条件 A B C A' C' B' △ABC∽△A'B'C' 边的关系 课堂小结 $