3.2《探索三角形相似的条件》第3课时 课件 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“三边成比例的两个三角形相似”判定定理，通过花坛围栏需测边长判断形状的现实问题导入，承接前两课时两角相等、两边成比例夹角相等的判定方法，类比全等三角形SSS，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以真实情境培养数学眼光，通过画图测量猜想验证及严格证明发展数学思维，用对比表格呈现三种判定方法的适用条件与优缺点培养数学语言。如让学生画不同比例三角形测量角度，教师示范用方格纸计算边长判断相似，助力学生提升几何直观与推理能力，也为教师提供结构化教学流程。

第三章 图形的相似 第2课 探索三角形相似的条件 新版北师大数学九年级上册数学 第3课时 借助三边关系判定相似 学习目标 1.通过类比全等三角形SSS判定方法,经历画图、测量、猜想、验证的过程,探索并掌握“三边成比例的两个三角形相似”的判定定理. 2.通过方格纸中三角形相似的探究和实际问题的解决,提高几何直观能力和逻辑推理能力. 3.通过对比三种三角形相似判定方法的异同,能根据已知条件灵活选择合适的判定方法解决问题. 情境启航 问题构建 协作破冰 教师示范 巩固拓展 当堂检测 反思总结 作业设计 目录 情境启航 在前面两个课时的学习过程中，用两角相等和两边成比例且夹角相等的相似判定方法,成功解决了旗杆高度和池塘宽度的测量问题. 今天,学校后勤处给我们带来了一个新挑战： 他们要更换花园里三角形花坛的围栏,但原始图纸丢失了,只留下了一张标注了三条边长的旧照片：AB=6米，BC=8米，AC=10米 问题1:如果我们只能用卷尺测量长度,没有量角器,我们能判断新做的三角形围栏和原来的花坛是否一模一样吗？ 不能,因为我们无法测量角度,只能测量三条边的长度 追问：我们能判断新做的三角形围栏和原来的花坛是否形状相同吗？ 这就是我们今天要解决的问题 问题构建 问题2：回忆全等三角形的判定方法，当我们只能测量三条边时，我们用什么方法判定两个三角形全等？ SSS 判定方法，三边对应相等的两个三角形全等 追问：类比全等三角形的SSS判定方法，你能猜想一下，三角形相似有没有类似的判定方法吗？ 猜想：三边成比例的两个三角形相似 问题3：请大家在草稿纸上画两个三角形：第一个三角形△ABC的三边长分别为3cm、4cm、5cm第二个三角形△A´B´C´的三边长分别为 6cm、8cm、10cm画完后，用量角器测量一下这两个三角形的对应角，你发现了什么？ 问题构建 当三条边对应成比例时 对应角都相等， ∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C' 问题构建 问题4：再画一组三角形：△DEF三边长为2cm、3cm、4cm，△D´E´F´三边长为4cm、6cm、8cm.测量对应角，你还能得到同样的结论吗？ 对应角仍然相等,三边成比例 追问1：如果我们改变三边的比例，比如k=3，画△ABC三边长为2cm、3cm、4cm，△A´B´C´ 三边长为6cm、9cm、12cm.对应角还相等吗？ 对应角仍然相等 问题构建 追问2：如果k=呢？画△ABC三边长为2cm、3cm、4cm，△A´B´C´三边长为cm、1cm、cm.对应角还相等吗？ 对应角仍然相等 追问3:把刚才演示的多组三角形放在一起观察，你发现了什么？ 只要两个三角形的三边成比例， 它们的对应角就相等 问题构建 问题5:我们通过画图验证了猜想,但数学结论需要严格的证明.已知在△ABC 和△A'B'C' 中，=k.求证:△ABC∽△A'B'C' ①我们已经学过哪些相似三角形的判定方法？ 两角分别相等、两边成比例且夹角相等 ②我们可以在△A'B'C' 的边上截取一段等于△ABC 的边长，构造一个与△ABC 全等的三角形，然后证明它与△A'B'C' 相似 问题构建 证明：在 A'B' 上截取 A'D=AB，过点 D 作 DE∥B'C'，交 A'C' 于点 E ∵ DE∥B'C’ ∴ △A'DE∽△A'B’C’ ∴ ∵ ，且 A'D=AB ∴ DE=BC，A'E=AC ∴ △A'DE≌△ABC（SSS） ∴ △ABC∽△A'B'C' ③这种构造新三角形的方法，你在哪个知识学习过程中有类似的学习经验？ 勾股定理逆定理的证明过程中 协作破冰 问题6：现在我们可以正式得出什么定理？ 三边成比例的两个三角形相似 追问：这个定理的符号语言怎么写？ ∵ ∴ △ABC∽△A'B'C' （改编课本例 3）在制作花坛围栏的过程中，工人师傅不小心把两个三角形零件△ABC和△ADE拼在了一起.已知,∠BAD=20°,求∠CAE 的度数. 解： ∴ △ABC∽△ADE（三边成比例的两个三角形相似） ∴ ∠BAC=∠DAE ∴ ∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC 即 ∠BAD=∠CAE ∵ ∠BAD=20° ∴ ∠CAE=20° 协作破冰 变式训练：如果把条件改成 ，且∠BAC=∠DAE，那么∠CAE 还是 20°吗？用哪种判定方法证明？ 还是20°，用两边成比例且夹角相等的判定方法证明 (课本图 3-8）在方格纸中，每个小方格的边长都是1.请大家计算△ABC和△A'B'C' 的各边长度，然后判断它们是否相似? 教师示范 △ABC 的边长：AB=，BC= ，AC=4 △A'B'C' 的边长：A'B'=2 ，B'C'=2 ，A'C’=8 ∵ ; ∴ ∴ △ABC∽△A'B'C'（三边成比例的两个三角形相似） 在方格纸中判断两个三角形相似，用哪种判定方法最方便？为什么？ 用三边成比例的判定方法最方便，因为方格纸中可以利用勾股定理很容易计算出各边的长度 除了用三边成比例，你还有其他方法判断这两个三角形相似吗？ 可以计算对应角是否相等，或者看两边是否成比例且夹角相等 教师示范 问题7:回到我们一开始的花坛围栏问题.如果新做的三角形围栏三边长分别为6米、8米、10米，它和原来的花坛相似吗？为什么？ 相似，因为三边对应相等，比例为1:1，全等是相似的特殊情况 追问1:如果新做的三角形围栏三边长分别为3米、4米、5米，它和原来的花坛相似吗？为什么？ 相似，因为，三边成比例 追问2:如果新做的三角形围栏三边长分别为5米、7米、9米，它和原来的花坛相似吗？为什么？ 不相似，因为，三边不成比例 巩固拓展 问题8:对比目前学习过的三种证明方法，你有怎样的思考？ 相似判定方法 全等判定方法 适用条件 优点 缺点 两角分别相等 ASA, AAS 已知两个角的度数 计算量小，最常用 需要测量角度 两边成比例且夹角相等 SAS 已知两边长度和夹角 计算量适中 必须是夹角 三边成比例 SSS 已知三边长度 不需要测量角度 计算量较大 练习：判断下列各组三角形是否相似，并说明用哪种判定方法 ①△ABC中,∠A=40°,∠B=60°;△DEF中,∠D=40°,∠E=80° ②△ABC中,AB=2,BC=3,∠B=50°;△DEF中,DE=4,EF=6,∠E=50° ③△ABC中,AB=3,BC=4,AC=5;△DEF中,DE=6,EF=8,DF=10 当堂检测 1.下列各组三角形中，一定相似的是（ ） 两个等腰三角形 B. 两个直角三角形 C. 两个等边三角形 D. 两个锐角三角形 C 一定相似的几何图形中，还有哪些？想一想把它们写下来. 当堂检测 2.已知△ABC的三边长分别为2、3、4，△DEF 的三边长分别为4、6、x,当 x=______时,△ABC∽△DEF ,所以x=8 三边成比例的两个三角形相似 当堂检测 3.如图，D、E、F分别是△ABC三边的中点.求证:△DEF∽△ABC. 证明:∵D、E、F分别是△ABC三边的中点 ∴DE是△ABC的中位线 DE同理,DF= BC，EF=AB ∴ ∴△DEF∽△ABC（三边成比例的两个三角形相似） 当堂检测 4.一个三角形三边的长分别为6cm，9cm，7.5cm，另一个三角形三边的长分别为8cm，10cm，12cm，这两个三角形相似吗？为什么？ 解:这两个三角形相似.理由如下： ​我们先将两个三角形的三边按从小到大排列,便于对应比较： 第一个三角形三边：6cm，7.5cm，9cm 第二个三角形三边：8cm，10cm，12cm 计算对应边的比值：, , ∴ 两个三角形的三组对应边成比例 ∴这两个三角形相似 反思总结 1.本节课我们学习了哪种三角形相似的判定方法？它是如何通过类比全等三角形的判定方法得到的？ 2.三种三角形相似的判定方法各有什么特点？在什么情况下选择哪种方法最简便？ 3.在探究“三边成比例的两个三角形相似” 的过程中,我们经历了哪些步骤？这个探究过程对你学习数学有什么启发？ 作业设计 一、基础巩固作业： 课本第69页 第1题 二、素养类作业 课本第73页 第6题 作业要求：书写规范、图形标准、按时上交、及时订错. $