第11讲 数据集中趋势和离散程度(2) 优等生讲义 2026-2027学年 苏科版九年级数学上册

第11讲 数据集中趋势和离散程度(2) 优等生讲义 2026-2027 苏科版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解四分位数的概念，会求一组数据的下四分位数、上四分位数与中位数 · 能读懂箱线图，会从箱线图中提取四分位数、中位数、数据范围等信息 · 理解方差的概念，掌握方差的计算公式并能求一组数据的方差 · 能比较两组数据的离散程度，理解方差越大数据波动越大 · 会用计算器求一组数据的方差，能解决简单的实际应用问题 · 能根据分组合理性原则合理划分数据组，减少组内离差平方和 📚 知识梳理 ☆ 1.四分位数 将一组数据按从小到大排列后，位于25%位置的数称为下四分位数（第一四分位数，记为Q1） 位于50%位置的数称为中位数（第二四分位数，记为Q2），位于75%位置的数称为上四分位数（第三四分位数，记为Q3） 四分位数的求法：先排序，再按位置公式n×p%确定位置；位置为整数时取该位置数据，为小数时按规则取相邻两数的平均数（具体按教材规定） 第一四分位数、中位数、上四分位数合称四分位数，把数据分成四个部分，每部分包含25%的数据 概念辨析例题：数据8，9，6，7，6，6，7，10，9，9，8，7的下四分位数是____。 解析：排序：6，6，6，7，7，7，8，8，9，9，9，10；n=12，Q1位置=12×25%=3，取第3个数据6 ☆ 2.箱线图 箱线图由箱体、中位线、上下须组成，能直观反映一组数据的分布情况 箱体左边界为下四分位数Q1，右边界为上四分位数Q3，箱内线段为中位数Q2 上下须（触须）延伸到数据的最大值与最小值，反映数据的取值范围 箱体越窄说明中间50%的数据越集中，箱体越长说明数据分布越分散 概念辨析例题：根据箱线图判断：某组数据的下四分位数为68，中位数为70，上四分位数为73，则这组数据中约有多少比例的数据在68～73之间？ 解析：箱体代表Q1～Q3之间的数据，约占全部数据的50% ☆ 3.方差 方差是一组数据中各数据与其平均数之差的平方的平均数，反映数据的离散程度 方差公式：s²=1/n[(x1-x̄)²+(x2-x̄)²+…+(xn-x̄)²] 方差越大，说明数据波动越大、越分散；方差越小，说明数据越集中、越稳定 两组数据平均数相同时，比较方差可判断哪组更稳定 概念辨析例题：数据2，4，6，8，10的平均数是6，求这组数据的方差。 解析：s²=[(2-6)²+(4-6)²+(6-6)²+(8-6)²+(10-6)²]/5=(16+4+0+4+16)/5=8 ☆ 4.离散程度的比较 离散程度描述一组数据偏离平均数的程度，常用方差、极差等统计量衡量 平均数相同的两组数据，方差小的更稳定；方差大的波动更大 实际问题（如选拔运动员、比较产品质量）中，稳定性常用方差来判定 方差非负，当所有数据相等时方差为0 概念辨析例题：甲、乙两名运动员5次射击成绩的平均数相同，甲的方差s甲²=0.28，乙的方差s乙²=0.38，谁的成绩更稳定？ 解析：平均数相同，方差越小越稳定，0.28＜0.38，故甲的成绩更稳定 ☆ 5.数据分组的合理性 对一组数据进行分组时，应使同组数据尽可能接近，减少组内离差平方和 组内离差平方和越小，说明分组越合理，组内数据越集中 分组方案比较：计算各方案的组内离差平方和，选最小的方案为合理分组 分组合理性常用于统计数据整理，使后续分析更有意义 概念辨析例题：数据7，9，12，13，15，分法A：{7，9，12}和{13，15}；分法B：{7}和{9，12，13，15}，哪种分法组内离差平方和更小？ 解析：计算各组组内离差平方和并求和，B方案更小（实际计算：B组内离差平方和更小） 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 下四分位数（Q1） 排序后25%位置的数据 先排序，位置规则按教材 中位数（Q2） 排序后50%位置的数据 偶数个数据取中间两数平均数 上四分位数（Q3） 排序后75%位置的数据 与Q1、Q2合称四分位数 箱线图 箱体+中位线+上下须 箱体宽窄反映中间50%数据集中程度 方差 s²=1/n∑(xi-x̄)² 方差越大波动越大，方差为0时数据全相等 分组合理性 组内离差平方和最小 同组数据尽可能接近 ⚠️ 核心考点 【考点1】4.3 四分位数和箱线图（第1-23题） · 求四分位数：先将数据从小到大排序，再按位置确定Q1、Q2、Q3；位置为小数时按规则取相邻数据的平均数 · 读箱线图：箱体左边界为下四分位数，箱内线为中位数，箱体右边界为上四分位数，须端点为最大、最小值 · 比较集中程度：比较箱体的长短与须的长短，箱体越窄、须越短数据越集中 · 四分位数应用：结合实际问题（心率、成绩、身高、销量等）从箱线图中提取信息并作出判断 1．（2026春•阎良区期末）某班选拔学生参加学校的运动会，如图是测量的每位学生心率的箱线图，则这组数据的第一四分位数是（　　） A．60 B．68 C．70 D．73 【考点】四分位数． 【分析】第一四分位数即为下四分位数，根据箱线图读出数据即可． 【解答】解：由图得下四分位数是68， ∴第一四分位数是68， 故选：B． 【点评】本题主要考查了四分位数，掌握其相关知识点是解题的关键． 2．（2026春•沂水县期末）在综合与实践活动中，为比较西安和济南哪个城市夏天更热，小明选取了近两年7～8月每天的最高温度数据进行分析．如图反映了西安和济南在此时间段内每天的最高温度分布情况，则下列结论正确的个数是（　　） ①在此时间段内，济南每天的最高温度的下四分位数为31℃； ②在此时间段内，济南每天的最高温度的中位数小于西安每天的最高温度的中位数； ③在此时间段内，西安每天的最高温度都高于济南每天的最高温度； ④在此时间段内，西安有超过一半的天数最高温度不低于35℃； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】箱线图；四分位数． 【分析】据箱线图各部分含义，逐个判断结论对错即可． 【解答】解：结论①：箱线图中，下四分位数对应箱的左边界，济南的箱左边界为31℃，故下四分位数是31℃，正确；结论②：中位数对应箱内的线，济南的中位数（箱内线）低于西安的中位数，正确； 结论③：箱线图的“须”表示数据范围，西安的最低气温（须左端点）低于济南的部分气温，并非“都高于”，错误； 结论④：观察箱线图：西安的箱线图中，代表数据分布的“箱体”及右侧线段显示，其数据的中位数（箱体中间线）和大部分数据集中在33℃以上，但不低于35℃的部分仅占数据的一小部分（箱体右侧到最大值的区间），并未超过总天数的一半，因此，结论④是错误的， 所以正确的个数：2， 故选：B． 【点评】本题考查箱线图的统计意义（四分位数、中位数、数据范围），掌握箱线图各部分（箱、线、须）对应的统计量含义． 3．（2026春•襄州区期末）将某组数据绘制成箱线图如图所示，则该组数据的下四分位数为（　　） A．160 B．143 C．130 D．120 【考点】箱线图；四分位数． 【分析】根据箱线图直接得出答案即可． 【解答】解：该组数据的下四分位数为120． 故选：D． 【点评】本题考查四分位数，箱线图，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 4．（2026•青秀区校级开学）如图为某地区5月和6月的空气质量指数（AQI）箱线图．AQI值越小，空气质量越好，则（　　） A．该地区5月AQI的上四分位数高于6月AQI的上四分位数 B．该地区5月AQI的最大值高于6月AQI的最大值 C．该地区5月AQI变化比6月AQI变化小 D．该地区6月的空气质量好于5月 【考点】箱线图． 【分析】从5月和6月的空气质量指数（AQI）箱线图以及AQI值与空气质量的关系进行解答即可． 【解答】解：由箱线图可知： A．该地区5月AQI的上四分位数低于6月AQI的上四分位数，因此选项A不符合题意； B．该地区5月AQI的最大值低于6月AQI的最大值，因此选项B不符合题意； C．该地区5月AQI变化比6月AQI变化小，因此选项C符合题意； D．从整体上看，该地区5月的空气质量略好于6月，因此选项D不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查箱线图，中位数，理解AQI值箱线图与空气质量的关系是正确解答的关键． 5．（2026•望奎县开学）小文全班32人参加学校的英文听力测验，如图所示的是全校与全班成绩的箱线图，若小文的成绩恰为全校的65%分位数，则下列关于小文在全班排名的叙述，正确的是（　　） A．在第2～7名之间 B．在第8～15名之间 C．在第16～﹣21名之间 D．在第21～25名之间 【考点】箱线图；四分位数． 【分析】先根据全校65%分位数确定小文的分数范围，再对照全班箱线图找到全班75百分位数，结合总人数算出段人数，从而推出班级排名区间． 【解答】解：∵成绩为全校65%分位数，分数大于60分、小于70分 观察全班箱线图，全班中位数为60分，全班第75百分位数为65分， 全班共32人，32×75%＝24， ∴全班成绩从低到高排，第24名成绩为65分， 成绩高于65分的有32﹣24＝8人． 分数大于65分，属于全班成绩最高的8人当中，比小文分数高的最多7人，小文分数小于70分，不是全班最高分． 小文的班级排名在第2～7名之间， 故选：A． 【点评】题目考查了箱线图、四分位数，解题的关键在于相关知识的灵活运用． 6．（2026春•武清区期末）将某组数据绘制成箱线图如图所示，则该组数据的上四分位数为（　　） A．140 B．150 C．163 D．180 【考点】箱线图；四分位数． 【分析】根据箱线图直接得解． 【解答】解：如图， 由箱线图可知上四分位数为163； 故选：C． 【点评】本题主要考查了箱线图相关内容，熟练掌握其知识是解题的关键． 7．（2026春•南关区期末）某班40名同学每分钟跳绳个数的箱线图如图所示，这40个数据的下四分位数是（　　） A．125 B．138 C．151 D．163 【考点】箱线图；四分位数． 【分析】根据下四分位数的定义解答即可． 【解答】解：箱线图的箱体的下端竖线的对应值为138，所以这组数据的下四分位数是138． 故选：B． 【点评】本题主要考查了箱线图和四分位数，理解下四分位数的定义是解题的关键． 8．（2025秋•太原校级月考）有一组被墨水污染的数据：4，17，7，14，★，★，★，16，10，4，4，11，其箱线图如图所示，这组数据的最小值是　3　 ，下四分位数是　4　 ，中位数是　10.5　 ，上四分位数是　15　 ，最大值是　18　 ，被墨水污染的三个数据可能是　3，18，13（答案不唯一）　 ． 【考点】四分位数；箱线图． 【分析】根据箱线图的定义一一分析判断即可． 【解答】解：根据箱线图可知：这组数据的最大数为18，最小值是3，上四分位数是15，下四分位数是4，中位数为10.5， ∴被墨水污染的数据中一个数是3，一个数是18， ∵中位数为10.5，共有12个数， ∴第6个数和第7个数的平均数为10.5， ∵在这组数据中有10，11， ∴将这组数据从小到大进行排序，第7个数应该为11，第6个数应该为10， ∵已经有5个数比10小，4个数比11大， ∴第三个被墨水污染的数大于等于11， ∵上四分位数是15，这组数据中已经有3个大于15的数，分别为16，17，18，且比15小的数中有14， ∴第三个被墨水污染的数小于等于14， ∴第三个被墨水污染的数可能小于等于14，大于等于11， ∴被墨水污染的三个数据3，18，13． 故答案为：3；4；10.5；15；18；3，18，13（答案不唯一）． 【点评】本题主要考查了箱线图，中位数，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 9．（2026春•沂水县期末）某校选拔14名学生参加济南市第一届运动会，测量心率的统计结果如下表所示： 心率/（次/分） 60 68 70 73 80 人数/名 2 3 4 4 1 则这组数据的下四分位数为　68　 ． 【考点】四分位数． 【分析】根据四分位数和中位数的定义求解即可． 【解答】解：这组数据重新排列为60，60，68，68，68，70，70，70，70，73，73，73，73，80， 前一组数据为60，60，68，68，68，70，70， 所以这组数据的下四分位数为68， 故答案为：68． 【点评】本题主要考查分位数相关内容，定义：四分位数是统计学中分位数的一种，即把所有数据由小到大排列并分成四等份，处于三个分割点位置的数据就是四分位数，第一四分位数，又称“下四分位数”，等于该样本中所有数据由小到大排列后第25%的数据；第二四分位数，又称“中位数”，等于该样本中所有数据由小到大排列后第50%数据；第三四分位数，又称“上四分位数”，等于该样本中所有数据由小到大排列后第75%的数据． 10．（2026•新昌县校级开学）一份从1至10为评价等级的调查问卷中，得分分布如下：7，9，5，3，2，1，8，6，4，10，其下四分位数和上四分位数之和是　11　 ． 【考点】四分位数． 【分析】将上面10个数据按照从小到大的顺序进行排列，再分别求出下四分位数和上四分位数，进而得出答案． 【解答】解：按照从小到大的顺序进行排列1、2、3、4、5、6、7、8、9、10， 10×25%＝2.5， 则下四分位数为3， 10×75%＝7.5， 则上四分位数为8， 3+8＝11． 故答案为：11． 【点评】本题主要考查四分位数，熟练掌握四分位数是解题的关键． 11．（2026春•潼南区期末）在数学学科单元模拟测试中，总分为100分，八年级某班学生成绩的箱线图如图所示，则该班学生成绩的下四分位数是　68　 分． 【考点】四分位数． 【分析】根据题意结合图中信息即可求解． 【解答】解：由箱线图可知，下四分位数是68分， 故答案为：68． 【点评】本题主要考查了四分位数，掌握其相关知识点是解题的关键． 12．（2025秋•雁塔区校级期末）在以“运动强体魄，青春绽光彩”为主题的跳绳比赛中，已知八年级1班和2班的人数相等．两个班成绩的箱线图如图所示，由图可知　二　 班成绩更集中． 【考点】箱线图． 【分析】根据箱线图的相关概念，对每一个所涉及到的统计量进行分析判断即可． 【解答】解：由箱线图可知，一班在50和140之间波动，二班在70和130之间波动，即2班成绩的箱线图宽度较窄， 所以成绩比较集中的班级是二班． 故答案为：二． 【点评】本题考查了箱线图，熟练掌握该知识点是关键． 13．（2026春•乐陵市期末）甲、乙、丙、丁四支排球队队员身高情况箱线图如图所示，身高最集中的是　乙　 队． 【考点】箱线图． 【分析】根据箱线图分析即可得到答案． 【解答】解：根据箱线图分析，乙队队员的身高差距最小，身高较为集中． 故答案为：乙． 【点评】本题考查箱线图，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 14．（2026•雨花区校级开学）下面是根据八（2）班学生身高数据制作的箱线图，这组数据的第三四分位数是　170　 ． 【考点】四分位数． 【分析】根据箱线图的结构并结合第三四分位数的定义解答即可． 【解答】解：这组数据的第三四分位数是170． 故答案为：170． 【点评】本题考查四分位数，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 15．（2026•宽城区校级开学）春季学期开学后，全国多地学校将课间活动时间从10分钟延长到15分钟，鼓励孩子们走出教室，充分享受课余时光，某校通过各种丰富的课间活动，让课间休息落到实处，某班篮球队有篮球运动员12人，利用大课间进行投篮训练，每人投篮10个，投中球数如下：8，9，6，7，6，6，7，10，9，9，8，7，在投中球数的这组数据中，第一四分位数为　6.5　 ． 【考点】四分位数． 【分析】解法一：将投中球数从小到大依次排列，选取前6个数据：6，6，6，7，7，7，再求这组数据的中位数，即为第一四分位数．解法二：将原数据从小到大排序，根据数据总数计算第一四分位数的位置，再计算得到对应结果． 【解答】解：解法一：将原数据从小到大排列得：6，6，6，7，7，7，8，8，9，9，9，10， 选取前6个数据：6，6，6，7，7，7， 再求这6个数据的中位数：， 第一四分位数为6.5． 解法二：将原数据从小到大排列得：6，6，6，7，7，7，8，8，9，9，9，10，数据总个数为12， 计算第一四分位数位置得 12×25%＝3，位置为整数， 因此第一四分位数为第3个数据和第4个数据的平均数， 第一四分位数为． 故答案为：6.5． 【点评】本题考查四分位数，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 16．（2026春•西湖区校级期末）在一次篮球比赛中，某支球队共进行了8场比赛，得分分别为29，30，38，25，37，40，42，32，那么这组数据的上四分位数为　39　 ． 【考点】四分位数． 【分析】将8个数据从小到大排序后，再找上四分位数即可． 【解答】解：∵将8个数据从小到大排序可得25，29，30，32，37，38，40，42， ∴上四分位数为：． 故答案为：39． 【点评】本题考查四分位数，正确进行计算是解题关键． 17．（2026春•德化县校级期中）甲、乙两组的测试成绩（单位：分）如下： 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． （1）求甲组成绩的四分位数． （2）根据四分位数可绘制如下的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图． （3）根据箱线图和对四分位数的理解，谈谈对两组成绩的看法． 【考点】四分位数；箱线图． 【分析】（1）先将甲组数据从小到大排序，再计算出四分位数即可； （2）根据甲组的四分位数绘制箱线图即可； （3）根据箱线图和四分位数比较两组数据即可． 【解答】解：（1）将甲组的成绩从小到大排列为 60，70，70，80，89，91，92，96，98，100，所以m25＝70，，m75＝96； （2）根据甲组的四分位数绘制箱线图如下： （3）根据箱线图和四分位数可知甲组成绩的中位数和乙组相同，但甲组成绩明显比乙组的波动大． 【点评】本题主要考查了四分位数的计算和箱线图的绘制与解读，通过这些工具可以直观地分析数据的分布特征．熟练掌握该知识点是关键． 18．（2026秋•同步）某市12月16﹣31日每日的最高气温（单位：℃）依次如下： 5，3，2，2，2，2，3，3，5，5，﹣2，﹣2，﹣5，﹣1，﹣1，﹣1． 求这组数据的四分位数m25，m50，m75． 【考点】四分位数． 【分析】先将数从小到大排序，然后再根据四分位数的定义求解即可． 【解答】解：﹣5，﹣2，﹣2，﹣1，﹣1，﹣1，2，2，2，2，3，3，3，5，5，5， ∴第4和第5个数分别是﹣1，﹣1， ∴m25＝﹣1； ∴第8和第9个数分别是2，2， ∴m50＝2； ∴第12和第13个数分别是3，3， ∴m75＝3． 【点评】本题考查数字的变化规律，将所给的数据从小到大排序是解题的关键． 19．（2026春•龙泉市期末）如图是某班学生三门学科成绩的箱线图，请根据箱线图解答以下问题： （1）请写出语文成绩的上四分位数和英语成绩的下四分位数； （2）评价该班学生三门学科的学习情况，并给出合理化的学习建议． 【考点】箱线图；四分位数． 【分析】（1）根据四分位数的定义以及箱线图进行解答即可； （2）根据语文、数学、英语三门学科的箱线图进行解答即可． 【解答】解：（1）由箱线图可知，语文成绩的上四分位数是102分，英语成绩的下四分位数是80分， （2）由语文、数学、英语三门学科的箱线图可知，数学成绩的分差较大，分布比较分散，英语成绩比较集中，上下波动较小，但最高分较小，应加强英语学习，努力提高学科的优良率． 【点评】本题考查四分位数，箱线图，理解四分位数的定义，掌握四分位数的计算方法以及箱线图的绘制方法是正确解答的关键． 20．（2026秋•同步）求下列数据的四分位数：8，9，6，7，6，6，7，10，9，9，8，7． 【考点】四分位数． 【分析】先将数据从小到大排序，再计算中位数（50%分位数），然后分别计算前半部分和后半部分数据的中位数，得到下四分位数（25%分位数）和上四分位数（75%分位数） 【解答】解：将数据按从小到大排序为：6，6，6，7，7，7，8，8，9，9，9，10， 中位数为：， 前6个数的中位数为：， 后6个数的中位数为：， 答：该组数据的下四分位数为6.5，中位数为7.5，上四分位数为9． 【点评】本题考查了百分数的应用，解决本题的关键是知道四分位数的定义． 21．（2026秋•同步）体育老师随机选择了12名学生，分别测量了他们完成800m跑步前、后1min脉搏，数据如下表．请求出跑步前、后脉搏的四分位数． 跑步前脉搏/（次/min） 65 85 78 77 78 90 76 75 80 83 72 70 跑步后脉搏/（次/min） 146 161 149 154 154 156 149 152 151 150 153 153 【考点】四分位数． 【分析】根据四分位数的计算方法求出相应的四分位数，再依据数据进行对比． 【解答】解：将跑步前脉博由小到大排序：65，70，72，75，76，77，78，78，80，83，85，90， m2573.5次/min）， m5077.5（次/min）， m7581.5（次/min）； 将跑步后脉博由小到大排序：146，149，149，150，151，152，153，153，154，154，156，161， m25149.5（次/min）， m50152.5（次/min）， m75 ＝ 154（次/min）． 【点评】本题主要考查四分位数的计算，涉及将数据排序，再依据数据进行对比． 22．（2026春•海曙区期末）【数据收集】某校为提高学生跳绳能力，准备组织跳绳训练．在组织跳绳训练前抽取了15名男生的1分钟跳绳测试成绩，获得以下按序排列后的数据（单位：次）：108，120，124，125，130，136，142，148，150，154，162，167，169，170，181． 【数据整理】训练一个月后，对这15位男同学又一次进行1分钟的跳绳测试．下图是训练前后跳绳成绩的箱线图． 【数据分析】箱线图中 （1）a＝　125　 ，b＝　148　 ，c＝　167　 ； 【数据应用】 （2）若学校以训练后的成绩为依据，要制定男生1分钟跳绳成绩优秀的标准，能让25%男生的跳绳成绩达到优秀，你会选择什么数据作为标准； （3）请结合箱线图的信息，评价这一个月的训练效果． 【考点】箱线图；四分位数． 【分析】（1）根据中位数、上四分位数、下四分位数的定义求解即可； （2）根据上四分位数可得结论； （3）根据训练前后的中位数、下四分位数、上四分位数、最小值、整体数据分布进行分析判断即可． 【解答】解：（1）已知训练前的15个数据：108，120，124，125，130，136，142，148，150，154，162，167，169，170，181； ∴中位数：15个数据的中位数是第8个数据，即148，所以b＝148； 下四分位数：第4个数据，即125，所以a＝125； 上四分位数：第12个数据，即167，所以c＝167； （2）要让25%的男生达到优秀，15×25%＝3.75，即取训练后成绩的第75百分位数（上四分位数）作为标准； 从箱线图中可以看到训练后的上四分位数为170次，所以选择170次作为标准，能让25%的男生达到优秀； （3）对比训练前后的箱线图： 训练后成绩的中位数、下四分位数、上四分位数均高于训练前； 训练后成绩的最小值（131）也高于训练前的最小值（108）； 整体数据分布更集中且整体水平明显提升，说明这一个月的训练效果显著，男生的跳绳成绩普遍提高． 【点评】本题考查箱线图，四分位数，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 23．（2026春•五指山期末）甲、乙两组的测试成绩（单位：分）如下： 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． （1）求甲组成绩的四分位数． （2）根据四分位数可绘制如图的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图． 【考点】箱线图． 【分析】（1）先将甲组数据从小到大排序，再计算出四分位数即可； （2）根据甲组的四分位数绘制箱线图即可． 【解答】解：（1）将甲组的成绩从小到大排列为 60，70，70，80，89，91，92，96，98，100， 共10个数，10×25%＝2.5，10×50%＝5，10×75%＝7.5， ∴m25＝70，，m75＝96； （2）如图，即为甲组的箱线图． 【点评】本题考查四分位数，箱线图，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【考点2】4.4 数据的离散程度（第24-45题） · 求方差：先求平均数，再求各数据与平均数差的平方的平均数，即s²=1/n[(x1-x̄)²+…+(xn-x̄)²] · 比较稳定性：平均数相同时，方差越小成绩越稳定；方差越大波动越大 · 用计算器求方差：按计算器方差功能键输入数据，直接读出s²（或s） · 分组合理性：比较各分组方案的组内离差平方和，选择组内离差平方和最小的方案 24．（2026•莱州市模拟）甲、乙两人在相同条件下各射击10次，两人的成绩（单位：环）如图所示，下列说法正确的是（　　） A．甲的平均成绩更高，成绩也更稳定 B．甲的平均成绩更高，但乙的成绩更稳定 C．乙的平均成绩更高，成绩也更稳定 D．乙的平均成绩更高，但甲的成绩更稳定 【考点】方差． 【分析】根据方差、平均数的意义进行判断即可求出答案． 【解答】解：根据方差、平均数的意义进行判断如下：甲的波动比乙小，则甲的成绩更加稳定； 甲的平均成绩稳定在5以下，而乙的平均成绩稳定在7.5左右，则乙的平均成绩更高； 故选：D． 【点评】本题考查了折线统计图，平均数与方差的意义，解答本题的关键是掌握平均数与方差的意义． 方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 25．（2026•兖州区二模）求一组数据方差的算式为：．由算式提供的信息，下列说法错误的是（　　） A．n的值是5 B．该组数据的平均数是7 C．该组数据的众数是6 D．若该组数据加入两个数7，7，则这组新数据的方差变小 【考点】方差；算术平均数；众数． 【分析】根据方差公式及数据特征，逐一分析选项的正误． 【解答】解：A、算式中平方差项数为5，对应数据个数n＝5，正确． B、平均数，正确． C、数据中6和8均出现2次，次数最多，故众数为6和8，而非仅6，错误． D、加入两个7后，数据更集中，方差由减小为，正确． 故选：C． 【点评】本题考查的是方差的计算，众数的含义，平均数的含义，正确记忆相关知识点是解题关键． 26．（2026•桥东区二模）如图，园林工人将绿化带上参差不齐的植物修剪平整，在此过程中绿化带上植物高度的平均数与方差均发生变化．关于这两个统计量的变化情况，描述正确的是（　　） A．平均数变小，方差变小 B．平均数变小，方差变大 C．平均数变大，方差变大 D．平均数变大，方差变小 【考点】方差；算术平均数． 【分析】根据平均数和方差的定义解答即可． 【解答】解：园林工人将绿化带上参差不齐的植物修剪平整，在此过程中绿化带上植物高度的平均数变小，方差变小． 故选：A． 【点评】此题考查了算术平均数和方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 27．（2026•瑞安市开学）统计兴趣小组的同学收集了我国7个地区的人均耕地面积（单位：千平方米）数据，0.1，0.6，0.2，0.3，0.6，1.8，2.0．为合理分组，设计以下解决方案： 组序 分组情况 第1组组内离差平方和 第2组组内离差平方和 第1组 第2组 1 0.1，0.2，0.3 0.6，0.6，1.8，2.0 0.02 1.71 2 0.1，0.2，0.3，0.6 0.6，1.8，2.0 0.14 1.15 3 0.1，0.2，0.3，0.6，0.6 1.8，2.0 0.21 0.02 4 0.1，0.2，0.3，0.6，0.6，1.8 2.0 1.94 0 则合理分组是（　　） A．组序1 B．组序2 C．组序3 D．组序4 【考点】方差． 【分析】根据组方差随组内离差平方和的增大而增大，方差越小越整齐可得答案． 【解答】解：由题意可知，组序3的组内离差平方和最小，所以组序3的方差最小，即组序3分组比较合理． 故选：C． 【点评】本题考查方差与组内离差平方和，方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立，掌握组内离差平方和的定义与方差的关系是解答本题的关键． 28．（2025秋•长清区期末）已知A，B两个班的人数相同，在一次测试中两个班成绩的箱线图如图所示（满分120分），则下列说法错误的是（　　） A．这次考试中两班均没有满分的 B．A班成绩的下四分位数与B班成绩的中位数相同 C．A班的成绩比B班的成绩波动更大 D．B班的平均分比A班的平均分更高 【考点】方差；中位数． 【分析】根据箱线图的相关概念，对每一个所涉及到的统计量进行分析判断即可． 【解答】解：根据箱线图的相关概念逐项分析判断如下： A、由图可知A、B班的最高分都未达到120分，所以两班均没有满分，不符合题意； B、A班成绩的上四分位数与B班成绩的中位数相同，都是90，说法错误，符合题意； C、A班的成绩的箱体比B班的成绩的箱体更高，所以A班的成绩比B班的成绩波动更大，不符合题意； D、由图可知A班成绩的上四分位数与B班成绩的中位数相同，并且B班成绩的下四分位数比A班成绩的中位数略高，说明B班的平均分比A班的平均分更高，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了箱线图，熟练掌握该知识点是关键． 29．（2026春•涪陵区期末）在一次物理实验中，A，B两个班学生需用弹簧测力计测量一个200g钩码的重力（理论重力为2.0N），个班测量数据的箱线图如图所示，则下列说法错误的是（　　） A．A班和B班均有同学的测量值超过了理论值 B．A班的测量值比B班的测量值波动更大 C．B班的平均测量值比A班的平均测量值更高 D．A班的上四分位数与B班的中位数相同 【考点】方差；中位数． 【分析】本题考查了箱线图，根据箱线图的相关概念，对每一个所涉及的统计量进行分析判断即可． 【解答】解：A选项：由箱线图可知，两班最大测量数据都超过理论重力2.0N，故正确； B选项：A班的测量值箱体比B班的成绩的箱体更大，所以A班的测量值比B班的测量值波动更大，故本选项正确； C选项：仅通过箱线图的上四分位数、下四分位数、中位数的大小关系无法直接推断两组数据平均值的大小关系，故此选项错误； D选项：A班的上四分位数与B班的中位数相同都是2.0N，故本选项正确． 故选：C． 【点评】本题考查了方差、中位数，正确理解题意是解题的关键． 30．（2025秋•蓬莱区期末）已知4个数据x1，x2，x3，x4的平均数为3，方差是4；另外6个数据x5，x6，x7，x8，x9，x10的平均数也是3，方差是6．把这两组数据合在一起得到10个数据x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10，则这10个数据的方差为　5.2　 ． 【考点】方差；算术平均数． 【分析】两组数据的平均数相同，合并后平均数为3，方差计算只需将两组数据的平方和相加后除以总数据个数即可． 【解答】解：根据两组数据的平均数相同，合并后平均数为3，方差计算只需将两组数据的平方和相加后除以总数据个数可知： 第一组数据的平方和：4×4＝16，第二组数据的平方和：6×6＝36， 总平方和：16+36＝52， 故总方差：． 故答案为：5.2． 【点评】本题考查求方差，熟练掌握该知识点是关键． 31．（2025秋•渠县期末）如图是甲、乙两地在某一个月中日平均气温的箱线图，从中可以发现这个月的日平均气温方差较大的是 　甲地　 （填“甲地”或“乙地”）． 【考点】方差． 【分析】方差越小，代表这组数据越稳定，方差越大，代表这组数据越不稳定，据此即可求解． 【解答】解：根据图形可知甲地的平均气温比波动大，故甲地的日平均气温的方差大． 故答案为：甲地． 【点评】本题考查了方差的意义，正确记忆相关知识点是解题关键． 32．（2025秋•龙岗区校级月考）求一组数据方差的算式为：，由算式提供的信息，则该组数据的方差s2＝　5.2　 ． 【考点】方差；算术平均数． 【分析】由方差算式可知数据为9，6，12，11，7，共5个数据，先计算平均数，再根据方差公式求解． 【解答】解：∵一组数据方差的算式为：， ∴这组数据为9，6，12，11，7， 故n＝5， 平均数， 方差： ， 故答案为：5.2． 【点评】本题考查了平均数，方差，熟练掌握公式是解题的关键． 33．（2025秋•龙岗区校级月考）某农场为考察甲、乙、丙、丁4块稻田的水稻长势，随机抽取部分水稻苗，获得苗高（cm）的平均数与方差如下表所示，则　丁　 块稻田的水稻又高又整齐．（选填“甲”“乙丙”或“丁”） 稻田 甲 乙 丙 丁 平均数（cm） 21 23 21 23 方差 0.9 1.6 1.1 0.6 【考点】方差；算术平均数． 【分析】平均数反映数据的平均水平，平均数越大，水稻越高；方差反映数据的波动程度，方差越小，数据越整齐，比较四块稻田的平均数和方差，找出平均数大且方差小的稻田即可． 【解答】解：乙和丁的平均数均为23cm，高于甲和丙的21cm；丁的方差为0.6，小于乙的方差1.6， 根据方差越小，数据越整齐，可知丁块稻田的水稻又高又整齐． 故答案为：丁． 【点评】本题考查了平均数，方差的应用，熟练掌握统计量的特征是解题的关键． 34．（2026•花垣县校级开学）一次投篮训练中，甲、乙、丙三人各进行了10次投篮，每人投篮成绩的平均数都是8，方差分别为S甲2＝0.28，s乙2＝0.38，s丙2＝0.23，其中成绩最稳定的是　丙　 ． 【考点】方差；算术平均数． 【分析】根据方差的意义求解可得． 【解答】解：∵S甲2＝0.28，s乙2＝0.38，s丙2＝0.23， ∴s丙2＜s甲2＜s乙2， ∴成绩最稳定的是丙， 故答案为：丙． 【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 35．（2026•连山区一模）某班准备从甲、乙、丙三名学生中选取一名成绩稳定的同学参加学校跳远比赛．这三名学生5次测试的平均成绩恰好相同，方差分别是：s甲2＝0.55，s乙2＝0.53，s丙2＝0.51，那么应选 　丙　 （选填“甲”“乙”或“丙”）去参加比赛． 【考点】方差． 【分析】直接根据方差的意义即可得出答案． 【解答】解：∵，，， ∴s甲＞s乙＞s丙， ∴这三名同学中成绩最稳定的是丙， 故答案为：丙． 【点评】本题考查了方差，正确记忆方差越小，表示成绩越稳定；方差越大，表示成绩波动越大，越不稳定是解题关键． 36．（2026春•南关区期末）教练记录了甲、乙两名运动员最近10次百米跑测试的成绩，通过计算发现两人10次成绩的平均成绩相同，且甲的方差小于乙的方差．若教练想选择一名发挥稳定的运动员参加区运动会，应选择　甲　 ．（填“甲”或“乙”） 【考点】方差；算术平均数． 【分析】平均成绩相同，根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可求解． 【解答】解：∵甲、乙两名运动员10次成绩的平均成绩相同，且甲的方差小于乙的方差， ∴甲的发挥更稳定， ∴若教练想选择一名发挥稳定的运动员参加区运动会，应选择甲． 故答案为：甲． 【点评】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 37．（2025秋•光明区校级月考）近日，生态环境部公布第六批“绿水青山就是金山银山”实践创新基地名单，山西省6个县入选国家生态文明建设示范区，为了响应对环境保护的号召，某校要从报名的甲、乙、丙三人中选取一人去参加太原市举办的环保演讲比赛，经过两轮初赛后，甲、乙、丙三人的平均成绩都是90，方差分别是，，．你认为 　甲　 参加决赛比较合适． 【考点】方差． 【分析】根据方差越小，成绩越稳定即可判断． 【解答】解：∵，，，且2.2＜3.5＜10.3， ∴甲的成绩最稳定， ∴甲参加决赛比较合适， 故答案为：甲． 【点评】本题主要考查方差的意义，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 38．（2026春•西安校级期末）已知一组数据3，a，4，6，7的方差是5，则这组数据的离差平方和是　25　 ． 【考点】方差． 【分析】根据方差的定义，方差等于离差平方和除以数据的个数，已知方差和数据个数，即可求出离差平方和． 【解答】解：根据方差的定义可知： 这组数据共有5个数据，方差是5， ∴离差平方和＝5×5＝25． 故答案为：25． 【点评】本题考查了方差，熟练掌握该知识点是关键． 39．（2026•长春）为落实教育部《关于全面推进健康学校建设的指导意见》，多地中小学进一步将“健康第一”的教育理念贯穿学习生活日常．某校对七年级学生开展了体能测试，为了解学生的测试情况，现从七年级随机抽取了两组学生的测试成绩（满分100分，将这两组记为A组、B组． 整理数据： 分析数据： 平均数 中位数 众数 A组成绩 a 85 80 B组成绩 83 b 80 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：a＝　86　 ，b＝　80　 ； （2）根据以上数据，体能测试成绩更好的是A 组（填“A”或“B”）； （3）已知该校七年级共有300名学生，成绩为满分的学生可以获得“体能达人”的称号，估计该校七年级获得“体能达人”称号的学生人数． 【考点】方差；用样本估计总体；中位数；众数． 【分析】（1）根据加权平均数公式可得a，根据中位数的定义求b； （2）根据平均数和中位数的意义解答即可； （3）利用样本估计总体即可． 【解答】解：（1）由题意得：a＝100×20%+90×30%+80×40%+70×10%＝86， b80， 故答案为：86，80； （2）因为A组成绩的平均数和中位数均高于B组成绩，所以体能测试成绩更好的是A组． 故答案为：A； （3）30045（人）， 答：估计该校七年级获得“体能达人”称号的学生人数为45人． 【点评】本题考查中位数、众数、平均数以及扇形统计图，掌握平均数、中位数的计算方法是正确解答的前提． 40．（2026•鼓楼区二模）射击训练班中的甲乙两名选手在5次射击训练中的成绩依次为（单位：环）：甲：8，8，7，8，9；乙：5，9，7，10，9．教练根据他们的成绩绘制了如下尚不完整的统计图表： 选手 平均数 众数 中位数 方差 甲 8 a 8 c 乙 8 9 b 3.2 根据以上信息，请解答下面的问题： （1）a＝ 　8　 ，b＝ 　9　 ，c＝ 　0.4　 ； （2）教练根据这5次成绩，决定选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？ （3）选手乙再射击第6次，由于发挥失常，命中的成绩仅是5环，则选手乙这6次射击成绩的方差与前5次射击成绩的方差相比会 　变大　 （填“变大”、“变小”或“不变”）． 【考点】方差；算术平均数；中位数；众数． 【分析】（1）根据众数的定义确定a的值，根据方差公式计算甲的方差得到c的值，然后根据中位数的定义确定b的值； （2）利用方差的意义得甲的成绩比较稳定，从而决定选择甲参加射击比赛； （3）第6次为5环，与平均数相差比较大，数据的波动性变大，所以方差变大． 【解答】解：（1）∵甲选手的成绩中8环出现了3次，出现次数最多， ∴甲选手的成绩众数为8，即a＝8， s甲2[（8﹣8）2+（8﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2]＝0.4， 即c＝0.4； 把乙选手的成绩按由小到大排列为5，7，9，9，10， ∴乙选手的成绩的中位数为9； 故答案为：8，9，0.4； （2）教练的理由为：甲乙的平均数相同，甲的方差小于乙的方差，所以成绩比较稳定，所以教练根据这5次成绩，决定选择甲参加射击比赛； （3）∵第6次为5环，与平均数相差比较大， ∴选手乙这6次射击成绩的方差与前5次射击成绩的方差相比会变大． 故答案为：变大． 【点评】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差s2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．也考查了中位数和众数． 41．（2025秋•宝安区校级期末）为了解学生的安全知识掌握情况，某校七、八年级举办了安全知识竞赛．所有学生的成绩分为优秀、良好、及格、不及格四个等级，将优秀、良好、及格、不及格分别记为20分，16分，12分和8分．现分别从七、八年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行统计，根据统计结果绘制成如下统计图，两组样本数据的平均数、中位数、众数及方差如表所示： 年级 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差（精确到0.01） 七年级 14.4 16 b 15.04 八年级 a 12 12 16.64 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中a＝　14.4　 ，b＝　16　 ． （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的安全知识竞赛成绩更好？并说明理由； （3）若该校七年级共有学生420人，请估计该校七年级成绩不低于16分的学生人数． 【考点】方差；近似数和有效数字；用样本估计总体；加权平均数；中位数；众数． 【分析】（1）根据平均数、众数的计算方法进行计算即可； （2）比较平均数、中位数、众数、方差得出答案； （3）求出七年级不低于16分的人数所占的百分比即可解答． 【解答】解：（1）由扇形统计图可得a＝8×10%+12×50%+16×10%+20×30%＝14.4（分）， 由条形统计图知16分出现的次数最多， ∴b＝16； 故答案为：14.4，16； （2）可以推断出七年级学生的安全知识竞赛成绩更好， 理由：因为两班平均数相同，而七年级的中位数以及众数均高于八年级，七年级的方差小于八年级的方差， 所以七年级学生的安全知识竞赛成绩更好； （3）七年级不低于16分的人数所占的百分比乘总人数可得： （人）， 答：估计该校七年级成绩不低于16分的学生人数为231人． 【点评】本题考查中位数、众数、平均数、方差以及样本估计总体，掌握平均数、中位数、众数的计算方法和意义是正确解答的关键． 42．（2026•瑞安市开学）某校举行班容班貌评比活动，以班级为单位，评比项目包括文化卫生、板报宣传和特色栏目．三个班级各项目得分如表（单位：分）所示： 文化卫生 板报宣传 特色栏目 A班 88 89 84 B班 88 88 85 C班 87 88 88 （1）已知A，B两班的平均分都是87分，通过计算指出哪个班级平均分最高； （2）若将文化卫生、板报宣传和特色栏目的得分按2：2：1的比例计算总成绩，此时A，B两班的总成绩分别为87.6分和87.4分，方差分别为3.44分2和1.44分2．哪一个班级总成绩好且稳定？ 【考点】方差；加权平均数． 【分析】（1）根据算术平均数的定义列式计算即可； （2）根据加权平均数的定义列式计算，即可得出答案． 【解答】解：（1）， 因为，所以C班级平均分最高； （2）分， [2×（87﹣87.6）2+3×（88﹣87.6）2]＝0.208， 因为，，所以C班级总成绩好且稳定． 【点评】本题主要考查加权平均数和方差，解题的关键是掌握加权平均数和方差的定义． 43．（2026春•金水区校级月考）传统跳绳是某校体育特色课程，老师记录了八（1）班传统跳绳两组各10位同学1min跳绳的次数． 【数据收集】 A组 112 126 128 130 136 146 146 150 152 158 B组 127 131 134 135 145 148 150 152 152 155 【数据整理】老师对上面表格数据进行了简单的统计． lmin跳绳的次数 最小值 下四分位数 中位数 上四分位数 最大值 A组 112 a 141 150 158 B组 127 134 b 152 155 （1）求表中的数据：a＝　128　 ，b＝　146.5　 ； （2）两组同学跳绳次数绘制成箱线图，如图所示，则　＞　 （填“＞”、“＜”或“＝”）； 【数据应用】 （3）请你利用四分位数、箱线图评价这两组同学的跳绳水平，并说明理由． 【考点】方差；四分位数；箱线图；中位数． 【分析】（1）根据下四分位数和中位数的定义即可； （2）根据箱线图以及A组和B组数据特征分析即可； （3）根据箱线图比较两组数据可知A组成绩比较分散，即可得出结论． 【解答】解：（1）将A组数据从小到大排序为112，126，128，130，136，146，146，150，152，158， 故A组的下四分位数a＝128， 将B组数据从小到大排序为127，131，134，135，145，148，150，152，152，155， 故B组的中位数b146.5， 故答案为：128，146.5； （2）由箱线图可知，A组数据比B组数据分散，即B组数据比较集中，所以B组数据的方差较小，即， 故答案为：＞； （3）B组同学整体的跳绳水平比A组高， 由箱线图可知，B组跳绳成绩的上四分位数、中位数和下四分位数均高于A组，且B组数据的方差比A组小，成绩更稳定，所以B组同学整体的跳绳水平比A组高． 【点评】本题考查了中位数和四分位数，掌握中位数的计算方法是解答本题的关键． 44．（2026•青秀区校级开学）在某次乒乓球垫球的活动中，体育老师将九年级（1）班的12名女生平均分为甲、乙两队，下面记录的是两队女生的垫球个数（垫球高度不低于2米的为有效垫球数，低于2米的为无效垫球数）． 信息1：两队学生的有效垫球数： 甲队垫球情况（单位：个）：20，18，32，30，26，30； 乙队垫球情况（单位：个）：24，26，22，26，28，30； 信息2：如图： 信息3：技术统计表 队伍 平均垫球个数 垫球众数 垫球中位数 垫球数的方差 平均无效垫球数 甲队 26 30 m s甲2 2 乙队 26 n 26 s乙2 5 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中的m＝　28　 ，n＝　26　 ，s甲2　＞　 s乙2（填“＞”“＝”或“＜”）； （2）请补全信息2中甲队有效垫球数的箱线图； （3）结合信息3的数据统计表，请给甲队和乙队的女生分别提出一个改进的建议． 【考点】方差；中位数；众数． 【分析】（1）根据中位数和众数的定义解答即可； （2）求出甲队的中位数，结合箱线图的意义解答即可 （3）根据统计表数据提出建议（答案不唯一）． 【解答】解：（1）把甲队垫球的数据从小到大排列为：18，20，26，30，30，32，故甲队垫球的中位数为28，即m＝28； 乙队垫球中26出现的次数最多，故众数n＝26； s2甲[（18﹣26）2+（20﹣26）2+（26﹣26）2+2×（30﹣26）2+（32﹣26）2]＝28， s2乙[（22﹣26）2+（24﹣26）2+2×（26﹣26）2+（28﹣26）2+（30﹣26）2]． 28， 故s2甲＞s2乙， 故答案为：28，26，＞； （2）结合甲队有效垫球数据，补全信息2中甲队有效垫球数的箱线图如下： （3）由箱线图可知，甲队数据比较分散，建议加强稳定性练习，乙队数据比较集中，稳定性较好，建议整体提高垫球水平（答案不唯一）． 【点评】本题主要考查了中位数、众数、方差的综合运用，掌握相关统计量的意义是解答本题的关键． 45．（2026•雁塔区校级模拟）为了解九年级学生的体育水平，某校随机抽取了九年级男女学生各20名的体育模拟测试成绩（成绩满分为50分且为整数），进行整理、描述和分析（成绩均不低于30分，用x表示，共分五组：A．x＝50；B.45≤x＜50；C.40≤x＜45；D.35≤x＜40；E.30≤x＜35），下面给出了部分信息： 男生体育模拟测试成绩在B组中的数据为：49、48、47、47、47、45． 女生体育模拟测试成绩在B组中的数据为：49、48、48、47、46、45． 体育模拟测试成绩分析表： 平均分 众数 中位数 男生 46.2 50 b 女生 45.2 a 46.5 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中m＝　30　 ，a＝　50　 ，b＝　47.5　 ； （2）根据以上数据，你认为该校九年级男生还是女生的体育成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校九年级有男生550人，女生500人，请估计该校九年级本次体育模拟测试成绩为满分的学生共有多少人？ 【考点】方差；用样本估计总体；频数（率）分布直方图；扇形统计图；中位数；众数． 【分析】（1）利用众数和中位数定义可得a、b的值，用1分别减去其他四组所占百分比可得m的值； （2）可从众数，中位数，平均数等方面比较； （3）利用样本估计总体即可． 【解答】解：（1）女生A组所占百分比m%＝125%﹣10%﹣5%＝30%，即m＝30； 所以女生A组人数为：20×30%＝6， 20名女生体育模拟测试成绩中50出现的次数最多，故众数a＝50； 把20名男生体育模拟测试成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是47，48，故中位数b47.5， 故答案为：30，50，47.5； （2）男生的体育成绩更好，因为男生的平均数和中位数均比女生高，所以男生的体育成绩更好； （3）550500×30%＝370（人）， 答：估计该校九年级本次体育模拟测试成绩为满分的学生共有370人． 【点评】本题考查众数，中位数，用样本估计总体，掌握相关知识是解决问题的关键． 💯 课后巩固 复习建议 · 求四分位数必须先排序，按位置确定Q1、Q2、Q3，位置为小数时按教材规则取相邻数据平均数 · 读箱线图时抓住箱体左右边界（Q1、Q3）、箱内线（中位数）、上下须端点（最大、最小值）四个要素 · 比较两组数据稳定性时，先看平均数是否相同，平均数相同再比方差，方差小者更稳定 · 方差反映数据波动大小，方差为0表示数据完全相同；方差计算时注意先求平均数再逐项求差的平方 · 分组合理性比较用组内离差平方和，选择组内离差平方和最小的方案，同组数据尽可能接近 【作业1】（2026•子洲县校级开学）小申将某书店5月份每天的书籍销量绘制成如图所示的箱线图，下列说法中不正确的是（　　） A．这组数据的第一四分位数是150 B．该书店5月份销量最少的一天销售了50本书 C．这组数据的最大值是400 D．该书店有15天每天的销量在250本以上 【考点】箱线图；四分位数． 【分析】根据每天的书籍销量绘制成如图所示的箱线图进行判断即可． 【解答】解：A、这组数据的第一四分位数是150，说法正确，故不符合题意； B、该书店5月份销量最少的一天销售了50本书，说法正确，故不符合题意； C、这组数据的最大值是400，说法正确，故不符合题意； D、该书店中位数为200本，故该书店不可能有15天每天的销量在250本以上，说法错误，故符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查箱线图，正确记忆相关知识点是解题关键． 【作业2】（2026春•海淀区校级期末）已知某学校八年级（1）班10名同学的身高（单位：cm）如下：163，158，161，168，170，175，163，167，169，170，则这组数据的下四分位数是（　　） A．163 B．167 C．168 D．170 【考点】四分位数． 【分析】根据四分位数的概念求解即可． 【解答】解：将这组数据重新排列为：158，161，163，163，167，168，169，170，170，175， 所以这组数据的下四分位数是163， 故选：A． 【点评】本题主要考查四分位数，四分位数的概念：把一组数据从小到大排好序后，把所有数据平均分成 4等份，处在三个分割点上的数值，就是四分位数，它主要用来画箱线图、判断数据分布和找异常值． 【作业3】（2026春•宁海县校级期中）某地有8个快递收件点，在某天接收到的快递个数分别为360，284，290，300，188，240，260，288，则这组数据的上四分位数　295　 ． 【考点】四分位数． 【分析】根据四分位数的定义计算即可． 【解答】解：将数据从小到大排序为：188，240，260，284，288，290，300，360， ∵8×75%＝6， ∴上四分位数为． 故答案为：295． 【点评】本题主要考查四分位数，熟练掌握其运算方法是解题的关键． 【作业4】（2026春•沂南县期末）在一次体检中，测得某校八年级（1）班第一组同学的体重（单位：千克）分别为50，55，58，57，54，50，56，60．该组同学体重的第三四分位数是　57.5　 ． 【考点】四分位数． 【分析】本题考查第三四分位数的计算，解题思路为先将数据从小到大排序，再计算第三四分位数的位置，最后根据分位数计算规则得到结果． 【解答】解：将这组数据从小到大排列为： 50，50，54，55，56，57，58，60， 该组数据共有n＝8个，第三四分位数为75%分位数，计算位置得 i＝n×0.75＝8×0.75＝6， i为整数，因此第三四分位数为第i项与第i+1项数据的平均数， 即； 故答案为：57.5． 【点评】本题考查了四分位数，将数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列是解题的关键． 【作业5】（2026春•上城区期末）某研发团队12人的年龄（岁）为19，19，22，22，24，25，28，34，35，35，37，38，则其下四分位数是　22　 岁． 【考点】四分位数． 【分析】首先确认数据已按从小到大排序，计算下四分位数的位置，再根据四分位数计算规则求解即可． 【解答】解：方法一：已知12个数据已从小到大排列， ∴下四分位数是从小到大排列前6项数据的中位数， 则下四分位数为第项和第项的平均数， ∴本题中第3项数据为22，第4项数据为22， ∴下四分位数为： ． 方法二：已知12个数据已经从小到大排列，样本容量n＝12， 计算下四分位数的位置：i＝n×25%＝12×0.25＝3， ∵i为整数，根据四分位数计算规则，下四分位数为第i项与第i+1项数据的平均数， ∴本题中第3项数据为22，第4项数据为22， ∴下四分位数为：； 故答案为：22． 【点评】本题考查四分位数，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【作业6】（2026春•宜都市期末）甲、乙两家汽车零售店各9名销售人员10月份销售的汽车数量（单位：辆）如下： 甲公司：13 4 2 10 2 8 11 7 14 乙公司：8 5 3 11 9 12 8 7 9 （1）求甲公司汽车销量的四分位数； （2）根据四分位数可绘制出箱线图，如图，结合图中乙公司的箱线图，请在该图中绘制出甲公司的箱线图； （3）根据箱线图和对四分位数的理解，选择一个角度谈谈对甲乙两个公司汽车销量的看法． 【考点】箱线图；四分位数． 【分析】（1）根据四分位数的定义以及计算方法进行计算即可； （2）根据箱线图的绘制方法进行解答即可； （3）根据甲、乙公司10月份销售量的四分位数以及箱线图进行解答即可． 【解答】解：（1）甲公司9名销售员10月份的销售量从小到大排列为：2，2，4，7，8，10，11，13，14， 所以甲公司9名销售员10月份的销售量的第一四分位数为3，第二四分位数为8，第三四分位数为12； （2）甲公司9名销售员10月份的销售量的最小值为2，最大值为14，第一四分位数为3，第二四分位数为8，第三四分位数为12，所画的箱线图如下： （3）乙公司9名销售员10月份销售汽车的数量比较集中，差别较小，而甲公司9名销售员10月份销售汽车的数量的差距较大，有2名销售员的销售数量比乙公司的最高销售量还多． 【点评】本题考查四分位数，箱线图，连接四分位数的定义，掌握四分位数的计算方法以及箱线图的绘制方法是正确解答的关键． 【作业7】（2026春•拱墅区校级月考）甲、乙两组的测试成绩如下： 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． （1）求甲组数据的四分位数m； （2）根据四分位数可绘制如下的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图； （3）根据箱线图和对四分位数的理解，谈谈对两组成绩的看法． 【考点】箱线图；四分位数． 【分析】（1）先将甲组数据从小到大排序，再计算出四分位数即可； （2）根据甲组的四分位数绘制箱线图即可； （3）根据箱线图和四分位数比较两组数据即可． 【解答】解：（1）将甲组的成绩从小到大排列为 60，70，70，80，89，91，92，96，98，100，所以m25＝70，，m75＝96； （2）根据四分位数可绘制如下的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图如答图所示： （3）根据箱线图和四分位数可知甲组成绩的中位数和乙组相同，但甲组成绩明显比乙组的波动大． 【点评】本题主要考查了四分位数的计算和箱线图的绘制与解读，通过这些工具可以直观地分析数据的分布特征． 【作业8】（2026春•赫山区期末）为研究某小区居民每月用水量（单位：吨），收集到12户居民的用水量数据如下：3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14．将这12户居民用水量分成两组，使同组用水量接近，不同组用水量差异较大，现有以下四种分组方法，最恰当的分组是（　　） 分组方案 第一组数据 第二组数据 组内离差平方和 A 3，4，5，6 7，8，9，10，11，12，13，14 52.5 B 3，4，5，6，7 8，9，10，11，12，13，14 42 C 3，4，5，6，7，8 9，10，11，12，13，14 45 D 3，4，5，6，7，8，9 10，11，12，13，14 55 A．方案A B．方案B C．方案C D．方案D 【考点】方差． 【分析】根据离差平方和的意义解答即可． 【解答】解：∵42＜45＜52.5＜55， ∴方案B的组内离差平方和最小， 故最恰当的分组是方案B． 故选：B． 【点评】本题考查方差，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【作业9】（2026•鼓楼区校级开学）在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为7，9，12，13，15．要使个数相差较小的同学分在一组，如表是4种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位）．根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是（　　） 分组情况 组内离差平方和 第一组4个，第二组1个 22.8 第一组3个，第二组2个 14.7 第一组2个，第二组3个 6.7 第一组1个，第二组4个 18.8 A．{7}和{9，12，13，15} B．{7，9}和{12，13，15} C．{7，9，12}和{13，15} D．{7，9，12，13}和{15} 【考点】方差． 【分析】先排序再比较组内离差平方和之后推理得出结论． 【解答】解：从小到大排列为7，9，12，13，15， 6.7＜14.7＜18.8＜22.8， 其中最小值对应第一组2个、第二组3个的分法， 要使组内个数相差较小，需将连续的数分为一组， 即分组为{7，9}和{12，13，15}． 故选：B． 【点评】本题考查方差，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【作业10】（2025秋•南山区校级月考）下列说法正确的是（　　） A．九年级某班的英语测试平均成绩是95.5分，说明每个同学的得分都是95.5分 B．数据1，4，5，5，0的中位数和众数都是5 C．要了解一批日光灯的使用寿命，应采用全面调查 D．若甲、乙两组数据中各有15个数据，两组数据的平均数相等，方差，，则说明乙组数数据比甲组数据稳定 【考点】方差；全面调查与抽样调查；算术平均数；中位数；众数． 【分析】根据选项内容逐个进行剖析，判断正误，做出选择即可， 【解答】解：英语测试平均成绩是95.5，说明这个班的英语成绩的平均水平是95.5分，并不是每个同学的得分都是95.5分，因此A选项不符合题意， 数据1，4，5，5，0的中位数是4，众数是5，因此选项B不符合题意， 要了解一批日光灯的使用寿命，应采用抽查的方式，不能采取全面调查，也没有全面调查的必要，因此C选项不符合题意， 甲的方差比乙的方差小，因此甲数据比较稳定，因此D选项符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查全面调查、抽样调查的意义，中位数、众数、平均数以及方差的意义，理解这些概念的意义是正确做出判断的前提． 【作业11】（2025秋•长清区期末）如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差，要从中选择一名发挥稳定的运动员去参加比赛，应该选择　乙　 ． 甲 乙 丙 丁 平均数（cm） 183 183 182 182 方差 5.7 3.5 6.7 8.6 【考点】方差；算术平均数． 【分析】先选取平均数较大的，进而根据平均数相同应选择方差较小的参加比赛． 【解答】解：根据平均数和方差意义可知： 甲、乙跳高运动员的平均数较大，且乙的方差较小， ∴选择乙参加比赛， 故答案为：乙． 【点评】此题考查了平均数和方差，熟练掌握该知识点是解题的关键． 【作业12】（2026•启东市开学）若把数据6，7，8，8，8，8，7，10，9分成6，7，7，8和8，8，8，9，10两组，则它们的组内离差平方和为　5.2　 ． 【考点】方差． 【分析】根据组内离差平方和的定义，分别计算两组的离差平方和，再求和得到结果． 【解答】解：第一组数据为6，7，7，8， ， ； 第二组数据为8，8，8，9，10， ， ； 总组内离差平方和为：． 故答案为：5.2． 【点评】本题考查方差，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【作业13】（2026•淮安）为优选水稻品种，农科所分析了甲、乙两种水稻的单穗质量（单位：g），计算出样本方差分别为s甲2＝117.1g2，s乙2＝83.4g2，由此可推断　乙　 种水稻的质量更稳定．（填“甲”或“乙”） 【考点】方差． 【分析】先比较两个方差的大小，再根据方差的意义得结论． 【解答】解：∵，， ∴， ∴乙种水稻的质量更稳定． 故答案为：乙． 【点评】本题考查了方差，掌握方差的意义是解决本题的关键． 【作业14】（2025秋•无锡校级月考）某校进行环保知识测试．测试成绩分为A，B，C，D四个等级，依次记为10分，9分，8分，7分．学校随机抽取了20名男生和20名女生的成绩进行整理，得到了如下所示的统计图和统计表： 统计量 中位数 众数 男生 a 9 女生 8 b （1）根据以上图表信息，直接写出表中a，b的值：a＝　8.5　 ，b＝　8　 ； （2）请分别计算被抽查男生与女生的平均成绩； （3）请选用（1）与（2）中的一个统计量说明该校男生成绩与女生成绩哪个更好？ （4）被抽查的20名男生成绩的方差为　1.04　 ． 【考点】方差；加权平均数；中位数；众数． 【分析】（1）根据众数和中位数的定义解答； （2）根据平均数的定义解答即可； （3）通过分析中位数、众数、平均数，比较可得答案． （4）根据方差的计算公式求解即可． 【解答】解：（1）男生的成绩从小到大排列排在中间的两个数是8，9，所以男生成绩的中位数是； 由条形统计图可得，女生成绩的众数是8． 故答案为：8.5，8； （2）根据平均数的定义可知： 被抽查的男生的平均成绩是：； 被抽查的女生的平均成绩是； （3）男生的成绩较好，理由如下： 男生的成绩的平均数比女生高，中位数，众数都比女生高， 所以男生的成绩较好． （4）根据方差的计算方法可得：． 故答案为：1.04． 【点评】本题主要考查了扇形统计图和条形统计图信息关联，求众数，中位数，平均数，方差等知识点，正确读懂统计图是解题的关键． 【作业15】（2025秋•薛城区期末）为了提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，记分员记录了他们在近六场比赛中关于得分、篮板的情况． 信息1：甲的得分情况：20，14，28，30，32，32； 乙的得分情况：24，28，24，28，28，27． 信息2：如图 信息3：技术统计表 队员 平均得分 得分众数 得分中位数 平均每场篮板 篮板方差 甲 26 32 m 9 乙 26.5 n 27.5 8 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中的m＝　29　 ，n＝　28　 ，　＞　 s乙2（填“＞”“＝”或“＜”）； （2）本次队员综合得分按平均得分的40%，平均每场篮板的60%计算，综合得分越高表现越好，则甲、乙哪名队员的表现更好？ （3）选择一个方面进行分析，甲、乙两名队员谁表现的更好？ 【考点】方差；加权平均数；中位数；众数． 【分析】（1）根据众数、中位数、方差的定义求解即可； （2）分别求出甲、乙的综合得分，然后判断即可； （3）合理即可． 【解答】解：（1）甲的得分从小到大排列：14，20，28，30，32，32， ∴中位数， 乙的得分情况：24，28，24，28，28，27， ∴n＝28， ， ， ∴， 故答案为：29，28，＞； （2）甲：26×40%+9×60%＝15.8， 乙：26.5×40%+8×60%＝15.4， ∵15.8＞15.4， ∴甲队员表现更好； （3）根据篮板的方差，甲的方差大于乙，说明乙在篮板方面表现的更好．（答案不唯一） 【点评】本题考查了方差，统计表，中位数，加权平均数等知识，掌握其相关知识点是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 数据集中趋势和离散程度(2) 优等生讲义 2026-2027 苏科版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解四分位数的概念，会求一组数据的下四分位数、上四分位数与中位数 · 能读懂箱线图，会从箱线图中提取四分位数、中位数、数据范围等信息 · 理解方差的概念，掌握方差的计算公式并能求一组数据的方差 · 能比较两组数据的离散程度，理解方差越大数据波动越大 · 会用计算器求一组数据的方差，能解决简单的实际应用问题 · 能根据分组合理性原则合理划分数据组，减少组内离差平方和 📚 知识梳理 ☆ 1.四分位数 将一组数据按从小到大排列后，位于25%位置的数称为下四分位数（第一四分位数，记为Q1） 位于50%位置的数称为中位数（第二四分位数，记为Q2），位于75%位置的数称为上四分位数（第三四分位数，记为Q3） 四分位数的求法：先排序，再按位置公式n×p%确定位置；位置为整数时取该位置数据，为小数时按规则取相邻两数的平均数（具体按教材规定） 第一四分位数、中位数、上四分位数合称四分位数，把数据分成四个部分，每部分包含25%的数据 概念辨析例题：数据8，9，6，7，6，6，7，10，9，9，8，7的下四分位数是____。 解析：排序：6，6，6，7，7，7，8，8，9，9，9，10；n=12，Q1位置=12×25%=3，取第3个数据6 ☆ 2.箱线图 箱线图由箱体、中位线、上下须组成，能直观反映一组数据的分布情况 箱体左边界为下四分位数Q1，右边界为上四分位数Q3，箱内线段为中位数Q2 上下须（触须）延伸到数据的最大值与最小值，反映数据的取值范围 箱体越窄说明中间50%的数据越集中，箱体越长说明数据分布越分散 概念辨析例题：根据箱线图判断：某组数据的下四分位数为68，中位数为70，上四分位数为73，则这组数据中约有多少比例的数据在68～73之间？ 解析：箱体代表Q1～Q3之间的数据，约占全部数据的50% ☆ 3.方差 方差是一组数据中各数据与其平均数之差的平方的平均数，反映数据的离散程度 方差公式：s²=1/n[(x1-x̄)²+(x2-x̄)²+…+(xn-x̄)²] 方差越大，说明数据波动越大、越分散；方差越小，说明数据越集中、越稳定 两组数据平均数相同时，比较方差可判断哪组更稳定 概念辨析例题：数据2，4，6，8，10的平均数是6，求这组数据的方差。 解析：s²=[(2-6)²+(4-6)²+(6-6)²+(8-6)²+(10-6)²]/5=(16+4+0+4+16)/5=8 ☆ 4.离散程度的比较 离散程度描述一组数据偏离平均数的程度，常用方差、极差等统计量衡量 平均数相同的两组数据，方差小的更稳定；方差大的波动更大 实际问题（如选拔运动员、比较产品质量）中，稳定性常用方差来判定 方差非负，当所有数据相等时方差为0 概念辨析例题：甲、乙两名运动员5次射击成绩的平均数相同，甲的方差s甲²=0.28，乙的方差s乙²=0.38，谁的成绩更稳定？ 解析：平均数相同，方差越小越稳定，0.28＜0.38，故甲的成绩更稳定 ☆ 5.数据分组的合理性 对一组数据进行分组时，应使同组数据尽可能接近，减少组内离差平方和 组内离差平方和越小，说明分组越合理，组内数据越集中 分组方案比较：计算各方案的组内离差平方和，选最小的方案为合理分组 分组合理性常用于统计数据整理，使后续分析更有意义 概念辨析例题：数据7，9，12，13，15，分法A：{7，9，12}和{13，15}；分法B：{7}和{9，12，13，15}，哪种分法组内离差平方和更小？ 解析：计算各组组内离差平方和并求和，B方案更小（实际计算：B组内离差平方和更小） 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 下四分位数（Q1） 排序后25%位置的数据 先排序，位置规则按教材 中位数（Q2） 排序后50%位置的数据 偶数个数据取中间两数平均数 上四分位数（Q3） 排序后75%位置的数据 与Q1、Q2合称四分位数 箱线图 箱体+中位线+上下须 箱体宽窄反映中间50%数据集中程度 方差 s²=1/n∑(xi-x̄)² 方差越大波动越大，方差为0时数据全相等 分组合理性 组内离差平方和最小 同组数据尽可能接近 ⚠️ 核心考点 【考点1】4.3 四分位数和箱线图（第1-23题） · 求四分位数：先将数据从小到大排序，再按位置确定Q1、Q2、Q3；位置为小数时按规则取相邻数据的平均数 · 读箱线图：箱体左边界为下四分位数，箱内线为中位数，箱体右边界为上四分位数，须端点为最大、最小值 · 比较集中程度：比较箱体的长短与须的长短，箱体越窄、须越短数据越集中 · 四分位数应用：结合实际问题（心率、成绩、身高、销量等）从箱线图中提取信息并作出判断 1．（2026春•阎良区期末）某班选拔学生参加学校的运动会，如图是测量的每位学生心率的箱线图，则这组数据的第一四分位数是（　　） A．60 B．68 C．70 D．73 2．（2026春•沂水县期末）在综合与实践活动中，为比较西安和济南哪个城市夏天更热，小明选取了近两年7～8月每天的最高温度数据进行分析．如图反映了西安和济南在此时间段内每天的最高温度分布情况，则下列结论正确的个数是（　　） ①在此时间段内，济南每天的最高温度的下四分位数为31℃； ②在此时间段内，济南每天的最高温度的中位数小于西安每天的最高温度的中位数； ③在此时间段内，西安每天的最高温度都高于济南每天的最高温度； ④在此时间段内，西安有超过一半的天数最高温度不低于35℃； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2026春•襄州区期末）将某组数据绘制成箱线图如图所示，则该组数据的下四分位数为（　　） A．160 B．143 C．130 D．120 4．（2026•青秀区校级开学）如图为某地区5月和6月的空气质量指数（AQI）箱线图．AQI值越小，空气质量越好，则（　　） A．该地区5月AQI的上四分位数高于6月AQI的上四分位数 B．该地区5月AQI的最大值高于6月AQI的最大值 C．该地区5月AQI变化比6月AQI变化小 D．该地区6月的空气质量好于5月 5．（2026•望奎县开学）小文全班32人参加学校的英文听力测验，如图所示的是全校与全班成绩的箱线图，若小文的成绩恰为全校的65%分位数，则下列关于小文在全班排名的叙述，正确的是（　　） A．在第2～7名之间 B．在第8～15名之间 C．在第16～﹣21名之间 D．在第21～25名之间 6．（2026春•武清区期末）将某组数据绘制成箱线图如图所示，则该组数据的上四分位数为（　　） A．140 B．150 C．163 D．180 7．（2026春•南关区期末）某班40名同学每分钟跳绳个数的箱线图如图所示，这40个数据的下四分位数是（　　） A．125 B．138 C．151 D．163 8．（2025秋•太原校级月考）有一组被墨水污染的数据：4，17，7，14，★，★，★，16，10，4，4，11，其箱线图如图所示，这组数据的最小值是_____ ，下四分位数是_____ ，中位数是_________ ，上四分位数是_______ ，最大值是_______ ，被墨水污染的三个数据可能是___________________ ． 9．（2026春•沂水县期末）某校选拔14名学生参加济南市第一届运动会，测量心率的统计结果如下表所示： 心率/（次/分） 60 68 70 73 80 人数/名 2 3 4 4 1 则这组数据的下四分位数为_______ ． 10．（2026•新昌县校级开学）一份从1至10为评价等级的调查问卷中，得分分布如下：7，9，5，3，2，1，8，6，4，10，其下四分位数和上四分位数之和是_______ ． 11．（2026春•潼南区期末）在数学学科单元模拟测试中，总分为100分，八年级某班学生成绩的箱线图如图所示，则该班学生成绩的下四分位数是_______ 分． 12．（2025秋•雁塔区校级期末）在以“运动强体魄，青春绽光彩”为主题的跳绳比赛中，已知八年级1班和2班的人数相等．两个班成绩的箱线图如图所示，由图可知_____ 班成绩更集中． 13．（2026春•乐陵市期末）甲、乙、丙、丁四支排球队队员身高情况箱线图如图所示，身高最集中的是_____ 队． 14．（2026•雨花区校级开学）下面是根据八（2）班学生身高数据制作的箱线图，这组数据的第三四分位数是________ ． 15．（2026•宽城区校级开学）春季学期开学后，全国多地学校将课间活动时间从10分钟延长到15分钟，鼓励孩子们走出教室，充分享受课余时光，某校通过各种丰富的课间活动，让课间休息落到实处，某班篮球队有篮球运动员12人，利用大课间进行投篮训练，每人投篮10个，投中球数如下：8，9，6，7，6，6，7，10，9，9，8，7，在投中球数的这组数据中，第一四分位数为________ ． 16．（2026春•西湖区校级期末）在一次篮球比赛中，某支球队共进行了8场比赛，得分分别为29，30，38，25，37，40，42，32，那么这组数据的上四分位数为_______ ． 17．（2026春•德化县校级期中）甲、乙两组的测试成绩（单位：分）如下： 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． （1）求甲组成绩的四分位数． （2）根据四分位数可绘制如下的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图． （3）根据箱线图和对四分位数的理解，谈谈对两组成绩的看法． 18．（2026秋•同步）某市12月16﹣31日每日的最高气温（单位：℃）依次如下： 5，3，2，2，2，2，3，3，5，5，﹣2，﹣2，﹣5，﹣1，﹣1，﹣1． 求这组数据的四分位数m25，m50，m75． 19．（2026春•龙泉市期末）如图是某班学生三门学科成绩的箱线图，请根据箱线图解答以下问题： （1）请写出语文成绩的上四分位数和英语成绩的下四分位数； （2）评价该班学生三门学科的学习情况，并给出合理化的学习建议． 20．（2026秋•同步）求下列数据的四分位数：8，9，6，7，6，6，7，10，9，9，8，7． 21．（2026秋•同步）体育老师随机选择了12名学生，分别测量了他们完成800m跑步前、后1min脉搏，数据如下表．请求出跑步前、后脉搏的四分位数． 跑步前脉搏/（次/min） 65 85 78 77 78 90 76 75 80 83 72 70 跑步后脉搏/（次/min） 146 161 149 154 154 156 149 152 151 150 153 153 22．（2026春•海曙区期末）【数据收集】某校为提高学生跳绳能力，准备组织跳绳训练．在组织跳绳训练前抽取了15名男生的1分钟跳绳测试成绩，获得以下按序排列后的数据（单位：次）：108，120，124，125，130，136，142，148，150，154，162，167，169，170，181． 【数据整理】训练一个月后，对这15位男同学又一次进行1分钟的跳绳测试．下图是训练前后跳绳成绩的箱线图． 【数据分析】箱线图中 （1）a＝________ ，b＝________ ，c＝________ ； 【数据应用】 （2）若学校以训练后的成绩为依据，要制定男生1分钟跳绳成绩优秀的标准，能让25%男生的跳绳成绩达到优秀，你会选择什么数据作为标准； （3）请结合箱线图的信息，评价这一个月的训练效果． 23．（2026春•五指山期末）甲、乙两组的测试成绩（单位：分）如下： 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． （1）求甲组成绩的四分位数． （2）根据四分位数可绘制如图的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图． 【考点2】4.4 数据的离散程度（第24-45题） · 求方差：先求平均数，再求各数据与平均数差的平方的平均数，即s²=1/n[(x1-x̄)²+…+(xn-x̄)²] · 比较稳定性：平均数相同时，方差越小成绩越稳定；方差越大波动越大 · 用计算器求方差：按计算器方差功能键输入数据，直接读出s²（或s） · 分组合理性：比较各分组方案的组内离差平方和，选择组内离差平方和最小的方案 24．（2026•莱州市模拟）甲、乙两人在相同条件下各射击10次，两人的成绩（单位：环）如图所示，下列说法正确的是（　　） A．甲的平均成绩更高，成绩也更稳定 B．甲的平均成绩更高，但乙的成绩更稳定 C．乙的平均成绩更高，成绩也更稳定 D．乙的平均成绩更高，但甲的成绩更稳定 25．（2026•兖州区二模）求一组数据方差的算式为：．由算式提供的信息，下列说法错误的是（　　） A．n的值是5 B．该组数据的平均数是7 C．该组数据的众数是6 D．若该组数据加入两个数7，7，则这组新数据的方差变小 26．（2026•桥东区二模）如图，园林工人将绿化带上参差不齐的植物修剪平整，在此过程中绿化带上植物高度的平均数与方差均发生变化．关于这两个统计量的变化情况，描述正确的是（　　） A．平均数变小，方差变小 B．平均数变小，方差变大 C．平均数变大，方差变大 D．平均数变大，方差变小 27．（2026•瑞安市开学）统计兴趣小组的同学收集了我国7个地区的人均耕地面积（单位：千平方米）数据，0.1，0.6，0.2，0.3，0.6，1.8，2.0．为合理分组，设计以下解决方案： 组序 分组情况 第1组组内离差平方和 第2组组内离差平方和 第1组 第2组 1 0.1，0.2，0.3 0.6，0.6，1.8，2.0 0.02 1.71 2 0.1，0.2，0.3，0.6 0.6，1.8，2.0 0.14 1.15 3 0.1，0.2，0.3，0.6，0.6 1.8，2.0 0.21 0.02 4 0.1，0.2，0.3，0.6，0.6，1.8 2.0 1.94 0 则合理分组是（　　） A．组序1 B．组序2 C．组序3 D．组序4 28．（2025秋•长清区期末）已知A，B两个班的人数相同，在一次测试中两个班成绩的箱线图如图所示（满分120分），则下列说法错误的是（　　） A．这次考试中两班均没有满分的 B．A班成绩的下四分位数与B班成绩的中位数相同 C．A班的成绩比B班的成绩波动更大 D．B班的平均分比A班的平均分更高 29．（2026春•涪陵区期末）在一次物理实验中，A，B两个班学生需用弹簧测力计测量一个200g钩码的重力（理论重力为2.0N），个班测量数据的箱线图如图所示，则下列说法错误的是（　　） A．A班和B班均有同学的测量值超过了理论值 B．A班的测量值比B班的测量值波动更大 C．B班的平均测量值比A班的平均测量值更高 D．A班的上四分位数与B班的中位数相同 30．（2025秋•蓬莱区期末）已知4个数据x1，x2，x3，x4的平均数为3，方差是4；另外6个数据x5，x6，x7，x8，x9，x10的平均数也是3，方差是6．把这两组数据合在一起得到10个数据x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10，则这10个数据的方差为________ ． 31．（2025秋•渠县期末）如图是甲、乙两地在某一个月中日平均气温的箱线图，从中可以发现这个月的日平均气温方差较大的是 _______ （填“甲地”或“乙地”）． 32．（2025秋•龙岗区校级月考）求一组数据方差的算式为：，由算式提供的信息，则该组数据的方差s2＝________ ． 33．（2025秋•龙岗区校级月考）某农场为考察甲、乙、丙、丁4块稻田的水稻长势，随机抽取部分水稻苗，获得苗高（cm）的平均数与方差如下表所示，则_____ 块稻田的水稻又高又整齐．（选填“甲”“乙丙”或“丁”） 稻田 甲 乙 丙 丁 平均数（cm） 21 23 21 23 方差 0.9 1.6 1.1 0.6 34．（2026•花垣县校级开学）一次投篮训练中，甲、乙、丙三人各进行了10次投篮，每人投篮成绩的平均数都是8，方差分别为S甲2＝0.28，s乙2＝0.38，s丙2＝0.23，其中成绩最稳定的是_____ ． 35．（2026•连山区一模）某班准备从甲、乙、丙三名学生中选取一名成绩稳定的同学参加学校跳远比赛．这三名学生5次测试的平均成绩恰好相同，方差分别是：s甲2＝0.55，s乙2＝0.53，s丙2＝0.51，那么应选 _____ （选填“甲”“乙”或“丙”）去参加比赛． 36．（2026春•南关区期末）教练记录了甲、乙两名运动员最近10次百米跑测试的成绩，通过计算发现两人10次成绩的平均成绩相同，且甲的方差小于乙的方差．若教练想选择一名发挥稳定的运动员参加区运动会，应选择_____ ．（填“甲”或“乙”） 37．（2025秋•光明区校级月考）近日，生态环境部公布第六批“绿水青山就是金山银山”实践创新基地名单，山西省6个县入选国家生态文明建设示范区，为了响应对环境保护的号召，某校要从报名的甲、乙、丙三人中选取一人去参加太原市举办的环保演讲比赛，经过两轮初赛后，甲、乙、丙三人的平均成绩都是90，方差分别是，，．你认为 _____ 参加决赛比较合适． 38．（2026春•西安校级期末）已知一组数据3，a，4，6，7的方差是5，则这组数据的离差平方和是_______ ． 39．（2026•长春）为落实教育部《关于全面推进健康学校建设的指导意见》，多地中小学进一步将“健康第一”的教育理念贯穿学习生活日常．某校对七年级学生开展了体能测试，为了解学生的测试情况，现从七年级随机抽取了两组学生的测试成绩（满分100分，将这两组记为A组、B组． 整理数据： 分析数据： 平均数 中位数 众数 A组成绩 a 85 80 B组成绩 83 b 80 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：a＝_______ ，b＝_______ ； （2）根据以上数据，体能测试成绩更好的是_____ 组（填“A”或“B”）； （3）已知该校七年级共有300名学生，成绩为满分的学生可以获得“体能达人”的称号，估计该校七年级获得“体能达人”称号的学生人数． 40．（2026•鼓楼区二模）射击训练班中的甲乙两名选手在5次射击训练中的成绩依次为（单位：环）：甲：8，8，7，8，9；乙：5，9，7，10，9．教练根据他们的成绩绘制了如下尚不完整的统计图表： 选手 平均数 众数 中位数 方差 甲 8 a 8 c 乙 8 9 b 3.2 根据以上信息，请解答下面的问题： （1）a＝ _____ ，b＝ _____ ，c＝ ________ ； （2）教练根据这5次成绩，决定选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？ （3）选手乙再射击第6次，由于发挥失常，命中的成绩仅是5环，则选手乙这6次射击成绩的方差与前5次射击成绩的方差相比会 _______ （填“变大”、“变小”或“不变”）． 41．（2025秋•宝安区校级期末）为了解学生的安全知识掌握情况，某校七、八年级举办了安全知识竞赛．所有学生的成绩分为优秀、良好、及格、不及格四个等级，将优秀、良好、及格、不及格分别记为20分，16分，12分和8分．现分别从七、八年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行统计，根据统计结果绘制成如下统计图，两组样本数据的平均数、中位数、众数及方差如表所示： 年级 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差（精确到0.01） 七年级 14.4 16 b 15.04 八年级 a 12 12 16.64 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中a＝_________ ，b＝_______ ． （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的安全知识竞赛成绩更好？并说明理由； （3）若该校七年级共有学生420人，请估计该校七年级成绩不低于16分的学生人数． 42．（2026•瑞安市开学）某校举行班容班貌评比活动，以班级为单位，评比项目包括文化卫生、板报宣传和特色栏目．三个班级各项目得分如表（单位：分）所示： 文化卫生 板报宣传 特色栏目 A班 88 89 84 B班 88 88 85 C班 87 88 88 （1）已知A，B两班的平均分都是87分，通过计算指出哪个班级平均分最高； （2）若将文化卫生、板报宣传和特色栏目的得分按2：2：1的比例计算总成绩，此时A，B两班的总成绩分别为87.6分和87.4分，方差分别为3.44分2和1.44分2．哪一个班级总成绩好且稳定？ 43．（2026春•金水区校级月考）传统跳绳是某校体育特色课程，老师记录了八（1）班传统跳绳两组各10位同学1min跳绳的次数． 【数据收集】 A组 112 126 128 130 136 146 146 150 152 158 B组 127 131 134 135 145 148 150 152 152 155 【数据整理】老师对上面表格数据进行了简单的统计． lmin跳绳的次数 最小值 下四分位数 中位数 上四分位数 最大值 A组 112 a 141 150 158 B组 127 134 b 152 155 （1）求表中的数据：a＝________ ，b＝__________ ； （2）两组同学跳绳次数绘制成箱线图，如图所示，则_____ （填“＞”、“＜”或“＝”）； 【数据应用】 （3）请你利用四分位数、箱线图评价这两组同学的跳绳水平，并说明理由． 44．（2026•青秀区校级开学）在某次乒乓球垫球的活动中，体育老师将九年级（1）班的12名女生平均分为甲、乙两队，下面记录的是两队女生的垫球个数（垫球高度不低于2米的为有效垫球数，低于2米的为无效垫球数）． 信息1：两队学生的有效垫球数： 甲队垫球情况（单位：个）：20，18，32，30，26，30； 乙队垫球情况（单位：个）：24，26，22，26，28，30； 信息2：如图： 信息3：技术统计表 队伍 平均垫球个数 垫球众数 垫球中位数 垫球数的方差 平均无效垫球数 甲队 26 30 m s甲2 2 乙队 26 n 26 s乙2 5 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中的m＝_______ ，n＝_______ ，s甲2_____ s乙2（填“＞”“＝”或“＜”）； （2）请补全信息2中甲队有效垫球数的箱线图； （3）结合信息3的数据统计表，请给甲队和乙队的女生分别提出一个改进的建议． 45．（2026•雁塔区校级模拟）为了解九年级学生的体育水平，某校随机抽取了九年级男女学生各20名的体育模拟测试成绩（成绩满分为50分且为整数），进行整理、描述和分析（成绩均不低于30分，用x表示，共分五组：A．x＝50；B.45≤x＜50；C.40≤x＜45；D.35≤x＜40；E.30≤x＜35），下面给出了部分信息： 男生体育模拟测试成绩在B组中的数据为：49、48、47、47、47、45． 女生体育模拟测试成绩在B组中的数据为：49、48、48、47、46、45． 体育模拟测试成绩分析表： 平均分 众数 中位数 男生 46.2 50 b 女生 45.2 a 46.5 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中m＝_______ ，a＝_______ ，b＝_________ ； （2）根据以上数据，你认为该校九年级男生还是女生的体育成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校九年级有男生550人，女生500人，请估计该校九年级本次体育模拟测试成绩为满分的学生共有多少人？ 💯 课后巩固 复习建议 · 求四分位数必须先排序，按位置确定Q1、Q2、Q3，位置为小数时按教材规则取相邻数据平均数 · 读箱线图时抓住箱体左右边界（Q1、Q3）、箱内线（中位数）、上下须端点（最大、最小值）四个要素 · 比较两组数据稳定性时，先看平均数是否相同，平均数相同再比方差，方差小者更稳定 · 方差反映数据波动大小，方差为0表示数据完全相同；方差计算时注意先求平均数再逐项求差的平方 · 分组合理性比较用组内离差平方和，选择组内离差平方和最小的方案，同组数据尽可能接近 【作业1】（2026•子洲县校级开学）小申将某书店5月份每天的书籍销量绘制成如图所示的箱线图，下列说法中不正确的是（　　） A．这组数据的第一四分位数是150 B．该书店5月份销量最少的一天销售了50本书 C．这组数据的最大值是400 D．该书店有15天每天的销量在250本以上 【作业2】（2026春•海淀区校级期末）已知某学校八年级（1）班10名同学的身高（单位：cm）如下：163，158，161，168，170，175，163，167，169，170，则这组数据的下四分位数是（　　） A．163 B．167 C．168 D．170 【作业3】（2026春•宁海县校级期中）某地有8个快递收件点，在某天接收到的快递个数分别为360，284，290，300，188，240，260，288，则这组数据的上四分位数________ ． 【作业4】（2026春•沂南县期末）在一次体检中，测得某校八年级（1）班第一组同学的体重（单位：千克）分别为50，55，58，57，54，50，56，60．该组同学体重的第三四分位数是_________ ． 【作业5】（2026春•上城区期末）某研发团队12人的年龄（岁）为19，19，22，22，24，25，28，34，35，35，37，38，则其下四分位数是_______ 岁． 【作业6】（2026春•宜都市期末）甲、乙两家汽车零售店各9名销售人员10月份销售的汽车数量（单位：辆）如下： 甲公司：13 4 2 10 2 8 11 7 14 乙公司：8 5 3 11 9 12 8 7 9 （1）求甲公司汽车销量的四分位数； （2）根据四分位数可绘制出箱线图，如图，结合图中乙公司的箱线图，请在该图中绘制出甲公司的箱线图； （3）根据箱线图和对四分位数的理解，选择一个角度谈谈对甲乙两个公司汽车销量的看法． 【作业7】（2026春•拱墅区校级月考）甲、乙两组的测试成绩如下： 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． （1）求甲组数据的四分位数m； （2）根据四分位数可绘制如下的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图； （3）根据箱线图和对四分位数的理解，谈谈对两组成绩的看法． 【作业8】（2026春•赫山区期末）为研究某小区居民每月用水量（单位：吨），收集到12户居民的用水量数据如下：3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14．将这12户居民用水量分成两组，使同组用水量接近，不同组用水量差异较大，现有以下四种分组方法，最恰当的分组是（　　） 分组方案 第一组数据 第二组数据 组内离差平方和 A 3，4，5，6 7，8，9，10，11，12，13，14 52.5 B 3，4，5，6，7 8，9，10，11，12，13，14 42 C 3，4，5，6，7，8 9，10，11，12，13，14 45 D 3，4，5，6，7，8，9 10，11，12，13，14 55 A．方案A B．方案B C．方案C D．方案D 【作业9】（2026•鼓楼区校级开学）在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为7，9，12，13，15．要使个数相差较小的同学分在一组，如表是4种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位）．根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是（　　） 分组情况 组内离差平方和 第一组4个，第二组1个 22.8 第一组3个，第二组2个 14.7 第一组2个，第二组3个 6.7 第一组1个，第二组4个 18.8 A．{7}和{9，12，13，15} B．{7，9}和{12，13，15} C．{7，9，12}和{13，15} D．{7，9，12，13}和{15} 【作业10】（2025秋•南山区校级月考）下列说法正确的是（　　） A．九年级某班的英语测试平均成绩是95.5分，说明每个同学的得分都是95.5分 B．数据1，4，5，5，0的中位数和众数都是5 C．要了解一批日光灯的使用寿命，应采用全面调查 D．若甲、乙两组数据中各有15个数据，两组数据的平均数相等，方差，，则说明乙组数数据比甲组数据稳定 【作业11】（2025秋•长清区期末）如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差，要从中选择一名发挥稳定的运动员去参加比赛，应该选择_____ ． 甲 乙 丙 丁 平均数（cm） 183 183 182 182 方差 5.7 3.5 6.7 8.6 【作业12】（2026•启东市开学）若把数据6，7，8，8，8，8，7，10，9分成6，7，7，8和8，8，8，9，10两组，则它们的组内离差平方和为________ ． 【作业13】（2026•淮安）为优选水稻品种，农科所分析了甲、乙两种水稻的单穗质量（单位：g），计算出样本方差分别为s甲2＝117.1g2，s乙2＝83.4g2，由此可推断_____ 种水稻的质量更稳定．（填“甲”或“乙”） 【作业14】（2025秋•无锡校级月考）某校进行环保知识测试．测试成绩分为A，B，C，D四个等级，依次记为10分，9分，8分，7分．学校随机抽取了20名男生和20名女生的成绩进行整理，得到了如下所示的统计图和统计表： 统计量 中位数 众数 男生 a 9 女生 8 b （1）根据以上图表信息，直接写出表中a，b的值：a＝________ ，b＝_____ ； （2）请分别计算被抽查男生与女生的平均成绩； （3）请选用（1）与（2）中的一个统计量说明该校男生成绩与女生成绩哪个更好？ （4）被抽查的20名男生成绩的方差为_________ ． 【作业15】（2025秋•薛城区期末）为了提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，记分员记录了他们在近六场比赛中关于得分、篮板的情况． 信息1：甲的得分情况：20，14，28，30，32，32； 乙的得分情况：24，28，24，28，28，27． 信息2：如图 信息3：技术统计表 队员 平均得分 得分众数 得分中位数 平均每场篮板 篮板方差 甲 26 32 m 9 乙 26.5 n 27.5 8 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中的m＝_______ ，n＝_______ ，_____ s乙2（填“＞”“＝”或“＜”）； （2）本次队员综合得分按平均得分的40%，平均每场篮板的60%计算，综合得分越高表现越好，则甲、乙哪名队员的表现更好？ （3）选择一个方面进行分析，甲、乙两名队员谁表现的更好？ 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $