专题09数据的集中趋势和离散程度（ 暑假预习讲义 ) 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

专题09数据的集中趋势和离散程度 暑假预习讲义 ✺知识框架 1.数据的集中趋势：包含算术平均数、加权平均数、中位数、众数四类统计量，用于刻画数据的平均水平与集中位置。 2.数据的离散程度：包含极差、方差、标准差三类统计量，用于刻画数据的波动范围与稳定程度。 3.综合应用：结合两类统计量分析实际数据，对数据水平、稳定性进行综合评价与合理决策。 ✅本章属于初中统计核心内容，主要研究数据的两大特征：集中趋势与离散程度。集中趋势反映数据的整体分布中心，离散程度反映数据的波动与稳定情况，二者结合可完成完整的数据分析 ✺学习目标 1.基础知识：理解平均数、加权平均数、中位数、众数的概念，掌握其计算方法与适用场景;理解极差、方差、标准差的概念，熟记计算公式，明确其统计意义; 掌握各类统计量的联系与区别，厘清集中趋势与离散程度的核心内涵。 2.能力提升：能够准确计算一组数据的集中趋势与离散程度相关统计量;能够根据实际问题情境，合理选择统计量分析、评价数据;能够结合数据的整体水平与稳定情况，完成简单统计决策。 3.综合素养:建立数据分析观念，形成以数据为依据的客观评判思维;体会统计知识的实际应用价值，提升数学应用能力。 ✺题型归纳 题型1.求一组数据的平均数 题型2.已知平均数求未知数据的值 题型3.利用已知的平均数求相关数据的平均数 题型4.利用平均数做决策 题型5.求加权平均数 题型6.利用加权平均数求未知数据的值 题型7.运用加权平均数做决策 题型8.出错情况下的平均数问题 题型9.求中位数 题型10.利用中位数求未知数据的值 题型11.运用中位数做决策 题型12.求众数 题型13.利用众数求未知数据的值 题型14.运用众数做决策 题型15.求四分位数 题型16.画箱线图 题型17.求方差 题型18.利用方差求未知数据的值 题型19.根据方差判断稳定性 题型20.运用方差做决策 题型21.求极差 题型22.标准差相关题型 题型23.求离差平方和 题型24.离差平方和的应用 题型25.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、数据的集中趋势 1.算术平均数 2.加权平均数 权越大，对平均数的影响越大，加权平均数的分母恰好为各权的和。 3.中位数 定义：一般地，将一组数据按大小顺序排列，如果数据的个数是奇数，那么处于中间位置的数叫做这组数据的中位数。如果数据的个数是偶数，那么处于中间位置的两个数的平均数叫做这组数据的中位数。 ★当一组数据中个别数据与其他数据的大小差异很大时，通常用中位数来描述这组数据的集中趋势。 4.众数 定义：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数。 核心性质：众数为原始数据，并非数据出现次数；一组数据可存在一个、多个众数，也可无众数；众数不受极端值影响，反映数据的高频特征。 5.平均数、中位数和众数的联系与区别 联系：平均数、中位数和众数都反映了一组数据的集中趋势。 区别：平均数容易受极端值的影响；中位数与数据排列位置有关，个别数据的波动对中位数没影响；众数主要研究各数据出现的频数，当一组数据中不少数据多次重复出现时，可用众数来描述。 ★在一组存在极端值的数据中，用中位数或众数作为表示这组数据特征的统计量有时会更贴近实际 知识点二、数据的离散程度 1.极差 定义：一组数据中最大值与最小值的差，能反映这组数据的变化范围，我们就把这样的差叫做极差。 公式：极差=最大值－最小值 核心性质：极差可粗略反映数据的波动范围，计算简便，但仅依托最值数据，无法体现中间数据的分布情况，统计精度较低。 2.方差 各个数据与平均数差的平方的平均数.用表示，即 核心性质：方差为非负数；方差越大，数据波动越大、稳定性越差；方差越小，数据波动越小、稳定性越强。 3. 标准差 通常，我们也用方差的算术平方根，即 来描述一组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的标准差，记作s ✺题型精讲 题型1.求一组数据的平均数 1．某校为丰富学生课余生活，举行了艺术周活动，八年级一班的合唱成绩如表： 成绩/分 9.2 9.3 9.6 9.7 9.9 评委/人 2 2 3 2 1 若去掉一个最高分和一个最低分后，则余下数据的平均分是（     ） A．9.51分 B．9.5分 C．9.6分 D．9.625分 【答案】B 【分析】去掉一个最高分和一个最低分后，然后再求平均数即可． 【详解】解：由题意知，最高分和最低分为9.9，9.2， 则余下的数据的平均数为（分） 2．若一组数据的平均数为，数据总和为，则这组数据的个数为___________． 【答案】 【详解】解：根据题意得，， 这组数据的个数为． 3．某天电影院有三个影厅放映电影，上午各厅只放映一场电影，信息如下表所示． 影厅 每张电影票价格/元 座位/个 上座率/% A 30 60 75 B 40 60 60 C 50 40 47.5 (1)分别计算各影厅的上座人数； (2)计算电影院这天上午所售电影票的平均价格； 【答案】(1)影厅A的上座人数为：45人；影厅B的上座人数为：36人；影厅C的上座人数为：19人； (2)电影院这天上午所售电影票的平均价格为37.4元． 【分析】（1）用座位数乘以上座率即可； （2）用总价除以总人数即可． 【详解】（1）解：影厅A的上座人数为：（人）； 影厅B的上座人数为：（人）； 影厅C的上座人数为：（人）； （2）解：（元）． 答：电影院这天上午所售电影票的平均价格为37.4元． 题型2.已知平均数求未知数据的值 1．已知一组数据：，，，，，若这组数据的平均数是，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平均数的定义建立方程求解即可． 【详解】解：∵这组数据的平均数是， ∴． ∴， ∴． 2．一组数据3，2，3，4，x的平均数是4，则是___________． 【答案】8 【分析】根据平均数的计算公式，列出关于的一元一次方程，解方程即可得到的值． 【详解】数据的平均数是，数据总个数为， ， 解得． 3．在一次英语口试中，已知50分1人、60分2人、70分5人、90分5人、100分1人，其余为85分，已知该班平均成绩为80分，问该班有多少人？ 【答案】24 【分析】设该班有x人，然后根据平均数的计算公式进行计算即可． 【详解】解：设该班有x人， 由题意得：， 解得， 经检验是原方程的解， ∴该班有24人． 答：该班有24人． 【点睛】本题主要考查了平均数的计算方法和分式方程，解题的关键在于能够熟练掌握平均数的计算方法． 题型3.利用已知的平均数求相关数据的平均数 1．已知5个数、、、、的平均数是，则数据，，，，的平均数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出、、、、的和，然后根据平均数的定义可求，，，，的平均． 【详解】解：∵、、、、的平均数是， ∴， ∴ ． 故选：B． 【点睛】本题考查了平均数的计算，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数． 2．已知一组数据，，，…，的平均数为2，则另一组新数据，，，…，的平均数是_____． 【答案】 【分析】根据算术平均数的定义，先由原数据的平均数得到原数据的总和，再计算新数据的算术平均数即可． 【详解】解：数据，，，，的平均数为， ，即， ∴新数据的平均数为：． 3．已知一组数据，，，的平均数是6，求另一组数据，，，的平均数． 【答案】 【分析】根据平均数的定义求出，再利用平均数的定义列式求解即可． 【详解】解：∵一组数据，，，的平均数是6， ∴， ∴， ∴ 即另一组数据，，，的平均数为． 题型4.利用平均数做决策 1．甲、乙、丙、丁四位同学去超市购买糖果，他们各自购买糖果的种类、价格和数量如下表所示．若要比较他们购买糖果的平均价格，则平均价格最低的同学是（     ） 甲 乙 丙 丁 10元/包 1 1 2 3 8元/包 2 1 2 2 6元/包 3 4 2 1 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】根据平均数的概念求解即可． 【详解】解：甲的平均价格为：.（元） 乙的平均价格为：（元） 丙的平均价格为：（元） 丁的平均价格为：（元） 则平均价格最低的同学是：乙． 2．2022年温州市初中毕业升学考试各学科及满分值情况如下表： 科目 语文 数学 英语 科学 社会 体育 满分值 150 150 120 180 80 40 若以去年三校录取分600分为参考，以此算出平均得分率，则数学这门学科能上三校的平均得分至少是______分． 【答案】 【分析】先计算所有科目的总满分，再根据参考录取总分算出平均得分率，最后用数学满分乘平均得分率得到结果； 【详解】解：先计算所有科目的总满分：， 平均得分率为参考录取总分除以总满分：， 数学满分是， 因此数学能上三校的平均得分至少为：． 3．八年级一班共有学生46人，学生的平均身高是1.58m，小明身高1.59m，但小明说他的身高在全班是中等偏下的，班上有25位同学比他高，20位同学比他矮，这可能吗？ 【答案】可能 【分析】利用平均数与总体的关系来考虑． 【详解】解：可能． 班上有25个同学比他高，即在平均线以下的同学占少数，但比小明高的同学的身高比平均身高高，可幅度不大，比小明低的同学的身高比平均身高低的幅度大，故还是有可能的． 【点睛】本题不是直接求平均数，而是利用平均数的概念综合来分析，平均数受极值的影响较大． 题型5.求加权平均数 1．某校在学生期末评优工作中，全面贯彻“五育并举”理念，以德智体美劳全面发展为核心标准，依据3：3：2：1：1的权配比，对学生德、智、体、美、劳五个维度进行量化评分，综合评定学生的最终成绩．小鱼同学本学期这五方面的得分(单位：分)分别为：10，9，10，9，8，则小鱼同学期末评优的最终得分是（     ） A．9.1 B．9.2 C．9.3 D．9.4 【答案】D 【分析】根据给定的权重和各维度得分，代入公式计算即可得到最终成绩. 【详解】解：由题意得，德、智、体、美、劳的得分分别为，，，，，对应权重分别为，，，，， 总权重为 ， 根据加权平均数公式，最终得分为： ． 2．某景区要招聘一名志愿者，从服务态度、专业知识、身体素质三个方面进行考核（考核的满分均为100分），依次按照的比确定平均成绩．李明经过考核后三个方面的成绩依次为90分，85分，80分，则李明考核的平均成绩为________分． 【答案】86 【分析】根据加权平均数公式计算即可得出结果． 【详解】解：李明考核的平均成绩为（分）． 3．某市对初二综合素质测评中的审美与艺术进行考核，规定如下：考核综合评价得分由测试成绩（满分100分）和平时成绩（满分100分）两部分组成，其中测试成绩占，平时成绩占． (1)李华测试成绩为90分，平时成绩为80分，他的综合评价得分是多少？ (2)孔明的测试成绩和平时成绩两项得分之和为185分，而综合评价得分为91分，则孔明同学测试成绩和平时成绩各得多少分？ 【答案】(1)他的综合评价得分是88分 (2)孔明同学测试成绩是90分，平时成绩是95分 【分析】（1）利用加权平均数的公式计算即可； （2）设孔明同学测试成绩是分，平时成绩是分，根据题意建立方程组，解方程组即可． 【详解】（1）解：（分）， 答：他的综合评价得分是88分． （2）解：设孔明同学测试成绩是分，平时成绩是分， 由题意得：， 解得， 答：孔明同学测试成绩是90分，平时成绩是95分． 题型6.利用加权平均数求未知数据的值 1．在一次射击训练中，某小组的成绩如下表．已知该小组的平均成绩为7.9环，那么成绩为8环的人数为（    ） 环数 7 8 9 人数 2 1 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】设成绩为8环的有x人，根据平均数的定义可得关于x的方程，解方程即得答案． 【详解】解：设成绩为8环的有x人，根据题意得： ，解得：x=7， 经检验：x=7是上述方程的解． 故选：C． 【点睛】本题考查了平均数的定义和解分式方程，属于基础题型，熟练掌握平均数的概念是关键． 2．王强毕业于农业技术职业学校，毕业后采用大棚栽培技术种植了一亩地的良种西瓜，第一年这亩地产西瓜625个，为了估计这亩地的收成，王强在西瓜大批上市前随机摘下10个成熟的西瓜，称重如下∶ 西瓜质量/千克 5.5 5.4 5.0 4.9 4.6 4.3 西瓜个数/个 1 2 3 2 1 1 根据以上信息可以估计这亩地的西瓜质量约是________千克． 【答案】3125 【分析】根据表格，算出加权平均数，然后再估计这亩地的西瓜质量即可. 【详解】解:（千克）， （千克）． 故答案为：3125 【点睛】本题考查加权平均数的应用，根据公式解题是关键． 3．已知某班共有学生50人，其中男生30人．若该班学生的平均身高是，女生的平均身高是，则该班男生的平均身高是，这里的__________． 【答案】175 【分析】设30名男生的平均身高为acm，根据平均数的定义，列出方程即可解决问题． 【详解】解：某班共有50名学生，其中30名男生，20名女生，平均身高为168cm； 设30名男生的平均身高为acm， 则有：=168， 解得a=175（cm）． 故答案为：175． 【点睛】本题考查的是加权平均数的应用．本题易出现的错误是对，168这两个平均数的理解不正确． 题型7.运用加权平均数做决策 1．一家外贸公司打算招聘一名英文笔译员，设置了听、说、读、写共四项英语水平测试及相应的权重比，每项测试的原始分均为100分，如果你是这家公司的人力资源主管，你认为最适合作为选人依据的权重比是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】从英文笔译员的岗位能力需求入手，确定读写测试的权重应更高，说的权重应最低，以此筛选选项． 【详解】解：英文笔译员的核心工作为书面翻译，读写能力的重要性高于听说，且说的权重应最低 选项A权重为，写的权重最高，读次之，说的权重最低，符合题意； 选项B权重为，未体现岗位侧重，不符合题意； 选项C权重为，听的权重与读写相同，未突出读写的核心地位，不符合题意； 选项D权重为，说的权重最高，不符合题意． 2．某商场招聘收银员，对甲、乙两名应试者进行计算机操作、语言表达和商品知识三项测试，他们各项的成绩（百分制）如表所示． 应试者 计算机操作 语言表达 商品知识 甲 70 70 80 乙 60 80 85 若计算机操作、语言表达、商品知识成绩分别占，，，从综合成绩看，应该录取_________．（填“甲”或“乙”） 【答案】甲 【分析】根据加权平均数公式分别计算甲、乙的综合成绩，比较两人综合成绩的大小，即可得出应录取的人员． 【详解】解：甲的综合成绩为：， 乙的综合成绩为：， ∵， ∴ 甲的综合成绩更高，应该录取甲． 3．某校开展主题为“多彩非遗，国韵传扬”的演讲比赛．进入决赛的两名选手需要确定名次，评委从演讲内容、演讲能力、演讲效果三个方面为选手打分，各项成绩均按百分制计算，他们的成绩如下（单位：分）． 选手 演讲内容 演讲能力 演讲效果 甲 90 80 85 乙 75 85 95 (1)分别计算甲、乙两名选手的平均成绩． (2)如果把演讲内容、演讲能力、演讲效果按计算最终成绩，请你通过计算确定两人的名次． 【答案】(1)甲的平均成绩为分，乙的平均成绩为分 (2)甲为第一名，乙为第二名 【分析】（1）根据算术平均数的计算公式求解平均成绩； （2）根据加权平均数的计算公式，按照的权重分别计算甲、乙的加权平均成绩，比较成绩大小确定名次． 【详解】（1）解：甲的平均成绩为(分)； 乙的平均成绩为(分). （2）解：根据题意，权重总和为， 甲的加权平均成绩为(分)； 乙的加权平均成绩为(分)； ∵， ∴甲为第一名，乙为第二名． 题型8.出错情况下的平均数问题 1．某同学使用计算器求15个数据的平均数时，错将一个数据15输成105，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是（　　） A．6.5 B．6 C．0.5 D．－6 【答案】B 【详解】求15个数据的平均数时，错将其中一个数据15输入为105，即使总和增加了90；那么由此求出的这组数据的平均数与实际平均数的差是90÷15=6． 故选B． 2．长沙市抽样调查了位蓝领的月收入，其中月收入最高的只有一位，是元．由于将这个数据输入错了，所以计算机显示的这位蓝领的平均月收入比实际平均月收入高出了元，则输入计算机的那个错误数据是________． 【答案】 【分析】本题考查了算术平均数， 关键是要理清各数量间的关系， 明白“多输入的数值”就是“ 个 ” ．根据平均数的定义可得： 最大的一个数的错误数据与实际数据相差元， 据此求出错误数据 ． 【详解】解： 由题意得， 输入错误的数据为：． 故答案为： ． 3．小颖使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据15输入为105，另一个数据65输入56，由此求得的平均数为61，求实际平均数． 【答案】 【分析】先通过输入的数据得到总数比正确的总数多加了81，然后得到平均数多加了，进而可得到实际平均数． 【详解】解：由题意知，错将其中一个数据15输入为105，则多加了， 错将另一个数据65输入56，则少加了9， 故总的多加了， ∴平均数多了， 此时求得的平均数为61， ∴实际平均数为． 题型9.求中位数 1．某年级7名教师某周使用人工智能办公的次数分别为5，2，6，9，5，5，3，则这组数据的中位数是（     ） A．9 B．6 C．5 D．3 【答案】C 【详解】解：将数据从小到大排列为：2，3，5，5，5，6，9， 则这组数据的中位数是5． 2．2026年央视春晚通过85种语言向全球传播，全网共计1939个话题登上热搜榜，小明随机抽取了其中6个话题，统计其日阅读量，数据（单位：亿次）如下：，求这组数据的中位数______． 【答案】4.85 【分析】先将这组数据按从小到大的顺序排序，再根据中位数的定义，当数据个数为偶数时，中位数为排序后中间两个数的平均数，计算即可得到结果． 【详解】解：将这组数据从小到大排序得： 这组数据共个，个数为偶数，中位数为排序后第个和第个数据的平均数 中位数为． 3．某景区管理处为了解景区的服务质量，现从该景区5月份的游客中随机抽取50人对景区的服务质量进行评分，评分结果用x表示（单位：分），将全部评分结果按以下五组进行整理，并绘制统计表，部分信息如下： 组别 A B C D E 分组                     人数 4 3 12 a 11 (1)求a的值； (2)求评分中位数所在组别； (3)以45、55、65、75、85为各组平均分，判断景区评分平均数是否不低于72分． 【答案】(1)20 (2)D (3)景区评分平均数低于72分 【分析】（1）用50分别减去其它四组的频数可得a的值； （2）根据中位数的定义解答即可； （3）根据算术平均数定义计算，再与72比较即可． 【详解】（1）解：； （2）解：50个数据，中位数为第25、26个数据，落在D组； （3）解：平均分， 景区评分平均数低于72分． 题型10.利用中位数求未知数据的值 1．一组数据： 1，3，5，7，9，添加一个数后，中位数变为5.5，则添加的数是（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】添加数据后数据个数变为偶数，偶数个数据的中位数是排序后中间两个数的平均数，利用该性质计算即可． 【详解】解：∵ 原数据从小到大排列为 ，共个数据，添加 个数后总共有个数据， ∴ 新数据的中位数为排序后第个和第个数据的平均数， 由中位数为 可得 ，即 第3个数据第4个数据， ∵ 结合原数据排序可知，若中位数为，则第个数据为， ∴ 第个数据为 ，因此添加的数是． 2．若一组数据，，，，，的中位数为，则______． 【答案】 【分析】六个数的中位数是将这六个数从小到大排序后处在第、位的两个数的平均数，即可求出的值． 【详解】解：当时，将这六个数从小到大排序后处在第、位的两个数都是，中位数为，不符合； 当时，将这六个数从小到大排序后处在第、位的两个数是和，中位数为，解得，符合； 当时，将这六个数从小到大排序后处在第、位的两个数是和，中位数为，不符合， 综上，． 3．数学老师在统计一个班35人的数学考试成绩时，算出中位数是80分，但后来发现其中一位同学的成绩记录有误，将75分写成了55分，那么实际这次考试成绩的中位数是______分． 【答案】80 【分析】本题主要考查了中位数的定义，中位数是将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数为这组数据的中位数成为解题的关键． 根据中位数的定义即可解答． 【详解】解：由于该班有35人参加考试，35是奇数． 将35个学生的成绩按从小到大排序后，中位数是第个数． 把75分写成55分，两个数都比中位数小，那么第18个数不会改变． 因为原来的中位数是80分，即原来排序后第18个数是80分，所以修改成绩后，第18个数依然是80分，即实际这次考试成绩的中位数还是80分． 答案为：80． 题型11.运用中位数做决策 1．某校开展以“发现生活中的数学美”为主题的摄影比赛，共49名同学参加初赛，取前24名进入复赛．小亮同学想知道自己的成绩能否进入复赛，只需要知道这49名同学成绩的（     ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】B 【分析】取前24名进去复赛，那么把49名同学成绩按照从低到高排序后，取第25个数后的成绩进入复赛，即取中位数后的成绩进入复赛，据此可得答案． 【详解】∵共有49名同学参加初赛，取前24名进入复赛，将49个成绩从小到大排序后，中位数为第25名的成绩， ∴小亮只需将自己的成绩和中位数对比，即可判断能否进入复赛， ∴只需要知道这49名同学成绩的中位数． 2．在某次赛制为“12进4”且当场公布分数的舞蹈比赛中，小华所在的队伍当第10支队伍分数公布后仍排名第二而欢呼，请问她们判定自己已进入下一轮比赛的依据与________（从平均数、众数、中位数、方差中选择）有关． 【答案】中位数 【分析】此题考查统计量的选择，要熟练掌握解答此题的关键是要明确：数据的平均数，众数，中位数是描述一组数据集中趋势的特征量，属于基础题，难度不大，根据中位数的意义分析解答即可． 【详解】在某次赛制为“12进4”且当场公布分数的舞蹈比赛中，小华所在的队伍当第10支队伍分数公布后仍排名第二而欢呼，请问她们判定自己已进入下一轮比赛的依据与中位数有关, 故答案为：中位数． 3．湿地碳汇监测工程通过评估植被固碳能力，可衡量生态修复效果，为比较甲、乙两个湿地修复片区的固碳效果，科研小组分别从两个片区各随机抽取20个采样点，记录每个采样点的单位面积固碳量（以下简称“固碳量”），用t表示（单位：），并对数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．甲、乙两个片区采样点的固碳量的频数分布表如下： 组别（） 甲片区频数 乙片区频数 1 0 2 1 3 2 5 4 6 7 2 4 1 2 b．甲片区采样点的固碳量在这一组的数据是61, 63, 64, 65, 66（单位：）； c．甲、乙两个片区采样点的固碳量的平均数、中位数如表： 片区 平均数 中位数 甲 66.5 m 乙 n 74 根据以上信息，回答下列问题： (1)表中m的值为______． (2)若固碳量满足的监测点为“达标监测点”，估计乙片区的200个监测点中约有______个“达标监测点”． (3)将每个片区采样点的固碳量按从小到大排序，固碳量越大，排名越靠前．已知采样点P、Q不在同一个片区且固碳量都是，若P在其所在片区采样点中的排名比Q在其所在片区采样点中的排名更靠前，则P是______片区的采样点（填“甲”或“乙”）． (4)为降低异常值对统计结果造成的偏差，科研团队采用剔除极值法：先剔除一组数据中的一个最大值和一个最小值，再对剩余数据计算平均数，记乙片区采样点的固碳量的平均数为n，最小值为，最大值为．已知剔除最大值和最小值后，剩余18个数据的平均数为，则n的值为______． 【答案】(1) (2) (3) 甲 (4) 72.7 【分析】（1）根据中位数定义，确定中位数位置后计算的值； （2）先求出样本中达标监测点的频率，再用样本估计总体计算总数量； （3）结合两个片区的中位数，分析相同固碳量的排名，得到结果； （4）根据平均数的定义，结合已知条件计算原数据的平均数． 【详解】（1） 解： 甲片区共抽取个采样点，中位数为从小到大排序后第个和第个数据的平均数． 累计的频数为， 因此第个和第个数据都在组， 结合该组排序后的数据，得． （2）解：乙片区抽取的个采样点中，满足的达标监测点频数为． 因此乙片区个监测点中，达标监测点的数量约为． （3）解： 甲片区中位数为，乙片区中位数为． 采样点固碳量为，， 甲片区中比大的数据个数少于乙片区， 结合“固碳量越大排名越靠前”的规则，可得在甲片区的排名更靠前， 因此是甲片区的采样点． （4）解：由题意，剔除极值后剩余个数据的总和为． 原个数据的总和为． 因此平均数． 题型12.求众数 1．一组数据：，，，，，，，的众数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据众数的定义，一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数， 统计各数据出现的次数： ∵ 出现次，出现次，出现次，出现次，出现次， ∴ 出现的次数最多， 因此这组数据的众数是． 2．某茶叶专卖店春茶上市后连续七天的销量（盒）为：43，50，46，53，50，56，50，这组数据的众数为______． 【答案】 【分析】统计每个数据出现的次数，找出出现次数最多的数据即可得到结果． 【详解】解：根据题意，统计各数据出现次数： 出现次，出现次，出现次，出现次，出现次， 因此这组数据的众数为． 3．某校开展了关于“我劳动我快乐”劳动知识竞赛．现从七、八年级学生的竞赛成绩中，各随机抽取了20名学生的成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级学生竞赛成绩在C组的数据为：83，84，85，86，86，88，89 八年级20名学生的竞赛成绩为：62，65，68，72，74，75，78，80，82，85，87，88，90，92，94，95，98，100，100，100 抽取的七、八年级学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 84.25 99 八年级 84.25 86 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：____________，____________，____________； (2)根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条即可）； (3)该校七年级有学生600人，八年级有学生650人，请估计该校七、八年级参加此次知识竞赛成绩达到90分及以上的学生人数共有多少人？ 【答案】(1)85.5；100；30 (2)八年级学生的知识竞赛成绩较好，理由如下： ∵两个年级成绩的平均数一样，但七年级成绩的中位数，众数均低于八年级， ∴八年级学生的知识竞赛成绩较好； (3)440 【分析】（1）分别求出七年级学生竞赛成绩在A、B、C、D各组的人数，即可求出m的值，再根据中位数的定义可得a的值，根据众数的定义求出b的值即可． （2）根据平均数，中位数和众数分析即可； （3）根据样本估计总体解答即可． 【详解】（1）解：由扇形统计图可得七年级学生竞赛成绩在A组的人数为 人， 在B组的人数为人， 又∵在C组的人数为7人， ∴在D组的人数为人， ∴， ∴； 把这20个数据从大到小排列，位于第10位和第11位的分别为85，86， ∴中位数； ∵八年级20名学生的竞赛成绩中100分出现的次数最多， ∴． （2）略 （3）解：（人）， ∴估计该校七、八年级参加此次知识竞赛成绩达到90分及以上的学生人数共有440人． 题型13.利用众数求未知数据的值 1．若一组数据“4，4，4，3，5，5，x，6”有唯一的众数，则x的值不可能为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数，根据定义分析x取不同值时众数的个数即可求解． 【详解】解：原数据各数的出现次数：4出现3次，3出现1次，5出现2次，6出现1次， 对于A选项：若，则3出现2次，4仍是出现次数最多的数，有唯一众数，不符合题意； 对于B选项：若，4出现4次，4仍为唯一众数，不符合题意； 对于C选项：若，5也出现3次，此时4和5都是众数，不满足“唯一众数”的要求，符合题意； 对于D选项：若，6出现2次，4仍为唯一众数，不符合题意． 2．已知一组样本数据，，，，，的众数为8，则数的值为________． 【答案】 【分析】根据众数的定义，确定众数为后，结合数据中各数的出现次数，即可求出的值． 【详解】众数是一组数据中出现次数最多的数， 在原数据，，，，，中，出现次，出现次，出现次， 因为该组数据的众数为， 所以出现的次数需大于其他数出现的次数， 因此． 3．某校随机调查了本学期部分学生读课外书的册数情况，整理得到如下不完整的统计表和扇形图． 册数 四册 五册 六册 七册 人数 7 a 10 8 (1)本次调查的学生人数为______； (2)______； (3)已知该校共有2000名学生，请估计全校本学期读四册课外书的学生人数为______； (4)学校随后又补查了另外几名学生读课外书的册数情况，发现这几名学生读课外书的册数恰好相同．将其与之前的数据合并后，发现册数的众数变成了另外一个数，则补查的人数最少为______． 【答案】(1)40 (2)15 (3)350 (4)6 【分析】本题考查了扇形统计图、用样本估计总体、众数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）用读书为六册的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数； （2）用总人数分别减去读书为四册、六册和七册的人数得到读书五册的人数； （3）用样本估计总体即可； （4）根据原来的众数是读书册数为五册，且读课外书为五册的人数为15人，根据读课外书册数为六册的人数为10人，与读书册数为五册的人数最接近，再根据补查后众数发生改变，从而得到最少补查的人数． 【详解】（1）解：本次调查的学生人数为：， 故答案为：40； （2）解：； 故答案为：15； （3）解：估计全校本学期读四册课外书的学生人数为：， 故答案为：350； （4）解：补查前读课外书册数最多的是五册， 补查前读课外书的册数的众数为5， 补查的几人读课外书的册数恰好相同，且补查后读课外书册数的众数变成了另一个数， 补查的人数最少为：， 故答案为：． 题型14.运用众数做决策 1．一商场销售的某款裤子共有5种尺码，分别是、、、、．店主想通过调查每种尺码的销量来决定多进哪种尺码．下列指标中，店主最关心的指标是（     ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】C 【详解】店主最关注的是哪种尺码销量最高，即哪一尺码在销售数据中出现次数最多， 又众数是一组数据中出现次数最多的数据，平均数反映数据平均水平， 中位数反映数据中间水平，方差反映数据波动程度，后三者均不符合店主需求， 所以店主最关心的指标是众数． 2．某品牌运动服店对上周的销售情况进行了统计，如表；经理决定本周进货时多进一些红色的运动服，经理利用的是这一组数据的________来做出判断的． 颜色 黄色 绿色 白色 紫色 红色 数量（件） 120 150 230 75 430 【答案】众数 【分析】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．经理最值得关注的应该是爱买哪种颜色运动服的人数最多，即众数． 【详解】解：经理决定本周进货时多进一些红色的运动服，经理利用的是这一组数据的众数来做出判断的． 故答案为：众数． 3．2021年7月20至22日，河南省郑州市遭遇极端特大暴雨，地铁线路被淹停运，人民群众生命财产受到严重损害．为了普及安全知识，增强安全意识，某中学组织全校学生参加安全知识竞赛活动，初中三个年级根据初赛成绩分别选出10名同学参加决赛，这些选手的决赛成绩（满分100分）如表所示： 年级 决赛成绩（单位：分） 初一 80 86 88 80 88 99 80 74 91 89 初二 85 85 87 97 85 76 88 77 87 88 初三 82 80 78 78 81 96 97 88 89 86 (1)补全表格． 年级 平均数 众数 中位数 初一 　　 87 初二 85 　　 初三 　　 78 84 (2)将平均数和众数相结合来看，成绩较好的年级是 　　，将平均数和中位数相结合来看，成绩较好的年级是 　　． (3)如果从每个年级参加决赛的10名选手中各选3人参加总决赛，那么你认为哪个年级夺冠的可能性大一些？请说明理由． 【答案】(1)填表如下： 年级 平均数 众数 中位数 初一         80       87 初二 85         86       初三               78 84 (2)初二，初一 (3)初三夺冠的可能性更大一些．理由如下： 初一，初二，初三年级前3名学生决赛成绩的平均分分别为： ， ， ， 从各年级参加决赛的选手中分别选出成绩优秀的3人参加总决赛，初三夺冠的可能性更大一些 【分析】（1）根据众数、中位数及平均数的计算方法求解即可； （2）根据题意直接求解即可； （3）分别求出初一，初二，初三年级前3名学生决赛成绩的平均分，进行比较即可． 【详解】（1）解：初一成绩出现次数最多的是80，故众数为80， 将初二成绩从小到大排列为：76，77，85，85，85，87，87，88，88，97， 故中位数为； 初三的平均分为：； 填表略； （2）从平均数和众数相结合看，成绩较好的年级是初二， 从平均数和中位数相结合看，成绩较好的年级是初一； （3） 略 题型15.求四分位数 1．2026年“闽超杯”福建省城市足球联赛正如火如荼进行，某市参赛足球队22名队员的队服尺码统计如下，其下四分位数是（    ） 队服尺码（cm） 170 175 180 185 190 对应人数（人） 2 7 6 4 3 A．185 B．180 C．175 D．170 【答案】C 【详解】解：方法一：∵总共有个数据，下四分位数对应分位数， ∴下四分位数位置， ∵不是整数， ∴根据规则向上取整，得下四分位数是排序后的第个数据， 将数据从小到大排列，前个数据为，接下来个数据为，即第到第个数据都是， ∴第个数据为， 即下四分位数为； 方法二：∵总共有个数据， ∴前半部分共个数据，，向上取整为6， ∴前半部分的中位数为第6个数据， 将数据从小到大排列，前个数据为，接下来个数据为，即第到第个数据都是， ∴第个数据为， 即下四分位数为． 2．已知某班数学素养测试成绩（满分100分）的箱线图如图所示，则这组数据的下四分位数为______． 【答案】60 【详解】解：由箱线图可得：这组数据的下四分位数为. 3．某外卖平台为提高送外卖的效率，计划购买一款外卖导航．现有两家软件开发公司提供试用版的（简称“A软件”“B软件”），试用一段时间后，该外卖平台工作人员发现准点率基本相同，又从试用软件的超时订单中分别随机抽取60单进行统计，制作了使用A软件时超时时间的频数分布直方图（如图1）、使用软件超时时间的箱线图（如图2）． (1)根据图1的信息，估计使用A软件的超时订单中，超时时间的平均数； (2)该外卖平台后台数据显示，当超时超过7分钟，订单被用户投诉，差评的可能性大大增加，你建议该外卖平台选择哪个软件？并说明理由． 【答案】(1)分钟 (2)箱线图对比：A 软件极差、四分位距都大于 B 软件，B 软件超时时间分布更集中，极端长时间超时更少，配送时效更稳定， 则选B软件 【分析】（1）根据平均数的定义即可求解； （2）根据箱线图分析即可． 【详解】（1）解：A软件超时时间平均数为：（分钟） （2） 略 题型16.画箱线图 1．已知八年级班和班的人数相等，在一次考试中两个班成绩的箱线图如图所示，则下列说法错误的是（    ） A．班和班成绩的中位数不相同 B．班成绩的上四分位数是90分 C．班同学的成绩没有120分的 D．班成绩最低分是45分 【答案】A 【详解】解：A、由箱线图可得，班和班成绩的中位数相同，都为75，故A错误； B、班成绩的上四分位数是90分，故B正确； C、班同学的成绩都小于120分，没有120分的，故C正确； D、班成绩最低分是45分，故D正确． 2．如图是八年级某班学生1分钟跳绳次数的箱线图，则这组数据的中位数是______________次． 【答案】160 【详解】解：根据箱线图可知，这组数据的中位数是160次． 3．为了解学生的晨读效率，学校从七、八年级各随机抽取名学生的晨读打卡积分（单位：分）进行统计分析，并绘制了不完整的箱线图， 七年级积分：，，，，，，，，，，，； 八年级积分：，，，，，，，，，，，． 整理得到如下积分统计表： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 八年级 (1)填空：___________，____________； (2)分别求出七年级这组数据的上四分位数与下四分位数，并补全七年级学生晨读打卡积分的箱线图； (3)通过对比两个年级的箱线图，判断哪个年级抽取的学生晨读打卡积分更集中、更稳定． 【答案】(1)， (2)①下四分位数为，上四分位数为；②第一四分位数为，第三四分位数为；补全箱线图如下： (3)从箱线图可得八年级抽取的学生晨读打卡积分更集中、更稳定 【分析】（1）利用中位数和众数的定义求解即可； （2）四分位数的计算方法有两种：本题数据已按从小到大排序，①先找整体数据的中位数，再分别找出下四分位数和上四分位数；②分别按照百分比的方式求出第一四分位数、第三四分位数；画箱线图的一般步骤：①数据排序：将数据集按照从小到大的顺序进行排序；②计算关键数字：根据排序后的数据，计算出最小值、Q1、中位数、Q3和最大值；③绘制箱子：在坐标系中，连接Q1和Q3形成箱子，表示数据的主体部分；④添加须线：从箱子的两端分别引出下须和上须，连接到最小值和最大值；⑤标记离群值：对于超出须线范围的离群值，通常以单独的点或线表示在箱线图之外； （3）箱线图盒子越窄，数据越集中；盒子越宽，数据越分散． 【详解】（1）解：由表格得，； （2）解：①七年级下四分位数：， 上四分位数：， ②七年级第一四分位数：，则下四分位数为第和第个数据的平均值，即， 第三四分位数：，则上四分位数为第和第个数据的平均值，即， 箱线图略； （3） 略． 题型17.求方差 1．为了解某班同学一周的课外阅读量，任选班上15名同学进行调查，统计如表，则下列说法错误的是（     ） 阅读量（单位：本/周） 0 1 2 3 4 人数（单位：人） 1 4 6 2 2 A．中位数是2 B．平均数是2 C．众数是2 D．方差是2 【答案】D 【详解】解：共15个数据，中位数为从小到大排列后第8个数据， ∵前个数据为0和1，第6至第11个数据为2， ∴第8个数据是2，中位数为2，A正确； 加权平均数为，B正确； ∵阅读量为2的人数最多，共6人， ∴众数为2，C正确； 方差为，D错误． 2．一组数据方差为4，若将每个数据都乘以2，新数据方差为________． 【答案】16 【分析】根据方差的定义推导每个数据扩大倍数后的新方差即可，若一组数据每个数据都乘以常数，新数据的方差为原方差乘以． 【详解】解：设原数据为，原数据的平均数为，原方差为， 由题意得 将每个数据乘以后，新数据为 新数据的平均数 新数据的方差 ． 3．2026年4月26日，中国海军“丝路方舟”号医院船圆满完成“和谐使命-2025”任务归国．此次任务历时234天，总航程约3.6万海里，是自2010年以来11次“和谐使命”任务中历时最长的一次，也是“丝路方舟”号医院船入列以来首次走出国门执行该系列任务．镇海区某中学为响应号召开展了“身边的医疗知识小问答”，学校从七、八年级各随机抽取了12名同学的问答成绩如下： 七年级：，，，，，，，，，，， 八年级：，，，，，，，，，，， 由上述成绩，整理得如下成绩统计表和箱线图： 年级 平均数 方差（保留一位小数） 七年级 7 八年级 5.2 (1) ， ； (2)根据箱线图判断哪个年级中间部分同学的成绩更集中，并说明理由． 【答案】(1)， (2)七年级中间部分同学的成绩更集中，理由如下： ∵从箱线图中可以看出，七年级的下四分位数更接近上四分位数，即七年级箱线图的箱体更短， ∴七年级中间部分同学的成绩更集中． 【分析】（1）为八年级的平均数，为七年级的方差，根据平均数和方差的计算方法计算即可； （2）从箱线图箱体的长短即可判断哪个年级中间部分同学的成绩更集中． 【详解】（1）解： ， ． （2） 略 题型18.利用方差求未知数据的值 1．一组数据的方差为，则该组数据的总和是（    ） A． B．9 C．14 D．45 【答案】D 【详解】解：方差的计算公式为：，其中为数据的个数，为这组数据的平均数． 对比题目给出的方差表达式可得，平均数， 该组数据的总和为． 2．一组数据的方差为，则该组数据的平均数是______． 【答案】 【分析】根据方差的定义，方差计算公式即可得到结果． 【详解】解：方差的计算公式为，其中为这组数据的平均数，为数据的个数， 对比题目给出的方差为，可得该组数据的平均数． 3．在打靶演习中需要射击5次，某训练者知道前4次的成绩(单位：环)为：7，9，8，6．要使这5次成绩的方差小于前4次成绩的方差，第5次射击成绩可以是________环． 【答案】7（答案不唯一） 【分析】本题考查的是求解一组数据的方差，方差的含义，先求解前4次的成绩的方差，再根据5次成绩的方差小于前4次成绩的方差，计算增加一次成绩后的方差即可得到答案． 【详解】解：这射击员知道前4次的成绩为：7，9，8，6． 此时平均数为：， 此时方差为： 当第5次射击成绩为时， ∴五次平均数为， ∴， 当第5次射击成绩为时， ∴此时平均数为； ， ∴当第5次射击成绩为或环时，满足条件． 故答案为：7（答案不唯一）． 题型19.根据方差判断稳定性 1．甲、乙、丙、丁四位射击运动员各射击10次，平均成绩均为8环，方差分别为，，，，则成绩最稳定的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】平均成绩相同时，比较方差大小即可判断成绩稳定性． 【详解】解：∵四人平均成绩均为8环， 又∵， ∴成绩最稳定的是丁． 2．在大课间活动中，体育老师对甲、乙两名同学每人进行10次立定跳远测试，他们的平均成绩相同，方差分别是，则甲、乙两名同学成绩更稳定的是____________． 【答案】乙 【分析】两人测试次数相同，平均成绩相同，根据方差的意义判断稳定性，方差越小，成绩越稳定． 【详解】解：∵， ∴甲、乙两名同学成绩更稳定的是乙． 3．每年4月15日为全民国家安全教育日．某校为增强学生国家安全意识，组织七、八年级学生进行相关知识竞赛．从七、八年级学生的竞赛成绩中，各随机抽取12名学生的成绩（单位：分）进行统计分析． 【信息1】七、八年级抽取的学生竞赛成绩 七年级：60，70，70，80，83，89，91，93，95，97，98，100 八年级：70，77，79，81，88，89，91，92，92，94，95，96 【信息2】七、八年级抽取的学生竞赛成绩的统计表 统计量 平均数 众数 中位数 方差 七年级 85.5 90 154.6 八年级 87 92 62.8 【信息3】七、八年级抽取的学生竞赛成绩的箱线图 根据以上信息，回答下列问题： (1)________，________； (2)写出八年级抽取的学生竞赛成绩的下四分位数________，上四分位数________，补全八年级的箱线图； (3)你认为哪个年级的成绩更好？请说明理由． 【答案】(1)， (2)，； 补全图形如下： (3)理由：因为八年级的平均数大于七年级的平均数，八年级的方差小于七年级的方差，说明八年级平均分更高，成绩更稳定． 所以八年级竞赛成绩较好． 【分析】（1）根据众数和中位数的定义求解即可； （2）根据四分位数的求解方法求解上、下四分位数即可；然后求出八年级数据的最大值、最小值，再结合中位数和上、下四分位数即可补全箱线图； （3）可以从平均数和方差的角度分析． 【详解】（1）解：由七年级的数据可得，出现的次数最多，故众数； 八年级共12个数据，且已经从小到大排列，则中位数是第6、7个数据的平均数， 故中位数； （2）解：∵八年级：70，77，79，81，88，89，91，92，92，94，95，96； 方法一：前半部分为前6个数（70，77，79，81，88,89），中位数是，则下四分位数为，后半部分数据为（91，92，92，94，95，96），中位数是，则上四分位数为； 方法二：，那么第3，4个数据的平均数即为下四分位数，即； ，那么第9，10个数据的平均数即为上四分位数，即； 八年级的数据最大值为96，最小值为70，而中位数为90， 故补全箱线图略. （3） 略 题型20.运用方差做决策 1．某射击队要从甲、乙、丙、丁四名队员中选拔一人参加市运会，他们10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差如下表所示．根据表中的数据，要选择一名成绩好且发挥稳定的队员参赛，应选择（     ） 队员 甲 乙 丙 丁 平均数 9.2 9.2 9.3 9.3 方差 0.035 0.015 0.035 0.015 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】根据平均数越大，方差越小，成绩越好越稳定求解即可． 【详解】解：∵丙、丁的平均数为，大于甲、乙的， ∴丙、丁成绩较好， ∵丁的方差为，小于丙的， ∴丁发挥更稳定，应选丁． 2．某校进行体操比赛，甲、乙、丙三个班各选15名学生参加比赛．若三个班的参赛学生的平均身高都是，方差分别是，，，则参赛学生身高比较整齐的班级是__________． 【答案】甲 【分析】方差越小，数据的波动越小，身高越整齐，比较三个班的方差大小即可得到结果； 【详解】解：，，， ， ∴甲班参赛学生身高的方差最小，因此参赛学生身高比较整齐的班级是甲班． 3．某校要从甲、乙两位同学中挑选一人参加“勾股”杯校际联赛，在最近10次的选拔赛中，他们的竞赛成绩（满分100分）信息如下： 信息一：甲、乙两位同学的竞赛成绩 甲：85，96，91，97，91，98，87，98，96，91； 乙：88，95，92，95，95，91，89，93，97，95． 信息二：甲、乙两位同学竞赛成绩的部分统计量 学生 平均数 中位数 众数 方差 甲 93 93.5 19.6 乙 93 95 7.8 根据以上信息，回答下列问题： (1)写出表中，的值：________，________； (2)________同学在选拔赛中发挥得更稳定（填“甲”或“乙”）； (3)小红认为甲、乙两位同学竞赛成绩的平均数一样，推荐哪位同学参赛都可以．你认为她说得对吗？请说明理由（写出一条合理的理由即可）． 【答案】(1)94，91 (2)乙 (3)她说得不对，理由：虽然甲、乙两人竞赛成绩的平均数一样，但是乙的方差比甲的小，说明乙同学在选拔赛中发挥的更稳定，所以应该推荐乙同学参赛． 【分析】（1）中位数：将数据从小到大排列，偶数个数据取中间两数的平均数；众数是一组数据中出现次数最多的数； （2）方差越小，数据波动越小，发挥越稳定； （3）平均数相同时，可通过方差、中位数、众数对比两人成绩优劣． 【详解】（1）解：先把乙的成绩从小到大排序：88，89，91，92，93，95，95，95，95，97， 一共10个数据，中位数是第5、6个数的平均值： ， 甲成绩：85，96，91，97，91，98，87，98，96，91，数字91出现次数最多（3次），故． （2）解：∵甲同学的方差是19.6，乙同学的方差是7.8，， ∴乙同学在选拔赛中发挥得更稳定． （4） 略 题型21.求极差 1．已知一组数据：、、、、、、，这组数据极差是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：该组数据最大值为，最小值为，极差为. 2．一组数据：，，，，．这组数据的极差是________． 【答案】 【分析】先找出这组数据的最大值与最小值，再计算两者的差即可. 【详解】解：这组数据的最大值为，最小值为，因此极差为. 3．学校开展竞赛活动，一班和二班各选了6名选手参加选拔赛，选手的比赛成绩如图所示： (1)12名参赛选手成绩的极差是 分，众数是 分；（直接写结果） (2)如果考虑选手成绩的稳定性，你认为学校应该确定哪个班级参加最终的比赛？通过计算说明理由． 【答案】(1)，75 (2) 确定一班的选手参加比赛；理由如下： 一班的（分）； 二班的（分）； 故一，二班的平均成绩相同， 又由图可知，一班的成绩波动较小，成绩较稳定，故学校应该确定一班的选手参加比赛． 【分析】本题考查折线图，求极差，众数，利用折线图判断稳定性，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据极差是最大数减去最小数，众数是出现次数最多的数据，进行求解即可； （2）求出平均成绩，再根据折线图，得到一班学生的成绩波动较小，成绩较稳定，作答即可． 【详解】（1）解：极差为（分）；75分出现的次数最多，故众数为75分； （2） 略 题型22.标准差 1．已知一组数据的方差是，则这组数据的标准差是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了方差和标准差，熟练掌握两者之间的关系是解题的关键．根据标准差是方差的算术平方根即可求解． 【详解】解：∵数据的方差是， ∴这组数据的标准差是； 故选：D． 2．在对一组样本数据进行分析时，小华列出了方差的计算公式：，由公式提供的信息，数据的标准差是_______． 【答案】 【分析】根据已知条件得出这组数据为2、3、3、4，先求出这组数据的平均数，再代入方差公式求出方差，然后根据若数据都加上一个数（或减去一个数）时，方差不变，得出数据2+x0，3+x0，3+x0，4+x0的方差，然后再开方即可得出标准差． 【详解】解：由题意知，这组数据为2、3、3、4， 则这组数据的平均数是， 数据2，3，3，4的方差是：， 数据，，，的方差是， 数据，，，的标准差是． 故答案为：． 【点睛】此题考查了方差和标准差，若数据都加上一个数（或减去一个数）时，方差不变，即数据的波动情况不变． 3．某校开展暑假读数学课外书活动，开学后802班小明同学在自己班进行调查，统计了全班40位同学暑假所读数学课外书的本数，得到下表： 本数（本） 0 1 2 3 4 人数（人） 1 9 21 7 2 0 (1)全班同学暑假读数学课外书本数的众数是 ，中位数是 ； (2)求全班同学暑假读数学课外书本数的标准差． 【答案】(1)2；2 (2) 【分析】本题主要考查了求众数、中位数、标准差： （1）根据众数、中位数的定义解答，即可求解； （2）根据标准差的计算公式计算，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：所读数学课外书的本数为2本的人数最多， ∴全班同学暑假读数学课外书本数的众数是2； ∵全班40位同学， ∴由表格可知，按从小到大排列后中间第20和21位同学的本数都是2， ∴中位数也是2． 故答案为：2；2． （2）解：平均数为， 全班同学暑假读数学课外书本数的标准差为 ． 题型23.求离差平方和 1．已知一组数据：10，8，9，8，11．刘丽将这些数分成了两组，第一组：8，8；第二组：9，10，11．则此分组情况下的组内离差平方和是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题根据组内离差平方和的定义计算，先分别求出两组数据的平均数，再计算每组内每个数据与本组平均数的差的平方和，将两组结果相加即可得到总的组内离差平方和． 【详解】解：∵第一组数据为， ∴第一组平均数， 第一组离差平方和， ∵第二组数据为， ∴第二组平均数， 第二组离差平方和， ∴总的组内离差平方和． 2．已知一组数据的离差平方和为25，将该组数据分成两组后，组内离差平方和为15，则组间离差平方和为__________． 【答案】 【分析】根据离差平方和的分解规则，总离差平方和等于组内离差平方和与组间离差平方和之和，已知总离差平方和与组内离差平方和，作差即可得到组间离差平方和. 【详解】解：. 3．一家水果店共有5箱苹果，每箱的质量分别为3，1，4，2，5，求这5箱苹果的质量的中位数和离差平方和． 【答案】中位数，离差平方和10 【分析】根据中位数的定义求出这组数据的中位数，然后根据离差平方和公式进行计算即可． 【详解】解：将这5箱苹果的质量按照从小到大的顺序排列为1，2，3，4，5， ∴这5箱苹果的质量的中位数为， ∵这5箱苹果的质量的平均数为， ∴离差平方和为：． 题型24.离差平方和的应用 1．某班有名同学参加立定跳远专项训练，体育老师准备将他们分成两组开展分层训练，要求同一组内同学的成绩尽量接近，方便统一制定训练计划．老师先把名同学的立定跳远成绩从小到大排序，再进行分组，一共得到种分组方式，各组对应的组内离差平方和如下表所示： 序号 分组情况 组内离差平方和 第一组人，第二组人 第一组人，第二组人 第一组人，第二组人 第一组人，第二组人 已知：组内离差平方和越小，代表组内成绩差异越小、分组效果越好．则本次训练的最优分组序号是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，最优分组对应组内离差平方和最小的分组，只需比较四种分组的组内离差平方和大小，找出最小值对应的分组序号即可． 【详解】解：四种分组的组内离差平方和分别为，，，，比较大小得， ∵ 组内离差平方和越小，分组效果越好，对应分组序号为， ∴ 最优分组序号是． 2．在引体向上测试中，名同学完成的个数分别为，，，．想使个数相差较小的同学分在一组，于是将个数据从小到大排列，共分了个间隔，经计算第个间隔的组内离差平方和约；第个间隔的组内离差平方和为；第个间隔的组内离差平方和为，根据组内离差平方和最小原则，把这名同学引体向上的个数分为两组．这两组是____________． 【答案】和 【分析】先将原数据从小到大排列，再比较三个间隔的组内离差平方和，根据组内离差平方和最小原则确定分组位置即可． 【详解】解：将个数据从小到大排列，得到． 比较三个间隔的组内离差平方和，可得． 可知第个间隔的组内离差平方和最小， 因此在第个间隔处分组，得到两组分别为和． 即这两组是和． 3．为了解八年级学生在跳绳方面的水平状况，改进体育教学，某校从八年级随机抽取了若干位同学进行跳绳测评，下面是对八年级（1）班抽取的10位同学1分钟跳绳次数（单位：次）的分析过程； 【收集与整理】将10位同学的1分钟跳绳次数四六分组，统计如下： 分组方式 组别 次数 方式一 I组 120，130，135，135 II组 135，140，140，140，150，165 方式二 甲组 120，130，135，135，135，140 乙组 140，140，150，165 【描述与分析】各组数据统计量分析表： 分组方式 组别 平均数 中位数 众数 离差平方和 组内离差平方和 方式一 I组 130 150 II组 140 140 600 方式二 甲组 135 乙组 145 140 根据以上信息，解答下面问题： (1)填空：上表中， ， ； (2)计算表中的值；（要求写出计算过程） (3)【判断与决策】为方便教学，需要按照组内离差平方和最小原则进行分组．请通过计算选择你认为合适的分组方式． 【答案】(1)； (2)由表格可得，； (3)方式二的分组更合适； 由题意得，方式一的组内离差平方和：， ∵， ∴方式二的分组更合适． 【分析】（1）根据中位数、众数的定义求解即可； （2）根据平均数的定义求解即可； （3）先算出方式一的组内离差平方和，再结合题意选择即可． 【详解】（1）解：由表格可得，，； （2）略 （3）略 ✺巩固测试 一、单选题 1．样本数据1，9，13，17，20的平均数是（     ） A．8 B．9 C．12 D．18 【答案】C 【分析】根据算术平均数的定义，用所有数据的和除以数据总个数即可得到结果． 【详解】解：平均数是． 2．已知一组数据，，，，的平均数是2，方差是3，那么另一组数据：，，，，的平均数和方差分别是（   ） A．2，3 B．2，9 C．4，3 D．4，9 E．4，27 【答案】E 【分析】本题主要考查了求平均数和方差， 先求出原数据的平均数和方差，再结合求出的结果及公式计算可得答案. 【详解】解：根据题意，得原平均数； 原方差； 所以新平均数 ； 新方差 . 所以另一组数据的平均数和方差是4，27. 故选：E. 3．一组数据从小到大排列为：，中位数为6，则x的值为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查中位数的定义，偶数个数据的中位数是按大小排序后中间两个数的平均数，据此列方程即可求解. 【详解】解：这组数据共有个数，个数为偶数， 中位数是从小到大排序后，第个与第个数的平均数， 即和的平均数. 中位数为， . 解得. 4．某校进行“班班有歌声”合唱比赛，某班在演唱水准、舞台表现、作品处理三个方面得分分别为92分、90分、95分．若评委按照演唱水准占，舞台表现占，作品处理占计算加权平均数来作为最终成绩，则该班的最终成绩为（     ） A．90分 B．92分 C．95分 D．97分 【答案】B 【分析】本题考查加权平均数的计算，根据给定的各项得分和对应权重，直接计算加权平均数即可得到最终成绩． 【详解】解：． 5．某校开展书法作品征集活动，从八年级5个班收集到的作品数量（单位：件）分别为50，45，50，46，42，则这组数据的众数是（     ） A．46 B．45 C．50 D．42 【答案】C 【分析】统计每个数据出现的次数，找出出现次数最多的数据即可得到答案． 【详解】解：∵这组数据为，，，，，其中出现次，出现次数最多，其余数据各出现次， ∴这组数据的众数是． 6．某校拟招聘一名数学老师，现通过笔试、面试、答辩三项成绩来考核甲、乙、丙三名应聘者，各项满分均为100分，成绩如下表： 应聘者 笔试成绩(分) 面试成绩(分) 答辩成绩（分） 甲 85 90 92 乙 92 88 86 丙 88 91 89 学校综合岗位需求，规定笔试、面试、答辩权重之比为，按加权平均数分择优录取，那么被录用的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．不能确定 【答案】C 【分析】分别计算三名应聘者的加权平均数，比较大小后得分最高的即为被录用者． 【详解】解：∵ 笔试、面试、答辩权重之比为，权重和为， 分别计算三人的加权平均数： 甲的加权平均数：分， 乙的加权平均数：分， 丙的加权平均数：分， ∵ ，丙的加权平均数最高， ∴ 被录用的是丙． 二、填空题 7．根据实际情况填写（填平均数、中位数、众数）． ①老板进货时关注卖出商品的_____． ②评委给选手综合得分时关注_____． ③被招聘的员工关注公司员工工资的_____． 【答案】 众数 平均数 中位数 【解析】略 8．已知一组数据3，a，4，6，7的方差是5，则这组数据的离差平方和是________． 【答案】 【分析】根据方差的定义，方差等于离差平方和除以数据的个数，已知方差和数据个数，即可求出离差平方和． 【详解】解：由题意可知，这组数据共有5个数据，方差是5， ∴离差平方和． 9．为庆祝七一建党105周年，学校举办党史知识竞赛，某小组3名同学初赛得分分别为6、7、8，则这组成绩数据的离差平方和为__________． 【答案】2 【分析】先计算这组数据的平均数，再根据离差平方和的定义，计算每个数据与平均数差的平方和，即可得到结果． 【详解】解： ， 离差平方和为：． 10．某班学生期中数学成绩的箱线图如图所示，则该班学生期中数学成绩的最大值为120，最小值为60，第一四分位数为________，第二四分位数为90，第三四分位数为100． 【答案】80 【详解】解：由箱线图可知，第一四分位数为80. 11．为加强中学生安全意识，树立“安全第一，预防为主”的思想，某中学开展了校园安全知识竞赛，八年级甲、乙、丙三个班比赛成绩的平均数与方差如表所示．若要从中选择一个成绩较好且发挥稳定的班级代表年级去参加该知识竞赛，应该选择_________班． 甲 乙 丙 平均数 方差 【答案】乙 【分析】根据平均数和方差的意义解题，先选出平均数较大的成绩较好的班级，再从中选出方差较小的发挥更稳定的班级，即可求解． 【详解】解：由表中数据可知，甲，乙两班的平均数均为，大于丙班的平均数，因此甲，乙两班成绩较好. 在甲，乙两班中，乙班的方差为，小于甲班的方差，方差越小，成绩波动越小，发挥越稳定，因此乙班发挥更稳定． 12．甲、乙两地5月份每天最高气温的箱线图如图所示，则5月气温波动较大的是______．（填“甲地”或“乙地”） 【答案】甲地 【详解】解：箱线图中，数据的波动越大，说明数据离散程度越高， 气温的极差（最高温与最低温的差值）越大． 观察图形可得：甲地气温的极差（整体跨度）大于乙地，气温分布更分散， 因此5月气温波动较大的是甲地． 三、解答题 13．为了加强校园文明精神建设和文化建设，进一步推进全民健身运动，提高广大学子的身体素质，某中学举办了盛大的秋季运动会．下表是八年级三个班级在拔河、百米接力、跳高项目的比赛成绩积分（不完整，单位：分）． 班级 拔河 百米接力 跳高 平均分 八（1）班 8 6 7 7 八（2）班 9 4 7 八（3）班 7 5 7 (1)________，__________． (2)若将拔河、百米接力、跳高三项得分依次按照的比例计算各班的总积分，问哪个班的总积分最高？ 【答案】(1)8，9 (2)八（3）班的总积分最高． 【分析】本题考查平均数和加权平均数，掌握它们的公式是解答本题的关键． （1）根据平均数列方程求解即可； （2）计算出各班的加权平均数，再进行比较即可． 【详解】（1）根据题意得， 解得； 根据题意得， 解得； （2）八（1）班的分数为 八（2）班的分数为 八（3）班的分数为 ∵ ∴八（3）班的总积分最高． 14．某公司招聘职员，对甲、乙两名应聘者进行了笔试和面试，成绩(单位：分)如表： 应聘者成绩 应聘者 笔试 面试 甲 85 90 乙 92 83 (1)如果公司认为笔试和面试同等重要，谁将被录用？ (2)如果公司认为笔试成绩比面试成绩更重要，笔试和面试按的比例计算总成绩，谁将被录用？ 【答案】(1)两人平均分相同，均可被录用 (2)乙将被录用 【分析】（1）求出甲乙两人的分数的算术平均数，再比较即可； （2）求出甲乙两人的分数的加权平均数，再比较即可． 【详解】（1）解：∵笔试和面试同等重要， ∴甲平均分为：，乙平均分为：， ∴两人平均分相同，均可被录用； （2）解：∵笔试和面试按的比例计算总成绩， ∴甲总成绩为：，乙总成绩为：， ∵ ∴乙将被录用． 15．万众瞩目的《感动中国》已经成为中国观众的“必修课”之一，感人的故事历久弥新，感动的力量经久不息，正所谓“家事、国事、天下事，事事关心”，青少年不仅要读好书，更要关注时事热点，关心国家的现状和未来．某校为提高学生对时事热点的关注度，特举办了一场“中国式，我知道”的知识测试．随机抽取七、八年级各名学生的测试成绩（满分：分，单位：分，：；：；：；：）进行整理、描述和分析，得到如下信息： 七年级名学生测试成绩在的成绩为：，，，，， 八年级名学生测试成绩为： 七、八年级学生测试成绩统计表        统计量年级 平均数 众数 中位数 七年级 八年级 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：________，________； (2)补全频数分布直方图； (3)若小华本次测试成绩为分，且属于本年级的中上游成绩，请你判断小华可能所在的年级，并说明理由； (4)若该校七、八年级各名学生，估计这次测试成绩为满分的学生人数． 【答案】(1)， (2)七年级学生测试成绩频数分布直方图为： (3)小华所在年级为七年级．理由如下： 因为七年级学生测试成绩的中位数为分，八年级学生测试成绩的中位数为分，要想排在中上游水平，就要比所在年级成绩的中位数要大，故小华所在年级为七年级； (4)这次测试成绩为满分的学生人数约为人 【分析】（1）根据众数与中位数的概念，求解出七年级成绩为的人数即可求解的值，再根据中位数的概念，找八年级学生成绩排在第、个的数据即可求解的值； （2）根据七年级学生为人，前三组的人数分别为，，，即可求解第四组人数，由此补充频数分布直方图即可； （3）根据七年级与八年级的中位数判断小华的年级即可； （4）根据七年级与八年级的满分人数进行计算即可． 【详解】（1）解：七年级测试成绩在的人数为（人），人数最多， 七年级学生测试成绩的众数； 将八年级名学生的测试成绩按照从小到大的顺序排列，位于第、个的数据分别是、， 八年级测试成绩的中位数为， ； （2）略 （3）略 （4）解：七年级满分人数为人，八年级满分人数为人， （人）， 答：这次测试成绩为满分的学生人数约为人． 16．某校八年级甲、乙两班各随机抽取20名学生进行一分钟跳绳测试，根据他们的成绩绘制箱线图如下： 依据以上信息，回答下列问题： (1)甲班20位学生跳绳成绩的中位数是____________，甲班20位学生约有____________的学生跳绳成绩低于次／分（填写百分数）； (2)乙班20位学生跳绳成绩的第三四分位数是____________，乙班20位学生跳绳成绩的四分位距为_______________； (3)请结合箱线图，比较这两个班学生跳绳成绩的差异． 【答案】(1)180次； (2)183次；5 (3)解： 两个班跳绳成绩的中位数相同；甲班成绩的极差、四分位距更大，说明甲班学生跳绳成绩波动更大、分布更分散，乙班学生成绩更集中整齐，整体发挥更稳定． 【分析】（1）根据箱线图的信息和四分位数的定义即可得到答案； （2）根据第三四分位数和四分位距的定义求解即可； （3）根据箱线图的信息言之有理即可． 【详解】（1）解：由箱线图可知，甲班20位学生跳绳成绩的中位数是180次，甲班20位学生约有的学生跳绳成绩低于次／分； （2）解：由箱线图可知，乙班20位学生跳绳成绩的第三四分位数是183次， 乙班20位学生跳绳成绩的四分位距为； （3）略 17．为落实课堂高效训练，八年级开展数学周测，甲、乙两名同学连续6次周测表现突出，老师记录了他们近次试卷卷面得分、课堂随堂答题积分情况． 信息 1：                                       信息 2：甲、乙随堂答题积分箱线图 甲同学卷面得分：，，，，，； 乙同学卷面得分：，，，，，. 信息 3：统计数据表 学生 卷面平均分 卷面众数 卷面中位数 平均随堂积分 随堂积分方差 甲 乙 根据以上信息，回答下列问题： (1)表格中的 __________，__________，__________（填“”“”或“”）； (2)综合表现按卷面平均分的 、平均随堂积分的 计算，综合分数越高表现越好，判断甲、乙谁综合表现更好？ (3)自选一个统计量分析，说明甲、乙两名同学谁更优秀． 【答案】(1)，， (2)甲综合表现更好 (3)从卷面平均分分析，乙卷面平均分高于甲，乙卷面整体水平更高，乙更优秀（答案不唯一） 【分析】（1）根据中位数和众数的定义求出、的值；根据箱线图中甲的箱体比乙的箱体高，可知甲的随堂答题积分的波动性较大，所以； （2）分别计算出甲、乙的综合得分，根据计算结果判断； （3）根据卷面平均分判断可知乙更优秀． 【详解】（1）解：把甲的卷面得分按照从小到大的顺序排列，可得：、、、、、， 共有个数据，其中第、个数分别是、， 甲的卷面得分的中位数是； 乙的卷面得分中出现次数最多的是，共出现了次， 乙的卷面得分的众数是； 由箱线图可知，甲的箱体比乙的箱体高， 甲的随堂答题积分的波动性较大， ； （2）解：甲的综合得分为：， 乙的综合得分为：， ， 甲综合表现更好； （3）略 18．为迎接校外参观活动，学校计划组建一支展厅讲解员队伍．老师将通过初试的16名同学按报名顺序分成两组，并统计了两组同学的身高数据． 【数据收集】： 甲组同学身高（单位：）：165，166，165，163，168，169，167，165 乙组同学身高（单位：）：166，172，164，168，164，160，164，170 【数据整理】： 组别 平均数 中位数 众数 方差 甲组 166 165 乙组 166 165 13 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：________，________，________，两组同学中身高更整齐的是________组（填“甲”或“乙”）； (2)展厅讲解岗位人员不足，老师又从后备同学中挑选2人补充进甲组，两人身高均为．请问补充人员后，甲组全体同学身高的平均数、方差与原来相比是否发生变化？若有变化，请说明变大还是变小． 【答案】(1)；；；甲； (2)平均数无变化，方差变小，理由如下： ∵原甲组平均数为，新增两人身高均为． ∴甲组新平均数：， ∴平均数不变． ∵新增数据与原平均数一致， ∴这组数据的离差平方和不变， ∴这组数据的方差， ∴这组数据的方差变小． 【分析】（1）根据中位数、众数、方差的定义以及意义求解即可； （2）分别求解新数据的平均数和方差即可． 【详解】（1）解：把甲组身高数据从小到大排序为：163，165，165，165，166，167，168，169 甲组有8个数据，中位数是第4和第5个数的平均数 乙组数据中164出现了3次，出现次数最多 乙组众数 甲组平均数是166 比较两组方差，甲组方差3.25小于乙组的13，方差越小数据越整齐，所以身高更整齐的是甲组； （2）略 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09数据的集中趋势和离散程度 暑假预习讲义 ✺知识框架 1.数据的集中趋势：包含算术平均数、加权平均数、中位数、众数四类统计量，用于刻画数据的平均水平与集中位置。 2.数据的离散程度：包含极差、方差、标准差三类统计量，用于刻画数据的波动范围与稳定程度。 3.综合应用：结合两类统计量分析实际数据，对数据水平、稳定性进行综合评价与合理决策。 ✅本章属于初中统计核心内容，主要研究数据的两大特征：集中趋势与离散程度。集中趋势反映数据的整体分布中心，离散程度反映数据的波动与稳定情况，二者结合可完成完整的数据分析 ✺学习目标 1.基础知识：理解平均数、加权平均数、中位数、众数的概念，掌握其计算方法与适用场景;理解极差、方差、标准差的概念，熟记计算公式，明确其统计意义; 掌握各类统计量的联系与区别，厘清集中趋势与离散程度的核心内涵。 2.能力提升：能够准确计算一组数据的集中趋势与离散程度相关统计量;能够根据实际问题情境，合理选择统计量分析、评价数据;能够结合数据的整体水平与稳定情况，完成简单统计决策。 3.综合素养:建立数据分析观念，形成以数据为依据的客观评判思维;体会统计知识的实际应用价值，提升数学应用能力。 ✺题型归纳 题型1.求一组数据的平均数 题型2.已知平均数求未知数据的值 题型3.利用已知的平均数求相关数据的平均数 题型4.利用平均数做决策 题型5.求加权平均数 题型6.利用加权平均数求未知数据的值 题型7.运用加权平均数做决策 题型8.出错情况下的平均数问题 题型9.求中位数 题型10.利用中位数求未知数据的值 题型11.运用中位数做决策 题型12.求众数 题型13.利用众数求未知数据的值 题型14.运用众数做决策 题型15.求四分位数 题型16.画箱线图 题型17.求方差 题型18.利用方差求未知数据的值 题型19.根据方差判断稳定性 题型20.运用方差做决策 题型21.求极差 题型22.标准差相关题型 题型23.求离差平方和 题型24.离差平方和的应用 题型25.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、数据的集中趋势 1.算术平均数 2.加权平均数 权越大，对平均数的影响越大，加权平均数的分母恰好为各权的和。 3.中位数 定义：一般地，将一组数据按大小顺序排列，如果数据的个数是奇数，那么处于中间位置的数叫做这组数据的中位数。如果数据的个数是偶数，那么处于中间位置的两个数的平均数叫做这组数据的中位数。 ★当一组数据中个别数据与其他数据的大小差异很大时，通常用中位数来描述这组数据的集中趋势。 4.众数 定义：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数。 核心性质：众数为原始数据，并非数据出现次数；一组数据可存在一个、多个众数，也可无众数；众数不受极端值影响，反映数据的高频特征。 5.平均数、中位数和众数的联系与区别 联系：平均数、中位数和众数都反映了一组数据的集中趋势。 区别：平均数容易受极端值的影响；中位数与数据排列位置有关，个别数据的波动对中位数没影响；众数主要研究各数据出现的频数，当一组数据中不少数据多次重复出现时，可用众数来描述。 ★在一组存在极端值的数据中，用中位数或众数作为表示这组数据特征的统计量有时会更贴近实际 知识点二、数据的离散程度 1.极差 定义：一组数据中最大值与最小值的差，能反映这组数据的变化范围，我们就把这样的差叫做极差。 公式：极差=最大值－最小值 核心性质：极差可粗略反映数据的波动范围，计算简便，但仅依托最值数据，无法体现中间数据的分布情况，统计精度较低。 2.方差 各个数据与平均数差的平方的平均数.用表示，即 核心性质：方差为非负数；方差越大，数据波动越大、稳定性越差；方差越小，数据波动越小、稳定性越强。 3. 标准差 通常，我们也用方差的算术平方根，即 来描述一组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的标准差，记作s ✺题型精讲 题型1.求一组数据的平均数 1．某校为丰富学生课余生活，举行了艺术周活动，八年级一班的合唱成绩如表： 成绩/分 9.2 9.3 9.6 9.7 9.9 评委/人 2 2 3 2 1 若去掉一个最高分和一个最低分后，则余下数据的平均分是（     ） A．9.51分 B．9.5分 C．9.6分 D．9.625分 2．若一组数据的平均数为，数据总和为，则这组数据的个数为___________． 3．某天电影院有三个影厅放映电影，上午各厅只放映一场电影，信息如下表所示． 影厅 每张电影票价格/元 座位/个 上座率/% A 30 60 75 B 40 60 60 C 50 40 47.5 (1)分别计算各影厅的上座人数； (2)计算电影院这天上午所售电影票的平均价格； 题型2.已知平均数求未知数据的值 1．已知一组数据：，，，，，若这组数据的平均数是，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．一组数据3，2，3，4，x的平均数是4，则是___________． 3．在一次英语口试中，已知50分1人、60分2人、70分5人、90分5人、100分1人，其余为85分，已知该班平均成绩为80分，问该班有多少人？ 题型3.利用已知的平均数求相关数据的平均数 1．已知5个数、、、、的平均数是，则数据，，，，的平均数为（    ） A． B． C． D． 2．已知一组数据，，，…，的平均数为2，则另一组新数据，，，…，的平均数是_____． 3．已知一组数据，，，的平均数是6，求另一组数据，，，的平均数． 题型4.利用平均数做决策 1．甲、乙、丙、丁四位同学去超市购买糖果，他们各自购买糖果的种类、价格和数量如下表所示．若要比较他们购买糖果的平均价格，则平均价格最低的同学是（     ） 甲 乙 丙 丁 10元/包 1 1 2 3 8元/包 2 1 2 2 6元/包 3 4 2 1 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2．2022年温州市初中毕业升学考试各学科及满分值情况如下表： 科目 语文 数学 英语 科学 社会 体育 满分值 150 150 120 180 80 40 若以去年三校录取分600分为参考，以此算出平均得分率，则数学这门学科能上三校的平均得分至少是______分． 3．八年级一班共有学生46人，学生的平均身高是1.58m，小明身高1.59m，但小明说他的身高在全班是中等偏下的，班上有25位同学比他高，20位同学比他矮，这可能吗？ 题型5.求加权平均数 1．某校在学生期末评优工作中，全面贯彻“五育并举”理念，以德智体美劳全面发展为核心标准，依据3：3：2：1：1的权配比，对学生德、智、体、美、劳五个维度进行量化评分，综合评定学生的最终成绩．小鱼同学本学期这五方面的得分(单位：分)分别为：10，9，10，9，8，则小鱼同学期末评优的最终得分是（     ） A．9.1 B．9.2 C．9.3 D．9.4 2．某景区要招聘一名志愿者，从服务态度、专业知识、身体素质三个方面进行考核（考核的满分均为100分），依次按照的比确定平均成绩．李明经过考核后三个方面的成绩依次为90分，85分，80分，则李明考核的平均成绩为________分． 3．某市对初二综合素质测评中的审美与艺术进行考核，规定如下：考核综合评价得分由测试成绩（满分100分）和平时成绩（满分100分）两部分组成，其中测试成绩占，平时成绩占． (1)李华测试成绩为90分，平时成绩为80分，他的综合评价得分是多少？ (2)孔明的测试成绩和平时成绩两项得分之和为185分，而综合评价得分为91分，则孔明同学测试成绩和平时成绩各得多少分？ 题型6.利用加权平均数求未知数据的值 1．在一次射击训练中，某小组的成绩如下表．已知该小组的平均成绩为7.9环，那么成绩为8环的人数为（    ） 环数 7 8 9 人数 2 1 A．5 B．6 C．7 D．8 2．王强毕业于农业技术职业学校，毕业后采用大棚栽培技术种植了一亩地的良种西瓜，第一年这亩地产西瓜625个，为了估计这亩地的收成，王强在西瓜大批上市前随机摘下10个成熟的西瓜，称重如下∶ 西瓜质量/千克 5.5 5.4 5.0 4.9 4.6 4.3 西瓜个数/个 1 2 3 2 1 1 根据以上信息可以估计这亩地的西瓜质量约是________千克． 3．已知某班共有学生50人，其中男生30人．若该班学生的平均身高是，女生的平均身高是，则该班男生的平均身高是，这里的__________． 题型7.运用加权平均数做决策 1．一家外贸公司打算招聘一名英文笔译员，设置了听、说、读、写共四项英语水平测试及相应的权重比，每项测试的原始分均为100分，如果你是这家公司的人力资源主管，你认为最适合作为选人依据的权重比是（     ） A． B． C． D． 2．某商场招聘收银员，对甲、乙两名应试者进行计算机操作、语言表达和商品知识三项测试，他们各项的成绩（百分制）如表所示． 应试者 计算机操作 语言表达 商品知识 甲 70 70 80 乙 60 80 85 若计算机操作、语言表达、商品知识成绩分别占，，，从综合成绩看，应该录取_________．（填“甲”或“乙”） 3．某校开展主题为“多彩非遗，国韵传扬”的演讲比赛．进入决赛的两名选手需要确定名次，评委从演讲内容、演讲能力、演讲效果三个方面为选手打分，各项成绩均按百分制计算，他们的成绩如下（单位：分）． 选手 演讲内容 演讲能力 演讲效果 甲 90 80 85 乙 75 85 95 (1)分别计算甲、乙两名选手的平均成绩． (2)如果把演讲内容、演讲能力、演讲效果按计算最终成绩，请你通过计算确定两人的名次． 题型8.出错情况下的平均数问题 1．某同学使用计算器求15个数据的平均数时，错将一个数据15输成105，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是（　　） A．6.5 B．6 C．0.5 D．－6 2．长沙市抽样调查了位蓝领的月收入，其中月收入最高的只有一位，是元．由于将这个数据输入错了，所以计算机显示的这位蓝领的平均月收入比实际平均月收入高出了元，则输入计算机的那个错误数据是________． 3．小颖使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据15输入为105，另一个数据65输入56，由此求得的平均数为61，求实际平均数． 题型9.求中位数 1．某年级7名教师某周使用人工智能办公的次数分别为5，2，6，9，5，5，3，则这组数据的中位数是（     ） A．9 B．6 C．5 D．3 2．2026年央视春晚通过85种语言向全球传播，全网共计1939个话题登上热搜榜，小明随机抽取了其中6个话题，统计其日阅读量，数据（单位：亿次）如下：，求这组数据的中位数______． 3．某景区管理处为了解景区的服务质量，现从该景区5月份的游客中随机抽取50人对景区的服务质量进行评分，评分结果用x表示（单位：分），将全部评分结果按以下五组进行整理，并绘制统计表，部分信息如下： 组别 A B C D E 分组                     人数 4 3 12 a 11 (1)求a的值； (2)求评分中位数所在组别； (3)以45、55、65、75、85为各组平均分，判断景区评分平均数是否不低于72分． 题型10.利用中位数求未知数据的值 1．一组数据： 1，3，5，7，9，添加一个数后，中位数变为5.5，则添加的数是（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．若一组数据，，，，，的中位数为，则______． 3．数学老师在统计一个班35人的数学考试成绩时，算出中位数是80分，但后来发现其中一位同学的成绩记录有误，将75分写成了55分，那么实际这次考试成绩的中位数是______分． 题型11.运用中位数做决策 1．某校开展以“发现生活中的数学美”为主题的摄影比赛，共49名同学参加初赛，取前24名进入复赛．小亮同学想知道自己的成绩能否进入复赛，只需要知道这49名同学成绩的（     ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 2．在某次赛制为“12进4”且当场公布分数的舞蹈比赛中，小华所在的队伍当第10支队伍分数公布后仍排名第二而欢呼，请问她们判定自己已进入下一轮比赛的依据与________（从平均数、众数、中位数、方差中选择）有关． 3．湿地碳汇监测工程通过评估植被固碳能力，可衡量生态修复效果，为比较甲、乙两个湿地修复片区的固碳效果，科研小组分别从两个片区各随机抽取20个采样点，记录每个采样点的单位面积固碳量（以下简称“固碳量”），用t表示（单位：），并对数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．甲、乙两个片区采样点的固碳量的频数分布表如下： 组别（） 甲片区频数 乙片区频数 1 0 2 1 3 2 5 4 6 7 2 4 1 2 b．甲片区采样点的固碳量在这一组的数据是61, 63, 64, 65, 66（单位：）； c．甲、乙两个片区采样点的固碳量的平均数、中位数如表： 片区 平均数 中位数 甲 66.5 m 乙 n 74 根据以上信息，回答下列问题： (1)表中m的值为______． (2)若固碳量满足的监测点为“达标监测点”，估计乙片区的200个监测点中约有______个“达标监测点”． (3)将每个片区采样点的固碳量按从小到大排序，固碳量越大，排名越靠前．已知采样点P、Q不在同一个片区且固碳量都是，若P在其所在片区采样点中的排名比Q在其所在片区采样点中的排名更靠前，则P是______片区的采样点（填“甲”或“乙”）． (4)为降低异常值对统计结果造成的偏差，科研团队采用剔除极值法：先剔除一组数据中的一个最大值和一个最小值，再对剩余数据计算平均数，记乙片区采样点的固碳量的平均数为n，最小值为，最大值为．已知剔除最大值和最小值后，剩余18个数据的平均数为，则n的值为______． 题型12.求众数 1．一组数据：，，，，，，，的众数是（     ） A． B． C． D． 2．某茶叶专卖店春茶上市后连续七天的销量（盒）为：43，50，46，53，50，56，50，这组数据的众数为______． 3．某校开展了关于“我劳动我快乐”劳动知识竞赛．现从七、八年级学生的竞赛成绩中，各随机抽取了20名学生的成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级学生竞赛成绩在C组的数据为：83，84，85，86，86，88，89 八年级20名学生的竞赛成绩为：62，65，68，72，74，75，78，80，82，85，87，88，90，92，94，95，98，100，100，100 抽取的七、八年级学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 84.25 99 八年级 84.25 86 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：____________，____________，____________； (2)根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条即可）； (3)该校七年级有学生600人，八年级有学生650人，请估计该校七、八年级参加此次知识竞赛成绩达到90分及以上的学生人数共有多少人？ 题型13.利用众数求未知数据的值 1．若一组数据“4，4，4，3，5，5，x，6”有唯一的众数，则x的值不可能为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．已知一组样本数据，，，，，的众数为8，则数的值为________． 3．某校随机调查了本学期部分学生读课外书的册数情况，整理得到如下不完整的统计表和扇形图． 册数 四册 五册 六册 七册 人数 7 a 10 8 (1)本次调查的学生人数为______； (2)______； (3)已知该校共有2000名学生，请估计全校本学期读四册课外书的学生人数为______； (4)学校随后又补查了另外几名学生读课外书的册数情况，发现这几名学生读课外书的册数恰好相同．将其与之前的数据合并后，发现册数的众数变成了另外一个数，则补查的人数最少为______． 题型14.运用众数做决策 1．一商场销售的某款裤子共有5种尺码，分别是、、、、．店主想通过调查每种尺码的销量来决定多进哪种尺码．下列指标中，店主最关心的指标是（     ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 2．某品牌运动服店对上周的销售情况进行了统计，如表；经理决定本周进货时多进一些红色的运动服，经理利用的是这一组数据的________来做出判断的． 颜色 黄色 绿色 白色 紫色 红色 数量（件） 120 150 230 75 430 3．2021年7月20至22日，河南省郑州市遭遇极端特大暴雨，地铁线路被淹停运，人民群众生命财产受到严重损害．为了普及安全知识，增强安全意识，某中学组织全校学生参加安全知识竞赛活动，初中三个年级根据初赛成绩分别选出10名同学参加决赛，这些选手的决赛成绩（满分100分）如表所示： 年级 决赛成绩（单位：分） 初一 80 86 88 80 88 99 80 74 91 89 初二 85 85 87 97 85 76 88 77 87 88 初三 82 80 78 78 81 96 97 88 89 86 (1)补全表格． 年级 平均数 众数 中位数 初一 　　 87 初二 85 　　 初三 　　 78 84 (2)将平均数和众数相结合来看，成绩较好的年级是 　　，将平均数和中位数相结合来看，成绩较好的年级是 　　． (3)如果从每个年级参加决赛的10名选手中各选3人参加总决赛，那么你认为哪个年级夺冠的可能性大一些？请说明理由． 题型15.求四分位数 1．2026年“闽超杯”福建省城市足球联赛正如火如荼进行，某市参赛足球队22名队员的队服尺码统计如下，其下四分位数是（    ） 队服尺码（cm） 170 175 180 185 190 对应人数（人） 2 7 6 4 3 A．185 B．180 C．175 D．170 2．已知某班数学素养测试成绩（满分100分）的箱线图如图所示，则这组数据的下四分位数为______． 3．某外卖平台为提高送外卖的效率，计划购买一款外卖导航．现有两家软件开发公司提供试用版的（简称“A软件”“B软件”），试用一段时间后，该外卖平台工作人员发现准点率基本相同，又从试用软件的超时订单中分别随机抽取60单进行统计，制作了使用A软件时超时时间的频数分布直方图（如图1）、使用软件超时时间的箱线图（如图2）． (1)根据图1的信息，估计使用A软件的超时订单中，超时时间的平均数； (2)该外卖平台后台数据显示，当超时超过7分钟，订单被用户投诉，差评的可能性大大增加，你建议该外卖平台选择哪个软件？并说明理由． 题型16.画箱线图 1．已知八年级班和班的人数相等，在一次考试中两个班成绩的箱线图如图所示，则下列说法错误的是（    ） A．班和班成绩的中位数不相同 B．班成绩的上四分位数是90分 C．班同学的成绩没有120分的 D．班成绩最低分是45分 2．如图是八年级某班学生1分钟跳绳次数的箱线图，则这组数据的中位数是______________次． 3．为了解学生的晨读效率，学校从七、八年级各随机抽取名学生的晨读打卡积分（单位：分）进行统计分析，并绘制了不完整的箱线图， 七年级积分：，，，，，，，，，，，； 八年级积分：，，，，，，，，，，，． 整理得到如下积分统计表： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 八年级 (1)填空：___________，____________； (2)分别求出七年级这组数据的上四分位数与下四分位数，并补全七年级学生晨读打卡积分的箱线图； (3)通过对比两个年级的箱线图，判断哪个年级抽取的学生晨读打卡积分更集中、更稳定． 题型17.求方差 1．为了解某班同学一周的课外阅读量，任选班上15名同学进行调查，统计如表，则下列说法错误的是（     ） 阅读量（单位：本/周） 0 1 2 3 4 人数（单位：人） 1 4 6 2 2 A．中位数是2 B．平均数是2 C．众数是2 D．方差是2 2．一组数据方差为4，若将每个数据都乘以2，新数据方差为________． 3．2026年4月26日，中国海军“丝路方舟”号医院船圆满完成“和谐使命-2025”任务归国．此次任务历时234天，总航程约3.6万海里，是自2010年以来11次“和谐使命”任务中历时最长的一次，也是“丝路方舟”号医院船入列以来首次走出国门执行该系列任务．镇海区某中学为响应号召开展了“身边的医疗知识小问答”，学校从七、八年级各随机抽取了12名同学的问答成绩如下： 七年级：，，，，，，，，，，， 八年级：，，，，，，，，，，， 由上述成绩，整理得如下成绩统计表和箱线图： 年级 平均数 方差（保留一位小数） 七年级 7 八年级 5.2 (1) ， ； (2)根据箱线图判断哪个年级中间部分同学的成绩更集中，并说明理由． 题型18.利用方差求未知数据的值 1．一组数据的方差为，则该组数据的总和是（    ） A． B．9 C．14 D．45 2．一组数据的方差为，则该组数据的平均数是______． 3．在打靶演习中需要射击5次，某训练者知道前4次的成绩(单位：环)为：7，9，8，6．要使这5次成绩的方差小于前4次成绩的方差，第5次射击成绩可以是________环． 题型19.根据方差判断稳定性 1．甲、乙、丙、丁四位射击运动员各射击10次，平均成绩均为8环，方差分别为，，，，则成绩最稳定的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2．在大课间活动中，体育老师对甲、乙两名同学每人进行10次立定跳远测试，他们的平均成绩相同，方差分别是，则甲、乙两名同学成绩更稳定的是____________． 3．每年4月15日为全民国家安全教育日．某校为增强学生国家安全意识，组织七、八年级学生进行相关知识竞赛．从七、八年级学生的竞赛成绩中，各随机抽取12名学生的成绩（单位：分）进行统计分析． 【信息1】七、八年级抽取的学生竞赛成绩 七年级：60，70，70，80，83，89，91，93，95，97，98，100 八年级：70，77，79，81，88，89，91，92，92，94，95，96 【信息2】七、八年级抽取的学生竞赛成绩的统计表 统计量 平均数 众数 中位数 方差 七年级 85.5 90 154.6 八年级 87 92 62.8 【信息3】七、八年级抽取的学生竞赛成绩的箱线图 根据以上信息，回答下列问题： (1)________，________； (2)写出八年级抽取的学生竞赛成绩的下四分位数________，上四分位数________，补全八年级的箱线图； (3)你认为哪个年级的成绩更好？请说明理由． 题型20.运用方差做决策 1．某射击队要从甲、乙、丙、丁四名队员中选拔一人参加市运会，他们10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差如下表所示．根据表中的数据，要选择一名成绩好且发挥稳定的队员参赛，应选择（     ） 队员 甲 乙 丙 丁 平均数 9.2 9.2 9.3 9.3 方差 0.035 0.015 0.035 0.015 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2．某校进行体操比赛，甲、乙、丙三个班各选15名学生参加比赛．若三个班的参赛学生的平均身高都是，方差分别是，，，则参赛学生身高比较整齐的班级是__________． 3．某校要从甲、乙两位同学中挑选一人参加“勾股”杯校际联赛，在最近10次的选拔赛中，他们的竞赛成绩（满分100分）信息如下： 信息一：甲、乙两位同学的竞赛成绩 甲：85，96，91，97，91，98，87，98，96，91； 乙：88，95，92，95，95，91，89，93，97，95． 信息二：甲、乙两位同学竞赛成绩的部分统计量 学生 平均数 中位数 众数 方差 甲 93 93.5 19.6 乙 93 95 7.8 根据以上信息，回答下列问题： (1)写出表中，的值：________，________； (2)________同学在选拔赛中发挥得更稳定（填“甲”或“乙”）； (3)小红认为甲、乙两位同学竞赛成绩的平均数一样，推荐哪位同学参赛都可以．你认为她说得对吗？请说明理由（写出一条合理的理由即可）． 题型21.求极差 1．已知一组数据：、、、、、、，这组数据极差是（     ） A． B． C． D． 2．一组数据：，，，，．这组数据的极差是________． 3．学校开展竞赛活动，一班和二班各选了6名选手参加选拔赛，选手的比赛成绩如图所示： (1)12名参赛选手成绩的极差是 分，众数是 分；（直接写结果） (2)如果考虑选手成绩的稳定性，你认为学校应该确定哪个班级参加最终的比赛？通过计算说明理由． 题型22.标准差 1．已知一组数据的方差是，则这组数据的标准差是（    ） A． B． C． D． 2．在对一组样本数据进行分析时，小华列出了方差的计算公式：，由公式提供的信息，数据的标准差是_______． 3．某校开展暑假读数学课外书活动，开学后802班小明同学在自己班进行调查，统计了全班40位同学暑假所读数学课外书的本数，得到下表： 本数（本） 0 1 2 3 4 人数（人） 1 9 21 7 2 0 (1)全班同学暑假读数学课外书本数的众数是 ，中位数是 ； (2)求全班同学暑假读数学课外书本数的标准差． 题型23.求离差平方和 1．已知一组数据：10，8，9，8，11．刘丽将这些数分成了两组，第一组：8，8；第二组：9，10，11．则此分组情况下的组内离差平方和是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知一组数据的离差平方和为25，将该组数据分成两组后，组内离差平方和为15，则组间离差平方和为__________． 3．一家水果店共有5箱苹果，每箱的质量分别为3，1，4，2，5，求这5箱苹果的质量的中位数和离差平方和． 题型24.离差平方和的应用 1．某班有名同学参加立定跳远专项训练，体育老师准备将他们分成两组开展分层训练，要求同一组内同学的成绩尽量接近，方便统一制定训练计划．老师先把名同学的立定跳远成绩从小到大排序，再进行分组，一共得到种分组方式，各组对应的组内离差平方和如下表所示： 序号 分组情况 组内离差平方和 第一组人，第二组人 第一组人，第二组人 第一组人，第二组人 第一组人，第二组人 已知：组内离差平方和越小，代表组内成绩差异越小、分组效果越好．则本次训练的最优分组序号是（     ） A． B． C． D． 2．在引体向上测试中，名同学完成的个数分别为，，，．想使个数相差较小的同学分在一组，于是将个数据从小到大排列，共分了个间隔，经计算第个间隔的组内离差平方和约；第个间隔的组内离差平方和为；第个间隔的组内离差平方和为，根据组内离差平方和最小原则，把这名同学引体向上的个数分为两组．这两组是____________． 3．为了解八年级学生在跳绳方面的水平状况，改进体育教学，某校从八年级随机抽取了若干位同学进行跳绳测评，下面是对八年级（1）班抽取的10位同学1分钟跳绳次数（单位：次）的分析过程； 【收集与整理】将10位同学的1分钟跳绳次数四六分组，统计如下： 分组方式 组别 次数 方式一 I组 120，130，135，135 II组 135，140，140，140，150，165 方式二 甲组 120，130，135，135，135，140 乙组 140，140，150，165 【描述与分析】各组数据统计量分析表： 分组方式 组别 平均数 中位数 众数 离差平方和 组内离差平方和 方式一 I组 130 150 II组 140 140 600 方式二 甲组 135 乙组 145 140 根据以上信息，解答下面问题： (1)填空：上表中， ， ； (2)计算表中的值；（要求写出计算过程） (3)【判断与决策】为方便教学，需要按照组内离差平方和最小原则进行分组．请通过计算选择你认为合适的分组方式． ✺巩固测试 一、单选题 1．样本数据1，9，13，17，20的平均数是（     ） A．8 B．9 C．12 D．18 2．已知一组数据，，，，的平均数是2，方差是3，那么另一组数据：，，，，的平均数和方差分别是（   ） A．2，3 B．2，9 C．4，3 D．4，9 E．4，27 3．一组数据从小到大排列为：，中位数为6，则x的值为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．某校进行“班班有歌声”合唱比赛，某班在演唱水准、舞台表现、作品处理三个方面得分分别为92分、90分、95分．若评委按照演唱水准占，舞台表现占，作品处理占计算加权平均数来作为最终成绩，则该班的最终成绩为（     ） A．90分 B．92分 C．95分 D．97分 5．某校开展书法作品征集活动，从八年级5个班收集到的作品数量（单位：件）分别为50，45，50，46，42，则这组数据的众数是（     ） A．46 B．45 C．50 D．42 6．某校拟招聘一名数学老师，现通过笔试、面试、答辩三项成绩来考核甲、乙、丙三名应聘者，各项满分均为100分，成绩如下表： 应聘者 笔试成绩(分) 面试成绩(分) 答辩成绩（分） 甲 85 90 92 乙 92 88 86 丙 88 91 89 学校综合岗位需求，规定笔试、面试、答辩权重之比为，按加权平均数分择优录取，那么被录用的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．不能确定 二、填空题 7．根据实际情况填写（填平均数、中位数、众数）． ①老板进货时关注卖出商品的_____． ②评委给选手综合得分时关注_____． ③被招聘的员工关注公司员工工资的_____． 8．已知一组数据3，a，4，6，7的方差是5，则这组数据的离差平方和是________． 9．为庆祝七一建党105周年，学校举办党史知识竞赛，某小组3名同学初赛得分分别为6、7、8，则这组成绩数据的离差平方和为__________． 10．某班学生期中数学成绩的箱线图如图所示，则该班学生期中数学成绩的最大值为120，最小值为60，第一四分位数为________，第二四分位数为90，第三四分位数为100． 11．为加强中学生安全意识，树立“安全第一，预防为主”的思想，某中学开展了校园安全知识竞赛，八年级甲、乙、丙三个班比赛成绩的平均数与方差如表所示．若要从中选择一个成绩较好且发挥稳定的班级代表年级去参加该知识竞赛，应该选择_________班． 甲 乙 丙 平均数 方差 12．甲、乙两地5月份每天最高气温的箱线图如图所示，则5月气温波动较大的是______．（填“甲地”或“乙地”） 三、解答题 13．为了加强校园文明精神建设和文化建设，进一步推进全民健身运动，提高广大学子的身体素质，某中学举办了盛大的秋季运动会．下表是八年级三个班级在拔河、百米接力、跳高项目的比赛成绩积分（不完整，单位：分）． 班级 拔河 百米接力 跳高 平均分 八（1）班 8 6 7 7 八（2）班 9 4 7 八（3）班 7 5 7 (1)________，__________． (2)若将拔河、百米接力、跳高三项得分依次按照的比例计算各班的总积分，问哪个班的总积分最高？ 14．某公司招聘职员，对甲、乙两名应聘者进行了笔试和面试，成绩(单位：分)如表： 应聘者成绩 应聘者 笔试 面试 甲 85 90 乙 92 83 (1)如果公司认为笔试和面试同等重要，谁将被录用？ (2)如果公司认为笔试成绩比面试成绩更重要，笔试和面试按的比例计算总成绩，谁将被录用？ 15．万众瞩目的《感动中国》已经成为中国观众的“必修课”之一，感人的故事历久弥新，感动的力量经久不息，正所谓“家事、国事、天下事，事事关心”，青少年不仅要读好书，更要关注时事热点，关心国家的现状和未来．某校为提高学生对时事热点的关注度，特举办了一场“中国式，我知道”的知识测试．随机抽取七、八年级各名学生的测试成绩（满分：分，单位：分，：；：；：；：）进行整理、描述和分析，得到如下信息： 七年级名学生测试成绩在的成绩为：，，，，， 八年级名学生测试成绩为： 七、八年级学生测试成绩统计表        统计量年级 平均数 众数 中位数 七年级 八年级 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：________，________； (2)补全频数分布直方图； (3)若小华本次测试成绩为分，且属于本年级的中上游成绩，请你判断小华可能所在的年级，并说明理由； (4)若该校七、八年级各名学生，估计这次测试成绩为满分的学生人数． 16．某校八年级甲、乙两班各随机抽取20名学生进行一分钟跳绳测试，根据他们的成绩绘制箱线图如下： 依据以上信息，回答下列问题： (1)甲班20位学生跳绳成绩的中位数是____________，甲班20位学生约有____________的学生跳绳成绩低于次／分（填写百分数）； (2)乙班20位学生跳绳成绩的第三四分位数是____________，乙班20位学生跳绳成绩的四分位距为_______________； (3)请结合箱线图，比较这两个班学生跳绳成绩的差异． 17．为落实课堂高效训练，八年级开展数学周测，甲、乙两名同学连续6次周测表现突出，老师记录了他们近次试卷卷面得分、课堂随堂答题积分情况． 信息 1：                                       信息 2：甲、乙随堂答题积分箱线图 甲同学卷面得分：，，，，，； 乙同学卷面得分：，，，，，. 信息 3：统计数据表 学生 卷面平均分 卷面众数 卷面中位数 平均随堂积分 随堂积分方差 甲 乙 根据以上信息，回答下列问题： (1)表格中的 __________，__________，__________（填“”“”或“”）； (2)综合表现按卷面平均分的 、平均随堂积分的 计算，综合分数越高表现越好，判断甲、乙谁综合表现更好？ (3)自选一个统计量分析，说明甲、乙两名同学谁更优秀． 18．为迎接校外参观活动，学校计划组建一支展厅讲解员队伍．老师将通过初试的16名同学按报名顺序分成两组，并统计了两组同学的身高数据． 【数据收集】： 甲组同学身高（单位：）：165，166，165，163，168，169，167，165 乙组同学身高（单位：）：166，172，164，168，164，160，164，170 【数据整理】： 组别 平均数 中位数 众数 方差 甲组 166 165 乙组 166 165 13 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：________，________，________，两组同学中身高更整齐的是________组（填“甲”或“乙”）； (2)展厅讲解岗位人员不足，老师又从后备同学中挑选2人补充进甲组，两人身高均为．请问补充人员后，甲组全体同学身高的平均数、方差与原来相比是否发生变化？若有变化，请说明变大还是变小． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $