重庆市万州中学开州中学等好教育联盟2026-2027学年高三上学期10月阶段检测数学试题

重庆市2027届高三（上）10月好教育考试 数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语、不等式、函数、一元函数的导数、三 角函数与解三角形 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1.已知集合A={(x,y)|y=2),B={(x,y)y=x},则A∩B= A.{2} B.{(2,2)} C.{2,0 D.{(2,0),(0,2)} 2.“四边形ABCD是等腰梯形”是“四边形ABCD的对角线相等”的 A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.若a=e.7,b=log70.7,c=sin0.7,则 A.b>a>c B.b>c>a C.ac>b D.a>b>c 4.曲线y=2e一1一x在点(1,1)处的切线方程为 A.y=x B.y=-x+2 C.y=2x-1 D.y=1 5.若正数m,n满足7m十4√7n=2mn,则mn的最小值为 A.7 B.14 C.28 D.56 6.已知sina与cosa是关于x的方程5x2-mx十2=0的两个实数根，则tan(a十年) A.±3 C3或-司 D-3或号 1 7.若函数f(x)= -x十ax,x≤2'在R上单调，则a的取值集合为 6+610g2x,x>2 A.{aa≥8} B.{a6≤a≤8y C.{al8≤a≤10} D.{8} 8.某采气井A到道路（视为直线）的垂直距离为20m,垂足为B,道路上距离B点210m处建 有标准化集气中转站C,现拟在道路段BC上选取阀室点位D(管道检修截断设施).已知跨 沟渠管沟(A→D直线段)单位造价是道路管沟(D→C直线段)单位造价的3倍.若要使管线 A-D-C的总造价最低，则D与B之间的距离应为 A.5√3m B.103 m C102 m D.5√2m 一、第1页·预祝考试顺利 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列命题是存在量词命题的是 A.3x∈R,x+1<x2 B.存在一个数的平方不大于0 C.菱形的对角线互相垂直平分 D.在20到30之间至少有2个质数 10.已知函数f(x)=sin(ax十p)(w>0,0<p<π)的部分图象如图所示，若△ABC的面积为3，则 Aw=晋 AO 2 B BP=若 C.f(x一4)为奇函数 D,将f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的2后，得到函数g(x)=sim(x+)的图象 11.设f(x)是定义在R上的可导函数，且f(x)>0.记F(x)=[f(x)]3.若对任意x∈R, F'(x)>6xF(x)恒成立，则 A.f'(x)2f(a) B.f(-1)>f(1) C.e2f(0)<f(2) D.当x∈（至，）时，em“f(sinx)>f(cosx) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12若函数e)-Pn则f l3.若函数f(x)=xe一a.x无极值，则a的取值范围为▲ 14.若u>0,则以曲线y=与曲线y=cos(ar一号)相邻四个交点为顶点的菱形的周长 为▲ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2 bsin C=ctan B (1)求角B: 5w3 (2)若c=5,sinC= 14,求a. 】第2页·预祝考试顺利 16.(15分)》 已知函数f(x)=2sinx-x. (1)求f(x)的单调递增区间； (2)证明：当x>0时，f'(x)>1一x2. 17.(15分) 已知函数fx)=log(x+)+1og(4x+)】 (1)求f(x)的定义域： (2)若a>0且a≠1，不等式fx)>lg,3对任意的x∈（号，十∞）恒成立，求a的取值范围. [… 一。一一考试顺利 18.(17分) 已知函数f(x)= 2sin xcos'x 1 9sin x+4cos'x 4x' 1)求f0)+f()的值. (2)证明：f)的图象关于直线x=受对称 (3)求f(x)在[0，x]上的零点个数. 19.(17分) 对于函数f(x),若存在a∈N",使得f(x)在(0，a]上有最小值，且最小值大于a,则称 f(x)为俏函数，其中a为f(x)的一个俏值. (1)若函数g(x)=一x2+3,证明：g(x)为俏函数，且g(x)的俏值唯一 (2)已知函数h(x)=xlnx十3，证明：h(x)恰有2个俏值. (3)若函数f(x)=一4-8一42-+6(2-2+22-)+8，求f(x)的最大值与俏值. ·预祝考试顺利BBCAC ADD ABDABD ACD 12.3 18.(-,- 14.8 由正弦定理得2 sin Bcos Bsin C=sin Csin B, 又sinB>0,sinC>0,所以2cosB=1,则cosB=2' 1 因为B∈0，x,所以B=子 b 5 (2)在△ABC中，由正弦定理 "sin B sin C,得 353' 214 解得b=7. 由余弦定理cosB=Q2+c2- =a2+25-49 2ac ,得2 10a 即a2-5a-24=0,(a-8)(a十3)=0，解得a=8或a=-3(舍去)，故a=8. 16.(1)解：由题意得f'(x)=2cosx-1. 1 令f(x)>0,得c0sx>2 解得一号+2k<r<受+2kx∈Z, 所以f(x)的单调递增区间为(-等+2次x,号+2)(k∈Z。 (2)证明：令g(x)=f'(x)-1+x2=2cosx-2+x2,则g'(x)=-2sinx+2x. 令h(x)=-2sinx+2x,则h'(x)=-2cosx+2=2(1-cosx)≥0， 所以h(x)在(0，十∞)上单调递增。 因为h(0)=0,所以当x>0时，h(x)>0, 则g'(x)>0,所以g(x)在(0，十∞)上单调递增.· 因为g(0)=2cos0一2=0，所以当x>0时，g(x)>0, 故当x>0时，f'(x)≥1-x2. 17.解：1)因为x+1>0,4+>0, 所以o, 因为x2+1>0,4x2+1>0,所以x>0, 所以f(x)的定义域为(0，十∞). (2fx)=log[(x+(x+】]=log(r2+是+5). 因为>号所以+≥22·=4 当且仅当产-即-时，等号成立。 2 所以f(x)m=log9=2. 依题意可得2>log3. 当0<a<1时，log3<0<2,则0<a<1满足题意. 当a>1时，log3<2=loga2, 则3<a2,又a>1,所以a>√3 综上，a的取值范围为(0,1)U(W3,十o∞). 2sin Ocos20 1 1 18.(1)解：因为f0)=9sin0+40s04x一4元 f() 2sinos号 1 9sin登+4eos号' 所以o+经)=在品 (2)证明：因为f(π一x)= 2sin(-r)cos'(z)1 2sin rcos'r 9sin(x-x)+4cos2(π-x)4元9sinx+4cos2x4元1 所以f(红一x)=f(x),故f(x)的图象关于直线x=对称。 (8)解：当x∈[0，受]时令smx=4.则1∈[0,1门g)=2402 4+9t-4t24π 则g')=4(21-1)13-42-4-2 (4+91-412)2 因为1∈[0,1]，所以t∈[0,1门，所以t3-4t-4t-2<1+0+0-2=-1<0 所以当0<1<2时，g'()>0,g()在(0,2)上单调递增， 当号<1<1时，g'()<0,g)在（分，）上单调递减。 因为o)=女0)-品0)= 1 40， 所以g)在[0，号]内有唯一零点，在[，1]内有唯一零点， 所以g)在[0.1门内有两个零点，即f(x)在[0，]内有两个零点x1x,且x1x∈ (0,) 由(2)得fx)的图象关于直线x=受对称，所以f(x)在[示]内有两个零点xx,且 xx∈（受： 故f(x)在[0，π]上的零点个数为4 19.(1)证明：易知g(x)=一x2+3在(0，十∞)上单调递减 所以g(x)在(0,1门上有最小值，且最小值为g(1)=2. 因为2>1，所以g(x)为俏函数. 当a∈N,且a≥2时，g(x)在(0，a]上的最小值均小于a,所以g(x)的俏值只能为1，故 g(x)的俏值唯一 (2)证明：h'(x)=1+lnx 当0<x<时，h'(x)<0,当x>时，h'(x)>0, e 所以a(x)在(0，)上单调递减，在（日，十∞）上单调递增， 所以h)=h(白)=3-∈2.3. 所以h(x)在(0,1]上的最小值大于1，在(0,2]上的最小值大于2，在(0，k](k≥3)上的最小 值都小于k, 故h(x)的俏值为1和2，即h(x)恰有2个俏值 1 (3)解：令1=22+2≥2，则4+4=(22+2)2-2=2-2， 则f(x)=2-t2+6t+8=-t2+6t+10=p(t),则p(1)=-(1-3)2+19(t≥2)， 所以当1=3时，p(t)取得最大值19，故f(x)的最大值为19. 由1=2+2=3，得2-35.则x=2+l0g 1 3±5 2 2 因为p)在[23》上单调递增，在[3.+o∞)止单调递减1(x)=2+2是在(-0,2)上单 调递减，在[2，十∞)上单调递增， 所以由复合函数的单测性可知了c在[2.2+63)上单测造培，在(2+e35。 十∞)上单调递减. 因为f(4-x)=-42-x-4-2+6(22-r+2-2)+8=f(x), 所以f(x)的图象关于直线x=2对称， 所以在(-2+6g3]上单调港增，在2+g35.2)上单调递或 因为f2)=18,f0)=f40=16-6+3∈17.18.f6)<0, 所以f(x)在(0,1]上无最小值，在(0,2]上无最小值，在(0,3]上无最小值，在(0,4幻上有最小 值，且最小值为f(4), f(x)在(0，a](a≥5)上有最小值，但最小值都小于a,故f(x)的俏值为4.