第二单元三角形的再认识提升训练（综合训练）-2026-2027学年五年级上册数学北师大版

第二单元三角形的再认识提升训练 一、填空题 1．一个三角形中最多有( )个钝角，最多有( )个直角，至少有( )个锐角。 2．下面能说明“三角形内角和是180°”的是( )。（填序号） 3．如图，从6根小棒中任意取3根小棒围成一个三角形，可以围成( )种不同的三角形。（单位：厘米） 4．一个等腰三角形的两条边长分别为5厘米和10厘米，若第三条边长也是整厘米数，这个三角形的周长是( )厘米。 5．工人叔叔把一把梯子斜靠在墙上、梯子与地面及墙面形成一个( )三角形。若梯子与地面夹角是，那么梯子与墙面的夹角是( )°。 6．小红用三根长度都是整厘米数的小棒围三角形，她选了11厘米和5厘米的两根小棒，那么她选的第三根小棒最长是( )厘米。 7．“纸花如雪满天飞，娇女秋千打四围。五色罗裙风摆动，好将蝴蝶斗春归。”清代诗人郑板桥在诗《怀潍县》中生动地描写了清明时节人们放风筝的情景。王叔叔做了一个等腰三角形的风筝，它的一条边长是35厘米，另一条边长是70厘米，这个三角形风筝的周长是( )厘米；如果这个风筝的一个底角是30°，则顶角是( )°。 8．用三根小棒（长度取整厘米数）围成一个三角形，第一根小棒长8厘米，第二根小棒长11厘米，第三根小棒最长为( )厘米。 9．一个等腰三角形的底边长16cm，腰长9cm，它的周长是( )cm。 10．若一个等腰三角形的底角是70°，则它的顶角是( )°；等边三角形的每个内角都是( )°。 11．如图，明明的一个三角形风筝破损了一角，原来这个风筝的形状按边分是一个( )三角形。损坏的角是( )°。 12．红领巾是少先队员的标志，它代表着红旗的一角。仔细观察，我们佩戴的红领巾，按角分类属于( )三角形，按边分类属于( )三角形。如果它的一个底角是30°，那么它的顶角是( )°。 二、选择题 13．一个三角形的两条边长分别为7厘米和5厘米，第三条边长可能是（    ）。 A．2厘米 B．10厘米 C．12厘米 D．15厘米 14．三角形的一个角是55°，另外的两个角可能是（    ）。 A．50°，85° B．40°，85° C．80°，65° D．50°，45° 15．一个三角形的最大角为92°，这是一个（    ）三角形。 A．锐角 B．直角 C．钝角 D．无法确定 16．乐乐不小心把一块三角形的玻璃板打碎了，变成了如图所示的三块。要想买一块完全一样的玻璃板回来，带（    ）号碎片去就可以了。 A．① B．② C．③ D．以上都可以 17．下列根据三角形或四边形内角和探索六边形内角和的方法正确的是（    ）。 A．甲、乙、丙 B．甲、乙 C．乙、丙 D．甲、丙 三、判断题 18．如果一个三角形有一个锐角是88°，那么这个三角形就一定是锐角三角形。( ) 19．只要三条线段中两条短边之和大于第三条边，这三条线段就能围成三角形。( ) 20．用，，这三条线段可以围成一个三角形。( ) 21．用四根一样的火柴棒可以围成一个三角形。( ) 22．三角形的边长越长，内角和越大。( ) 四、计算题 23．求出下面各三角形中未知角的度数。      五、解答题 24．学三角形的认识时，大家都买了袋装小棒做学具。洋洋在自己的学具中取出6根小棒，长度分别是4厘米、7厘米、9厘米、13厘米、17厘米和21厘米。从中选出3根摆成三角形，可以选哪三根？写出所有满足题意的结果。 25．奇奇制作了一个帆船的微缩模型，船帆由一块三角形棉布制成，其中最大角是96°，最大角的度数是最小角的3倍。请你求出船帆另外两个角的度数。 26．在三角形中，3个内角分别是∠1、∠2、∠3。已知∠1的度数是∠2的2倍，∠3的度数是∠2的3倍，则∠1、∠2、∠3的度数分别是多少？ 27．张大爷家有一块三角形的菜地，菜地的最大角的度数是108°，是最小角的3倍。请你求出这块菜地的另外两个角的度数。 28．莲花山公园即将举行放风筝比赛，爸爸准备给朵朵做一个等腰三角形的风筝参赛，他计划把一根长竹条截成长65厘米、65厘米和180厘米的三段。 (1)如果将爸爸计划截成的三段竹条首尾相接做风筝的框架，能做成吗？为什么？ (2)如果你用这根长竹条做成一个腰长80厘米的等腰三角形，三角形的底边长是多少厘米？ 29．一个等腰三角形的周长是54厘米。 (1)如果腰比底短3厘米，它的底是多少厘米？ (2)如果腰是底的2倍还长2厘米，它的底又是多少厘米呢？ 第4页（共5页） 第5页（共5页） 学科网（北京）股份有限公司 《第二单元三角形的再认识提升训练》参考答案 1． 1 1 2 【分析】大于90°小于180°的角是钝角；等于90°的角是直角；大于0°小于90°的角是锐角。三角形的内角和是180°。 【详解】假设一个三角形有2个钝角，因为钝角＞90°，2个钝角的和＞180°，这与三角形内角和180°相矛盾。所以三角形中最多有一个钝角。 同理，假设三角形有2个直角，则这两个直角和＝180°，不存在第三个角了。所以三角形中最多有一个直角。 假设至少只有一个锐角，则另外两个可能为钝角或直角，它们的和可能为180°或大于180°。所以至少有2个锐角。 2．①③ 【分析】平角的度数是180°，验证三角形内角和，就是想办法把三角形的三个内角拼在一起，看能不能拼成一个平角。图①是撕角拼接，图②是把三角形沿高剪开，图③是利用转化平移的方法，逐个判断这三幅图是否可以证明三角形内角和为180°。 【详解】①把三角形的三个内角撕下来，顶点靠在一起拼接，三个角刚好拼成一个平角，平角是180°，可以说明三角形内角和是180°。 ②把三角形沿着高剪开，分成两个小直角三角形，只是把一个大三角形拆成两个小三角形，没有把三个内角拼成平角，不能说明三角形内角和是180°。 ③通过平移，将三角形的三个内角转移到同一条直线上，三个角拼成一个平角，平角是180°，可以说明三角形内角和是180°。 所以能说明“三角形内角和是180°”的是①③。 3．13 【分析】三角形任意两条短边的长度和，大于最长边，按从小到大的顺序有序列举所有符合要求的组合，避免重复遗漏。 【详解】选2、3、4：2＋3＞4，符合要求 选2、3、5：2＋3＝5，不符合要求 选2、3、6：2＋3＜6，不符合要求 选2、3、7：2＋3＜7，不符合要求 选2、4、5：2＋4＞5，符合要求 选2、4、6：2＋4＝6，不符合要求 选2、4、7：2＋4＜7，不符合要求 选2、5、6：2＋5＞6，符合要求 选2、5、7：2＋5＝7，不符合要求 选2、6、7：2＋6＞7，符合要求 选3、4、5：3＋4＞5，符合要求 选3、4、6：3＋4＞6，符合要求 选3、4、7：3＋4＝7，不符合要求 选3、5、6：3＋5＞6，符合要求 选3、5、7：3＋5＞7，符合要求 选3、6、7：3＋6＞7，符合要求 选4、5、6：4＋5＞6，符合要求 选4、5、7：4＋5＞7，符合要求 选4、6、7：4＋6＞7，符合要求 选5、6、7：5＋6＞7，符合要求 最终一共能围成13种不同的三角形。 4． 25 【分析】等腰三角形的两条腰相等，还需要符合三角形三边的关系：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；据此计算得出答案。 【详解】已知等腰三角形的两边分别长5厘米和10厘米，可假设第三边长5厘米，则任意两边之和5＋5＝10，不符合三角形定义；则第三边的边长是10厘米，即10＋5＞10，10－5＜10；则第三边的长度为10厘米。周长为：10＋10＋5＝25（厘米） 5． 直角 15 【分析】墙和地面互相垂直，夹角是90°，所以梯子、地面、墙面围成直角三角形。利用直角三角形两个锐角相加等于90°，算出梯子与墙面夹角。 【详解】墙垂直地面，形成直角三角形。 已知一个锐角75°，另一个锐角：90°－75°＝15° 6．15 【分析】根据三角形的三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。据此解答即可。 【详解】11厘米－5厘米＜第三边＜11厘米＋5厘米 所以6厘米＜第三边＜16厘米 即第三边在6厘米至16厘米之间，不包括6厘米和16厘米， 即第三条边最短是6＋1＝7厘米，最长是16－1＝15厘米。 小红用三根长度都是整厘米数的小棒围三角形，她选了11厘米和5厘米的两根小棒，那么她选的第三根小棒最长是15厘米。 7． 175 120 【分析】求周长部分：等腰三角形有两条边长度相等，先根据三角形任意两边之和大于第三边的规则判断哪条边是腰；求顶角部分：等腰三角形的两个底角度数相等，三角形内角和是180°，已知底角是30°，顶角就是180°减去两个底角的度数，计算即可。 【详解】如果35厘米是腰长，那么两条腰的和是厘米，和第三条边70厘米相等，不符合三角形三边要求，围不成三角形；所以只能70厘米是腰长，三条边长度分别是35厘米、70厘米、70厘米，周长是： （厘米） 顶角是： 8．18 【分析】先根据已知的两条边边长，求出两边之和；再根据三角形三边关系（三角形任意两边之和大于第三边），第三边要小于两边的和，长度取整厘米数，由此求出第三根小棒的最大值。 【详解】8＋11＝19（厘米） 因为第三边必须小于19厘米，又因为小棒长度是整厘米数，所以第三根小棒最长为： 19－1＝18（厘米） 9．34 【分析】等腰三角形的两条腰的长度相等，所以其周长等于腰的长度乘2再加上底边长，据此解答。 【详解】9×2＋16 ＝18＋16 ＝34（cm） 它的周长是34cm。 10． 40 60 【分析】三角形内角和是180°，等腰三角形两个底角相等，用内角和减去两个底角的度数得到顶角；等边三角形三个内角相等，用内角和除以3得到每个内角的度数。 【详解】180°－70°－70°＝40° 180°÷3＝60° 11． 等腰 40 【分析】先利用三角形内角和是求出破损角的度数，再观察三个角的大小，若有两个角度数相等，按边分类，则这个三角形是等腰三角形。 【详解】 因为有两个角都是，在三角形中，相等的角对应的两条边长度相等，所以按边分是等腰三角形。损坏的角是40°。 12． 钝角 等腰 120 【分析】观察红领巾可知，红领巾是一个三角形，且其中一个角大于90°，所以它是一个钝角三角形；红领巾的三条边中，有两条边长度相等，所以它是一个等腰三角形。 已知红领巾的一个底角是30°，根据等腰三角形的特征可知，它的另一个底角也是30°，用三角形的内角和180°减去两个底角的度数，求出顶角的度数。 【详解】仔细观察，我们佩戴的红领巾，按角分类属于钝角三角形，按边分类属于等腰三角形。 如果它的一个底角是30°，那么它的顶角是：180°－30°－30°＝120°。 13．B 【分析】根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，先求出第三边的长度范围，再匹配选项判断。 【详解】7＋5＝12（厘米） 7－5＝2（厘米） 所以，第三边长度需大于2厘米，且小于12厘米。 A．2厘米：第三边等于两边之差。2＝2，不能围成三角形，排除。 B．10厘米：2＜10＜12，满足范围，可以围成三角形。 C．12厘米：第三边等于两边之和。12＝12，不能围成三角形，排除。 D．15厘米：15＞12，大于两边之和，不能围成三角形，排除。 14．B 【分析】三角形三个内角的和为180°，所以根据已知角计算剩下两个角的度数总和；依次将每个选项的两个角度数相加，与所求的两个角的度数和比较，选出正确选项。 【详解】 A．，不等于，不符合要求； B．，等于，符合要求； C．，不等于，不符合要求； D．，不等于，不符合要求。 15．C 【分析】三角形按角分类：可分为锐角三角形（3个角都小于90°）、直角三角形（1个角是90°）、钝角三角形（1个角大于90°小于180°）三类；因为该三角形的最大角为92°，大于90°，所以这是一个钝角三角形。 【详解】92°＞90°，这个最大角是钝角，因此这是一个钝角三角形，对比所给的选项，C是正确选项。 16．A 【分析】三角形三个内角和是180°，已知三角形的一条边及与这条边相关的两个角，就可以确定另一个顶点，也就可以确定这个三角形的形状；据此解答。 【详解】碎块①保留了原三角形的一条边和这条边上的两个角，能确定三角形的形状；碎块②仅保留了原三角形的部分边，不能确定三角形的形状；碎块③保留了原三角形的一个角和部分边，只能确定三角形玻璃的一个角，不能确定三角形的形状。 综上可知：带①号碎片去就可以了。 17．A 【分析】六边形内角和的推导核心是将六边形分割为已知内角和的三角形或四边形，利用已有内角和计算，且分割产生的非六边形内角的角度要扣除。 甲：从六边形的一个顶点出发，把六边形分成了4个三角形，六边形内角和就是4个三角形内角和相加，用三角形内角和乘4计算出结果即可判断是否正确。 乙：把六边形分成了2个完全一样的四边形，六边形内角和就是2个四边形内角和相加，用四边形内角和乘2计算出结果即可判断是否正确。 丙：从六边形的一个边上的点出发，把六边形分成了2个三角形和1个四边形，六边形内角和就是2个三角形内角和与1个四边形内角和相加，计算出结果后即可判断是否正确。 【详解】甲．，推导方法正确。 乙．，推导方法正确。 丙．，推导方法正确。 所以甲、乙、丙的方法都正确，选A。 18．× 【分析】仅知道一个锐角是88°，不能确定另外两个角是否都小于90°，有可能存在直角或钝角，因此无法判定这个三角形一定是锐角三角形。 【详解】三角形内角和是，剩余两个角的和为：180°－88°＝92° 剩余两个角中可以有大于等于的角，比如其中一个角是，另一个角是，此时该三角形是直角三角形，不是锐角三角形。 故答案为：× 19．√ 【分析】三条线段中，较短两条边的和大于最长边时，剩余的两边和组合必然都大于第三边，符合三角形三边的构成要求。 【详解】将三条线段按长度从小到大排序为，若两条短边之和，则、均成立，满足三角形任意两边之和大于第三边的条件，可以围成三角形。 故答案为√。 20．√ 【分析】判断三条线段能否围成三角形，只需根据“三角形任意两边之和大于第三边”验证较短两条线段的长度和大于最长线段的长度即可。 【详解】较短两条线段的和：（cm） 最长线段长8cm，。 其余两组4＋8＝12（cm），12＞6； 6＋8＝14（cm），14＞4。 均满足三边关系，可以围成一个三角形。原题说法正确。 故答案为：√ 21．× 【分析】三角形任意两边之和需大于第三边，四根长度相同的火柴棒拆分后无法满足该条件。 【详解】假设每根火柴棒长度为1，那么三角形的边长度分别是1、1、2。由于，不满足三角形任意两边之和大于第三边的要求，无法围成三角形。原题说法错误。 故答案为：× 22．× 【分析】三角形内角和是固定的，和边长长度没有关系。 【详解】根据分析可知：任意三角形的内角和都是，不会随边长的增长发生变化，原题说法错误。 故答案为：× 23．180°－45°－101°＝34°；180°－62°－90°＝28° 【分析】三角形的内角和是180°，直角的度数是90°。 【详解】180°－45°－101°＝34°； 180°－62°－90°＝28° 24．①4厘米、7厘米、9厘米；②7厘米、9厘米、13厘米； ③7厘米、13厘米、17厘米；④7厘米、17厘米、21厘米； ⑤9厘米、13厘米、17厘米；⑥9厘米、13厘米、21厘米； ⑦9厘米、17厘米、21厘米；⑧13厘米、17厘米、21厘米。 【分析】先将小棒按长度从小到大排序，利用三角形“较短两边之和大于最长边”的性质，按最长边的长度分类有序列举，逐一判断组合是否符合要求，避免重复和遗漏。 【详解】将根小棒的长度按从小到大排列：、、、、、（单位：厘米）； 最长边为厘米时，剩余两根长度和需大于：，，，；符合的组合：厘米、厘米、厘米；厘米、厘米、厘米；厘米、厘米、厘米和厘米、厘米、厘米。 最长边为厘米时，剩余两根长度和需大于：，；符合的组合：厘米、厘米、厘米和厘米、厘米、厘米。 最长边为厘米时，剩余两根长度和需大于：；符合的组合：厘米、厘米、厘米。 最长边为厘米时，剩余两根长度和需大于：；符合的组合：厘米、厘米、厘米。 最长边小于等于厘米时，无法选出两根更短的小棒满足要求，无符合组合。 25．32°；52° 【分析】先用最大角的度数除以3，求出最小角的度数；再根据三角形内角和为180°，减去已知的两个角的度数，求出第三个角的度数。 【详解】96°÷3＝32° 180°－96°－32°＝52° 答：船帆另外两个角分别是32°和52°。 26．∠1是60°；∠2是30°；∠3是90° 【分析】三角形的内角和是180°。可以把∠2的度数看作1份，那么∠1就是2份，∠3就是3份，三个角的总份数为1＋2＋3＝6（份），这6份对应的总度数是180°。先求出1份的度数（也就是∠2的度数），再根据倍数关系分别求出∠1和∠3的度数。 【详解】∠2：180°÷（1＋2＋3） =180°÷6 ＝30°   ∠1：30°×2＝60°   ∠3：30°×3＝90° 答：∠1的度数是60°，∠2的度数是30°，∠3的度数是90°。 27．两个角的度数都是36° 【分析】先根据最大角与最小角的倍数关系用最大角除以3求出最小角的度数，再利用三角形内角和为，减去最大角和最小角的度数，得到另一个角的度数。 【详解】108°÷3＝36° 180°－108°－36°＝36° 答：这块菜地的另外两个角的度数都是36°。 28．(1)不能做成。因为三角形任意两边之和大于第三边，65＋65＝130（厘米），130＜180，较短两边的和小于第三边，不符合三角形三边关系，所以无法做成风筝框架。 (2)150厘米 【分析】（1）利用三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，来判断能不能围成三角形。 （2）先求出竹条总长度，等腰三角形两条腰相等，总长减去两条腰就是底边长，再检查三边关系。 【详解】（1）65＋65＝130（厘米） 130＜180 答：两边之和小于第三边，不能做成。 （2）总长：65＋65＋180＝310（厘米） 两条腰：80＋80＝160（厘米） 底边：310－160＝150（厘米） 80＋80＞150，符合条件。 答：底边长150厘米。 29．(1)20厘米 (2)10厘米 【分析】（1）等腰三角形周长＝腰长×2＋底边长，当三条边长相等时，腰长为，腰比底短3厘米，用此时的腰长加上3即它的底边长度。 （2）因为腰长底，且腰底，代入求出底即可。 【详解】（1） （厘米） 答：如果腰比底短3厘米，它的底是20厘米。 （2） （厘米） 答：如果腰是底的2倍还长2厘米，它的底又是厘米。 答案第8页（共10页） 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