专项提升训练：探索内角和的奥秘（专项练习）-2026-2027学年数学五年级上册（北师大版）

**基本信息** 以转化思想为核心，构建“三角形内角和→多边形内角和”的递进式知识体系，通过验证方法、公式推导、易错指引形成完整解题方法链。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |核心基础|3种验证法+3类公式|测量/撕拼/折叠验证，特殊三角形简便计算|从具体验证到抽象公式，夯实180°结论| |拓展延伸|1思想+1公式+4特例|多边形分割转化为三角形，(n-2)×180°通用公式|由三角形内角和推导多边形内角和，体现转化思维| |高频考点|2类基础题型+2类推理题型|正向计算角度/边数，反向判断图形类型，易错点对比辨析|覆盖计算、推理全场景，典例直击核心考法与易错点|

专项提升训练：探索内角和的奥秘 知识精讲 一、核心基础：三角形内角和 1. 终极结论 任意三角形的内角和都是180°，和三角形的大小、形状、种类（锐角、直角、钝角三角形）无关，不会随着三角形变大、变小发生改变。 2. 三种验证方法（考试常考） 测量计算法：用量角器分别测量三角形三个内角的度数，将三个度数相加，结果接近180°。注意：测量存在轻微误差，所以结果不一定完全等于180°，属于正常现象。 撕拼法（最直观）：把三角形的三个内角撕下来，将顶点对齐、边靠紧拼接，三个角刚好可以拼成一个平角，平角是180°，由此证明三角形内角和是180°。 折叠法：将三角形的三个内角向内折叠，使三个角的顶点汇聚于同一点，三个角恰好拼成一个平角，验证内角和为180°。 3. 基础计算公式 三角形未知内角 = 180° − 已知两个内角的度数和 特殊三角形简便计算： 直角三角形：剩余两个锐角和 = 90°（直接用90°减已知锐角，计算更快捷） 等腰三角形：两个底角度数相等，已知顶角可求底角，已知底角可求顶角 等边三角形：三个内角相等，每个角都是60° 二、拓展延伸：多边形内角和 1. 核心数学思想 转化思想：把陌生的多边形，通过分割法转化为熟悉的三角形，利用三角形内角和推导多边形内角和。 2. 多边形分割规则 从n边形的一个顶点出发，向不相邻的顶点画线段，可以把n边形分成 (n−2)个三角形（n为边数，n≥3）。 3. 通用计算公式 n边形内角和 = (n−2)×180° 4. 常见多边形内角和（必背） 三角形（3边）：(3−2)×180° = 180° 四边形（4边：长方形、正方形、平行四边形、梯形）：(4−2)×180° = 360° 五边形（5边）：(5−2)×180° = 540° 六边形（6边）：(6−2)×180° = 720° 三、高频考点与应用题型 1. 基础计算题型 已知三角形两个角，求第三个角的度数 已知多边形边数，求多边形内角和 已知多边形内角和，反向求边数（边数n = 内角和÷180° + 2） 2. 判断推理题型 根据内角度数，判断三角形是锐角、直角还是钝角三角形 判断一组度数能否组成三角形（三个角相加必须等于180°） 易错指引 ❌ 错误：大三角形内角和大于小三角形内角和。✅ 正确：所有三角形内角和都是180°，和大小无关。 ❌ 错误：四边形分割成2个三角形，内角和算成180°×2=360°以外的数值。✅ 正确：任意四边形内角和固定为360°。 ❌ 计算多边形内角和时，错用n×180°计算。✅ 正确：必须用 (n−2)×180°，减去顶点处多余的周角度数。 ❌ 直角三角形计算时，误用180°依次减两个角。✅ 正确：直角三角形两个锐角互余，直接用90°减已知锐角更简便。 ❌ 忽略测量误差，认为测量结果不是180°就是结论错误。✅ 正确：实际测量有误差，理论内角和固定为180°。 五、经典例题示范 例1：一个三角形，两个内角分别是35°、65°，求第三个角？ 解：180° − (35°+65°) = 80°，三个角都是锐角，是锐角三角形。 例2：求正五边形的内角和及每个内角的度数？ 解：内角和=(5−2)×180°=540°，正五边形5个角相等，每个角=540°÷5=108°。 例3：一个多边形内角和是900°，它是几边形？ 解：900°÷180°+2=5+2=7，是七边形。 六、核心素养总结 本节课重点掌握转化思想，学会将未知的多边形问题转化为已知的三角形问题解决，熟练掌握内角和公式，能灵活正向计算角度、反向推导边数，是后续学习几何图形的基础。 真题拔高 一、填空题 1．等腰三角形ABC的一个底角是70°，顶角是（    ）°。根据三角形的内角和，推算出五边形的内角和，在下图中画出你的想法，算式是（    ）。 2．如下图，已知在△ABC中，∠C＝70°，若沿虚线剪去∠C，则∠1＋∠2＝_______°。 3．如下图，沿正六边形的其中一条对角线剪开后，得到两个梯形，每个梯形的内角和是( )°，正六边形的内角和是( )°。 小贴士：对角线是连接多边形任意两个不相邻顶点的线段。 4．如下图，三角形中∠1＋∠2＝( )°，如果沿虚线剪去40°的角，剩下图形的内角和是( )°。 5．探究四边形的内角和时，我们可以把它分成2个三角形（如图1）。用同样的方法分割六边形（如图2），可以把它分成( )个三角形，由此可以计算出六边形的内角和是( )。 6．长方形、正方形、平行四边形、梯形的内角和都是( )度，七边形的内角和是( )度。 7．任意五边形的内角和是( )°。 8．聪聪探究梯形内角和的度数。将任意梯形撕成四部分，把四个角拼在一起（如下图），正好拼成了一个( )角，所以梯形的内角和是( )°。 二、选择题 9．一个四边形有三个内角都是90°，这个四边形可能是（    ）。 A．正方形 B．三角形 C．直角梯形 D．圆形 10．任意五边形的内角和是（    ）。 A．无法确定 B．360° C．540° D．720° 11．下面四个说法中，正确的有（    ）个。 ①2.3和2.30的大小相等，计数单位也相同。 ②等边三角形的三个角都为60°。          ③长度分别为3厘米、4厘米和6.9厘米的三根小棒，能围成三角形。         ④四边形的内角和为360°。 A．1 B．2 C．3 D．4 12．如图，在直角三角形ABC中，D是AC边上的一点，DE垂直于AB，连接CE。有下面说法：①有2个直角三角形；②线段CB既是三角形CBE底边EB上的高，又是三角形ACE底边AE上的高；③三角形CBE的内角和小于三角形ABC的内角和；④AC＜AE＋EC。其中，正确的有（    ）个。 A．4 B．1 C．2 D．3 13．下面说法正确的有（    ）个。 ①大于0.24且小于0.28的两位小数有3个。    ②平行四边形是轴对称图形。 ③七边形内角和是900°。        ④因为25×0＝0，所以25÷0＝0。 A．1 B．2 C．3 D．4 三、判断题 14．把一个三角形中的角剪下，剩下图形的内角和是。( ) 15．正五边形有5条对称轴，它的内角和是540度。( )。 16．任意四边形的内角和是任意三角形内角和的2倍。( ) 17．用一个10倍的放大镜看一个四边形，它的内角和为3600°。( ) 18．三角形的内角和是180°，四边形的内角和是240°。( ) 四、计算题 19．求出下面图形的内角和，并写出你的解题思路。 五、解答题 20．一个零件如下图，当∠1＝40°，∠2＝25°，∠3＝90°时才符合要求，工人师傅在检验时，只量了∠4＝140°，就判断出这个零件不符合要求，你知道为什么吗？ 21．莉莉在活动中制作了一张书签（如下图）。莉莉想到自己在数学课上学习了“三角形的内角和是180°”，那么这张书签的内角和是多少度呢？你能想办法帮莉莉探究出这张书签的内角和吗？请写出你的想法和探究过程。 22．请你用适当的方法来验证八边形的内角和是1080°。（先在下图中分一分，再列式计算验证） 23．根据三角形的内角和是180°，你能求出下面的四边形和正六边形的内角和吗？ 24．根据三角形的内角和是180°，你能推算出平行四边形的内角和是多少度吗？先画图，然后算一算。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．；； 【分析】等腰三角形两个底角度数相等，三角形内角和，用减去两个底角得到顶角； 五边形从一个顶点出发连接不相邻顶点，可分成个三角形，五边形内角和＝三角形个数×。 【详解】 任选五边形一个顶点，向不相邻的两个顶点连线，分成个三角形，如图： 2．250 【分析】三角形内角和是180°，四边形内角和是360°。用三角形内角和减去70°求出∠A＋∠B的度数；用四边形内角和减去∠A＋∠B的度数即可求出∠1＋∠2的度数。 【详解】∠A＋∠B＝180°－70°＝110° ∠1＋∠2＝360°－110°＝250°。 已知在△ABC中，∠C＝70°，若沿虚线剪去∠C，则∠1＋∠2＝250°。 3． 360 720 【分析】正六边形的对称轴如图所示：；三角形的内角和是180°，梯形可以分成两个三角形，所以梯形内角和是180°×2；正六边形可以分成4个三角形，所以正六边形内角和＝180°×4，据此解题。 【详解】180°×2＝360° 180°×4＝720° 每个梯形的内角和是360°，正六边形的内角和是720°。 4． 140 360 【分析】三角形内角和是180°，已知一个角为40°，可求出其余两个角的和。 沿虚线剪去40°的角后，剩下的图形是四边形，四边形的内角和是360°。 【详解】（1）180°－40°＝140° （2）剩下的图形为四边形，四边形内角和是360° 5． 4 720 【分析】从六边形的一个顶点向相对的顶点连线，可以将六边形分成4个三角形，如图，六边形的内角和就是计算4个三角形的内角和，三角形内角和为180°，据此解答。 【详解】根据分析可知：计算六边形的内角和时，可以把它分成4个三角形，由此可以计算出六边形的内角和是 4×180°＝720° 6． 360 900 【分析】长方形、正方形、平行四边形、梯形都是四边形，根据三角形的内角和是180°，推测四边形和七边形的内角和，只需看四边形和七边形的内角分别由几个三角形组成，然后用180°去乘三角形的个数即可求出它们的内角和。 【详解】    如图，四边形可以分成2个三角形，七边形可以分成5个三角形。 180°×2＝360° 180°×5＝900° 7．540 【分析】多边形内角和定理n边形的内角的和等于：（n－2）×180°（n大于等于3）。 【详解】（5－2）×180° ＝3×180° ＝540° 8． 周 360 【分析】四个内角拼接后刚好组成一个周角，所以梯形内角和等于周角的度数。 【详解】从拼组结果可以看到，梯形的四个内角拼在一起后，刚好围绕中心点围成一个完整的周角。我们已经知道周角的度数是，因此可以得出梯形的内角和就是。 9．A 【分析】先根据四边形内角和算出第四个角的度数，再依据各选项进行排除和判断即可。 【详解】四边形内角和是，第四个内角的度数为：（度）可知这个四边形四个内角都是，所以这个四边形只能是长方形或者正方形；直接排除选项B、C、D，选择A。 10．C 【分析】计算多边形内角和可以将其分割为若干个三角形，三角形内角和为180°，边形可以分割出（n－2）个三角形，内角和就是（n－2）乘180°。 【详解】五边形可分割出的三角形个数：5－2＝3五边形内角和：3×180°＝540° 11．C 【分析】小数的末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变；2.3的计数单位是0.1，2.30的计数单位是0.01，据此判断即可； 等边三角形的三条边相等，三个内角也相等。根据三角形内角和是180°，可得出每个角的度数。 三角形的三边关系：围成三角形的三根小棒，必须满足“任意两边之和大于第三边”。据此分析计算即可解题； 如图，任意四边形都可以分成2个三角形，三角形的内角和是180°，所以用180°×2即可得到四边形的内角和。 【详解】①2.3＝2.30，即2.3与2.30的大小相等，但2.3的计数单位是0.1，2.30的计数单位是0.01，计数单位不相同，此选项错误； ②等边三角形的三个角相等，三角形内角和是，每个角为，此选项正确； ③三角形任意两边之和大于第三边，，，能围成三角形，此选项正确； ④四边形可以分成两个三角形，内角和为，此选项正确。 正确的说法有②、③、④，共3个。 12．C 【分析】根据三角形、三角形的高、三角形的内角和、直角三角形的意义，逐项分析解题即可。 【详解】①：图中的直角三角形有、、，共3个，不是2个，所以①错误。 ②：根据三角形高的定义，，、都在直线上，对，是底边上的高；对，是底边上的高，所以②正确。 ③：任意三角形的内角和都是，两个三角形内角和相等，所以③错误。 ④：根据三角形三边关系“两边之和大于第三边”，在中，，所以④正确。 因此，正确的有2个。 13．B 【分析】本题主要考查小数的意义、轴对称图形的定义、多边形内角和求法以及0在除法运算中的特性。对题干中的四个说法逐一进行验证，统计正确说法的个数，从而确定选项。 【详解】①大于0.24且小于0.28的两位小数，其十分位上是2，百分位上要大于4而小于8可以是5、6、7，即0.25、0.26、0.27一共有3个，此选项正确； ②轴对称图形是指对折后折痕两边能完全重合的图形，平行四边形对折后不能完全重合，不是轴对称图形，此选项错误； ③根据多边形内角和＝180°×（边数－2），计算七边形内角和是 180°×5＝900°，此选项正确； ④在除法运算中，0不能作除数，25÷0没有意义，不能得出商是0，此选项错误。 综上所述，说法正确的有①和③，共 2个。 14．× 【分析】把三角形的一个的角剪下，剩下的图形可能是三角形或四边形，内角和不可能是。 【详解】剪下三角形的一个角后，剩下的图形要么是三角形，内角和为，要么是四边形，内角和为，都不等于。 故答案为：× 15．√ 【分析】正多边形的对称轴条数与边数相等；计算多边形内角和时，通常将多边形分割成若干个三角形，利用三角形内角和是180°进行推导。 【详解】正五边形是轴对称图形，它的对称轴条数等于边数，所以有5条对称轴； 从五边形的一个顶点出发，连接不相邻的顶点，可以将五边形分成3个三角形； 因为三角形的内角和是180°，所以五边形的内角和是180°×3＝540° 故答案为：√ 16．√ 【分析】任意三角形的内角和恒为180°，任意四边形的内角和恒为360°。360°是180°的2倍，因此该命题成立。 【详解】任意三角形的内角和为180°，任意四边形的内角和为360°。 ，所以任意四边形的内角和是任意三角形内角和的2倍。 故答案为：√ 17．× 【分析】放大镜只改变物体的视觉大小，不改变其角度大小。四边形的内角和恒为360°，与是否放大无关。因此，即使用放大镜观察，内角和也不会变为3600°。 【详解】用一个10倍的放大镜看四边形，只是将图形放大到原来的10倍，但每个角的大小不变，因此四个内角的和仍然是360°，而不是3600°。 故答案为：× 18．× 【分析】根据题意，三角形的内角和是180°，正确。四边形可以分成两个三角形，每个三角形的内角和为180°，因此四边形的内角和是2×180°＝360°。以此判断即可。 【详解】根据分析可知： 2×180°＝360° 三角形的内角和是180°，正确。四边形的内角和是360°。原题说法错误。 故答案为：× 19．四边形可以分成两个三角形，因为三角形的内角和是180°，所以四边形的内角和等于三角形内角和乘2；五边形可以分成三个三角形，所以五边形的内角和等于三角形内角和乘3。 360°；540° 【分析】三角形的内角和是180°，可以通过分割法，将四边形、五边形转化为多个三角形，从而求出它们的内角和。 【详解】如图，四边形可以分成两个三角形，因为三角形的内角和是180°，所以四边形的内角和等于三角形内角和乘2；五边形可以分成三个三角形，所以五边形的内角和等于三角形内角和乘3。 四边形的内角和：180°×2＝360° 五边形的内角和：180°×3＝540° 20．零件不合格。因为用360°减去与∠4相邻的角不等于140°。 【分析】四边形的内角和是360°，∠4与它相邻的内角的和是360°；用四边形的内角和减去∠1，∠2，∠3的度数算出与∠4相邻的内角；用360°减去与∠4相邻的角算出∠4的度数，如果等于140°，零件合格，如果不等于140°，零件不合格。 【详解】360°－∠1－∠2－∠3 ＝360°－40°－25°－90° ＝205° 360°－205°＝155° 155°≠140° 答：零件不合格。因为用360°减去与∠4相邻的角不等于140°。 21．360度 沿着四边形的一条对角线，将四边形分割成2个三角形，四边形的内角和就是这两个三角形的内角和相加。如图所示：一个三角形内角和是180度，这个四边形的四个内角之和就是这两个三角形的所有内角之和，所以四边形的内角和为360度。 【分析】沿着四边形的一条对角线，将四边形分割成2个三角形，四边形的内角和就是这两个三角形的内角和相加。 【详解】180×2＝360（度） 答：这张书签的内角和是360度。过程略 22． 把一个八边形分成了6个三角形。 八边形的内角和是180°×6＝1080°。 【分析】先将八边形分割成几个三角形，一个三角形的内角和是180°，可以被分割成几个三角形，则八边形的内角和就等于几个180°，依此解答。 【详解】略 23．360°；720° 【分析】三角形的内角和＝180°。四边形可以分割成2个三角形，所以四边形的内角和是2个三角形内角和相加。六边形可以分割成4个三角形，所以六边形的内角和是4个三角形内角和相加。 【详解】 180°×2＝360° 180°×4＝720° 答：四边形的内角和是360°，正六边形的内角和720°。 24．图见详解； 360° 【分析】本题利用三角形内角和的性质，可以将平行四边形分割成两个三角形来推算平行四边形的内角和。 【详解】如图： 连接平行四边形的一条对角线，将平行四边形分割成两个三角形，因为一个三角形的内角和是180°，那么平行四边形的内角和为：180°＋180°＝360°。 答：平行四边形的内角和是360°。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $