3.4 一元一次不等式的应用讲义（知识梳理+题型精析+同步练习）2026-2027学年浙教版数学八年级上册

3.4 一元一次不等式的应用讲义（知识梳理+题型精析+同步练习）2026-2027八年级上学期答案解析 【题型1】列不等式表示不等关系 【例题1】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）用不等式表示下列各式： (1)0大于； (2)a的5倍超过1； (3)x减去y小于； (4)a的2倍与1的和是正数； (5)m与n的差不大于0； (6)x的6倍加上4是非负数． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【分析】本题主要考查了列不等式，读懂题意正确列式是解题的关键． （1）直接列不等式即可； （2）根据超过就是大于列不等式即可； （3）直接列不等式即可； （4）根据正数大于零列不等式即可； （5）直接列不等式即可； （6）根据非负数为大于等于零的数列不等式即可． 【详解】（1）解：0大于表示：． （2）解：a的5倍超过1表示：． （3）解：x减去y小于表示：． （4）解：a的2倍与1的和是正数表示：． （5）解：m与n的差不大于0表示：． （6）解：x的6倍加上4是非负数表示． 【变式1】（25-26八年级上·浙江温州·期中）根据数量关系“的一半与1的差不大于”，可列不等式_______________． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，解题的关键是根据关键词得到相应的运算顺序．关系式为：的一半减去不大于，据此列不等式． 【详解】解：根据题意，“的一半与的差”表示为， “不大于”即， ∴可列不等式． 故答案为：． 【变式2】（26-27八年级上·浙江宁波·阶段检测）“a的5倍与b的差是负数”用不等式表示为______． 【答案】 【分析】的5倍表示为，与的差为，负数小于，据此列出不等式． 【详解】解：根据题意，列得不等式为. 【变式3】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）“的7倍减去3是正数”用不等式可表示为___________． 【答案】 【分析】本题考查列不等式，找到不等关系是解题的关键． 根据题意，可得代数式，再根据是正数，则可列不等式． 【详解】解：“的7倍减去3是正数”，用不等式表示为． 故答案为：． 【变式4】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）x的相反数不大于4，用不等式表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了列不等式．先得到x的相反数的表达式，再根据“不大于”的含义转化为对应不等号，进而列出不等式． 【详解】解：∵x的相反数是， “不大于”对应不等号， ∴可列不等式为． 故选：A 【题型2】根据实际背景列不等式 【例题1】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）育才中学组织初二年级研学，现有36座和42座两种客车供选择租用，若只租用36座客车若干辆，则正好坐满：若只租用42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人．现在设租36座的车x辆，则x满足的不等关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的应用． 根据总人数不变，结合42座客车的乘坐情况（少租一辆，有一辆没坐满但超过30人），列出关于x的不等关系，对应选项判断即可． 【详解】解：设租36座的车x辆， 由题意得， 故选：D． 【变式1】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在某路段上有如图所示的标志，表示车辆速度不超过40千米/时，则限速标志允许的车速（千米/时）的范围表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的实际意义． 根据速度不超过40千米/时即为速度小于等于40千米/时及速度应为正数作答即可． 【详解】解：∵速度不超过40千米/时， ∴速度小于等于40千米/时， ∵速度应为正数， ∴速度大于0千米/时， 用不等式表示为． 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）杭州入选“2025年全国文明城市”，为深化学生对文明城市的认知，某校举办了文明知识竞答活动，一共10道题，每一题答对得10分，答错或不答扣2分．设答对了道题，若得分不低于72分，可列出关于的不等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，关键是准确表示总得分并理解“不低于”的含义(即大于等于)．首先根据答对题数得出答错或不答的题数，再推导总得分的表达式，最后根据“得分不低于分”的条件列出不等式． 【详解】解：∵答对了道题，总题数为道， ∴答错或不答的题数为道； 根据题意，可列出不等式． 故选：D． 【变式3】（25-26八年级上·浙江温州·期中）低碳生活已是如今社会的一种潮流形式，“低碳环保，绿色出行”成为大家的生活理念，因此新能源汽车逐渐成为人们选择的交通工具．某汽车销售公司计划2025年购进两种型号新能源汽车共10辆，总价不超过180万元．据了解，型进价每辆15万元，型进价每辆20万元，问至少购买种型号新能源汽车多少辆？设型辆，下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】该题考查了一元一次不等式的应用，根据题意，设型车购买辆，则型车购买辆，总价不超过180万元，列出不等式即可判断正确选项． 【详解】解：∵型车每辆15万元，型车每辆20万元，共购10辆， 设型车辆，则型车为辆． ∴总价为万元． ∵总价不超过180万元， ∴． 选项A为，与上述不等式等价， 故选：A． 【变式4】（25-26八年级上·浙江温州·期中）某次数学竞赛共有20道题，规定每答对一题得10分，答错或不答均扣5分．若得分不低于150分的均可获奖，问至少要答对多少道题才能获奖？设答对道题，则有（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，列一元一次不等式，找出题目的不等关系是解题的关键．根据题意，获奖条件是得分不低于150分，即总得分 ，总得分由答对得分减去扣分计算，据此列不等式即可． 【详解】设答对x道题，则答错或不答题数为道。 总得分 ， ∵ 得分不低于150分， 故选：A． 【题型3】用一元一次不等式解决分配问题 【例题1】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）在购物节来临之际，某商场计划采购甲、乙两种厨房小家电，已知购进6件甲种家电的费用与购进5件乙种家电的费用相同，购进1件甲种家电比购进1件乙种家电便宜100元． (1)求这两种家电每件的进价分别是多少元． (2)若该商场欲购进两种家电共100件，总金额不超过54000元，则该商场至少购进甲种家电多少件？ 【答案】(1)甲种家电每件的进价是500元，乙种家电每件的进价是600元 (2)60件 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）设甲种家电每件的进价是元，乙种家电每件的进价是元，根据购进6件甲种家电的费用与购进5件乙种家电的费用相同，购进1件甲种家电比购进1件乙种家电便宜100元．列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设该商场购进甲种家电件，则购进乙种家电件，根据总金额不超过54000元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设甲种家电每件的进价是x元，乙种家电每件的进价是y元， 由题意得， 解得， 答：甲种家电每件的进价是500元，乙种家电每件的进价是600元； （2）解：设该商场购进甲种家电m件，则购进乙种家电件， 由题意得，， 解得， 答：该商场至少购进甲种家电60件． 【变式1】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）某中学八年级师生计划包车到研学基地参加社会实践活动，某长运公司有型、型两种客车，它们的载客量和日租金如表： 车型 车辆数/辆 每辆租金/元 租金/元 型客车 1250 型客车 1000 学校根据实际情况，计划租用型客车共8辆．设租用型客车辆，回答下列问题： (1)用含的代数式完成上表； (2)若要保证租车费用不超过9000元，最多租用型客车多少辆？ 【答案】(1) 填表如下： 车型 车辆数/辆 每辆租金/元 租金/元 型客车 1250 型客车 1000 (2)最多租用型客车4辆． 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是：先用含x的代数式表示出各数量，再根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）根据题意列代数式填表即可； （2）根据题意列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：∵计划租用型客车共8辆，设租用型客车辆， ∴租用型客车辆， 填表如下： 车型 车辆数/辆 每辆租金/元 租金/元 型客车 1250 型客车 1000 （2）根据题意得：， 解得：， ∴最多租用型客车4辆． 【变式2】（25-26八年级上·浙江绍兴·阶段检测）商场准备购进甲、乙两种商品，若购进甲商品80个，乙商品40个，需要800元；若购进甲商品50个，乙商品30个，需要550元． (1)求商场购进甲、乙两种商品每个需要多少元？ (2)商场准备1000元全部用来购进甲、乙两种商品，设购进乙种商品个，则购进甲种商品 个（用含的代数式表示）；计划销售每个甲种商品可获利润4元，销售每个乙种商品可获利润5元，销售这两种商品的总利润不低于590元，那么商场最多购进乙种商品多少个？ 【答案】(1)商场购进甲种商品每个需要5元，乙种商品每个需要10元 (2)；商场最多购进乙种商品70个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、列代数式、一元一次不等式的应用，理解题意正确列出方程组和不等式是解题的关键． （1）设购进甲种商品每个需要元，乙种商品每个需要元，根据题意列出方程组，求出的值即可解答； （2）设购进乙种商品个，则购进甲种商品个，根据题意列出不等式，求出的范围，得出的最大值，即可解答． 【详解】（1）解：设购进甲种商品每个需要元，乙种商品每个需要元， 根据题意，得， 解得， 答：商场购进甲种商品每个需要5元，乙种商品每个需要10元． （2）解：设购进乙种商品个， 则购进甲种商品（个）； ∴， ∴， 根据题意，得， 解得， 是整数， 的最大值为70， 答：商场最多购进乙种商品70个． 【变式3】（25-26八年级上·浙江温州·阶段检测）小敏到某服装商场进行社会调查，了解到该商场为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入基本工资计件奖金”的方法．并获得如下信息： 营业员 A B 月销售件数 300 400 月总收入（元） 3700 4000 假设营业员的月基本工资为元，销售每件服装奖励元． (1)求、的值． (2)若营业员小潮某月的总收入不低于3800元，那么小潮当月至少要卖服装多少件？ (3)商场为了多销售服装，对顾客推荐一种购买方式：如果购买甲3件，乙2件，丙1件共需392元；如果购买甲1件，乙2件，丙3件共需288元．某顾客想购买甲、乙、丙各一件共需______元．（直接写出答案） 【答案】(1)x的值为2800，y的值为3 (2)至少要卖334件 (3)170元 【分析】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式和三元一次方程组的实际应用，找到等量关系和不等关系是解题的关键． （1）根据“月总收入基本工资计件奖金”列出二元一次方程组，即可求解； （2）设小潮当月卖服装m件，根据“小潮某月的总收入不低于3800元”列出一元一次不等式，再根据m实际意义，即可求解； （3）设甲单价为a元，乙单价为b元，丙单价为c元，列出方程组，整理得出，即为所求解． 【详解】（1）根据题意得：， 解得， 则x的值为2800，y的值为3； （2）设小潮当月卖服装m件， 根据题意得：， 解得， 又为正整数， 的最小值为334， 则小潮当月至少要卖服装334件； （3）设甲单价为a元，乙单价为b元，丙单价为c元， 根据题意得：， 整理得， 即购买甲、乙、丙各一件共需170元． 故答案为170． 【变式4】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）乡村全面振兴有序推进．某村开展了主题为“善读书·兴业富民”的读书活动，用书香涵养乡村新貌．为配合活动的开展，村委会决定增加村图书馆的藏书数量，准备购进一批农业类书籍和科技类书籍，其中购买4本农业类书籍和5本科技类书籍共需400元，购买2本农业类书籍和3本科技类书籍共需220元． (1)求农业类书籍和科技类书籍的单价各是多少元？ (2)若准备用9200元购买农业类书籍和科技类书籍共200本，问至多购买农业类书籍多少本？ 【答案】(1)农业类书籍的单价是50元，科技类书籍的单价是40元 (2)至多购买农业类书籍120本 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，正确理解题意、列出方程组和一元一次不等式是解决本题的关键． （1）设农业类书籍单价为x元，科技类书籍单价为y元，根据：购买4本农业类书籍和5本科技类书籍共需400元，购买2本农业类书籍和3本科技类书籍共需220元，即可得出方程组，解方程组即可； （2）设购买农业类书籍m本，则购买科技类书籍本，再根据题意列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设农业类书籍单价为x元，科技类书籍单价为y元， 根据题意得：， 解得， 答：农业类书籍单价为元，科技类书籍单价为元； （2）解：设购买农业类书籍m本，则购买科技类书籍本， 根据题意得：， ； 解得：， 答：至多购买农业类书籍本． 【变式5】（25-26八年级上·浙江舟山·期末）某中学八年级师生计划包车到研学基地参加社会实践活动，某长运公司有型、型两种客车，已知型客车每辆租金1250元，型客车每辆租金1000元．学校根据实际情况，计划租用两种客车共8辆．设租用型客车辆，根据要求回答下列问题： (1)完成下表（用含的式子表示）： 车型 车辆数/辆 租金/元 型客车 型客车 (2)若要保证租车费用不超过9000元，最多租用型客车多少辆？ 【答案】(1)；， (2)若要保证租车费用不超过9000元，最多租用型客车4辆 【分析】本题主要考查一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据题意可直接进行求解； （2）由（1）及题意可列不等式为，然后求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： 车型 车辆数/辆 租金/元 型客车 型客车 （2）解：由题意，得， 解得． 答：若要保证租车费用不超过9000元，最多租用型客车4辆． 【变式6】（25-26八年级上·浙江温州·期末）为了加强体育锻炼，某班计划购买足球和篮球共40个．已知足球和篮球的价格分别为60元/个和90元/个，购买的总费用不超过2800元．该班级至少购买几个足球？ 【答案】27个 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用．设购买足球有个，则购买篮球个，根据“购买的总费用不超过2800元．”列出不等式，即可求解． 【详解】解：设购买足球有个，则购买篮球个，由题意得， ， 解得：， 因为为整数， 所以的最小值取27． 答：至少购买27个足球． 【变式7】（25-26八年级上·浙江台州·期末）为了让更多的同学参与到课外活动中去，某校计划购买羽毛球拍和乒乓球拍这两种体育用品．已知商店每副羽毛球拍的售价是50元，每副乒乓球拍的售价是42元，如果该校要购进羽毛球拍和乒乓球拍共100副，且总费用不超过4500元，那么该校最多能购进羽毛球拍多少副？ 【答案】该校最多能购进羽毛球拍37副． 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用．设该校购进羽毛球拍x副，则购进乒乓球拍副，根据“总费用不超过4500元”列出一元一次不等式即可求解． 【详解】解：设该校购进羽毛球拍x副，则购进乒乓球拍副， 根据题意，得， 解得， 因为x为非负整数， 所以x的最大值为37． 答：该校最多能购进羽毛球拍37副． 【变式8】（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）年月，浙江城市篮球赛浙在全省范围内举行，各地结合自身特色设计了相关的文创产品，深受人们喜爱．已知某文旅中心销售玩偶类文创产品，其中甲种玩偶的单价是元/个，乙种玩偶的单价是甲种玩偶单价的． (1)求乙种玩偶的单价． (2)某游客计划用不超过元购买甲、乙两种玩偶，且乙种玩偶的数量比甲种玩偶的数量多个，求该游客最多可以购买多少个甲种玩偶． 【答案】(1)元 (2)个 【分析】本题主要考查了分数乘法的应用、一元一次不等式的实际应用，熟练掌握根据实际问题中的数量关系列不等式并求解是解题的关键。 （1）根据乙种玩偶的单价是甲种玩偶单价的，直接用甲种玩偶的单价乘以即可求出乙种玩偶的单价。 （2）设购买甲种玩偶的数量为未知数，根据乙种玩偶数量比甲种多个表示出乙种玩偶的数量，再根据总费用不超过元列出不等式，解不等式后取符合条件的最大整数解。 【详解】（1）解：元． 答：乙种玩偶的单价为每个元． （2）解：设该游客购买了个甲种玩偶． 由题意得， 解得 因为为整数，所以该游客最多购买个甲种玩偶． 【题型4】用一元一次不等式解决方案设计问题 【例题1】（25-26八年级上·浙江·期中）某体育器材店经销羽毛球拍、乒乓球拍，今年暑假七、八月份销售情况如下表所示：（两种运动器材的单价保持不变） 月份 销售数量（副） 销售数量（副） 销售额（元） 羽毛球拍 乒乓球拍 七月 40 20 3200 八月 20 40 2800 (1)求每副羽毛球拍、乒乓球拍的销售单价分别是多少元； (2)某学校为推进阳光体育大课间活动，计划拿出不超过3200元的资金购买一批羽毛球拍和乒乓球拍，这两款运动器材共60副，要求乒乓球拍的数量不超过羽毛球拍的，问学校有哪些购买方案． 【答案】(1)羽毛球拍的销售单价是60元，乒乓球拍的销售单价是40元 (2)有5种购买方案，分别为：①购进羽毛球拍36副，乒乓球拍24副；②购进羽毛球拍37副，乒乓球拍23副；③购进羽毛球拍38副，乒乓球拍22副；④购进羽毛球拍39副，乒乓球拍21副；⑤购进羽毛球拍40副，乒乓球拍20副 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，读懂题意，准确列出方程组及不等式组求解是解决问题的关键． （1）设羽毛球拍的销售单价是元，乒乓球拍的销售单价是元，由等量关系列二元一次方程组求解即可得到答案； （2）设购进羽毛球拍的数量为副，列出一元一次不等式组求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设羽毛球拍的销售单价是元，乒乓球拍的销售单价是元： ， ， 答：羽毛球拍的销售单价是60元，乒乓球拍的销售单价是40元； （2）解：设购进羽毛球拍的数量为副， 则， ，为正整数， 可取36，37，38，39，40， 共有5种购买方案，分别为：①购进羽毛球拍36副，乒乓球拍24副；②购进羽毛球拍37副，乒乓球拍23副；③购进羽毛球拍38副，乒乓球拍22副；④购进羽毛球拍39副，乒乓球拍21副；⑤购进羽毛球拍40副，乒乓球拍20副． 【变式1】（25-26八年级上·浙江温州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 背景介绍 浙BA省赛激战正酣！温州组委会正加急招募志愿者保障赛事． 素材一 如何设计志愿者招募方案？ 下表是温州组委会连续两场比赛招募专业志愿者、本地志愿者的情况： 场次 专业志愿者/名 本地志愿者/名 总费用/元 第一场次 3 10 690 第二场次 4 5 545 素材二 下一场次需招募专业志愿者与本地志愿者共20名，为保证赛事顺利开展， 专业志愿者不少于3人，但赛事经费有限，总招募费用不能超过1075元． 问题解决 任务一 确定志愿者薪资 结合素材一，求专业志愿者和本地志愿者的每场薪资； 任务二 拟定招募方案 结合素材一、二，求出所有符合要求的招募方案． 【答案】任务一：专业志愿者每场薪资80元，本地志愿者每场薪资45元；任务二：方案一：专业志愿者3名，本地志愿者17名；方案二：专业志愿者4名，本地志愿者16名；方案三：专业志愿者5名，本地志愿者15名 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，掌握知识点是解题的关键． （1）设专业志愿者每场薪资为元，本地志愿者每场薪资为元，列方程组并求解即可； （2）设招募专业志愿者名，则本地志愿者为名（为正整数），列不等式并求解即可． 【详解】解：任务一：确定志愿者薪资 设专业志愿者每场薪资为元，本地志愿者每场薪资为元，可列方程组： ，解得：， 答：专业志愿者每场薪资80元，本地志愿者每场薪资45元． 任务二：探究志愿者数量 解：设招募专业志愿者名，则本地志愿者为名（为正整数），可列不等式： ，解得， 因为为正整数，且，所以为，或，于是，或． 答：方案一：专业志愿者3名，本地志愿者17名；方案二：专业志愿者4名，本地志愿者16名；方案三：专业志愿者5名，本地志愿者15名． 【变式2】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）随着AI技术的高速发展，无人配送车在快递领域迅速普及．某快递运营区有40名搅投员和2辆无人配送车，若每位揽投员的日均投递量是每辆无人车的25%，3位揽投员和2辆无人车每天可配送快递共计4400件． (1)求1辆无人车和1位揽投员的日均投递量各为多少件： (2)通过AI预测，今年“双12”购物节活动期间，该运营区每天的投递量至少达到32000件才能不产生快递积压的现象．因此，该运营区准备增加台无人配送车和名投递员，且满足和均为正整数．请求出满足条件的所有方案． 【答案】(1)1辆无人车的日均投递量为1600件，1位揽投员的日均投递量为400件； (2)满足条件的方案有2种：①增加8台无人配送车和2名投递员；②增加9台无人配送车和1名投递员． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用． （1）设1辆无人车的日均投递量为x件，则1位投递员的日均投递量为件．根据“3位揽投员和2辆无人车每天可配送快递共计4400件”列方程，求解即可； （2）设增加m辆无人车，则增加名投递员．根据“运营区每天的投递量至少达到32000件”列不等式，求解即可． 【详解】（1）解：设1辆无人车的日均投递量为x件，则1位投递员的日均投递量为件． 由题意得， 整理得， 解得， ， 答：1辆无人车的日均投递量为1600件，1位揽投员的日均投递量为400件； （2）解：设增加m辆无人车，则增加名投递员(m为正整数，n为正整数)． 新增投递量需满足：， 解得， ∵m为正整数，n为正整数， ∴，或，， 答：满足条件的方案有2种：①增加8台无人配送车和2名投递员；②增加9台无人配送车和1名投递员． 【题型5】用一元一次不等式解决最值问题 【例题1】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）某超市开展促销活动，一次性购买的商品超过88元时，就可享受打折优惠．小明同学准备为班级购买奖品，需买6本笔记本和若干支钢笔．已知笔记本每本4元，钢笔每支7元，如果小明想享受打折优惠，那么至少买钢笔__________支． 【答案】10 【分析】设需要购买x支钢笔，根据总价=单价×数量，结合总价超过88元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再取其中的最小整数值即可得出结论． 本题主要考查了一元一次不等式的应用，准确列不等式计算是解题的关键． 【详解】解：设购买钢笔x支，根据题意，得 由题意得， 解得． ∵x为整数， ∴x的最小值为10， ∴至少买10支钢笔． 故答案为：10． 【变式1】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）把5个体积为的立方体铅块熔化后，最多能制成___________个体积为的立方体铅块． 【答案】7 【分析】本题考查一元一次不等式的应用能力，设的立方体铅块的个数，表示出相关不等关系是解题关键．设把5个体积为的立方体铅块熔化后，能制成x个体积为的立方体铅块，列不等式即可求解． 【详解】解：设把5个体积为的立方体铅块熔化后，能制成x个体积为的立方体铅块． 由题意得，， 解得， ∵x为正整数， ∴x的最大值为7，即最多能制成7个体积为的立方体铅块． 故答案为：7． 【变式2】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）小益同学用100元钱去购买矿泉水和可乐共30瓶，已知矿泉水每瓶2元，可乐每瓶5元，则小益同学最多能买可乐______瓶． 【答案】13 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，设小益买了瓶可乐，则买了瓶矿泉水，根据总价单价购买数量结合总价不超过100元，即可得出关于的一元一次不等式．根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 【详解】解：设可乐瓶，矿泉水为瓶，则根据题意得： 根据题意得：． 解得：， 小益同学最多能买可乐瓶 故答案为：13． 【变式3】（25-26八年级上·浙江台州·期末）用100元购买一副羽毛球拍和若干个羽毛球，已知羽毛球拍每副75元，羽毛球每个4元，则最多可购买羽毛球的数量为_____． 【答案】6 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设购买羽毛球的数量为x个，根据总费用不超过100元列出不等式，求解后取最大整数解，即可作答． 【详解】解：设购买羽毛球x个，则总费用为元， 根据题意得， 移项得， 解得， ∵x为整数， ∴x最大为6， 即最多可购买6个羽毛球． 故答案为：6． 【变式4】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）杭州某中学社团制作杭州特色文创产品义卖，前期投入1000元，每个产品材料成本10元，售价20元，场地及宣传费为销售收入的，若要使利润（销售收入减去材料成本、前期投入、场地及宣传费）超过1000元，则至少需要制作并售出___________个产品． 【答案】334 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用． 根据题意，设售出产品数量为x个，则求出销售收入、材料成本、场地及宣传费，根据“利润超过1000元”列不等式求解，根据x为整数作答即可． 【详解】解：设售出产品数量为x个， ∵每个产品材料成本10元，售价20元， ∴销售收入为元，材料成本为元， ∵场地及宣传费为销售收入， ∴场地及宣传费为元， ∵利润为销售收入减去材料成本、前期投入和场地及宣传费，利润超过1000元， 即， 解得， ∵x为整数， ∴x至少为334． 故答案为：334． 【变式5】（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）某种盘的存储容量为，有一批视频文件，若每个文件占用空间为，则这个盘至多能存放__个这样的文件． 【答案】51 【分析】本题考查了不等式的应用，弄清题意，理清关系是解题的关键． 设这个U盘能存放x个这样的文件，根据题意列出不等式求解即可． 【详解】解：设这个U盘能存放x个这样的文件，由题意得： ‌‌ 解得： 由于文件数量必须为整数，因此x的最大值为51， 所以，这个U盘‌至多能存放51个‌这样的视频文件， 故答案为：51． 【变式6】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）某工厂现有原料2000千克，用于生产A，B两种产品共50件．已知生产一件A产品需该原料20千克，生产一件B产品需该原料50千克，则50件产品中B产品至多________件． 【答案】33 【分析】考查一元一次不等式解决实际问题，设B产品的件数为件，根据生产两种产品所需原料总量不超过现有原料量列一元一次不等式，求解后结合实际取整数即可得到B产品的最大件数． 【详解】设生产B产品件，则生产A产品件， 根据题意，得， 去括号，得， 合并同类项，得， 移项，得， ， 系数化为1，得， 因为为产品件数，需取非负整数，所以的最大值为33． 【题型6】用一元一次不等式解决几何问题 【例题1】（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）将一张等边三角形纸片沿图中虚线剪开，则的度数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的外角的定义、等边三角形的性质等知识点，掌握三角形外角的定义是解题的关键． 如图：由等边三角形的性质可得，根据三角形外角的定义可知，据此即可解答． 【详解】解：如图： ∵等边， ∴， ∵， ∴，即的度数可能是． 故选D． 【变式1】如图钢架中，，焊上等长的钢条，，，……来加固钢架．若，且恰好用了根钢条，则下列各数中哪个可能是的值（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等边对等角可得，，，根据三角形的外角性质可求得，，结合题意恰好用了根钢条，可得，且，求解即可得到，即可判断出答案． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∵， ∴， 则， ∴， 则， ∴， 则， ， ∵恰好用了根钢条， 故，且， 即， 解得：； 故选：A． 【点睛】本题考查了等边对等角，三角形外角的性质，熟练掌握以上性质是解题的关键． 【变式2】如图，等边中，P是边上的一个动点（不与点A，B重合），则的度数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接．根据等边三角形的性质可知，根据三角形外角的性质可知，得出的取值范围，即可求解． 【详解】解：如图，连接． 是等边三角形， ， ，， ， 故选D． 【点睛】本题考查等边三角形的性质、三角形外角的性质，解题的关键是求出的取值范围． 【变式3】（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）规定：当三角形中有一个内角是另一个内角的两倍，则称该三角形为“2倍角三角形”，其中称为“倍角”． (1)判断等腰直角三角形是否为“2倍角三角形”． (2)已知为“2倍角三角形”，为“倍角”． ①若，求的度数． ②若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1)等腰直角三角形是“2倍角三角形” (2)①的度数为；② 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、等腰直角三角形的性质、一元一次方程的应用和一元一次不等式的应用，读懂题目信息，理解新定义是解题的关键． （1）根据等腰直角三角形的性质并结合“2倍角三角形”的定义求解即可； （2）①根据“2倍角三角形”的定义分为两种情况：或，然后判断求解即可； ②设（为另一个内角），则第三个内角为，根据锐角三角形的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：∵等腰直角三角形的内角为、、， 则其中， ∴符合“2倍角三角形”的定义， ∴等腰直角三角形是“2倍角三角形”； （2）解：①∵， ∴， ∵是“倍角”，则或， 当时，设， 则 解得， ∴； 当时，则（舍去）， 综上所述，的度数为； ②设（为另一个内角），则第三个内角为． ∵是锐角三角形，三个内角均小于， ∴且且， ∴且且， ∴， ∵， ∴． 三．同步练习 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A C D C B B D D C 1．A 【分析】本题主要考查了列不等式．先得到x的相反数的表达式，再根据“不大于”的含义转化为对应不等号，进而列出不等式． 【详解】解：∵x的相反数是， “不大于”对应不等号， ∴可列不等式为． 故选：A 2．A 【分析】题目主要考查列不等式，理解题意，列出不等式求解即可 【详解】解：∵与的的和为正数， ∴， 故选：A 3．C 【分析】本题考查了不等式的实际意义． 根据速度不超过40千米/时即为速度小于等于40千米/时及速度应为正数作答即可． 【详解】解：∵速度不超过40千米/时， ∴速度小于等于40千米/时， ∵速度应为正数， ∴速度大于0千米/时， 用不等式表示为． 故选：C． 4．D 【分析】本题主要考查了将实际问题抽象出一元一次不等式组，抓住关键词语、列出不等式组是解答本题的关键．先根据最高气温与最低气温列出不等式组，然后再确定其解集即可解答． 【详解】解：由题意可得： 当天气温的变化范围是． 故选：D． 5．C 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设小观答对了道题，则答错或不答道题，利用得分答对题目数答错或不答题目数，结合小观得分超过95分，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再取其中的最小整数值，即可得出结论． 【详解】解：设小观答对了x道题，则答错或不答道题， 根据题意得：， 解得：， 又∵为正整数， ∴的最小值为17， ∴他至少答对了17道题. 故选：C． 6．B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，正确列出不等式是解题的关键． 根据羽毛球的单价和个数，一盒羽毛球的单价和个数，以及总经费即可列出不等式． 【详解】解：根据题意得，． 故选：B． 7．B 【分析】设该自行车最多能打x折，则根据利润率不低于，可得出一元一次不等式，解出即可得出答案． 【详解】解：设该自行车最多能打x折， 由题意得， 解得：，即最多可打7折． 故选：B． 【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出一元一次不等式是解题的关键． 8．D 【分析】本题考查了不等式的应用． 根据总人数不变，结合42座客车的乘坐情况（少租一辆，有一辆没坐满但超过30人），列出关于x的不等关系，对应选项判断即可． 【详解】解：设租36座的车x辆， 由题意得， 故选：D． 9．D 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，关键是准确表示总得分并理解“不低于”的含义(即大于等于)．首先根据答对题数得出答错或不答的题数，再推导总得分的表达式，最后根据“得分不低于分”的条件列出不等式． 【详解】解：∵答对了道题，总题数为道， ∴答错或不答的题数为道； 根据题意，可列出不等式． 故选：D． 10．C 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意，根据题意找出等量关系列出不等式． 设他们在剩余时间内每小时平整土地，根据学校要求完成全部任务的时间不超过3小时．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整了得剩余时间内平整的土地为： ，根据题意得，． 【详解】解：设他们在剩余时间内每小时平整土地， ∵学校要求完成全部任务的时间不超过3小时．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整了， ∴剩余时间内平整的土地为： 根据题意得，， 故选：C． 11． 【分析】本题考查列一元一次不等式，根据已知条件列出不等式是解题的关键． 根据题意列出不等式即可． 【详解】解“x的3倍”表示为，“减去1”表示为，因此表达式为；“是负数”表示该表达式小于0，故不等式为， 故答案为：． 12．33 【分析】考查一元一次不等式解决实际问题，设B产品的件数为件，根据生产两种产品所需原料总量不超过现有原料量列一元一次不等式，求解后结合实际取整数即可得到B产品的最大件数． 【详解】设生产B产品件，则生产A产品件， 根据题意，得， 去括号，得， 合并同类项，得， 移项，得， ， 系数化为1，得， 因为为产品件数，需取非负整数，所以的最大值为33． 13．10 【分析】设需要购买x支钢笔，根据总价=单价×数量，结合总价超过88元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再取其中的最小整数值即可得出结论． 本题主要考查了一元一次不等式的应用，准确列不等式计算是解题的关键． 【详解】解：设购买钢笔x支，根据题意，得 由题意得， 解得． ∵x为整数， ∴x的最小值为10， ∴至少买10支钢笔． 故答案为：10． 14． 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据题意，建立不等式，求解范围，并结合实际数据量的非负性确定最终结果，理解题意，正确得出一元一次不等式是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得， 解得：， ∵数据量不能为负数， ∴， 故单帧视频数据量的允许范围是， 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设需要旅游车辆，根据题意列出不等式求出的取值范围即可求解，根据题意找到不等量关系是解题的关键． 【详解】解：设需要旅游车辆， 由题意得，， 解得， ∵为正整数， ∴至少需要旅游车辆， 故答案为：． 16． 【分析】本题考查一元一次不等式的知识，解题的关键是根据题意，设商家把售价定为每千克元，则，解出，即可． 【详解】解：设商家把售价定为每千克元， ∴， 解得：， ∴商家把售价至少定为每千克元，才能避免亏本 故答案为：． 17．(1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【分析】本题主要考查了列不等式，读懂题意正确列式是解题的关键． （1）直接列不等式即可； （2）根据超过就是大于列不等式即可； （3）直接列不等式即可； （4）根据正数大于零列不等式即可； （5）直接列不等式即可； （6）根据非负数为大于等于零的数列不等式即可． 【详解】（1）解：0大于表示：． （2）解：a的5倍超过1表示：． （3）解：x减去y小于表示：． （4）解：a的2倍与1的和是正数表示：． （5）解：m与n的差不大于0表示：． （6）解：x的6倍加上4是非负数表示． 18．(1)1辆无人车的日均投递量为1600件，1位揽投员的日均投递量为400件； (2)满足条件的方案有2种：①增加8台无人配送车和2名投递员；②增加9台无人配送车和1名投递员． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用． （1）设1辆无人车的日均投递量为x件，则1位投递员的日均投递量为件．根据“3位揽投员和2辆无人车每天可配送快递共计4400件”列方程，求解即可； （2）设增加m辆无人车，则增加名投递员．根据“运营区每天的投递量至少达到32000件”列不等式，求解即可． 【详解】（1）解：设1辆无人车的日均投递量为x件，则1位投递员的日均投递量为件． 由题意得， 整理得， 解得， ， 答：1辆无人车的日均投递量为1600件，1位揽投员的日均投递量为400件； （2）解：设增加m辆无人车，则增加名投递员(m为正整数，n为正整数)． 新增投递量需满足：， 解得， ∵m为正整数，n为正整数， ∴，或，， 答：满足条件的方案有2种：①增加8台无人配送车和2名投递员；②增加9台无人配送车和1名投递员． 19．(1)甲种家电每件的进价是500元，乙种家电每件的进价是600元 (2)60件 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）设甲种家电每件的进价是元，乙种家电每件的进价是元，根据购进6件甲种家电的费用与购进5件乙种家电的费用相同，购进1件甲种家电比购进1件乙种家电便宜100元．列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设该商场购进甲种家电件，则购进乙种家电件，根据总金额不超过54000元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设甲种家电每件的进价是x元，乙种家电每件的进价是y元， 由题意得， 解得， 答：甲种家电每件的进价是500元，乙种家电每件的进价是600元； （2）解：设该商场购进甲种家电m件，则购进乙种家电件， 由题意得，， 解得， 答：该商场至少购进甲种家电60件． 20．立方米 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设该用户月份用水量为立方米，根据题意列出不等式即可求解，根据题意找到不等量关系是解题的关键． 【详解】解：设该用户月份用水量为立方米， 由题意得，， 解得， 答：该用户月份用水量至少是立方米． 21．(1)方案一：购A型0台、B型10台；方案二：购A型1台，B型9台；方案三：购A型2台，B型8台． (2)为了节约资金，应选购A型1台，B型9台． (3)10年节约资金万元． 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、代数式求值、有理数的混合运算的应用等知识点，根据各数量之间的关系、正确列出一元一次不等式是解题的关键． （1）设购买污水处理设备A型x台，则B型台，列出不等式方程求解并取x的整数值即可解答； （2）根据题意列出不等式方程求解，再根据x的值选出最佳方案即可； （3）先计算出企业自己处理污水的总资金，再计算出污水排到污水厂处理的费用，然后比较即可解答． 【详解】（1）解：设购买污水处理设备A型x台，则B型台， 由题意可得：，解得． ∵x取非负整数， ∴x可取0，1，2． 有三种购买方案： 方案一：购A型0台、B型10台； 方案二：购A型1台，B型9台； 方案三：购A型2台，B型8台． （2）解： 由题意可得：，解得， ∴x为1或2． 当时，购买资金为：（万元）； 当时，购买资金为（万元）， ， 答：为了节约资金，应选购A型1台，B型9台． （3）解：该企业自己处理污水的总资金为：（万元）， 若将污水排到污水厂处理： （元）（万元）． 10年节约资金：（万元）， 答：10年节约资金万元． 22．(1) (2)①；②，且x为整数 【分析】本题主要考查了列代数式、一元一次不等式的实际应用，熟练掌握相关知识和理解题意是解题的关键． （1）直接根据总得失分率公式代入计算即可； （2）①直接根据总得失分率公式代入计算即可； ②先算出C班总得失分率，由题很容易比较出A班总得失分率大于B班总得失分率，所以保证A班总得失分率大于C班总得失分率，从而建立关于x的不等式求解即可． 【详解】（1）解： A班总得失分率； （2）解：①B班总得失分率； ②C班总得失分率， 由题易知， ∴， ∴A班总得失分率大于B班总得失分率， ∵A班出线， ∴A班总得失分率大于C班总得失分率， ∴， 整理得，， ∴， 解得，， ∵x为整数， ∴，且x为整数． 23．(1)A，B两种型号乒乓球拍的销售单价分别为130元，100元； (2)12块； (3)符合条件的方案有2种：A型号11块，B型号9块；A型号12块，B型号8块． 【分析】本题主要考查二元一次方程组，一元一次不等式的运用，理解数量关系，掌握二元一次方程组，一元一次不等式解决实际问题的方法是解题的关键． （1）设A，B乒乓球拍的销售单价分别为元，元，由此列二元一次方程组求解即可； （2）设A号乒乓球拍采购块，根据数量关系列不等式，求解即可； （3）由已知得，由此即可求解． 【详解】（1）解：设A，B乒乓球拍的销售单价分别为元，元， ， 解得， 答：A，B两种型号乒乓球拍的销售单价分别为130元，100元； （2）解：设A号乒乓球拍采购块，则B号乒乓球拍采购块， ∴， 解得， 答：型号乒乓球拍最多能采购12块； （3）解：A，B两种型号乒乓球拍的进价分别为100元，80元，销售单价分别为130元，100元， ∴， 解得， 所以：， 符合条件的方案有2种：A型号11块，B型号9块；A型号12块，B型号8块． 24．(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，解一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法，并能进行推理论证是解决问题的关键． （1）根据阅读材料所给的解题过程，直接套用方法与步骤解答即可； （2）设每张椅子的价格为x元，则每张桌子的价格为元，由已知可知，再求出的范围即可． 【详解】（1）解：， ．又， ， ． 又， ．① 同理得：② 由得：， ． （2）解：设每张椅子的价格为x元，则每张桌子的价格为元， 由已知可知， 解得， ， ， ， ， 答：出售一套桌椅（一张桌子+一把椅子）定价的范围． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.4 一元一次不等式的应用讲义（知识梳理+题型精析+同步练习）2026-2027八年级上学期 【浙教版新教材】 目录 一．知识梳理 （一）情景引入 （二）用一元一次方程解决问题的一般过程 二、题型精析 【题型1】列不等式表示不等关系 【题型2】根据实际背景列不等式 【题型3】用一元一次不等式解决方案设计问题 【题型4】用一元一次不等式解决最值问题 【题型5】用一元一次不等式解决分配问题 【题型6】用一元一次不等式解决几何问题 三．同步练习 1、选择题（10题） 2、填空题（6题） 3、解答题（8题） 一．知识梳理 （一）情景引入： （25-26八年级上·浙江杭州·期末）一部电梯的额定限载量为1000千克，两人要用电梯把一批货物从底层搬到顶层，这两个人的身体质量分别为60千克和80千克，每箱货物的质量为40千克，若两人一起乘电梯，则他们每次最多搬运货物的箱数为（   ） A．5 B．21 C．22 D．25 建议讨论下列问题： （1）选择哪一种数学模型？是列方程，还是列不等式？ （2）问题中有哪些相等的数量关系和不等的数量关系？ 【分析】 （1）题目要求“最多搬运多少箱”，即需要求最大整数，属于限制条件下的最大制问题，因此选择列不等式的数学模型． （2）问题中相等的数量关系：每箱货物质量固定为40kg，两人体重分别为60kg和80kg，总和固定为140kg．问题中的不等数量关系：总重量（货物+体重）1000kg． 通过以上的分析：我们得到了应用一元一次不等式可以刻画和解决实际生活中一些数量不等关系的问题． （二）用一元一次方程解决问题的一般过程： 1．审题 分析题意，找出题中的数量及其相等或不等关系； 相等关系：每箱货物质量固定为40kg，两人体重分别为60kg和80kg，总和固定为140kg； 不等关系：总重量（货物+体重）1000kg． 2．设元 选择一个适当的未知数用字母表示； 设每次最多能搬运货物箱 3．列不等式 根据不等关系列出不等式； 40x+140≤1000 4．解不等式 求出未知数的取值范围； x≤21.5 5．检查 检查求得的取值范围是否正确和符合实际情形，并得出答案． 由于是整数，所以最大值为21 【题型1】列不等式表示不等关系 【例题1】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）用不等式表示下列各式： (1)0大于； (2)a的5倍超过1； (3)x减去y小于； (4)a的2倍与1的和是正数； (5)m与n的差不大于0； (6)x的6倍加上4是非负数． 【变式1】（25-26八年级上·浙江温州·期中）根据数量关系“的一半与1的差不大于”，可列不等式_______________． 【变式2】（26-27八年级上·浙江宁波·阶段检测）“a的5倍与b的差是负数”用不等式表示为______． 【变式3】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）“的7倍减去3是正数”用不等式可表示为___________． 【变式4】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）x的相反数不大于4，用不等式表示为（   ） A． B． C． D． 【题型2】根据实际背景列不等式 【例题1】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）育才中学组织初二年级研学，现有36座和42座两种客车供选择租用，若只租用36座客车若干辆，则正好坐满：若只租用42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人．现在设租36座的车x辆，则x满足的不等关系为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在某路段上有如图所示的标志，表示车辆速度不超过40千米/时，则限速标志允许的车速（千米/时）的范围表示为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）杭州入选“2025年全国文明城市”，为深化学生对文明城市的认知，某校举办了文明知识竞答活动，一共10道题，每一题答对得10分，答错或不答扣2分．设答对了道题，若得分不低于72分，可列出关于的不等式是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26八年级上·浙江温州·期中）低碳生活已是如今社会的一种潮流形式，“低碳环保，绿色出行”成为大家的生活理念，因此新能源汽车逐渐成为人们选择的交通工具．某汽车销售公司计划2025年购进两种型号新能源汽车共10辆，总价不超过180万元．据了解，型进价每辆15万元，型进价每辆20万元，问至少购买种型号新能源汽车多少辆？设型辆，下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式4】（25-26八年级上·浙江温州·期中）某次数学竞赛共有20道题，规定每答对一题得10分，答错或不答均扣5分．若得分不低于150分的均可获奖，问至少要答对多少道题才能获奖？设答对道题，则有（   ） A． B． C． D． 【题型3】用一元一次不等式解决方案设计问题 基本思路： （1）设甲量为未知数； （2）利用等量关系“甲量+乙量=总量”列乙量代数式； （3）通过关键词“最省费用、不超过预算、至少完成任务、满足需求”列一元一次不等式． 【例题1】（25-26八年级上·浙江·期中）某体育器材店经销羽毛球拍、乒乓球拍，今年暑假七、八月份销售情况如下表所示：（两种运动器材的单价保持不变） 月份 销售数量（副） 销售数量（副） 销售额（元） 羽毛球拍 乒乓球拍 七月 40 20 3200 八月 20 40 2800 (1)求每副羽毛球拍、乒乓球拍的销售单价分别是多少元； (2)某学校为推进阳光体育大课间活动，计划拿出不超过3200元的资金购买一批羽毛球拍和乒乓球拍，这两款运动器材共60副，要求乒乓球拍的数量不超过羽毛球拍的，问学校有哪些购买方案． 【变式1】（25-26八年级上·浙江温州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 背景介绍 浙BA省赛激战正酣！温州组委会正加急招募志愿者保障赛事． 素材一 如何设计志愿者招募方案？ 下表是温州组委会连续两场比赛招募专业志愿者、本地志愿者的情况： 场次 专业志愿者/名 本地志愿者/名 总费用/元 第一场次 3 10 690 第二场次 4 5 545 素材二 下一场次需招募专业志愿者与本地志愿者共20名，为保证赛事顺利开展， 专业志愿者不少于3人，但赛事经费有限，总招募费用不能超过1075元． 问题解决 任务一 确定志愿者薪资 结合素材一，求专业志愿者和本地志愿者的每场薪资； 任务二 拟定招募方案 结合素材一、二，求出所有符合要求的招募方案． 【变式2】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）随着AI技术的高速发展，无人配送车在快递领域迅速普及．某快递运营区有40名搅投员和2辆无人配送车，若每位揽投员的日均投递量是每辆无人车的25%，3位揽投员和2辆无人车每天可配送快递共计4400件． (1)求1辆无人车和1位揽投员的日均投递量各为多少件： (2)通过AI预测，今年“双12”购物节活动期间，该运营区每天的投递量至少达到32000件才能不产生快递积压的现象．因此，该运营区准备增加台无人配送车和名投递员，且满足和均为正整数．请求出满足条件的所有方案． 【题型4】用一元一次不等式解决最值问题 基本思路： （1）设未知数； （2）利用等量关系列代数式； （3）通过关键词“最多、至少、不超过、不少于”列一元一次不等式． 【例题1】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）某超市开展促销活动，一次性购买的商品超过88元时，就可享受打折优惠．小明同学准备为班级购买奖品，需买6本笔记本和若干支钢笔．已知笔记本每本4元，钢笔每支7元，如果小明想享受打折优惠，那么至少买钢笔__________支． 【变式1】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）把5个体积为的立方体铅块熔化后，最多能制成___________个体积为的立方体铅块． 【变式2】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）小益同学用100元钱去购买矿泉水和可乐共30瓶，已知矿泉水每瓶2元，可乐每瓶5元，则小益同学最多能买可乐______瓶． 【变式3】（25-26八年级上·浙江台州·期末）用100元购买一副羽毛球拍和若干个羽毛球，已知羽毛球拍每副75元，羽毛球每个4元，则最多可购买羽毛球的数量为_____． 【变式4】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）杭州某中学社团制作杭州特色文创产品义卖，前期投入1000元，每个产品材料成本10元，售价20元，场地及宣传费为销售收入的，若要使利润（销售收入减去材料成本、前期投入、场地及宣传费）超过1000元，则至少需要制作并售出___________个产品． 【变式5】（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）某种盘的存储容量为，有一批视频文件，若每个文件占用空间为，则这个盘至多能存放__个这样的文件． 【变式6】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）某工厂现有原料2000千克，用于生产A，B两种产品共50件．已知生产一件A产品需该原料20千克，生产一件B产品需该原料50千克，则50件产品中B产品至多________件． 【题型5】用一元一次不等式解决分配问题 基本思路： （1）设未知数； （2）利用分配问题中“物资总数、人数总和、任务总量”不变列代数式； （3）通过关键词“至少、最多、不少于、不超过、多于、少于”列一元一次不等式． 【例题1】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）在购物节来临之际，某商场计划采购甲、乙两种厨房小家电，已知购进6件甲种家电的费用与购进5件乙种家电的费用相同，购进1件甲种家电比购进1件乙种家电便宜100元． (1)求这两种家电每件的进价分别是多少元． (2)若该商场欲购进两种家电共100件，总金额不超过54000元，则该商场至少购进甲种家电多少件？ 【变式1】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）某中学八年级师生计划包车到研学基地参加社会实践活动，某长运公司有型、型两种客车，它们的载客量和日租金如表： 车型 车辆数/辆 每辆租金/元 租金/元 型客车 1250 型客车 1000 学校根据实际情况，计划租用型客车共8辆．设租用型客车辆，回答下列问题： (1)用含的代数式完成上表； (2)若要保证租车费用不超过9000元，最多租用型客车多少辆？ 【变式2】（25-26八年级上·浙江绍兴·阶段检测）商场准备购进甲、乙两种商品，若购进甲商品80个，乙商品40个，需要800元；若购进甲商品50个，乙商品30个，需要550元． (1)求商场购进甲、乙两种商品每个需要多少元？ (2)商场准备1000元全部用来购进甲、乙两种商品，设购进乙种商品个，则购进甲种商品 个（用含的代数式表示）；计划销售每个甲种商品可获利润4元，销售每个乙种商品可获利润5元，销售这两种商品的总利润不低于590元，那么商场最多购进乙种商品多少个？ 【变式3】（25-26八年级上·浙江温州·阶段检测）小敏到某服装商场进行社会调查，了解到该商场为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入基本工资计件奖金”的方法．并获得如下信息： 营业员 A B 月销售件数 300 400 月总收入（元） 3700 4000 假设营业员的月基本工资为元，销售每件服装奖励元． (1)求、的值． (2)若营业员小潮某月的总收入不低于3800元，那么小潮当月至少要卖服装多少件？ (3)商场为了多销售服装，对顾客推荐一种购买方式：如果购买甲3件，乙2件，丙1件共需392元；如果购买甲1件，乙2件，丙3件共需288元．某顾客想购买甲、乙、丙各一件共需______元．（直接写出答案） 【变式4】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）乡村全面振兴有序推进．某村开展了主题为“善读书·兴业富民”的读书活动，用书香涵养乡村新貌．为配合活动的开展，村委会决定增加村图书馆的藏书数量，准备购进一批农业类书籍和科技类书籍，其中购买4本农业类书籍和5本科技类书籍共需400元，购买2本农业类书籍和3本科技类书籍共需220元． (1)求农业类书籍和科技类书籍的单价各是多少元？ (2)若准备用9200元购买农业类书籍和科技类书籍共200本，问至多购买农业类书籍多少本？ 【变式5】（25-26八年级上·浙江舟山·期末）某中学八年级师生计划包车到研学基地参加社会实践活动，某长运公司有型、型两种客车，已知型客车每辆租金1250元，型客车每辆租金1000元．学校根据实际情况，计划租用两种客车共8辆．设租用型客车辆，根据要求回答下列问题： (1)完成下表（用含的式子表示）： 车型 车辆数/辆 租金/元 型客车 型客车 (2)若要保证租车费用不超过9000元，最多租用型客车多少辆？ 【变式6】（25-26八年级上·浙江温州·期末）为了加强体育锻炼，某班计划购买足球和篮球共40个．已知足球和篮球的价格分别为60元/个和90元/个，购买的总费用不超过2800元．该班级至少购买几个足球？ 【变式7】（25-26八年级上·浙江台州·期末）为了让更多的同学参与到课外活动中去，某校计划购买羽毛球拍和乒乓球拍这两种体育用品．已知商店每副羽毛球拍的售价是50元，每副乒乓球拍的售价是42元，如果该校要购进羽毛球拍和乒乓球拍共100副，且总费用不超过4500元，那么该校最多能购进羽毛球拍多少副？ 【变式8】（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）年月，浙江城市篮球赛浙在全省范围内举行，各地结合自身特色设计了相关的文创产品，深受人们喜爱．已知某文旅中心销售玩偶类文创产品，其中甲种玩偶的单价是元/个，乙种玩偶的单价是甲种玩偶单价的． (1)求乙种玩偶的单价． (2)某游客计划用不超过元购买甲、乙两种玩偶，且乙种玩偶的数量比甲种玩偶的数量多个，求该游客最多可以购买多少个甲种玩偶． 【题型6】用一元一次不等式解决几何问题 基本思路： （1）设未知数； （2）等量关系：以周长、面积、图形性质（如三角形三边关系、三角形内角和）等作为等量关系列代数式， （3）设未知数通过关键词或几何性质列一元一次不等式，并解一元一次不等式，舍去不符合实际情况的解即可． 【例题1】（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）将一张等边三角形纸片沿图中虚线剪开，则的度数可能是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图钢架中，，焊上等长的钢条，，，……来加固钢架．若，且恰好用了根钢条，则下列各数中哪个可能是的值（　　）    A． B． C． D． 【变式2】如图，等边中，P是边上的一个动点（不与点A，B重合），则的度数可能是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）规定：当三角形中有一个内角是另一个内角的两倍，则称该三角形为“2倍角三角形”，其中称为“倍角”． (1)判断等腰直角三角形是否为“2倍角三角形”． (2)已知为“2倍角三角形”，为“倍角”． ①若，求的度数． ②若为锐角三角形，求的取值范围． 三．同步练习 一、单选题 1．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）x的相反数不大于4，用不等式表示为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）用不等式表示：“与的的和为正数”，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在某路段上有如图所示的标志，表示车辆速度不超过40千米/时，则限速标志允许的车速（千米/时）的范围表示为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·浙江杭州·开学考试）南昌市春季某日的最高气温是，最低气温是，则南昌当日气温的变化范围是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）在数学“”节24点速算赛中，共有20道题，答对一题得6分，答错或不答均扣2分，已知小观得分超过95分，则他至少答对了（   ）题． A．15 B．16 C．17 D．18 6．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）学校需要购进一批羽毛球拍和羽毛球，学校的预算经费是3300元，已知一副羽毛球拍的单价是90元，一盒羽毛球的单价是20元，购买30副羽毛球拍后，最多还能购买多少盒羽毛球？设还能购买x盒羽毛球，则下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段检测）某品牌自行车进价为每辆800元，标价为每辆1 200元．店庆期间，商场为了答谢顾客，进行打折促销活动，但是要保证利润率不低于，则最多可打（    ）折． A．六 B．七 C．八 D．九 8．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）育才中学组织初二年级研学，现有36座和42座两种客车供选择租用，若只租用36座客车若干辆，则正好坐满：若只租用42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人．现在设租36座的车x辆，则x满足的不等关系为（   ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）杭州入选“2025年全国文明城市”，为深化学生对文明城市的认知，某校举办了文明知识竞答活动，一共10道题，每一题答对得10分，答错或不答扣2分．设答对了道题，若得分不低于72分，可列出关于的不等式是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）杭州市丁荷中学、丁信中学组织七年级学生到屋顶农场参加实践活动，某班的任务是平整土地，学校要求完成全部任务的时间不超过3小时．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整了．若设他们在剩余时间内每小时平整土地，则根据题意可列不等式为（      ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）用不等式表示“的3倍减去1是负数”：___________． 12．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）某工厂现有原料2000千克，用于生产A，B两种产品共50件．已知生产一件A产品需该原料20千克，生产一件B产品需该原料50千克，则50件产品中B产品至多________件． 13．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）某超市开展促销活动，一次性购买的商品超过88元时，就可享受打折优惠．小明同学准备为班级购买奖品，需买6本笔记本和若干支钢笔．已知笔记本每本4元，钢笔每支7元，如果小明想享受打折优惠，那么至少买钢笔__________支． 14．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）某自动驾驶企业研发了基于的实时路况分析模型，用于处理车载摄像头采集的高清视频流．模型推理时间T（单位：毫秒）与单帧视频数据量x（单位：）的关系表达式实测拟合为：，为满足自动驾驶的安全冗余要求，决策延迟时间需不超过40毫秒，则单帧视频数据量x的允许范围是__________． 15．（24-25八年级上·浙江杭州·开学考试）八年级师生共人乘车外出春游，如果每辆旅游车可乘人，那么至少需要旅游车______辆． 16．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）一种荔枝的进价是每千克元，销售中估计有的荔枝正常损耗（包含剪枝），商家把售价至少定为每千克_______元，才能避免亏本． 三、解答题 17．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）用不等式表示下列各式： (1)0大于； (2)a的5倍超过1； (3)x减去y小于； (4)a的2倍与1的和是正数； (5)m与n的差不大于0； (6)x的6倍加上4是非负数． 18．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）随着AI技术的高速发展，无人配送车在快递领域迅速普及．某快递运营区有40名搅投员和2辆无人配送车，若每位揽投员的日均投递量是每辆无人车的25%，3位揽投员和2辆无人车每天可配送快递共计4400件． (1)求1辆无人车和1位揽投员的日均投递量各为多少件： (2)通过AI预测，今年“双12”购物节活动期间，该运营区每天的投递量至少达到32000件才能不产生快递积压的现象．因此，该运营区准备增加台无人配送车和名投递员，且满足和均为正整数．请求出满足条件的所有方案． 19．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）在购物节来临之际，某商场计划采购甲、乙两种厨房小家电，已知购进6件甲种家电的费用与购进5件乙种家电的费用相同，购进1件甲种家电比购进1件乙种家电便宜100元． (1)求这两种家电每件的进价分别是多少元． (2)若该商场欲购进两种家电共100件，总金额不超过54000元，则该商场至少购进甲种家电多少件？ 20．（24-25八年级上·浙江杭州·开学考试）某市自来水公司按下列标准收取水费：若某用户某月用水量不超过，则每立方米收费元；若超过，则超过部分每立方米收费元．如果某用户月份的水费不少于元，那么该用户月份用水量至少是多少立方米？ 21．（24-25八年级上·浙江杭州·开学考试）为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备现有A，B两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量及年消耗费如下表： A型 B型 价格（万元/台） 12 10 处理污水量（吨/月） 240 200 年消耗费（万元/台） 1 1 经预算，该企业购买设备的资金不高于105万元． (1)请你设计几种购买方案． (2)若企业每月产生的污水量为2040吨，为了节约资金，应选择哪种购买方案？ (3)在第（2）问的条件下，若每台设备的使用年限为10年，污水处理厂处理污水费为每吨10元，请你计算，该企业自己处理污水与将污水排到污水处理厂处理相比较，10年节约资金多少万元？（注：企业处理污水的费用包括购买设备的资金和消耗费） 22．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）八年级篮球赛中，三班分在一组，争一个出线名额，此前A班对B班；A班对C班，比赛规则规定：如果三队胜的场数相同，将按总得失分率（总得失分率=总得分/总失分）的大小决定名次，总得失分率最高者出线．（总失分指对手所得的分数和） (1)求出A班的总得失分率； (2)当比赛还剩8秒，C班持球进攻且以落后B班，此时A班已经在欢庆胜利了． 假定比赛结束，B班57分保持不变，C班最终得分为x． ①求出B班的总得失分率（用含x的代数式进行表示）； ②若最终A班出线，求x的取值范围． 23．（24-25八年级上·浙江·期中）某体育专卖店销售进价分别为100元，80元的，两种型号的乒乓球拍，下表是近两周的销售情况．（进价、售价均保持不变，利润=销售收入－进货成本） 销售时段 销售数量（块） 销售收入（元） A型号 B型号 第一周 3 5 890 第二周 4 8 1320 (1)求A，B两种型号乒乓球拍的销售单价； (2)若超市准备用不多于1850元的金额再采购这两种型号的乒乓球拍共20块，求型号乒乓球拍最多能采购多少块？ (3)在（2）的条件下（即超市用不多于1850元的金额采购这两种型号的乒乓球拍共20块），超市销售完这20块乒乓球拍能否实现利润超过500元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 24．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）阅读下列材料： 解答“已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法： 解：，，又，，． 又，① 不等式①三者同加2，得．即② 得，． 问题： (1)已知，且，，求的取值范围； (2)一家具生产企业，生产学生用的课桌椅，一张桌子的售价比一把椅子高50元，若一张桌子的售价不低于120元，一把椅子的售价不超过90元，求出售一套桌椅（一张桌子一把椅子）定价的范围（定价用w表示）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $