精品解析：四川达州市通川区碑庙镇初级中学2026-2027学年九年级上学期9月学情自测数学试题

通川区碑庙镇初级中学2026年秋季学期九年级（上） 9月学情自测数学试题 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分 一．选择题（共8小题，满分32分，每小题4分） 1. 下列说法错误的是（ ） A. 平行四边形是中心对称图形 B. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D. 四边形具有不稳定性 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，四边形的不稳定性，菱形的判定，正方形的判定．由平行四边形的性质，四边形的不稳定性，菱形的判定，正方形的判定定理依次判断即可． 【详解】解：平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心，说法正确，故A选项不符合题意； 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，原说法错误，故B选项符合题意； 有一组邻边相等的平行四边形是菱形，说法正确，故C选项不符合题意； 四边形具有不稳定性，说法正确，故D选项不符合题意； 故选：B． 2. 下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程，由此逐项判断即可，熟练掌握一元二次方程的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、，是一元二次方程，符合题意； B、，是分式方程，不符合题意； C、，当时，不是一元二次方程，不符合题意； D、，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：A． 3. 下列各组线段中，a、b、c、d成比例的一组是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】若四条线段满足，则称这四条线段成比例，据此对各选项逐一验证即可． 【详解】解：A、， ，， ∵， 这组线段不成比例，故本选项错误． B、， ，， ∴， 这组线段成比例，故本选项正确． C、， ，， ∵， 这组线段不成比例，故本选项错误． D、， ，， ∵， ∴这组线段不成比例，故本选项D错误． 4. 如图．在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是（　　） A. AB∥DC B. AC=BD C. AC⊥BD D. OA=OC 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】A．菱形的对边平行且相等，所以AB∥DC，故本选项正确； B．菱形的对角线不一定相等，故本选项错误； C．菱形的对角线互相垂直，所以AC⊥BD，故本选项正确； D．菱形的对角线互相平分，所以OA＝OC，故本选项正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，熟记菱形的对边平行且相等，对角线互相垂直平分是解本题的关键． 5. 如图，在矩形中，对角线，相交于点O，，则矩形的周长为（　　） A. 12 B. 16 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、含的直角三角形的性质、勾股定理及矩形的周长，解题的关键是求得矩形的长和宽． 先根据矩形的对角线相等可求得的长，然后再根据含角的直角三角形的性质求得矩形的宽，进一步根据勾股定理求得矩形的长，最后求得矩形的周长． 【详解】∵矩形， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得：， ∴矩形的周长为：． 故选：D． 6. 观察下列表格，求一元二次方程的一个近似解是（ ） 0.6 0.9 1.2 1.5 1.8 2.1 0.24 0.75 1.44 2.3 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了估算一元二次方程的解．通过观察表格中的值与方程右边的1.1比较，确定解所在的范围即可． 【详解】解：∵ 当时，， 当时，， ∴ 方程的解在和之间， 即． 故选：C． 7. 如图，在ABCD中，E为BC中点，连接AE交对角线BD于F，BF=2，则FD等于( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】先求，再根据相似三角形性质求解. 【详解】∵在▱ABCD中，E为BC中点， ∴AD＝BC，，2BE＝BC＝AD， ∴， ∴， 即， . 故选C． 【点睛】此题重点考查学生对相似三角形的判定的理解，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键. 8. 如图，在正方形中，点E，F分别是，的中点，，交于点G，连接，，，则下列说法正确的个数为（   ） ①；②；③依次连接，，，的中点P，Q，M，N，则四边形为等腰梯形；④． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据四边形是正方形，得出，，结合，F分别是，的中点，得出，，即可证明，故①正确；根据全等三角形的性质证明，设正方形的边长为，则，勾股定理求出，等面积法求出，勾股定理求出，即可得出，故②正确；根据题意得出为的中位线，为的中位线，是的中位线，是的中位线，证出四边形是平行四边形，由①②可知，，，即可证明平行四边形是正方形，故③错误；如图，延长交的延长线于点H，证明，得出，根据直角三角形的性质得出，等腰三角形性质和三角形内角和定理得出，结合，即可得出④正确． 【详解】解：四边形是正方形， ，． ，F分别是，的中点， ，， 在和中， ， ，故①正确； ， ， ， ， ． 设正方形的边长为，则， ， ， ， ，故②正确； ，Q，M，N分别是，，，的中点， 为的中位线，为的中位线，是的中位线，是的中位线， ，，，， ，， 四边形是平行四边形， 由①②可知，，， ，， 平行四边形是正方形，故③错误； 如图，延长交的延长线于点H， ， ， 在和中， ， ， ， 点C是的中点， ， ， ， ， ， ，故④正确． 综上①②④正确， 正确的个数为3． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分） 9. 已知 是关于x的一元二次方程，则k的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 已知，且，则的值为___． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，根据已知条件得出再把三式相加得出，然后分两种情况讨论，即可得出k的值． 【详解】解：由已知得， ∴， ∴当时，得， 当时，则 ∴， ∴k的值为1或． 故答案为：1或． 11. 如图，在菱形中，已知，交于点E，且，则对角线的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，根据菱形的性质得到，由，，利用勾股定理求出，求出，再利用勾股定理即可求出． 【详解】解：在菱形中，， ， 由，， ， ， 故答案为：． 12. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】根据方程的根的判别式且，计算即可． 本题考查了根的判别式，熟练掌握判别式是解题的关键． 【详解】∵一元二次方程有实根， ∴且， 解得且， 故答案为：且． 13. 如图，在平面直角坐标系中，是原点，点在第一象限，点，是等腰直角三角形，以为边在右侧作正方形，那么点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】过点A作轴，过点C作轴，根据等腰直角三角形的性质得出，再由全等三角形的判定和性质得出，，结合图形即可求解． 【详解】解：过点A作轴，过点C作轴，如图所示： ∴， ∵点，是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标是． 三．解答题（共5小题，满分48分） 14. 解方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）， （2）， （3），． 【解析】 【小问1详解】 解： ，， 【小问2详解】 解： ，； 【小问3详解】 解： ，． 15. 已知关于的方程． （1）当时，求原方程的解． （2）若原方程有两个相等的实数根，求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程解法，一元二次方程根的判别式是解题关键． （1）将代入，解方程即可； （2）先求出的值，再根据的符号即可得出答案． 【小问1详解】 解：当时，原方程为， ， 即，， 解得：，； 【小问2详解】 解：该一元二次方程有两个相等的实数根， ， 解得：． 16. 如图，在正方形中，点是对角线上一点（）． （1）求证：； （2）若， ，求的长度． 【答案】（1） 证明：如图，连接交于点， 四边形为正方形， 直线为线段的垂直平分线， 又点在上， ； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理、锐角三角函数等等知识， （1）连接交于点，由四边形为正方形，得出为线段的垂直平分线，所以得出； （2）先由正方形的性质得，，，再由，得，再由直角三角形的性质得，再由勾股定理得，再由即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形为正方形，， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 17. 如图，在中，M是的中点，连接，其中交对角线于E，交对角线于F． （1）如果，求证：四边形是矩形； （2）连接，记的面积为，的面积为，求证：． 【答案】（1）证明：如图1，过点M作，交于点N， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵M是的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴点N是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）证明：如图2，连接， 由（1）知：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设边上的高为h， 则，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）过点M作，交于点N，构造平行四边形，根据证明，推出，同理可得，进而得出是等腰三角形，根据三线合一得出，即可证明平行四边形是矩形； （2）由（1）知：，，结合，可证，进而可得，，再证，即可得出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 在数学综合与实践活动课上，小红以“矩形的旋转”为主题开展探究活动． （1）操作判断 小红将两个完全相同的矩形纸和拼成“”形图案，如图①．试判断：的形状为______． （2）深入探究 小红在保持矩形不动的条件下，将矩形绕点旋转，若，． 探究一：①若矩形绕点顺时针旋转，当点恰好落在的延长线上时，设与相交于点，如图②，求的面积． 探究二：②若矩形绕点逆时针旋转，边与边交于点，连接，当时，如图③．请直接写出的值． 【答案】（1）等腰直角三角形 （2）探究一：；探究二： 【解析】 【分析】（）正确，可得，，进而可得，据此即可求解； （）探究一：证明可得，又由三线合一可得，得到，在利用勾股定理可得，最后根据三角形的面积公式计算即可求解； 探究二：由补角性质可得，即可得，进而由平行线的性质得到，即到，得到，即得到，得到，进而由平行线的性质得到，即得，最后求出即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形和是两个完全相同的矩形， ∴，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角三角形； 【小问2详解】 解：探究一：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴的面积； 探究二：∵，， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理，三角形函数，旋转的性质，掌握以上知识点是解题的关键． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 已知，且，则______ 【答案】##0.75 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，代数式求值．由可得，从而得到，即可求解，掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 20. 已知一元二次方程的两根分别为，，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，分式的加法运算． 由根与系数的关系可求得和的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为，， ∴，， ∴， 故答案为：． 21. 等腰三角形一腰上的中线把该三角形的周长分成和两部分，这个等腰三角形各边长为______． 【答案】，， 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，根据题意画出示意图，再分当时，当时，两种情况求出三边长，再根据构成三角形的条件求解即可． 【详解】解：如图所示，在中，，是中线， 当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴此时不能构成三角形； 当时， 同理得：， ∵， ∴此时能构成三角形， ∴腰长为，底边为， ∴这个等腰三角形各边的长为，，． 故答案为：，，． 22. 如图，在中，，，，作斜边的中线，得到第一个；于点E，作斜边的中线，得到第二个，依此作下去…，则第4个三角形的面积等于_______． 【答案】a2 【解析】 【分析】根据题意，易得被分成的第二个、第三个…第n个三角形都是等边三角形，根据含度角的直角三角形的性质以及斜边上的中线，推出第n个三角形的面积，即可得出结果. 【详解】解：∵，是斜边上的中线， ∴， ∵， ∴是等边三角形，， ∴， 同理可得，被分成的第二个、第三个…第n个三角形都是等边三角形， ∵是的中线，是的中线，…， ∴第一个等边三角形的边长， 第二个等边三角形的边长， … 第n个等边三角形的边长为， 过点作，则， ∴， 同理，第n个等边三角形的高为， 所以，第n个三角形的面积， ∴第4个三角形的面积． 23. 如图，在正方形中，，E为边上一点，点F在边上，且，将点E绕着点F顺时针旋转得到点G，连接，则的长的最小值为 __ ． 【答案】4 【解析】 【分析】过点G作，利用一线三等角模型，证明，推出，可得点G在与平行且与的距离为3的直线上，进而可得当点G在边上时，最小． 【详解】解：过点G作，垂足为H， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 由旋转得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点G在与平行且与的距离为3的直线上， ∴当点G在边上时，最小且， ∴的最小值为4． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 学校为了让学生观察植物的生长习性．打算在校区建立一个如图所示的实验田（矩形），该实验田两面靠墙（位置的墙最大可用27米，位置的墙最大可用15米），另外两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一个1米宽的通道，两个场地分别留出一个1米宽的门（门不用栅栏，处使用栅栏），建成后栅栏总长为45米，设实验田的长为x米． （1）的长为          米（用含x的式子表示）； （2）若实验田（矩形）的面积为180平方米，求x的值； （3）通过计算说明该实验田的面积能否为240平方米． 【答案】（1） （2）或 （3）解：假设该实验田的面积能为240平方米， ∴， ∴， ∴， 方程没有实数根，假设不成立， 答：该实验田的面积不能为240平方米． 【解析】 【分析】（1）直接根据建造要求计算即可； （2）根据“面积为180平方米”求出x的值，再根据墙长求出x的取值范围，进而可知x的值； （3）假设该实验田的面积能为240平方米，列出方程，根据根的判别式判断即可． 【小问1详解】 解：由题意得：米； 【小问2详解】 解：由题意得：， 解得：， 又∵， ∴， ∴或； 【小问3详解】 略． 25. 已知关于的方程． （1）求证：该方程总有两个不相等的实数根； （2）记该方程的两个实数根为，求代数式的值； （3）若，，比较与的大小． 【答案】（1） 证明：， ， ， 总有两个不相等的实数根； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）一元二次方程有两个不相等的实数根，则；有两个相等的实数根，则；没有实数根，则．据此即可求解． （2）根据一元二次方程根与系数的关系可得，代入代数式，即可求解． （3）判断的正负即可求解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 该方程的两个实数根为，， ， ； 【小问3详解】 由（2）知，， ， ， ． 26. 在中，，点D（与点B、C不重合）为射线上一动点，连接，以为一边且在的右侧作正方形． （1）如果．如图①，且点D在线段上运动．试判断线段与之间的位置关系，并证明你的结论． （2）如果，如图②，且点D在线段上运动．（1）中结论是否成立，为什么？ （3）若正方形的边所在直线与线段所在直线相交于点P，设，，，求线段的长．（用含x的式子表示） 【答案】（1） 解：与位置关系是垂直． 证明如下： ，， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （2） 时，的结论成立． 理由是： 如图过，点A作交于点， ， ， ， 同理可证， ， ， ， 即． （3） 解：分两种情况讨论： 如图②，点D在线段上运动时， 过点A作交的延长线于点Q， ∵，， ，． ，， （当时，）． 四边形是正方形， ，则． ， ． ， ． 如图，点D在线段延长线上运动时， 过点A作交的延长线于点Q， 同理可证， 此时， 同理可证， 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形与相似三角形的判定及性质，解题的关键是通过构造全等或相似三角形，结合正方形和角度条件推导线段与角的关系． （1）由，，得；，由正方形，可得，，；；可得．可证，得，．即． （2）过点作交于点，可得，易证：，所以，．即． （3）若正方形的边所在直线与线段所在直线相交于点，设，，，求线段的长．考虑点的位置，分两种情况去解答．①点在线段上运动，已知，可求出．即，易证，可得，，问题可求．②点在线段延长线上运动时，由，可求出，．过作交延长线于点，则，得，由，得，，问题解决． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 通川区碑庙镇初级中学2026年秋季学期九年级（上） 9月学情自测数学试题 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分 一．选择题（共8小题，满分32分，每小题4分） 1. 下列说法错误的是（ ） A. 平行四边形是中心对称图形 B. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D. 四边形具有不稳定性 2. 下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组线段中，a、b、c、d成比例的一组是（ ） A. B. C. D. 4. 如图．在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是（　　） A. AB∥DC B. AC=BD C. AC⊥BD D. OA=OC 5. 如图，在矩形中，对角线，相交于点O，，则矩形的周长为（　　） A. 12 B. 16 C. D. 6. 观察下列表格，求一元二次方程的一个近似解是（ ） 0.6 0.9 1.2 1.5 1.8 2.1 0.24 0.75 1.44 2.3 A. B. C. D. 7. 如图，在ABCD中，E为BC中点，连接AE交对角线BD于F，BF=2，则FD等于( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 8. 如图，在正方形中，点E，F分别是，的中点，，交于点G，连接，，，则下列说法正确的个数为（   ） ①；②；③依次连接，，，的中点P，Q，M，N，则四边形为等腰梯形；④． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分） 9. 已知 是关于x的一元二次方程，则k的值为__________． 10. 已知，且，则的值为___． 11. 如图，在菱形中，已知，交于点E，且，则对角线的长为___________． 12. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，是原点，点在第一象限，点，是等腰直角三角形，以为边在右侧作正方形，那么点的坐标是________． 三．解答题（共5小题，满分48分） 14. 解方程： （1）； （2）； （3）． 15. 已知关于的方程． （1）当时，求原方程的解． （2）若原方程有两个相等的实数根，求的值． 16. 如图，在正方形中，点是对角线上一点（）． （1）求证：； （2）若， ，求的长度． 17. 如图，在中，M是的中点，连接，其中交对角线于E，交对角线于F． （1）如果，求证：四边形是矩形； （2）连接，记的面积为，的面积为，求证：． 18. 在数学综合与实践活动课上，小红以“矩形的旋转”为主题开展探究活动． （1）操作判断 小红将两个完全相同的矩形纸和拼成“”形图案，如图①．试判断：的形状为______． （2）深入探究 小红在保持矩形不动的条件下，将矩形绕点旋转，若，． 探究一：①若矩形绕点顺时针旋转，当点恰好落在的延长线上时，设与相交于点，如图②，求的面积． 探究二：②若矩形绕点逆时针旋转，边与边交于点，连接，当时，如图③．请直接写出的值． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 已知，且，则______ 20. 已知一元二次方程的两根分别为，，则的值为___________． 21. 等腰三角形一腰上的中线把该三角形的周长分成和两部分，这个等腰三角形各边长为______． 22. 如图，在中，，，，作斜边的中线，得到第一个；于点E，作斜边的中线，得到第二个，依此作下去…，则第4个三角形的面积等于_______． 23. 如图，在正方形中，，E为边上一点，点F在边上，且，将点E绕着点F顺时针旋转得到点G，连接，则的长的最小值为 __ ． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 学校为了让学生观察植物的生长习性．打算在校区建立一个如图所示的实验田（矩形），该实验田两面靠墙（位置的墙最大可用27米，位置的墙最大可用15米），另外两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一个1米宽的通道，两个场地分别留出一个1米宽的门（门不用栅栏，处使用栅栏），建成后栅栏总长为45米，设实验田的长为x米． （1）的长为          米（用含x的式子表示）； （2）若实验田（矩形）的面积为180平方米，求x的值； （3）通过计算说明该实验田的面积能否为240平方米． 25. 已知关于的方程． （1）求证：该方程总有两个不相等的实数根； （2）记该方程的两个实数根为，求代数式的值； （3）若，，比较与的大小． 26. 在中，，点D（与点B、C不重合）为射线上一动点，连接，以为一边且在的右侧作正方形． （1）如果．如图①，且点D在线段上运动．试判断线段与之间的位置关系，并证明你的结论． （2）如果，如图②，且点D在线段上运动．（1）中结论是否成立，为什么？ （3）若正方形的边所在直线与线段所在直线相交于点P，设，，，求线段的长．（用含x的式子表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $