四川省达州市渠县中学2026-2027学年八年级上学期期中数学模拟试题（一）

四川省达州市渠县中学2026-2027学年八年级上学期期中数学模拟试题（一） （全卷满分150分，考试时间120分钟） 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1．在下列各数中：无理数的有（　　） 3.1415926，（相邻两个1之间0的个数逐次加1），． A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 2．以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（　　） A．2，3，4 B．，， C．6，8，9 D．13，12，5 3．下列说法正确的是（　　） A．16的算术平方根是﹣4 B．16的算术平方根是4 C．16的平方根是4 D．16的平方根是﹣4 4．一次函数y＝﹣3x﹣2的图象和性质，说法正确的是（　　） A．y随x的增大而增大 B．截距为2 C．与x轴交于点（﹣2，0） D．函数图象不经过第一象限 5．如图，数轴上的点A表示的无理数可能是（　　） A． B． C． D．π 6．在平面直角坐标系中，点P（1，﹣2）与点Q（1，2）的位置关系是（　　） A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．没有对称关系 7．已知点（m，n）在第二象限，则函数y＝mx﹣n的图象在平面直角坐标系中的位置大致是（　　） A． B． C． D． 8．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在对角线D′处，AB＝3，AD＝4，则ED的长为（　　） A． B． C． D． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9．比较大小：　　 （填“＞”、“＜”或“＝”）． 10．若2.29，229，则b的值为　1　 ． 11．已知是关于x的一次函数，则m＝ 　　 ． 12．如果点A（m﹣2，2m）在第二、四象限的角平分线上，则m的值为　　 ． 13．实数x在数轴上如图所示，化简：|x﹣1| 　　 ． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14．（8分）（1）计算：； （2）计算：． 15．（8分）如图，在网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在格点上，点A和点B关于y轴的对称点的坐标分别为A1（2，2）和B1（5，﹣2）． （1）根据上述条件，在网格中画出平面直角坐标系xOy； （2）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1； （3）判断△ABC的形状，并证明你的结论． 16．（10分）如图1是一种升降阅读架，由面板、支撑轴和底座构成．图2是其侧面结构示意图，面板AB固定在支撑轴端点C处，CD⊥AB，支撑轴长CD＝16cm，支撑轴CD与底座DE所成的角∠CDE＝45°． （1）求端点C到底座DE的距离； （2）如图3，为了阅读舒适，将CD绕点D逆时针旋转15°后，点B恰好落在直线DE上，问：端点C到底座DE的距离减少了多少？ 17．（10分）如图表示一个正比例函数y1＝k1x与一个一次函数y2＝k2x+b的图象，它们交于点A（4，3），一次函数的图象与y轴交于点B，且OA＝OB． （1）求点B的坐标． （2）求这两个函数的解析式． （3）在直线x＝﹣3上找一点P，使得△PAB的周长最小，直接写出点P的坐标． 18．（12分）小林同学是一名剪纸爱好者，喜欢运用数学知识对自己的剪纸作品进行分析思考，下面是他利用勾股定理对部分剪纸作品的数量关系进行探究思考的过程，请你帮助他一起完成． （1）如图①是以Rt△ABC的三条边为直径，向外作半圆，其面积分别记为S1，S2，S3，请写出S1，S2，S3之间的数量关系：____________-； （2）如图②是由四个全等的直角三角形紧密地拼接形成的飞镖状图案，测得AB+AC＝20，OC＝5，求该飞镖状图案的面积； （3）如图③是由八个全等的直角三角形紧密地拼接形成的大正方形ABCD，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3．设直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，斜边长为c，则c2＝a2+b2．若S1+S2+S3＝16，求S2值． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19．若x，y为实数，且，则xy＝ 　　 ． 20．若点P（﹣1，y1）和点Q（3，y2）是一次函数y＝（﹣k2﹣1）x+b的图象上的两点，y1与y2的大小关系是：y1　　 y2（填“＞，＜或＝”）． 21．棱长分别为3cm和2cm的两个正方体如图所示放置，点A，B，E在同一直线上，顶点G在棱BC上，点P是棱E1F1的中点．一只蚂蚁要沿着正方体的表面从点A爬到点P，它爬行的最短距离是 　cm ． 22．定义：若三个正整数a，b，c满足a＜b，a2+b2＝c2，且c﹣b＝1，则称（a，b，c）为“邻近”勾股数组．例如：（3，4，5），（5，12，13）都是“邻近”勾股数组，将a从小到大排列，分别记为a1，a2，a3，…，an（n为正整数），对应的b记为b1，b2，b3，…，bn，对应的c记为c1，c2，c3，…，cn，若n＝3时，c3的值为　　 ；若n＝10时，b10的值为　　 ． 23．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D为BC的中点，E，F，G分别为线段AD，线段BD和线段CB上的动点（E，F，G均不与线段端点重合），，点P为线段EF的中点，将线段AG绕点A顺时针旋转至线段AH，使得旋转角∠GAH＝∠BAC，则线段PH的最小值为　　 ． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24．（8分）已知宿舍、公园、补给站在同一条直线上，公园距离宿舍30km，补给站距离宿舍60km．骑行队的小军从宿舍出发，匀速骑行1.5h到达公园；他在公园休息1h后，他匀速骑行1.5h到补给站；小军在补给站用0.5h就餐，然后他返回宿舍：在回宿舍的途中，他匀速骑行2h后减速，以新的速度继续匀速骑行1.5h回到宿舍．图中x（单位：h）表示小军离开宿舍的时间，y（单位：km）表示小军离宿舍的距离．图象反映了这个过程中小军离宿舍的距离与他离开宿舍的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： （Ⅰ）填表： 小军离开宿舍的时间（单位：h） 1 1.5 2 4.5 6.5 小军离宿舍的距离y（单位：km） 30 60 （Ⅱ）填空： ①小军从补给站返回宿舍的途中，减速前匀速骑行的速度为　　 km/h，减速后匀速骑行的速度为　　 km/h； ②当0≤x≤4时，请直接写出y关于x的函数解析式； （Ⅲ）若小军刚刚到达补给站时，骑行队的小红恰好从补给站出发以15km/h的速度匀速骑行直接返回宿舍．那么小红从补给站回到宿舍的途中（4≤x≤8），直接写出小红与小军之间距离的最大值． 25．（10分）如图，自行车每节链条的长度为2.5cm，交叉重叠部分的圆的直径为0.8cm． （1）观察图形填写下表： 链条节数/节 2 3 4 链条总长度/cm （2）如果x节链条的总长度是ycm，求y与x之间的函数关系式． （3）如果一辆自行车的链条（安装前）由80节这样的链条组成，那么这根链条安装到自行车上后，总长度是多少厘米？ 26．（12分）如图△ABC中AC＝BC，∠ACB＝90°．点D是平面内一点，连接CD，将CD绕着点C逆时针旋转90°与CE重合，连接DE． （1）如图1，当点D在△ABC内部时，连接AD，若CD平分∠ACB且，CA＝5，求AD的长； （2）如图2，当点D在△ABC外部时，连接AE，F是AE的中点，连接FD并延长到G，连接EG．若EG＝EB，求证：∠EGF＝∠FDA； （3）如图3，当点D在△ABC的中线CF上时，在线段BF上取一点Q（不与F重合），连接DQ，将△FDQ沿DQ翻折得到△F′DQ，连接BF′、EF′，若CD＝2，，当BF′最小时，求△DEF′的面积． 参考答案 四川省达州市渠县中学2026-2027学年八年级上学期期中数学模拟试题(一) （全卷满分150分，考试时间120分钟） 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1．在下列各数中：无理数的有（　　） 3.1415926，（相邻两个1之间0的个数逐次加1），． A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【解答】解：3.1415926，（相邻两个1之间0的个数逐次加1），中，无理数有（相邻两个1之间0的个数逐次加1），，共3个， 故选：C． 2．以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（　　） A．2，3，4 B．，， C．6，8，9 D．13，12，5 【解答】解：A、∵22+32≠42， ∴A不能组成直角三角形，不符合题意； B、∵（）2+（）2≠（）2， ∴B不能组成直角三角形，不符合题意； C、∵62+82≠92， ∴C不能组成直角三角形，不符合题意； D、∵52+122＝132， ∴D能组成直角三角形，符合题意； 故选：D． 3．下列说法正确的是（　　） A．16的算术平方根是﹣4 B．16的算术平方根是4 C．16的平方根是4 D．16的平方根是﹣4 【解答】解：根据平方根，算术平方根的定义逐项分析判断如下： A．16的算术平方根是4，故原选项错误，不合题意； B．16的算术平方根是4，故原选项正确，符合题意； C．16的平方根是±4，故原选项错误，不合题意； D．16的平方根是±4，故原选项错误，不合题意． 故选：B． 4．一次函数y＝﹣3x﹣2的图象和性质，说法正确的是（　　） A．y随x的增大而增大 B．截距为2 C．与x轴交于点（﹣2，0） D．函数图象不经过第一象限 【解答】解：A．一次函数y＝﹣3x﹣2的图象y随着x的增大而减小，即A项错误，不符合题意， B．把x＝0代入y＝﹣3x﹣2得：y＝﹣2，即在y轴的截距为﹣2，即B项错误，不符合题意， C．把y＝0代入y＝﹣3x﹣2得：﹣3x﹣2＝0，解得：，即与x轴交于点，0），即C项错误，不符合题意， D．函数图象经过第二三四象限，不经过第一象限，即D项正确，符合题意， 故选：D． 5．如图，数轴上的点A表示的无理数可能是（　　） A． B． C． D．π 【解答】解：由图可知，点A在2和3之间，即2＜A＜3． A．∵1＜2＜4， ∴，故A不合题意； B．∵4＜5＜9， ∴，故B符合题意； C．， ∵4＜8＜9， ∴， ∴，即，故C不合题意； D．π≈3.14＞3，故D不合题意． 故选：B． 6．在平面直角坐标系中，点P（1，﹣2）与点Q（1，2）的位置关系是（　　） A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．没有对称关系 【解答】解：点P（1，﹣2）与点Q（1，2）的位置关系是关于x轴对称． 故选：A． 7．已知点（m，n）在第二象限，则函数y＝mx﹣n的图象在平面直角坐标系中的位置大致是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：因为点P（m，n）在第二象限， 所以m＜0，n＞0， 所以﹣n＜0， 所以函数y＝mx﹣n的图象经过二、三、四象限， 故选：D． 8．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在对角线D′处，AB＝3，AD＝4，则ED的长为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4， ∴∠D＝90°，DC＝AB＝3， ∴， 根据折叠可得：D′C＝DC＝3，DE＝D′E，∠CD′E＝∠D＝90°， ∴∠AD′E＝90°， 设ED＝x，则D′E＝x，AD′＝AC﹣CD′＝2，AE＝4﹣x， 在Rt△AED′中：（AD′）2+（ED′）2＝AE2， 22+x2＝（4﹣x）2， 解得：， 故选：D． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9．比较大小：　＞　 （填“＞”、“＜”或“＝”）． 【解答】解：原式 ， ∵， ∴， ∴． 故答案为：＞． 10．若2.29，229，则b的值为　1000000　 ． 【解答】解：若2.29，2.29229， 则100， 解得b＝1000000， 故答案为：1000000． 11．已知是关于x的一次函数，则m＝ 　﹣6　 ． 【解答】解：由是关于x的一次函数，得， m﹣6≠0，m2﹣35＝1， 解得m＝﹣6， 故答案为：﹣6． 12．如果点A（m﹣2，2m）在第二、四象限的角平分线上，则m的值为　　 ． 【解答】解：由题意得，m﹣2＝﹣2m， 解得， 故答案为：． 13．实数x在数轴上如图所示，化简：|x﹣1| 　1　 ． 【解答】解：根据题意得1＜x＜2， 所以原式＝|x﹣1|+|x﹣2| ＝x﹣1﹣（x﹣2） ＝x﹣1﹣x+2 ＝1． 故答案为：1． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14．（8分）（1）计算：； （2）计算：． 【解答】解：（1）原式＝2﹣（2） ＝2﹣2 ； （2）原式＝18﹣12﹣（3﹣22） ＝18﹣12﹣3+22 ＝21． 15．（8分）如图，在网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在格点上，点A和点B关于y轴的对称点的坐标分别为A1（2，2）和B1（5，﹣2）． （1）根据上述条件，在网格中画出平面直角坐标系xOy； （2）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1； （3）判断△ABC的形状，并证明你的结论． 【解答】解：（1）平面直角坐标系如图所示： （2）如图，△A1B1C1即为所求； （3）结论：△ABC是直角三角形． 理由：∵AC，BC2，AB5， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴∠ACB＝90°， ∴△ABC是直角三角形． 16．（10分）如图1是一种升降阅读架，由面板、支撑轴和底座构成．图2是其侧面结构示意图，面板AB固定在支撑轴端点C处，CD⊥AB，支撑轴长CD＝16cm，支撑轴CD与底座DE所成的角∠CDE＝45°． （1）求端点C到底座DE的距离； （2）如图3，为了阅读舒适，将CD绕点D逆时针旋转15°后，点B恰好落在直线DE上，问：端点C到底座DE的距离减少了多少？ 【解答】解：（1）如图2，过点C作CF⊥DE于点F， ∵∠CDE＝45°， ∴△CFD是等腰直角三角形， ∴CF＝DF， 在Rt△CFD中，由勾股定理得：CF2+DF2＝CD2， ∴2CF2＝CD2＝162， ∴CF＝8（cm）（负值已舍去）； （2）如图3，过点C作CH⊥DE于点H， ∵将CD绕点D逆时针旋转15°后，点B恰好落在直线DE上， ∴∠CDE＝45°﹣15°＝30°， ∴CHCD16＝8（cm）， ∴端点C到底座DE的距离减少了（88）cm． 17．（10分）如图表示一个正比例函数y1＝k1x与一个一次函数y2＝k2x+b的图象，它们交于点A（4，3），一次函数的图象与y轴交于点B，且OA＝OB． （1）求点B的坐标． （2）求这两个函数的解析式． （3）在直线x＝﹣3上找一点P，使得△PAB的周长最小，直接写出点P的坐标． 【解答】解：（1）∵点A坐标为（4，3）， ∴OA5， ∵OA＝OB， ∴B点坐标为（0，﹣5）； （2）把A（4，3）代入y1＝k1x，求得k1， ∴y1x； 把A（4，3），B（0，﹣5）代入y2＝k2x+b，求得k2＝2，b＝﹣5， ∴y2＝2x﹣5． （3）∵△PAB周长为PA+PB+AB， ∴求△PAB周长最小，也就是求PA+PB的最小值． 作出点A对于直线x＝﹣3的对称点A′，连接A′B，交直线x＝﹣3于点P，如图： 此时△PAB周长最小． 设直线A′B的解析式为y＝kx+b， ∵经过A′（﹣10，3），B（0，﹣5）， ∴代入y＝kx+b求得k，b＝﹣5， ∴y5， 当x＝﹣3时，y（﹣3）﹣5， 所以点P坐标为（﹣3．）． 18．（12分）小林同学是一名剪纸爱好者，喜欢运用数学知识对自己的剪纸作品进行分析思考，下面是他利用勾股定理对部分剪纸作品的数量关系进行探究思考的过程，请你帮助他一起完成． （1）如图①是以Rt△ABC的三条边为直径，向外作半圆，其面积分别记为S1，S2，S3，请写出S1，S2，S3之间的数量关系：S1+S2＝S3 ； （2）如图②是由四个全等的直角三角形紧密地拼接形成的飞镖状图案，测得AB+AC＝20，OC＝5，求该飞镖状图案的面积； （3）如图③是由八个全等的直角三角形紧密地拼接形成的大正方形ABCD，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3．设直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，斜边长为c，则c2＝a2+b2．若S1+S2+S3＝16，求S2值． 【解答】解：（1）∵以Rt△ABC的三条边为直径，向外作半圆，a2+b2＝c2， ∴，，， ∴， ∴S1+S2＝S3， 故答案为：S1+S2＝S3； （2）设OA＝a，AB＝c，则AC＝OA﹣OC＝a﹣5， 由题可得：OB＝OC＝5， ∵AB+AC＝20， ∴c+a﹣5＝20 ∴c＝25﹣a， 在Rt△AOC中，由勾股定理得AB2＝OB2+OA2， ∴（25﹣a）2＝52+a2， 解a＝12， ∴飞镖状图案的面积； （3）由题意得，，，， ∵c2＝a2+b2，S1+S2+S3＝16， ∴ ＝a2+2ab+b2+c2+a2﹣2ab+b2 ＝2（a2+b2）+c2 ＝2c2+c2 ＝3c2 ＝16， ∴， ∴． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19．若x，y为实数，且，则xy＝ 　2026　 ． 【解答】解：∵x，y为实数，且， ∴， ∴解得：x＝1， ∴y＝2024， ∴xy＝1×2026＝2026． 故答案为：2026． 20．若点P（﹣1，y1）和点Q（3，y2）是一次函数y＝（﹣k2﹣1）x+b的图象上的两点，y1与y2的大小关系是：y1　＞　 y2（填“＞，＜或＝”）． 【解答】解：∵﹣k2﹣1＜0， ∴一次函数性质为：y随x的增大而减小， ∴y1＞y2， 故答案为：＞． 21．棱长分别为3cm和2cm的两个正方体如图所示放置，点A，B，E在同一直线上，顶点G在棱BC上，点P是棱E1F1的中点．一只蚂蚁要沿着正方体的表面从点A爬到点P，它爬行的最短距离是 　cm ． 【解答】解：如图，有两种展开方法： 方法一：PA（cm）， 方法二：PA（cm）． 故需要爬行的最短距离是cm． 故答案为：cm． 22．定义：若三个正整数a，b，c满足a＜b，a2+b2＝c2，且c﹣b＝1，则称（a，b，c）为“邻近”勾股数组．例如：（3，4，5），（5，12，13）都是“邻近”勾股数组，将a从小到大排列，分别记为a1，a2，a3，…，an（n为正整数），对应的b记为b1，b2，b3，…，bn，对应的c记为c1，c2，c3，…，cn，若n＝3时，c3的值为　25　 ；若n＝10时，b10的值为　220　 ． 【解答】解：∵“邻近”勾股数组为：（3，4，5），（5，12，13）…， ∴an＝2n+1， ∵a2+b2＝c2， ∴a2＝c2﹣b2， ∴a2＝（c+b）（c﹣b）， ∵c﹣b＝1， ∴a2＝c+b， ∴n＝3时，a3＝2n+1＝2×3+1＝7， 则c3+b3＝72＝49， ∴c3＝25， 当n＝10时，a10＝2n+1＝2×10+1＝21， 则c10+b10＝212＝441， ∴b10＝220， 故答案为：25；220． 23．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D为BC的中点，E，F，G分别为线段AD，线段BD和线段CB上的动点（E，F，G均不与线段端点重合），，点P为线段EF的中点，将线段AG绕点A顺时针旋转至线段AH，使得旋转角∠GAH＝∠BAC，则线段PH的最小值为　　 ． 【解答】解：∵AB＝AC＝5，BC＝8，D为BC的中点， ∴，AD⊥BC，∠ABC＝∠C， ∴， 在直角三角形ABD中，由勾股定理得：， 连接PD， ∵点P为线段EF的中点， ∴， ∴点P在以点D为圆心，1为半径的圆上， 如图，作射线BH，连接DH交AB于点Q，当点P在线段DH上时，此时PH最小，最小值为DH﹣1， 当DH最小时，PH最小， ∵∠GAH＝∠BAC， ∴∠BAH＝∠CAG， ∵将线段AG绕点A顺时针旋转至线段AH， ∴AH＝AG， 在△ABH和△ACG中， ， ∴△ABH≌△ACG（SAS）， ∴∠ABH＝∠C， ∴∠ABH＝∠ABC， ∴点H在射线BH上运动， ∴当DH⊥BH时，DH最小，此时PH最小， 过点D作DM⊥AB于点M，则∠AMD＝∠BMD＝∠ADB＝90°， ∴∠BAD+∠ABD＝90°＝∠BAD+∠ADM， ∴∠ABH＝∠ABD＝∠ADM， ∵∠BHD＝∠BMD＝90°，∠BQH＝∠DQM， ∴∠ABH＝∠QDM， ∴∠DAM＝∠DQM， ∴DQ＝AD＝3， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24．（8分）已知宿舍、公园、补给站在同一条直线上，公园距离宿舍30km，补给站距离宿舍60km．骑行队的小军从宿舍出发，匀速骑行1.5h到达公园；他在公园休息1h后，他匀速骑行1.5h到补给站；小军在补给站用0.5h就餐，然后他返回宿舍：在回宿舍的途中，他匀速骑行2h后减速，以新的速度继续匀速骑行1.5h回到宿舍．图中x（单位：h）表示小军离开宿舍的时间，y（单位：km）表示小军离宿舍的距离．图象反映了这个过程中小军离宿舍的距离与他离开宿舍的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： （Ⅰ）填表： 小军离开宿舍的时间（单位：h） 1 1.5 2 4.5 6.5 小军离宿舍的距离y（单位：km） 30 60 （Ⅱ）填空： ①小军从补给站返回宿舍的途中，减速前匀速骑行的速度为　22.5　 km/h，减速后匀速骑行的速度为　10　 km/h； ②当0≤x≤4时，请直接写出y关于x的函数解析式； （Ⅲ）若小军刚刚到达补给站时，骑行队的小红恰好从补给站出发以15km/h的速度匀速骑行直接返回宿舍．那么小红从补给站回到宿舍的途中（4≤x≤8），直接写出小红与小军之间距离的最大值． 【解答】解：（Ⅰ）小军从宿舍到公园的速度为：30÷1.5＝20（km/h）， ∴小军离开宿舍1小时时离宿舍的距离为：1×20＝20（km）， 由图象知，当x＝2时，y＝30；当x＝6.5时，y＝15， 填表： 小军离开宿舍的时间（单位：h） 1 1.5 2 4.5 6.5 小军离宿舍的距离y（单位：km） 20 30 30 60 15 故答案为：20，30，15； （Ⅱ）①小军从补给站返回宿舍的途中，减速前匀速骑行的速度为：22.5（km/h）； 减速后匀速骑行的速度为：10（km/h）． 故答案为：22.5，10； ②当0≤x≤1.5时，y＝20x； 当1.5＜x≤2.5时，y＝30； 当2.5＜x≤4时，y（x﹣2.5）+30＝20x﹣50+30＝20x﹣20． 综上所述，当0≤x≤4时，y关于x的函数解析式为y； （Ⅲ）设小红从补给站回到宿舍的途中y与x的函数解析式为：y＝60﹣15（x﹣4）＝﹣15x+120， 在坐标系中画出函数图象，如图： 设小红与小军之间距离为d， ①当4＜x≤4.5时，由图象可知，当x＝4.5时，d最大，最大值为60﹣（﹣15×4.5）+120＝7.5； ②当4.5＜x≤6.5时，当x＝6.5时，d＝﹣15×6.5+120﹣15＝7.5， ∴当4.5＜x≤6.5时，d的最大值为7.5； ③当6.5＜x≤8时，两人之间的距离越来越小． 综上所述，小红与小军之间距离的最大值为7.5km． 25．（10分）如图，自行车每节链条的长度为2.5cm，交叉重叠部分的圆的直径为0.8cm． （1）观察图形填写下表： 链条节数/节 2 3 4 链条总长度/cm （2）如果x节链条的总长度是ycm，求y与x之间的函数关系式． （3）如果一辆自行车的链条（安装前）由80节这样的链条组成，那么这根链条安装到自行车上后，总长度是多少厘米？ 【解答】解：（1）根据图形可得出： 2节链条的长度为：2.5×2﹣0.8＝4.2， 3节链条的长度为：2.5×3﹣0.8×2＝5.9， 4节链条的长度为：2.5×4﹣0.8×3＝7.6． 故答案为：4.2，5.9，7.6； （2）由（1）可得x节链条长为：y＝2.5x﹣0.8（x﹣1）＝1.7x+0.8； ∴y与x之间的关系式为：y＝1.7x+0.8； （3）因为自行车上的链条为环形，在展直的基础上还要缩短0.8，故这辆自行车链条的总长为1.7×80＝136厘米， 所以80节这样的链条总长度是136厘米． 26．（12分）如图△ABC中AC＝BC，∠ACB＝90°．点D是平面内一点，连接CD，将CD绕着点C逆时针旋转90°与CE重合，连接DE． （1）如图1，当点D在△ABC内部时，连接AD，若CD平分∠ACB且，CA＝5，求AD的长； （2）如图2，当点D在△ABC外部时，连接AE，F是AE的中点，连接FD并延长到G，连接EG．若EG＝EB，求证：∠EGF＝∠FDA； （3）如图3，当点D在△ABC的中线CF上时，在线段BF上取一点Q（不与F重合），连接DQ，将△FDQ沿DQ翻折得到△F′DQ，连接BF′、EF′，若CD＝2，，当BF′最小时，求△DEF′的面积． 【解答】（1）解：过点D作DF⊥AC于点F，如图， 由题意得：∠ACB＝∠DCE＝90°，CD＝CE＝2， ∵CD平分∠ACB， ∴∠DCA＝45°． ∵DF⊥AC， ∴△CFD为等腰直角三角形， ∴CF＝DFCD＝2， ∵CA＝5， ∴AF＝AC﹣CF＝3， ∴AD； （2）证明：延长DF至点H，使FH＝FD，连接EH，如图， 在△FEH和△FAD中， ， ∴△FEH≌△FAD（SAS）， ∴EH＝AD，∠H＝∠FDA． 由题意得：∠ACB＝∠DCE＝90°，CD＝CE， ∴∠ACB+∠BCD＝∠ECD+∠BCD， ∴∠ACD＝∠ECB． 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE， ∵EG＝EB， ∴EH＝EG， ∴∠H＝∠EGF， ∴∠EGF＝∠FDA； （3）解：连接BD，如图， ∵AC＝BC，∠ACB＝90°，CF为△ABC的中线， ∴CF⊥AB，CF＝AF＝BFAB， ∵， ∴ABAC＝6， ∴CF＝AF＝BF＝3， ∵CD＝2， ∴CE＝CD＝2，DF＝CF﹣CD＝1， ∵将△FDQ沿DQ翻折得到△F′DQ， ∴DF′＝DF＝1， ∴点F′在以点D为圆心，1为半径的圆上， ∴当点B，F′D在一条直线上时，BF′最小， ∵DF＝1，BF＝3， ∴BD， ∴当BF′最小时，DF′＝1，BF′1， ∵梯形BFCE的面积（BF+CE）•CF（2+3）×3，2，， ∴S△BDE＝梯形BFCE的面积﹣S△CDE﹣S△BDF4， ∵△DEF′与△BDE中，BD边上的高与DF′边上的高相同， ∴， ∴△DEF′的面积． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $