专题10 一次函数（期中真题汇编，四川专用）八年级数学上学期

专题10 一次函数 考点01 函数的概念 考点02 函数的表示 考点03 一次函数的概念 考点04 一次函数的图象和性质 考点05 一次函数与方程（组）、不等式 考点06 实际问题与一次函数 考点01 函数的概念 1．C 2．B 3．A 4．【答案】x≥ 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数即可列不等式求解． 【详解】根据题意得：3x﹣2≥0，解得：x． 故答案为x． 【点睛】本题考查了求函数自变量的范围，一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 5．【答案】 【分析】 根据分式的分母不能为0即可得． 【详解】 解：由题意得：， 解得， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了求自变量的取值范围，熟练掌握分式的分母不能为0是解题关键． 6．【答案】 【分析】 本题考查的是用关系式表示变量之间的关系，整式的加减运算，由图可知，将m张这样的白纸粘合后的总长度张白纸的总长个粘合部分的宽，把相关数据代入化简即可得到所求关系式． 【详解】 解：由题意可得：m张白纸粘合后的总长度为， 故答案为：． 7．【答案】 【详解】 解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故答案为． 8．【答案】 【分析】 本题考查变量之间的关系式，根据“剩余的钱总钱数花去的钱数”作答即可，正确得到数量关系是解题的关键． 【详解】 解：根据题意，得， 与的关系式是． 故答案为：． 考点02 函数的表示 1．B 2．A 3．B 4．D 考点03 一次函数的概念 1．B 2．A 3．D 4．B 5．【答案】-3 【分析】 直接把点代入函数，得到，再代入代数式即可得出结论． 【详解】 解：∵点 在函数的图象上， ∴， ∴ 故答案为：-3． 【点睛】 本题考查了一次函数图象 上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 6．【答案】1 【分析】根据关于x轴的对称点的坐标特点可得B（2，−m），然后再把B点坐标代入y＝−x＋1可得m的值． 【详解】点A关于x轴的对称点B的坐标为：（2，﹣m）， 将点B的坐标代入直线y＝﹣x+1 得：﹣m＝﹣2+1， 解得：m＝1， 故答案为1． 【点睛】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标，以及一次函数图象上点的坐标特点，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能使解析式左右相等． 7．【答案】 【分析】 本题主要考查了一次函数的定义，根据一次函数的定义即可求解，熟知一次函数的定义是解题的关键，一般地，形如，且是常数的函数叫做一次函数． 【详解】 解：∵关于的函数是一次函数， ∴ ，解得：， 故答案为：． 8．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）设函数解析式为，将，代入求出的值，即可得到与的函数关系式； （2）将代入与的函数关系式，即可求出的值． (1) 小问详解： 解：设与的函数关系式为， 当时， ， 解得： 与的函数关系式为， 即； (2) 小问详解： 解：当时， 解得：． 9．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查了求正比例函数的解析式，一次函数的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可设，再利用待定系数法计算即可得解； （2）将代入（1）中的式子计算即可得解； （3）求出当和时的的值，利用一次函数的性质即可得解． (1) 小问详解： 解：∵与x成正比例， ∴， ∵当时， ∴， 解得， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：当时，； (3) 小问详解： 解：当时，解得， 当时，解得， 故当时，x的取值范围为， 故答案为：． 10．【答案】-1 【分析】 根据一次函数的定义，即可求出k的值． 【详解】 解：∵是一次函数， ∴ ， 解得：； 故答案为：． 【点睛】 本题考查了一次函数的定义，解题的关键是熟练掌握一次函数的定义进行解题． 11．【答案】①     ② 【分析】 本题考查的是一次函数与正比例函数的定义，熟练掌握一次函数与正比例函数的定义是解题的关键．若两个变量和间的关系式可以表示成（，均为常数，）的形式，则称是的一次函数（为自变量，为因变量）；一般地，两个变量和间的关系式可以表示成（为常数，且）的形式，则称是的正比例函数，据此即可解答． 【详解】 当是关于的正比例函数时，得，， 解得； 当是关于的一次函数时，得， 解得； 故答案为：， 考点04 一次函数的图象和性质 1．C 2．C 3．C 4．D 5．B 6．B 7．D 8．C 9．C 10．A 11．A 12．B 13．B 14．D 15．D 16．A 17．【答案】 【分析】 本题考查了一次函数图象的平移，其法则是：上加下减，左加右减，掌握平移法则是关键；根据平移法则即可求解． 【详解】 解：由题意得：， 即； 故答案为：． 18．【答案】> 【分析】 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键．由，利用一次函数的性质可得出随的增大而减小解答即可． 【详解】 解：， 随的增大而减小， 又一次函数的图象经过，两点，且， ． 故答案为：． 19．【答案】 【分析】 本题考查一次函数图像的平移，掌握平移的规律：“左加右减，上加下减”是解题的关键． 函数向下平移3个单位长度，需将函数表达式中的常数项减去3，据此求解即可． 【详解】 解：将一次函数向下平移3个单位长度后， 得到直线的表达式为，即 ． 故答案为：． 20．【答案】1或 【分析】 本题主要考查了一次函数的图象和性质，根据一次函数的单调性，分类讨论a的正负情况：当时，函数为增函数，最大值在区间右端点处取得；当时，函数为减函数，最大值在区间左端点处取得．分别代入求解a的值． 【详解】 解：当时，函数为增函数，最大值在处， 代入得， 即， 解得； 当时，函数为减函数，最大值在处， 代入得， 即， 解得． 故答案为：1或． 21．【答案】 【分析】 本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的增减性质是解决此题的关键．由时，y随x的增大而减小，解答即可． 【详解】 解：根据一次函数的性质可知，当时，y随x的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 22．【答案】 【分析】 本题考查了一次函数的性质，根据，则随的增大而减小，因此 值较小对应 值较大． 【详解】 解：∵， ∴ 故答案为：． 23．【答案】四 【分析】 本题考查了已知一次函数经过的象限求参数范围，判断点所在的象限．先观察图象，得出一次函数经过第一、三、四象限，即，故点位于第四象限，即可作答． 【详解】 解：观察图象，得出一次函数经过第一、三、四象限， ∴， 则点在平面直角坐标系中位于第四象限， 故答案为：四. 24．【答案】 【分析】 此题考查的是比较一次函数图象上两点纵坐标的大小，掌握一次函数增减性的判断是解题关键． 由，根据一次函数的性质可得y随x的增大而增大，再结合即可得出结论． 【详解】 解：∵一次函数中， ∴y随x的增大而增大， ∵， ∴， 故答案为：． 25．【答案】4 【分析】 本题考查了求一次函数的解析式、一次函数的定义、利用平方根解方程，熟练掌握待定系数法是解题关键．将点代入一次函数的解析式可得一个关于的方程，再利用平方根解方程可求出的值，然后根据一次函数的定义可得，由此即可得出答案． 【详解】 解：∵一次函数的图象经过原点， ∴， 解得， 又∵函数是一次函数， ∴， 解得， 综上， 故答案为：4． 26．【答案】y＝2x+3 【分析】设直线OA的解析式为：y＝kx，代入（1，2）求出直线OA的解析式，再将直线OA向上平移3个单位长度，得到平移后的直线的表达式． 【详解】设直线OA的解析式为：y＝kx， 把（1，2）代入，得k＝2， 则直线OA解析式是：y＝2x． 将其上平移3个单位长度，则平移后的直线的表达式为：y＝2x+3． 故答案是：y＝2x+3． 【点睛】本题考查了直线的平移问题，掌握直线的解析式以及直线平移的性质是解题的关键． 27．【答案】（1）     （2）10或     （3）      【分析】 （1）根据题意求得，，推得，求得，待定系数法求直线的函数解析式即可； （2）根据题意求得，，根据面积等于面积的，列式即可求得或； （3）过点作点，根据等边对等角可得，推得，根据等角对等边可得，根据勾股定理可得，推得，当点、、三点共线时，为的最小值，根据等角对等边可得，推得，根据勾股定理可得，即可得到的最小值为． (1) 小问详解： 解：∵直线分别交轴，轴于点，点， 将代入， 解得， 将代入， 解得， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 设直线的解析式为． 将，代入得 ， 解得 ， ∴直线的解析式为； (2) 小问详解： 解：如图： ∵设点横坐标为，， ∴， ∵点在直线：上， 将代入解得， ∴， ∵面积等于面积的， ∴， ∴ 解得：或． (3) 小问详解： 如图，过点作点， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴， 在，根据勾股定理得， ∴； 当点、、三点共线时，为的最小值， 在中， ∵， ∴， ∵， 根据勾股定理，得 ∴的最小值为． 【点睛】 本题考查了求一次函数与坐标轴交点，求一次函数解析式，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，根据勾股定理求得最小值是解题的关键． 28．【答案】①     ② 【分析】 本题考查了一次函数的性质，轴对称的性质，点坐标规律的探究．先求得，，轴，得到点的坐标为，同理得到前几个点的坐标，找到规律，根据规律求解即可． 【详解】 解：对于， 当时，当时， ∴，， ∴， 由题意得，， ∴是等边三角形， ∴， ∴，即轴， ∴点的坐标为，同理，点的坐标为，点的坐标为， 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 当为偶数时，点的坐标为， ∴点的坐标为， 当时，， ∴点的坐标为， ∴点的坐标为， 故答案为：，． 29．【答案】（1）     （2）交轴于点，交轴于点      【分析】 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用待定系数法解题即可； （2）将，分别代入，即可算得答案． (1) 小问详解： 解：设一次函数为，代入， ， 解得 ， ； (2) 小问详解： 解：当时，； 当时，； 那么图象交轴于点，交轴于点． 30．【答案】（1）     （2）     （3）或      【分析】 本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特点，待定系数法求函数解析式，坐标轴上两点间距离，绝对值方程等知识﹒ （1）先求出，，根据三角形面积公式即可求解； （2）根据待定系数法即可求解； （3）先求出，进而求出，设点坐标为，得到，根据与的面积相等得到，求出，问题得解﹒ (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∵第三象限内有一点， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：设直线的函数关系式为， ∵，， ∴ ， 解得 ∴直线的函数关系式为； (3) 小问详解： 解：把代入得， ∴， ∵点是轴上的动点， ∴设点坐标为， ∴， ∵与的面积相等， ∴， 即， ∴﹒ 综上所述，点的坐标为或﹒ 31．【答案】（1）直线的解析式为     （2）     （3）或      【分析】 本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点问题，求直线所围成的图形面积，解题的关键是画出图形，数形结合，熟练掌握待定系数法． （1）先求出点C的坐标，然后用待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出点A、B的坐标，得出，然后根据求出结果即可； （3）设点，求出，，根据题意得到，求解即可． (1) 小问详解： 解：∵直线：与相交于点， ∴， 解得， ∴，              设直线的表达式为， 把点，代入得： ∴ ， 解得 ， ∴直线的解析式为； (2) 小问详解： 解：当时， ∴直线与y轴的交点D的坐标为， ∴， 当时，， ∴直线与x轴的交点A的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴． (3) 小问详解： 解：设点，则， ∵，， ∴， ∴，即， 解得或， ∴点M的坐标为或． 32．【答案】 【分析】 本题考查了一次函数的平移，一次函数的图象,正确理解一次函数的平移规律是解题的关键．先求出直线向上平移3个单位长度后所得直线的解析式，再将代入该解析式，即可求得答案． 【详解】 将直线向上平移3个单位长度后所得直线的解析式为， 将代入得 解得， 故答案为：． 33．【答案】（1）；     （2）或；     （3）的坐标为或．      【分析】 （1）先由非负性求、得顶点坐标，再用待定系数法求的解析式，确定与的交点的坐标，最后用铅锤法（以为铅锤，分为两段，结合水平宽）计算的面积． （2）根据三角形面积公式，结合面积关系列方程求点坐标． （3）利用角平分线性质确定点，再分情况构造全等三角形求点坐标． (1) 小问详解： 解：， ， ，， ，， ，，， 设直线的解析式为，代入、，得 ， 解得，， 直线的解析式为， 令与的交点，，得，即与的交点， ， ∴ ； (2) 小问详解： 解：，， ， ，， ， ， 或， 或， 或； (3) 小问详解： 解：过点作于， 平分，轴， ，设，则，， 在中， ， ， ， ，， ， 情况1：，时， 过作轴于， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ； 情况2：， 过作轴于， 同理可证， ，， ， ； 综上，的坐标为或． 【点睛】 本题主要考查了非负数的性质、待定系数法求一次函数解析式、铅锤法求三角形面积、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握铅锤法中“找铅锤线与三角形边的交点，拆分面积计算”是解题的关键． 34．【答案】（1），；     （2）或     （3）点P的坐标为或或或或或．      【分析】 （1）根据求与轴交点坐标的方法，列出方程即可得到结论； （2）先求得，分两种情况讨论，利用待定系数法求解即可得出结论； （3）如图2，① 当点是直角顶点时；② 当点是直角顶点时；③ 当点是直角顶点时，根据全等三角形的性质即可得出结论． (1) 小问详解： 解：令，则， 解得：， ∴， 令，则， ∴； (2) 小问详解： 解：∵经过点的直线将分成面积比为的两部分， 设直线交于点，且直线的解析式为， ∵，， ∴，， ∴， ∵经过点的直线将分成面积比为的两部分， 设直线交于点， ∴或， ∵点， ∴， 当时，则， ∴，则， ∴点， ∴，解得， ∴该直线的函数关系式为； 当时，则， ∴，则， ∴点，∴，解得， ∴该直线的函数关系式为； 综上，该直线的函数关系式为或； (3) 小问详解： 解：存在；理由如下： ∵直线的解析式为， 由平移知，直线的解析式为， ∴，， ① 当点是直角顶点时，如图，过点作轴于点， ∴， ∵，，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴或， ∴， ∴， ∴点P的坐标为， 当点时， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； ② 当点是直角顶点时， ∵直线的解析式为， 由平移知，直线的解析式为， ∴，， 当点在原点上方时， 同理， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 当点在原点下方时， 同理， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； ③ 当Q是直角顶点时，过Q作轴于H， 当点在原点上方时，     ∴， ∴，， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 当点在原点下方时， 同理，点P的坐标为； 综上：满足条件的点P的坐标为或或或或或． 【点睛】 此题目是一次函数综合题，主要考查了一次函数的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式，等腰直角三角形的性质，判断是解本题的关键． 35．【答案】（1）(5,7)     （2）     （3）      【分析】 本题重点考查了二元一次方程组的求解，点到坐标轴的距离，一次函数的解析式和两点坐标求两点距离等知识点，点到坐标轴的距离为点到轴、轴的距离，应注意取相应坐标的绝对值，一次函数的解析式为，两点之间的距离公式为，熟练掌握公式以及公式的运用是解题的关键． （1）将已知条件直接代入表达式即可完成求解，得到的坐标． （2）根据已知条件，分和两种情况进行讨论，求得点的坐标，进而得到直线的解析方程式，得到其与轴或轴的交点，将拆解成两个三角形和，分别计算两个三角形的面积，即可得到答案． （3）此题通过已知条件，得到的坐标，进而得到，用含的表达式得到，的坐标，利用两点之间的距离公式得到的值，解方程得到的值，最终求得的坐标，此题中还需要注意的第二象限，需要舍弃不符合条件的值． (1) 小问详解： 解：符合， ∴， ∴的坐标为． 答：的坐标为． (2) 小问详解： 解：设， 当时，将代入方程得到方程组， ， 用代入消元法解得到，符合的设定， 得到， 设直线的解析方程式为，将代入上式， ， 用加减消元法解得， ∴直线的方程式为， ∴直线与轴的交点为， ∴此时轴将分割成两个三角形和， ∴； 当时，将代入方程得到方程组， ， 用代入消元法解得到，符合的设定， 得到， 设直线的方程式为，将代入方程式， ， 用加减消元法解得， ∴直线的方程式为， ∴直线与轴的交点为， ∴此时轴将分割成两个三角形和， ∴． ∴的面积为． 答：的面积为． (3) 小问详解： 解：∵点在第二象限， ∴， ∴的坐标为， ∵的纵坐标为， ∴，即， ∴的坐标为，的坐标为 ∴， ∴， ∴或， ∵， ∴， ∴点的坐标为． 答：点的坐标为． 36．【答案】（1）；     （2）①；② 存在，t的值为8或或或12．      【分析】 （1）将点代入直线解得；即可将代入直线求得b即可； （2）① 根据的面积公式列等式可得t的值； ② 存在，分三种情况：当时，如图1，当时，如图2，当时，如图3，分别求t的值即可． (1) 小问详解： 解：在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交A、B两点，与直线相交于点．将点代入得： ， 将点代入直线得： ∴， 解得：； (2) 小问详解： 解：由（1）知：， 当时， ， ， ， ， ； ① 设，则，过C作于E，如图1所示： ， ， 的面积为10， ∴， 解得：； ② 存在t的值，使为等腰三角形；理由如下： 过C作于E，如图1所示： ， ，， ∴， ∴； a．当时， ， ； b．当时，如图2所示： 则， ，， 或； c．当时，如图3所示： 设，则，， ， 解得：， ∴P与E重合， ， ； 综上所述，存在t的值，使为等腰三角形，t的值为8或或或12． 【点睛】 本题属于一次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形性质，勾股定理，等腰三角形的判定，以及一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握性质及定理是解本题的关键，并注意运用分类讨论的思想解决问题． 37．【答案】（1）此一次函数的“伴随函数”解析式为；     （2）存在，点M的坐标为或；     （3）点Q的坐标为或或．      【分析】 （1）先求得一次函数的解析式为，再利用“伴随函数”的定义求解即可； （2）分两种情况讨论，利用相似三角形的判定和性质求解即可； （3）在轴下方作交轴于点，作于点，连接，当共线时，的最小值为的长，利用直角三角形的性质结合勾股定理可求得点P的坐标为，求得直线的解析式为，点Q的坐标为，分两种情况讨论，即可求解． (1) 小问详解： 解：∵一次函数的图象经过，， ∴ ，解得 ， ∴一次函数的解析式为， ∴此一次函数的“伴随函数”解析式为； (2) 小问详解： 解：对于直线，令，则， ∴， ∵点N是线段中点， ∴， 设直线交轴于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， 当点M在轴上方时， ∴点M的坐标为， 当点M在轴下方时， ∴点M的坐标为， 综上，点M的坐标为或； (3) 小问详解： 解：在轴下方作交轴于点，作于点，连接， ∴，，即， 当共线时，的最小值为的长， ∵， ∴的最小值为的长， ∵，， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴点P的坐标为， ∵将点C向右平移一个单位长度得到点D， ∴点D的坐标为， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∵点Q在直线上， ∴设点Q的坐标为， ∵， ∴， 当即时， ∴，解得， ∴， ∴点Q的坐标为或； 当即时， ∴， 解得(舍去)，， ∴， ∴点Q的坐标为； 综上，点Q的坐标为或或． 【点睛】 本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数图象与坐标轴交点，等腰三角形的定义，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质和勾股定理，熟练掌握相关知识，并运用数形结合的思想分析问题进行分类讨论是解题的关键． 考点05 一次函数与方程（组）、不等式 1．【答案】 【分析】 本题考查了一次函数与一元一次方程，熟练掌握函数图象法是解题关键．根据一次函数的图象可得当时，由此即可得． 【详解】 解：由一次函数的图象可知，当时， 则关于的方程的解为， 故答案为：． 2．【答案】 【分析】 本题主要考查了一次函数与一元一次方程之间的关系，难度不大，认真分析题意即可． 根据一次函数与轴交点坐标可得出答案． 【详解】 解：∵， ∴， ∵一次函数的图象与轴交于点， ∴当时，即时， ∴关于的方程的解是． 故答案为：． 3．【答案】 【分析】 本题考查一次函数图象与坐标轴的交点坐标及三角形的面积，求出直线与坐标轴的交点，根据三角形的面积公式解答即可． 【详解】 解：当时，；令，则，解得， ∴直线与x轴交于点，与y轴交于点， ∴直线与两坐标轴围成的三角形的面积为， 故答案为：． 4．【答案】（1）点，直线AB的表达式为：     （2）点或     （3）的坐标为或或或      【分析】 本题主要考查了一次函数综合运用，等腰三角形的性质、面积的计算，勾股定理等知识点， （1）由待定系数法即可求解； （2）设点，由的面积，即可求解； （3）当时，则，即可求解；当或时，同理可得：或，求解即可； 熟练掌握其性质，分类求解是解决此题的关键． (1) 小问详解： 将点C的坐标代入得：则， ∴点， 将点C的坐标代入的表达式得：，则， 则直线的表达式为：； (2) 小问详解： 如图，设点， 由题意知，的面积， 解得：或， 即点或； (3) 小问详解： 设点， 由点B、C、Q的坐标得，，， 当时，则， 解得：，即点Q的坐标为或， 当或时， 同理可得：或， 解得：（舍去）或0或， 即点Q的坐标为或， 综上，的坐标为或或或． 5．【答案】 【分析】 本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点，三角形的面积，求出一次函数图象与坐标轴的交点坐标是解题的关键． 利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出点A，B的坐标，进而可得出，的长，再利用三角形的面积公式，即可求出的面积． 【详解】 解：如图， 当时， ∴点B的坐标为， ∴； 当时， 解得：， ∴点A的坐标为， ∴． ∴． 故答案为：． 6．【答案】x=1 【分析】方程ax+b=0的解为y=0时函数y=ax+b的x的值，根据图表即可得出此方程的解． 【详解】解：根据图表可得：当x=1时，y=0； 因而方程ax+b=0的解是x=1． 故答案为x=1． 【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程之间的关系：方程ax+b=0的解为函数值y=0时函数y=ax+b自变量x的取值． 7．【答案】（1），，，     （2）①，；②，，      【分析】 （1）根据直线与坐标轴存在交点可求得点A、点B坐标，根据两直线的交与点C可联立方程求得点C的坐标，根据三角形的面积公式即可求解； （2）① 根据题意设点、的坐标，根据列方程求解即可； ② 分、、三种情况，分别求解即可． (1) 小问详解： 解：∵直线：与x轴、y轴分别交于点A、点B， 故把代入得：； 把代入得：， ∴与轴、轴分别交于点、点坐标分别为、， ∵直线与交于点C， 联立得方程组： ， 解得： ， 故点； 则的面积； (2) 小问详解： 解：① 设点、的坐标分别为、 根据题意可得：， 解得：或， 所以点N的坐标为，； ② 设、、的坐标分别为、、， 当时，如图：     ，， ，，， ， ，， 即： ， 解得： ， ∴Q点坐标为： 当时，如图：    则，即：， 解得：， ； ∴Q点坐标为： 当时，如图：    则，即：， 解得：， ； ∴Q点坐标为： 综上，点的坐标为或或． 【点睛】 本题考查了一次函数的交点问题，两点间的距离公式，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形面积等，解题的关键是要注意分类求解，避免遗漏． 考点06 实际问题与一次函数 1．D 2．A 3．【答案】（1）     （2） 解：能完全溶解，理由如下： 当时， ∵， ∴能完全溶解．      【分析】 本题考查了一次函数的实际应用问题，熟练掌握一次函数的基本性质及图象是解此题的关键． （1）设一次函数的解析式为，将点，的坐标代入函数解析式，求出k，b后可得解； （2）已知条件将代入解析式中，求出y，最后比较得出结论． (1) 小问详解： 解：设y关于x的函数解析式为， ∵的图象过点与， ∴将两点的坐标代入函数解析式中得 ， 解得 ， ∴y关于x的函数解析式为． (2) 小问详解： 略 4．【答案】（1），     （2）     （3）油箱中的油不够用，还应再加油      【分析】 本题考查了一次函数的应用，从函数图象中正确获取信息是解题关键． （1）根据函数图象即可得； （2）设加油前油箱剩余油量与行驶时间的函数关系式为，根据点，，利用待定系数法求解即可得； （3）先求出汽车每小时的耗油量，再求出汽车从加油站到达目的地所需的油量，与比较大小即可得出结论． (1) 小问详解： 解：由图可知，汽车行驶后加油，中途加油， 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：设加油前油箱剩余油量与行驶时间的函数关系式为， 将点，代入得 ， 解得 ， 加油前油箱剩余油量与行驶时间的函数关系式为； (3) 小问详解： 解：汽车每小时耗油， 汽车从加油站到目的地耗油， ， 如果加油站距目的地，那么要到达目的地，油箱中的油不够用， 还应再加油． 5．【答案】（1），；     （2），；     （3）或．      【分析】 本题主要考查一次函数的综合应用，解决问题的关键是掌握掌握一次函数的性质． （1）中，分别令，，构造方程求解即可； （2）把代入即可求得，进而求得面积； （3）点，由，得，求解即可． (1) 小问详解： 解：中，令，则，解得， ∴点坐标为， 中，当时， ∴点坐标， 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：把代入得， ∴， ∴， ∵点坐标为， ∴面积为； (3) 小问详解： 解：点， ∵面积为，， ∴， ∵点坐标为，， ∴， 解得或， ∴或， 故答案为：或． 6．【答案】 【分析】 本题主要考查一次函数与几何综合，旋转前后对应边长度不变是解题的关键．先根据函数图象分别求出、的长度，再通过旋转之后对应边相等，结合旋转后轴，轴，可求出点的坐标． 【详解】 解：当时， 则， 当时，解得， 则， ∴，， ∵把绕点B逆时针旋转后得到， ∴，，轴，轴， ∴，， ∴点的坐标是． 故答案为：． 7．【答案】（1）     （2）①该厨具店选择方案二更省钱；②有更省钱的购买方案，购买80个电饭煲，按方案一获赠80个电热水壶，再按方案二购买剩余的120个电热水壶，方案所需费用为元      【分析】 本题考查了用代数式表示和一次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意正确列出函数表达式． （1）根据题目所给的两个方案，分别列出代数表达式即可； （2）① 将分别代入（1）中得出的两个函数表达式，即可解答； ② 先按方案一购买 80 个电饭煲，再按方案二购买 120 个电热水壶最省钱，计算即可． (1) 小问详解： 解：根据题意可得： ， ； (2) 小问详解： 解：①当时，． ， 该厨具店选择方案二更省钱． ②更省钱的购买方案： 购买80个电饭煲，按方案一获赠80个电热水壶，再按方案二购买剩余的120个电热水壶． 该方案所需费用为（元）． 8．【答案】（1）元；     （2）当时，；当时，；当时，；     （3）．      【分析】 本题主要考查了分段函数的实际应用，熟练掌握分段计费的计算逻辑、分情况列函数关系式是解题的关键． （1）将拆分为和超过的，分别按对应水价计算后求和． （2）分三段讨论的范围（不超过、到之间、超过），分别列出对应的函数关系式． （3）先判断元所在的计费段，再代入对应函数关系式求解． (1) 小问详解： 解：， 答：户居民本月的水费为元； (2) 小问详解： 解：当时，； 当时， ； 当时， ； (3) 小问详解： 解：先计算各段最大水费： 时，元； 时，元． 因，代入，得， 解得． 答：户居民本月用水量为． 9．【答案】（1）服务器的安装数量是5台，服务器的安装数量是8台；     （2）服务器的安装数量是10台，服务器的安装数量是5台时，安装总成本最少      【分析】 本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用． （1）设服务器的安装数量是台，服务器的安装数量是台，根据公司共有技术人员60人，全部参与维护且每人只负责一种服务器，总投入资金为188万元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设安排服务器的技术人员人，则安排服务器的技术人员人，安装总成本为万元，根据要求型号超过4台，求得，再根据题意列得，利用一次函数的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：设服务器的安装数量是台，服务器的安装数量是台． 根据题意可列： ， 解得： ， 答：服务器的安装数量是5台，服务器的安装数量是8台； (2) 小问详解： 解：设安排服务器的技术人员人，则安排服务器的技术人员人，安装总成本为万元， ∴服务器的安装数量是台，服务器的安装数量是台， ∵要求型号超过4台， ∴，解得， 由题意得， ∵， ∴的值随的增大而减少， ∵，且和都是整数， ∴当时，有最小值为200万元， 此时，， ∴当服务器的安装数量是10台，服务器的安装数量是5台时，安装总成本最少． 10．【答案】（1）y＝−0.1x＋1000；     （2）该工厂生产甲产品1000吨、乙产品1500吨时，能获得最大利润．      【分析】 （1）根据题意和题目中的数据，可以写出y与x之间的函数表达式； （2）根据（1）中的函数解析式和一次函数的性质，结合甲产品需求量吨数范围求解即可． (1) 小问详解： 设该工厂生产了甲产品x吨，则生产了乙产品（2500−x）吨， y＝0.3x＋0.4（2500−x）＝−0.1x＋1000， 即y与x之间的函数表达式是y＝−0.1x＋1000； (2) 小问详解： ∵y＝−0.1x＋1000， ∴y随x的增大而减小， ∴当x＝1000时，y取得最大值，此时2500−x＝1500， 答：该工厂生产甲产品1000吨、乙产品1500吨时，能获得最大利润． 【点睛】 本题考查一次函数的应用和性质，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求解． 11．【答案】（1）②，     （2）     （3）通讯方式① 更划算      【分析】 本题主要考查了一次函数的应用以及利用待定系数求函数解析式的相关知识，根据已知得出收费情况等式是解题关键． （1）根据当通讯时间为零的时候的函数值可以得到哪种方式有月租，哪种方式没有，结合图象可知每分钟话费； （2）根据图象经过的点的坐标设出函数的解析式，用待定系数法求函数的解析式即可； （3）求出当两种收费方式费用相同的时候自变量的值，以此值为界说明消费方式即可． (1) 小问详解： 结合图形，根据当通讯时间为零的时候的函数值为0，可知无月租费的收费方式是②， 设无月租费的收费方式中y与自变量x之间的函数关系式为：， 由图可知图象过点， 得到：， 解得： ∴无月租费的收费方式中y与自变量x之间的函数关系式为： 故通话一分钟收费是元 故答案为：②， (2) 小问详解： 设有月租费收费方式中y与自变量x之间的函数关系式， 由图可知，图象过点，得到： 解得： ， ∴有月租费收费方式中y与自变量x之间的函数关系式： (3) 小问详解： 由 解得： 由图可知： 当通话费用为时，两种①，②两种通讯收费方式的通话时长是一样的，一样划算； 当通话费用小于时，由图可知：通讯方式②的通话时长大于通讯方式①，方式②划算； 当通话费用大于时，由图可知：通讯方式①的通话时长大于通讯方式②，方式①划算； 而小昊的爸爸每月话费80元， ∵， ∴有月租费的通讯方式① 更划算． 12．【答案】 【分析】 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及勾股定理的应用，根据题目中所给的材料结合勾股定理和乘法公式是解答此题的关键．依据题意得到三个关系式：，，，运用完全平方公式即可得到c的值． 【详解】 解：∵点在“勾股一次函数”的图象上， 即， ∵分别是的三条边长，的面积为， ∴，， ∴， ， ∴， 解得：（负值舍去）． 故答案为：． 13．【答案】（1）     （2）当乘客数量为万人时，公共汽车线路收入万元；     （3）     （4）①，   ② 乘客数量是万人时，两种方案的收支差额相等      【分析】 本题考查一次函数的应用，理解横纵坐标的含义是解本题的关键． （1）计算当时，即可得到前期投入的资金数量； （2）根据B的坐标含义可得B表示的实际意义； （3）设y与x之间的关系式为，再利用待定系数法求解解析式即可， （4）① 先分别求解两种方案下的函数解析式； ② 令，建立方程求解即可． (1) 小问详解： 解：当时， ∴该公共汽车线路运营前即乘客数量为0时的前期投入为万元， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：点B的实际意义是当乘客数量为万人时，公共汽车线路收入万元； (3) 小问详解： 解：设直线的解析式为，把和代入得： ，解得： ， ∴直线的解析式为， (4) 小问详解： 解：① 方案1：票价不变，将运营前的前期投入降低为0.6万元， ∴函数关系式为：， 方案2：运营前的前期投入不变，将票价提高为0.9元/人， ∴函数关系式为：， ② 令，则， 解得：， ∴当乘客数量是万人时，两种方案的收支差额相等． 14．【答案】（1）直线的解析式为     （2）     （3）点E的坐标为、或      【分析】 本题属于一次函数综合题，结合几何与函数是解题的关键． （1）结合直线，先求出点的坐标，再结合点，利用待定系数法求解直线的解析式； （2）路径最短问题，利用轴对称将折现转化为线段，作出关于轴的对称点，解出直线的函数表达式，求该表达式与轴的交点即可； （3）等腰三角形存在问题，分类讨论，利用两点之间的长度公式进行解题，列出对应方程并求解． (1) 小问详解： 解：∵点在直线：上， ∴当时，即，解得， 故点的坐标为， 将点、代入直线：， 得 ，解得 ， ∴直线的解析式为． (2) 小问详解： 解：作点关于轴的对称点， 则点的坐标为， 连接，与轴相交于点，此时最小， 假设直线的函数表达式为， 将点、代入， 得 ，解得 ， 直线的解析式为 当时，解得， ∴与轴的交点为， 故点的坐标为 ． (3) 小问详解： 解： 以为腰时， ∵，故，点在轴上，故不存在， 当时，假设点的坐标为， 则， 化简该方程得，解得、， 以为底时，即=，结合点 得， 故可得方程，解得， 综上，点E的坐标为、或 15．【答案】（1）     （2）点的坐标为或     （3）      【分析】 （1）由非负数性质解出，，代入已知点坐标求出及一次函数解析式； （2）先求，再利用，求得，再用面积割补法建立方程； （3）利用和旋转，构建等边三角形，证得，根据选择求得，在中，求得，在用勾股定理求得. (1) 小问详解： 解：， ，， ，， ，， ， 解得 ， (2) 小问详解： 如图，过点作轴，交直线于点， 直线的解析式为，且与直线相交于点， ， 解得， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为，则， ， 直线的解析式为， 设，则， ， ， 即 解得：或， 点的坐标为或 (3) 小问详解： 在上截取线段，使得， ∴， ∵ ∴为等边三角形 ∴ ∴ 即 在和中 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵在中，， ∴ ∴ ∴ ∵在中， ∴ 【点睛】 本题考查了一次函数解析式求解、三角形面积计算、旋转性质与全等三角形的判定与运用；解题的关键在于利用非负数和性质确定函数参数，通过面积关系构造方程求点坐标，借助旋转构造等边三角形实现线段转化；易错点是计算三角形面积时对“同底等高”的准确运用，以及旋转后对应点位置的准确判断． 16．【答案】（1）     （2）     （3）存在；或，或．      【分析】 本题主要考查了一次函数的图象和性质，一次函数的综合问题，全等三角形的性质，以及坐标与图形等知识，掌握这些知识是解题的关键． （1）先求出点B的坐标，再求出点A的坐标，把点A的坐标代入解析式即可求出答案． （2）先求出，由折叠的性质可知，，设，则，，，最后由勾股定理求解即可． （3）先用等面积法得出，再得出以O，E，F为顶点的三角形与全等时，斜边为对应边，，然后分两种情况利用全等三角形的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：当时， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 把代入， 即 解得． (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， 由折叠的性质可知：，， ∴， ∴， ∴． 设， 则，， 则， 在中， 即， 解得：， ∴ (3) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∴以O，E，F为顶点的三角形与全等时，斜边为对应边，， 当时， ∴， ∴点E的横坐标为：或， 由（1）直线的解析式为， ∴点E的纵坐标为：，或， 故或 当时， ∴， ∴点纵坐标为或， ∴点E的纵坐标为或， 即或， 解得：或， ∴或 综上：存在以为顶点的三角形与全等，则点E的坐标为：或，或． 17．【答案】 【分析】 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，待定系数法求解析式，联立解析式构造方程组求交点坐标，熟练掌握全等三角形的判定和性质，待定系数法求解析式，联立解析式构造方程组求交点坐标是解题的关键．将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点B作轴，过点D作轴，二线交于点F，证明，确定点D的坐标，连接交于点K，证明点K是的中点，确定直线的解析式，联立求交点坐标即可． 【详解】 将线段绕点顺时针旋转90°得到线段 过点B作轴，过点D作轴，二线交于点F，交x轴于点G， ∴，，四边形是矩形， ∵ ， ∴， ∴，四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴K为的中点， ∴， 故直线与直线的交点即为点． 设直线的解析式为，    把和的坐标代入得： ， 解得： 则直线的解析式是 由 ， 解得： ， ∴点坐标为． 故答案为：． 18．【答案】①     ② 【分析】 本题考查一次函数图象与系数的性质，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊点解决问题，属于中考压轴题， （1）由题意可知点横纵坐标的绝对值的和为4，依次列式求出m的值即可； （2）如图，取．连接，“垂距点”所构成的图形解析式为，去掉绝对值符号后应该分为四段，图象即为如图所示的正方形（不包括顶点），说明点的一次函数图象与正方形有交点，据此求出结论即可． 【详解】 解：由题意得：， ① 当时，则， 解得， ② 当时，则， 解得， 故m的值为； 如图，取．连接， 依题意，得：“垂距点”所构成的图形解析式为，去掉绝对值符号后应该分为四段，图象即为如图所示的正方形（不包括顶点）， ∵过点的一次函数图象存在“垂距点”， 则说明点的一次函数图象与正方形有交点， ∵直线经过点， ∴， ∴， ∴过点 的一次函数表达式为， ∴当直线经过时，则， 解得：， 当直线经过时，则， 解得：， 观察图象可知满足条件的k的取值范围为． 故答案为：；． 19．【答案】（1），     （2）或     （3）或或或．      【分析】 本题考查一次函数的综合应用．正确的求出直线与坐标轴的交点坐标，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键． （1）令，求出x的值，得到点A的坐标，令，求出y的值，得到点B的坐标； （2）分点在点上方和点在点下方两种情况讨论． （3）若是等腰三角形，且点P在x轴上，分，，三种情况，由等腰三角形的性质，结合勾股定理分别求解即可． (1) 小问详解： 解：当时， ； 当时，， ； (2) 小问详解： 解：∵点在轴上，的面积为6， ， ， ， 当点在点上方时，； 当点在点下方时，． (3) 小问详解： 解：∵，， ∴，， ∴， 当时， 则点P的坐标为或； 当时，根据等腰三角形的三线合一性质得， ∴点P的坐标为； 当时，设点P的坐标为， 根据题意，得， 解得：， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或或． 20．【答案】（1）     （2）     （3）或      【分析】 （1）利用待定系数法求解即可； （2）过点作轴的对称点，连接交轴于点，过点作于点，此时，可得到最小值，再利用勾股定理运算求解即可 （3）在轴正半轴上取一点，使，连接，过作于，过作轴，过作于，过作于，延长交轴于，证出，设，利用全等三角形的性质求出坐标，求出直线的解析式得到的坐标，利用坐标的对称性得到的坐标，求出直线的解析式和直线的解析式，联立起来即可得到的坐标，根据，得出当点N在点处时，联立 ，解方程，求出结果即可． (1) 小问详解： 解：设直线的解析式为：，把，分别代入可得： ， 解得： ， ∴直线的解析式为：； (2) 小问详解： ∵周长， ∴当最小时，的周长最小， 作点关于轴对称的点，连接交轴于点，过点作于点，如图所示： 此时，可得到最小值， ∵，与关于轴对称， ∴， ∵为中点，， ∴，即， ∴， ∴，，， ∴在中， 在中， ∴周长； (3) 小问详解： 解：在轴正半轴上取一点，使，连接，过作于，过作轴，过作于，过作于，延长交轴于，如图： ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴，， 设， ∴ ， ∴ ， 解得： ， ∴， 设直线的解析式为：，把，分别代入可得： ， 解得： ， ∴直线的解析式为：， 把代入，可得：， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴点与点关于轴对称， ∴， 设直线的解析式为：，把，分别代入可得： ， 解得： ， 设直线的解析式为：， 设直线的解析式为：，把，分别代入可得： ， ， ∴直线的解析式为：， ∴联立直线与直线可得： ， 解得：， 把代入可得：， ∴； ∵， ∴当点N在点处时，符合题意， ∵此时直线的解析式为，直线的解析式为：， ∴联立 ， 解得： ， ∴点的坐标为； 综上分析可知：点N的坐标为或． 【点睛】 本题考查了一次函数的图像性质，待定系数法求一次函数解析式，轴对称的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，合理做出辅助线是解题的关键． 21．【答案】（1）     （2）     （3），      【分析】 （1）根据，，得到的坐标，待定系数法求出直线的解析式； （2）勾股定理求出的长，折叠求出的长，设，根据勾股定理，可以求出长，进而求出三角形的面积比； （3）分点P在第三象限内和第一象限内两种情况解题即可． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴，， ∴设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴； (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∵将沿所在直线翻折后，点A恰好落在y轴上的点D处， ∴， ∴， 设，则， ∴． 在中：， ∴， ∴． ∴， ∴，， ∴； (3) 小问详解： 解：存在，理由如下： 如图，当点P在第三象限内时，过C作于M，过M作轴，轴于E，F， 则，， 又∵ ∴ ∴ ∴， ∵轴，轴 ∴四边形为正方形 ∴， ∴） ∴直线解析式为：， ∵两点坐标为： ∴直线解析式为：， 联立方程组，解得： ， ∴ 如图，当点P在第一象限内时，过C作于M，过M作轴，轴于E，F， 则，， 又∵ ∴ ∴， ∵轴，轴 ∴四边形是正方形 ∴， ∴， ∴直线解析式为：， ∵两点坐标为：， ∴直线解析式为：， 联立方程组，解得： ， ∴， 综上所述，或． 【点睛】 本题考查一次函数的解析式，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正方形的判定与性质，坐标与图形，解题的关键是分清点所在象限，正确写出点的坐标． 22．【答案】（1）     （2）     （3）     （4）或或或      【分析】 （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出，再根据勾股定理求得，再利用等面积法即可求解； （3）根据题意设直线l解析式为，然后求出，再利用铅锤法得，计算即可； （4）先求出，，，再根据等腰三角形的性质进行分类讨论即可． (1) 小问详解： 解： ∵一次函数的图象过点，， ∴ ， 解得 ， ∴一次函数的表达式为． (2) 小问详解： 解：令，则 ，即， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得， 设点O到直线的距离为h， ∴， ∴， 解得， ∴点O到直线的距离为． (3) 小问详解： 解：根据题意，设直线l解析式为，如图， ∴， 由题可得， ∵的面积等于的面积， ∴， 解得或0， ∵点P与点O不重合， ∴， ∴直线l所对应的函数表达式为． (4) 小问详解： 解：设， 由点B、C、Q的坐标得，，， 当时，则，则（舍）或3，即， 当时，则，则或，即或， 当时，则，则（舍），即， 综上所述，或或或． 【点睛】 本题考查了一次函数的综合运用，涉及一次函数的图象与性质，等腰三角形的性质，铅锤法求三角形面积，勾股定理，熟练掌握一次函数的图形与性质以及等腰三角形的性质是解题的关键． 23．【答案】（1）；     （2）或     （3）或      【分析】 （1）先将点A的坐标代入的解析式求出a，然后代入的解析式求出k； （2）设交y轴于点F，利用和的解析式求出点D和点F的坐标．设点E的坐标为，利用分类讨论和割补法表示出的面积，进而解出t； （3）等腰直角三角形的存在性问题，使用“k”字模型来构造全等三角形．根据点N在点A的左右侧进行分类讨论，可以设点M的坐标为，点N的坐标为，利用全等三角形的性质，得到a与b的方程组，求出点M的坐标． (1) 小问详解： 解：把，代入，解得， ∴点A的坐标为， 把，代入，得，解得， ∴直线的表达式为：； (2) 小问详解： 解：设交y轴于点F， 把，代入，则， ∴点D的坐标为， 把，代入，则， ∴点F的坐标为， ∴， 设点E的坐标为， 当点E在点A左侧时， ∵， ∴点E不会在线段上，即点E在y轴左侧，如图， ， 解得，此时点E的坐标为； 当点E在点A右侧时，如图， ， 解得，此时点E的坐标为， 综上所述，点E的坐标为或； (3) 小问详解： 解：假设存在，设点M的坐标为，点N的坐标为， ① 当点N在点A右侧时， 如图，分别过点A和点N作x轴的垂线，垂足为G、H， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴ ， 解得， ，此时点M的坐标为； ② 当点N在点A左侧时， 如图，分别过点A和点N作x轴的垂线，垂足为G、H， 类比① 可得， ∴，， ∴ ， 解得， ，此时点M的坐标为， 综上所述，点M的坐标为或． 【点睛】 本题是一次函数的综合应用题，考查一次函数的图象与性质，点到坐标轴的距离，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握分类讨论思想和数形结合思想是解题关键． 24．【答案】 【分析】 本题考查了一次函数与几何综合，由题意得，求出点的坐标；过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，交于点，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，交于点，证，得，设点，则 ，推出；根据动点在内（不包括的边界），建立不等式 ，即可求解； 【详解】 解：令，则；令，则； ∴， ∴； ∵， ∴； 设，则，解得或（舍）， ∴； 过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，交于点，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，交于点，如图所示： 由题意得：且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点，则 ， ∴ ，即； ∵动点在内（不包括的边界）， ∴ ，解得：， ∴， 即：点的纵坐标的取值范围是； 故答案为： 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 一次函数 6大高频考点概览 考点01 函数的概念 考点02 函数的表示 考点03 一次函数的概念 考点04 一次函数的图象和性质 考点05 一次函数与方程（组）、不等式 考点06 实际问题与一次函数 考点01 函数的概念 1．（25-26学年八上·四川成都第十八中学校）下列图象中，y不是x的函数图象的是（　　） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·四川达州高级中学·期中）目前，全球淡水资源日益减少，提倡全社会节约用水．据测试：拧不紧的水龙头每分钟滴出100滴水，每滴水约0.05毫升．小康同学洗手后，没有把水龙头拧紧，水龙头以测试的速度滴水，当小康离开x分钟后，水龙头滴出y毫升的水，请写出y与x之间的函数关系式是（　　） A. y=0.05x B. y=5x C. y=100x D. y=0.05x+100 3．（25-26学年八上·四川成都实验外国语学校·期中）油箱中有油，油从管道中匀速流出，1小时流完．油箱中剩余的油量与油流出的时间之间的函数解析式和自变量取值范围正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·四川成都七中育才学校·期中）函数y＝中自变量x的取值范围是　　　　　． 5．（25-26学年八上·四川师范大学附属中学·期中）在函数y＝中，自变量x的取值范围是　　　　　　　　． 6．（25-26学年八上·四川师范大学附属中学·期中）如图，将长为、宽相等的长方形白纸，按如图所示的方法粘合起来，粘合部分的宽为，设m张白纸粘合后的总长度为，n与m的关系式为　　　　　　． 7．（25-26学年八上·四川嘉祥外国语学校·期中）函数中，自变量x的取值范围是　　　　　． 8．（25-26学年八上·四川成都棠湖外国语学校·期中）某型号签字笔每支2.5元，小涵同学拿100元钱去购买了支该型号的签字笔，则所剩余的钱y（元）与x（支）的关系式是 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 考点02 函数的表示 1．（25-26学年八上·四川成都第二十中学校·期中）下列各图表示的不是的函数的是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·四川师范大学附属中学·期中）下列图象中，不能表示y是x的函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·四川嘉祥外国语学校·期中）周六下午，小明从家去乐高编程班上课，时长2小时的课程结束后，小明以同样速度原路返回，如图正确描述这一过程的图象是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·四川成都棠湖外国语学校·期中）下列图象表示的两个变量间的关系中，y不是x的函数的是（　　　） A.  B.  C.  D.  考点03 一次函数的概念 1．（25-26学年八上·四川成都青羊实验中学·期中）下列函数中，是的一次函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·四川达州通川区第八中学·期中）正比例函数，当时，，则此正比例函数的关系式为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·四川成都金牛区成都外国语学校·期中）若函数是正比例函数，则（       ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4．（25-26学年八上·四川成都·期中）下列函数是一次函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·四川成都·期中）点在直线上，则代数式的值是　　　． 6．（25-26学年八上·四川达州渠县三汇中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，m）在第一象限，若点A关于x轴的对称点B在直线y＝﹣x+1上，则m的值为　　　　　． 7．（25-26学年八上·四川成都第二十中学校·期中）关于的函数是一次函数，则的值为　　　　　　． 8．（25-26学年八上·四川成都第二十中学校·期中）已知与成正比例，当时，．试求： （1）与的函数关系式； （2）当时，求的值； 9．（25-26学年八上·四川成都树德实验中学·期中）已知与x成正比例，且当时，． （1）求y与x之间的函数解析式； （2）当时，求y的值； （3）当时，直接写出x的取值范围________． 10．（25-26学年八上·四川成都青羊实验中学·期中）已知函数是一次函数，则 =　　　　　　　　　． 11．（25-26学年八上·四川渠县中学·期中）对于函数，当　　　　　　时，它是关于的正比例函数；当　　　　　　时，它是关于的一次函数． 考点04 一次函数的图象和性质 1．（25-26学年八上·四川成都第十二中学）将一次函数与的图像画在同一坐标系中，正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·四川成都第十二中学）一次函数y＝﹣2x+3的图象不经过的象限是(     ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3．（25-26学年八上·四川成都·期中）已知直线经过一、二、三象限，则直线的图像只能是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·四川成都第十八中学校）关于一次函数，下列说法正确的是(     ) A. 图象与轴交于点 B. 其图象可由的图象向左平移个单位长度得到 C. 图象与坐标轴围成的三角形面积为 D. 图象经过第一、二、四象限 5．（25-26学年八上·四川成都玉林中学·期中）点和点都在直线上，则与的大小关系为（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·四川成都玉林中学·期中）已知k＞0，b＜0，则一次函数y＝kx+b的大致图像为（　　） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·四川成都七中育才学校·期中）若正比例函数经过第二、四象限，则下列关于函数的图象正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·四川成都实验外国语学校·期中）一次函数的图象经过的象限是（       ） A. 一、二、三象限 B. 二、三、四象限 C. 一、三、四象限 D. 一、二、四象限 9．（25-26学年八上·四川达州通川区第八中学·期中）下列一次函数图象中，每个点的坐标均可以看作是二元一次方程的解的是（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年八上·四川达州渠县三汇中学·期中）若一次函数的图象经过点，则与的大小关系是（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年八上·四川成都第二十中学校·期中）正比例函数中y随x的增大而增大，则一次函数的图象大致是（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年八上·四川达州渠县三汇中学·期中）已知直线与轴、轴分别交于点和点，是上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则点坐标为（   ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年八上·四川成都第十二中学）若一次函数的函数值随的增大而增大，则（   ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年八上·四川达州通川区蒲家中学校·期中）关于一次函数，下列结论正确的是（     ） A. 图象与轴的交点是 B. 图象与坐标轴形成的三角形的面积为36 C. 图象不经过第二象限 D. 点和都在该函数图象上，若，则 15．（25-26学年八上·四川达州渠县三汇中学·期中）一次函数与正比例函数（k，b为常数，）在同一直角坐标系内的大致图象不可能的是（       ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年八上·四川达州渠县三汇中学·期中）如图，若直线经过第一、三、四象限，则直线的图象可能是（     ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年八上·四川成都第十二中学）若将直线向下平移5个单位长度后得到的直线的解析式是　　　　　　　　　　　． 18．（25-26学年八上·四川成都第十八中学校）已知一次函数的图象经过，，则　　　　　　　　(填“”“”或“”)． 19．（25-26学年八上·四川成都第十八中学校）将一次函数向下平移3个单位长度后得到直线，则平移后直线对应的函数表达式为　　　　　　． 20．（25-26学年八上·四川达州渠县三汇中学·期中）已知关于x的一次函数．当时，函数有最大值7，则a的值为　　　　　　　． 21．（25-26学年八上·四川达州渠县三汇中学·期中）已知点，都在一次函数的图象上，则　　　　　　　　　　（填“＞”“＝”或“＜”）． 22．（25-26学年八上·四川成都七中育才学校·期中）若点与都在直线上，则与的大小关系为　　　　　　　　． 23．（25-26学年八上·四川成都金牛区成都外国语学校·期中）一次函数的图象如图所示：则点在平面直角坐标系中位于第　　　　　　象限． 24．（25-26学年八上·四川成都第十二中学）若点，都在一次函数的图象上，则　　　　　　（填“”或“”． 25．（25-26学年八上·四川成都第十八中学校）已知一次函数的图象经过原点，则的值为　　　　　　　　　． 26．（25-26学年八上·四川成都玉林中学·期中）如图，将直线OA向上平移3个单位长度，则平移后的直线的表达式为　　　　　． 27．（25-26学年八上·四川成都第二十中学校·期中）如图，直线分别交轴，轴于点，点，点在轴正半轴上，且，点在直线上，点是轴上的一个动点，设点P横坐标为t． （1）求直线的函数解析式； （2）连接，，若面积等于面积的，求t的值； （3）求的最小值． 28．（25-26学年八上·四川成都七中育才学校·期中）如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点． 第一步：将沿着所在直线进行对称，得到； 第二步：将沿着较长直角边所在直线进行对称，得到； 第三步：将沿着较短直角边所在直线进行对称，得到； 第四步：将沿着斜边所在直线进行对称，得到； …… 按照以上规律，进行对称后，则可得到点的坐标为　　　　　　　　，点的坐标为　　　　　　　　． 29．（25-26学年八上·四川成都第十二中学）已知一次函数图象经过点 （1）求这个一次函数解析式； （2）求出图象与两个坐标轴的交点坐标． 30．（25-26学年八上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，在第三象限内有一点，线段与轴相交于点． （1）用含的式子表示的面积； （2）若，求直线的函数关系式； （3）在（2）条件下，点是轴上的动点，当与的面积相等时，求点的坐标． 31．（25-26学年八上·四川成都树德实验中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点D，直线与x轴交于点，与相交于点． （1）求直线的解析式； （2）求四边形的面积； （3）若点M是y轴上一动点，若，求点M的坐标． 32．（25-26学年八上·四川达州渠县三汇中学·期中）将直线向上平移3个单位长度后经过点，则的值是　　　　　　． 33．（25-26学年八上·四川成都青羊实验中学·期中）在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，a，b满足． （1）如图1，求的面积： （2）若点P的坐标为，当时，求点P的坐标： （3）如图2，点P在x轴上，当平分时，在第一象限确定一点M，使是以为直角边的等腰直角三角形，求出点M的坐标． 34．（25-26学年八上·四川成都七中育才学校·期中）如图1，直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，已知点，． （1）求出点A，B的坐标； （2）经过点C的直线将分成面积比为的两部分，求该直线的函数关系式； （3）如图2，直线l平移后分别交x轴，y轴于点，，过点D作平行于y轴的直线m，在直线m上是否存在点P，使是以为腰的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 35．（25-26学年八上·四川嘉祥外国语学校·期中）在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点，我们定义其“相关点”满足：当时，；当时，．请根据此定义完成下列问题： （1）点的“相关点”的坐标为___________； （2）若点的相关点的坐标为，求的面积； （3）点在第二象限，其“相关点”的纵坐标为，若线段的长度为，求点的坐标． 36．（25-26学年八上·四川达州通川区蒲家中学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交A、B两点，与直线相交于点． （1）求m和b的值； （2）若直线与x轴相交于点D，动点P从点D开始，以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒． ①若点P在线段上，且的面积为10，求t的值； ②是否存在t的值，使为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 37．（25-26学年八上·四川成都七中育才学校·期中）定义：我们将形如的函数称为一次函数的“伴随函数”，例如：是一次函数的“伴随函数”． （1）如图1，若一次函数的图象与x轴，y轴分别交于B，A两点，其中，．求此一次函数的“伴随函数”解析式； （2）若（1）中“伴随函数”的图象交x轴于点C，取线段中点N，过点N作直线轴，在直线l上是否存在点M，使得？若存在，请求出点M的坐标并说明理由； （3）在线段上取一点P，使得的值最小．将点C向右平移一个单位长度得到点D，连接，在直线上是否存在点Q，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标并说明理由． 考点05 一次函数与方程（组）、不等式 1．（25-26学年八上·四川达州渠县三汇中学·期中）如图，已知直线，则关于的方程的解是　　　　　． 2．（25-26学年八上·四川达州通川区蒲家中学校·期中）如图，已知一次函数的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若，，则关于x的方程的解为　　　　　． 3．（25-26学年八上·四川成都第二十中学校·期中）直线与两坐标轴围成的三角形的面积为　　　　　　　　. 4．（25-26学年八上·四川成都第十二中学）如图1，直线与y轴交于点B，与x轴交于点A，与直线交于点． （1）求点C的坐标以及直线的表达式； （2）点P在y轴上，若的面积为6，求点P的坐标； （3）如图2，若y轴上有一点Q，且使得以B，C，Q为顶点的三角形为等腰三角形，请直接写出点Q的坐标． 5．（25-26学年八上·四川达州通川区第八中学·期中）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，若直线与x轴、y轴分别交于点A、B，则的面积为　　　　　　　　　． 6．（25-26学年八上·四川达州通川区第八中学·期中）小颖在画一次函数y＝ax+b（a，b为常数，且a≠0）的图象时，求得x与y的部分对应值如表，则方程ax+b＝0的解是　　　　　． x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … 6 4 2 0 ﹣2 ﹣4 … 7．（25-26学年八上·四川达州渠县三汇中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线的解析式为，与轴、轴分别交于点、点，直线与交于点． （1）求点、点、点的坐标，并求出的面积； （2）在轴右侧有一动直线平行于轴，分别与，交于点、， ①若线段，此时点的坐标为__________； ②轴上有一点，使为等腰直角三角形，当点在点的下方时，请直接写出点的坐标． 考点06 实际问题与一次函数 1．（25-26学年八上·四川成都青羊实验中学·期中）某油箱容量为的汽车，加满汽油后开了时，油箱中的汽油大约消耗了．如果加满汽油后汽车行驶的路程为，油箱中的剩油量为，则y与x之间的函数解析式和自变量取值范围分别是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·四川达州通川区蒲家中学校·期中）如图，已知一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在线段上，且，直线与的平分线交于D点，则点D的横坐标与它的纵坐标的和为（     ） A. 2.1 B. 2.2 C. 2.3 D. 2.4 3．（25-26学年八上·四川成都第十八中学校）氯化钾的溶解度随温度的升高而增大，在条件下，氯化钾的溶解度与温度之间近似满足一次函数关系．王倩根据实验数据，画函数图象如下： 注：氯化钾的溶解度表示在一定温度下，氯化钾在水里达到饱和状态时所溶解的氯化钾质量． （1）求y关于x的函数解析式； （2）当温度是时，在水中加入氯化钾，充分搅拌，是否能完全溶解？请说明理由． 4．（25-26学年八上·四川成都玉林中学·期中）汽车出发前油箱有油，行驶若干小时后，在加油站加油若干升．图象表示的是从出发后，油箱中剩余油量与行驶时间之间满足如下函数图象． （1）汽车行驶______后加油，中途加油______； （2）求加油前油箱剩余油量与行驶时间的函数关系式； （3）已知加油前、后汽车都以匀速行驶，如果加油站距目的地，那么要到达目的地，油箱中的油是否够用？若够，请说明理由；若不够，请求出还应再加油多少升？ 5．（25-26学年八上·四川达州渠县三汇中学·期中）如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与，轴交于，两点，正比例函数的图象与交于点 （1）求点坐标________，点坐标________； （2）求及面积： （3）若点为轴上一动点，当时，则点坐标为________． 6．（25-26学年八上·四川达州渠县三汇中学·期中）如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，把绕点B逆时针旋转后得到，则点的坐标是　　　　　　． 7．（25-26学年八上·四川达州渠县三汇中学·期中）某家用电器厂生产一种电饭煲和一种电热水壶，电饭煲每个定价200元，电热水壶每个定价60元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供以下两种优惠方案：方案一：每买一个电饭煲就赠送一个电热水壶；方案二：电饭煲和电热水壶都按定价的80%付款．某厨具店计划购进80个电饭煲和个电热水壶（）．设选择方案一需付款元，选择方案二需付款元． （1）分别写出，关于的函数解析式． （2）当时． ①请通过计算说明该厨具店选择上面哪种方案更省钱． ②若两种优惠方案可以同时使用，是否有更省钱的购买方案？若有，请设计出更省钱的购买方案，并计算出该方案所需费用． 8．（25-26学年八上·四川成都青羊实验中学·期中）为了保护资源节约用水，我校八年级数学小组设计居民用水实行“阶梯水价”计费方法，如下表： 每户每月用水量 水价 不超过 2.5元/ 超过但不超过的部分 5元/ 超过的部分 8元/ （1）A户居民本月用水量为，求户居民本月的水费为多少元． （2）设每户每月用水量为，水费为元，求关于的函数关系式． （3）若户居民本月的水费为元．求户居民本月用水量． 9．（25-26学年八上·四川师范大学附属中学·期中）中国初创企业（深度求索）公司，其自主研发的人工智能（）大语言模型，凭借“好用、开源、免费”三大特点，在全球范围内引发热烈反响．公司为提升服务能力，计划部署两种服务器：型号和型号．这两类新型服务器的维护需求各有不同，具体如表所示： 服务器类型 每台所需技术人员 每台成本（万元） 型号 4 12 型号 5 16 （1）若公司有技术人员60人全部参与维护且每人只负责一种服务器，总投入资金为188万元，问和服务器的安装数量各是多少台？ （2）由于公司规模扩大，技术人员增至65人，全部参与维护且每人负责一种服务器，要求型号超过4台．问和服务器的安装数量各是多少台时，安装总成本最少？ 10．（25-26学年八上·四川成都实验外国语学校·期中）某工厂计划生产甲、乙两种产品共2500吨，每生产1吨甲产品可获得利润0.3万元，每生产1吨乙产品可获得利润0.4万元．设该工厂生产了甲产品（吨），生产甲、乙两种产品获得的总利润为（万元）． （1）求与之间的函数表达式（不需要写出自变量取值范围）； （2）根据市场调研发现，甲产品需求量吨数范围是．求出该工厂生产甲、乙两种产品各为多少吨时，能获得最大利润． 11．（25-26学年八上·四川成都第十二中学）某通讯公司推出①，②两种通讯收费方式供用户选择，其中一种有月租费、另一种无月租费，且两种收费方式的通话时间x（分钟）与收费y（元）之间的函数关系如图所示． （1）无月租费的收费方式是          （选填“①”或“②”），其通话一分钟收费是                  元； （2）求出有月租费收费方式中y与自变量x之间的函数关系式； （3）小昊的爸爸每月话费80元，选哪种方式更划算？请说明理由． 12．（25-26学年八上·四川成都树德实验中学·期中）如图，已知a，b，c分别是的三条边长，，我们把关于x的形如的一次函数称为“勾股一次函数”，若点在“勾股一次函数”的图像上，且的面积是，则c的值是　　　　　　　　． 13．（25-26学年八上·四川达州通川区蒲家中学校·期中）某公共汽车线路收支差额y（万元）（票价总收入减去运营成本）与乘客数量x（万人）之间的关系如图所示，根据图象回答下列问题：        （1）该公共汽车线路运营前即乘客数量为0时的前期投入为______万元； （2）点B的实际意义是什么？ （3）求y与x之间的关系式； （4）目前这条线路是亏损运营，为了扭亏，公交公司提出了以下两种方案： 方案1：票价不变，将运营前的前期投入降低为0.6万元； 方案2：运营前的前期投入不变，将票价提高为0.9元/人， 如果分别按照上述两种方案运营，那么收支差额y（万元）与乘客数量x（万人）之间的函数关系均发生了变化． ①分别写出方案1和方案2的收支差额y（万元）与乘客数量x（万人）之间的函数关系式，； ②当乘客数量是多少万人时，两种方案的收支差额相等？ 14．（25-26学年八上·四川成都第十八中学校）如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与直线：交于点，点为轴上一个动点． （1）求直线的解析式； （2）当最小时，直接写出点的坐标：__________； （3）若以点，，为顶点的三角形为等腰三角形，求点的坐标． 15．（25-26学年八上·四川成都玉林中学·期中）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与直线相交于点，与轴交于点，与轴交于点，且，满足． （1）求一次函数的解析式； （2）若点为直线上一点，且，求点的坐标； （3）如图2，点在第一象限，连接，，将绕点顺时针旋转得到，连接，若，，求的长． 16．（25-26学年八上·四川成都玉林中学·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点，点，且． （1）求的值； （2）若点为线段上一点，连接，将沿着折叠，使点落在轴的点处，求点的坐标； （3）如图2，作，点为直线上一动点，点为轴上一动点，是否存在以为顶点的三角形与全等？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 17．（25-26学年八上·四川成都第二十中学校·期中）如图，，，点在直线上，且，则点的坐标为　　　　　　　　　　　． 18．（25-26学年八上·四川成都第二十中学校·期中）点 P 是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上，过点 P 向 x 轴，y 轴作垂线段，若垂线段的长度的和为 4，则点 P 叫做“垂距点”，例如：如图中的  是“垂距点”．若为“垂距点”，m的值是　　　　　　　　　；若过点 的一次函数 的图象上存在“垂距点”，则 k 的取值范围是　　　　　　　　　． 19．（25-26学年八上·四川成都实验外国语学校·期中）如图，一次函数与轴、轴分别相交于点和点． （1）求点和点的坐标； （2）点在轴上，若的面积为6，求点的坐标； （3）点在轴上，若等腰三角形，求点的坐标； 20．（25-26学年八上·四川成都实验外国语学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，是线段的中点． （1）求直线的函数表达式； （2）若点是轴上一点，且使周长最小，求最小周长； （3）在（2）的条件下，若点在直线上，且，求点的坐标． 21．（25-26学年八上·四川成都第十二中学）综合与实践 如图，直线与x轴，y轴分别交于点A和点B，点C在线段上，将沿所在直线翻折后，点A恰好落在y轴上的点D处，已知，． （1）求直线的解析式． （2）求的值． （3）直线上是否存在点P使得？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 22．（25-26学年八上·四川达州通川区第八中学·期中）如图，一次函数的图象过点，，与x轴相交于点C． （1）求一次函数的表达式； （2）求点O到直线的距离； （3）若直线l与直线平行，与y轴交于点P，且的面积等于的面积（点P与点O不重合），求直线l所对应的函数表达式． （4）在x轴取点Q，使得为等腰三角形，请你直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 23．（25-26学年八上·四川成都第十八中学校）如图，在平面直角坐标系中，直线：的图像与x轴、y轴分别交于B，D两点，直线：的图像与x轴交于C，直线与直线交于点． （1）求点A的坐标及直线的表达式； （2）若点E在直线上，且的面积为，求点E的坐标； （3）若点M在射线上运动，点N在直线上运动，是否存在是以为斜边的等腰直角三角形，若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由． 24．（25-26学年八上·四川成都玉林中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点，点，点在上，且，动点在内（不包括的边界），连接，过点作的垂线交直线于点，若，则点的纵坐标的取值范围是　　　　　　． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 一次函数 6大高频考点概览 考点01 函数的概念 考点02 函数的表示 考点03 一次函数的概念 考点04 一次函数的图象和性质 考点05 一次函数与方程（组）、不等式 考点06 实际问题与一次函数 考点01 函数的概念 1．（25-26学年八上·四川成都第十八中学校）下列图象中，y不是x的函数图象的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了函数的概念，根据函数的概念：对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，即可解答． 【详解】 解：A、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故A不符合题意； B、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故B不符合题意； C、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以y不是x的函数，故C符合题意； D、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故D不符合题意． 故选：C． 2．（25-26学年八上·四川达州高级中学·期中）目前，全球淡水资源日益减少，提倡全社会节约用水．据测试：拧不紧的水龙头每分钟滴出100滴水，每滴水约0.05毫升．小康同学洗手后，没有把水龙头拧紧，水龙头以测试的速度滴水，当小康离开x分钟后，水龙头滴出y毫升的水，请写出y与x之间的函数关系式是（　　） A. y=0.05x B. y=5x C. y=100x D. y=0.05x+100 【答案】B 【分析】 每分钟滴出100滴水，每滴水约0.05毫升，则一分钟滴水100×0.05毫升，则x分钟可滴100×0.05x毫升，据此即可求解． 【详解】 解：y=100×0.05x，即y=5x． 故选：B． 3．（25-26学年八上·四川成都实验外国语学校·期中）油箱中有油，油从管道中匀速流出，1小时流完．油箱中剩余的油量与油流出的时间之间的函数解析式和自变量取值范围正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查求函数解析式，理解题意是解答的关键． 先求出油量减少的速度为，再根据初始油量，列出函数解析式，再根据流完需1小时即可得t取值范围． 【详解】 解：∵ 油匀速流出， ∴ 流出的油量， ∴ 剩余油量． ∵ 流完需， ∴ t的取值范围为． 故选：A． 4．（25-26学年八上·四川成都七中育才学校·期中）函数y＝中自变量x的取值范围是　　　　　． 【答案】x≥ 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数即可列不等式求解． 【详解】根据题意得：3x﹣2≥0，解得：x． 故答案为x． 【点睛】本题考查了求函数自变量的范围，一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 5．（25-26学年八上·四川师范大学附属中学·期中）在函数y＝中，自变量x的取值范围是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据分式的分母不能为0即可得． 【详解】 解：由题意得：， 解得， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了求自变量的取值范围，熟练掌握分式的分母不能为0是解题关键． 6．（25-26学年八上·四川师范大学附属中学·期中）如图，将长为、宽相等的长方形白纸，按如图所示的方法粘合起来，粘合部分的宽为，设m张白纸粘合后的总长度为，n与m的关系式为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查的是用关系式表示变量之间的关系，整式的加减运算，由图可知，将m张这样的白纸粘合后的总长度张白纸的总长个粘合部分的宽，把相关数据代入化简即可得到所求关系式． 【详解】 解：由题意可得：m张白纸粘合后的总长度为， 故答案为：． 7．（25-26学年八上·四川嘉祥外国语学校·期中）函数中，自变量x的取值范围是　　　　　． 【答案】 【详解】 解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故答案为． 8．（25-26学年八上·四川成都棠湖外国语学校·期中）某型号签字笔每支2.5元，小涵同学拿100元钱去购买了支该型号的签字笔，则所剩余的钱y（元）与x（支）的关系式是 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查变量之间的关系式，根据“剩余的钱总钱数花去的钱数”作答即可，正确得到数量关系是解题的关键． 【详解】 解：根据题意，得， 与的关系式是． 故答案为：． 考点02 函数的表示 1．（25-26学年八上·四川成都第二十中学校·期中）下列各图表示的不是的函数的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查函数的概念．由题意是的函数依据函数的概念可知对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，以此进行分析判断即可． 【详解】 解：根据函数的定义：在一个变化的过程中有两个变量和，对于每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就说是的函数， 因此B选项中的图象不表示是的函数，其他三个选项均表示是的函数． 故选：B． 2．（25-26学年八上·四川师范大学附属中学·期中）下列图象中，不能表示y是x的函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查函数的概念，设在一个变化过程中有两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么就说是的函数，由此即可判断． 【详解】 解：根据函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么就说是的函数， 因此能表示是的函数的是选项B、C、D中的图象，不能表示是的函数的是选项A中的图象． 故选：A． 3．（25-26学年八上·四川嘉祥外国语学校·期中）周六下午，小明从家去乐高编程班上课，时长2小时的课程结束后，小明以同样速度原路返回，如图正确描述这一过程的图象是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查运动的图象，小明从家去上课，离家的距离越来越远，在上课的2小时内，离家的距离不变，故排除C选项，课程结束后，小明回家，离家的距离越来越小，可排除D选项，由于小明是以相同的速度返回，故B选项符合题意． 【详解】 解：小明从家去上课，离家的距离越来越远，在上课的2小时内，离家的距离不变，小明回家时离家的距离越来越小，且小明是以相同的速度返回，所以B选项的图象能正确描述这一过程． 故选：B． 4．（25-26学年八上·四川成都棠湖外国语学校·期中）下列图象表示的两个变量间的关系中，y不是x的函数的是（　　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据一个x值只能对应一个y值判断即可； 【详解】 根据一个x值只能对应一个y值可知D不是y是x的函数； 【点睛】 本题主要考查了函数图象的判断，准确分析判断是解题的关键． 考点03 一次函数的概念 1．（25-26学年八上·四川成都青羊实验中学·期中）下列函数中，是的一次函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据一次函数的定义逐项分析即可． 【详解】 解：A．的自变量的次数是2，故不是一次函数； B．是一次函数；        C．的自变量在分母上，故不是一次函数； D．，是的一次函数，不是的一次函数． 故选B． 【点睛】 本题考查了一次函数的定义，一般地，形如，（k为常数，）的函数叫做一次函数． 2．（25-26学年八上·四川达州通川区第八中学·期中）正比例函数，当时，则此正比例函数的关系式为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查的是利用待定系数法求正比例函数的解析式，直接把时，代入正比例函数，求出k的值即可． 【详解】 解：∵正比例函数，当时， ∴， 解得， ∴y与x的函数关系式为， 故选：A． 3．（25-26学年八上·四川成都金牛区成都外国语学校·期中）若函数是正比例函数，则（       ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【分析】 根据正比例函数的定义逐项分析即可． 【详解】 解：∵函数是正比例函数， ∴， ∴，． 故选D． 【点睛】 本题考查了正比例函数的定义，正比例函数的定义是形如（k是常数，）的函数，其中k叫做比例系数． 4．（25-26学年八上·四川成都·期中）下列函数是一次函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了一次函数的定义．根据一次函数的定义，形如（、为常数，且）的函数为一次函数．需逐一判断各选项是否符合该形式． 【详解】 解：选项A：，其中的次数为2，不符合一次函数定义，故本选项不符合题意． 选项B：，符合的形式（，），且，因此是一次函数，故本选项符合题意． 选项C：，右边不是整式形式，不符合一次函数定义，故本选项不符合题意． 选项D：，右边不是整式形式，不符合一次函数定义，故本选项不符合题意． 故选：B 5．（25-26学年八上·四川成都·期中）点在直线上，则代数式的值是　　　． 【答案】-3 【分析】 直接把点代入函数，得到，再代入代数式即可得出结论． 【详解】 解：∵点 在函数的图象上， ∴， ∴ 故答案为：-3． 【点睛】 本题考查了一次函数图象 上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 6．（25-26学年八上·四川达州渠县三汇中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，m）在第一象限，若点A关于x轴的对称点B在直线y＝﹣x+1上，则m的值为　　　　　． 【答案】1 【分析】根据关于x轴的对称点的坐标特点可得B（2，−m），然后再把B点坐标代入y＝−x＋1可得m的值． 【详解】点A关于x轴的对称点B的坐标为：（2，﹣m）， 将点B的坐标代入直线y＝﹣x+1 得：﹣m＝﹣2+1， 解得：m＝1， 故答案为1． 【点睛】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标，以及一次函数图象上点的坐标特点，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能使解析式左右相等． 7．（25-26学年八上·四川成都第二十中学校·期中）关于的函数是一次函数，则的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了一次函数的定义，根据一次函数的定义即可求解，熟知一次函数的定义是解题的关键，一般地，形如，且是常数的函数叫做一次函数． 【详解】 解：∵关于的函数是一次函数， ∴ ，解得：， 故答案为：． 8．（25-26学年八上·四川成都第二十中学校·期中）已知与成正比例，当时，．试求： （1）与的函数关系式； （2）当时，求的值； 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）设函数解析式为，将，代入求出的值，即可得到与的函数关系式； （2）将代入与的函数关系式，即可求出的值． (1) 小问详解： 解：设与的函数关系式为， 当时， ， 解得： 与的函数关系式为， 即； (2) 小问详解： 解：当时， 解得：． 9．（25-26学年八上·四川成都树德实验中学·期中）已知与x成正比例，且当时，． （1）求y与x之间的函数解析式； （2）当时，求y的值； （3）当时，直接写出x的取值范围________． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查了求正比例函数的解析式，一次函数的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可设，再利用待定系数法计算即可得解； （2）将代入（1）中的式子计算即可得解； （3）求出当和时的的值，利用一次函数的性质即可得解． (1) 小问详解： 解：∵与x成正比例， ∴， ∵当时， ∴， 解得， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：当时，； (3) 小问详解： 解：当时，解得， 当时，解得， 故当时，x的取值范围为， 故答案为：． 10．（25-26学年八上·四川成都青羊实验中学·期中）已知函数是一次函数，则 =　　　　　　　　　． 【答案】-1 【分析】 根据一次函数的定义，即可求出k的值． 【详解】 解：∵是一次函数， ∴ ， 解得：； 故答案为：． 【点睛】 本题考查了一次函数的定义，解题的关键是熟练掌握一次函数的定义进行解题． 11．（25-26学年八上·四川渠县中学·期中）对于函数，当　　　　　　时，它是关于的正比例函数；当　　　　　　时，它是关于的一次函数． 【答案】①     ② 【分析】 本题考查的是一次函数与正比例函数的定义，熟练掌握一次函数与正比例函数的定义是解题的关键．若两个变量和间的关系式可以表示成（，均为常数，）的形式，则称是的一次函数（为自变量，为因变量）；一般地，两个变量和间的关系式可以表示成（为常数，且）的形式，则称是的正比例函数，据此即可解答． 【详解】 当是关于的正比例函数时，得，， 解得； 当是关于的一次函数时，得， 解得； 故答案为：， 考点04 一次函数的图象和性质 1．（25-26学年八上·四川成都第十二中学）将一次函数与的图像画在同一坐标系中，正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据一次函数的图像与系数的关系依次分析各项即可． 【详解】 解：一次函数的与一次函数的矛盾，错误； 从图像知，一次函数的图像不经过原点，错误； 一次函数的与一次函数的一致，正确； 从图像知，一次函数的图像不经过原点，错误． 故选：． 【点睛】 本题主要考查一次函数的图像，掌握一次函数的图像是解决问题的关键． 2．（25-26学年八上·四川成都第十二中学）一次函数y＝﹣2x+3的图象不经过的象限是(     ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【详解】 ∵k=-2＜0， ∴一次函数经过二四象限； ∵b=3＞0， ∴一次函数又经过第一象限， ∴一次函数y=-x+3的图象不经过第三象限， 故选C． 3．（25-26学年八上·四川成都·期中）已知直线经过一、二、三象限，则直线的图像只能是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了一次函数的图像与性质，解题的关键是掌握一次函数的图像与性质．根据题意可得：，，进而得到，推出直线经过第一、三、四象限，即可求解． 【详解】 解：直线经过第一、二、三象限， ，， ， 直线经过第一、三、四象限， 故选：C． 4．（25-26学年八上·四川成都第十八中学校）关于一次函数，下列说法正确的是(     ) A. 图象与轴交于点 B. 其图象可由的图象向左平移个单位长度得到 C. 图象与坐标轴围成的三角形面积为 D. 图象经过第一、二、四象限 【答案】D 【分析】 本题考查一次函数的图象和性质，根据一次函数的性质以及一次函数平移的特点逐一分析，即可得到答案． 【详解】 解：一次函数，， 当时，当时， A． 图象与轴交于点，故该选项不正确，不符合题意； B． 其图象可由的图象向上平移个单位长度得到，故该选项不正确，不符合题意； C． 图象与坐标轴围成的三角形面积为，故该选项不正确，不符合题意； D． 图象经过第一、二、四象限，故该选项正确，符合题意； 5．（25-26学年八上·四川成都玉林中学·期中）点和点都在直线上，则与的大小关系为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据 ，可得 随 的增大而减小，即可求解． 【详解】 解：∵ ， ∴ 随 的增大而减小， ∵ ， ∴ ． 故选：B 【点睛】 本题主要考查了一次函数的性质，熟练掌握对于一次函数 ，当 时， 随 的增大而增大，当 时， 随 的增大而减小是解题的关键． 6．（25-26学年八上·四川成都玉林中学·期中）已知k＞0，b＜0，则一次函数y＝kx+b的大致图像为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据k、b的符号确定直线的变化趋势和与y轴的交点的位置即可． 【详解】 解：∵k＞0， ∴一次函数y＝kx+b的图象从左到右是上升的， ∵b＜0，一次函数y＝kx+b的图象交于y轴的负半轴， 故选：B． 【点睛】 本题考查了一次函数的图象与系数的关系，解题的关键是了解系数与图象位置的关系，难度不大． 7．（25-26学年八上·四川成都七中育才学校·期中）若正比例函数经过第二、四象限，则下列关于函数的图象正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查的是正比例函数的性质，一次函数的图象，一次函数的性质，熟知以上知识是解题的关键． 先根据题意得出，进而可得出结论． 【详解】 解：正比例函数经过第二、四象限， ，， 函数的图象经过第一、二、四象限， 故选：D． 8．（25-26学年八上·四川成都实验外国语学校·期中）一次函数的图象经过的象限是（       ） A. 一、二、三象限 B. 二、三、四象限 C. 一、三、四象限 D. 一、二、四象限 【答案】C 【分析】 根据一次函数的图象特点即可得． 【详解】 解：∵在一次函数中的， ∴这个一次函数的图象经过的象限是第一、三、四象限， 故选：C． 【点睛】 本题考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象特点是解题关键． 9．（25-26学年八上·四川达州通川区第八中学·期中）下列一次函数图象中，每个点的坐标均可以看作是二元一次方程的解的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了一次函数与二元一次方程的关系，分别求出以二元一次方程为解析式的一次函数图象与两坐标轴的交点坐标，即可确定对应的图象． 【详解】 解：∵二元一次方程， 当时， 当时， 以二元一次方程为解析式的一次函数图象经过点和， 故选：C． 10．（25-26学年八上·四川达州渠县三汇中学·期中）若一次函数的图象经过点，则与的大小关系是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数图象的增减性是解答此题的关键．先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据 即可得出结论． 【详解】 解：∵一次函数中， ∴y 随着 x 的增大而增大 ∵点是一次函数 图象上的两个点， ∴ 故选：A． 11．（25-26学年八上·四川成都第二十中学校·期中）正比例函数中y随x的增大而增大，则一次函数的图象大致是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由正比例函数的性质可得，从而得出，进而得出一次函数的图象在第一、二、四象限，即可得出结果． 【详解】 解：∵正比例函数中y随x的增大而增大， ∴， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，如图： 12．（25-26学年八上·四川达州渠县三汇中学·期中）已知直线与轴、轴分别交于点和点，是上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则点坐标为（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了一次函数与坐标轴交点问题，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握相关知识点是关键． 由解析式求出点和点的坐标，再根据勾股定理即可得出的长，由折叠的性质，可求得，，设，在中，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出的坐标． 【详解】 解：直线与轴、轴分别交于点和点， 时，时， ，， ． 由折叠的性质得：，， ． 设， 则． 在中， 即， 解得：， ． 故选：B． 13．（25-26学年八上·四川成都第十二中学）若一次函数的函数值随的增大而增大，则（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据一次函数图象的增减性来确定（k-2）的符号，从而求得k的取值范围． 【详解】 解：∵在一次函数y=（k-2）x+1中，y随x的增大而增大， ∴k-2＞0， ∴k＞2， 故选B． 【点睛】 本题考查了一次函数图象与系数的关系．在直线y=kx+b（k≠0）中，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小． 14．（25-26学年八上·四川达州通川区蒲家中学校·期中）关于一次函数，下列结论正确的是（     ） A. 图象与轴的交点是 B. 图象与坐标轴形成的三角形的面积为36 C. 图象不经过第二象限 D. 点和都在该函数图象上，若，则 【答案】D 【分析】 本题主要考查一次函数的图像及其性质及一次函数图像上点的坐标特征等知识点，掌握一次函数的性质及函数图像与坐标轴交点的求法是解题的关键． 令，即可确定图象与轴的交点是；令，图象与轴的交点是，便可求出图象与坐标轴形成的三角形的面积，根据一次函数性质即可判断C、D选项． 【详解】 解：A．令，则，即，图象与轴的交点是，故本选项不符合题意； B．令，则，图象与轴的交点是，则图象与坐标轴形成的三角形的面积为，故本选项不符合题意； C．一次函数，，，则图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故本选项不符合题意； D．一次函数，，函数值随自变量的增大而减小，所以若，则，故本选项符合题意； 故选：D． 15．（25-26学年八上·四川达州渠县三汇中学·期中）一次函数与正比例函数（k，b为常数，）在同一直角坐标系内的大致图象不可能的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了正比例函数和一次函数的图象，根据一次函数与图象的位置关系确定、，再去对照正比例函数的图象与的关系，逐项判断即可． 【详解】 解：A、由一次函数图象位置确定，，，故，正比例函数图象满足这一关系，故选项A不符合题意； B、由一次函数图象位置确定，，，故，正比例函数图象满足这一关系，故选项B不符合题意； C、由一次函数图象位置确定，，，故，正比例函数图象满足这一关系，故选项C不符合题意； D、由一次函数图象位置确定，，，故，正比例函数图象不满足这一关系，故选项D符合题意； 故选：D． 16．（25-26学年八上·四川达州渠县三汇中学·期中）如图，若直线经过第一、三、四象限，则直线的图象可能是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了一次函数的图象和性质，根据直线经过第一、三、四象限，可知，，可得，所以直线的图象经过一、二、三象限． 【详解】 解：直线经过第一、三、四象限， ， ， 直线的图象经过一、二、三象限． 故选：A． 17．（25-26学年八上·四川成都第十二中学）若将直线向下平移5个单位长度后得到的直线的解析式是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一次函数图象的平移，其法则是：上加下减，左加右减，掌握平移法则是关键；根据平移法则即可求解． 【详解】 解：由题意得：， 即； 故答案为：． 18．（25-26学年八上·四川成都第十八中学校）已知一次函数的图象经过，，则　　　　　　　　(填“”“”或“”)． 【答案】> 【分析】 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键．由，利用一次函数的性质可得出随的增大而减小解答即可． 【详解】 解：， 随的增大而减小， 又一次函数的图象经过，两点，且， ． 故答案为：． 19．（25-26学年八上·四川成都第十八中学校）将一次函数向下平移3个单位长度后得到直线，则平移后直线对应的函数表达式为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查一次函数图像的平移，掌握平移的规律：“左加右减，上加下减”是解题的关键． 函数向下平移3个单位长度，需将函数表达式中的常数项减去3，据此求解即可． 【详解】 解：将一次函数向下平移3个单位长度后， 得到直线的表达式为，即 ． 故答案为：． 20．（25-26学年八上·四川达州渠县三汇中学·期中）已知关于x的一次函数．当时，函数有最大值7，则a的值为　　　　　　　． 【答案】1或 【分析】 本题主要考查了一次函数的图象和性质，根据一次函数的单调性，分类讨论a的正负情况：当时，函数为增函数，最大值在区间右端点处取得；当时，函数为减函数，最大值在区间左端点处取得．分别代入求解a的值． 【详解】 解：当时，函数为增函数，最大值在处， 代入得， 即， 解得； 当时，函数为减函数，最大值在处， 代入得， 即， 解得． 故答案为：1或． 21．（25-26学年八上·四川达州渠县三汇中学·期中）已知点，都在一次函数的图象上，则　　　　　　　　　　（填“＞”“＝”或“＜”）． 【答案】 【分析】 本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的增减性质是解决此题的关键．由时，y随x的增大而减小，解答即可． 【详解】 解：根据一次函数的性质可知，当时，y随x的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 22．（25-26学年八上·四川成都七中育才学校·期中）若点与都在直线上，则与的大小关系为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一次函数的性质，根据，则随的增大而减小，因此 值较小对应 值较大． 【详解】 解：∵， ∴ 故答案为：． 23．（25-26学年八上·四川成都金牛区成都外国语学校·期中）一次函数的图象如图所示：则点在平面直角坐标系中位于第　　　　　　象限． 【答案】四 【分析】 本题考查了已知一次函数经过的象限求参数范围，判断点所在的象限．先观察图象，得出一次函数经过第一、三、四象限，即，故点位于第四象限，即可作答． 【详解】 解：观察图象，得出一次函数经过第一、三、四象限， ∴， 则点在平面直角坐标系中位于第四象限， 故答案为：四. 24．（25-26学年八上·四川成都第十二中学）若点，都在一次函数的图象上，则　　　　　　（填“”或“”． 【答案】 【分析】 此题考查的是比较一次函数图象上两点纵坐标的大小，掌握一次函数增减性的判断是解题关键． 由，根据一次函数的性质可得y随x的增大而增大，再结合即可得出结论． 【详解】 解：∵一次函数中， ∴y随x的增大而增大， ∵， ∴， 故答案为：． 25．（25-26学年八上·四川成都第十八中学校）已知一次函数的图象经过原点，则的值为　　　　　　　　　． 【答案】4 【分析】 本题考查了求一次函数的解析式、一次函数的定义、利用平方根解方程，熟练掌握待定系数法是解题关键．将点代入一次函数的解析式可得一个关于的方程，再利用平方根解方程可求出的值，然后根据一次函数的定义可得，由此即可得出答案． 【详解】 解：∵一次函数的图象经过原点， ∴， 解得， 又∵函数是一次函数， ∴， 解得， 综上， 故答案为：4． 26．（25-26学年八上·四川成都玉林中学·期中）如图，将直线OA向上平移3个单位长度，则平移后的直线的表达式为　　　　　． 【答案】y＝2x+3 【分析】设直线OA的解析式为：y＝kx，代入（1，2）求出直线OA的解析式，再将直线OA向上平移3个单位长度，得到平移后的直线的表达式． 【详解】设直线OA的解析式为：y＝kx， 把（1，2）代入，得k＝2， 则直线OA解析式是：y＝2x． 将其上平移3个单位长度，则平移后的直线的表达式为：y＝2x+3． 故答案是：y＝2x+3． 【点睛】本题考查了直线的平移问题，掌握直线的解析式以及直线平移的性质是解题的关键． 27．（25-26学年八上·四川成都第二十中学校·期中）如图，直线分别交轴，轴于点，点，点在轴正半轴上，且，点在直线上，点是轴上的一个动点，设点P横坐标为t． （1）求直线的函数解析式； （2）连接，，若面积等于面积的，求t的值； （3）求的最小值． 【答案】（1）     （2）10或     （3）      【分析】 （1）根据题意求得，，推得，求得，待定系数法求直线的函数解析式即可； （2）根据题意求得，，根据面积等于面积的，列式即可求得或； （3）过点作点，根据等边对等角可得，推得，根据等角对等边可得，根据勾股定理可得，推得，当点、、三点共线时，为的最小值，根据等角对等边可得，推得，根据勾股定理可得，即可得到的最小值为． (1) 小问详解： 解：∵直线分别交轴，轴于点，点， 将代入， 解得， 将代入， 解得， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 设直线的解析式为． 将，代入得 ， 解得 ， ∴直线的解析式为； (2) 小问详解： 解：如图： ∵设点横坐标为，， ∴， ∵点在直线：上， 将代入解得， ∴， ∵面积等于面积的， ∴， ∴ 解得：或． (3) 小问详解： 如图，过点作点， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴， 在，根据勾股定理得， ∴； 当点、、三点共线时，为的最小值， 在中， ∵， ∴， ∵， 根据勾股定理，得 ∴的最小值为． 【点睛】 本题考查了求一次函数与坐标轴交点，求一次函数解析式，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，根据勾股定理求得最小值是解题的关键． 28．（25-26学年八上·四川成都七中育才学校·期中）如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点． 第一步：将沿着所在直线进行对称，得到； 第二步：将沿着较长直角边所在直线进行对称，得到； 第三步：将沿着较短直角边所在直线进行对称，得到； 第四步：将沿着斜边所在直线进行对称，得到； …… 按照以上规律，进行对称后，则可得到点的坐标为　　　　　　　　，点的坐标为　　　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 本题考查了一次函数的性质，轴对称的性质，点坐标规律的探究．先求得，，轴，得到点的坐标为，同理得到前几个点的坐标，找到规律，根据规律求解即可． 【详解】 解：对于， 当时，当时， ∴，， ∴， 由题意得，， ∴是等边三角形， ∴， ∴，即轴， ∴点的坐标为，同理，点的坐标为，点的坐标为， 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 当为偶数时，点的坐标为， ∴点的坐标为， 当时，， ∴点的坐标为， ∴点的坐标为， 故答案为：，． 29．（25-26学年八上·四川成都第十二中学）已知一次函数图象经过点 （1）求这个一次函数解析式； （2）求出图象与两个坐标轴的交点坐标． 【答案】（1）     （2）交轴于点，交轴于点      【分析】 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用待定系数法解题即可； （2）将，分别代入，即可算得答案． (1) 小问详解： 解：设一次函数为，代入， ， 解得 ， ； (2) 小问详解： 解：当时，； 当时，； 那么图象交轴于点，交轴于点． 30．（25-26学年八上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，在第三象限内有一点，线段与轴相交于点． （1）用含的式子表示的面积； （2）若，求直线的函数关系式； （3）在（2）条件下，点是轴上的动点，当与的面积相等时，求点的坐标． 【答案】（1）     （2）     （3）或      【分析】 本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特点，待定系数法求函数解析式，坐标轴上两点间距离，绝对值方程等知识﹒ （1）先求出，，根据三角形面积公式即可求解； （2）根据待定系数法即可求解； （3）先求出，进而求出，设点坐标为，得到，根据与的面积相等得到，求出，问题得解﹒ (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∵第三象限内有一点， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：设直线的函数关系式为， ∵，， ∴ ， 解得 ∴直线的函数关系式为； (3) 小问详解： 解：把代入得， ∴， ∵点是轴上的动点， ∴设点坐标为， ∴， ∵与的面积相等， ∴， 即， ∴﹒ 综上所述，点的坐标为或﹒ 31．（25-26学年八上·四川成都树德实验中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点D，直线与x轴交于点，与相交于点． （1）求直线的解析式； （2）求四边形的面积； （3）若点M是y轴上一动点，若，求点M的坐标． 【答案】（1）直线的解析式为     （2）     （3）或      【分析】 本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点问题，求直线所围成的图形面积，解题的关键是画出图形，数形结合，熟练掌握待定系数法． （1）先求出点C的坐标，然后用待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出点A、B的坐标，得出，然后根据求出结果即可； （3）设点，求出，，根据题意得到，求解即可． (1) 小问详解： 解：∵直线：与相交于点， ∴， 解得， ∴，              设直线的表达式为， 把点，代入得： ∴ ， 解得 ， ∴直线的解析式为； (2) 小问详解： 解：当时， ∴直线与y轴的交点D的坐标为， ∴， 当时，， ∴直线与x轴的交点A的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴． (3) 小问详解： 解：设点，则， ∵，， ∴， ∴，即， 解得或， ∴点M的坐标为或． 32．（25-26学年八上·四川达州渠县三汇中学·期中）将直线向上平移3个单位长度后经过点，则的值是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一次函数的平移，一次函数的图象,正确理解一次函数的平移规律是解题的关键．先求出直线向上平移3个单位长度后所得直线的解析式，再将代入该解析式，即可求得答案． 【详解】 将直线向上平移3个单位长度后所得直线的解析式为， 将代入得 解得， 故答案为：． 33．（25-26学年八上·四川成都青羊实验中学·期中）在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，a，b满足． （1）如图1，求的面积： （2）若点P的坐标为，当时，求点P的坐标： （3）如图2，点P在x轴上，当平分时，在第一象限确定一点M，使是以为直角边的等腰直角三角形，求出点M的坐标． 【答案】（1）；     （2）或；     （3）的坐标为或．      【分析】 （1）先由非负性求、得顶点坐标，再用待定系数法求的解析式，确定与的交点的坐标，最后用铅锤法（以为铅锤，分为两段，结合水平宽）计算的面积． （2）根据三角形面积公式，结合面积关系列方程求点坐标． （3）利用角平分线性质确定点，再分情况构造全等三角形求点坐标． (1) 小问详解： 解：， ， ，， ，， ，，， 设直线的解析式为，代入、，得 ， 解得，， 直线的解析式为， 令与的交点，，得，即与的交点， ， ∴ ； (2) 小问详解： 解：，， ， ，， ， ， 或， 或， 或； (3) 小问详解： 解：过点作于， 平分，轴， ，设，则，， 在中， ， ， ， ，， ， 情况1：，时， 过作轴于， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ； 情况2：， 过作轴于， 同理可证， ，， ， ； 综上，的坐标为或． 【点睛】 本题主要考查了非负数的性质、待定系数法求一次函数解析式、铅锤法求三角形面积、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握铅锤法中“找铅锤线与三角形边的交点，拆分面积计算”是解题的关键． 34．（25-26学年八上·四川成都七中育才学校·期中）如图1，直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，已知点，． （1）求出点A，B的坐标； （2）经过点C的直线将分成面积比为的两部分，求该直线的函数关系式； （3）如图2，直线l平移后分别交x轴，y轴于点，，过点D作平行于y轴的直线m，在直线m上是否存在点P，使是以为腰的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；     （2）或     （3）点P的坐标为或或或或或．      【分析】 （1）根据求与轴交点坐标的方法，列出方程即可得到结论； （2）先求得，分两种情况讨论，利用待定系数法求解即可得出结论； （3）如图2，① 当点是直角顶点时；② 当点是直角顶点时；③ 当点是直角顶点时，根据全等三角形的性质即可得出结论． (1) 小问详解： 解：令，则， 解得：， ∴， 令，则， ∴； (2) 小问详解： 解：∵经过点的直线将分成面积比为的两部分， 设直线交于点，且直线的解析式为， ∵，， ∴，， ∴， ∵经过点的直线将分成面积比为的两部分， 设直线交于点， ∴或， ∵点， ∴， 当时，则， ∴，则， ∴点， ∴，解得， ∴该直线的函数关系式为； 当时，则， ∴，则， ∴点，∴，解得， ∴该直线的函数关系式为； 综上，该直线的函数关系式为或； (3) 小问详解： 解：存在；理由如下： ∵直线的解析式为， 由平移知，直线的解析式为， ∴，， ① 当点是直角顶点时，如图，过点作轴于点， ∴， ∵，，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴或， ∴， ∴， ∴点P的坐标为， 当点时， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； ② 当点是直角顶点时， ∵直线的解析式为， 由平移知，直线的解析式为， ∴，， 当点在原点上方时， 同理， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 当点在原点下方时， 同理， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； ③ 当Q是直角顶点时，过Q作轴于H， 当点在原点上方时，     ∴， ∴，， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 当点在原点下方时， 同理，点P的坐标为； 综上：满足条件的点P的坐标为或或或或或． 【点睛】 此题目是一次函数综合题，主要考查了一次函数的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式，等腰直角三角形的性质，判断是解本题的关键． 35．（25-26学年八上·四川嘉祥外国语学校·期中）在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点，我们定义其“相关点”满足：当时，；当时，．请根据此定义完成下列问题： （1）点的“相关点”的坐标为___________； （2）若点的相关点的坐标为，求的面积； （3）点在第二象限，其“相关点”的纵坐标为，若线段的长度为，求点的坐标． 【答案】（1）(5,7)     （2）     （3）      【分析】 本题重点考查了二元一次方程组的求解，点到坐标轴的距离，一次函数的解析式和两点坐标求两点距离等知识点，点到坐标轴的距离为点到轴、轴的距离，应注意取相应坐标的绝对值，一次函数的解析式为，两点之间的距离公式为，熟练掌握公式以及公式的运用是解题的关键． （1）将已知条件直接代入表达式即可完成求解，得到的坐标． （2）根据已知条件，分和两种情况进行讨论，求得点的坐标，进而得到直线的解析方程式，得到其与轴或轴的交点，将拆解成两个三角形和，分别计算两个三角形的面积，即可得到答案． （3）此题通过已知条件，得到的坐标，进而得到，用含的表达式得到，的坐标，利用两点之间的距离公式得到的值，解方程得到的值，最终求得的坐标，此题中还需要注意的第二象限，需要舍弃不符合条件的值． (1) 小问详解： 解：符合， ∴， ∴的坐标为． 答：的坐标为． (2) 小问详解： 解：设， 当时，将代入方程得到方程组， ， 用代入消元法解得到，符合的设定， 得到， 设直线的解析方程式为，将代入上式， ， 用加减消元法解得， ∴直线的方程式为， ∴直线与轴的交点为， ∴此时轴将分割成两个三角形和， ∴； 当时，将代入方程得到方程组， ， 用代入消元法解得到，符合的设定， 得到， 设直线的方程式为，将代入方程式， ， 用加减消元法解得， ∴直线的方程式为， ∴直线与轴的交点为， ∴此时轴将分割成两个三角形和， ∴． ∴的面积为． 答：的面积为． (3) 小问详解： 解：∵点在第二象限， ∴， ∴的坐标为， ∵的纵坐标为， ∴，即， ∴的坐标为，的坐标为 ∴， ∴， ∴或， ∵， ∴， ∴点的坐标为． 答：点的坐标为． 36．（25-26学年八上·四川达州通川区蒲家中学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交A、B两点，与直线相交于点． （1）求m和b的值； （2）若直线与x轴相交于点D，动点P从点D开始，以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒． ①若点P在线段上，且的面积为10，求t的值； ②是否存在t的值，使为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；     （2）①；② 存在，t的值为8或或或12．      【分析】 （1）将点代入直线解得；即可将代入直线求得b即可； （2）① 根据的面积公式列等式可得t的值； ② 存在，分三种情况：当时，如图1，当时，如图2，当时，如图3，分别求t的值即可． (1) 小问详解： 解：在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交A、B两点，与直线相交于点．将点代入得： ， 将点代入直线得： ∴， 解得：； (2) 小问详解： 解：由（1）知：， 当时， ， ， ， ， ； ① 设，则，过C作于E，如图1所示： ， ， 的面积为10， ∴， 解得：； ② 存在t的值，使为等腰三角形；理由如下： 过C作于E，如图1所示： ， ，， ∴， ∴； a．当时， ， ； b．当时，如图2所示： 则， ，， 或； c．当时，如图3所示： 设，则，， ， 解得：， ∴P与E重合， ， ； 综上所述，存在t的值，使为等腰三角形，t的值为8或或或12． 【点睛】 本题属于一次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形性质，勾股定理，等腰三角形的判定，以及一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握性质及定理是解本题的关键，并注意运用分类讨论的思想解决问题． 37．（25-26学年八上·四川成都七中育才学校·期中）定义：我们将形如的函数称为一次函数的“伴随函数”，例如：是一次函数的“伴随函数”． （1）如图1，若一次函数的图象与x轴，y轴分别交于B，A两点，其中，．求此一次函数的“伴随函数”解析式； （2）若（1）中“伴随函数”的图象交x轴于点C，取线段中点N，过点N作直线轴，在直线l上是否存在点M，使得？若存在，请求出点M的坐标并说明理由； （3）在线段上取一点P，使得的值最小．将点C向右平移一个单位长度得到点D，连接，在直线上是否存在点Q，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标并说明理由． 【答案】（1）此一次函数的“伴随函数”解析式为；     （2）存在，点M的坐标为或；     （3）点Q的坐标为或或．      【分析】 （1）先求得一次函数的解析式为，再利用“伴随函数”的定义求解即可； （2）分两种情况讨论，利用相似三角形的判定和性质求解即可； （3）在轴下方作交轴于点，作于点，连接，当共线时，的最小值为的长，利用直角三角形的性质结合勾股定理可求得点P的坐标为，求得直线的解析式为，点Q的坐标为，分两种情况讨论，即可求解． (1) 小问详解： 解：∵一次函数的图象经过，， ∴ ，解得 ， ∴一次函数的解析式为， ∴此一次函数的“伴随函数”解析式为； (2) 小问详解： 解：对于直线，令，则， ∴， ∵点N是线段中点， ∴， 设直线交轴于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， 当点M在轴上方时， ∴点M的坐标为， 当点M在轴下方时， ∴点M的坐标为， 综上，点M的坐标为或； (3) 小问详解： 解：在轴下方作交轴于点，作于点，连接， ∴，，即， 当共线时，的最小值为的长， ∵， ∴的最小值为的长， ∵，， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴点P的坐标为， ∵将点C向右平移一个单位长度得到点D， ∴点D的坐标为， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∵点Q在直线上， ∴设点Q的坐标为， ∵， ∴， 当即时， ∴，解得， ∴， ∴点Q的坐标为或； 当即时， ∴， 解得(舍去)，， ∴， ∴点Q的坐标为； 综上，点Q的坐标为或或． 【点睛】 本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数图象与坐标轴交点，等腰三角形的定义，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质和勾股定理，熟练掌握相关知识，并运用数形结合的思想分析问题进行分类讨论是解题的关键． 考点05 一次函数与方程（组）、不等式 1．（25-26学年八上·四川达州渠县三汇中学·期中）如图，已知直线，则关于的方程的解是　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一次函数与一元一次方程，熟练掌握函数图象法是解题关键．根据一次函数的图象可得当时，由此即可得． 【详解】 解：由一次函数的图象可知，当时， 则关于的方程的解为， 故答案为：． 2．（25-26学年八上·四川达州通川区蒲家中学校·期中）如图，已知一次函数的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若，，则关于x的方程的解为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了一次函数与一元一次方程之间的关系，难度不大，认真分析题意即可． 根据一次函数与轴交点坐标可得出答案． 【详解】 解：∵， ∴， ∵一次函数的图象与轴交于点， ∴当时，即时， ∴关于的方程的解是． 故答案为：． 3．（25-26学年八上·四川成都第二十中学校·期中）直线与两坐标轴围成的三角形的面积为　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 本题考查一次函数图象与坐标轴的交点坐标及三角形的面积，求出直线与坐标轴的交点，根据三角形的面积公式解答即可． 【详解】 解：当时，；令，则，解得， ∴直线与x轴交于点，与y轴交于点， ∴直线与两坐标轴围成的三角形的面积为， 故答案为：． 4．（25-26学年八上·四川成都第十二中学）如图1，直线与y轴交于点B，与x轴交于点A，与直线交于点． （1）求点C的坐标以及直线的表达式； （2）点P在y轴上，若的面积为6，求点P的坐标； （3）如图2，若y轴上有一点Q，且使得以B，C，Q为顶点的三角形为等腰三角形，请直接写出点Q的坐标． 【答案】（1）点，直线AB的表达式为：     （2）点或     （3）的坐标为或或或      【分析】 本题主要考查了一次函数综合运用，等腰三角形的性质、面积的计算，勾股定理等知识点， （1）由待定系数法即可求解； （2）设点，由的面积，即可求解； （3）当时，则，即可求解；当或时，同理可得：或，求解即可； 熟练掌握其性质，分类求解是解决此题的关键． (1) 小问详解： 将点C的坐标代入得：则， ∴点， 将点C的坐标代入的表达式得：，则， 则直线的表达式为：； (2) 小问详解： 如图，设点， 由题意知，的面积， 解得：或， 即点或； (3) 小问详解： 设点， 由点B、C、Q的坐标得，，， 当时，则， 解得：，即点Q的坐标为或， 当或时， 同理可得：或， 解得：（舍去）或0或， 即点Q的坐标为或， 综上，的坐标为或或或． 5．（25-26学年八上·四川达州通川区第八中学·期中）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，若直线与x轴、y轴分别交于点A、B，则的面积为　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点，三角形的面积，求出一次函数图象与坐标轴的交点坐标是解题的关键． 利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出点A，B的坐标，进而可得出，的长，再利用三角形的面积公式，即可求出的面积． 【详解】 解：如图， 当时， ∴点B的坐标为， ∴； 当时， 解得：， ∴点A的坐标为， ∴． ∴． 故答案为：． 6．（25-26学年八上·四川达州通川区第八中学·期中）小颖在画一次函数y＝ax+b（a，b为常数，且a≠0）的图象时，求得x与y的部分对应值如表，则方程ax+b＝0的解是　　　　　． x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … 6 4 2 0 ﹣2 ﹣4 … 【答案】x=1 【分析】方程ax+b=0的解为y=0时函数y=ax+b的x的值，根据图表即可得出此方程的解． 【详解】解：根据图表可得：当x=1时，y=0； 因而方程ax+b=0的解是x=1． 故答案为x=1． 【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程之间的关系：方程ax+b=0的解为函数值y=0时函数y=ax+b自变量x的取值． 7．（25-26学年八上·四川达州渠县三汇中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线的解析式为，与轴、轴分别交于点、点，直线与交于点． （1）求点、点、点的坐标，并求出的面积； （2）在轴右侧有一动直线平行于轴，分别与，交于点、， ①若线段，此时点的坐标为__________； ②轴上有一点，使为等腰直角三角形，当点在点的下方时，请直接写出点的坐标． 【答案】（1），，，     （2）①，；②，，      【分析】 （1）根据直线与坐标轴存在交点可求得点A、点B坐标，根据两直线的交与点C可联立方程求得点C的坐标，根据三角形的面积公式即可求解； （2）① 根据题意设点、的坐标，根据列方程求解即可； ② 分、、三种情况，分别求解即可． (1) 小问详解： 解：∵直线：与x轴、y轴分别交于点A、点B， 故把代入得：； 把代入得：， ∴与轴、轴分别交于点、点坐标分别为、， ∵直线与交于点C， 联立得方程组： ， 解得： ， 故点； 则的面积； (2) 小问详解： 解：① 设点、的坐标分别为、 根据题意可得：， 解得：或， 所以点N的坐标为，； ② 设、、的坐标分别为、、， 当时，如图：     ，， ，，， ， ，， 即： ， 解得： ， ∴Q点坐标为： 当时，如图：    则，即：， 解得：， ； ∴Q点坐标为： 当时，如图：    则，即：， 解得：， ； ∴Q点坐标为： 综上，点的坐标为或或． 【点睛】 本题考查了一次函数的交点问题，两点间的距离公式，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形面积等，解题的关键是要注意分类求解，避免遗漏． 考点06 实际问题与一次函数 1．（25-26学年八上·四川成都青羊实验中学·期中）某油箱容量为的汽车，加满汽油后开了时，油箱中的汽油大约消耗了．如果加满汽油后汽车行驶的路程为，油箱中的剩油量为，则y与x之间的函数解析式和自变量取值范围分别是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据题意列出一次函数解析式，即可求得答案． 【详解】 解：因为油箱容量为50 L的汽车，加满汽油后行驶了200 km时，油箱中的汽油大约消耗了，可得：×50÷200＝0.0625L/km，50÷0.0625＝800（km）， 所以y与x之间的函数解析式和自变量取值范围是：y＝50−0.0625x，0≤x≤800， 故选D． 【点睛】 本题主要考查了一次函数的实际应用，解答一次函数的应用问题中，要注意自变量的取值范围还必须使实际问题有意义，属于中档题． 2．（25-26学年八上·四川达州通川区蒲家中学校·期中）如图，已知一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在线段上，且，直线与的平分线交于D点，则点D的横坐标与它的纵坐标的和为（     ） A. 2.1 B. 2.2 C. 2.3 D. 2.4 【答案】A 【分析】 本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数的图象与性质是解题的关键．先求出点A和点B的坐标，再求出的长，利用面积法求出边上的高，结合得出，过点D作的垂线，垂足为H，证，求出，设，则，列方程求出m值，进而求出点D坐标，即可解决问题． 【详解】 解：将代入得， 点的坐标为， 同理可得，点的坐标为， ， 则， 令边长的高为， 则， 则， 点在线段上，且， ， ， 过点D作的垂线，垂足为H， ，平分， ， ， ， ， ， 设，则， 在中， 解得：， 即点的坐标为， ． 故选：A． 3．（25-26学年八上·四川成都第十八中学校）氯化钾的溶解度随温度的升高而增大，在条件下，氯化钾的溶解度与温度之间近似满足一次函数关系．王倩根据实验数据，画函数图象如下： 注：氯化钾的溶解度表示在一定温度下，氯化钾在水里达到饱和状态时所溶解的氯化钾质量． （1）求y关于x的函数解析式； （2）当温度是时，在水中加入氯化钾，充分搅拌，是否能完全溶解？请说明理由． 【答案】（1）     （2） 解：能完全溶解，理由如下： 当时， ∵， ∴能完全溶解．      【分析】 本题考查了一次函数的实际应用问题，熟练掌握一次函数的基本性质及图象是解此题的关键． （1）设一次函数的解析式为，将点，的坐标代入函数解析式，求出k，b后可得解； （2）已知条件将代入解析式中，求出y，最后比较得出结论． (1) 小问详解： 解：设y关于x的函数解析式为， ∵的图象过点与， ∴将两点的坐标代入函数解析式中得 ， 解得 ， ∴y关于x的函数解析式为． (2) 小问详解： 略 4．（25-26学年八上·四川成都玉林中学·期中）汽车出发前油箱有油，行驶若干小时后，在加油站加油若干升．图象表示的是从出发后，油箱中剩余油量与行驶时间之间满足如下函数图象． （1）汽车行驶______后加油，中途加油______； （2）求加油前油箱剩余油量与行驶时间的函数关系式； （3）已知加油前、后汽车都以匀速行驶，如果加油站距目的地，那么要到达目的地，油箱中的油是否够用？若够，请说明理由；若不够，请求出还应再加油多少升？ 【答案】（1），     （2）     （3）油箱中的油不够用，还应再加油      【分析】 本题考查了一次函数的应用，从函数图象中正确获取信息是解题关键． （1）根据函数图象即可得； （2）设加油前油箱剩余油量与行驶时间的函数关系式为，根据点，，利用待定系数法求解即可得； （3）先求出汽车每小时的耗油量，再求出汽车从加油站到达目的地所需的油量，与比较大小即可得出结论． (1) 小问详解： 解：由图可知，汽车行驶后加油，中途加油， 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：设加油前油箱剩余油量与行驶时间的函数关系式为， 将点，代入得 ， 解得 ， 加油前油箱剩余油量与行驶时间的函数关系式为； (3) 小问详解： 解：汽车每小时耗油， 汽车从加油站到目的地耗油， ， 如果加油站距目的地，那么要到达目的地，油箱中的油不够用， 还应再加油． 5．（25-26学年八上·四川达州渠县三汇中学·期中）如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与，轴交于，两点，正比例函数的图象与交于点 （1）求点坐标________，点坐标________； （2）求及面积： （3）若点为轴上一动点，当时，则点坐标为________． 【答案】（1），；     （2），；     （3）或．      【分析】 本题主要考查一次函数的综合应用，解决问题的关键是掌握掌握一次函数的性质． （1）中，分别令，，构造方程求解即可； （2）把代入即可求得，进而求得面积； （3）点，由，得，求解即可． (1) 小问详解： 解：中，令，则，解得， ∴点坐标为， 中，当时， ∴点坐标， 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：把代入得， ∴， ∴， ∵点坐标为， ∴面积为； (3) 小问详解： 解：点， ∵面积为，， ∴， ∵点坐标为，， ∴， 解得或， ∴或， 故答案为：或． 6．（25-26学年八上·四川达州渠县三汇中学·期中）如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，把绕点B逆时针旋转后得到，则点的坐标是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查一次函数与几何综合，旋转前后对应边长度不变是解题的关键．先根据函数图象分别求出、的长度，再通过旋转之后对应边相等，结合旋转后轴，轴，可求出点的坐标． 【详解】 解：当时， 则， 当时，解得， 则， ∴，， ∵把绕点B逆时针旋转后得到， ∴，，轴，轴， ∴，， ∴点的坐标是． 故答案为：． 7．（25-26学年八上·四川达州渠县三汇中学·期中）某家用电器厂生产一种电饭煲和一种电热水壶，电饭煲每个定价200元，电热水壶每个定价60元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供以下两种优惠方案：方案一：每买一个电饭煲就赠送一个电热水壶；方案二：电饭煲和电热水壶都按定价的80%付款．某厨具店计划购进80个电饭煲和个电热水壶（）．设选择方案一需付款元，选择方案二需付款元． （1）分别写出，关于的函数解析式． （2）当时． ①请通过计算说明该厨具店选择上面哪种方案更省钱． ②若两种优惠方案可以同时使用，是否有更省钱的购买方案？若有，请设计出更省钱的购买方案，并计算出该方案所需费用． 【答案】（1）     （2）①该厨具店选择方案二更省钱；②有更省钱的购买方案，购买80个电饭煲，按方案一获赠80个电热水壶，再按方案二购买剩余的120个电热水壶，方案所需费用为元      【分析】 本题考查了用代数式表示和一次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意正确列出函数表达式． （1）根据题目所给的两个方案，分别列出代数表达式即可； （2）① 将分别代入（1）中得出的两个函数表达式，即可解答； ② 先按方案一购买 80 个电饭煲，再按方案二购买 120 个电热水壶最省钱，计算即可． (1) 小问详解： 解：根据题意可得： ， ； (2) 小问详解： 解：①当时，． ， 该厨具店选择方案二更省钱． ②更省钱的购买方案： 购买80个电饭煲，按方案一获赠80个电热水壶，再按方案二购买剩余的120个电热水壶． 该方案所需费用为（元）． 8．（25-26学年八上·四川成都青羊实验中学·期中）为了保护资源节约用水，我校八年级数学小组设计居民用水实行“阶梯水价”计费方法，如下表： 每户每月用水量 水价 不超过 2.5元/ 超过但不超过的部分 5元/ 超过的部分 8元/ （1）A户居民本月用水量为，求户居民本月的水费为多少元． （2）设每户每月用水量为，水费为元，求关于的函数关系式． （3）若户居民本月的水费为元．求户居民本月用水量． 【答案】（1）元；     （2）当时，；当时，；当时，；     （3）．      【分析】 本题主要考查了分段函数的实际应用，熟练掌握分段计费的计算逻辑、分情况列函数关系式是解题的关键． （1）将拆分为和超过的，分别按对应水价计算后求和． （2）分三段讨论的范围（不超过、到之间、超过），分别列出对应的函数关系式． （3）先判断元所在的计费段，再代入对应函数关系式求解． (1) 小问详解： 解：， 答：户居民本月的水费为元； (2) 小问详解： 解：当时，； 当时， ； 当时， ； (3) 小问详解： 解：先计算各段最大水费： 时，元； 时，元． 因，代入，得， 解得． 答：户居民本月用水量为． 9．（25-26学年八上·四川师范大学附属中学·期中）中国初创企业（深度求索）公司，其自主研发的人工智能（）大语言模型，凭借“好用、开源、免费”三大特点，在全球范围内引发热烈反响．公司为提升服务能力，计划部署两种服务器：型号和型号．这两类新型服务器的维护需求各有不同，具体如表所示： 服务器类型 每台所需技术人员 每台成本（万元） 型号 4 12 型号 5 16 （1）若公司有技术人员60人全部参与维护且每人只负责一种服务器，总投入资金为188万元，问和服务器的安装数量各是多少台？ （2）由于公司规模扩大，技术人员增至65人，全部参与维护且每人负责一种服务器，要求型号超过4台．问和服务器的安装数量各是多少台时，安装总成本最少？ 【答案】（1）服务器的安装数量是5台，服务器的安装数量是8台；     （2）服务器的安装数量是10台，服务器的安装数量是5台时，安装总成本最少      【分析】 本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用． （1）设服务器的安装数量是台，服务器的安装数量是台，根据公司共有技术人员60人，全部参与维护且每人只负责一种服务器，总投入资金为188万元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设安排服务器的技术人员人，则安排服务器的技术人员人，安装总成本为万元，根据要求型号超过4台，求得，再根据题意列得，利用一次函数的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：设服务器的安装数量是台，服务器的安装数量是台． 根据题意可列： ， 解得： ， 答：服务器的安装数量是5台，服务器的安装数量是8台； (2) 小问详解： 解：设安排服务器的技术人员人，则安排服务器的技术人员人，安装总成本为万元， ∴服务器的安装数量是台，服务器的安装数量是台， ∵要求型号超过4台， ∴，解得， 由题意得， ∵， ∴的值随的增大而减少， ∵，且和都是整数， ∴当时，有最小值为200万元， 此时，， ∴当服务器的安装数量是10台，服务器的安装数量是5台时，安装总成本最少． 10．（25-26学年八上·四川成都实验外国语学校·期中）某工厂计划生产甲、乙两种产品共2500吨，每生产1吨甲产品可获得利润0.3万元，每生产1吨乙产品可获得利润0.4万元．设该工厂生产了甲产品（吨），生产甲、乙两种产品获得的总利润为（万元）． （1）求与之间的函数表达式（不需要写出自变量取值范围）； （2）根据市场调研发现，甲产品需求量吨数范围是．求出该工厂生产甲、乙两种产品各为多少吨时，能获得最大利润． 【答案】（1）y＝−0.1x＋1000；     （2）该工厂生产甲产品1000吨、乙产品1500吨时，能获得最大利润．      【分析】 （1）根据题意和题目中的数据，可以写出y与x之间的函数表达式； （2）根据（1）中的函数解析式和一次函数的性质，结合甲产品需求量吨数范围求解即可． (1) 小问详解： 设该工厂生产了甲产品x吨，则生产了乙产品（2500−x）吨， y＝0.3x＋0.4（2500−x）＝−0.1x＋1000， 即y与x之间的函数表达式是y＝−0.1x＋1000； (2) 小问详解： ∵y＝−0.1x＋1000， ∴y随x的增大而减小， ∴当x＝1000时，y取得最大值，此时2500−x＝1500， 答：该工厂生产甲产品1000吨、乙产品1500吨时，能获得最大利润． 【点睛】 本题考查一次函数的应用和性质，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求解． 11．（25-26学年八上·四川成都第十二中学）某通讯公司推出①，②两种通讯收费方式供用户选择，其中一种有月租费、另一种无月租费，且两种收费方式的通话时间x（分钟）与收费y（元）之间的函数关系如图所示． （1）无月租费的收费方式是          （选填“①”或“②”），其通话一分钟收费是                  元； （2）求出有月租费收费方式中y与自变量x之间的函数关系式； （3）小昊的爸爸每月话费80元，选哪种方式更划算？请说明理由． 【答案】（1）②，     （2）     （3）通讯方式① 更划算      【分析】 本题主要考查了一次函数的应用以及利用待定系数求函数解析式的相关知识，根据已知得出收费情况等式是解题关键． （1）根据当通讯时间为零的时候的函数值可以得到哪种方式有月租，哪种方式没有，结合图象可知每分钟话费； （2）根据图象经过的点的坐标设出函数的解析式，用待定系数法求函数的解析式即可； （3）求出当两种收费方式费用相同的时候自变量的值，以此值为界说明消费方式即可． (1) 小问详解： 结合图形，根据当通讯时间为零的时候的函数值为0，可知无月租费的收费方式是②， 设无月租费的收费方式中y与自变量x之间的函数关系式为：， 由图可知图象过点， 得到：， 解得： ∴无月租费的收费方式中y与自变量x之间的函数关系式为： 故通话一分钟收费是元 故答案为：②， (2) 小问详解： 设有月租费收费方式中y与自变量x之间的函数关系式， 由图可知，图象过点，得到： 解得： ， ∴有月租费收费方式中y与自变量x之间的函数关系式： (3) 小问详解： 由 解得： 由图可知： 当通话费用为时，两种①，②两种通讯收费方式的通话时长是一样的，一样划算； 当通话费用小于时，由图可知：通讯方式②的通话时长大于通讯方式①，方式②划算； 当通话费用大于时，由图可知：通讯方式①的通话时长大于通讯方式②，方式①划算； 而小昊的爸爸每月话费80元， ∵， ∴有月租费的通讯方式① 更划算． 12．（25-26学年八上·四川成都树德实验中学·期中）如图，已知a，b，c分别是的三条边长，我们把关于x的形如的一次函数称为“勾股一次函数”，若点在“勾股一次函数”的图像上，且的面积是，则c的值是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及勾股定理的应用，根据题目中所给的材料结合勾股定理和乘法公式是解答此题的关键．依据题意得到三个关系式：，，，运用完全平方公式即可得到c的值． 【详解】 解：∵点在“勾股一次函数”的图象上， 即， ∵分别是的三条边长，的面积为， ∴，， ∴， ， ∴， 解得：（负值舍去）． 故答案为：． 13．（25-26学年八上·四川达州通川区蒲家中学校·期中）某公共汽车线路收支差额y（万元）（票价总收入减去运营成本）与乘客数量x（万人）之间的关系如图所示，根据图象回答下列问题：        （1）该公共汽车线路运营前即乘客数量为0时的前期投入为______万元； （2）点B的实际意义是什么？ （3）求y与x之间的关系式； （4）目前这条线路是亏损运营，为了扭亏，公交公司提出了以下两种方案： 方案1：票价不变，将运营前的前期投入降低为0.6万元； 方案2：运营前的前期投入不变，将票价提高为0.9元/人， 如果分别按照上述两种方案运营，那么收支差额y（万元）与乘客数量x（万人）之间的函数关系均发生了变化． ①分别写出方案1和方案2的收支差额y（万元）与乘客数量x（万人）之间的函数关系式，； ②当乘客数量是多少万人时，两种方案的收支差额相等？ 【答案】（1）     （2）当乘客数量为万人时，公共汽车线路收入万元；     （3）     （4）①，   ② 乘客数量是万人时，两种方案的收支差额相等      【分析】 本题考查一次函数的应用，理解横纵坐标的含义是解本题的关键． （1）计算当时，即可得到前期投入的资金数量； （2）根据B的坐标含义可得B表示的实际意义； （3）设y与x之间的关系式为，再利用待定系数法求解解析式即可， （4）① 先分别求解两种方案下的函数解析式； ② 令，建立方程求解即可． (1) 小问详解： 解：当时， ∴该公共汽车线路运营前即乘客数量为0时的前期投入为万元， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：点B的实际意义是当乘客数量为万人时，公共汽车线路收入万元； (3) 小问详解： 解：设直线的解析式为，把和代入得： ，解得： ， ∴直线的解析式为， (4) 小问详解： 解：① 方案1：票价不变，将运营前的前期投入降低为0.6万元， ∴函数关系式为：， 方案2：运营前的前期投入不变，将票价提高为0.9元/人， ∴函数关系式为：， ② 令，则， 解得：， ∴当乘客数量是万人时，两种方案的收支差额相等． 14．（25-26学年八上·四川成都第十八中学校）如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与直线：交于点，点为轴上一个动点． （1）求直线的解析式； （2）当最小时，直接写出点的坐标：__________； （3）若以点，，为顶点的三角形为等腰三角形，求点的坐标． 【答案】（1）直线的解析式为     （2）     （3）点E的坐标为、或      【分析】 本题属于一次函数综合题，结合几何与函数是解题的关键． （1）结合直线，先求出点的坐标，再结合点，利用待定系数法求解直线的解析式； （2）路径最短问题，利用轴对称将折现转化为线段，作出关于轴的对称点，解出直线的函数表达式，求该表达式与轴的交点即可； （3）等腰三角形存在问题，分类讨论，利用两点之间的长度公式进行解题，列出对应方程并求解． (1) 小问详解： 解：∵点在直线：上， ∴当时，即，解得， 故点的坐标为， 将点、代入直线：， 得 ，解得 ， ∴直线的解析式为． (2) 小问详解： 解：作点关于轴的对称点， 则点的坐标为， 连接，与轴相交于点，此时最小， 假设直线的函数表达式为， 将点、代入， 得 ，解得 ， 直线的解析式为 当时，解得， ∴与轴的交点为， 故点的坐标为 ． (3) 小问详解： 解： 以为腰时， ∵，故，点在轴上，故不存在， 当时，假设点的坐标为， 则， 化简该方程得，解得、， 以为底时，即=，结合点 得， 故可得方程，解得， 综上，点E的坐标为、或 15．（25-26学年八上·四川成都玉林中学·期中）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与直线相交于点，与轴交于点，与轴交于点，且，满足． （1）求一次函数的解析式； （2）若点为直线上一点，且，求点的坐标； （3）如图2，点在第一象限，连接，，将绕点顺时针旋转得到，连接，若，，求的长． 【答案】（1）     （2）点的坐标为或     （3）      【分析】 （1）由非负数性质解出，，代入已知点坐标求出及一次函数解析式； （2）先求，再利用，求得，再用面积割补法建立方程； （3）利用和旋转，构建等边三角形，证得，根据选择求得，在中，求得，在用勾股定理求得. (1) 小问详解： 解：， ，， ，， ，， ， 解得 ， (2) 小问详解： 如图，过点作轴，交直线于点， 直线的解析式为，且与直线相交于点， ， 解得， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为，则， ， 直线的解析式为， 设，则， ， ， 即 解得：或， 点的坐标为或 (3) 小问详解： 在上截取线段，使得， ∴， ∵ ∴为等边三角形 ∴ ∴ 即 在和中 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵在中，， ∴ ∴ ∴ ∵在中， ∴ 【点睛】 本题考查了一次函数解析式求解、三角形面积计算、旋转性质与全等三角形的判定与运用；解题的关键在于利用非负数和性质确定函数参数，通过面积关系构造方程求点坐标，借助旋转构造等边三角形实现线段转化；易错点是计算三角形面积时对“同底等高”的准确运用，以及旋转后对应点位置的准确判断． 16．（25-26学年八上·四川成都玉林中学·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点，点，且． （1）求的值； （2）若点为线段上一点，连接，将沿着折叠，使点落在轴的点处，求点的坐标； （3）如图2，作，点为直线上一动点，点为轴上一动点，是否存在以为顶点的三角形与全等？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）     （2）     （3）存在；或，或．      【分析】 本题主要考查了一次函数的图象和性质，一次函数的综合问题，全等三角形的性质，以及坐标与图形等知识，掌握这些知识是解题的关键． （1）先求出点B的坐标，再求出点A的坐标，把点A的坐标代入解析式即可求出答案． （2）先求出，由折叠的性质可知，，设，则，，，最后由勾股定理求解即可． （3）先用等面积法得出，再得出以O，E，F为顶点的三角形与全等时，斜边为对应边，，然后分两种情况利用全等三角形的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：当时， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 把代入， 即 解得． (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， 由折叠的性质可知：，， ∴， ∴， ∴． 设， 则，， 则， 在中， 即， 解得：， ∴ (3) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∴以O，E，F为顶点的三角形与全等时，斜边为对应边，， 当时， ∴， ∴点E的横坐标为：或， 由（1）直线的解析式为， ∴点E的纵坐标为：，或， 故或 当时， ∴， ∴点纵坐标为或， ∴点E的纵坐标为或， 即或， 解得：或， ∴或 综上：存在以为顶点的三角形与全等，则点E的坐标为：或，或． 17．（25-26学年八上·四川成都第二十中学校·期中）如图，，点在直线上，且，则点的坐标为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，待定系数法求解析式，联立解析式构造方程组求交点坐标，熟练掌握全等三角形的判定和性质，待定系数法求解析式，联立解析式构造方程组求交点坐标是解题的关键．将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点B作轴，过点D作轴，二线交于点F，证明，确定点D的坐标，连接交于点K，证明点K是的中点，确定直线的解析式，联立求交点坐标即可． 【详解】 将线段绕点顺时针旋转90°得到线段 过点B作轴，过点D作轴，二线交于点F，交x轴于点G， ∴，，四边形是矩形， ∵ ， ∴， ∴，四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴K为的中点， ∴， 故直线与直线的交点即为点． 设直线的解析式为，    把和的坐标代入得： ， 解得： 则直线的解析式是 由 ， 解得： ， ∴点坐标为． 故答案为：． 18．（25-26学年八上·四川成都第二十中学校·期中）点 P 是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上，过点 P 向 x 轴，y 轴作垂线段，若垂线段的长度的和为 4，则点 P 叫做“垂距点”，例如：如图中的  是“垂距点”．若为“垂距点”，m的值是　　　　　　　　　；若过点 的一次函数 的图象上存在“垂距点”，则 k 的取值范围是　　　　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 本题考查一次函数图象与系数的性质，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊点解决问题，属于中考压轴题， （1）由题意可知点横纵坐标的绝对值的和为4，依次列式求出m的值即可； （2）如图，取．连接，“垂距点”所构成的图形解析式为，去掉绝对值符号后应该分为四段，图象即为如图所示的正方形（不包括顶点），说明点的一次函数图象与正方形有交点，据此求出结论即可． 【详解】 解：由题意得：， ① 当时，则， 解得， ② 当时，则， 解得， 故m的值为； 如图，取．连接， 依题意，得：“垂距点”所构成的图形解析式为，去掉绝对值符号后应该分为四段，图象即为如图所示的正方形（不包括顶点）， ∵过点的一次函数图象存在“垂距点”， 则说明点的一次函数图象与正方形有交点， ∵直线经过点， ∴， ∴， ∴过点 的一次函数表达式为， ∴当直线经过时，则， 解得：， 当直线经过时，则， 解得：， 观察图象可知满足条件的k的取值范围为． 故答案为：；． 19．（25-26学年八上·四川成都实验外国语学校·期中）如图，一次函数与轴、轴分别相交于点和点． （1）求点和点的坐标； （2）点在轴上，若的面积为6，求点的坐标； （3）点在轴上，若等腰三角形，求点的坐标； 【答案】（1），     （2）或     （3）或或或．      【分析】 本题考查一次函数的综合应用．正确的求出直线与坐标轴的交点坐标，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键． （1）令，求出x的值，得到点A的坐标，令，求出y的值，得到点B的坐标； （2）分点在点上方和点在点下方两种情况讨论． （3）若是等腰三角形，且点P在x轴上，分，，三种情况，由等腰三角形的性质，结合勾股定理分别求解即可． (1) 小问详解： 解：当时， ； 当时，， ； (2) 小问详解： 解：∵点在轴上，的面积为6， ， ， ， 当点在点上方时，； 当点在点下方时，． (3) 小问详解： 解：∵，， ∴，， ∴， 当时， 则点P的坐标为或； 当时，根据等腰三角形的三线合一性质得， ∴点P的坐标为； 当时，设点P的坐标为， 根据题意，得， 解得：， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或或． 20．（25-26学年八上·四川成都实验外国语学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，是线段的中点． （1）求直线的函数表达式； （2）若点是轴上一点，且使周长最小，求最小周长； （3）在（2）的条件下，若点在直线上，且，求点的坐标． 【答案】（1）     （2）     （3）或      【分析】 （1）利用待定系数法求解即可； （2）过点作轴的对称点，连接交轴于点，过点作于点，此时，可得到最小值，再利用勾股定理运算求解即可 （3）在轴正半轴上取一点，使，连接，过作于，过作轴，过作于，过作于，延长交轴于，证出，设，利用全等三角形的性质求出坐标，求出直线的解析式得到的坐标，利用坐标的对称性得到的坐标，求出直线的解析式和直线的解析式，联立起来即可得到的坐标，根据，得出当点N在点处时，联立 ，解方程，求出结果即可． (1) 小问详解： 解：设直线的解析式为：，把，分别代入可得： ， 解得： ， ∴直线的解析式为：； (2) 小问详解： ∵周长， ∴当最小时，的周长最小， 作点关于轴对称的点，连接交轴于点，过点作于点，如图所示： 此时，可得到最小值， ∵，与关于轴对称， ∴， ∵为中点，， ∴，即， ∴， ∴，，， ∴在中， 在中， ∴周长； (3) 小问详解： 解：在轴正半轴上取一点，使，连接，过作于，过作轴，过作于，过作于，延长交轴于，如图： ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴，， 设， ∴ ， ∴ ， 解得： ， ∴， 设直线的解析式为：，把，分别代入可得： ， 解得： ， ∴直线的解析式为：， 把代入，可得：， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴点与点关于轴对称， ∴， 设直线的解析式为：，把，分别代入可得： ， 解得： ， 设直线的解析式为：， 设直线的解析式为：，把，分别代入可得： ， ， ∴直线的解析式为：， ∴联立直线与直线可得： ， 解得：， 把代入可得：， ∴； ∵， ∴当点N在点处时，符合题意， ∵此时直线的解析式为，直线的解析式为：， ∴联立 ， 解得： ， ∴点的坐标为； 综上分析可知：点N的坐标为或． 【点睛】 本题考查了一次函数的图像性质，待定系数法求一次函数解析式，轴对称的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，合理做出辅助线是解题的关键． 21．（25-26学年八上·四川成都第十二中学）综合与实践 如图，直线与x轴，y轴分别交于点A和点B，点C在线段上，将沿所在直线翻折后，点A恰好落在y轴上的点D处，已知，． （1）求直线的解析式． （2）求的值． （3）直线上是否存在点P使得？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）     （2）     （3），      【分析】 （1）根据，，得到的坐标，待定系数法求出直线的解析式； （2）勾股定理求出的长，折叠求出的长，设，根据勾股定理，可以求出长，进而求出三角形的面积比； （3）分点P在第三象限内和第一象限内两种情况解题即可． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴，， ∴设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴； (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∵将沿所在直线翻折后，点A恰好落在y轴上的点D处， ∴， ∴， 设，则， ∴． 在中：， ∴， ∴． ∴， ∴，， ∴； (3) 小问详解： 解：存在，理由如下： 如图，当点P在第三象限内时，过C作于M，过M作轴，轴于E，F， 则，， 又∵ ∴ ∴ ∴， ∵轴，轴 ∴四边形为正方形 ∴， ∴） ∴直线解析式为：， ∵两点坐标为： ∴直线解析式为：， 联立方程组，解得： ， ∴ 如图，当点P在第一象限内时，过C作于M，过M作轴，轴于E，F， 则，， 又∵ ∴ ∴， ∵轴，轴 ∴四边形是正方形 ∴， ∴， ∴直线解析式为：， ∵两点坐标为：， ∴直线解析式为：， 联立方程组，解得： ， ∴， 综上所述，或． 【点睛】 本题考查一次函数的解析式，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正方形的判定与性质，坐标与图形，解题的关键是分清点所在象限，正确写出点的坐标． 22．（25-26学年八上·四川达州通川区第八中学·期中）如图，一次函数的图象过点，，与x轴相交于点C． （1）求一次函数的表达式； （2）求点O到直线的距离； （3）若直线l与直线平行，与y轴交于点P，且的面积等于的面积（点P与点O不重合），求直线l所对应的函数表达式． （4）在x轴取点Q，使得为等腰三角形，请你直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 【答案】（1）     （2）     （3）     （4）或或或      【分析】 （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出，再根据勾股定理求得，再利用等面积法即可求解； （3）根据题意设直线l解析式为，然后求出，再利用铅锤法得，计算即可； （4）先求出，，，再根据等腰三角形的性质进行分类讨论即可． (1) 小问详解： 解： ∵一次函数的图象过点，， ∴ ， 解得 ， ∴一次函数的表达式为． (2) 小问详解： 解：令，则 ，即， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得， 设点O到直线的距离为h， ∴， ∴， 解得， ∴点O到直线的距离为． (3) 小问详解： 解：根据题意，设直线l解析式为，如图， ∴， 由题可得， ∵的面积等于的面积， ∴， 解得或0， ∵点P与点O不重合， ∴， ∴直线l所对应的函数表达式为． (4) 小问详解： 解：设， 由点B、C、Q的坐标得，，， 当时，则，则（舍）或3，即， 当时，则，则或，即或， 当时，则，则（舍），即， 综上所述，或或或． 【点睛】 本题考查了一次函数的综合运用，涉及一次函数的图象与性质，等腰三角形的性质，铅锤法求三角形面积，勾股定理，熟练掌握一次函数的图形与性质以及等腰三角形的性质是解题的关键． 23．（25-26学年八上·四川成都第十八中学校）如图，在平面直角坐标系中，直线：的图像与x轴、y轴分别交于B，D两点，直线：的图像与x轴交于C，直线与直线交于点． （1）求点A的坐标及直线的表达式； （2）若点E在直线上，且的面积为，求点E的坐标； （3）若点M在射线上运动，点N在直线上运动，是否存在是以为斜边的等腰直角三角形，若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】（1）；     （2）或     （3）或      【分析】 （1）先将点A的坐标代入的解析式求出a，然后代入的解析式求出k； （2）设交y轴于点F，利用和的解析式求出点D和点F的坐标．设点E的坐标为，利用分类讨论和割补法表示出的面积，进而解出t； （3）等腰直角三角形的存在性问题，使用“k”字模型来构造全等三角形．根据点N在点A的左右侧进行分类讨论，可以设点M的坐标为，点N的坐标为，利用全等三角形的性质，得到a与b的方程组，求出点M的坐标． (1) 小问详解： 解：把，代入，解得， ∴点A的坐标为， 把，代入，得，解得， ∴直线的表达式为：； (2) 小问详解： 解：设交y轴于点F， 把，代入，则， ∴点D的坐标为， 把，代入，则， ∴点F的坐标为， ∴， 设点E的坐标为， 当点E在点A左侧时， ∵， ∴点E不会在线段上，即点E在y轴左侧，如图， ， 解得，此时点E的坐标为； 当点E在点A右侧时，如图， ， 解得，此时点E的坐标为， 综上所述，点E的坐标为或； (3) 小问详解： 解：假设存在，设点M的坐标为，点N的坐标为， ① 当点N在点A右侧时， 如图，分别过点A和点N作x轴的垂线，垂足为G、H， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴ ， 解得， ，此时点M的坐标为； ② 当点N在点A左侧时， 如图，分别过点A和点N作x轴的垂线，垂足为G、H， 类比① 可得， ∴，， ∴ ， 解得， ，此时点M的坐标为， 综上所述，点M的坐标为或． 【点睛】 本题是一次函数的综合应用题，考查一次函数的图象与性质，点到坐标轴的距离，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握分类讨论思想和数形结合思想是解题关键． 24．（25-26学年八上·四川成都玉林中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点，点，点在上，且，动点在内（不包括的边界），连接，过点作的垂线交直线于点，若，则点的纵坐标的取值范围是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一次函数与几何综合，由题意得，求出点的坐标；过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，交于点，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，交于点，证，得，设点，则 ，推出；根据动点在内（不包括的边界），建立不等式 ，即可求解； 【详解】 解：令，则；令，则； ∴， ∴； ∵， ∴； 设，则，解得或（舍）， ∴； 过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，交于点，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，交于点，如图所示： 由题意得：且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点，则 ， ∴ ，即； ∵动点在内（不包括的边界）， ∴ ，解得：， ∴， 即：点的纵坐标的取值范围是； 故答案为： 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $