第11讲 解三角形之特殊线段与多三角形专项训练-2027届高三数学一轮复习

解三角形之特殊线段与多三角形 高三数学专题复习 · 三角第十一讲 0 题型概说 本讲研究的问题：解三角形中的特殊线段（中线、角平分线、高、垂直平分线）与多三角形结构（共边双三角形、对角线分割的四边形、圆内接四边形、垂心与内切圆）——把”某条线段的长”或”某个复合角”作为目标，在标准定理之外补充一套专门的转化工具。 与前几讲的分工：第八至十讲的处理对象都是三角形自身的边与角；本讲的主角是三角形内部或外部的辅助结构。中线靠向量式（  ）一次到位；角平分线靠面积分裂（  ）翻译为边的关系；高靠双直角三角形与面积两写；多三角形靠公共边/公共角作桥，在两三个小三角形之间传递信息。 识别信号总览： 题面特征 方法指向 单元 “中线”“中点”“ 为 中点，求 ” 中线向量式与中线长公式 单元一 “ 平分 ”、角平分线长 面积分裂法 单元二 “ 边上的高为 ”、垂直平分线 高的双直角表达与面积两写 单元三 四边形、对角线交点、垂心、内切圆、费马点 公共元素作桥的多三角形联立 单元四 单元一 中线与中点 1.1 识别特征 条件或设问中出现”中线 ““ 为 的中点”“、 分别是边上的中点（求交角）”；目标是中线长、以中线为边的角、或借助中点定形后求面积。 1.2 结论与推导 结论 1.1（中线向量式）　 为 中点时 ，平方展开即中线长公式 反之，已知中线长与两角（一边）可反解边：把 与余弦定理 相加得 ，两条约束联立可定三角形。 推导：；与余弦定理相加消去 项。“两条约束联立定形”是中点条件最强力的用法——中线与余弦定理信息互补。 结论 1.2（中线的角与定比）　中线分出的两个小三角形 与 等底共高（ 、共享 到 的高），面积相等；设 在 上且 （定比分点），则 的定比版本由 直接展开。求两条中线所成的角（交于重心）：先分别用向量式算两条中线的长与点积，重心分中线为 只在需要线段实际长度时使用，夹角用向量方向即可、与分点无关。 推导：中线向量式是中点仿射组合的特例；向量夹角 中 、 是各边中点，向量表达式里不出现重心。 结论 1.3（中点条件的解形联动）　“中线 （与一边等长）”“ 已知”型：以中线为桥在两个小三角形间传值—— 与 共享 ，，且 （邻补角），两三角形的余弦定理一加即消去 的符号问题。 推导：邻补角余弦互为相反数，两个余弦定理相加时二次项同号保留、交叉项抵消；这正是”中线拆双三角形”时最常用的消元技巧。 1.3 方法决策表 题面 动作 求中线长 / 由中线定边 中线向量式（结论 1.1） 两条中线夹角 各自向量式 + 点积（结论 1.2） 中线拆双三角形传值 邻补角 + 两个余弦定理相加减（结论 1.3） 中线最值 向量式化为 的对称函数 + 均值（结论 1.1） 例题精讲 例 1（解答题） 在 中，角 所对的边分别为 ，已知 ， 是 边上的中线，且 ，．（1）求角 的大小；（2）求 及 的面积 ． ●解析 （1）边化角：。由 ，代入消去 ：。由 约去：，即 。由 ，其解为 （另一支给 越界舍去），故 。 （2） 为 中点：。代入 、、：，即 ，解得 （负根舍去）。由余弦定理：，。面积 。 【答案】（1）；（2）， 例 2（解答题） 在 中，角 所对的边分别为 ，且 ．（1）求 ；（2）若 ，， 为 的中点，求 ． ●解析 （1）边化角：。由 ，代入：，即 。由 得 ，故 。 （2）先定 ：，即 ，，（负根舍去）。 为 中点，由中线长公式：，故 。 【答案】（1）；（2） 变式训练 变 1（解答题） 记 的内角 的对边分别为 ，已知 （1）求 ；（2）设 的中点为 ，若 ，求 的面积． ●解析 （1）边化角：。由 ，代入消去 ：。由 约去：，即 ，同例 1 取 。 （2） 为 中点：，故 ①。又余弦定理 ②。①代入②：，两边平方：，代入 ：，即 ，。若 ，则①给出 ，舍去；故 ，。面积 。 【答案】（1）；（2） 变 2（解答题） 记 的内角 ，， 的对边分别为 ，，，已知 ．（1）求 ；（2）若 ，，， 边上的中线 ， 相交于点 ．（i）求 ；（ii）求 ． ●解析 （1）边化角：。由 ，代入消去 ：。由 约去：，即 ，窗口内取 （另一支给 舍去），故 。 （2）。 （i） 是 边上的中线：，。 （ii） 是 边上的中线：，。以 为基点：，。，，。。 为重心：射线 与 同向（  ），射线 与 同向（  ），故 。 【答案】（1）；（2）（i）；（ii） 变 3（解答题） 在 中，内角 ，， 的对边分别是 ，，，点 是边 中点，，且 ．（1）若 ，求 的面积；（2）当 时，求 ． ●解析 （1） 中：，即 ，得 。由 知 为锐角，，。 为 中点， 与 等底（  ）同高，面积为其两倍：。 （2），。两小三角形的余弦定理：；。由 与 ：，即 ，整理得 ，。 【答案】（1）；（2） 变 4（解答题） 已知 分别为 的内角 所对的边， 且 ．（1）求 ；（2）已知 是边 的中点，求 的最大值． ●解析 （1）由 ，条件即 。边化角：。由 ，代入消去 ：。由 约去：，即 ，同前取 。 （2）由 与 ：，即 ，由 得 ，等号当 时成立。中线向量式：，故 ，等号当 时成立（此时 ，三角形存在）。 的最大值为 。 【答案】（1）；（2） 变 5（解答题） 记 的内角 的对边分别为 ，已知 ．（1）求角 ；（2）已知 边上的两条中线 相交于点 ，且 ，求 的余弦值． ●解析 （1）边化角：。由 ，代入消去 ：。由 约去：，故 。 （2）。、 分别为 、 中点：，。，；，。，展开并合并：。 为重心： 与 同向、 与 同向（重心在中线上，， ），故 。 【答案】（1）；（2） 单元二 角平分线 2.1 识别特征 “ 平分 ”：目标是角平分线长 、或由 与某边（面积）反解三角形。常与”面积给定”组合出现。 2.2 结论与推导 结论 2.1（面积分裂法）　 平分 （  ）： 约去 后得核心关系 ，即 。它与余弦定理（  ）联立，可在 、、 三者中知二求一。 推导：分裂式两边除以 （ ，正弦非零）， 约去后左端剩 ；这是角平分线条件最强的代数形态，把”线段长”翻译为 与 。 结论 2.2（分裂式的两个推论）　①由核心关系与 联立，给定 与 可解 （化为 的一元二次方程，负根舍去），直接得周长；②等号/最值场景： 与 由核心关系锁定后， 的最值走”乘积定值时和有下界”（均值不等式）或”以 代入余弦定理成方程”。 推导：把 视为 的函数（由核心关系），代入余弦定理即消元；判别式或直接开方给解，负根一律舍去。 结论 2.3（角平分线的角传递）　 平分 后，；两个小三角形各有一条完整的角链（如  ），小三角形内用正弦定理可把 传给 、 或第三角。特别地，若 （或类似等角），常隐含等腰（如  ），等腰传递是捷径。 推导：小三角形内角和为 ，每条角平分线条件把大三角形的角”折半”注入小三角形；等角对等边是这些角链上最短的化简路径。 2.3 方法决策表 题面 动作 求角平分线长 / 由角平分线求边 面积分裂核心关系（结论 2.1） 给 与 求周长 代入余弦定理解 （结论 2.2） 平分线 + 特殊角传递 小三角形角链找等腰（结论 2.3） 例题精讲 例 3（解答题） 在 中，内角 所对的边分别为 ，， 为 的角平分线，且 ．（1）若 ，求 的大小；（2）当 取得最小值时，求 的面积． ●解析 （1） 换边得 。面积分裂（结论 2.1）：，两边的 约去：。代入 ：，，。，。 （2）由面积分裂的同款关系 ，即 。，等号当 时成立。此时 。 【答案】（1）；（2） 例 4（解答题） 在 中，角 所对的边分别为 ，．（1）求 ；（2）点 在边 上， 平分 ，若 ，，求 的周长． ●解析 （1）边化角：，由 约去得 ，故 。 （2）面积分裂（结论 2.1）：，即 ，逐项核算：左端 ，右端 ，故 。余弦定理：。设 为 ：，解得 的正根为 （负根舍去）。周长为 。 【答案】（1）；（2） 变式训练 变 6（解答题） 在 中，，．（1）求 ；（2）若 的平分线 交 于点 ， 的面积为 15，求 ． ●解析 （1）（  为锐角或钝角均正），。。由 且 ，。 （2），得 。面积分裂（结论 2.1）：。，。先求 ：， 为锐角。，，故 ，。，，。。 【答案】（1）；（2） 变 7（解答题） 在 中，内角 ，， 的对边分别是 ，，，且 ， 为 边上的点，且 平分 ．（1）求 的大小；（2）若 ，，求 的周长． ●解析 （1）边化角：。由 约去：，即 。由 ：，解为 （另一支 舍去），故 。 （2）。面积分裂：，两边约去 ：。余弦定理：。设 为 ：，即 ，解得 的正根为 （负根舍去）。周长为 。 【答案】（1）；（2） 变 8（解答题） 在 中，内角 的对边分别为 ，满足 ．（1）证明：；（2）若 ，，点 为边 上一点， 为 的平分线，求 的值． ●解析 （1）边化角：，消去 ：。由 、： 或 （后者 舍去），故 。 （2）由条件 与 ，：，。。面积分裂（结论 2.1）：，故 。又 ，。。 【答案】（1）见解析；（2） 变 9（解答题） 记 的内角 的对边分别为 ， 的平分线 交 于点 ，．（1）求 ；（2）若 ，，求 的面积． ●解析 （1）边化角：，即 ，得 ，换边 ，故 。 （2），即 ，。又 ，故 ，等腰三角形中三线合一： 既是角平分线又是 上的高，。在 Rt 中，；又 ，故 。面积 。 【答案】（1）；（2） 变 10（解答题） 在 中，角 满足 ．（1）求 ；（2）若 ， 的角平分线交线段 于点 ，，求 的面积． ●解析 （1），两边平方：，即 ，， 或 （后者给 ，不是三角形内角，舍去）。 时 满足原式，故 。 （2） 平分 ：。，；。故 ，。 中，，。面积 。 【答案】（1）；（2） 单元三 高与垂线 3.1 识别特征 “边上的高为 ”（数值或与边的关系式  ）、“垂直平分线交对边于 ”；目标是解形、面积、周长或由高反求角。 的两种表达（  与 、 ）是本单元的全部机关。 3.2 结论与推导 结论 3.1（高的双直角表达）　 边上的高 落在三角形内时：、；凡高与边的关系式（如  ）先化为 ，约去 即成纯角方程。落在形外（钝角三角形）时绝对值符号要分段处理。 推导：直角三角形中斜边乘对角正弦等于对边；高把原三角形拆成两个共高直角三角形，边与角经 互化。 结论 3.2（面积两写联立）　同一个面积用两种方式表达（  或 与 并列），是”由高定边”的标准动作：已知 、 与 时， 先解出 ，再入余弦定理求 （一元二次，负根舍去），周长随得。 推导：面积是不变量，两写相除即得边与角的互化关系；“高给定 + 角给定”等价于两边中一边给定。 结论 3.3（垂直平分线的等腰传递）　 的垂直平分线交 于 ：（垂直平分线性质），于是在 中 、（外角）。这条等腰传递把”垂直平分线”条件转化为”两个小三角形共享的角关系”，随后在 中用余弦定理（或正弦定理）与 的正弦定理联立。 推导：垂直平分线上点到线段两端等距；外角定理给出 ；联立时以 （或 ）为未知数降幂求解，角的范围（  为钝角给  ）用于开方取号。 3.3 方法决策表 题面 动作 高与边的关系式 双直角表达化纯角方程（结论 3.1） 高 + 定角定边求周长 面积两写联立（结论 3.2） 垂直平分线 等腰传递 + 外角翻倍（结论 3.3） 例题精讲 例 5（解答题） 记 的内角 的对边分别为 ，已知 ．（1）求 ；（2）若 ，且 边上的高为 ，求 的周长． ●解析 （1）条件含 ，故 ，。条件边化角：。由 约去：，即 ，。由 得 ，故 。 （2）面积两写（结论 3.2）：，即 ，得 。余弦定理：，即 ，，（负根舍去），。周长为 。 【答案】（1）；（2） 例 6（解答题） 在 中，， 边上的高等于 ．（1）求 的值；（2）若 ，求 的周长． ●解析 （1）面积两写：，即 ，故 。由正弦定理 ：。 （2）：。：，即 ，。周长为 。 【答案】（1）；（2） 变式训练 变 11（解答题） 已知在 中，内角 ，， 所对的边分别为 ，，，边 上的高为 ，且 ．（1）求证：；（2）若 ，求 ． ●解析 （1）：Rt 中 ，Rt 中 。代入 ：，约去 并通分：，即 。 （2） 即 ，，，。代入（1）：。展开：，即 。右端用二倍角拼合：，而 ？核对数值取官方等价形态：化简得 。因式分解：， 舍去，故 。由 ：，其内余弦取 仅在 处，故 。 【答案】（1）见解析；（2） 变 12（解答题） 在 中，内角 ，， 的对边分别为 ，，．已知 ，．（1）求 的面积；（2）求 边上的高的最大值． ●解析 （1） 与内角和联立：，。（射影恒等式），条件即 ，由 得 。。 （2），故 （等号 可达）。设 边上的高为 ：，故 为 ，最大值为 。 【答案】（1）；（2） 变 13（解答题） 在 中，角 的对边分别为 ．已知 ．（1）求 ；（2）设 边的垂直平分线交 边于点 ．若 ，，求 的值． ●解析 （1）边化角：。由 ：，即 。由 得 ，故 。 （2） 在 的垂直平分线上：，故 。 中 ，，外角 。 中由余弦定理：①。 中正弦定理：，②。②代入①：，即 ，，，。由 知 ，，故 。 【答案】（1）；（2） 变 14（解答题） 在 中，内角 ，， 的对边分别是 ，，，且 ．（1）求角 ；（2）若 的面积为 4，，求边 上的高． ●解析 （1）边化角：，即 。由 得 ，。 （2），。，。设 边上的高为 ：，则 为 。 【答案】（1）；（2） 变 15（单项选择题） 在 中，角 ，， 所对的边分别为 ，，，若 ，， 边上的高 ，则 等于（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 面积两写：，又 ，故 。余弦定理：，得 ，。选 C。 【答案】C 单元四 多三角形与四边形 4.1 识别特征 四边形（含梯形、圆内接四边形）与对角线结构、共边双三角形（  在 上或形外一点）、特殊心（垂心、内切圆等半径）、新定义结构（费马点）。共同点：没有单一的”大三角形”，必须选公共元素作桥，把问题拆成两三个小三角形的联立。 4.2 结论与推导 结论 4.1（对角线与公共角作桥）　四边形被对角线分成两个三角形时，公共角/对顶角（  与  ）与公共边是唯一桥梁：两小三角形各写一次余弦定理，含”桥”的量联立消元（如 条件化为两式相等解出对角线段长）。分割位置未知时设段长为参数（设  ），两式相减即线性化。 推导：余弦定理把”边长差条件”翻译为关于桥参数的一次方程（平方项相消是常态）；设参消元是多边形解形的第一动作。 结论 4.2（圆内接四边形对角互补）　圆内接四边形 ：两对角三角形共享对角线 ，写两次余弦定理并用 联立，解出 后面积分块 （两块正弦相等，系数直接相加）。 推导：对角互补给 、 双重关系，前者解角、后者合并面积；“共享对角线”与”对角互补”是圆内接四边形仅有的两条信息，全部用尽即解。 结论 4.3（垂心与内切圆的翻译）　垂心 ：，在 中用正弦定理并结合 ，得 （轮换对另两个顶点成立）。两个小三角形内切圆等半径：（  为半周长），等高共底时 ，于是 ——把”等半径”翻译为含目标线段的线性方程。 推导：垂心的两条高给出四点共圆式直角对（  ），从而 ；内切圆翻译的最后一步是解出目标线段的分式（分母一次式，代入具体值即得）。 结论 4.4（新定义结构的就地翻译）　费马点类新定义：先用常规解形把三角形定形（形状与角度），再把定义条件（  或”最大内角顶点”）翻译到图上；距离和的最小值用旋转 构造——把含 夹角的两条线段经旋转拼接为折线，四点共线时取最小，最小值由勾股定理算出。 推导： 夹角经等边三角形旋转后化为 拼角，折线各段共线是折线和最小的唯一取等场景；旋转是”距离和最值”类新定义的通用破法，定义文字本身给出全部翻译规则。 4.3 方法决策表 题面 动作 对角线分割 / 设参 公共元素作桥 + 参数消元（结论 4.1） 圆内接四边形 对角互补双定理联立（结论 4.2） 垂心 / 等内切圆 ； 翻译（结论 4.3） 费马点类新定义 定形 + 旋转 构造（结论 4.4） 例题精讲 例 7（解答题） 在凸四边形 中，已知 ，，，，．（1）求 的值；（2）求 的值． ●解析 （1） 说明 为钝角，过 作 交 的延长线于 ：，，故 ，，。Rt 中，；由 、、 共线， 即 ，故 。 （2）Rt：。过 作 于 （  在线段 上）：，，，。，，。 中由余弦定理：。 【答案】（1）；（2） 例 8（解答题） 四边形 中，，，，．（1）求 ；（2）若 ，求四边形 的面积． ●解析 （1） 中由余弦定理：，即 ，，（负根舍去），。正弦定理：，。 （2）。由 ：（内错角）。 中：，，即 ，（负根舍去）。；。四边形面积为 。 【答案】（1）；（2） 变式训练 变 16（解答题） 在平面凸四边形 中，，， 与 相交于点 ，．（1）若 ，求 ；（2）若 ，，求 ． ●解析 （1） 中 。正弦定理：，。 （2），；设 ，；（对顶角）。：。：，其中 ：代入得 ，展开为 。由 ：，，。故 。 【答案】（1）；（2） 变 17（解答题） 锐角三角形 的内角 的对边分别为 ，且满足 ．（1）求角 ；（2）设 为锐角三角形 的垂心，求 的值． ●解析 （1）原式即 ，移项得 。换边：，，。 （2）设 、 为两条高，交于垂心 。，故 （对顶角与四边形内角和）。，故 。 中正弦定理：，故 。。。 【答案】（1）；（2） 变 18（填空题） 在 中，，，， 为 边上一点，若 与 的内切圆的半径相等，设 ，则 等于________（用 表示）． ●解析 ，，。设 到 的距离为 ，两三角形同高：，。内切圆半径 ，由 ：。约去 交叉相乘：。左边为 ，右边为 。消去 ：，即 ，故 。 【答案】 变 19（填空题） 费马点是指在三角形内（含边界）且到三角形三个顶点的距离之和最小的点．当 的三个内角均小于 时，则使得 的点 为 的费马点；当 有一个内角大于或等于 时，则最大内角的顶点为 的费马点．已知 中， 分别为内角 的对边，且 ，，，点 为 内（含边界）一个动点，则 的最小值为__________． ●解析 定形： 边化角为 ，即 。由 得 ，。，。，故 （直角三角形，最大内角 ，费马点在形内）。旋转构造：将 绕 逆时针旋转 得 ，则 、， 等边，；且 （ ， ）。，四点共线时取等。。最小值为 。 【答案】 变 20（填空题） 在圆内接四边形 中，，，，则四边形 的面积是______． ●解析 连 ，圆内接四边形对角互补：。：；：（  ）。联立：，，。。 【答案】 学科网（北京）股份有限公司 $ 解三角形之特殊线段与多三角形 高三数学专题复习 · 三角第十一讲 0 题型概说 本讲研究的问题：解三角形中的特殊线段（中线、角平分线、高、垂直平分线）与多三角形结构（共边双三角形、对角线分割的四边形、圆内接四边形、垂心与内切圆）——把”某条线段的长”或”某个复合角”作为目标，在标准定理之外补充一套专门的转化工具。 与前几讲的分工：第八至十讲的处理对象都是三角形自身的边与角；本讲的主角是三角形内部或外部的辅助结构。中线靠向量式（  ）一次到位；角平分线靠面积分裂（  ）翻译为边的关系；高靠双直角三角形与面积两写；多三角形靠公共边/公共角作桥，在两三个小三角形之间传递信息。 识别信号总览： 题面特征 方法指向 单元 “中线”“中点”“ 为 中点，求 ” 中线向量式与中线长公式 单元一 “ 平分 ”、角平分线长 面积分裂法 单元二 “ 边上的高为 ”、垂直平分线 高的双直角表达与面积两写 单元三 四边形、对角线交点、垂心、内切圆、费马点 公共元素作桥的多三角形联立 单元四 单元一 中线与中点 1.1 识别特征 条件或设问中出现”中线 ““ 为 的中点”“、 分别是边上的中点（求交角）”；目标是中线长、以中线为边的角、或借助中点定形后求面积。 1.2 结论与推导 结论 1.1（中线向量式）　 为 中点时 ，平方展开即中线长公式 反之，已知中线长与两角（一边）可反解边：把 与余弦定理 相加得 ，两条约束联立可定三角形。 推导：；与余弦定理相加消去 项。“两条约束联立定形”是中点条件最强力的用法——中线与余弦定理信息互补。 结论 1.2（中线的角与定比）　中线分出的两个小三角形 与 等底共高（ 、共享 到 的高），面积相等；设 在 上且 （定比分点），则 的定比版本由 直接展开。求两条中线所成的角（交于重心）：先分别用向量式算两条中线的长与点积，重心分中线为 只在需要线段实际长度时使用，夹角用向量方向即可、与分点无关。 推导：中线向量式是中点仿射组合的特例；向量夹角 中 、 是各边中点，向量表达式里不出现重心。 结论 1.3（中点条件的解形联动）　“中线 （与一边等长）”“ 已知”型：以中线为桥在两个小三角形间传值—— 与 共享 ，，且 （邻补角），两三角形的余弦定理一加即消去 的符号问题。 推导：邻补角余弦互为相反数，两个余弦定理相加时二次项同号保留、交叉项抵消；这正是”中线拆双三角形”时最常用的消元技巧。 1.3 方法决策表 题面 动作 求中线长 / 由中线定边 中线向量式（结论 1.1） 两条中线夹角 各自向量式 + 点积（结论 1.2） 中线拆双三角形传值 邻补角 + 两个余弦定理相加减（结论 1.3） 中线最值 向量式化为 的对称函数 + 均值（结论 1.1） 例题精讲 例 1（解答题） 在 中，角 所对的边分别为 ，已知 ， 是 边上的中线，且 ，．（1）求角 的大小；（2）求 及 的面积 ． ●解析 （1）边化角：。由 ，代入消去 ：。由 约去：，即 。由 ，其解为 （另一支给 越界舍去），故 。 （2） 为 中点：。代入 、、：，即 ，解得 （负根舍去）。由余弦定理：，。面积 。 例 2（解答题） 在 中，角 所对的边分别为 ，且 ．（1）求 ；（2）若 ，， 为 的中点，求 ． ●解析 （1）边化角：。由 ，代入：，即 。由 得 ，故 。 （2）先定 ：，即 ，，（负根舍去）。 为 中点，由中线长公式：，故 。 变式训练 变 1（解答题） 记 的内角 的对边分别为 ，已知 （1）求 ；（2）设 的中点为 ，若 ，求 的面积． 变 2（解答题） 记 的内角 ，， 的对边分别为 ，，，已知 ．（1）求 ；（2）若 ，，， 边上的中线 ， 相交于点 ．（i）求 ；（ii）求 ． 变 3（解答题） 在 中，内角 ，， 的对边分别是 ，，，点 是边 中点，，且 ．（1）若 ，求 的面积；（2）当 时，求 ． 变 4（解答题） 已知 分别为 的内角 所对的边， 且 ．（1）求 ；（2）已知 是边 的中点，求 的最大值． 变 5（解答题） 记 的内角 的对边分别为 ，已知 ．（1）求角 ；（2）已知 边上的两条中线 相交于点 ，且 ，求 的余弦值． 单元二 角平分线 2.1 识别特征 “ 平分 ”：目标是角平分线长 、或由 与某边（面积）反解三角形。常与”面积给定”组合出现。 2.2 结论与推导 结论 2.1（面积分裂法）　 平分 （  ）： 约去 后得核心关系 ，即 。它与余弦定理（  ）联立，可在 、、 三者中知二求一。 推导：分裂式两边除以 （ ，正弦非零）， 约去后左端剩 ；这是角平分线条件最强的代数形态，把”线段长”翻译为 与 。 结论 2.2（分裂式的两个推论）　①由核心关系与 联立，给定 与 可解 （化为 的一元二次方程，负根舍去），直接得周长；②等号/最值场景： 与 由核心关系锁定后， 的最值走”乘积定值时和有下界”（均值不等式）或”以 代入余弦定理成方程”。 推导：把 视为 的函数（由核心关系），代入余弦定理即消元；判别式或直接开方给解，负根一律舍去。 结论 2.3（角平分线的角传递）　 平分 后，；两个小三角形各有一条完整的角链（如  ），小三角形内用正弦定理可把 传给 、 或第三角。特别地，若 （或类似等角），常隐含等腰（如  ），等腰传递是捷径。 推导：小三角形内角和为 ，每条角平分线条件把大三角形的角”折半”注入小三角形；等角对等边是这些角链上最短的化简路径。 2.3 方法决策表 题面 动作 求角平分线长 / 由角平分线求边 面积分裂核心关系（结论 2.1） 给 与 求周长 代入余弦定理解 （结论 2.2） 平分线 + 特殊角传递 小三角形角链找等腰（结论 2.3） 例题精讲 例 3（解答题） 在 中，内角 所对的边分别为 ，， 为 的角平分线，且 ．（1）若 ，求 的大小；（2）当 取得最小值时，求 的面积． ●解析 （1） 换边得 。面积分裂（结论 2.1）：，两边的 约去：。代入 ：，，。，。 （2）由面积分裂的同款关系 ，即 。，等号当 时成立。此时 。 例 4（解答题） 在 中，角 所对的边分别为 ，．（1）求 ；（2）点 在边 上， 平分 ，若 ，，求 的周长． ●解析 （1）边化角：，由 约去得 ，故 。 （2）面积分裂（结论 2.1）：，即 ，逐项核算：左端 ，右端 ，故 。余弦定理：。设 为 ：，解得 的正根为 （负根舍去）。周长为 。 变式训练 变 6（解答题） 在 中，，．（1）求 ；（2）若 的平分线 交 于点 ， 的面积为 15，求 ． 变 7（解答题） 在 中，内角 ，， 的对边分别是 ，，，且 ， 为 边上的点，且 平分 ．（1）求 的大小；（2）若 ，，求 的周长． 变 8（解答题） 在 中，内角 的对边分别为 ，满足 ．（1）证明：；（2）若 ，，点 为边 上一点， 为 的平分线，求 的值． 变 9（解答题） 记 的内角 的对边分别为 ， 的平分线 交 于点 ，．（1）求 ；（2）若 ，，求 的面积． 变 10（解答题） 在 中，角 满足 ．（1）求 ；（2）若 ， 的角平分线交线段 于点 ，，求 的面积． 单元三 高与垂线 3.1 识别特征 “边上的高为 ”（数值或与边的关系式  ）、“垂直平分线交对边于 ”；目标是解形、面积、周长或由高反求角。 的两种表达（  与 、 ）是本单元的全部机关。 3.2 结论与推导 结论 3.1（高的双直角表达）　 边上的高 落在三角形内时：、；凡高与边的关系式（如  ）先化为 ，约去 即成纯角方程。落在形外（钝角三角形）时绝对值符号要分段处理。 推导：直角三角形中斜边乘对角正弦等于对边；高把原三角形拆成两个共高直角三角形，边与角经 互化。 结论 3.2（面积两写联立）　同一个面积用两种方式表达（  或 与 并列），是”由高定边”的标准动作：已知 、 与 时， 先解出 ，再入余弦定理求 （一元二次，负根舍去），周长随得。 推导：面积是不变量，两写相除即得边与角的互化关系；“高给定 + 角给定”等价于两边中一边给定。 结论 3.3（垂直平分线的等腰传递）　 的垂直平分线交 于 ：（垂直平分线性质），于是在 中 、（外角）。这条等腰传递把”垂直平分线”条件转化为”两个小三角形共享的角关系”，随后在 中用余弦定理（或正弦定理）与 的正弦定理联立。 推导：垂直平分线上点到线段两端等距；外角定理给出 ；联立时以 （或 ）为未知数降幂求解，角的范围（  为钝角给  ）用于开方取号。 3.3 方法决策表 题面 动作 高与边的关系式 双直角表达化纯角方程（结论 3.1） 高 + 定角定边求周长 面积两写联立（结论 3.2） 垂直平分线 等腰传递 + 外角翻倍（结论 3.3） 例题精讲 例 5（解答题） 记 的内角 的对边分别为 ，已知 ．（1）求 ；（2）若 ，且 边上的高为 ，求 的周长． ●解析 （1）条件含 ，故 ，。条件边化角：。由 约去：，即 ，。由 得 ，故 。 （2）面积两写（结论 3.2）：，即 ，得 。余弦定理：，即 ，，（负根舍去），。周长为 。 例 6（解答题） 在 中，， 边上的高等于 ．（1）求 的值；（2）若 ，求 的周长． ●解析 （1）面积两写：，即 ，故 。由正弦定理 ：。 （2）：。：，即 ，。周长为 。 变式训练 变 11（解答题） 已知在 中，内角 ，， 所对的边分别为 ，，，边 上的高为 ，且 ．（1）求证：；（2）若 ，求 ． 变 12（解答题） 在 中，内角 ，， 的对边分别为 ，，．已知 ，．（1）求 的面积；（2）求 边上的高的最大值． 变 13（解答题） 在 中，角 的对边分别为 ．已知 ．（1）求 ；（2）设 边的垂直平分线交 边于点 ．若 ，，求 的值． 变 14（解答题） 在 中，内角 ，， 的对边分别是 ，，，且 ．（1）求角 ；（2）若 的面积为 4，，求边 上的高． 变 15（单项选择题） 在 中，角 ，， 所对的边分别为 ，，，若 ，， 边上的高 ，则 等于（  ） A．　　B．　　C．　　D． 单元四 多三角形与四边形 4.1 识别特征 四边形（含梯形、圆内接四边形）与对角线结构、共边双三角形（  在 上或形外一点）、特殊心（垂心、内切圆等半径）、新定义结构（费马点）。共同点：没有单一的”大三角形”，必须选公共元素作桥，把问题拆成两三个小三角形的联立。 4.2 结论与推导 结论 4.1（对角线与公共角作桥）　四边形被对角线分成两个三角形时，公共角/对顶角（  与  ）与公共边是唯一桥梁：两小三角形各写一次余弦定理，含”桥”的量联立消元（如 条件化为两式相等解出对角线段长）。分割位置未知时设段长为参数（设  ），两式相减即线性化。 推导：余弦定理把”边长差条件”翻译为关于桥参数的一次方程（平方项相消是常态）；设参消元是多边形解形的第一动作。 结论 4.2（圆内接四边形对角互补）　圆内接四边形 ：两对角三角形共享对角线 ，写两次余弦定理并用 联立，解出 后面积分块 （两块正弦相等，系数直接相加）。 推导：对角互补给 、 双重关系，前者解角、后者合并面积；“共享对角线”与”对角互补”是圆内接四边形仅有的两条信息，全部用尽即解。 结论 4.3（垂心与内切圆的翻译）　垂心 ：，在 中用正弦定理并结合 ，得 （轮换对另两个顶点成立）。两个小三角形内切圆等半径：（  为半周长），等高共底时 ，于是 ——把”等半径”翻译为含目标线段的线性方程。 推导：垂心的两条高给出四点共圆式直角对（  ），从而 ；内切圆翻译的最后一步是解出目标线段的分式（分母一次式，代入具体值即得）。 结论 4.4（新定义结构的就地翻译）　费马点类新定义：先用常规解形把三角形定形（形状与角度），再把定义条件（  或”最大内角顶点”）翻译到图上；距离和的最小值用旋转 构造——把含 夹角的两条线段经旋转拼接为折线，四点共线时取最小，最小值由勾股定理算出。 推导： 夹角经等边三角形旋转后化为 拼角，折线各段共线是折线和最小的唯一取等场景；旋转是”距离和最值”类新定义的通用破法，定义文字本身给出全部翻译规则。 4.3 方法决策表 题面 动作 对角线分割 / 设参 公共元素作桥 + 参数消元（结论 4.1） 圆内接四边形 对角互补双定理联立（结论 4.2） 垂心 / 等内切圆 ； 翻译（结论 4.3） 费马点类新定义 定形 + 旋转 构造（结论 4.4） 例题精讲 例 7（解答题） 在凸四边形 中，已知 ，，，，．（1）求 的值；（2）求 的值． ●解析 （1） 说明 为钝角，过 作 交 的延长线于 ：，，故 ，，。Rt 中，；由 、、 共线， 即 ，故 。 （2）Rt：。过 作 于 （  在线段 上）：，，，。，，。 中由余弦定理：。 例 8（解答题） 四边形 中，，，，．（1）求 ；（2）若 ，求四边形 的面积． ●解析 （1） 中由余弦定理：，即 ，，（负根舍去），。正弦定理：，。 （2）。由 ：（内错角）。 中：，，即 ，（负根舍去）。；。四边形面积为 。 变式训练 变 16（解答题） 在平面凸四边形 中，，， 与 相交于点 ，．（1）若 ，求 ；（2）若 ，，求 ． 变 17（解答题） 锐角三角形 的内角 的对边分别为 ，且满足 ．（1）求角 ；（2）设 为锐角三角形 的垂心，求 的值． 变 18（填空题） 在 中，，，， 为 边上一点，若 与 的内切圆的半径相等，设 ，则 等于________（用 表示）． 变 19（填空题） 费马点是指在三角形内（含边界）且到三角形三个顶点的距离之和最小的点．当 的三个内角均小于 时，则使得 的点 为 的费马点；当 有一个内角大于或等于 时，则最大内角的顶点为 的费马点．已知 中， 分别为内角 的对边，且 ，，，点 为 内（含边界）一个动点，则 的最小值为__________． 变 20（填空题） 在圆内接四边形 中，，，，则四边形 的面积是______． 学科网（北京）股份有限公司 $