第11讲 解三角形（分层练）——2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦解三角形核心定理应用，通过基础到综合题型构建“定理-应用-拓展”逻辑链，强化推理能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础定理应用|3题（1-2,8）|直接应用正弦/余弦定理求边、角|正弦定理、余弦定理的直接推导与应用| |综合应用|5题（4-7,9-11）|结合不等式、三角函数求范围，多解判断|定理与三角恒等变换、面积公式的综合推导| |实际问题|1题（3）|测量高度的仰角问题|解三角形在现实情境中的模型构建|

第11讲解三角形 b+2c 1.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若a=l,A=l35°，则sinB+2sinC的值 为() √2 √2 A.22 B.√5 C.2 D.4 2在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,C=60°，a+2b=8,sinA=6sinB,则 c=() A.V35 B.V31 C.6 D.5 3重庆市南山文峰塔坐落于黄桷垭之巅，是重庆市的一座名塔，据《巴县志》记载：文峰塔峭 立山巅，凡七级，高逾十丈，万松围护，攒天一碧某中学社会实践小组为测量重庆市南山文 峰塔的高度，开展了一次实地测量活动，他们在塔底B所在的水平地面上选取C,D两点，测 得CD=8米，∠BDC=30,∠BCD=1353,在点C处测得塔顶A的仰角为60，则文峰塔的 高度AB约为()（参考数据：取sinl429'=0.25) A.26米 B.28米 C.30米 D.32米 4在锐角三角形ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,c-2 bcosA=b,角A的平分 线交BC边于D,AD=2,则b的取值范围为() B.(5,22) n b-c a-c 5.在三角形△BC中，角4，B,C所对的边分别为a,6,G,若os1= 2c,则b的取 值范围是() 6.己知△4BC的外接圆半径为2，若A=3,则BA·8C的最大值为 A.5+65 B.6+4V5 c.7+3V5 D.4+7W5 7.(多选)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列说法正确的是() A.若A>B,则sinA>sinB B.若A=30°，b=4,a=3,则△ABC有两解 C若A=60°，a=2,则△4BC面积的最大值为5 D.若△ABC为钝角三角形，则a2+b2>c 2a 8.已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2 bcos A=c-b,则b的取值 范围是 9.在△ABC中，BC=6,点D满足BD=2DC,AD=4,∠ACD=2∠BAD,则△ABC的内 切圆半径为 10.在△ABC中，内角4，B,C所对的边长分别是a,b,G,2c-2 acos B=V3b (1)求角A: ②若a=l,bc=25,c>b,求4B边上的高 11.在△ABC中，D为BC边上一点，BD=AD=2CD (I)若BD=2,AB=1,求AC的长： tan∠BAC (2)求tan∠ABC的值： 答案以及解析 1.答案：B ca1 解析：由正弦定理，得sinB sinc sin23 2 b+2c a ,=√2 所以sinB+2 sinC sinA 2.答案：B 解析：因为sinA=6sinB,由正弦定理可得a=6b,又a+2b=8,所以a=6,b=1, 因为C=60° 所以c2=a2+b2-2 abcos C,即 2=62+12-2×1×6× 2,解得c=V31, 故选：B 3答案：B 解析：在△BCD中，因为∠BDC=30,∠BCD=1353,所以∠CBD=1429, BC CD BC 8 又因为CD=8,根据正弦定理：sin∠BDC sin∠CBD,即sin30°sinl429', 所以 BC=8x 0.5 0.2516 在Rt△ABC中，an∠ACB=an60-月=4B-V5 BC 16 所以4B=16N5≈16×1.732=27.712≈28米 4.答案：B 解析：由正弦定理得sinC-2 sin Bcos∠BAC=sinB, 即sin∠BACcos B--sin Bcos.∠BAC=sinB,即sin(∠BAC-B)=sinB, 在饮角=角形4BC中，0<∠B1C<号0<B受 -T<∠BAC-B< 2,所以2 2 所以∠BAC-B=B,从而∠BAC=2B,所以C=元-3B,∠BAD=∠CAD=B,则 ∠ADC=2B b=- 4 2sin 2B 在△4CD中，由正弦定理得 sinc sin∠ADc,即b= sin3B，化简得 4cos B-1 cos B' 由0<ZBAC=2B<0<B<8,0<CEr-3B<元<B<P 2 2, 2,知6 4,则2 <cosB< 2, 所以V2<4cosB-L<4W5 cOsB3,则b的取值范围为(V3,2√2) 5.答案：B cosA= b-c 解析：在△ABC中，由 2c及正弦定理得sinB-sinC=2 sin Ccos A, 则sin(C+A)-sinC=2 sin CcosA,整理得sinC=sin AcosC--sin CcosA=sin(A-C), 由A,C∈(0，)，得A-C∈(-兀，D),则C=A-C或C+(A-C)=π， 即4=2C或4=（套去），因此B=-3C,0<C<号 1 <cosC<1 3,则2 a-c sin A-sin C sin 2C-sin C 2sin Ccos C-sin C 所以b sin B sin3C sin 2C cos C+cos 2Csin C 2cosC-1 1 11 2c0s C+2coC-1-2cosC+ a-c 所以b的取值范围是32 故选：B 6.答案：B 解折：z画得C4，为8CE4n4=48A24nG 2 以Be02） 因为4=专.所以8e(0写). 所以BA-BC=|B,BCcos B=4sinC×23cosB=85sin(A+B)cosB 83(sin Acos B+cos Asin B)cos=8 V3 2 Fcos B+sin B cosB =12cos2 B+43sin B cos B=6(1+cos2B)+23 sin 2B =25sm28+6cas28+6=4W5sn28+写}46 2π 2B+ 因为B03),所以3 33, 元π 2B+二= 故当32时，BABC取最大值6+4V5. 7.答案：ABC 解析：对于A,若A>B,则a>b, a b 根据正弦定理sin4sinB-2R (R是△ABC外接圆半径)， 可得a=2 R.sin A,b=2 R.sin B, 所以2 R.sin A>2 R.sin B,即sinA>sinB,A正确： a b 对于B,由正弦定理sin A sin B, sin B=b.sin 44xsin300 2 代入得 a 33, sin B=- 2 因为3，且b>a,(即B>A=30°)， 所以B可以是锐角或钝角，两种情况均符合三角形内角和为180°， 所以△ABC有两解，B正确： 对于C,由余弦定理得，a2=b2+c2-2 be.cosA, 所以4=b2+c2-bc, 由基本不等式得，b2+c2≥2bc, 则4=b2+c2-bc22bc-bc=bc,即bc≤4， 当且仅当b=C=2时，等号成立， bes B 所以A4BC面积S=,c-m4迟 44 x4=5,C正确： 付于D,若C为钝角，则由余弦定理得，osC=a+b-c 2ab 所以a2+b2-c2<0,即a2+b2<c2,D错误. 8答案 (22,2w3) 解析：由正弦定理2 sin B cos A=sinC-sinB=sin(A+B)-sinB=sin Acos B+cos Asin B-sinB 整理可得：sin Acos B-cos Asin B=sinB,即sin(A-B)=sinB, 在锐角三角形△ABC中，A-B=B, 4=28受，即8香， 又因为C=4-8=-39受，得8君，所以5后引 2a 2sinA 2sin2B 4sinBeosB=4cosB 所以b sinB sinB sinB 因为COsB∈ 2√3 2’2 所以号台ea,25 9.答案： √15-√6 解析：设∠ACD=2∠BAD=20, 因为BC=6,点D满足BD=2DC, 所以BD=4,DC=2, 又因为AD=4, 所以∠ABD=∠BAD=O, 因此∠DAC=π-40，因为0<π-49<元， 0<0<z 所以4， CD AD 2 4 →2sin40=sin20 在△ACD中，由正弦定理，sin(π-40)sin20sin40sin20 →4sin20cos20=sin20 0<0<π 所0<20<T 因为4，所以2，所以in20≠0， 所以由4sin20c0s20=sin20→cos20=} 在△ABD中，由余弦定理，得 AB=VAD2+BD2-2AD·BD·cos∠ADB=V16+16-2×4×4·cos(π-20) 32+2×16x-2N10 在△ABC中，由余弦定理，得 4AB=Cf+Cg-2C4.C-co4∠C8→40=Cf+36-2x6-C4 解得AC=4,AC=-1舍去， 设△ABC的内切圆半径为I, 由三角形积公式特4+6+2而46平。r=店-6， 4 所以△1BC的内切圆半径为5-V6 B D 元 10.答案：(1)6 3 (2)2 解析：(1)因为2c-2 acosB=V3b 根据正弦定理得，2sinC-2 sin Acos B=V3simB 因为C=π-(A+B),所以sinC=sin(A+B), 所以2sin(A+B)-2 sin Acos B=vV5sinB 所以2 cos Asin B=V3sinB 因为Be@,所以5如80，所以osA=9 2, 因为4e@,所以4石 (②)根据余弦定理得， a2=b2+c2-2bccos 6 将a=l,c=25代入上式整理得，b+c=7, 又因为c=25且b<c,解得b=5,c=2, 所以a2+b2=c2,所以△ABC为以AB为斜边的直角三角形， 所以斜边4B上的高为h=。=2= V34 11.答案：(1)2 tan∠BAC =3 (2)tan∠ABC 解析：(1)由题意得，AD=2,BC=3, 根据余弦定理，0s∠ABC=BD+B-AD-4+1-4】 2BD·AB 2×2×14, 故4C=VAB产+BC-246,8Ccos∠ABC-+9-2x1x3x好-写厨 42 (2)因为BD=AD, 所以∠ABC=∠BAD,∠DAC=∠BAC-∠ABC,∠ADC=2LABC. CD=X BC=3x 设BD=x,则AD=x, 2, Γ2， BC AC 在△ABC中，由正弦定理可得sin∠BAC sin∠ABC, 3x 2 AC 即 sin∠BAC sin∠ABC' CD AC 在△ACD中，由正弦定理可得sin∠DAC sin∠ADC, AC 即sin(ZBAC-∠ABC)sin2LABC' 3r.sin∠ABC号2sin∠ABCcos∠ABC x.2sin∠ABCcos∠ABC 则sin∠BAC 、2 sin(∠BAC-∠ABC)sin∠BACcos∠ABC-cos∠3ACsin∠ABC' 化简可得tan∠BAC·cos∠ABC=3sin∠ABC, tanLBAC=3 则tan∠ABC