第十七讲 函数的零点与方程的根 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦函数零点与方程的根这一高考核心考点，涵盖零点概念、存在性定理、方程根与函数零点转化关系及综合应用，知识点按“概念-定理-方法-题型”逻辑递进，通过考点梳理、方法总结、分题型训练突破零点判断、参数范围求解等难点，体现复习的系统性和针对性。 资料突出数形结合与分类讨论策略，如利用函数对称性求零点之和培养数学思维与几何直观，设置基础到综合的分层练习配合真题演练，帮助学生高效掌握解题技巧，为教师把控复习节奏提供清晰框架，有效提升学生应考能力。

2027届高三数学一轮复习 第十七讲 函数的零点与方程的根 【学习目标】1.熟悉零点存在性定理，并能够利用零点存在性定理判断函数零点的个数； 2.能够利用函数零点、函数图象交点、方程之间的相互转化解决相关问题． 【学习重点】零点存在性定理． 【学习难点】利用函数零点、函数图象交点、方程之间的相互转化解决相关问题． 必掌握知识点 1、函数的零点 对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点. 2、方程的根与函数零点的关系 方程有实数根函数的图像与轴有公共点函数有零点. 3、零点存在性定理 如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得也就是方程的根. 4、二分法 对于区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点 所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函数零点的近似值. 5、用二分法求函数零点近似值的步骤 （1）确定区间，验证，给定精度. （2）求区间的中点. （3）计算.若则就是函数的零点；若，则令（此时零点）.若，则令（此时零点） （4）判断是否达到精确度，即若，则函数零点的近似值为（或）；否则重复第（2）—（4）步. 用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算机（计算器）完成计算. 解题方法总结： 函数的零点相关技巧: ①若连续不断的函数在定义域上是单调函数，则至多有一个零点. ②连续不断的函数，其相邻的两个零点之间的所有函数值同号. ③连续不断的函数通过零点时，函数值不一定变号. ④连续不断的函数在闭区间上有零点，不一定能推出. 必考题型全归纳 题型一、零点存在定理（判断零点所在区间） 1.设函数与的图象的交点为，，则所在的区间是　　 A． B． C． D． 2．方程的实数解的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．方程的实数解的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型二、函数对称性、周期性 、 数形结合求零点之和 4．已知定义在上的偶函数满足，且当时，，那么函数在区间上的所有零点之和为 A． B． C． D． 5．函数的所有零点之和为（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 6．函数在区间上的所有零点之和为（    ） A． B． C． D． 7．定义在上的函数满足：①当时，②.若函数的零点从小到大依次记为，则当时，_______. 8．已知函数，且f（x）在[0，]有且仅有3个零点，则的取值范围是（    ） A．[，） B．[，） C．[，） D．[，） 题型三、分段函数 + 奇偶周期，数形结合判断零点个数（含参数） 9．已知定义在上的奇函数恒有，当时，，已知，则函数在上的零点个数为（    ） A．4个 B．5个 C．3个或4个 D．4个或5个 10．函数若关于的方程有五个不同的实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．函数，若互不相同，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．函数，若a，b，c，d互不相同，且，则abcd的取值范围是________. 13（多选）．已知函数和在上的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．方程有且只有6个不同的解 B．方程有且只有3个不同的解 C．方程有且只有5个不同的解 D．方程有且只有4个不同的解 题型四 、函数零点个数求参数范围 14．已知函数有两个零点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 15．已知函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 16．已知函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 17．已知函数有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18（多选）．已知函数有两个零点，，则下列说法正确的是（  ） A．若，则实数的取值范围为 B．若，则实数的取值范围为 C．若，则实数的取值范围为 D．若，则实数的取值范围为 题型五 取整函数（高斯函数[x]）图像与零点判断 19．已知函数，其中表示不超过的最大整数，如，.下面说法错误的是（    ） A．当时，； B．函数的值域是； C．函数与函数的图象有4个交点；D．方程根的个数为7个. 20．用表示不超过的最大整数，如． 下面关于函数说法正确的序号是____________.（写上序号） ①当时，；                  ②函数的值域是； ③函数与函数的图像有4个交点； ④方程根的个数为7个． 巩固提升： 1（多选）．已知定义在上的函数在区间上满足，当时，；当时，.若直线与函数的图象有6个不同的交点，各交点的横坐标为，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2（多选）．已知函数，下列说法正确的是（    ） A．当时，函数的值域是 B．将图象的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则函数有3个零点 C．若函数在区间内没有零点，则的取值范围为 D．若，记方程在上的根从小到大依次为，则 3．定义在上的函数满足： ①当时， ②． （1）若有唯一解，则实数的取值范围为___________； （2）若函数的零点从小到大依次记为，，，，，则当时，_____________． 4（多选）．已知函数，若函数有零点，记为，且，则下列结论正确的是（   ） A． B．当时，的取值范围为 C．当时，的取值范围为 D．任意直线都与函数的图象有交点 5．设函数，且； (1)作出函数的大致图像，并指出它的单调区间； (2)当实数a变化时，讨论关于x的方程的解的个数． 6（多选）．已知函数，则下列结论中正确的是（    ） A．当时，恒成立 B．若，使得成立，则实数的取值范围为 C．若，则必有两个不同的零点 D．若有两个不同的零点，则 7．关于的方程在上解的个数是____________. 8．已知函数分别为定义在R上奇函数和偶函数，且满足． (1)若，令函数，求的值域； (2)当时，讨论关于x的方程的根的个数． 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三数学一轮复习 第十七讲 函数的零点与方程的根 【学习目标】1.熟悉零点存在性定理，并能够利用零点存在性定理判断函数零点的个数； 2.能够利用函数零点、函数图象交点、方程之间的相互转化解决相关问题． 【学习重点】零点存在性定理． 【学习难点】利用函数零点、函数图象交点、方程之间的相互转化解决相关问题． 必掌握知识点 1、函数的零点 对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点. 2、方程的根与函数零点的关系 方程有实数根函数的图像与轴有公共点函数有零点. 3、零点存在性定理 如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得也就是方程的根. 4、二分法 对于区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点 所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函数零点的近似值. 5、用二分法求函数零点近似值的步骤 （1）确定区间，验证，给定精度. （2）求区间的中点. （3）计算.若则就是函数的零点；若，则令（此时零点）.若，则令（此时零点） （4）判断是否达到精确度，即若，则函数零点的近似值为（或）；否则重复第（2）—（4）步. 用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算机（计算器）完成计算. 解题方法总结： 函数的零点相关技巧: ①若连续不断的函数在定义域上是单调函数，则至多有一个零点. ②连续不断的函数，其相邻的两个零点之间的所有函数值同号. ③连续不断的函数通过零点时，函数值不一定变号. ④连续不断的函数在闭区间上有零点，不一定能推出. 必考题型全归纳 题型一、零点存在定理（判断零点所在区间） 1.设函数与的图象的交点为，，则所在的区间是　　 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，则,由零点的判断定理可得函数的零点在区间内，即所在的区间是．选A． 2．方程的实数解的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据对数的定义即可求解. 【详解】依题意，原方程等价于 即，显然只有一个正实根.故选：B. 3．方程的实数解的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据将已知化为，解方程得到的值. 【详解】原方程化为，则由，得， 代入，得，无整数解.故选：A. 题型二、函数对称性、周期性 、 数形结合求零点之和 4．已知定义在上的偶函数满足，且当时，，那么函数在区间上的所有零点之和为 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】分析：首先从题的条件得到函数的图像关于直线对称，借助偶函数，得到图像关于y轴对称，从而得到函数是周期函数，借助于两个函数在相应区间上的图像，应用数形结合求得结果. 详解：根据，可得是函数图像的对称轴， 又因为是偶函数，所以其图像关于y轴对称，所以其为最小正周期为2的周期函数， 又函数也是偶函数，并且其图像也关于直线对称， 在同一个坐标系中，画出函数的图像和的图像， 可以发现在区间上一共有6个交点，且是关于对称的三对， 所以6个零点的和为，故选D. 点睛：该题考查的是有关函数的零点的问题，在解决之前，需要明确函数的相关性质，一是函数图像的对称性，二是函数的周期性，三是数形结合思想的应用，之后借助于中点坐标公式求得相应的结果. 5．函数的所有零点之和为（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】结合函数的对称性求得正确答案. 【详解】令，得， 图象关于对称，在上递减. ，令， 所以是奇函数，图象关于原点对称，所以图象关于对称， ，在上递增，所以与有两个交点， 两个交点关于对称，所以函数的所有零点之和为.故选：B 6．函数在区间上的所有零点之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把方程变形，把零点个数转化为正弦函数图象与另一函数图象的交点个数，根据函数的对称性计算可得． 【详解】因为，令，即，当时显然不成立， 当时，作出和的图象，如图， 它们关于点对称， 由图象可知它们在上有4个交点，且关于点对称，每对称的两个点的横坐标和为，所以4个点的横坐标之和为．故选：C． 7．定义在上的函数满足：①当时，②.若函数的零点从小到大依次记为，则当时，_______. 【答案】 【分析】在同一坐标系内做出和的图象，根据图象得到，的对称关系，把转化为等比数列前项和即可求解. 【详解】在同一坐标系内做出和的图象如图所示： 当时，利用对称性，依次有：， ， ， ， 所以. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点，求零点的和（积）的常用方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再直接求和（积）； （2）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 8．已知函数，且f（x）在[0，]有且仅有3个零点，则的取值范围是（    ） A．[，） B．[，） C．[，） D．[，） 【答案】D 【分析】求出的范围，然后由余弦函数性质得不等关系，求得参数范围． 【详解】因为，当时，， 因为函数在上有且只有3个零点， 由余弦函数性质可知，解得.故选：D． 题型三、分段函数 + 奇偶周期，数形结合判断零点个数（含参数） 9．已知定义在上的奇函数恒有，当时，，已知，则函数在上的零点个数为（    ） A．4个 B．5个 C．3个或4个 D．4个或5个 【答案】D 【分析】利用奇函数性质和关系式转化求出的关系式并利用单调性画出简图，再利用数形结合思想根据的取值范围求出零点个数. 【详解】因为，所以的周期为2，又因为为奇函数，，令，得，又，所以， 当时，， 由单调递减得函数在上单调递增， 所以，得，作出函数图象如图所示， 由图象可知当过点时，，此时在上只有3个零点. 当经过点时，，此时有5个零点. 当时，有4个零点. 当经过点时，，此时有5个零点. 当时，有4个零点. 当经过点时，，此时在上只有3个零点. 当时，有4个零点. 所以当时，函数在上有4个或5个零点.故选：D 10．函数若关于的方程有五个不同的实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据题意得到或，再根据函数图象即可得到答案. 【详解】因为，所以， 即或，由图象可知： 有个解，所以有个解，所以或. 故选：B 【点睛】本题主要考查根据方程解得个数求参数的范围，同时考查数形结合的思想，属于中档题. 11．函数，若互不相同，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】不妨设，作出函数的图象，根据图象可得，，，利用推出，利用推出，再根据二次函数知识推出，从而可得结果. 【详解】不妨设，作出函数的图象，如图： 由图可知，，，， 因为，所以，所以，所以， 所以，所以.因为二次函数的对称轴为， 因为，所以，所以， 因为，所以，所以.故选：C 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 12．函数，若a，b，c，d互不相同，且，则abcd的取值范围是________. 【答案】． 【解析】作出函数的图象，得出的单调性，作出一直线与的图象有四个交点，得的关系，由此可求得的范围． 【详解】由的解析式知在和上递减，在和上递增，作函数的图象，再作一直线与的图象有四个交点，横坐标从小到大依次为， 由图知，，，，， ∴，此函数在上递增， ∴，即． 故答案为： 【点睛】方法点睛：本题考查函数零点与方程根的问题，解题方法是数形结合思想方法，作出函数图象，确定函数的性质，得出四个数的关系及范围，由此易求得结论． 13（多选）．已知函数和在上的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．方程有且只有6个不同的解 B．方程有且只有3个不同的解 C．方程有且只有5个不同的解 D．方程有且只有4个不同的解 【答案】ACD 【分析】令，结合图象可得有3个不同的解，，，不妨设，则可知，，，令，结合图象可得有2个不同的解，，不妨设，则可知，，再数形结合求出复合函数的解的个数. 【详解】A选项，令，结合图象可得有3个不同的解，，， 不妨设，则可知，，， 由图可知有2个不同的解，有2个不同的解，有2个不同的解， 即有6个不同的解，A正确； B选项，令，结合图象可得有2个不同的解，， 不妨设，则可知，， 由图可知有1个解，有3个不同的解， 即有4个不同的解，B错误； C选项，令，结合图象可得有3个不同的解，， 且，，， 由图可知有1个解，有3个不同的解，有1个解， 即有5个不同的解，C正确； D选项，令，结合图象可得有两个不同的解， 不妨设，则可知，， 由图可知有2个不同的解，有2个不同的解， 即有4个不同的解，D正确．故选：ACD． 题型四 、函数零点个数求参数范围 14．已知函数有两个零点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，再参变分离得到，再求导分析的单调性，进而得到函数图象，数形结合即可得实数a的取值范围 【详解】函数有两个零点，即有两根，又，故可转换为有两根，令， 则，令，则，故在上单调递减，在上单调递增，故，当且仅当时等号成立，故在上，单调递减；在上，单调递增，所以，又当与时，故实数a的取值范围为故选：D 【点睛】本题主要考查了利用导数解决函数的零点个数问题，需要根据题意参变分离，再求导分析单调性与最值，属于难题 15．已知函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】条件可转化为直线与曲线有两个交点，再利用导数研究的单调性及极值，画出函数的大致图象，观察函数图象即可得解. 【详解】因为有两个不同的零点，所以方程有两个不同的根， 因为不是方程的根，所以方程有两个不同的根， 所以直线与曲线有两个交点．令，则， 令可得，当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 当时，；当时，， 当时，，当且时，， 当且时，；时，；又， 画出函数的大致图象如下： 所以当时，直线与曲线有两个交点，即实数的取值范围是．故选：C 16．已知函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得方程有两个正实数根，分析得知在区间上单调递增，从而方程有两个正实数解，由一元二次方程根的分布即可列出不等式组求解. 【详解】令，可得，则，即． 令，则．因为，所以， 则函数在区间上单调递增，所以，即． 所以当时有两个不同的零点等价于方程有两个正实数解， 即满足.故选：D． 【点睛】关键点点睛：本题解决关键是，利用同构法得到，从而将问题等价转换为方程有两个正实数解，由此得解. 17．已知函数有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方法1，由题意可得有两根，则，，令，对函数求导，求出函数的单调区间，从而画出函数的图象，结合图象可求得结果； 方法2：由题意得有两根，令，对函数求导，求出其单调区间，画出图象，将问题转化为直线与图象有两个交点，从而可求出实数的取值范围 【详解】方法1：，有两个零点，即有两根， 则，，设，则， 令，则，，令，得，则在且； 令，得，则在且； ，图象如图所示，实数时函数有两个零点.    方法2：有两个都零点，即有两根， 设，则，令，则，， 令，得，则在单调递增且； 令，得，则在单调递减且；，图象如图所示， 设与相切于则，解得， 所以实数时函数有两个零点.故选：C    【点睛】关键点睛：此题考查导数的综合应用，考查函数与方程的应用，解题的关键是将问题转化为，，然后构造函数，利用导数求出其单调区间，画出图象，利用数形结合的方法求解，考查数学转化思想和数形结合的思想，属于较难题. 18（多选）．已知函数有两个零点，，则下列说法正确的是（  ） A．若，则实数的取值范围为 B．若，则实数的取值范围为 C．若，则实数的取值范围为 D．若，则实数的取值范围为 【答案】AD 【分析】函数有两个零点，所以有两个根，即与图象有两个交点，作出函数图象，根据交点个数，找出函数过原点的切线，再根据斜率关系解题即可. 【详解】函数有两个零点，所以有两个根，即与图象有两个交点，如图 又因为，当时，若与图象有两个交点，则需，，，则，所以时，实数的取值范围为; 当时，与图象只有一个交点，不符合题意； 当时，若与图象有两个交点，则需，，，则，所以时，实数的取值范围为.故选：AD 题型五 取整函数（高斯函数[x]）图像与零点判断 19．已知函数，其中表示不超过的最大整数，如，.下面说法错误的是（    ） A．当时，； B．函数的值域是； C．函数与函数的图象有4个交点；D．方程根的个数为7个. 【答案】C 【分析】作出函数的图像，结合图像可判断A，B均正确，再作出，的图像，结合方程的根与函数零点的关系，可判断C，D是否正确. 【详解】作出函数的图像如图所示，显然A，B均正确； 在同一坐标系内作函数的图像(坐标系内第一象限的射线部分)， 作出的图像(图像中的折线部分)，可以得到C错误，D正确.故选：C. 【点睛】本题考查了函数图像的应用，考查了函数值域的求解，考查了函数的零点与方程的根.本题的关键是由题目条件，作出的图像.本题的难点是作图时，临界点空心圆､实心圆的标定. 20．用表示不超过的最大整数，如． 下面关于函数说法正确的序号是____________.（写上序号） ①当时，；                  ②函数的值域是； ③函数与函数的图像有4个交点； ④方程根的个数为7个． 【答案】①③ 【分析】首先利用题中所给的条件，明确取整函数的意义所在，之后结合题中所给的函数解析式，对所给的命题逐个分析，判断正误，从而得到正确的结果. 【详解】对于①，时，，所以，所以①正确； 对于②，由题意知，为整数时，，不是整数时，，所以函数的值域是，所以②不正确； 对于③，在同一坐标系下画出函数与的图象，如图所示， 函数的图象每段斜线段的右上方的端点是圈，不包括，由图象可知两函数图象有4个交点，所以③正确； 对于④，由得，在同一坐标系下画出函数与的图象，如图所示： 图象中斜线段的右上方的端点不包括，是圈，由图象可知两函数图象有9个交点， 所以方程根的个数为9个，所以④不正确； 所以正确命题的序号是①③， 故答案是①③. 【点睛】该题属于判断正确命题个数的问题，在解题的过程中，需要对取整函数的性质要明确，再者，需要用到数形结合的思想，这就要求必须将函数的图象画对. 巩固提升： 1（多选）．已知定义在上的函数在区间上满足，当时，；当时，.若直线与函数的图象有6个不同的交点，各交点的横坐标为，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】作出函数的图象，即可根据对数的运算性质求解AB,根据二次函数的性质即可求解C，根据对称即可求解D. 【详解】当时，，所以. 由题意作出函数的图象如图， 对于A，由题意结合图像可知， 因为，所以，即，所以A选项正确： 又结合图象得，所以， 即所以B选项错误； 因为当时，， 所以当时，的图象关于直线对称， 所以， 又，此时在上单调递增，所以，C选项正确： 因为与与关于直线对称，所以. 又与关于直线对称，所以， 所以，所以. 结合图象可知，所以,D选项正确，故选：ACD. 2（多选）．已知函数，下列说法正确的是（    ） A．当时，函数的值域是 B．将图象的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则函数有3个零点 C．若函数在区间内没有零点，则的取值范围为 D．若，记方程在上的根从小到大依次为，则 【答案】ABD 【分析】A选项，函数，令，通过换元，问题转化成二次函数在区间内的值域；B选项，由函数图象的变换，得的解析式，通过作图，判断函数的零点个数；C选项，求出函数所有零点，由区间内没有零点，列不等式求的取值范围；D选项，由的解析式，通过作图，求方程根的对称性，由对称性求和. 【详解】对于A，当时，函数， 令， 则，得， 则，它的值域是，故A正确； 对于B，将图象的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象， 函数的零点个数即函数与函数的图象的交点个数， 画出它们的草图，可知有3个交点，故B正确； 对于C，，令，得，所以，， 因为在区间内没有零点，所以只需且， 解得，， 时，，不等式无解， 令，得；令，得， 因为，所以的取值范围为，故C错误； 对于D，可知，时，令， 画出的图象，如图所示. 设函数与函数的图象的六个交点的横坐标从左到右依次为， 则， 由， 所以，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛： 方程的根或函数的零点个数，将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点，求零点的和，可利用函数解析式结合函数图像的对称性求解． 3．定义在上的函数满足： ①当时， ②． （1）若有唯一解，则实数的取值范围为___________； （2）若函数的零点从小到大依次记为，，，，，则当时，_____________． 【答案】 1452 【分析】作出函数的图象，直线是过定点的直线，由图象易得它们有一交点时，的取值范围； （2）作直线，从图象可得它们交点的性质，由对称性及等差数列的前项和公式可求得和． 【详解】（1）由函数的定义知，的图象在上是一段折线，起始点，顶点，如图， 又，因此在，图象又是一段折线，起始点，顶点， 同理，在，上，图象都是折线，起始点，顶点， 顶点都在直线上． 直线过定点，，， 由图可知，若有唯一解，则实数的取值范围为或． （2）作直线，函数的零点，即的图象与直线的交点的横坐标，如图，由，因此，，…，， 所以． 故答案为：；1452． 4（多选）．已知函数，若函数有零点，记为，且，则下列结论正确的是（   ） A． B．当时，的取值范围为 C．当时，的取值范围为 D．任意直线都与函数的图象有交点 【答案】ABC 【分析】画出图象判断AB；求出的范围，结合对勾函数的单调性判断C；过点作直线判断D. 【详解】函数的零点，即为函数的图象与直线的交点横坐标， 在同一坐标系内作出函数的图象及直线，如图： 对于A，观察图象知，，A正确； 对于B，观察图象知，当且仅当时，直线与函数的图象有4个交点， 因此当时，的取值范围为，B正确； 对于C，当时，，， 由，得，则， 因此，令， 函数在上单调递增，则，C正确； 对于D，过点作直线，与函数的图象没有交点，D错误.故选：ABC 5．设函数，且； (1)作出函数的大致图像，并指出它的单调区间； (2)当实数a变化时，讨论关于x的方程的解的个数． 【答案】(1)函数的图像见解析，递减区间为，，递增区间是，； (2)关于x的方程的解的个数见解析. 【分析】(1)根据给定条件结合函数和，借助图象变换作出 的大致图像，再利用图象写出函数的单调区间. (2)把方程的解转化为直线与函数图像的交点即可作答. 【详解】（1）当时，，此时，的图像是射线在x轴上方 的不动，把x轴下方图象沿x轴向上翻折而得， 当时，，此时，的图像是先把反比例函数在y 轴左侧部分图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得的图象， 然后将所得图象在x轴上方的不动，把x轴下方图象沿x轴向上翻折而得， 的大致图像，如图： 观察函数的图象得：函数的递减区间为，，递增区间是，. （2）依题意，关于x的方程的解就是直线与函数的图像交点的横坐标，如图， 当时，直线与函数的图像无公共点，即方程的解的个数为0， 当或时，直线与函数的图像有2个公共点，即方程的解的个数为2， 当时，直线与函数的图像有4个公共点，即方程的解的个数为4， 当时，直线与函数的图像有3个公共点，即方程的解的个数为3， 综上得：当时，方程的解的个数为0，当或时，方程的解的个数为2， 当时，方程的解的个数为3，当时，方程的解的个数为4. 6（多选）．已知函数，则下列结论中正确的是（    ） A．当时，恒成立 B．若，使得成立，则实数的取值范围为 C．若，则必有两个不同的零点 D．若有两个不同的零点，则 【答案】ACD 【分析】对于A，利用求出的最大值进行判断，对于B，由，得，构造函数，利用导数求出其最大值即可，对于C，，得，令，转化为与的交点，画出函数图象结合图象分析判断，对于D，利用分析法分析判断. 【详解】对于A，当时，，则， 当时，，当时，， 所以在上递增，在上递减， 所以，所以A正确， 对于B，，使得成立，则，使成立， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上递增，在上递减， 所以，所以，所以B错误， 对于C，由，得， 令，由选项B可知在上递增，在上递减，， 当时，，当时，， 所以的大致图象如图所示， 由图可知当时，与的图象有两个不同的交点， 则有两个不相等的零点，所以C正确， 对于D，不妨设，因为有两个不同的零点， 所以，即， 所以， 要证，只要证，即证， 所以只要证，即， 令，则， 所以只要证， 令，则， 令，则， 所以在上递增，所以， 所以，所以在上递增， 所以，所以， 所以，所以D正确， 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合问题，考查利用导数解决不等式恒成立问题，考查利用导数解决函数零点问题，解题的关键是分离参数，构造函数，利用导数求函数的单调区间，考查计算能力和数学转化思想，属于较难题. 7．关于的方程在上解的个数是____________. 【答案】4031 【分析】计算函数的周期为2；化简函数的表达式，画出函数图像得到答案. 【详解】的周期为2；画出函数图像，如图所示： 当时：每个周期内有2个交点，共有2014个交点； 当时：有1个交点； 当时：每个周期内有2个交点，共有2016个交点； 故共有4031个解 故答案为：4031. 【点睛】本题考查了方程解的个数问题，画出函数图像是解题的关键. 8．已知函数分别为定义在R上奇函数和偶函数，且满足． (1)若，令函数，求的值域； (2)当时，讨论关于x的方程的根的个数． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）先结合奇偶性将代入关系式并化简，解方程即得两个函数，再利用解出参数，得到函数，最后利用换元，结合二次函数的值域，即得到的值域； （2）先化简方程得到，验证不是根，再分离参数构造函数，根据图象变换画出图像，进行数形结合即得到结果. 【详解】（1）因为函数分别为定义在R上奇函数和偶函数， 且，则，可得， 联立方程，解得， 又因为，即，解得或， 当或时，均有， 且， 则， 设，， 则， 可得，且在上单调递增， 则在上的最小值为时，最大值为， 可得值域为，所以值域为. （2）因为为奇函数， 且，在定义域内单调且单调性相同，则在定义域内单调， 若， 则，可得， 当时，式子为，显然不成立，故不是方程的根； 当时，， 该函数图象是由对勾函数向上平移4个单位后保留x轴及x轴上侧部分， 将x轴下侧部分对称到x轴上侧，再将整个图象将右平移一个单位得到，如图所示， 结合图象可知： 当时，函数有两个不同交点，所以原方程有两个不等根； 当时，函数有四个不同交点，所以方程有四个不等根； 当时，函数有三个不同交点，所以原方程有三个不等根； 当时，函数有两个不同交点，所以方程有两个不等根； 当时，函数有三个不同交点，所以原方程有三个不等根 当时，函数有四个不同交点，所以方程有四个不等根； 综上所述，当时，原方程有两个不等根； 当时，原方程有三个不等根； 当时，原方程有四个不等根． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $