2027届高考数学一轮复习讲义----第9讲 函数的零点与方程的解

该高中数学高考复习讲义聚焦函数零点与方程的解核心考点，涵盖零点概念、与方程解的关系、零点存在定理及二分法，按“概念—定理—应用”逻辑架构知识点，通过知识点预览梳理基础、探究核心题型（区间判定、个数判定、零点应用）指导方法、跟踪训练与课时精练强化真题训练，系统构建复习体系。 讲义突出数学思维与数学语言素养培养，如考点一结合零点存在定理分析太原模拟等真题案例，引导学生推理区间判定方法，考点二通过函数图象与性质建模分析零点个数，设置分层练习适配不同学生需求，助力学生高效突破难点，为教师把控复习节奏提供精准教学支持。

2027年高考一轮复习讲义 第9讲 函数的零点与方程的解 知识点预览 1.函数的零点与方程的解 (1)函数零点的概念 对于一般函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点. (2)函数零点与方程实数解的关系 方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)有零点⇔函数y=f(x)的图象与x轴有公共点. (3)函数零点存在定理 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的解. 2.二分法 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 探究核心题型 考点一 函数零点所在区间的判定 例1-1 (2023·太原模拟)函数f(x)＝－log2x的零点所在的区间是(　　) A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) 答案　C 解析　函数f(x)＝－log2x在(0，＋∞)上单调递减， 又f(1)＝3－log21＝3>0，f(2)＝－log22＝>0，f(3)＝－log23＝1－log23<0， 所以f(2)f(3)<0，则f(x)有唯一零点，且在区间(2,3)内． 例1-2 (2026·沈阳模拟)已知函数y=f(x)的图象是连续不间断的，且对应关系如表. x 1 1.5 1.75 1.875 2 y -6 -2.625 -0.14 1.342 -0.158 则f(x)在[1，2]上的零点(　　) A.只有1个 B.至少有2个 C.至多有2个 D.只有2个 答案　B 解析　因为函数y=f(x)的图象是连续不间断的，且f(1.75)f(1.875)<0， 所以根据函数零点存在定理，函数f(x)在区间(1.75，1.875)上至少存在一个零点； 同理，由f(1.875)f(2)<0，所以函数f(x)在区间(1.875，2)上至少存在一个零点， 因此函数f(x)在区间[1，2]上至少存在2个零点. 例1-3. 函数f(x)＝的零点是________． 答案　1，－2 解析　根据题意，函数f(x)＝ 若f(x)＝0，即或 解得x＝1或x＝－2，即函数的零点为1，－2. 例1-4. 用二分法求方程－＋1＝0在区间(2,3)内的根的近似值，至少经过________次二分后精确度达到0.1(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 答案　C 解析　∵开区间(2,3)的长度等于1， 每经过一次操作，区间长度变为原来的一半， 经过n次操作后，区间长度变为， 故有<0.1，解得n≥4， ∴至少经过4次二分后精确度达到0.1. 跟踪训练 1 (2025·天津)函数f(x)=0.3x-的零点所在区间是 (　　) A.(0，0.3) B.(0.3，0.5) C.(0.5，1) D.(1，2) 答案　B 解析　由指数函数、幂函数的单调性可知y=0.3x在R上单调递减，y=在[0，+∞)上单调递增， 所以f(x)=0.3x-在定义域[0，+∞)上单调递减，又f(0)=1>0，f(0.3)=0.30.3-0.30.5>0， f(0.5)=0.30.5-0.50.5<0， 所以根据函数零点存在定理可知，f(x)的零点所在区间为(0.3，0.5). 2. (2023·宣城模拟)方程－＋1＝0的根所在的区间是(参考数据：ln 2≈0.69，ln 3≈1.10)(　　) A．(1,2) B．(2，e) C．(e,3) D．(3,4) 答案　B 解析　对于方程－＋1＝0， 有x>0，可得x＋ln x－e＝0， 令f(x)＝x＋ln x－e，其中x>0， 因为函数y＝x－e，y＝ln x均在(0，＋∞)上单调递增，故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 因为f(1)＝1－e<0，f(2)＝2＋ln 2－e<0，f(e)＝1>0，所以f(2)f(e)<0， 由函数零点存在定理可知，函数f(x)的零点在区间(2，e)内，则方程－＋1＝0的根所在的区间是(2，e)． 3. (2025·随州模拟)已知函数f(x)=e-x-2x-5的零点位于区间(m，m+1)(m∈Z)上，则m=　　　　　.  答案　-2 解析　因为函数f(x)=e-x-2x-5在R上单调递减， f(-2)=e2-1>0，f(-1)=e-3<0， 所以f(-2)f(-1)<0，所以函数f(x)=e-x-2x-5的零点位于区间(-2，-1)上，所以m=-2. 4. (2025·宣城期末)已知函数f(x)=x3+3x-6，利用二分法求f(x)的零点的近似值x0，若零点的初始区间为[0，2]，精确度为0.3，则x0可以是(　　) A.0.35 B.0.65 C.1.45 D.1.85 答案　C 解析　因为f(x)=x3+3x-6，则f(0)=-6<0，f(2)=23+3×2-6=8>0， 又f(1)=1+3-6=-2<0，f=+3×-6=>0， f=+3×-6=-<0， 由函数零点存在定理知，f(x)的零点位于区间上，且-=0.25<0.3，满足精确度，所以结合选项，x0可以是1.45. 考点二 函数零点个数的判定 例2-1. 函数f(x)=·cos x的零点个数为　　　　.  答案　6 解析　令36-x2≥0，解得-6≤x≤6， 所以f(x)的定义域为[-6，6]. 令f(x)=0得36-x2=0或cos x=0， 由36-x2=0得x=±6， 由cos x=0得x=+kπ，k∈Z， 又x∈[-6，6]，所以x的取值为-，-，，. 故f(x)共有6个零点. 例2-2. (2026·咸阳模拟)函数f(x)＝的零点个数为(　　) A．5 B．4 C．3 D．2 答案　D 解析　当x≤0时，x2－1＝0，解得x＝－1； 当x>0时，f(x)＝x－2＋ln x在(0，＋∞)上单调递增，并且f(1)＝1－2＋ln 1＝－1<0， f(2)＝2－2＋ln 2＝ln 2>0，即f(1)f(2)<0， 所以函数f(x)在区间(1,2)内必有一个零点， 综上，函数f(x)的零点个数为2. 跟踪训练 1. 已知函数y=f(x)是周期为2的周期函数，且当x∈[-1，1]时，f(x)=x2，则函数F(x)=f(x)-|lg x|的零点个数是(　　) A.9 B.10 C.11 D.18 答案　B 解析　由题意，分别画出函数y=f(x)和y=|lg x|的图象，如图所示， 显然f(x)的值域为[0，1]，易知lg 9<1，lg 10=1，lg 11>1，且当x>11时，两函数图象无交点， 由图可知，y=f(x)与y=|lg x|的图象共有10个交点，故原函数有10个零点. 2. 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x－2)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，设函数g(x)＝f(x)－log7|x|，则函数g(x)的零点个数为(　　) A．6 B．8 C．12 D．14 答案　C 解析　依题意可知，函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x－2)＝f(x)， 所以f(x)＝f(－x)＝f(－x－2)＝f(x＋2)， 即函数f(x)是以2为周期的偶函数， 令g(x)＝f(x)－log7|x|＝0，即f(x)＝log7|x|， 在同一平面直角坐标系中分别作出y＝f(x)和y＝log7|x|的图象，如图所示． 由图象可知，两函数图象共有12个交点， 即函数g(x)共有12个零点． 3. (2024·渭南模拟)函数f(x)＝3x|log2x|－1的零点个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　C 解析　函数f(x)＝3x|log2x|－1的零点， 即3x|log2x|－1＝0的解，即|log2x|＝x的解， 即y＝|log2x|与y＝x图象的交点，如图所示， 从函数图象可知，y＝|log2x|与y＝x有2个交点，即函数f(x)的零点个数为2. 4. 函数f(x)=的零点个数为(　　) A.5 B.4 C.3 D.2 答案　D 解析　当x≤0时，x2-1=0，解得x=-1； 当x>0时，f(x)=x-2+ln x在(0，+∞)上单调递增，并且f(1)=1-2+ln 1=-1<0， f(2)=2-2+ln 2=ln 2>0， 即f(1)f(2)<0， 所以函数f(x)在区间(1，2)内必有一个零点， 综上，函数f(x)的零点个数为2. 考点3 函数零点的应用 命题点1　根据函数零点个数求参数 例3-1. (2026·西宁期中)已知函数f(x)=若函数y=f(x)-a有且仅有2个零点，则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞，0]∪(2，+∞) B.(-1，1]∪(3，+∞) C.(-1，1] D.[1，+∞) 答案　B 解析　函数y=f(x)-a有且仅有2个零点，则y=f(x)与y=a的图象有2个交点， 当x>1时，f(x)=x+ln x单调递增，且f(x)>1； 当x≤1时，f(x)=x2+2x在(-∞，-1)上单调递减，在(-1，1]上单调递增，且f(1)=3，最小值为f(-1)=-1， 可得函数y=f(x)的图象，如图所示， 由图象知实数a的取值范围是(-1，1]∪(3，+∞). 命题点2　根据函数零点的范围求参数 例3-2. (2025 商丘联考) 已知函数f(x)=3x-.若存在x0∈(1，2)，使得f(x0)=0，则实数a的取值范围是　　　　　　.  答案　(1，8) 解析　令f(x)=3x-=0，可得a=3x-， 令g(x)=3x-，其中x∈(1，2)， 由于存在x0∈(1，2)，使得f(x0)=0， 则实数a的取值范围即为函数g(x)在(1，2)上的值域. 由于函数y=3x，y=-在区间(1，2)上均单调递增，所以函数g(x)在(1，2)上单调递增. 又因为g(1)=1，g(2)=8， 所以函数g(x)在(1，2)上的值域为(1，8). 因此实数a的取值范围是(1，8). 例3-3. (2024·邵阳模拟)已知函数f(x)＝若g(x)＝f(x)－a有4个零点，则实数a的取值范围为(　　) A．(0,4) B．(0,3) C．(0,2) D．(0,1) 答案　A 解析　作出y＝f(x)的图象(实线)，如图所示， g(x)＝f(x)－a有4个零点，即y＝f(x)与y＝a的图象有4个交点， 所以实数a的取值范围为(0,4)． 跟踪训练 1. (2023·安阳模拟)已知函数f(x)＝的图象与直线y＝k－x有3个不同的交点，则实数k的取值范围是(　　) A. B．(0，＋∞) C. D．(0,2] 答案　D 解析　如图所示，作出函数f(x)的大致图象(实线)，平移直线y＝k－x， 由k－x＝x2＋2x＋2可得， x2＋3x＋2－k＝0， Δ＝9－8＋4k＝0，解得k＝－， 故当k＝－时，直线y＝－－x与曲线y＝x2＋2x＋2(x≤0)相切； 当k＝0时，直线y＝－x经过点(0,0)，且与曲线y＝x2＋2x＋2(x≤0)有2个不同的交点； 当k＝2时，直线y＝2－x经过点(0,2)， 且与f(x)的图象有3个不同的交点． 由图分析可知，当k∈(0,2]时，f(x)的图象与直线y＝k－x有3个不同的交点． 2. (2024·新课标全国Ⅱ)设函数f(x)=a(x+1)2-1，g(x)=cos x+2ax.当x∈(-1，1)时，曲线y=f(x)和y=g(x)恰有一个交点，则a等于(　　) A.-1 B. C.1 D.2 答案　D 解析　令h(x)=f(x)-g(x) =ax2+a-1-cos x，x∈(-1，1)， 原题意等价于h(x)有且仅有一个零点， 因为h(-x)=a(-x)2+a-1-cos(-x) =ax2+a-1-cos x=h(x)， 则h(x)为偶函数， 根据偶函数的对称性可知h(x)的零点只能为0， 即h(0)=a-2=0，解得a=2. 3. (2023·北京模拟)已知函数f(x)＝3x－.若存在x0∈(－∞，－1)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C．(－∞，0) D. 答案　B 解析　由f(x)＝3x－＝0，可得a＝3x－， 令g(x)＝3x－，其中x∈(－∞，－1)， 由于存在x0∈(－∞，－1)，使得f(x0)＝0， 则实数a的取值范围即为函数g(x)在(－∞，－1)上的值域． 由于函数y＝3x，y＝－在区间(－∞，－1)上均单调递增， 所以函数g(x)在(－∞，－1)上单调递增． 当x∈(－∞，－1)时， g(x)＝3x－<g(－1)＝3－1＋1＝， 又当x∈(－∞，－1)时，g(x)＝3x－>0， 所以函数g(x)在(－∞，－1)上的值域为. 因此实数a的取值范围是. 课时对点精练 一、单项选择题 1．若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　) A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内 C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内 答案　A 解析　函数y＝f(x)是图象开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a<b<c，则a－b<0，a－c<0，b－c<0，因此f(a)＝(a－b)(a－c)>0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0. 所以f(a)f(b)<0，f(b)f(c)<0， 即f(x)在区间(a，b)和区间(b，c)内各有一个零点．故答案　A正确 2．下列函数的图象均与x轴有交点，其中不宜用二分法求函数零点的是(　　) 答案　C 解析　由题意知，利用二分法求函数的零点时，该函数的零点必须是变号零点，所以根据这个条件可知，不宜用二分法求函数零点的是选项C. 3． 若函数y=f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，则“f(a)·f(b)<0”是“函数y=f(x)在开区间(a，b)内至少有一个零点”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　A 解析　函数y=f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线， 由函数零点存在定理可知，当f(a)·f(b)<0时，函数y=f(x)在开区间(a，b)内至少有一个零点，充分性成立； 而函数y=f(x)在开区间(a，b)内至少有一个零点时，f(a)·f(b)<0不一定成立， 则“f(a)·f(b)<0”是“函数y=f(x)在开区间(a，b)内至少有一个零点”的充分不必要条件. 4．(2023·天津模拟)函数f(x)＝2alog2x＋a·4x＋3在区间上有零点，则实数a的取值范围是(　　) A．a<－ B．a<－ C．－<a<－ D．a<－ 答案　D 解析　当a＝0时，f(x)＝3，不符合题意； 当a>0时，由于函数y＝2alog2x，y＝a·4x＋3在上均单调递增， 此时函数f(x)在上单调递增； 当a<0时，由于函数y＝2alog2x，y＝a·4x＋3在上均单调递减， 此时函数f(x)在上单调递减． 因为函数f(x)在区间上有零点， 所以f f(1)<0， 即3(4a＋3)<0，解得a<－. 5．(2026·渭南模拟)函数f(x)=3x|log2x|-1的零点个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 答案　C 解析　函数f(x)=3x|log2x|-1的零点， 即3x|log2x|-1=0的解， 即|log2x|=的解， 即y=|log2x|与y=图象的交点，如图所示， 从函数图象可知，y=|log2x|与y=有2个交点，即函数f(x)的零点个数为2. 6．已知函数f(x)=3x-4，则方程f(x)=2x的根的个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 答案　C 解析　方程f(x)=2x即为2x=3x-4，即3x=2x+4， 则方程f(x)=2x的根的个数，即为函数y=3x和y=2x+4的图象交点的个数， 作出函数y=3x和y=2x+4的图象，如图， 由图可知，两个图象有2个交点，所以方程f(x)=2x有2个根. 7. (2023·临沂模拟)函数f(x)＝ln x＋2x－5的零点所在的区间是(　　) A．(1,2) B．(2,3) C．(3,4) D．(4,5) 答案　B 解析　由于y＝ln x，y＝2x－5在(0，＋∞)上都单调递增，故函数f(x)＝ln x＋2x－5在(0，＋∞)上为增函数， 又f(1)＝－3<0，f(2)＝ln 2－1<0，f(3)＝ln 3＋1>0，即f(2)f(3)<0， 故f(x)＝ln x＋2x－5在(2,3)内有唯一零点． 8．(2023·濮阳模拟)设函数f(x)＝log3－a在区间(1,2)内有零点，则实数a的取值范围是(　　) A．(－1，－log32) B．(0，log32) C．(log32,1) D．(1，log34) 答案　C 解析　令f(x)＝0得a＝log3， 令h(x)＝log3＝log3， 由复合函数单调性可知，h(x)在(1,2)上单调递减， h(2)＝log32，h(1)＝log33＝1， 故当x∈(1,2)时，h(x)∈(log32,1)， 要使f(x)＝log3－a在区间(1,2)内有零点， 则a∈(log32,1)． 二、多项选择题 9．(2026·邵阳模拟) 在下列区间内，函数f(x)=9lg x-x2+9有零点的是(　　) A.(0，1) B.(2，3) C.(3，4) D.(4，5) 答案　AC 解析　因为f(x)的定义域为(0，+∞)，分别画出函数y=9lg x与y=x2-9的图象，如图所示， 结合图象可知两函数图象的交点有2个， 易知f(x)在(0，1)内有零点， 又因为f(3)=9lg 3-9+9=9lg 3>0， f(4)=9lg 4-16+9=3lg 64-7<3lg 100-7=-1<0， 所以f(3)f(4)<0，所以f(x)在(3，4)内有零点. 10．(2025·大连模拟)已知x1，x2分别是函数f(x)=2x-和g(x)=log2x-的零点，则(　　) A.-x2=0 B.log2x1+log2x2=0 C.x2>2 D.·log2x2=1 答案　ABD 解析　由题设知，f(x)的零点为函数y=2x与函数y=图象交点的横坐标；g(x)的零点为函数y=log2x与函数y=图象交点的横坐标，由y=2x与y=log2x的图象关于直线y=x对称，y=的图象关于直线y=x对称， 所以x1，x2关于直线y=x对称，y=2x，y=log2x，y=的图象如图所示， 所以点(x1，)与点(x2，log2x2)关于直线y=x对称， 即 故-x2=0，·log2x2=1， log2x1+log2x2=log2(x1x2)=0，A，B，D对； 若x2>2，即x2=>2⇒x1>1，此时x1x2>2，与x1x2=1矛盾，C错. 11. (2023·安康模拟)下列函数在区间(－1,3)内存在唯一零点的是(　　) A．f(x)＝x2－2x－8 B．f(x)＝ C．f(x)＝2x－1－1 D．f(x)＝1－ln(x＋2) 答案　BCD 解析　对于A，∵x2－2x－8＝0的解为x＝－2，x＝4， ∴f(x)在区间(－1,3)内没有零点，故A错误； 对于B，∵f(x)＝在[－1，＋∞)上为增函数， 且f(－1)＝－2<0，f(3)＝8－2＝6>0， 即f(－1)f(3)<0， ∴f(x)在区间(－1,3)内存在唯一零点，故B正确； 对于C，∵f(x)＝2x－1－1在R上为增函数，且f(－1)＝－<0，f(3)＝3>0，即f(－1)f(3)<0， ∴f(x)在区间(－1,3)内存在唯一零点，故C正确； ∵f(x)＝1－ln(x＋2)在(－2，＋∞)上为减函数， 且f(－1)＝1>0，f(3)＝1－ln 5<0， 即f(－1)f(3)<0， ∴f(x)在区间(－1,3)内存在唯一零点，故D正确． 三、填空题 12．(2025·赣州模拟)用二分法求方程x3＋x－5＝0的近似解时，已经将根锁定在区间(1,3)内，则下一步可断定该根所在的区间为________． 答案　(1,2) 解析　令f(x)＝x3＋x－5， 则f(2)＝8＋2－5＝5>0，f(3)＝27＋3－5＝25>0，f(1)＝1＋1－5＝－3<0， 由f(1)f(2)<0知根所在区间为(1,2)． 13．已知函数f(x)=则函数y=f(x)的零点是　　　　　　.  答案　-1和4 解析　依题意，或 解得x=-1或x=4. 14．(2026·绵阳模拟)已知函数f(x)=若∃m∈R，方程f(x)=m有三个实数根，则实数a的取值范围是　　　　　.  答案　 解析　当a≥0时，函数y=x2在[a，+∞)上单调递增，且最小值为a2，函数y=2x+3在(-∞，a)上单调递增，且y<2a+3，如图1所示， 由图象可知，无论2a+3≥a2，还是2a+3<a2，函数f(x)的图象与直线y=m都不可能有三个交点，不符合题意； 当a<0时，函数y=x2在(0，+∞)上单调递增，在[a，0)上单调递减，则有y≥0， 函数y=2x+3在(-∞，a)上单调递增，且y<2a+3，如图2所示， 要想函数f(x)的图象与直线y=m可能有三个交点， 只需2a+3>0，即-<a<0. 综上，实数a的取值范围为. 四、解答题 15．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，且f(1)＝－，3a＞2c＞2b.求证： (1)a＞0且－3＜＜－； (2)函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点． 证明　(1)∵f(1)＝a＋b＋c＝－， ∴c＝－a－b.∵3a＞2c＝－3a－2b， ∴3a＞－b.∵2c＞2b，∴－3a＞4b. 若a＞0，则－3＜＜－； 若a＝0，则0＞－b,0＞b，不成立； 若a＜0，则＜－3，＞－，不成立． 综上，a＞0且－3＜＜－. (2)f(0)＝c，f(2)＝4a＋2b＋c，f(1)＝－， Δ＝b2－4ac＝b2＋4ab＋6a2＝(b＋2a)2＋2a2＞0. 当c＞0时，f(0)＞0，f(1)＜0， ∴f(x)在(0,2)内至少有一个零点； 当c＝0时，f(0)＝0，f(1)＜0，f(2)＝4a＋2b＝a＞0， ∴f(x)在(0,2)内有一个零点； 当c＜0时，f(0)＜0，f(1)＜0，b＝－a－c，f(2)＝4a－3a－2c＋c＝a－c＞0，∴f(x)在(0,2)内有一个零点．综上，f(x)在(0,2)内至少有一个零点． 16. (2024·天水模拟)已知函数f(x)＝log2(2＋x)－log2(2－x)． (1)判断f(x)的奇偶性； (2)若关于x的方程f(x)＝log2(a＋x)有两个不同的实数根，求实数a的取值范围． 解　(1)f(x)为奇函数，理由如下： 由题意得解得－2<x<2，即函数f(x)的定义域为(－2,2)，故定义域关于原点对称． 又f(－x)＝log2(2－x)－log2(2＋x)＝－f(x)， 故f(x)为奇函数． (2)由f(x)＝log2(a＋x)， 得log2(2＋x)－log2(2－x)＝log2(a＋x)， 所以＝a＋x，所以a＝－x＝－x＝＋(2－x)－3， 故方程f(x)＝log2(a＋x)有两个不同的实数根可转化为方程a＝＋(2－x)－3在区间(－2,2)上有两个不同的实数根， 即函数y＝a与y＝＋(2－x)－3在区间(－2,2)上的图象有两个交点． 设t＝2－x，x∈(－2,2)，则y＝＋t－3，t∈(0,4)． 作出函数y＝＋t－3，t∈(0,4)的图象，如图所示． 当1<a<2时，函数y＝a与y＝＋t－3，t∈(0,4)的图象有两个交点，即关于x的方程f(x)＝log2(a＋x)有两个不同的实数根， 故实数a的取值范围是(1,2)． 17. . (2025·天水模拟)已知函数f(x)=log2(2+x)-log2(2-x). (1)判断f(x)的奇偶性；(6分) (2)若关于x的方程f(x)=log2(a+x)有两个不同的实数根，求实数a的取值范围.(9分) 解　(1)f(x)为奇函数，理由如下： 由题意得解得-2<x<2，即函数f(x)的定义域为(-2，2)，故定义域关于原点对称. 又f(-x)=log2(2-x)-log2(2+x)=-f(x)， 故f(x)为奇函数. (2)由f(x)=log2(a+x)， 得log2(2+x)-log2(2-x)=log2(a+x)， 所以=a+x， 所以a=-x=-x =+(2-x)-3， 故方程f(x)=log2(a+x)有两个不同的实数根可转化为方程a=+(2-x)-3在区间(-2，2)上有两个不同的实数根，即函数y=a与y=+(2-x)-3在区间(-2，2)上的图象有两个交点. 设t=2-x，x∈(-2，2)，则y=+t-3，t∈(0，4). 作出函数y=+t-3，t∈(0，4)的图象，如图所示. 当1<a<2时，函数y=a与y=+t-3，t∈(0，4)的图象有两个交点，即关于x的方程f(x)=log2(a+x)有两个不同的实数根， 故实数a的取值范围是(1，2). 18. (2025·石家庄模拟)函数f(x)=sin在上的零点个数为(　　) A.3 B.4 C.6 D.8 答案　C 解析　令t=x+，根据对勾函数的性质可知，函数t=x+在上单调递减，在(1，10)上单调递增，且t(1)=2，t=t(10)=. 所以当x∈时，t∈， 由y=sin t=0⇒t=kπ，k∈Z. 只有当k=1，2，3时，t的值分别对应π，2π，3π∈. 又因为x+=π，2π，3π在上各有2个解， 所以f(x)在上有6个零点. 19. 函数f(x)＝x2 023|x|，若方程(x＋sin x)f(x)－ax2＝0只有三个解x1，x2，x3，且x1<x2<x3，则sin x2＋2 023x1x3的取值范围是(　　) A．(0，＋∞) B．(2 023，＋∞) C．(－∞，－2 023) D．(－∞，0) 答案　D 解析　因为(x＋sin x)f(x)－ax2＝0， f(x)＝x2 023|x|， 所以(x＋sin x)x2 023|x|－ax2＝0， ①当x＝0时，方程成立； ②若x≠0，(x＋sin x)x2 023|x|－ax2＝0可化为 (x＋sin x)x2 021|x|－a＝0⇔(x＋sin x)x2 021|x|＝a， 令F(x)＝(x＋sin x)x2 021|x|， 因为定义域关于原点对称， 且F(－x)＝[－x＋sin(－x)](－x)2 021|－x|＝(x＋sin x)x2 021|x|＝F(x)， 所以F(x)为偶函数，图象关于y轴对称， 所以F(x)与y＝a的两个交点对应的横坐标关于y轴对称，即方程(x＋sin x)x2 021|x|＝a的另外两解一定一正一负， 又x1<x2<x3， 所以x1<0，x2＝0，x3>0，且x1＝－x3≠0， 所以sin x2＋2 023x1x3＝－2 023x<0. 20. (2026·银川模拟)当x∈[0，4]时，函数y=2x-2+mx2与y=4mx-2-x+2的图象有唯一的交点，则实数m的值为　　　　.  答案　 解析　当x∈[0，4]时，函数y=2x-2+mx2与y=4mx-2-x+2的图象有唯一的交点， 则关于x的方程2x-2+mx2=4mx-2-x+2在[0，4]上有唯一解， 即f(x)=2x-2+2-x+2+mx2-4mx在[0，4]上有唯一零点， 因为f(x)=2x-2+2-x+2+m(x-2)2-4m， 所以f(x)的图象关于直线x=2对称， 又f(x)在[0，4]上存在唯一零点， 所以f(2)=0，解得m=. 2 / 3 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年高考一轮复习讲义 第9讲 函数的零点与方程的解 知识点预览 1.函数的零点与方程的解 (1)函数零点的概念 对于一般函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点. (2)函数零点与方程实数解的关系 方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)有零点⇔函数y=f(x)的图象与x轴有公共点. (3)函数零点存在定理 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的解. 2.二分法 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 探究核心题型 考点一 函数零点所在区间的判定 例1-1 (2023·太原模拟)函数f(x)＝－log2x的零点所在的区间是(　　) A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) 例1-2 (2026·沈阳模拟)已知函数y=f(x)的图象是连续不间断的，且对应关系如表. x 1 1.5 1.75 1.875 2 y -6 -2.625 -0.14 1.342 -0.158 则f(x)在[1，2]上的零点(　　) A.只有1个 B.至少有2个 C.至多有2个 D.只有2个 例1-3. 函数f(x)＝的零点是________． 例1-4. 用二分法求方程－＋1＝0在区间(2,3)内的根的近似值，至少经过________次二分后精确度达到0.1(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 跟踪训练 1 (2025·天津)函数f(x)=0.3x-的零点所在区间是 (　　) A.(0，0.3) B.(0.3，0.5) C.(0.5，1) D.(1，2) 2. (2023·宣城模拟)方程－＋1＝0的根所在的区间是(参考数据：ln 2≈0.69，ln 3≈1.10)(　　) A．(1,2) B．(2，e) C．(e,3) D．(3,4) 3. (2025·随州模拟)已知函数f(x)=e-x-2x-5的零点位于区间(m，m+1)(m∈Z)上，则m=　　　　　.  4. (2025·宣城期末)已知函数f(x)=x3+3x-6，利用二分法求f(x)的零点的近似值x0，若零点的初始区间为[0，2]，精确度为0.3，则x0可以是(　　) A.0.35 B.0.65 C.1.45 D.1.85 考点二 函数零点个数的判定 例2-1. 函数f(x)=·cos x的零点个数为　　　　.  例2-2. (2026·咸阳模拟)函数f(x)＝的零点个数为(　　) A．5 B．4 C．3 D．2 跟踪训练 1. 已知函数y=f(x)是周期为2的周期函数，且当x∈[-1，1]时，f(x)=x2，则函数F(x)=f(x)-|lg x|的零点个数是(　　) A.9 B.10 C.11 D.18 2. 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x－2)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，设函数g(x)＝f(x)－log7|x|，则函数g(x)的零点个数为(　　) A．6 B．8 C．12 D．14 3. (2024·渭南模拟)函数f(x)＝3x|log2x|－1的零点个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 4. 函数f(x)=的零点个数为(　　) A.5 B.4 C.3 D.2 考点3 函数零点的应用 命题点1　根据函数零点个数求参数 例3-1. (2026·西宁期中)已知函数f(x)=若函数y=f(x)-a有且仅有2个零点，则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞，0]∪(2，+∞) B.(-1，1]∪(3，+∞) C.(-1，1] D.[1，+∞) 命题点2　根据函数零点的范围求参数 例3-2. (2025 商丘联考) 已知函数f(x)=3x-.若存在x0∈(1，2)，使得f(x0)=0，则实数a的取值范围是　　　　　　.  例3-3. (2024·邵阳模拟)已知函数f(x)＝若g(x)＝f(x)－a有4个零点，则实数a的取值范围为(　　) A．(0,4) B．(0,3) C．(0,2) D．(0,1) 跟踪训练 1. (2023·安阳模拟)已知函数f(x)＝的图象与直线y＝k－x有3个不同的交点，则实数k的取值范围是(　　) A. B．(0，＋∞) C. D．(0,2] 2. (2024·新课标全国Ⅱ)设函数f(x)=a(x+1)2-1，g(x)=cos x+2ax.当x∈(-1，1)时，曲线y=f(x)和y=g(x)恰有一个交点，则a等于(　　) A.-1 B. C.1 D.2 3. (2023·北京模拟)已知函数f(x)＝3x－.若存在x0∈(－∞，－1)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C．(－∞，0) D. 课时对点精练 一、单项选择题 1．若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　) A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内 C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内 2．下列函数的图象均与x轴有交点，其中不宜用二分法求函数零点的是(　　) 3． 若函数y=f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，则“f(a)·f(b)<0”是“函数y=f(x)在开区间(a，b)内至少有一个零点”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4．(2023·天津模拟)函数f(x)＝2alog2x＋a·4x＋3在区间上有零点，则实数a的取值范围是(　　) A．a<－ B．a<－ C．－<a<－ D．a<－ 5．(2026·渭南模拟)函数f(x)=3x|log2x|-1的零点个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 6．已知函数f(x)=3x-4，则方程f(x)=2x的根的个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 7. (2023·临沂模拟)函数f(x)＝ln x＋2x－5的零点所在的区间是(　　) A．(1,2) B．(2,3) C．(3,4) D．(4,5) 8．(2023·濮阳模拟)设函数f(x)＝log3－a在区间(1,2)内有零点，则实数a的取值范围是(　　) A．(－1，－log32) B．(0，log32) C．(log32,1) D．(1，log34) 二、多项选择题 9．(2026·邵阳模拟) 在下列区间内，函数f(x)=9lg x-x2+9有零点的是(　　) A.(0，1) B.(2，3) C.(3，4) D.(4，5) 10．(2025·大连模拟)已知x1，x2分别是函数f(x)=2x-和g(x)=log2x-的零点，则(　　) A.-x2=0 B.log2x1+log2x2=0 C.x2>2 D.·log2x2=1 11. (2023·安康模拟)下列函数在区间(－1,3)内存在唯一零点的是(　　) A．f(x)＝x2－2x－8 B．f(x)＝ C．f(x)＝2x－1－1 D．f(x)＝1－ln(x＋2) 三、填空题 12．(2025·赣州模拟)用二分法求方程x3＋x－5＝0的近似解时，已经将根锁定在区间(1,3)内，则下一步可断定该根所在的区间为________． 13．已知函数f(x)=则函数y=f(x)的零点是　　　　　　.  14．(2026·绵阳模拟)已知函数f(x)=若∃m∈R，方程f(x)=m有三个实数根，则实数a的取值范围是　　　　　.  四、解答题 15．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，且f(1)＝－，3a＞2c＞2b.求证： (1)a＞0且－3＜＜－； (2)函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点． 16. (2024·天水模拟)已知函数f(x)＝log2(2＋x)－log2(2－x)． (1)判断f(x)的奇偶性； (2)若关于x的方程f(x)＝log2(a＋x)有两个不同的实数根，求实数a的取值范围． 17. . (2025·天水模拟)已知函数f(x)=log2(2+x)-log2(2-x). (1)判断f(x)的奇偶性；(6分) (2)若关于x的方程f(x)=log2(a+x)有两个不同的实数根，求实数a的取值范围.(9分) 18. (2025·石家庄模拟)函数f(x)=sin在上的零点个数为(　　) A.3 B.4 C.6 D.8 19. 函数f(x)＝x2 023|x|，若方程(x＋sin x)f(x)－ax2＝0只有三个解x1，x2，x3，且x1<x2<x3，则sin x2＋2 023x1x3的取值范围是(　　) A．(0，＋∞) B．(2 023，＋∞) C．(－∞，－2 023) D．(－∞，0) 20. (2026·银川模拟)当x∈[0，4]时，函数y=2x-2+mx2与y=4mx-2-x+2的图象有唯一的交点，则实数m的值为　　　　.  2 / 3 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $