第2讲三角函数图象的变换与解析式确定专项训练-2027届高三数学一轮复习

三角函数图象的变换与解析式确定 高三数学专题复习 · 三角第二讲 0 题型概说 本讲研究两类以”图象”为对象的问题。其一，图象变换：把 的图象经过平移、伸缩得到 型图象，或者反过来叙述变换过程；核心是两条变换规则与”次序不可交换”。其二，由图象定解析式：给出 的一段图象（标出特殊点），确定 、、、；核心是”先读振幅与周期，再代特殊点定相位，最后用范围滤解”。解析式定下之后，周期、单调、对称、零点等性质全部在标准形上读取。 识别信号总览： 问题特征 方法指向 单元 “平移/伸缩/横坐标变为……得到”的叙述或逆述 两条变换规则与次序 单元一 “部分图象如图所示”＋ 定式四步：先定 、，再定 ，再定 ，最后按范围滤解 单元二 变换与对称、单调、零点、求和混合设问 先定式再读性质 单元三 单元一 平移与伸缩的次序 1.1 识别特征 题干给出起点函数（ 、 或已含 、 的式子）与一串图象操作（向左/右平移 个单位、横坐标伸长/缩短到原来的 倍、纵坐标不变），求最终解析式；或给出两个函数，判断其一能否由另一个平移得到。 1.2 结论与推导 结论 1.1（平移规则）　图象向左平移 个单位，解析式中 换成 ；向右平移 个单位， 换成 。口诀”左加右减”，且只对括号里的整体 替换： 向右平移 得 ，而不是 。 推导：点 平移后为 ，新图象上横坐标 处的函数值等于原图象在 处的值。 结论 1.2（伸缩规则）　横坐标伸长到原来的 倍（  ）或缩短到原来的 ，解析式中 换成 ；纵坐标伸长 倍即整体乘 。 推导：横坐标变为 倍，新图象在横坐标 处的值即原图象在 处的值。 结论 1.3（次序不可交换）　“先平移后伸缩”与”先伸缩后平移”结果不同：从 出发，向右平移 再横坐标伸长 2 倍，得 化简即 ；先横坐标伸长 2 倍得 ，再向右平移 得 。同样的两个操作，次序不同终态不同。 推导：平移作用于”当时的 “；先伸缩后，坐标轴已经被拉伸，同样的平移量代入时不再除以系数。执行时逐条翻译、每步只改一处。 1.3 方法决策表 操作 解析式动作 向左平移 换成 （整体替换，结论 1.1） 横坐标伸长 倍 换成 （结论 1.2） 混合次序 逐条翻译，每步只处理一个操作（结论 1.3） 判断”能否由平移得到” 化为同周期同振幅后比较相位差是否为常数 例题精讲 例 1（单项选择题） 将函数 的图象向右平移 个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的 2 倍（纵坐标不变），得到函数 的图象。设 ，则 在 内的极大值点为（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 按结论 1.1 逐步翻译：向右平移 得 ；横坐标变为 2 倍即 换成 （结论 1.2），得 。故 ，。令 得 ； 在 内为负、 内为正、 内为负，故极大值点为 。 【答案】A 例 2（单项选择题） 把函数 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把所得图象向右平移 个单位长度，得到图象对应的解析式为（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 按结论 1.2：横坐标伸长 2 倍即 换成 ，得 ；再按结论 1.1 向右平移 ： 换成 ，得 。注意本题为”先伸缩后平移”，若次序颠倒平移量将不同（结论 1.3）。 【答案】D 例 3（单项选择题） 将函数 （  且 ， ）的图象向左平移 个单位长度，再向上平移 （  ）个单位长度后得到函数 的图象。若方程 对任意的 都无解，则 的值不能为（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 。 无解即 无解。记右端为 ，按 分三类： 时 ，值域 ； 时 ，值域 ； 时 ，值域 。故 的值域为 ，方程无解当且仅当 或 。四个选项中 ，不能取。 【答案】C 变式训练 变 1（单项选择题） 已知函数 （  ），将函数 的图象向右平移 个单位长度后得到函数 的图象。下列选项中， 是 的充分不必要条件的为（  ） A．：函数 的最小正周期为 ，： B．：，，：函数 C．：，，：函数 的值域为 D．：，，： 是函数 的一个对称中心 ●解析 A 中周期为 即 ，与 互为充要；B 中按结论 1.1，， 推不出 ；C 中 ，值域为 ， 推不出 ；D 中 的对称中心满足 ， 时即 ，；反之由 ， 有多组解（如 ， ）， 推不出 。故 D 为充分不必要条件。 【答案】D 变 2（单项选择题） 为了得到函数 的图象，纵坐标不变，只需将函数 的图象上所有的点（  ） A．向左平移 个单位长度，再将所得各点的横坐标缩短到原来的 B．向左平移 个单位长度，再将所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 C．向左平移 个单位长度，再将所得各点的横坐标缩短到原来的 D．向左平移 个单位长度，再将所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 ●解析 先平移： 向左平移 得 ；再按结论 1.2 横坐标缩短到原来的 （  换成  ），得 ，A 正确。先平移 只能得到 ，C、D 错；B 伸缩方向反，错。 【答案】A 变 3（填空题） 函数 （  ）的最小正周期为 。将 的图象向右平移 个单位得到函数 的图象，则 在区间 上的值域为__________． ●解析 由 得 。按结论 1.1：。 时 ，正弦取值 ，故值域为 。 【答案】 变 4（单项选择题） 下列两个函数 和 ， 的图象不可以由 的图象经过平移得到的是（  ） A．，　　B．， C．，　　D．， ●解析 逐项化为”平移形态”：A 中 ，向上平移 可得；B 中 ，向左平移 2 可得；C 中 ，需先关于 轴对称再平移，仅平移不可得；D 中 ，向左平移 可得。 【答案】C 变 5（单项选择题） 把函数 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 倍，纵坐标不变，再把所得图象向右平移 个单位长度，得到图象对应的解析式为（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 伸缩（结论 1.2）：横坐标伸长到原来的 倍， 替换为 ：。再平移（结论 1.1）：向右平移 ， 替换为 ：。故选 D。 【答案】D 变 6（填空题） 若将函数 （  ）的图象向右平移 个单位长度后所得图象关于原点对称，则 的最小值为________． ●解析 平移（结论 1.1）：。图象关于原点对称 ⟺ 为奇函数，即初相 （  ），解得 。由 得 ， 的最大整数为 ，故 的最小值为 。 【答案】 单元二 由图象定解析式 2.1 识别特征 给出 （或 型）的部分图象，标注了最高点、最低点、零点或特殊点（有时只给 、面积等间接量），限定 、、 的范围；求解析式或再求函数值。 2.2 结论与推导 结论 2.1（  与 由最高最低点读出）　最高点纵坐标 、最低点纵坐标 ：，。无 时 ， 即最大值。 推导：最大值为 、最小值为 ，两式相加减即解。 结论 2.2（  由周期读出）　图象上任意”相邻同类点”的水平距离给出周期：相邻最高与最低点相距 ；相邻两零点相距 ；最高点与其右侧第二个零点（过上升零点）相距 。读出 后 。 推导：正弦曲线的最高、最低、零点在一个周期内的相对位置固定。 结论 2.3（  由特殊点代入）　把图象上的已知点 代入 （  按”上升零点、峰值点、下降零点”分别取 、、，最低点取  ），解出 的表达式，最后由 的限定范围取定 。 推导：已知点在曲线上即方程成立； 的多解性由周期性产生，限定范围负责筛选。 结论 2.4（  的多解与限定滤解）　条件不足以唯一确定 时（如另给一点函数值），解出的 是等差数列形态（如 ）；用题给限定（ 、 等）逐个筛选。 推导：正弦值相等对应无穷多个角；周期参数的多解与 的多解机制相同。 2.3 方法决策表 图象信息 读取 最高点、最低点纵坐标 与 （结论 2.1） 相邻特殊点的横坐标差 的 、 或 ，转 （结论 2.2） 图象经过的点 代入解 ，范围滤解（结论 2.3） 出现多解 限定条件筛选（结论 2.4） 例题精讲 例 4（单项选择题） 已知函数 （ ，， ）的部分图象如图所示，则下列说法错误的是（  ） A． B． 的图象关于点 对称 C． 在区间 上单调递减 D．将 的图象向右平移 个单位长度可得函数 的图象 ●解析 定式四步（结论 2.1、2.2、2.3）：图象最高点纵坐标为 2，；相邻一高峰 与一低谷 的水平距离 ，，；代最高点 ：，结合 得 。故 A 正确。验证 B：，故 不是对称中心，B 错误。C： 时 ，正弦在其上递减，正确。D：向右平移 得 ，正确。 【答案】B 例 5（解答题） 已知函数 （ ，， ）的部分图象如图所示。（1）求函数 的解析式；（2）将函数 的图象先向左平移 个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的 （纵坐标不变），得到函数 的图象，求 。 ●解析 （1）；由图，，，（结论 2.2）。代峰值点 ：，，由 取 （结论 2.3）。故 。 （2）按结论 1.1、1.2：向左平移得 ，横坐标缩短一半得 ，周期 。，，，，四项之和为 （结论 3.3 的周期折叠）。，故原式为 。 【答案】（1）；（2） 例 6（填空题） 已知函数 （ ，， ）的部分图象如图所示， 且 ，则 = ______． ●解析 。由图，零点 与相邻峰值点 的横坐标分别为 与 ，水平距离 （结论 2.2），。代零点 ：，得 ，限定内取 （结论 2.3）。再由 ： 或 ，得 或 ；由 唯一取 （结论 2.4）。故 。 【答案】 变式训练 变 7（单项选择题） 已知函数 （ ， ）的部分图象如图所示，则 = （  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 由结论 2.2，，，。代零点 ：， 满足 ，由 得 。故 。 【答案】A 变 8（多项选择题） 已知函数 （ ，， ）的部分图象如图所示，则（  ） A． B．函数 的最大值为 C．函数 的图象关于点 对称 D．方程 在区间 上恰有 4 个实数根 ●解析 按结论 2.1：最高、最低点 、 给出 ，；，（结论 2.2）；代 点得 （结论 2.3）。A 正确。B：，最大值 ，正确。C： 而 ，两点关于 应满足纵坐标互为相反数，不成立，错误。D：， 或 ， 内恰 4 个，正确。 【答案】ABD 变 9（多项选择题） 已知函数 （ ， ）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（  ） A． B．若 ，则 C．把函数 的图象向左平移 个单位后得到函数 的图象，则 为偶函数 D．若函数 的导函数为 ，则 的图象关于点 对称 ●解析 定式：；，（结论 2.2）；代上升零点 ：， 取 。A 正确。B：，而 ，正确。C：向左平移 得 ，为奇函数，错误。D：，对称中心满足 ， 时 ，正确。 【答案】ABD 变 10（多项选择题） 函数 （ ， ）的部分图象如图所示，则（  ） A． 为 的周期 B． 是 图象的对称中心 C．当 时， 的值域是 D． 的单调递增区间是 （  ） ●解析 本题周期非 的倍数：，，（结论 2.2），A 错。代峰值点 ：，（结论 2.3），。B：，正确。C： 时相位 ，正弦取值 ，值域为 ，错误。D： 解得 ，正确。 【答案】BD 变 11（多项选择题） 函数 （ ， ）的部分图象如图所示，则（  ） A． B． 在 上单调递减 C． 的表达式可以写成 D．若关于 的方程 在 上有且只有 3 个实数根，则 ●解析 定式： 且 ，（结论 2.3），A 错误。由五点法，，，。B：峰值对称轴 ， 恰为其右侧相邻的递减区间，正确。C：诱导公式 ，正确。D： 的根为 ， 内恰 3 根需 ，正确。 【答案】BCD 单元三 变换与性质综合 3.1 识别特征 题目把定式、变换、性质压在一题：先由条件（周期、对称性、函数值、 与 的图象）确定解析式，再做平移伸缩，最后读变换后函数的对称中心、单调区间、零点个数，或在区间上求值域、求数列和。 3.2 结论与推导 结论 3.1（性质反求定式）　不给图时，性质条件直接换算： 的最大值为 ；相邻零点最小间距为 ；图象关于直线 对称即 ，关于点 对称即 。 推导：对称轴过峰值点、对称中心过零点；两零点间隔半个周期。 结论 3.2（变换后读性质）　变换得 后：对称中心满足 ；单调递增区间由 解出；方程 的根数由水平线 与一条周期内图象的交点数乘以周期数计得。 推导：标准形的性质公式；区间上的根数按”先算一个周期内的根，再看区间含几个完整周期与余段”。 结论 3.3（周期结构的求和）　变换后函数在等差自变量点列 处的函数值以 4 为周期循环（四值之和为  ），长求和按周期折叠后计余项。 推导：相位每次前进 ，正弦四值 对应 值 循环。 结论 3.4（化简先行）　解析式不是标准形时（含 、、平方和结构），先降幂、辅助角合并化为 ，再做变换与性质； 与 联立时，，其图象信息（峰值点、零点）按余弦曲线读取。 推导：二倍角降幂与辅助角公式；导函数与原函数相差 相位、振幅放大 倍。 3.3 方法决策表 设问 处理 由周期/对称/振幅条件定式 性质换算（结论 3.1） 变换后求对称中心、单调区间 标准形公式直接解（结论 3.2） 方程根数、区间和 水平线交点计数、周期折叠（结论 3.2、3.3） 解析式非标准形 先化简（结论 3.4）； 与 联立按导函数读取 例 7（多项选择题） 已知函数 （ ， ）的部分图象如图，则（  ） A． 是 图象的一条对称轴 B． 在区间 上单调递增 C． 在区间 上的零点之和为 D．函数 的零点个数为 11 个 ●解析 按结论 3.4 化简：。由结论 2.2，图中相邻两零点 与 给出 ，，；图象过点 且此处呈上升走向：，结合 得 （结论 2.3）。故 。 A：对称轴满足 ，即 ，不含 ，错误。B： 时 ，余弦递增，正确。C：令 得 ； 内的零点为 与 ，之和 ，正确。D：记 （周期 ，值域  ）、（定义域 ，递增，， ）。 的峰值为 ，峰的位置在 （  ）；谷值为 ，谷的位置在 。 当且仅当 ；此界内共有峰 （6 个， 时  ），谷 5 个。谷处 为零小于 ，不交；每个”谷—峰”上升沿与”峰—谷”下降沿上， 的两端异号（峰端 、谷端  ），各恰 1 个零点。沿依次为峰0、谷1、峰1、谷2、峰2、谷3、峰3、谷4、峰4、谷5、峰5、右端 之间的 11 段，各 1 交，故零点个数为 11，正确。 【答案】BCD 例 8（解答题） 已知函数 （  ），且 。（1）求 在点 处的切线方程；（2）将函数 的图象向右平移 个单位得到函数 的图象，求函数 在 上的值域。 ●解析 （1） 且 ，由结论 2.3 得 ，。，，切线方程为 ，即 。 （2）按结论 1.1：。 时 ： 在 上递增、 上递减，且端点值 最大、 最小，故值域为 。 【答案】（1）；（2） 例 9（解答题） 已知函数 （  ）的最小正周期为 。（1）求 的值以及函数 的对称中心；（2）将函数 的图象向右平移 个单位长度后，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的 2 倍，得到函数 的图象，求函数 在 上的最小值。 ●解析 （1）按结论 3.4 化简：。，。对称中心满足 ，即 （  ）。 （2）按结论 1.1、1.2：向右平移 得 ；横坐标变 2 倍得 。故 ，其中 ； 时 。二次函数 在 上的最小值在 处取得，为 。 【答案】（1），对称中心 （  ）；（2） 变式训练 变 12（单项选择题） 若 ，将 的图象纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的 倍，得到 的图象，则 在区间 的最大值是（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 按结论 3.4 化简：。横坐标缩短一半（结论 1.2）：。 时相位 ，最大值 。 【答案】B 变 13（解答题） 已知函数 （ ， ），对 ，，且当 ， 为函数的两个不同的零点时，。（1）求出 的解析式，并用”五点法”画出 在长度为一个周期的闭区间上的简图；（2）说明 的图象可由 的图象经过怎样的变换得到。 ●解析 （1）按结论 3.1：最大最小差 ，；相邻零点最小间距 ，，。故 。五点法列表： 在 内描点，用光滑曲线连接即得一个周期的简图。 （2） 的图象向左平移 个单位得 ，再将横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变）得 （结论 1.1、1.2）。 【答案】（1），简图见解析；（2）向左平移 ，再横坐标伸长 2 倍 变 14（多项选择题） 已知函数 （ ， ）的部分图象如图所示，则（  ） A． 的最小正周期为 B． C． 的图象关于点 中心对称 D．将 图象上所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变），得到函数 的图象，则 是区间 上的增函数 ●解析 相邻最小值点 与最大值点 相距 ，，（结论 2.2），A 正确。代最低点 ：，，， 取 ，B 错误。，，C 正确。横坐标伸长 2 倍得 ，其增区间 即 ， 时为 ，包含 ，D 正确。 【答案】ACD 变 15（多项选择题） 已知函数 （ ，， ）的部分图象如图所示。将 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 后，再将所得图象向右平移 个单位长度得到函数 的图象，则（  ） A． B． C． 图象的对称轴方程为 （  ） D． 的单调递增区间为 （  ） ●解析 定式： 由最高纵坐标读出；相邻两个（下降）零点 与 相距 ，（结论 2.2）；代下降零点 ：， 取 （结论 2.3），A 正确，。C：对称轴 ，即 ，C 的 错误。B：先缩（  换成  ）得 ，再右移 （结论 1.1）得 ，正确。D： 解得 ，正确。 【答案】ABD 变 16（多项选择题） 已知函数 （ ，， ），函数 和它的导函数 的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（  ） A． B． C． 是函数 的一条对称轴 D．若 ，则 ●解析 按结论 3.4：。图中 的最大值为 ，，A 错误。，即 的图象在该点取峰值： 且该点处 ，解得 、 或 ，结合 得 ，B 正确。， 为峰值，C 正确。D：，；，正确。 【答案】BCD 变 17（单项选择题） 若函数 的图象向右平移 个单位后得到的图象关于 轴对称，则实数 可以是（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 逆用平移（结论 1.1）：所得图象关于 轴对称，等价于原函数 的图象关于直线 对称。 若 ，函数为常函数 ，关于任意竖直直线对称，符合题意。 若 ， 是一一对应，故 为对称轴 ⟺ 是 的对称轴。 由 半支与其关于 轴的镜像构成，其对称轴恰为 （ ，含  ）：（  奇）处两侧函数值一正一负、 处两侧不对位（如 ，取偏移 两侧值为 与  ），均不是对称轴。故须 。逐项验证： 时 ，符合； 时 ， 时 ， 时 ，均不为 。故选 A。 【答案】A 变 18（多项选择题） 将函数 （  ）的图象向左平移 个单位得到函数 的图象，若 的图象与 的图象关于 轴对称，则下列说法正确的有（  ） A． B． C． 的对称轴过 的对称中心 D．，，使得 ●解析 平移（结论 1.1）：。 与 关于 轴对称，即 对一切 成立。 A、B：令 ：，由 得 。检验：此时 ，而 ，恒等成立。A 正确，B 错误。 C：此时 ，。 的对称轴满足 ，即 ；而 ，即点 恰为 的对称中心。C 正确。 D： 时 ， 的取值范围为 ； 同范围时 ， 的取值范围为 。由 ，存在 使 而 ，找不到对应。D 错误。 【答案】AC 变 19（解答题） 已知向量 ，，． （1）求函数 的最小正周期； （2）将函数 图象上所有的点向左平移 个单位后得到函数 的图象，当 时，求函数 的值域； （3）说明函数 的图象经过怎样的变换能得到函数 的图象，写出一个变换过程． ●解析 （1）（结论 3.4 化简先行），最小正周期 。 （2）向左平移（结论 1.1）：。 时相位 ：最大值 在相位 取得；端点值 、，最小值 在右端点取得。值域为 。 （3） 的图象向右平移 个单位长度得 ；再将横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变）得 ；再将纵坐标伸长到原来的 倍（横坐标不变）得 ，即 。 【答案】（1）；（2）；（3）见解析 学科网（北京）股份有限公司 $ 三角函数图象的变换与解析式确定 高三数学专题复习 · 三角第二讲 0 题型概说 本讲研究两类以”图象”为对象的问题。其一，图象变换：把 的图象经过平移、伸缩得到 型图象，或者反过来叙述变换过程；核心是两条变换规则与”次序不可交换”。其二，由图象定解析式：给出 的一段图象（标出特殊点），确定 、、、；核心是”先读振幅与周期，再代特殊点定相位，最后用范围滤解”。解析式定下之后，周期、单调、对称、零点等性质全部在标准形上读取。 识别信号总览： 问题特征 方法指向 单元 “平移/伸缩/横坐标变为……得到”的叙述或逆述 两条变换规则与次序 单元一 “部分图象如图所示”＋ 定式四步：先定 、，再定 ，再定 ，最后按范围滤解 单元二 变换与对称、单调、零点、求和混合设问 先定式再读性质 单元三 单元一 平移与伸缩的次序 1.1 识别特征 题干给出起点函数（ 、 或已含 、 的式子）与一串图象操作（向左/右平移 个单位、横坐标伸长/缩短到原来的 倍、纵坐标不变），求最终解析式；或给出两个函数，判断其一能否由另一个平移得到。 1.2 结论与推导 结论 1.1（平移规则）　图象向左平移 个单位，解析式中 换成 ；向右平移 个单位， 换成 。口诀”左加右减”，且只对括号里的整体 替换： 向右平移 得 ，而不是 。 推导：点 平移后为 ，新图象上横坐标 处的函数值等于原图象在 处的值。 结论 1.2（伸缩规则）　横坐标伸长到原来的 倍（  ）或缩短到原来的 ，解析式中 换成 ；纵坐标伸长 倍即整体乘 。 推导：横坐标变为 倍，新图象在横坐标 处的值即原图象在 处的值。 结论 1.3（次序不可交换）　“先平移后伸缩”与”先伸缩后平移”结果不同：从 出发，向右平移 再横坐标伸长 2 倍，得 化简即 ；先横坐标伸长 2 倍得 ，再向右平移 得 。同样的两个操作，次序不同终态不同。 推导：平移作用于”当时的 “；先伸缩后，坐标轴已经被拉伸，同样的平移量代入时不再除以系数。执行时逐条翻译、每步只改一处。 1.3 方法决策表 操作 解析式动作 向左平移 换成 （整体替换，结论 1.1） 横坐标伸长 倍 换成 （结论 1.2） 混合次序 逐条翻译，每步只处理一个操作（结论 1.3） 判断”能否由平移得到” 化为同周期同振幅后比较相位差是否为常数 例题精讲 例 1（单项选择题） 将函数 的图象向右平移 个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的 2 倍（纵坐标不变），得到函数 的图象。设 ，则 在 内的极大值点为（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 按结论 1.1 逐步翻译：向右平移 得 ；横坐标变为 2 倍即 换成 （结论 1.2），得 。故 ，。令 得 ； 在 内为负、 内为正、 内为负，故极大值点为 。 例 2（单项选择题） 把函数 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把所得图象向右平移 个单位长度，得到图象对应的解析式为（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 按结论 1.2：横坐标伸长 2 倍即 换成 ，得 ；再按结论 1.1 向右平移 ： 换成 ，得 。注意本题为”先伸缩后平移”，若次序颠倒平移量将不同（结论 1.3）。 例 3（单项选择题） 将函数 （  且 ， ）的图象向左平移 个单位长度，再向上平移 （  ）个单位长度后得到函数 的图象。若方程 对任意的 都无解，则 的值不能为（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 。 无解即 无解。记右端为 ，按 分三类： 时 ，值域 ； 时 ，值域 ； 时 ，值域 。故 的值域为 ，方程无解当且仅当 或 。四个选项中 ，不能取。 变式训练 变 1（单项选择题） 已知函数 （  ），将函数 的图象向右平移 个单位长度后得到函数 的图象。下列选项中， 是 的充分不必要条件的为（  ） A．：函数 的最小正周期为 ，： B．：，，：函数 C．：，，：函数 的值域为 D．：，，： 是函数 的一个对称中心 变 2（单项选择题） 为了得到函数 的图象，纵坐标不变，只需将函数 的图象上所有的点（  ） A．向左平移 个单位长度，再将所得各点的横坐标缩短到原来的 B．向左平移 个单位长度，再将所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 C．向左平移 个单位长度，再将所得各点的横坐标缩短到原来的 D．向左平移 个单位长度，再将所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 变 3（填空题） 函数 （  ）的最小正周期为 。将 的图象向右平移 个单位得到函数 的图象，则 在区间 上的值域为__________． 变 4（单项选择题） 下列两个函数 和 ， 的图象不可以由 的图象经过平移得到的是（  ） A．，　　B．， C．，　　D．， 变 5（单项选择题） 把函数 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 倍，纵坐标不变，再把所得图象向右平移 个单位长度，得到图象对应的解析式为（  ） A．　　B．　　C．　　D． 变 6（填空题） 若将函数 （  ）的图象向右平移 个单位长度后所得图象关于原点对称，则 的最小值为________． 单元二 由图象定解析式 2.1 识别特征 给出 （或 型）的部分图象，标注了最高点、最低点、零点或特殊点（有时只给 、面积等间接量），限定 、、 的范围；求解析式或再求函数值。 2.2 结论与推导 结论 2.1（  与 由最高最低点读出）　最高点纵坐标 、最低点纵坐标 ：，。无 时 ， 即最大值。 推导：最大值为 、最小值为 ，两式相加减即解。 结论 2.2（  由周期读出）　图象上任意”相邻同类点”的水平距离给出周期：相邻最高与最低点相距 ；相邻两零点相距 ；最高点与其右侧第二个零点（过上升零点）相距 。读出 后 。 推导：正弦曲线的最高、最低、零点在一个周期内的相对位置固定。 结论 2.3（  由特殊点代入）　把图象上的已知点 代入 （  按”上升零点、峰值点、下降零点”分别取 、、，最低点取  ），解出 的表达式，最后由 的限定范围取定 。 推导：已知点在曲线上即方程成立； 的多解性由周期性产生，限定范围负责筛选。 结论 2.4（  的多解与限定滤解）　条件不足以唯一确定 时（如另给一点函数值），解出的 是等差数列形态（如 ）；用题给限定（ 、 等）逐个筛选。 推导：正弦值相等对应无穷多个角；周期参数的多解与 的多解机制相同。 2.3 方法决策表 图象信息 读取 最高点、最低点纵坐标 与 （结论 2.1） 相邻特殊点的横坐标差 的 、 或 ，转 （结论 2.2） 图象经过的点 代入解 ，范围滤解（结论 2.3） 出现多解 限定条件筛选（结论 2.4） 例题精讲 例 4（单项选择题） 已知函数 （ ，， ）的部分图象如图所示，则下列说法错误的是（  ） A． B． 的图象关于点 对称 C． 在区间 上单调递减 D．将 的图象向右平移 个单位长度可得函数 的图象 ●解析 定式四步（结论 2.1、2.2、2.3）：图象最高点纵坐标为 2，；相邻一高峰 与一低谷 的水平距离 ，，；代最高点 ：，结合 得 。故 A 正确。验证 B：，故 不是对称中心，B 错误。C： 时 ，正弦在其上递减，正确。D：向右平移 得 ，正确。 例 5（解答题） 已知函数 （ ，， ）的部分图象如图所示。（1）求函数 的解析式；（2）将函数 的图象先向左平移 个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的 （纵坐标不变），得到函数 的图象，求 。 ●解析 （1）；由图，，，（结论 2.2）。代峰值点 ：，，由 取 （结论 2.3）。故 。 （2）按结论 1.1、1.2：向左平移得 ，横坐标缩短一半得 ，周期 。，，，，四项之和为 （结论 3.3 的周期折叠）。，故原式为 。 例 6（填空题） 已知函数 （ ，， ）的部分图象如图所示， 且 ，则 = ______． ●解析 。由图，零点 与相邻峰值点 的横坐标分别为 与 ，水平距离 （结论 2.2），。代零点 ：，得 ，限定内取 （结论 2.3）。再由 ： 或 ，得 或 ；由 唯一取 （结论 2.4）。故 。 变式训练 变 7（单项选择题） 已知函数 （ ， ）的部分图象如图所示，则 = （  ） A．　　B．　　C．　　D． 变 8（多项选择题） 已知函数 （ ，， ）的部分图象如图所示，则（  ） A． B．函数 的最大值为 C．函数 的图象关于点 对称 D．方程 在区间 上恰有 4 个实数根 变 9（多项选择题） 已知函数 （ ， ）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（  ） A． B．若 ，则 C．把函数 的图象向左平移 个单位后得到函数 的图象，则 为偶函数 D．若函数 的导函数为 ，则 的图象关于点 对称 变 10（多项选择题） 函数 （ ， ）的部分图象如图所示，则（  ） A． 为 的周期 B． 是 图象的对称中心 C．当 时， 的值域是 D． 的单调递增区间是 （  ） 变 11（多项选择题） 函数 （ ， ）的部分图象如图所示，则（  ） A． B． 在 上单调递减 C． 的表达式可以写成 D．若关于 的方程 在 上有且只有 3 个实数根，则 单元三 变换与性质综合 3.1 识别特征 题目把定式、变换、性质压在一题：先由条件（周期、对称性、函数值、 与 的图象）确定解析式，再做平移伸缩，最后读变换后函数的对称中心、单调区间、零点个数，或在区间上求值域、求数列和。 3.2 结论与推导 结论 3.1（性质反求定式）　不给图时，性质条件直接换算： 的最大值为 ；相邻零点最小间距为 ；图象关于直线 对称即 ，关于点 对称即 。 推导：对称轴过峰值点、对称中心过零点；两零点间隔半个周期。 结论 3.2（变换后读性质）　变换得 后：对称中心满足 ；单调递增区间由 解出；方程 的根数由水平线 与一条周期内图象的交点数乘以周期数计得。 推导：标准形的性质公式；区间上的根数按”先算一个周期内的根，再看区间含几个完整周期与余段”。 结论 3.3（周期结构的求和）　变换后函数在等差自变量点列 处的函数值以 4 为周期循环（四值之和为  ），长求和按周期折叠后计余项。 推导：相位每次前进 ，正弦四值 对应 值 循环。 结论 3.4（化简先行）　解析式不是标准形时（含 、、平方和结构），先降幂、辅助角合并化为 ，再做变换与性质； 与 联立时，，其图象信息（峰值点、零点）按余弦曲线读取。 推导：二倍角降幂与辅助角公式；导函数与原函数相差 相位、振幅放大 倍。 3.3 方法决策表 设问 处理 由周期/对称/振幅条件定式 性质换算（结论 3.1） 变换后求对称中心、单调区间 标准形公式直接解（结论 3.2） 方程根数、区间和 水平线交点计数、周期折叠（结论 3.2、3.3） 解析式非标准形 先化简（结论 3.4）； 与 联立按导函数读取 例 7（多项选择题） 已知函数 （ ， ）的部分图象如图，则（  ） A． 是 图象的一条对称轴 B． 在区间 上单调递增 C． 在区间 上的零点之和为 D．函数 的零点个数为 11 个 ●解析 按结论 3.4 化简：。由结论 2.2，图中相邻两零点 与 给出 ，，；图象过点 且此处呈上升走向：，结合 得 （结论 2.3）。故 。 A：对称轴满足 ，即 ，不含 ，错误。B： 时 ，余弦递增，正确。C：令 得 ； 内的零点为 与 ，之和 ，正确。D：记 （周期 ，值域  ）、（定义域 ，递增，， ）。 的峰值为 ，峰的位置在 （  ）；谷值为 ，谷的位置在 。 当且仅当 ；此界内共有峰 （6 个， 时  ），谷 5 个。谷处 为零小于 ，不交；每个”谷—峰”上升沿与”峰—谷”下降沿上， 的两端异号（峰端 、谷端  ），各恰 1 个零点。沿依次为峰0、谷1、峰1、谷2、峰2、谷3、峰3、谷4、峰4、谷5、峰5、右端 之间的 11 段，各 1 交，故零点个数为 11，正确。 例 8（解答题） 已知函数 （  ），且 。（1）求 在点 处的切线方程；（2）将函数 的图象向右平移 个单位得到函数 的图象，求函数 在 上的值域。 ●解析 （1） 且 ，由结论 2.3 得 ，。，，切线方程为 ，即 。 （2）按结论 1.1：。 时 ： 在 上递增、 上递减，且端点值 最大、 最小，故值域为 。 例 9（解答题） 已知函数 （  ）的最小正周期为 。（1）求 的值以及函数 的对称中心；（2）将函数 的图象向右平移 个单位长度后，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的 2 倍，得到函数 的图象，求函数 在 上的最小值。 ●解析 （1）按结论 3.4 化简：。，。对称中心满足 ，即 （  ）。 （2）按结论 1.1、1.2：向右平移 得 ；横坐标变 2 倍得 。故 ，其中 ； 时 。二次函数 在 上的最小值在 处取得，为 。 变式训练 变 12（单项选择题） 若 ，将 的图象纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的 倍，得到 的图象，则 在区间 的最大值是（  ） A．　　B．　　C．　　D． 变 13（解答题） 已知函数 （ ， ），对 ，，且当 ， 为函数的两个不同的零点时，。（1）求出 的解析式，并用”五点法”画出 在长度为一个周期的闭区间上的简图；（2）说明 的图象可由 的图象经过怎样的变换得到。 变 14（多项选择题） 已知函数 （ ， ）的部分图象如图所示，则（  ） A． 的最小正周期为 B． C． 的图象关于点 中心对称 D．将 图象上所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变），得到函数 的图象，则 是区间 上的增函数 变 15（多项选择题） 已知函数 （ ，， ）的部分图象如图所示。将 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 后，再将所得图象向右平移 个单位长度得到函数 的图象，则（  ） A． B． C． 图象的对称轴方程为 （  ） D． 的单调递增区间为 （  ） 变 16（多项选择题） 已知函数 （ ，， ），函数 和它的导函数 的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（  ） A． B． C． 是函数 的一条对称轴 D．若 ，则 变 17（单项选择题） 若函数 的图象向右平移 个单位后得到的图象关于 轴对称，则实数 可以是（  ） A．　　B．　　C．　　D． 变 18（多项选择题） 将函数 （  ）的图象向左平移 个单位得到函数 的图象，若 的图象与 的图象关于 轴对称，则下列说法正确的有（  ） A． B． C． 的对称轴过 的对称中心 D．，，使得 变 19（解答题） 已知向量 ，，． （1）求函数 的最小正周期； （2）将函数 图象上所有的点向左平移 个单位后得到函数 的图象，当 时，求函数 的值域； （3）说明函数 的图象经过怎样的变换能得到函数 的图象，写出一个变换过程． 学科网（北京）股份有限公司 $