第9讲 解三角形之条件化简与求值专项训练-2027届高三数学一轮复习

解三角形之条件化简与求值 高三数学专题复习 · 三角第九讲 0 题型概说 本讲研究的问题：解三角形中条件式化简与基本量求值——题目给出一个边角混合的等式（平方结构、比例式、高次式、复合角值），先把它化简为”某个角的三角函数值”或”某两条边的关系”，再完成求边、求角、求面积、求周长、求 一类复合角值的任务。 与第八讲的分工：第八讲以”定角”为纲，训练正弦定理、余弦定理、射影定理三件翻译工具的选型；本讲以”条件式的形态”为纲——条件是齐次平方结构、比例结构、高次结构还是数值边角，决定了化简的起手式。化简完成后，大量题目呈现三问链结构：（1）定角（或定边），（2）用正弦定理把已知值传到另一个角（边），（3）算 型复合角。三问链的每一步都有固定的书写规范：约去正弦因子要注明其非零，开平方取号要写明角的锐钝依据。 识别信号总览： 题面特征 方法指向 单元 型齐次平方结构； 型比例式 齐次化简直接读角 单元一 已知两边一角或三边，求其余与面积、周长 定形解三角形 单元二 第一问定角、后两问传值算 三问链书写规范 单元三 复合角定角、 双解、 与 并列 交汇化简与结构压轴 单元四 单元一 齐次式与比例式条件的化简 1.1 识别特征 条件式是关于 、、 的齐次式（每一项的”次数”相同）：平方结构如 ；比例式如 ；高次式如 。 1.2 结论与推导 结论 1.1（齐次平方结构直接读角）　形如 的条件：由正弦定理 整体换边，得 ；与余弦定理 对读，得 ，由 定出 。比例式条件（分子分母同为边角一次式）则全部换边后交叉相乘，整理成平方和差。 推导：换边的合法性在于 可整体约去；交叉相乘后凡是 形的组合都与 对读，系数 直接给出余弦值。 结论 1.2（高次式因式分解提公因子）　 型：先用 降次展开，全部化为 与 的多项式，再提公因子 （或  ）——由 约去，余下关于 的一元二次方程，因式分解后按 舍根（如 直接舍）。 推导： 保证约去不丢根； 排除端点值 （其对应的角 不是内角）。 结论 1.3（比例式的交叉相乘）　 型：由正弦定理把分式右端的 全部换成边（  与 之比为常数），得 ，交叉相乘展开为 ，读出 。 推导：（均为  ），故”齐次式中的 与对应小写边可自由互换”；交叉相乘是分式等式的标准去分母，注意 、 均非零。 结论 1.4（定角后的二次定形）　第一问定出角 后，第二问常再给两个条件（如 、 或面积）：把 代入余弦定理，与线性条件联立成 （或  ）的一元二次方程，负根舍去；求周长则把 配凑成 或用面积定出 再代入。 推导：一元二次的两根需用”边长为正”与几何合理性（对应角是否越界）双重检验；配凑 是求周长的固定桥梁。 1.3 方法决策表 题面 动作 齐次结构 换边后与余弦定理对读（结论 1.1） 高次式 降次展开 + 提公因子约去（结论 1.2） 分式比例条件 换边交叉相乘（结论 1.3） 定角后给定值求边/周长 余弦定理联立 + 配凑（结论 1.4） 例题精讲 例 1（解答题） 在 中，内角 ，， 的对边分别为 ，，．已知 ，，．（1）求角 的大小；（2）求 的值；（3）求 的值． ●解析 （1）由正弦定理，条件式右端的 换成对应边（结论 1.3）：，交叉相乘：，展开整理得 。由余弦定理 ，故 。 （2）代入 、 与 ：由 ，得 ，故 ，。 （3），故 。于是 ，。所以 。 【答案】（1）；（2）；（3） 例 2（解答题） 在 中，内角 所对的边分别为 ．已知 ．（1）求 的值；（2）若 ， 的面积为 ，求 的周长． ●解析 （1）由结论 1.1，把 换成对应边的平方：。由余弦定理 。由 知 ，故 。 （2），得 。由余弦定理：，得 。周长为 。 【答案】（1）；（2） 变式训练 变 1（解答题） 在 中，角 的对边分别 ，已知 ．（1）求角 的大小；（2）若 ，，求 的面积． ●解析 （1）用 降次：，即 。由 知 ，约去得 ，即 ，故 或 （舍去， 非内角）。所以 。 （2）由 与 ：，整理得 ，解得 或 （舍去），故 。面积 。 【答案】（1）；（2） 变 2（解答题） 在 中，角 ，， 所对的边分别为 ，，，且 ．（1）求 ；（2）若 ， 的面积为 ，求 的值． ●解析 （1）边化角：，即 。由 知 ，约去得 ，即 ；再由 约去，得 ，故 ，。 （2），。由正弦定理，。面积 ，解得 ，故 。 【答案】（1）；（2） 变 3（解答题） 已知 分别为 三个内角 的对边，且 ．（1）求 ；（2）若 ，且 的面积为 ，求 的值． ●解析 （1）边化角：。由 ，代入得 。由 约去：，即 。由 ，正弦取 的解为 （另一支 给 ，越界舍去），故 。 （2）（因  ），，故 。于是 ，。。由正弦定理设 ，，，代入面积：，得 。于是 ，故 。 【答案】（1）；（2） 变 4（解答题） 在 中，内角 ，， 的对边分别为 ，，，且 ．（1）求角 的大小；（2）若 ，且 ，求 的值． ●解析 （1）边化角：。由 约去：，即 。由 ：解为 或 ，后者给 （越界舍去），故 。 （2）由 与正弦定理（两边同除  ）：，故 。由余弦定理 ，得 ，故 ，换正弦：。由 知 ，故 。 【答案】（1）；（2） 变 5（解答题） 在 中，内角 ，， 所对的边分别为 ，，，且 ．（1）求 的值；（2）若 ， 的面积为 2，求 的周长． ●解析 （1）题设条件 ，边化角：。由 ，代入得 。由 约去，得 ，故 。 （2）由 与 ，解得 ，。面积 ，得 。由余弦定理：，得 。周长为 。 【答案】（1）；（2） 单元二 已知边角解形求值 2.1 识别特征 条件直接给出边角的数值组合：两边及夹角（ ，，）、三边（ ，，）、两边及其中一边的对角（ ，，），或边角的间接组合（  且 、 且 ， ）。设问为求第三边、面积、周长或某角的三角函数值。 2.2 结论与推导 结论 2.1（SAS 与 SSS 的标准流程）　两边夹角：余弦定理一次到位求第三边，再用正弦定理（或余弦定理）求其余角；三边：余弦定理直接给最大角的余弦。三角形面积 选用”已知夹角的两边”组合；与外接圆相关的比值（如三角形面积与外接圆面积之比  ）走 。 推导：SAS 中夹角唯一确定三角形，无解的个数问题；SSS 中最大角的余弦符号定三角形形状，之后锐角开方取正有据。 结论 2.2（SSA 的解数判定）　已知 、 与 ：由 求 ； 时 必为锐角、解唯一； 时 ； 时须检验 的两个可能值是否使 。求出角后第三边用余弦定理（或勾股，若恰为直角）。 推导：大边对大角给出”“这一单向锁定； 相同的两支 与 中，只有与 之和小于 的那支（或两支）合法。 结论 2.3（角比例条件的换边）　 型：直接换为 ，与余弦定理联立成单变量方程；求 时先求出 、 的实际值再走正弦定理，或用 传值。（或其它待开方角）为锐角的依据常是” 故 ，若 非锐角则 亦非锐角，内角和越界”。 推导：正弦定理把角的比例翻译为边的比例；钝角判断的代数依据是内角和约束——一个三角形至多一个非锐角。 结论 2.4（B=2A 型关系条件的处理）　：由正弦定理 ，约去 （注明非零）得 ；代入余弦定理成 的一元二次方程后，两根都要做几何检验（如 会迫使 与已求 矛盾）。复合角化简用内角和： 时 ，故 。 推导：约去 后所得 与余弦定理联立是两条约束的交点；二次方程的每个根对应一个候选三角形，逐一与”已确定的量”对照，矛盾者舍去。 2.3 方法决策表 题面 动作 两边夹角 / 三边 余弦定理直接解形（结论 2.1） 两边一对角 SSA 判数 + 大边对大角锁定（结论 2.2） 的比例条件 换边成一次方程联立（结论 2.3） 角的倍数关系 正弦定理约分 + 双根几何检验（结论 2.4） 例题精讲 例 3（解答题） 在 中，内角 ，， 所对的边分别为 ，，，已知 ，，．（1）求 的值；（2）求 的值；（3）过点 作 ， 在边 上，记 与 的面积分别为 ，，求 的值． ●解析 （1）由余弦定理：，故 。 （2）由正弦定理，。 为钝角，故 为锐角，。于是 ，，所以 。 （3）在 中 （  在 上，共用 处的角）， 故 ，斜边为 ，，，故 ，。设 到直线 的距离为 ，则 。 【答案】（1）；（2）；（3） 例 4（解答题） 在 中，角 所对的边分别为 ，已知 ，，．（1）求角 的大小；（2）设 的面积为 ， 外接圆的面积为 ，求 ． ●解析 （1）由余弦定理：，故 。 （2）。由正弦定理 ，故 ，。所以 。 【答案】（1）；（2） 变式训练 变 6（解答题） 在 中，内角 的对边分别为 ，已知 ，，．（1）求角 的大小；（2）求边 的长度和 的面积． ●解析 （1）由正弦定理：。由 知 （大边对大角），故 为锐角，。 （2），故 ，。面积 。 【答案】（1）；（2），面积 变 7（解答题） 在 中，角 ，， 所对的边分别为 ，，， 且 ，．（1）求 的值；（2）求 的值；（3）求 的值． ●解析 （1）由 换边得 ，即 。由余弦定理：，故 ，。 （2）。由正弦定理，。 （3）由 知 ；若 非锐角，则 亦非锐角，内角和越界，故 为锐角，。，。。 【答案】（1）；（2）；（3） 变 8（解答题） 在 中，内角 ，， 所对的边分别为 ，，，且 ．（1）求角 的大小；（2）若 ，且 的面积为 ，求 的周长． ●解析 （1）边化角：。由 ，代入得 ，即 。由 得 ，故 。 （2），得 。由余弦定理：，故 ，，。周长为 。 【答案】（1）；（2） 变 9（解答题） 在 中，内角 所对的边分别为 ，已知 ，．（1）若 ，求 的面积；（2）若 ．（i）求 和 的值；（ii）求 的值． ●解析 （1），。面积 。 （2）（i）由 ：，代入正弦定理 ：，由 得 。故 。由余弦定理：，即 ，解得 或 。检验： 时 ，则 ， 与 联立得 ，此时 ，矛盾，舍去；故 。 （ii）由内角和 与 得 ，故 ，。，。所以 。 【答案】（1）；（2）（i），；（ii） 变 10（解答题） 在 中，角 ，， 所对的边分别为 ，，，满足 ．（1）求角 的大小；（2）若 ，，求 的周长． ●解析 （1）边化角：。由 约去：，即 。由 ，正弦取 仅在 处，故 。 （2）由余弦定理：，得 ，。周长为 。 【答案】（1）；（2） 单元三 三问链：定形、传值、复合角 3.1 识别特征 三问结构：（1）由平方结构或数值条件定出某角的余弦（或求出某条边）；（2）给一个比例（ 、、 ）求某个 值；（3）求 、、 型复合角。 3.2 结论与推导 结论 3.1（平方结构的整理顺序）　 型：先展开合并为 的规范形态，再读 。、 同理——把完全平方拆开，全部移项为” 等于某系数乘 “。 推导：展开后同次项合并，等式两端齐次；规范的左端三平方组合与某个角的余弦一一对应。 结论 3.2（传值三式）　第二问的三种标准传值：①边比例 走 ；②交叉结构 边化角后约去 得 ；③ 同理约去得 。传值只用正弦定理，不必解出具体的边。 推导：正弦定理下 ，两边的比等于对应正弦的比；齐次交叉式两边同除以 即化角，公因子非零可约。 结论 3.3（开方取号的书写规范）　第三问必经” 已知求 “或反求：取号前必须写明该角的锐钝依据，常用依据三条——某角已判为钝角（余弦为负）则其余两角均为锐角；大边对大角（  故 ， 已钝则 锐）； 值的符号本身（  且 故 锐）。随后 、，再用和角公式收尾。 推导：开平方的符号由角的象限唯一确定，而内角的”象限”由上述三条代数依据锁定；二倍角公式是和角公式的特例，复合角 展开后逐项代入已求出的四个值。 结论 3.4（等腰判定与二倍复合角）　：边化角得 ，由 得 ，即 。此时 ，，，四倍角问题化归为 的二倍角。 推导：正弦在内角差的范围 内只在 处取零；诱导公式把 的三角函数转移到 ，二倍再翻倍即四倍角。 3.3 方法决策表 题面 动作 完全平方条件 拆开整理为规范三平方组合（结论 3.1） 边比例 / 交叉 结构 三种传值式（结论 3.2） 已知一求其余（开方） 先写锐钝依据再取号（结论 3.3） 型 判等腰（结论 3.4） 例题精讲 例 5（解答题） 在 中，内角 所对的边分别是 ，已知 ．（1）求 的值；（2）若 ，①求 的值；②求 的值． ●解析 （1）展开：，整理得 。由余弦定理 。 （2）①。由 得 （  ）。由正弦定理，。 ②由 知 ，故 ；若 非锐角则 亦非锐角，内角和越界，故 为锐角，。，。所以 。 【答案】（1）；（2）①；② 例 6（解答题） 在 中，角 ，， 所对的边分别为 ，，．已知 ，，．（1）求 的值；（2）求 的面积；（3）求 的值． ●解析 （1），故 为钝角，。由正弦定理，。由 为钝角知 为锐角，故 。 （2）。面积 。 （3），。。 【答案】（1）；（2）；（3） 变式训练 变 11（解答题） 在 中，角 ，， 所对的边分别为 ，，．已知 ，．（1）求 的值；（2）求 的值；（3）求 的值． ●解析 （1）展开：，即 。由余弦定理 。 （2） 边化角：，由 得 。由 知 为钝角，，故 。 （3） 为钝角，故 为锐角，。，。。 【答案】（1）；（2）；（3） 变 12（解答题） 在 中，角 ，， 所对的边分别为 ，，，已知 ，．（1）求 的值；（2）求 的值；（3）求 的值． ●解析 （1）展开：，即 。由余弦定理 。 （2） 边化角：，由 得 。， 为钝角，，故 。 （3） 为钝角，故 为锐角，。，。。 【答案】（1）；（2）；（3） 变 13（解答题） 在 中，角 ，， 所对的边分别为 ，，．已知 ，，．（1）求 的值；（2）求 的面积；（3）求 的值． ●解析 （1）边化角：，展开：。由 得 ，故 。 （2）由余弦定理：，即 ，解得 （负根舍去）。面积 。 （3）。由 知 为锐角，。，。。 【答案】（1）；（2）；（3） 变 14（解答题） 在 中，角 所对的边分别为 ，且 ．（1）求 的值；（2）已知 ．（i）若 的外接圆半径为 ，，求 的值；（ii）求 的值． ●解析 （1）交叉相乘：，展开：，整理得 ，即 。由余弦定理 。 （2） 边化角：，即 。由 得 ，故 。 （i）。由正弦定理 ，得 。由 得 ，故 。 （ii），故 ，。，。。 【答案】（1）；（2）（i），；（ii） 变 15（解答题） 在 中，角 所对的边分别为 ．已知 ，，．（1）求 的值；（2）求 的值；（3）求 的值． ●解析 （1）由余弦定理：，故 。 （2）。由正弦定理，。由 知 为钝角，故 为锐角，。 （3），。。 【答案】（1）；（2）；（3） 单元四 交汇化简与结构压轴 4.1 识别特征 三角函数与解三角形交汇（  化简后令 定角）；含切化弦（ ）；复合角双解（ ）；含半角降幂（ ）；并列结构（  与 各有值）。 4.2 结论与推导 结论 4.1（f(A)=k 的复合角窗口取支）　 经辅助角化为 型后， 是关于 的复合角方程：先写出复合角的范围（如 给  ），在该窗口内列出取值 的所有解并逐一保留（正弦在窗口内可多解，须按”角为内角”全部枚举后择取）。 推导：复合角把 的范围线性放大，正弦的周期性使窗口内可能多个解；每个候选 都要回到题目其余条件检验。 结论 4.2（化切为弦与射影代换）　：左端通分为 ，去分母后用 约去即得 。压轴中若整理出 组合，直接用射影恒等式换成 ，可跳过余弦定理的展开。 推导：切化弦后分子恰为和角正弦；（及轮换）是恒等式，任何含此组合的条件都可整体替换。 结论 4.3（复合角双解的内角和排除）　：按结论（  两支）展开为 或 ；第二支即 ，与内角和 矛盾（  ），舍去。一般地，凡双解中的一支使某内角越界或为零，立即排除。 推导： 相等两支由诱导公式给定；三角形内角和是常数 ，是排除超界支的硬约束。 结论 4.4（并列结构与半角降幂）　 与 并列：两式相除得 ，；再由正弦定理的变式 作”边比—角比”桥梁。半角结构 降幂后代入余弦定理的 项，化为 的完全平方。 推导：相除消去公共因子 是并列结构的标准动作； 对三个角通用，把”边的平方”与”正弦平方的比”互换；半角降幂后 移项即得 型。 4.3 方法决策表 题面 动作 复合角窗口内全解枚举（结论 4.1） 混合 / 射影组合 化切为弦 / 恒等式整体替换（结论 4.2） 双解 + 内角和排除（结论 4.3） 与 并列 相除得 ； 桥梁（结论 4.4） 例题精讲 例 7（解答题） 已知函数 ．（1）求 的单调递增区间；（2）在 中，，， 的面积为 ，求边 的长． ●解析 （1）。令 （  ），解得 （  ）。单调递增区间为 （  ）。 （2），由 知 ，其间正弦取 的解为 或 （后者越界舍去），故 ，。由 换边得 。面积 ，得 ，联立解得 ，。由余弦定理：，故 。 【答案】（1）（  ）；（2） 例 8（解答题） 在 中，，，．（1）求角 的大小；（2）求 ． ●解析 （1）化切为弦：，去分母（ ，否则左端无意义）：。由 ，得 。由 得 ，故 。 （2）由余弦定理：，。。 【答案】（1）；（2） 变式训练 变 16（解答题） 在 中，角 ，， 所对的边分别为 ，，， 的外接圆半径为 ，且 ，．（1）求 的值；（2）若 的面积为 ，求 的长． ●解析 （1）由正弦定理 、，条件式化为 ，即 ，亦即 ，。两支：，或 （即 ，此时 ，矛盾，舍去）。故 。（  为锐角），。 （2）。。设 ，，（  ）：，得 ，故 。 【答案】（1）；（2） 变 17（解答题） 在 中，内角 ，， 的对边分别为 ，，，已知 ，．（1）求角 及 的值；（2）若 ，求 的面积． ●解析 （1）展开：，即 。由结论 1.1 换边：，读出 ，故 。由 知 为锐角，。。 （2）由正弦定理，。面积 。 【答案】（1），；（2） 变 18（解答题） 记 的内角 ，， 的对边分别为 ，，，已知 ．（1）求角 ；（2）若 ，，求 的面积． ●解析 （1）由余弦定理，，条件式化为 ，即 。由结论 4.2（射影恒等式），，故 。由 得 ，故 。 （2），代入 、：，得 。面积 。 【答案】（1）；（2） 变 19（解答题） 在 中，内角 ，， 的对边分别为 ，，．已知 ，，．（1）求 的值；（2）证明：． ●解析 （1）半角降幂：，条件式化为 ，即 。由余弦定理 ，代入：，即 。代入 ：，由 得 。由正弦定理，。 （2）。由 与 在 上递减，得 。 【答案】（1）；（2）见解析 变 20（解答题） 的内角 、、 的对边分别为 、、，已知 ， 的面积为 ．（1）求角 的大小；（2）若 ，求 的周长． ●解析 （1），即 。又 ，即 。两式相除：，由 得 。 （2）由 得 。由结论 4.4 的桥梁式：，而 ，故 ，。由 得 ，故 ，。周长为 。 【答案】（1）；（2） 学科网（北京）股份有限公司 $ 解三角形之条件化简与求值 高三数学专题复习 · 三角第九讲 0 题型概说 本讲研究的问题：解三角形中条件式化简与基本量求值——题目给出一个边角混合的等式（平方结构、比例式、高次式、复合角值），先把它化简为”某个角的三角函数值”或”某两条边的关系”，再完成求边、求角、求面积、求周长、求 一类复合角值的任务。 与第八讲的分工：第八讲以”定角”为纲，训练正弦定理、余弦定理、射影定理三件翻译工具的选型；本讲以”条件式的形态”为纲——条件是齐次平方结构、比例结构、高次结构还是数值边角，决定了化简的起手式。化简完成后，大量题目呈现三问链结构：（1）定角（或定边），（2）用正弦定理把已知值传到另一个角（边），（3）算 型复合角。三问链的每一步都有固定的书写规范：约去正弦因子要注明其非零，开平方取号要写明角的锐钝依据。 识别信号总览： 题面特征 方法指向 单元 型齐次平方结构； 型比例式 齐次化简直接读角 单元一 已知两边一角或三边，求其余与面积、周长 定形解三角形 单元二 第一问定角、后两问传值算 三问链书写规范 单元三 复合角定角、 双解、 与 并列 交汇化简与结构压轴 单元四 单元一 齐次式与比例式条件的化简 1.1 识别特征 条件式是关于 、、 的齐次式（每一项的”次数”相同）：平方结构如 ；比例式如 ；高次式如 。 1.2 结论与推导 结论 1.1（齐次平方结构直接读角）　形如 的条件：由正弦定理 整体换边，得 ；与余弦定理 对读，得 ，由 定出 。比例式条件（分子分母同为边角一次式）则全部换边后交叉相乘，整理成平方和差。 推导：换边的合法性在于 可整体约去；交叉相乘后凡是 形的组合都与 对读，系数 直接给出余弦值。 结论 1.2（高次式因式分解提公因子）　 型：先用 降次展开，全部化为 与 的多项式，再提公因子 （或  ）——由 约去，余下关于 的一元二次方程，因式分解后按 舍根（如 直接舍）。 推导： 保证约去不丢根； 排除端点值 （其对应的角 不是内角）。 结论 1.3（比例式的交叉相乘）　 型：由正弦定理把分式右端的 全部换成边（  与 之比为常数），得 ，交叉相乘展开为 ，读出 。 推导：（均为  ），故”齐次式中的 与对应小写边可自由互换”；交叉相乘是分式等式的标准去分母，注意 、 均非零。 结论 1.4（定角后的二次定形）　第一问定出角 后，第二问常再给两个条件（如 、 或面积）：把 代入余弦定理，与线性条件联立成 （或  ）的一元二次方程，负根舍去；求周长则把 配凑成 或用面积定出 再代入。 推导：一元二次的两根需用”边长为正”与几何合理性（对应角是否越界）双重检验；配凑 是求周长的固定桥梁。 1.3 方法决策表 题面 动作 齐次结构 换边后与余弦定理对读（结论 1.1） 高次式 降次展开 + 提公因子约去（结论 1.2） 分式比例条件 换边交叉相乘（结论 1.3） 定角后给定值求边/周长 余弦定理联立 + 配凑（结论 1.4） 例题精讲 例 1（解答题） 在 中，内角 ，， 的对边分别为 ，，．已知 ，，．（1）求角 的大小；（2）求 的值；（3）求 的值． ●解析 （1）由正弦定理，条件式右端的 换成对应边（结论 1.3）：，交叉相乘：，展开整理得 。由余弦定理 ，故 。 （2）代入 、 与 ：由 ，得 ，故 ，。 （3），故 。于是 ，。所以 。 例 2（解答题） 在 中，内角 所对的边分别为 ．已知 ．（1）求 的值；（2）若 ， 的面积为 ，求 的周长． ●解析 （1）由结论 1.1，把 换成对应边的平方：。由余弦定理 。由 知 ，故 。 （2），得 。由余弦定理：，得 。周长为 。 变式训练 变 1（解答题） 在 中，角 的对边分别 ，已知 ．（1）求角 的大小；（2）若 ，，求 的面积． 变 2（解答题） 在 中，角 ，， 所对的边分别为 ，，，且 ．（1）求 ；（2）若 ， 的面积为 ，求 的值． 变 3（解答题） 已知 分别为 三个内角 的对边，且 ．（1）求 ；（2）若 ，且 的面积为 ，求 的值． 变 4（解答题） 在 中，内角 ，， 的对边分别为 ，，，且 ．（1）求角 的大小；（2）若 ，且 ，求 的值． 变 5（解答题） 在 中，内角 ，， 所对的边分别为 ，，，且 ．（1）求 的值；（2）若 ， 的面积为 2，求 的周长． 单元二 已知边角解形求值 2.1 识别特征 条件直接给出边角的数值组合：两边及夹角（ ，，）、三边（ ，，）、两边及其中一边的对角（ ，，），或边角的间接组合（  且 、 且 ， ）。设问为求第三边、面积、周长或某角的三角函数值。 2.2 结论与推导 结论 2.1（SAS 与 SSS 的标准流程）　两边夹角：余弦定理一次到位求第三边，再用正弦定理（或余弦定理）求其余角；三边：余弦定理直接给最大角的余弦。三角形面积 选用”已知夹角的两边”组合；与外接圆相关的比值（如三角形面积与外接圆面积之比  ）走 。 推导：SAS 中夹角唯一确定三角形，无解的个数问题；SSS 中最大角的余弦符号定三角形形状，之后锐角开方取正有据。 结论 2.2（SSA 的解数判定）　已知 、 与 ：由 求 ； 时 必为锐角、解唯一； 时 ； 时须检验 的两个可能值是否使 。求出角后第三边用余弦定理（或勾股，若恰为直角）。 推导：大边对大角给出”“这一单向锁定； 相同的两支 与 中，只有与 之和小于 的那支（或两支）合法。 结论 2.3（角比例条件的换边）　 型：直接换为 ，与余弦定理联立成单变量方程；求 时先求出 、 的实际值再走正弦定理，或用 传值。（或其它待开方角）为锐角的依据常是” 故 ，若 非锐角则 亦非锐角，内角和越界”。 推导：正弦定理把角的比例翻译为边的比例；钝角判断的代数依据是内角和约束——一个三角形至多一个非锐角。 结论 2.4（B=2A 型关系条件的处理）　：由正弦定理 ，约去 （注明非零）得 ；代入余弦定理成 的一元二次方程后，两根都要做几何检验（如 会迫使 与已求 矛盾）。复合角化简用内角和： 时 ，故 。 推导：约去 后所得 与余弦定理联立是两条约束的交点；二次方程的每个根对应一个候选三角形，逐一与”已确定的量”对照，矛盾者舍去。 2.3 方法决策表 题面 动作 两边夹角 / 三边 余弦定理直接解形（结论 2.1） 两边一对角 SSA 判数 + 大边对大角锁定（结论 2.2） 的比例条件 换边成一次方程联立（结论 2.3） 角的倍数关系 正弦定理约分 + 双根几何检验（结论 2.4） 例题精讲 例 3（解答题） 在 中，内角 ，， 所对的边分别为 ，，，已知 ，，．（1）求 的值；（2）求 的值；（3）过点 作 ， 在边 上，记 与 的面积分别为 ，，求 的值． ●解析 （1）由余弦定理：，故 。 （2）由正弦定理，。 为钝角，故 为锐角，。于是 ，，所以 。 （3）在 中 （  在 上，共用 处的角）， 故 ，斜边为 ，，，故 ，。设 到直线 的距离为 ，则 。 例 4（解答题） 在 中，角 所对的边分别为 ，已知 ，，．（1）求角 的大小；（2）设 的面积为 ， 外接圆的面积为 ，求 ． ●解析 （1）由余弦定理：，故 。 （2）。由正弦定理 ，故 ，。所以 。 变式训练 变 6（解答题） 在 中，内角 的对边分别为 ，已知 ，，．（1）求角 的大小；（2）求边 的长度和 的面积． 变 7（解答题） 在 中，角 ，， 所对的边分别为 ，，， 且 ，．（1）求 的值；（2）求 的值；（3）求 的值． 变 8（解答题） 在 中，内角 ，， 所对的边分别为 ，，，且 ．（1）求角 的大小；（2）若 ，且 的面积为 ，求 的周长． 变 9（解答题） 在 中，内角 所对的边分别为 ，已知 ，．（1）若 ，求 的面积；（2）若 ．（i）求 和 的值；（ii）求 的值． 变 10（解答题） 在 中，角 ，， 所对的边分别为 ，，，满足 ．（1）求角 的大小；（2）若 ，，求 的周长． 单元三 三问链：定形、传值、复合角 3.1 识别特征 三问结构：（1）由平方结构或数值条件定出某角的余弦（或求出某条边）；（2）给一个比例（ 、、 ）求某个 值；（3）求 、、 型复合角。 3.2 结论与推导 结论 3.1（平方结构的整理顺序）　 型：先展开合并为 的规范形态，再读 。、 同理——把完全平方拆开，全部移项为” 等于某系数乘 “。 推导：展开后同次项合并，等式两端齐次；规范的左端三平方组合与某个角的余弦一一对应。 结论 3.2（传值三式）　第二问的三种标准传值：①边比例 走 ；②交叉结构 边化角后约去 得 ；③ 同理约去得 。传值只用正弦定理，不必解出具体的边。 推导：正弦定理下 ，两边的比等于对应正弦的比；齐次交叉式两边同除以 即化角，公因子非零可约。 结论 3.3（开方取号的书写规范）　第三问必经” 已知求 “或反求：取号前必须写明该角的锐钝依据，常用依据三条——某角已判为钝角（余弦为负）则其余两角均为锐角；大边对大角（  故 ， 已钝则 锐）； 值的符号本身（  且 故 锐）。随后 、，再用和角公式收尾。 推导：开平方的符号由角的象限唯一确定，而内角的”象限”由上述三条代数依据锁定；二倍角公式是和角公式的特例，复合角 展开后逐项代入已求出的四个值。 结论 3.4（等腰判定与二倍复合角）　：边化角得 ，由 得 ，即 。此时 ，，，四倍角问题化归为 的二倍角。 推导：正弦在内角差的范围 内只在 处取零；诱导公式把 的三角函数转移到 ，二倍再翻倍即四倍角。 3.3 方法决策表 题面 动作 完全平方条件 拆开整理为规范三平方组合（结论 3.1） 边比例 / 交叉 结构 三种传值式（结论 3.2） 已知一求其余（开方） 先写锐钝依据再取号（结论 3.3） 型 判等腰（结论 3.4） 例题精讲 例 5（解答题） 在 中，内角 所对的边分别是 ，已知 ．（1）求 的值；（2）若 ，①求 的值；②求 的值． ●解析 （1）展开：，整理得 。由余弦定理 。 （2）①。由 得 （  ）。由正弦定理，。 ②由 知 ，故 ；若 非锐角则 亦非锐角，内角和越界，故 为锐角，。，。所以 。 例 6（解答题） 在 中，角 ，， 所对的边分别为 ，，．已知 ，，．（1）求 的值；（2）求 的面积；（3）求 的值． ●解析 （1），故 为钝角，。由正弦定理，。由 为钝角知 为锐角，故 。 （2）。面积 。 （3），。。 变式训练 变 11（解答题） 在 中，角 ，， 所对的边分别为 ，，．已知 ，．（1）求 的值；（2）求 的值；（3）求 的值． 变 12（解答题） 在 中，角 ，， 所对的边分别为 ，，，已知 ，．（1）求 的值；（2）求 的值；（3）求 的值． 变 13（解答题） 在 中，角 ，， 所对的边分别为 ，，．已知 ，，．（1）求 的值；（2）求 的面积；（3）求 的值． 变 14（解答题） 在 中，角 所对的边分别为 ，且 ．（1）求 的值；（2）已知 ．（i）若 的外接圆半径为 ，，求 的值；（ii）求 的值． 变 15（解答题） 在 中，角 所对的边分别为 ．已知 ，，．（1）求 的值；（2）求 的值；（3）求 的值． 单元四 交汇化简与结构压轴 4.1 识别特征 三角函数与解三角形交汇（  化简后令 定角）；含切化弦（ ）；复合角双解（ ）；含半角降幂（ ）；并列结构（  与 各有值）。 4.2 结论与推导 结论 4.1（f(A)=k 的复合角窗口取支）　 经辅助角化为 型后， 是关于 的复合角方程：先写出复合角的范围（如 给  ），在该窗口内列出取值 的所有解并逐一保留（正弦在窗口内可多解，须按”角为内角”全部枚举后择取）。 推导：复合角把 的范围线性放大，正弦的周期性使窗口内可能多个解；每个候选 都要回到题目其余条件检验。 结论 4.2（化切为弦与射影代换）　：左端通分为 ，去分母后用 约去即得 。压轴中若整理出 组合，直接用射影恒等式换成 ，可跳过余弦定理的展开。 推导：切化弦后分子恰为和角正弦；（及轮换）是恒等式，任何含此组合的条件都可整体替换。 结论 4.3（复合角双解的内角和排除）　：按结论（  两支）展开为 或 ；第二支即 ，与内角和 矛盾（  ），舍去。一般地，凡双解中的一支使某内角越界或为零，立即排除。 推导： 相等两支由诱导公式给定；三角形内角和是常数 ，是排除超界支的硬约束。 结论 4.4（并列结构与半角降幂）　 与 并列：两式相除得 ，；再由正弦定理的变式 作”边比—角比”桥梁。半角结构 降幂后代入余弦定理的 项，化为 的完全平方。 推导：相除消去公共因子 是并列结构的标准动作； 对三个角通用，把”边的平方”与”正弦平方的比”互换；半角降幂后 移项即得 型。 4.3 方法决策表 题面 动作 复合角窗口内全解枚举（结论 4.1） 混合 / 射影组合 化切为弦 / 恒等式整体替换（结论 4.2） 双解 + 内角和排除（结论 4.3） 与 并列 相除得 ； 桥梁（结论 4.4） 例题精讲 例 7（解答题） 已知函数 ．（1）求 的单调递增区间；（2）在 中，，， 的面积为 ，求边 的长． ●解析 （1）。令 （  ），解得 （  ）。单调递增区间为 （  ）。 （2），由 知 ，其间正弦取 的解为 或 （后者越界舍去），故 ，。由 换边得 。面积 ，得 ，联立解得 ，。由余弦定理：，故 。 例 8（解答题） 在 中，，，．（1）求角 的大小；（2）求 ． ●解析 （1）化切为弦：，去分母（ ，否则左端无意义）：。由 ，得 。由 得 ，故 。 （2）由余弦定理：，。。 变式训练 变 16（解答题） 在 中，角 ，， 所对的边分别为 ，，， 的外接圆半径为 ，且 ，．（1）求 的值；（2）若 的面积为 ，求 的长． 变 17（解答题） 在 中，内角 ，， 的对边分别为 ，，，已知 ，．（1）求角 及 的值；（2）若 ，求 的面积． 变 18（解答题） 记 的内角 ，， 的对边分别为 ，，，已知 ．（1）求角 ；（2）若 ，，求 的面积． 变 19（解答题） 在 中，内角 ，， 的对边分别为 ，，．已知 ，，．（1）求 的值；（2）证明：． 变 20（解答题） 的内角 、、 的对边分别为 、、，已知 ， 的面积为 ．（1）求角 的大小；（2）若 ，求 的周长． 学科网（北京）股份有限公司 $