10 第51讲 圆锥曲线热点问题 第1课时 求值、最值与范围、证明问题专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦圆锥曲线求值、最值与范围、证明问题，以典型例题为载体，系统提炼设而不求、韦达定理应用等核心方法，构建“定义-方程-位置关系-几何量”的知识逻辑链，发展运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |圆锥曲线综合|4道|设而不求、韦达定理、参数法求最值、对称性应用|从定义（焦点/准线）到方程求解，通过直线与曲线联立（判别式/韦达定理）实现几何量（斜率/面积/距离）的计算与证明，培养模型观念与应用意识|

第51讲　圆锥曲线热点问题 第1课时　求值、最值与范围、证明问题 (时间:45分钟) 1.已知抛物线Γ:y2=2px(p>0)的焦点F到准线l的距离为2,点D(p,0),过F的直线交Γ于A,B两点,过A,B分别作l的垂线,垂足分别为A1,B1,直线A1D,B1D与直线AB分别交于点M,N. (1)求Γ的方程; (2)记M,N的纵坐标分别为yM,yN,当+=1时,求直线AB的斜率. 2.已知椭圆E:+=1(a>b>0)的一个顶点为A(,0),离心率为. (1)求椭圆E的方程; (2)不经过点A的直线l与椭圆E交于不同的两点B,C,且AB⊥AC,记△BOC,△BAC的面积分别为S1,S2(其中O为坐标原点),求的值. 3.[2026·辽宁五校期末] 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,过坐标原点O和点P(a,b)的直线与椭圆C交于A,B两点,且|AB|=. (1)求椭圆C的方程; (2)直线l与C交于M,N两点(M,N在x轴的同侧),F1,F2分别是椭圆C的左、右焦点,当F1M∥F2N时,求四边形F1F2NM面积的最大值. 4.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,且抛物线C经过点M(1,),直线l与抛物线交于A,B两点,O为坐标原点. (1)求拋物线C的标准方程; (2)若直线l过定点(4,0),求△AOB面积的取值范围; (3)若=2,求直线l的方程. 1.解:(1)由焦点F到准线l的距离为2,可得p=2,则Γ的方程为y2=4x. (2)由(1)知F(1,0),l:x=-1,当直线AB的斜率为0时,显然不符合题意,则设直线AB的方程为x=my+1,其斜率为.将直线AB的方程与抛物线方程联立,消去x得y2-4my-4=0,Δ=16m2+16>0,由根与系数的关系得y1+y2=4m,y1y2=-4,设A(x1,y1),B(x2,y2),则A1(-1,y1),B1(-1,y2),又D(2,0),所以=-,=-,从而直线A1D的方程为x=-y+2,直线B1D的方程为x=-y+2, 将两直线方程分别与直线AB的方程联立,得my+1=-y+2,my+1=-y+2,则yM=,yN=, 从而+=2m+3=2m+=2m-3m=-m=1,解得m=-1,故直线AB的斜率为-1. 2.解:(1)由题意知a=,=,故c=1,所以b=1,故椭圆E的方程为+y2=1. (2)由题意知直线AB的斜率存在且不为零,设其斜率为k1,则AB的方程为y=k1(x-),由消去y可得(1+2)x2-4x+4-2=0,故xB=,故xB=,yB=.设AC的斜率为k2,同理可得xC=,yC=.由题意知BC与x轴不平行,故设BC的方程为x=ty+m,所以k1,k2是方程=t×+m的两个根,整理得(2-2m)k2+2tk--m=0,又k1k2=-1,所以=1,故m=,所以直线BC恒过定点Q,又|OQ|=,|AQ|=,所以=,=,所以=,即=. 3.解:(1)由椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,得e==,则a=2b,椭圆的方程可化为x2+4y2=4b2,直线OP的斜率k==,则直线OP的方程为y=x,由椭圆的对称性,不妨设点A(x0,y0),x0>0,y0>0,由解得因此|AB|=2|OA|=2=b= ,解得b=1,故a=2,所以椭圆C的方程为+y2=1. (2)如图,延长MF1交C于点M0,由(1)知F1(-,0),F2(,0),设M(x1,y1),M0(x2,y2),MF1的方程为x=my-, 由消去x得(m2+4)y2-2my-1=0, 则 设F1M与F2N之间的距离为d,四边形F1F2NM的面积为S, 由MF1∥NF2及椭圆的对称性知,点N与点M0关于原点对称,则S=(|F1M|+|F2N|)d=(|F1M|+|F1M0|)d=|MM0|d=,连接MF2又=|F1F2|·==≤2,当且仅当=,即m=±时,等号成立,所以四边形F1F2NM面积的最大值为2. 4.解:(1)因为抛物线C经过点M(1,),所以2=2p×1,解得p=1,所以抛物线C的标准方程为y2=2x. (2)依题意,直线l与抛物线有2个交点A,B,所以直线l的斜率不为0,设直线l的方程为x=ty+4,由整理得y2-2ty-8=0,由Δ>0,得t∈R,设A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2=2t,y1y2=-8.所以S△AOB=×4×|y1-y2|=2=2≥8,当且仅当t=0时,等号成立, 故△AOB面积的取值范围是[8,+∞). (3)由题意得抛物线的焦点为F.由=2,可知直线l过焦点F且斜率不为0,设直线l的方程为x=ty+, 由得y2-2ty-1=0,Δ=4t2+4>0, 于是y1+y2=2t,y1y2=-1. 由=2可知,-y1=2y2,代入上式可得y1=4t,y2=-2t,所以y1y2=-8t2=-1,解得t=±, 所以直线l的方程为4x-y-2=0或4x+y-2=0. 学科网（北京）股份有限公司 $