第8讲 解三角形之定理选型与边角互化专项训练-2027届高三数学一轮复习

解三角形之定理选型与边角互化 高三数学专题复习 · 三角第八讲 0 题型概说 本讲研究的问题：解三角形中定理的选型与边角互化——正弦定理、余弦定理、射影定理三条路线把”边”与”角”两种语言互相翻译；条件式给出边角混合的等式（如 、、 ），要求定出某个角或某条边，进而完成求面积、求周长、判断形状等后续任务。 解题的总原则：统一语言——把条件式中的边角混合结构全部化为角（正弦定理边化角）或全部化为边（余弦定理角化边），两种语言的翻译工具只有三件：正弦定理 、余弦定理 、射影形式 。翻译之后，条件式往往塌缩为”某角的三角函数值”型方程，用内角范围 与三角形约束定出唯一解。 识别信号总览： 题面特征 方法指向 单元 、 型对称结构； 与 、 的线性组合 射影定理与边化角 单元一 、 型交叉结构；已知两边与一边对角求其余 正弦定理互化与解的个数 单元二 、、面积 与平方和混合 降幂与平方结构翻译 单元三 证明等腰、等边、直角、锐角； 型双解取舍 形状判断与综合压轴 单元四 单元一 射影定理与第一类边角互化 1.1 识别特征 条件式含 、、 的对称结构，或含 、 与 、、 的线性组合（如 、 ）；设问常为”求某角”并把角作为后续求面积、求周长的台阶。 1.2 结论与推导 结论 1.1（射影定理）　在 中恒有 ，，。反之，条件式中出现 即可整体替换为 （另两式同理）。 推导：（  为 垂足）投影计算，或代数推导：。 结论 1.2（边化角的标准流程）　条件式两边同除以 把边换成对角的正弦（ 、、 ），再反复使用 （及轮换）展开合并；合并后常出现”两边同含 （或  ）“的形状，此时用内角正弦非零约去公因子，得到该角三角函数的方程，由 定出唯一角。 推导：、、 故 、、，约分合法； 由内角和与诱导公式。 结论 1.3（角化边的标准流程）　把条件式中的 、、 全部用余弦定理替换（如  ），通分整理后化为 、、 的齐次多项式；若能整理为 型，则直接读出 。 推导：余弦定理的三种等价写法 、、 可互相代换；齐次多项式方程与角方程一一对应。 结论 1.4（定角后的基本量路径）　定出角 后，求面积、周长的常用链条：面积 ；周长问题把余弦定理配凑为 或用均值不等式 从 中卡出 （或  ）的上界；“已知 与 求 的界”是固定套路。 推导： 型（  ）中 给出 ；等号在 时成立，且此时三角形存在，故上界可达。 1.3 方法决策表 题面 动作 整体出现 射影定理直接换成 （结论 1.1） 与 、 的线性组合 边化角展开合并（结论 1.2） 带系数、齐次结构 角化边整理（结论 1.3） 定角后求面积/周长最值 基本量链条 + 均值不等式（结论 1.4） 例题精讲 例 1（解答题） 在 中，内角 ，， 所对的边分别为 ，，．已知 ．（1）求 ；（2）若 ，，求 的面积． ●解析 （1）由结论 1.1（射影定理），，条件式化为 。由 ，解得 。 （2），故 。由正弦定理，。又 ，故 。所以 。 例 2（解答题） 在 中，角 的对边分别为 ．已知 ，，．（1）求角 的大小；（2）求 的值；（3）求 的值． ●解析 （1）路线一（角化边，结论 1.3）：把 代入 ，得 ，整理得 。于是 ，又 ，所以 。 （2）由正弦定理 得 ，故 。由（1）中 ，得 ，故 。 （3）由 得 。由（2）知 ，故 为锐角，。于是 ，。由 得 ，所以 。 变式训练 变 1（多项选择题） 在 中，内角 的对边分别为 ，，且 ，则下列结论正确的是（  ） A．　　B． 外接圆的面积为 　　C． 面积的最大值为 　　D． 周长的最大值为 变 2（解答题） 在 中，角 ，， 的对边分别为 ，，，且 ．（1）求 ；（2）若 ，求 ． 变 3（解答题） 在 中，内角 ，， 所对的边分别为 ，，，且 ．（1）求角 的大小；（2）若 ，求 面积的最大值． 变 4（解答题） 已知 的角 的对边分别为 ，满足 ．（1）求角 ；（2）若 ， 的面积为 1，求 的周长． 变 5（解答题） 在 中，内角 的对边分别为 ，，．（1）求 ；（2）若 ，求 的面积． 单元二 正弦定理互化与锐角窗口 2.1 识别特征 条件式含 、 型交叉结构（如 、 ）；或已知外接圆半径 （  参与运算）；或”两边一对角”解三角形；设问中出现”锐角三角形”与 、 的取值范围。 2.2 结论与推导 结论 2.1（asinB=bsinA 型的约去）　条件式化为 、 的线性组合后，若各项均含公因子 （或  ），用内角正弦非零约去，余下的是单角三角方程（如  ），由 与符号定出唯一角。 推导： 对 恒成立，约分不丢解； 在 内只有 一解（正切在 除去 后两段各单调）。 结论 2.2（钝角定号）　条件式给出某角为钝角（如 得  ）后，其余两角必为锐角——此时 开方取正必须写明依据（ “ 为钝角，故 为锐角” ），不得直接开方。 推导：三角形内角和为 ，一钝角排除另两角取钝或直的可能。 结论 2.3（SSA 解的判定）　已知 、 与角 （  为锐角）： 时无解； 时一解（直角）； 时两解（  的两值 与 均合法）； 时一解。 为钝角或直角时仅 有唯一解。解方程出现的一元二次（如  ）负根直接舍去。 推导： 在 上对应的角 可能一个或两个； 的取值还须满足 ，逐一检验。 结论 2.4（锐角三角形的窗口）　“ 为锐角三角形”等价于三个角同时属于 。当条件式已给出角的关系（如 、 ）时，窗口是关于一个角的三联不等式，如 时 解得 ；所求比值 换成单角函数后在窗口上单调，端点值即范围（开区间）。 推导：锐角约束的本质是”最大角小于 “，把每个角用关系式化成同一角的函数逐个限制； 在窗口上递减，范围取开区间（端点为直角三角形，被”锐角”排除）。 2.3 方法决策表 题面 动作 、 交叉且可提公因子 约去正弦因子，解单角方程（结论 2.1） 已解出钝角，继续求余弦 先声明其余角为锐角再开方（结论 2.2） 两边一对角 SSA 判解表逐一检验（结论 2.3） 锐角三角形 + 求比值范围 角关系代入 + 三联窗口 + 单调性（结论 2.4） 例题精讲 例 3（解答题） 已知 的内角 、、 的对边分别为 、、，满足 ．（1）求 ；（2）设点 为 上一点， 是 的角平分线，且 、，求 的长度． ●解析 （1）由正弦定理边化角：，即 。由 知 ，约去得 ，即 。由 ，得 。 （2）由（1），。由结论 4.3 的面积分裂：，即 。代入 、：，即 ，故 。 例 4（解答题） 在 中，内角 ，， 所对的边分别为 ，，，已知 ，，．（1）求 的值；（2）求 的面积；（3）求 的值． ●解析 （1）由正弦定理边化角：，即 。由 知 ，约去得 ，即 ，故 。 （2）由余弦定理 ：，即 ，解得 或 （舍去）。所以 。 （3）由正弦定理，。由结论 2.2， 为钝角，故 为锐角，。于是 ，。所以 。 变式训练 变 6（多项选择题） 在 中，角 的对边分别为 ， 外接圆的半径为 2，且 ，则下列结论正确的是（  ） A．　　B．　　C． 面积的最大值为 　　D．若 ，角 的平分线交 于点 ，则 变 7（解答题） 在 中，内角 、、 的对边分别是 、、，且 ．（1）若 ，，求 ；（2）若 为锐角三角形，求 的取值范围． 变 8（解答题） 的内角 ，， 的对边分别为 ，，，且 ．（1）若 ，，求 ；（2）若 为锐角三角形，求 的取值范围． 变 9（填空题） 在锐角 中，，， 分别为内角 ，， 的对边，且 ，则 的取值范围是________． 变 10（单项选择题） 已知锐角 的内角 ，， 所对的边分别为 ，，，且 ，则 的取值范围是（  ） A．　　B．　　C．　　D． 单元三 余弦定理与平方结构 3.1 识别特征 条件式含 、、（二倍角）；或含 型平方组合；或把面积 写成 的倍数（如 、 ）；设问可能带”从条件①②③中选择一个使三角形存在”的结构选择。 3.2 结论与推导 结论 3.1（二倍角降幂翻译）　：条件式中的 全部降幂后，式子化为 、、（或 乘积）的关系；用 对应 整体换成边的平方（  约去），即得边的平方方程；反之也可读出 值。 推导：正弦定理 两边平方：，故 的齐次关系式与 的齐次关系式等价（差常数因子  ）。 结论 3.2（面积条件的翻译）　面积 出现在非”求面积”的位置时，代入 （选含已知角的式）： 型化为 ，约去 得 的方程（如 给 ， 给  ）。 推导：、 可约去； 在 内除去 后单调，结合正负号定唯一角。 结论 3.3（平方和结构的对称利用）　 型对称关系在后续问题中整体代换：求 时把 代入 得 ，把”边之比”参数化后再用其余条件（如  ）列方程，借辅助角 定角，并用 在 内的取值唯一性排除增根。 推导：对称结构使三个角地位对等，参数 把两条约束（余弦定理 + 比例条件）合成关于 与 的方程组；辅助角合并后用正弦值 的唯一取得点定角，另一解由范围舍去。 结论 3.4（结构选择的存在性判断）　“从条件①②③中选一个使三角形存在”：逐个条件独立检验——先由已定角（或已定关系）写出其余角的三角值，再验证新条件与已知是否相容（如 因 推出 ，矛盾即”不存在”）；相容时完整解出并如实列出全部解（可能两组，如 或 ，此时两组均需写出）。 推导：存在性 = 条件联立后方程组有属于几何允许范围的解； 值域 （内角）是最常用的矛盾判据；边角互换后 与 的大小对应 与 的大小（大边对大角），两组解是否都合法需逐一回到原条件检验。 3.3 方法决策表 题面 动作 出现 降幂为 或 （结论 3.1） 齐次关系 整体换 、、（结论 3.1） 与平方和混合 代入约分（结论 3.2） 对称平方关系 + 比例条件 参数化边比 + 辅助角定角（结论 3.3） 三选一结构条件 逐个验存在性，双解如实列（结论 3.4） 例题精讲 例 5（解答题） 记 的内角 ，， 的对边分别是 ，，，已知 ．（1）证明：；（2）若 ，求 ． ●解析 （1）由结论 3.1 降幂：、、，代入条件式：，整理得 。由正弦定理 ，两边平方后整体替换（  约去），即得 。 （2）由（1），，代入 ：。由 得 ，代入：，两边乘 ：，即 ，整理得 ，即 。由 得 ，其间正弦取 仅在 处，解得 。 例 6（解答题） 在 中，角 所对的边分别为 ，，．（1）求 ；（2）若 ，求 的面积． ●解析 （1）由余弦定理推论，；代入 得 ，故 。于是 ，且 （因  ），故 ，其间 仅在 处取得，所以 。 （2）。，。由正弦定理，。所以 。 变式训练 变 11（解答题） 在 中，角 ，， 的对边分别为 ，，，已知 ．（1）求 ；（2）若 ，求 周长的最大值． 变 12（解答题） 在 中，角 ，， 的对边分别为 ，，，已知 ，．（1）求角 的大小；（2）若 ，（i）求 的值；（ii）求 ． 变 13（解答题） 已知 的内角 、、 所对的边分别为 、、，记 的面积为 ，且 ．（1）求 的大小；（2）若 ，求 外接圆直径 的长． 变 14（解答题） 在 中，角 ，， 所对的边分别为 ，，．已知 的面积 ，，．（1）求 的值；（2）求 和 的值；（3）求 的值． 变 15（解答题） 记 的内角 ，， 的对边分别为 ，，．已知 ．（1）求 的值；（2）若 的面积为 ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得 存在，并求边长 的值．条件①：；条件②：；条件③：．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 单元四 形状判断与综合压轴 4.1 识别特征 设问为”证明 为等腰/等边/直角/锐角三角形”，或”判断形状并说明理由”；条件式常化成 、 型双正弦方程；压轴题把定角、面积分裂（  ）与基本不等式链组合。 4.2 结论与推导 结论 4.1（sin x = sin y 的双解取舍）　在 内， 给出 或 ； 给出 或 （后者即 ，舍）。取舍依据：题目附加条件（如 直接排除一支）、内角范围（每支解出的角必须都在 且内角和为  ）、几何合理性（解出 立即矛盾）。 推导： 或 ；三角形内角把 钉死为 ，剩两支；每支代入内角和检验，矛盾支舍去，题目条件再排一支后唯一。 结论 4.2（形状的判定句式）　等腰：证出两角相等（  ）或两边相等；等边：等腰基础上再证一角为 （或三边成比例且夹角定值）；直角：证出某角为 （常用 值为 或勾股反向）；锐角：三个角都属于 （常转化为最大角的余弦为正，或把三联窗口写出）。 推导：形状判定就是把”形状”翻译为”角（或边）的等式或不等式组”；等边的两条路线（三角相等 / 三边相等）在证明时择一走通即可，常由 的等号条件（均值不等式取等）反推 。 结论 4.3（面积分裂与均值链）　角平分线、中线上动点类压轴：用 把含 的条件翻译为 、 的方程（如角平分线 分裂给出 ，约简得 与 的关系）；再串基本不等式 、 逐层放缩，目标式化为 型后用 收口；每个等号须回到 、（或  ）的具体取值并验证与已定角相容。 推导：面积分裂是”线段条件化边关系”的桥；多条件多次放缩时，各次取等点必须同时成立才可达到，逐条列出等号条件并联立检验（如 且 与 相容）。 4.3 方法决策表 题面 动作 型方程 双解分支 + 内角和检验取舍（结论 4.1） 证明等腰/等边/直角/锐角 翻译为角（或边）等式与不等式组（结论 4.2） 平分线/中线动点条件 面积分裂翻译为边关系（结论 4.3） 压轴最值 均值链逐层放缩 + 等号相容性检验（结论 4.3） 例题精讲 例 7（解答题） 记 的内角 的对边分别是 ，已知 ，．（1）证明： 为等腰三角形；（2）若 边上的高为 ，且 ，求 的周长． ●解析 （1）边化角：，展开得 ，即 。由结论 4.1： 或 。题设 排除第一支，故 ，于是 ，即 ， 为等腰三角形。 （2）由（1），，。由 ：，即 ，，由 得 ，。 边上的高是 到直线 的距离，即 （  与 的夹角为  ）。故 ，得 。又 ，由正弦定理 。周长为 。 例 8（解答题） 在 中，角 的对边分别为 ，满足 ，点 是 上的一动点，且 ．（1）求角 的大小；（2）若 为 边上的高，且 ，求 的面积；（3）若 为 的角平分线，求 的最小值． ●解析 （1）边化角：。由 ，代入得 ，即 。由 得 ，故 。 （2） 为高时，；又 ，故 ，即 。结合 得 。由余弦定理：；又 ，故 ，即 ，解得 （负根舍去）。面积 。 （3） 为角平分线时，由面积分裂（结论 4.3）：，约去 得 。由 得 ，故 ，等号当 时成立。由 、：。由 ：原式 。取等需 且 ：此时 ，验证 相容，等号可达。故最小值为 。 变式训练 变 16（解答题） 在 中，已知 ，．（1）证明： 为锐角三角形；（2）若 的周长为 10，求 的面积． 变 17（解答题） 已知在 中，，．（1）判断 的形状，并说明理由；（2）若点 在 边上，且 ，，求 的面积． 变 18（解答题） 在 中，内角 ，， 的对边分别为 ，，，，．（1）求 ；（2）若 为边 上一点，，，判断 的形状，并说明理由． 变 19（解答题） 在 中，内角 ，， 所对的边分别为 ，，，且 ．（1）证明：；（2）若 的面积为 ，证明 为等边三角形． 变 20（解答题） 记 内角 ，， 的对边分别为 ，，，已知 ．（1）求 ；（2）若 ，求 边上的高的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 解三角形之定理选型与边角互化 高三数学专题复习 · 三角第八讲 0 题型概说 本讲研究的问题：解三角形中定理的选型与边角互化——正弦定理、余弦定理、射影定理三条路线把”边”与”角”两种语言互相翻译；条件式给出边角混合的等式（如 、、 ），要求定出某个角或某条边，进而完成求面积、求周长、判断形状等后续任务。 解题的总原则：统一语言——把条件式中的边角混合结构全部化为角（正弦定理边化角）或全部化为边（余弦定理角化边），两种语言的翻译工具只有三件：正弦定理 、余弦定理 、射影形式 。翻译之后，条件式往往塌缩为”某角的三角函数值”型方程，用内角范围 与三角形约束定出唯一解。 识别信号总览： 题面特征 方法指向 单元 、 型对称结构； 与 、 的线性组合 射影定理与边化角 单元一 、 型交叉结构；已知两边与一边对角求其余 正弦定理互化与解的个数 单元二 、、面积 与平方和混合 降幂与平方结构翻译 单元三 证明等腰、等边、直角、锐角； 型双解取舍 形状判断与综合压轴 单元四 单元一 射影定理与第一类边角互化 1.1 识别特征 条件式含 、、 的对称结构，或含 、 与 、、 的线性组合（如 、 ）；设问常为”求某角”并把角作为后续求面积、求周长的台阶。 1.2 结论与推导 结论 1.1（射影定理）　在 中恒有 ，，。反之，条件式中出现 即可整体替换为 （另两式同理）。 推导：（  为 垂足）投影计算，或代数推导：。 结论 1.2（边化角的标准流程）　条件式两边同除以 把边换成对角的正弦（ 、、 ），再反复使用 （及轮换）展开合并；合并后常出现”两边同含 （或  ）“的形状，此时用内角正弦非零约去公因子，得到该角三角函数的方程，由 定出唯一角。 推导：、、 故 、、，约分合法； 由内角和与诱导公式。 结论 1.3（角化边的标准流程）　把条件式中的 、、 全部用余弦定理替换（如  ），通分整理后化为 、、 的齐次多项式；若能整理为 型，则直接读出 。 推导：余弦定理的三种等价写法 、、 可互相代换；齐次多项式方程与角方程一一对应。 结论 1.4（定角后的基本量路径）　定出角 后，求面积、周长的常用链条：面积 ；周长问题把余弦定理配凑为 或用均值不等式 从 中卡出 （或  ）的上界；“已知 与 求 的界”是固定套路。 推导： 型（  ）中 给出 ；等号在 时成立，且此时三角形存在，故上界可达。 1.3 方法决策表 题面 动作 整体出现 射影定理直接换成 （结论 1.1） 与 、 的线性组合 边化角展开合并（结论 1.2） 带系数、齐次结构 角化边整理（结论 1.3） 定角后求面积/周长最值 基本量链条 + 均值不等式（结论 1.4） 例题精讲 例 1（解答题） 在 中，内角 ，， 所对的边分别为 ，，．已知 ．（1）求 ；（2）若 ，，求 的面积． ●解析 （1）由结论 1.1（射影定理），，条件式化为 。由 ，解得 。 （2），故 。由正弦定理，。又 ，故 。所以 。 【答案】（1）；（2） 例 2（解答题） 在 中，角 的对边分别为 ．已知 ，，．（1）求角 的大小；（2）求 的值；（3）求 的值． ●解析 （1）路线一（角化边，结论 1.3）：把 代入 ，得 ，整理得 。于是 ，又 ，所以 。 （2）由正弦定理 得 ，故 。由（1）中 ，得 ，故 。 （3）由 得 。由（2）知 ，故 为锐角，。于是 ，。由 得 ，所以 。 【答案】（1）；（2）；（3） 变式训练 变 1（多项选择题） 在 中，内角 的对边分别为 ，，且 ，则下列结论正确的是（  ） A．　　B． 外接圆的面积为 　　C． 面积的最大值为 　　D． 周长的最大值为 ●解析 A 项：由余弦定理把 代入 ，得 ，整理得 ，于是 ，故 ，A 错误。 B 项：外接圆半径 ，外接圆面积为 ，B 正确。 C 项：由 得 ；又 ，故 ，即 ，等号当 时成立。面积最大值为 ，C 正确。 D 项：，且 ，故 ，解得 ，即 ，等号当 时成立。周长最大值为 ，D 正确。 【答案】BCD 变 2（解答题） 在 中，角 ，， 的对边分别为 ，，，且 ．（1）求 ；（2）若 ，求 ． ●解析 （1）由结论 1.1，，条件式化为 。由 得 ，又 ，所以 。 （2）由余弦定理 ，得 。代入 ：，即 ，由 得 ，即 。由正弦定理，，故 。又由（1）与结论 1.2 的展开，，故 。所以 。 【答案】（1）；（2） 变 3（解答题） 在 中，内角 ，， 所对的边分别为 ，，，且 ．（1）求角 的大小；（2）若 ，求 面积的最大值． ●解析 （1）由正弦定理边化角：。由结论 1.2，，代入得 ，即 。由 知 ，约去得 ，故 。 （2），：由余弦定理 ，得 ，即 。由 得 ，即 ，等号当 时成立（此时 ，三角形存在）。面积 。 【答案】（1）；（2）最大值为 变 4（解答题） 已知 的角 的对边分别为 ，满足 ．（1）求角 ；（2）若 ， 的面积为 1，求 的周长． ●解析 （1）边化角：。由结论 1.2，，代入得 。由 约去，得 ，即 ，故 。 （2）面积为 1：，得 。由余弦定理（  ）：。代入 、：，故 。周长为 。 【答案】（1）；（2） 变 5（解答题） 在 中，内角 的对边分别为 ，，．（1）求 ；（2）若 ，求 的面积． ●解析 （1）由结论 1.1，，条件式化为 。由 得 ，故 。代入 ：。由 知 ，其中 对应 或 ，而 时 ，舍去，故 。 （2），。由正弦定理，。所以 。 【答案】（1）；（2） 单元二 正弦定理互化与锐角窗口 2.1 识别特征 条件式含 、 型交叉结构（如 、 ）；或已知外接圆半径 （  参与运算）；或”两边一对角”解三角形；设问中出现”锐角三角形”与 、 的取值范围。 2.2 结论与推导 结论 2.1（asinB=bsinA 型的约去）　条件式化为 、 的线性组合后，若各项均含公因子 （或  ），用内角正弦非零约去，余下的是单角三角方程（如  ），由 与符号定出唯一角。 推导： 对 恒成立，约分不丢解； 在 内只有 一解（正切在 除去 后两段各单调）。 结论 2.2（钝角定号）　条件式给出某角为钝角（如 得  ）后，其余两角必为锐角——此时 开方取正必须写明依据（ “ 为钝角，故 为锐角” ），不得直接开方。 推导：三角形内角和为 ，一钝角排除另两角取钝或直的可能。 结论 2.3（SSA 解的判定）　已知 、 与角 （  为锐角）： 时无解； 时一解（直角）； 时两解（  的两值 与 均合法）； 时一解。 为钝角或直角时仅 有唯一解。解方程出现的一元二次（如  ）负根直接舍去。 推导： 在 上对应的角 可能一个或两个； 的取值还须满足 ，逐一检验。 结论 2.4（锐角三角形的窗口）　“ 为锐角三角形”等价于三个角同时属于 。当条件式已给出角的关系（如 、 ）时，窗口是关于一个角的三联不等式，如 时 解得 ；所求比值 换成单角函数后在窗口上单调，端点值即范围（开区间）。 推导：锐角约束的本质是”最大角小于 “，把每个角用关系式化成同一角的函数逐个限制； 在窗口上递减，范围取开区间（端点为直角三角形，被”锐角”排除）。 2.3 方法决策表 题面 动作 、 交叉且可提公因子 约去正弦因子，解单角方程（结论 2.1） 已解出钝角，继续求余弦 先声明其余角为锐角再开方（结论 2.2） 两边一对角 SSA 判解表逐一检验（结论 2.3） 锐角三角形 + 求比值范围 角关系代入 + 三联窗口 + 单调性（结论 2.4） 例题精讲 例 3（解答题） 已知 的内角 、、 的对边分别为 、、，满足 ．（1）求 ；（2）设点 为 上一点， 是 的角平分线，且 、，求 的长度． ●解析 （1）由正弦定理边化角：，即 。由 知 ，约去得 ，即 。由 ，得 。 （2）由（1），。由结论 4.3 的面积分裂：，即 。代入 、：，即 ，故 。 【答案】（1）；（2） 例 4（解答题） 在 中，内角 ，， 所对的边分别为 ，，，已知 ，，．（1）求 的值；（2）求 的面积；（3）求 的值． ●解析 （1）由正弦定理边化角：，即 。由 知 ，约去得 ，即 ，故 。 （2）由余弦定理 ：，即 ，解得 或 （舍去）。所以 。 （3）由正弦定理，。由结论 2.2， 为钝角，故 为锐角，。于是 ，。所以 。 【答案】（1）；（2）；（3） 变式训练 变 6（多项选择题） 在 中，角 的对边分别为 ， 外接圆的半径为 2，且 ，则下列结论正确的是（  ） A．　　B．　　C． 面积的最大值为 　　D．若 ，角 的平分线交 于点 ，则 ●解析 A 项：由结论 1.1 与正弦定理，，左边为 ，故 。由 得 ，，故 ，A 正确。 B 项：，B 正确。 C 项：，故 ；由 得 ，即 ，等号当 时成立。面积最大值 ，C 正确。 D 项：由 与 ：，得 ，进而 ，，解得 ，。面积分裂：，即 ，得 ，，D 正确。 【答案】ABCD 变 7（解答题） 在 中，内角 、、 的对边分别是 、、，且 ．（1）若 ，，求 ；（2）若 为锐角三角形，求 的取值范围． ●解析 （1）边化角：。由结论 1.2，，代入得 ，即 。由结论 4.1， 或 ；后者给出 ，矛盾，故 。于是 ，。由正弦定理，。 （2）由（1），则 。锐角三角形要求 ，解得 （结论 2.4 的窗口）。于是 ，而 在 上递减，故 。 【答案】（1）；（2） 变 8（解答题） 的内角 ，， 的对边分别为 ，，，且 ．（1）若 ，，求 ；（2）若 为锐角三角形，求 的取值范围． ●解析 （1）由余弦定理：。代入 、：，得 ，故 。 （2）边化角：。由 ，代入得 ，整理得 。由结论 4.1： 即 ，或 即 （舍去），故 。锐角窗口：，解得 。由正弦定理，。令 ，则 ； 与 在该区间上都递增，故 递增， 相应递减，故 。 【答案】（1）；（2） 变 9（填空题） 在锐角 中，，， 分别为内角 ，， 的对边，且 ，则 的取值范围是________． ●解析 边化角：。由 ，代入得 。锐角三角形中 、 且 （否则  ），故由结论 4.1 得 ，即 ，。窗口： 且 ，解得 。于是 ；令 ， 递减，故 。 【答案】 变 10（单项选择题） 已知锐角 的内角 ，， 所对的边分别为 ，，，且 ，则 的取值范围是（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 由结论 1.1（  ），，条件式化为 ，即 。边化角：，且锐角三角形中 。锐角窗口：，代入 得 ； 得 。故 。令 ，则 递减，故 。 【答案】B 单元三 余弦定理与平方结构 3.1 识别特征 条件式含 、、（二倍角）；或含 型平方组合；或把面积 写成 的倍数（如 、 ）；设问可能带”从条件①②③中选择一个使三角形存在”的结构选择。 3.2 结论与推导 结论 3.1（二倍角降幂翻译）　：条件式中的 全部降幂后，式子化为 、、（或 乘积）的关系；用 对应 整体换成边的平方（  约去），即得边的平方方程；反之也可读出 值。 推导：正弦定理 两边平方：，故 的齐次关系式与 的齐次关系式等价（差常数因子  ）。 结论 3.2（面积条件的翻译）　面积 出现在非”求面积”的位置时，代入 （选含已知角的式）： 型化为 ，约去 得 的方程（如 给 ， 给  ）。 推导：、 可约去； 在 内除去 后单调，结合正负号定唯一角。 结论 3.3（平方和结构的对称利用）　 型对称关系在后续问题中整体代换：求 时把 代入 得 ，把”边之比”参数化后再用其余条件（如  ）列方程，借辅助角 定角，并用 在 内的取值唯一性排除增根。 推导：对称结构使三个角地位对等，参数 把两条约束（余弦定理 + 比例条件）合成关于 与 的方程组；辅助角合并后用正弦值 的唯一取得点定角，另一解由范围舍去。 结论 3.4（结构选择的存在性判断）　“从条件①②③中选一个使三角形存在”：逐个条件独立检验——先由已定角（或已定关系）写出其余角的三角值，再验证新条件与已知是否相容（如 因 推出 ，矛盾即”不存在”）；相容时完整解出并如实列出全部解（可能两组，如 或 ，此时两组均需写出）。 推导：存在性 = 条件联立后方程组有属于几何允许范围的解； 值域 （内角）是最常用的矛盾判据；边角互换后 与 的大小对应 与 的大小（大边对大角），两组解是否都合法需逐一回到原条件检验。 3.3 方法决策表 题面 动作 出现 降幂为 或 （结论 3.1） 齐次关系 整体换 、、（结论 3.1） 与平方和混合 代入约分（结论 3.2） 对称平方关系 + 比例条件 参数化边比 + 辅助角定角（结论 3.3） 三选一结构条件 逐个验存在性，双解如实列（结论 3.4） 例题精讲 例 5（解答题） 记 的内角 ，， 的对边分别是 ，，，已知 ．（1）证明：；（2）若 ，求 ． ●解析 （1）由结论 3.1 降幂：、、，代入条件式：，整理得 。由正弦定理 ，两边平方后整体替换（  约去），即得 。 （2）由（1），，代入 ：。由 得 ，代入：，两边乘 ：，即 ，整理得 ，即 。由 得 ，其间正弦取 仅在 处，解得 。 【答案】（1）见解析；（2） 例 6（解答题） 在 中，角 所对的边分别为 ，，．（1）求 ；（2）若 ，求 的面积． ●解析 （1）由余弦定理推论，；代入 得 ，故 。于是 ，且 （因  ），故 ，其间 仅在 处取得，所以 。 （2）。，。由正弦定理，。所以 。 【答案】（1）；（2） 变式训练 变 11（解答题） 在 中，角 ，， 的对边分别为 ，，，已知 ．（1）求 ；（2）若 ，求 周长的最大值． ●解析 （1）降幂：。与右端比较得 。由结论 3.1 换边：；再由余弦定理 ，得 ，由 得 ，故 。 （2）由正弦定理，，即 。。由余弦定理：，即 。由 ：，得 ，等号当 时成立（此时 ，三角形为等边，存在）。周长最大值为 。 【答案】（1）；（2）最大值为 变 12（解答题） 在 中，角 ，， 的对边分别为 ，，，已知 ，．（1）求角 的大小；（2）若 ，（i）求 的值；（ii）求 ． ●解析 （1）降幂 ，条件式化为 ，即 。由结论 3.1 换边：。于是 ，故 。 （2）（i）由余弦定理：，即 ，解得 或 （舍去）。 （ii）， 且 ，故 为锐角，，。于是 ，。所以 。 【答案】（1）；（2）（i）；（ii） 变 13（解答题） 已知 的内角 、、 所对的边分别为 、、，记 的面积为 ，且 ．（1）求 的大小；（2）若 ，求 外接圆直径 的长． ●解析 （1）由结论 3.2：，，条件式化为 。由 约去，得 ，故 。 （2） 时 。由正弦定理 ，条件式左端：。于是 。由 约去，得 。 【答案】（1）；（2） 变 14（解答题） 在 中，角 ，， 所对的边分别为 ，，．已知 的面积 ，，．（1）求 的值；（2）求 和 的值；（3）求 的值． ●解析 （1）由余弦定理，，条件式化为 。又 ，故 。由 约去，得 ，故 。 （2）代入 、 与 ：，得 ，故 。 （3） 为最小边，故 为锐角。，。于是 ，。所以 。 【答案】（1）；（2），；（3） 变 15（解答题） 记 的内角 ，， 的对边分别为 ，，．已知 ．（1）求 的值；（2）若 的面积为 ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得 存在，并求边长 的值．条件①：；条件②：；条件③：．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． ●解析 （1）由余弦定理，，条件式化为 ，展开：。由结论 1.1，，故 。由 得 。 （2）先算公共量：。 选条件①：，得 ；由余弦定理 ：，得 。联立解得 ， 或 ，，两组均满足全部条件（ 、 交换后 、 不变），故 或 。 选条件②： 且 ，得 ，与正弦的值域矛盾，不符合要求。 选条件③：，则 。于是 ，。由 ，得 ，。 【答案】（1）；（2）选①： 或 ；选②：不存在；选③： 单元四 形状判断与综合压轴 4.1 识别特征 设问为”证明 为等腰/等边/直角/锐角三角形”，或”判断形状并说明理由”；条件式常化成 、 型双正弦方程；压轴题把定角、面积分裂（  ）与基本不等式链组合。 4.2 结论与推导 结论 4.1（sin x = sin y 的双解取舍）　在 内， 给出 或 ； 给出 或 （后者即 ，舍）。取舍依据：题目附加条件（如 直接排除一支）、内角范围（每支解出的角必须都在 且内角和为  ）、几何合理性（解出 立即矛盾）。 推导： 或 ；三角形内角把 钉死为 ，剩两支；每支代入内角和检验，矛盾支舍去，题目条件再排一支后唯一。 结论 4.2（形状的判定句式）　等腰：证出两角相等（  ）或两边相等；等边：等腰基础上再证一角为 （或三边成比例且夹角定值）；直角：证出某角为 （常用 值为 或勾股反向）；锐角：三个角都属于 （常转化为最大角的余弦为正，或把三联窗口写出）。 推导：形状判定就是把”形状”翻译为”角（或边）的等式或不等式组”；等边的两条路线（三角相等 / 三边相等）在证明时择一走通即可，常由 的等号条件（均值不等式取等）反推 。 结论 4.3（面积分裂与均值链）　角平分线、中线上动点类压轴：用 把含 的条件翻译为 、 的方程（如角平分线 分裂给出 ，约简得 与 的关系）；再串基本不等式 、 逐层放缩，目标式化为 型后用 收口；每个等号须回到 、（或  ）的具体取值并验证与已定角相容。 推导：面积分裂是”线段条件化边关系”的桥；多条件多次放缩时，各次取等点必须同时成立才可达到，逐条列出等号条件并联立检验（如 且 与 相容）。 4.3 方法决策表 题面 动作 型方程 双解分支 + 内角和检验取舍（结论 4.1） 证明等腰/等边/直角/锐角 翻译为角（或边）等式与不等式组（结论 4.2） 平分线/中线动点条件 面积分裂翻译为边关系（结论 4.3） 压轴最值 均值链逐层放缩 + 等号相容性检验（结论 4.3） 例题精讲 例 7（解答题） 记 的内角 的对边分别是 ，已知 ，．（1）证明： 为等腰三角形；（2）若 边上的高为 ，且 ，求 的周长． ●解析 （1）边化角：，展开得 ，即 。由结论 4.1： 或 。题设 排除第一支，故 ，于是 ，即 ， 为等腰三角形。 （2）由（1），，。由 ：，即 ，，由 得 ，。 边上的高是 到直线 的距离，即 （  与 的夹角为  ）。故 ，得 。又 ，由正弦定理 。周长为 。 【答案】（1）见解析；（2） 例 8（解答题） 在 中，角 的对边分别为 ，满足 ，点 是 上的一动点，且 ．（1）求角 的大小；（2）若 为 边上的高，且 ，求 的面积；（3）若 为 的角平分线，求 的最小值． ●解析 （1）边化角：。由 ，代入得 ，即 。由 得 ，故 。 （2） 为高时，；又 ，故 ，即 。结合 得 。由余弦定理：；又 ，故 ，即 ，解得 （负根舍去）。面积 。 （3） 为角平分线时，由面积分裂（结论 4.3）：，约去 得 。由 得 ，故 ，等号当 时成立。由 、：。由 ：原式 。取等需 且 ：此时 ，验证 相容，等号可达。故最小值为 。 【答案】（1）；（2）；（3） 变式训练 变 16（解答题） 在 中，已知 ，．（1）证明： 为锐角三角形；（2）若 的周长为 10，求 的面积． ●解析 （1）由 边化角：。又 ，代入得 ，即 。由结论 4.1 与内角范围（ ，另一支 使内角和越界），得 ，故 ，且 ，两底角已为锐角。由比例式：右边为 ，故 ，交叉相乘并约去 ：，即 。边化角：，左端为 ，故 。由 得 ，故 为锐角。三个角均为锐角， 为锐角三角形。 （2）；。故 。周长 10：，。面积 。 【答案】（1）见解析；（2） 变 17（解答题） 已知在 中，，．（1）判断 的形状，并说明理由；（2）若点 在 边上，且 ，，求 的面积． ●解析 （1）由 得 ，故 ，。由 ，整理得 ，即 ，故 ，从而 。 为直角三角形。 （2）直角三角形中 ：，则 ，。 且 ，故 。在 中，，由余弦定理：，即 ，得 。面积 。 【答案】（1）直角三角形，理由见解析；（2） 变 18（解答题） 在 中，内角 ，， 的对边分别为 ，，，，．（1）求 ；（2）若 为边 上一点，，，判断 的形状，并说明理由． ●解析 （1）由 与 ：右端即 ，边化角得 。由 约去：，即 ；由 得 ，故 。 （2） 且 ，故 ， 平分 。面积分裂（结论 4.3）：，即 ，化简得 ，即 。由余弦定理：，解得 （负值舍去）。于是 且 ，即 、 为方程 的根，。故 ， 为等边三角形。 【答案】（1）；（2）等边三角形，理由见解析 变 19（解答题） 在 中，内角 ，， 所对的边分别为 ，，，且 ．（1）证明：；（2）若 的面积为 ，证明 为等边三角形． ●解析 （1）边化角：，展开：。由正弦定理换边：，即 。 （2），约去 得 ，故 或 。另一方面，，代入 ：，故 。由 （均值不等式），。而 ，故 ，，且 取到等号，需 。三边 ， 为等边三角形。 【答案】（1）见解析；（2）见解析 变 20（解答题） 记 内角 ，， 的对边分别为 ，，，已知 ．（1）求 ；（2）若 ，求 边上的高的最大值． ●解析 （1）两边乘 ：，即 。由结论 1.1，左边为 ，故 。由 得 ，故 。 （2）设 边上的高为 ：，故 为 。由余弦定理：，故 ，等号当 时成立（  时等腰三角形存在）。故 ，最大值为 2。 【答案】（1）；（2）最大值为 2 学科网（北京）股份有限公司 $