第39讲 解三角形大题通法专项训练-2027届高三数学一轮复习

第39讲 解三角形大题通法 条件化简三板斧·边角互化与证明·结构不良选支·形状与最值 一、条件化简三板斧 1. 化简的终点. 大题第一问的条件,无论多长,终点只有两种:解出一个角,或化成一条边角关系.起手三板斧:切化弦、边角互换(正弦定理)、降幂合一. 2. 展开对消. 条件里同时出现 与 的组合时,把 写成 展开,与左端同类项对消——常常一步就出角. 3. 三问型结构. 天津卷式三问(求角→求面积→求复合角):第(3)问几乎总是二倍角或复角公式,第(2)问的中间量留着别清零. 例1（解答·★★★★☆） 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，.（1）求的值；（2）若，求△ABC的面积；（3）求的值. 变式1（解答·★★★★☆） 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，．（1）求a的值；（2）求的值；（3）过点A作，D在边上，记与的面积分别为，，求的值． 变式2（解答·★★★★☆） 在中，内角的对边分别为，，.（1）求；（2）若，求的面积. 变式3（解答·★★★★☆） 在中，角的对边分别为，且.（1）求；（2）若，且的面积为，求的周长. 二、边角互化与证明 1. 证什么化什么. 证”边的二次式”( 型)用 桥接:正弦定理把平方关系原封搬过去;证”边的线性关系”( 型)则把条件全化角再用和角公式. 2. 和角替身. 、 是化简的万能替换;解出 这类”角方程”时,要在角的范围里把退化解舍掉. 3. 证明题的收尾. 证完主干,最后一行”故得证”;别用”显然”——把最后一步等式抄全. 例2（解答·★★★★☆） 记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知.（1）证明：；（2）若，求A. 变式4（解答·★★★★☆） 在中，角的对边分别为，且满足.（1）求证：；（2）设点为线段延长线上一点，若，求的面积. 变式5（解答·★★★★☆） 在中，角的对边分别为，已知（1）求证：；（2）若是锐角三角形，求的取值范围． 变式6（解答·★★★☆☆） 在中，内角的对边分别为．已知．（1）求的值；（2）证明：． 三、结构不良:选支的艺术 1. 先解公共问. 结构不良的第(1)问与所选项无关,先把角度/比例解出来——三个选项共享一套角,后面只差”尺度”. 2. 选支原则. 选能算死的,舍需要讨论的:单边定尺度(正弦定理一步)优于周长(要拆比例),周长优于含参讨论;先查矛盾(比例不符、值域越界),再查唯一. 3. “存在且唯一”两层账. 三角形形状(角)已定时,边成比例;“存在”是比例不矛盾,“唯一”是尺度定死.比例不符直接判不存在,连算都不用. 例3（解答·★★★★☆） 已知的内角 的对边分别为，且.（1）求；（2）在三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求边上高线的长.①；②；③的周长为. 变式7（解答·★★★★☆） 在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，条件①，条件②，条件③.（1）求角A的大小；（2）若是锐角三角形，且，求面积的取值范围.注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个解答计分. 变式8（解答·★★★★☆） 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．（1）求的值；（2）若的面积为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，并求边长a的值．条件①：；条件②：；条件③：．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 四、形状判断与最值收尾 1. 判形状先定角. 把条件凑成 、 之类,一个角定住;两条独立条件常能锁死两个角,第三个随之——“直角/等边”当场分晓. 2. 最值的两个常规动作. 消元到单变量后求导或配凑;和积不等式(如 固定看 )注意取等处三角形要存在. 3. 钝角锐角当筛子. “A 为钝角”“锐角三角形”不是装饰:前者给 的符号与范围,后者切掉讨论枝杈. 例4（解答·★★★★☆） 已知在中，，．（1）判断的形状，并说明理由；（2）若点在边上，且．若，求的面积． 变式9（解答·★★★☆☆） 在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且．（1）求A的大小；（2）若，，试判断的形状，并求的面积． 变式10（解答·★★★★☆） 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，角A为钝角，，．（1）若，求c的值；（2）求面积的最小值． 变式11（解答·★★★★☆） 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求C；（2）若，求周长的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第39讲 解三角形大题通法 条件化简三板斧·边角互化与证明·结构不良选支·形状与最值 一、条件化简三板斧 1. 化简的终点. 大题第一问的条件,无论多长,终点只有两种:解出一个角,或化成一条边角关系.起手三板斧:切化弦、边角互换(正弦定理)、降幂合一. 2. 展开对消. 条件里同时出现 与 的组合时,把 写成 展开,与左端同类项对消——常常一步就出角. 3. 三问型结构. 天津卷式三问(求角→求面积→求复合角):第(3)问几乎总是二倍角或复角公式,第(2)问的中间量留着别清零. 【通法】切化弦,边角互换,降幂合一. 【通法】 展开对消. 【通法】三问型:中间量复用. 例1（解答·★★★★☆） 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，.（1）求的值；（2）若，求△ABC的面积；（3）求的值. 【切入点】(1) 与 。正弦定理 : (2) 给 。 给 ,; 给 ,。: (3) ,故 【关键】“边比例+角差”双条件,先把边比例翻成 ;第(3)问的 用 一步拿到—— 是钝锐判断的免费副产品. 【答案】（1）;（2）;（3） 变式1（解答·★★★★☆） 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，．（1）求a的值；（2）求的值；（3）过点A作，D在边上，记与的面积分别为，，求的值． 【切入点】(1) ,,: (2) , 故 为锐角,: (3) 且 在 上: 中 ,,故 。。同高三角形面积比: 【关键】(2) 先用 验 是锐角再开方取号;(3) 的模型是”直角三角形斜边上作垂线”, 一式——面积比回到 ,还是同高三角形那一招. 【答案】（1）;（2）;（3） 变式2（解答·★★★★☆） 在中，内角的对边分别为，，.（1）求；（2）若，求的面积. 【切入点】(1) (射影定理恒等式),代入条件 得 ,故 ,。 给 ,(若 则 ,舍)。 (2) ,,: 【关键】射影定理 见到 线性组合就对照:条件正是它的两倍型; 是本讲的常用值,分母有理化后 干净落地. 【答案】（1）;（2） 变式3（解答·★★★★☆） 在中，角的对边分别为，且.（1）求；（2）若，且的面积为，求的周长. 【切入点】(1) 条件 。对照射影定理 ,比较得 ,故 ,。 (2) ,故 。: 周长 。 【关键】条件与射影定理 逐项对表,差的那一项当场翻成 ——大题第一问有时只是一次”认式”;周长=已知的和加上余弦定理现算的 . 【答案】（1）;（2） 二、边角互化与证明 1. 证什么化什么. 证”边的二次式”( 型)用 桥接:正弦定理把平方关系原封搬过去;证”边的线性关系”( 型)则把条件全化角再用和角公式. 2. 和角替身. 、 是化简的万能替换;解出 这类”角方程”时,要在角的范围里把退化解舍掉. 3. 证明题的收尾. 证完主干,最后一行”故得证”;别用”显然”——把最后一步等式抄全. 【通法】证边化边,证角化角,正弦定理搬运. 【通法】 替身. 【通法】角方程先舍退化解. 例2（解答·★★★★☆） 记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知.（1）证明：；（2）若，求A. 【切入点】(1) 。左端为 ,右端为 ,故 正弦定理平方搬边:,即 ,得证。 (2) ,即 。由(1),又余弦定理 代入 : 故 。;而 ,故 。 【关键】(1) 二倍角方程先降到 层面再搬边,一除就完;(2) 把 与 的边表达式同时平方消 ,得到完全平方 ——完全平方不是巧合,是这类题的题眼. 【答案】（1）证明见解析;（2） 变式4（解答·★★★★☆） 在中，角的对边分别为，且满足.（1）求证：；（2）设点为线段延长线上一点，若，求的面积. 【切入点】(1) ,除以 : 两边乘 :,整理即 ,得证。 (2) 在 延长线上,,且 在线段 上,故 (同一角,记 )。:;:。消 :。代入(1): 故 。验形:(),; 中 ,,,,直角在 : 【关键】(2) 的桥梁是” 与 是同一个角”——延长线上的点不换角;两个余弦定理消 后,与(1)的结论联立解出 ;解完用勾股验形, 直角三角形一认,面积白拿. 【答案】（1）证明见解析;（2） 变式5（解答·★★★★☆） 在中，角的对边分别为，已知（1）求证：；（2）若是锐角三角形，求的取值范围． 【切入点】(1) 。余弦定理代入 : 正弦定理:, 给 ,故 ,。 给 或 ,后者即 (舍),故 。 (2) 锐角三角形: 给 ; 给 。故 , 给 ,故 。 【关键】化角后 的两个解要现场筛: 是退化三角形,一句舍掉;(2) 的 三倍角展开后是 的函数,锐角条件给出区间,范围随之出来——证明题与范围题共用一个”角方程”. 【答案】（1）证明见解析;（2） 变式6（解答·★★★☆☆） 在中，内角的对边分别为．已知．（1）求的值；（2）证明：． 【切入点】(1) ,而 ,且 故 ,即 。 给 ,而 ,故 。 (2) 由 : 要证 ,即证 : 恒成立,故 。 【关键】半角平方 配上 ,边差 当场现形;(2) 的证明是”算到底”型:不等式两边一比,参数 全消,只剩 ——没有讨论的证明才是好证明. 【答案】（1）;（2）证明见解析 三、结构不良:选支的艺术 1. 先解公共问. 结构不良的第(1)问与所选项无关,先把角度/比例解出来——三个选项共享一套角,后面只差”尺度”. 2. 选支原则. 选能算死的,舍需要讨论的:单边定尺度(正弦定理一步)优于周长(要拆比例),周长优于含参讨论;先查矛盾(比例不符、值域越界),再查唯一. 3. “存在且唯一”两层账. 三角形形状(角)已定时,边成比例;“存在”是比例不矛盾,“唯一”是尺度定死.比例不符直接判不存在,连算都不用. 【通法】公共问先拿下,三选支共享角. 【通法】选支:能算死的优先. 【通法】存在=比例不矛盾,唯一=尺度定死. 例3（解答·★★★★☆） 已知的内角 的对边分别为，且.（1）求；（2）在三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求边上高线的长.①；②；③的周长为. 【切入点】(1) ,,: ,故 ,。 (2) 三个选项共享的账:,故 ,即 。 选① :比例相容,尺度定死,存在且唯一。 边上的高 (以 到 的距离计): 选② :由比例 , 与之矛盾,不存在,舍。 选③ 周长 :设 ,,,则周长为 。注意 ,故 即 ,,与①是同一个三角形,存在且唯一,。 综上:选①或③,高为 ;②不存在。 【关键】比例 是全题的中枢:选②只看比例就出局(零成本),选①③都靠它定尺度;高的计算 用的是” 到 的距离等于 “——公共问解得越透,选支越便宜. 【答案】（1）;（2）选①或③,高为 （②不存在） 变式7（解答·★★★★☆） 在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，条件①，条件②，条件③.（1）求角A的大小；（2）若是锐角三角形，且，求面积的取值范围.注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个解答计分. 【切入点】(1) 三个条件殊途同归。 条件① :化弦除以 ,(用 ),约 : (负根舍),。 条件② :化弦,,约 得 ,。 条件③ :展开即 。与余弦定理的正弦形式 对比,得 ,故 ,。 (2) ,:,, 锐角三角形: 且 ,故 ,: 故 。 【关键】三个条件是同一只角的三件外衣:①走 的二次方程,②走对消,③走与余弦定理正弦形式”逐项对照”——认出 这件衣服,③一步脱掉;(2) 的范围来自 的两端,锐角限制给区间. 【答案】（1）（三个条件均可）;（2） 变式8（解答·★★★★☆） 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．（1）求的值；（2）若的面积为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，并求边长a的值．条件①：；条件②：；条件③：．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【切入点】(1) 余弦定理 ,条件右端为 。故 ,即 (射影定理),。 (2) 。 给 。 选① :,故 。与 联立:,解得 或 。所求 或 。 选② :由 与 ,左边严格小于 ,矛盾,不符合要求,舍。 选③ :,故 ,代入 :,。所求 。 【关键】选①的账算完别急着交卷:它给出两个 值,两个都合法,如实报”7 或 3”;选②用值域一句话否决——先便宜后昂贵:值域矛盾零成本,比例也零成本,联立方程最贵放最后. 【答案】（1）;（2）选①得 或 ,选③得 （②不合要求） 四、形状判断与最值收尾 1. 判形状先定角. 把条件凑成 、 之类,一个角定住;两条独立条件常能锁死两个角,第三个随之——“直角/等边”当场分晓. 2. 最值的两个常规动作. 消元到单变量后求导或配凑;和积不等式(如 固定看 )注意取等处三角形要存在. 3. 钝角锐角当筛子. “A 为钝角”“锐角三角形”不是装饰:前者给 的符号与范围,后者切掉讨论枝杈. 【通法】判形状先定一个角. 【通法】最值消元,取等验存在. 【通法】钝锐条件当筛子. 例4（解答·★★★★☆） 已知在中，，．（1）判断的形状，并说明理由；（2）若点在边上，且．若，求的面积． 【切入点】(1) ,即 ,故 ,。又 ,故 ,,,。 是直角三角形( 为直角)。 (2) 在 上,,故 。 时 。 中 : 给 。面积 【关键】(1) 的第一个条件凑成余弦定理分子:见到 就写 ;第二个条件用 替身降次;(2) 在直角三角形里先量好 与 两条边,余弦定理收尾——形状定,边角全是现成的. 【答案】（1）直角三角形();（2） 变式9（解答·★★★☆☆） 在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且．（1）求A的大小；（2）若，，试判断的形状，并求的面积． 【切入点】(1) ,化弦除以 :,右两项合一 ,故 ,约 得 ,。 (2) : 故 ,。结合 得 , 是等边三角形。 时 【关键】(1) 与例1同一件外衣:先认出 的和角替身,对消后一步定角;(2) 的 用和差化积, 锁死对称——和化积出对称,对称出等边. 【答案】（1）;（2）等边三角形, 变式10（解答·★★★★☆） 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，角A为钝角，，．（1）若，求c的值；（2）求面积的最小值． 【切入点】(1) 。设 ,条件给 : 整理:,即 ,,解得 或 。 为钝角, 均为锐角,,取 ,。,而 ,故 。 (2) 即 ,亦即 。面积 换元 (由 ):, 代入整理(根式全消): 求导:令 得 ,(另一根 出界)。 或 时 ,故为最小值: 【关键】(1) 的”若 “是送参数的:把 用 表出,一个方程一个元;(2) 面积的最值走 全程有理——根式在正弦定理的比值里两两相消,这是 换元的红利;端点发散, 处取最小,恰好回到(1)的图形. 【答案】（1）;（2）最小值 变式11（解答·★★★★☆） 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求C；（2）若，求周长的最大值． 【切入点】(1) 。左端用 : 条件即 。对照余弦定理的正弦形式 ,两式比较得 ,故 ,。 (2) ,故 固定,故周长 ,当 时取等。 【关键】(1) 又是”逐项对照”:降次后与余弦定理正弦形式一比, 白拿;(2) 的 先从比例式中认出,和式 走和差化积,对称处取等——周长最值的三板斧:定 、化和、对称取等. 【答案】（1）;（2）最大值 学科网（北京）股份有限公司 $