第1讲 边角取值范围专项训练-2027届高三数学一轮复习

解三角形中的取值范围 解三角形 · 专题篇 条件化归：把边角条件化成统一的形式 条件的形状决定了第一步该做什么。若给的是纯边的等式，走余弦定理；若给的是边与角混在一起的式子（诸如「边乘某个角的余弦」），就有一个方向要选：把边都换成角，还是把角都换成边。这一批题绝大多数应当化角 —— 因为它们最后问的是「某个三角函数式的范围」，只有把条件搬进角的语境，才接得上后面的三角变形。 化角靠正弦定理。遇到「边乘角的余弦」这种结构，把每条边换成它对角的正弦（公共的 会自动约掉），再用内角和把其中一个角换成另外两个，展开后往往能相消，或者凑出两角和差。遇到分式或含正弦的等式，同样先把边统一成角的正弦，再约去公共因子 —— 内角的正弦恒为正，约起来没有顾虑。 化角之后，条件变成「三个角之间的关系式」，但要求的是一个单变量的取值范围，所以还要消去两个角：用内角和 把其中一个角写成另外两个的差，再把剩下两角的关系整理成只含一个角。常见的收尾有三种：凑成一个三角函数（辅助角）、化成二次型（换元 或 ）、或直接由角的范围读出式子范围。 最后一步是定范围，这是这类题失分最多的地方。范围有两个来源：一是条件给出的等式，它把两个角绑在一起，剩下那个角的范围就决定了整个式子的范围；二是题目给的内角限制 —— 内角都在 内、「锐角三角形」意味着三个角都小于 、某角是钝角或最大角也会收窄范围。换元求最值时要盯住边界：换元区间的端点是从这些限制里推出来的，少一条限制，端点就会松，最值的位置也跟着错。 例1（填空·★★★☆☆） 在中，三个内角的对边分别为，是钝角，，则的最大值是__________. 变式1-1（填空·★★★☆☆） 在中，若，则的最小值为___________． 变式1-2（单选·★★★☆☆） 在中，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 例2（单选·★★★☆☆） 在中，若内角A,B为锐角，满足,则的最大值为（ ） A. B. C. D. 变式2-1（填空·★★★☆☆） 在中，内角的对边分别为，若成等差数列，则的最小值为__________. 例3（单选·★★★☆☆） 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 3 变式3-1（解答·★★★★☆） 设的内角的对边分别为，已知．求的最大值． 锐角与角度约束下的取值域 同一个式子，加上「锐角三角形」这几个字，取值范围会明显缩小。原因是它一次给了三条限制：每个角都小于 。这三条限制要同时写出来联立，只写其中一条，区间就会偏宽；而区间偏宽的后果不是「答案多了一点」，而是最值的位置可能整个换掉 —— 辅助角的相位跑出了给定区间，或者二次函数的对称轴挪到了区间外。 另一类约束来自「一边一角」。题目给出一个角与它的对边时，其实已经把外接圆定下来了：由正弦定理， 是一个确定的常数。于是三条边都可以写成「同一个常数 × 各自对角的正弦」，求边的范围就变成了求正弦的范围，求周长的范围就变成了求正弦和的范围。这是这类题最省力的一条路，比用余弦定理硬算快得多。 把区间卡准之后，收尾就是常规操作：凑成一个三角函数，看它在这个区间上的单调性；或者换元成二次函数，看对称轴落在区间的什么位置。要注意的是端点 —— 区间开闭由题目给的条件决定，不由函数本身决定。写成「」还是「」，取决于那个端点对应的角能不能取到。 还有一处值得单独提醒：遇到「条件里出现边的二次关系」的情形，把它与余弦定理对照，往往能直接读出某个角的余弦，再由这个角反推其余角的范围。这一步的价值在于它把「边的约束」翻译成了「角的约束」，而角才是后面所有不等式的主语。 例4（解答·★★★★☆） 已知锐角的三个内角，，所对的边分别为，，，且满足.（1）求角；（2）求的取值范围. 变式4-1（多选·★★★☆☆） 在锐角中，则（ ） A. B. C. D. 例5（解答·★★★★☆） 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.（1）求B；（2）若为锐角三角形，求的取值范围. 变式5-1（填空·★★★☆☆） 已知的内角的对边分别为，其内切圆半径，则边长的最小值为___________． 例6（解答·★★★☆☆） 在中，角的对边成公差为2的等差数列．若为锐角三角形，求的取值范围． 变式6-1（解答·★★★★☆） 已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，函数．若，且，求的取值范围． 变式6-2（解答·★★★★☆） 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．（1）求角的大小；（2）求的取值范围． 边的取值范围 要求「某条边」或「几条边之和」的范围，基本路线是把边换成角。由正弦定理，每条边都是它的对角的正弦乘同一个常数 ；要求的两条边之比、两条边之和，都可以化成两个正弦之比、两个正弦之和。这样做的代价是多出一步三角变形，收益是从此可以借三角函数的有界性和单调性说话。 换过去之后，通常要把「两个角」压成「一个角」。办法是用内角和把其中一个角写出来，再展开、合并同类项，凑成一个三角函数。如果两条边之和里出现了 这样的结构，而 是定值，那么它一定可以写成 的形状 —— 这是和角公式的直接推论，不必另外记公式。 另一条路是用余弦定理把边的关系先整理出来，再用基本不等式求范围。典型的形式是这样的：余弦定理给出一个关于三条边的等式，移项后能解出「两条边的和」与「两条边的积」之间的关系，而基本不等式 恰好把它们连起来。这条路的优势是绕开了三角变形，代价是最后要解一个二次不等式。 两条路选哪一条，看条件里是角多还是边多。条件以角为主（给出某个角、或角的等式），化角省事；条件以边为主（给出边的关系、或边的积与和），整理成基本不等式的形式往往更快。还有一处细节要留心：凡是写成「取值范围」而不是「最值」，端点通常取不到，要按三角形的边角关系判断开闭 —— 例如 严格成立，所以区间右端一般取不到。 例7（填空·★★★★☆） 的内角，，的对边分别为，，，，则角的大小为______．若角为钝角，则的取值范围为______． 变式7-1（解答·★★★☆☆） 记的内角的对边分别为，若．（1）求的值；（2）求的最大值． 例8（解答·★★★★☆） 在中，内角，，的对边分别为，，，且满足.（1）求角的大小；（2）若，求的取值范围. 变式8-1（解答·★★★★☆） 已知中，内角的对边分别为，且满足.（1）若，求的值；（2）求角的最大值，并判断此时的形状. 例9（解答·★★★★☆） 在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足．（1）求角B；（2）若，求周长的取值范围． 变式9-1（多选·★★★☆☆） 在中，角的对边分别为，且，则（ ） A. B. 当时， C. 当时，面积的最大值为1 D. 当为锐角三角形时，的取值范围是 变式9-2（多选·★★★☆☆） 在三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则（ ） A. B. 若，则 C. 若三角形ABC为锐角三角形，则的取值范围是 D. 若，则三角形ABC为直角三角形 学科网（北京）股份有限公司 $ 解三角形中的取值范围 解三角形 · 专题篇 条件化归：把边角条件化成统一的形式 条件的形状决定了第一步该做什么。若给的是纯边的等式，走余弦定理；若给的是边与角混在一起的式子（诸如「边乘某个角的余弦」），就有一个方向要选：把边都换成角，还是把角都换成边。这一批题绝大多数应当化角 —— 因为它们最后问的是「某个三角函数式的范围」，只有把条件搬进角的语境，才接得上后面的三角变形。 化角靠正弦定理。遇到「边乘角的余弦」这种结构，把每条边换成它对角的正弦（公共的 会自动约掉），再用内角和把其中一个角换成另外两个，展开后往往能相消，或者凑出两角和差。遇到分式或含正弦的等式，同样先把边统一成角的正弦，再约去公共因子 —— 内角的正弦恒为正，约起来没有顾虑。 化角之后，条件变成「三个角之间的关系式」，但要求的是一个单变量的取值范围，所以还要消去两个角：用内角和 把其中一个角写成另外两个的差，再把剩下两角的关系整理成只含一个角。常见的收尾有三种：凑成一个三角函数（辅助角）、化成二次型（换元 或 ）、或直接由角的范围读出式子范围。 最后一步是定范围，这是这类题失分最多的地方。范围有两个来源：一是条件给出的等式，它把两个角绑在一起，剩下那个角的范围就决定了整个式子的范围；二是题目给的内角限制 —— 内角都在 内、「锐角三角形」意味着三个角都小于 、某角是钝角或最大角也会收窄范围。换元求最值时要盯住边界：换元区间的端点是从这些限制里推出来的，少一条限制，端点就会松，最值的位置也跟着错。 例1（填空·★★★☆☆） 在中，三个内角的对边分别为，是钝角，，则的最大值是__________. 【切入点】条件里一边是角的正切、一边是边的比值。先用正弦定理把 换成 ，两边就都是角的量了。 【关键】由 与正弦定理 得 。，约去后得 。又 是钝角，，且 ，所以 。 是内角且 ，与 同属 ，而余弦在这个区间上一一对应，故 ，即 。 【关键】于是 ，所以 。由 得 ，即 ，故 。设 ，它的对称轴 落在该区间内，所以最大值为 。 【易错】第一，由 得 ，这一步要说明两个角都落在余弦的一一对应区间上 —— 只写「所以」是跳步的。第二， 的范围容易写成 ，漏掉 这一条；边界一松，换元区间就变宽，最值位置也未必还在顶点上。第三，换元之后要先确认对称轴 确实落在 内，再下「在顶点取最大」的结论。 【答案】 变式1-1（填空·★★★☆☆） 在中，若，则的最小值为___________． 【切入点】条件里三项都是正弦的乘积，把它整体用正弦定理换成边，会得到一个关于三边的简洁关系。 【关键】由正弦定理把 、、 分别换成 、、（公共的 约掉）：，即 。 【关键】再把 拆成两项：。由 得 ，等号当 时成立。又由 与 得 ，两边平方得 ，所以 ，等号也当 时成立。两式相加得 ，所以 的最小值为 。 【易错】第一，这一题与例 1、例 3 不同 —— 它反过来是化边比化角方便，因为化边之后只用到 这一个关系。判断往哪个方向化，看哪种能约得更干净，不必死守一种。第二，两个不等式取等号的条件都是 ，所以要说明它们能同时取到，否则最小值只是下确界。第三，第二项是负的，不等式两边同乘负数要变号，这里是 推出 。 【答案】 变式1-2（单选·★★★☆☆） 在中，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【切入点】条件里出现 ，而 —— 先用半角公式把它换成 ，条件就变成标准的「边与余弦混合」式。 【关键】，代入条件得 ，整理得 。 【关键】由正弦定理化角：。又 ，代入得 ，即 ，所以 。 【关键】于是 。当 时 ，等号当 成立，所以 。故选 D。 【易错】第一， 换成 这一步不能省 —— 不换的话条件里同时有 、 两个角，没法往下走。第二，化角前要先把 、 都换成角的正弦，且用两次 ，别只换一处。第三， 说明 为钝角，这里 说明 为钝角，与 并不冲突 —— 为锐角、 为钝角正是这类条件的典型形态。 【答案】D 例2（单选·★★★☆☆） 在中，若内角A,B为锐角，满足,则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【切入点】条件的右边是两角和的形式，先用内角和把它换成单个角的余弦，再把正弦化为正切 —— 求的是 的最值，整道题应当在正切的语境里做完。 【关键】，条件变为 ，即 。又因为 ，，代入得 ，即 。 【关键】由 为锐角知 ；若 ，上式左边为正、右边为零，矛盾，故 。两边同除以 得 。 【关键】再用 ，代入 ：。、 都是锐角，所以 、，把分子分母同除以 ：。由基本不等式 ，等号当 即 时成立，所以 。故选 D。 【易错】第一， 说明 是钝角，这与 、 都是锐角并不冲突。第二， 不能直接用基本不等式，要先把分子分母同除以 ，凑成 的形式 —— 「分母有界则分式有界」是这类题的固定手法。第三，等号能否取到要回头看一眼： 时 、 都还是三角形的内角，可以。 【答案】D 变式2-1（填空·★★★☆☆） 在中，内角的对边分别为，若成等差数列，则的最小值为__________. 【切入点】条件是三条边的平方成等差数列，把它写成等式后，与余弦定理的式子一对照就能约出关系。要求的是 的最值，所以最后要落到两个角的正切上。 【关键】由 、、 成等差数列得 。由余弦定理 ，。 【关键】两式相除：，所以 ，即 。 【关键】再由两角差的正切：。由 知 ，所以 ，等号当 时成立，故 。 【易错】第一，由等差条件出发有两条路：直接对 用余弦定理写出两个余弦再相除，或者先把它化成边的关系再化角 —— 前者更短，因为相除时 会整体约掉。第二，算出来是 而不是 ，相除的方向别弄反。第三，最后一步是求最小值，而 的形式分母取最小值时整体取最小值，与求最大值的方向相反，基本不等式的等号条件是一样的。 【答案】 例3（单选·★★★☆☆） 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 3 【切入点】条件是「余弦等于边之比」的混合式。把边之比用正弦定理换成角的正弦，整个条件就只剩角了。 【关键】由 ，条件 变为 。又 ，，代入得 ，整理得 ，即 。 【关键】再由 ，代入 ：。把分子分母同除以 ：。若 ，则 ，取不到最大值；故只需考虑 的情形，此时 ，等号当 时成立，所以 。故选 B。 【易错】第一， 换成 是本解法的枢纽；也可以先用余弦定理把 换成边、整理出 ，但那样接着要设 、换元、再研究二次函数，比化角繁琐得多 —— 记住「能化角就先化角」这条优先次序。第二， 说明 是钝角。第三，最后一步必须同除以 才能用基本不等式，并且要说明为什么只考虑 。 【答案】B 变式3-1（解答·★★★★☆） 设的内角的对边分别为，已知．求的最大值． 【切入点】条件左边是两角差的正弦、右边是第三个角的正弦。把右边用内角和换成 ，两边就都是 、 的式子了。 【关键】由 得 ，条件变为 。两边展开：，移项整理得 ，即 。 【关键】由 、 同号且均为三角形的内角可知 、 都是锐角，于是 。由 得 ，等号当 时成立，所以 ，即最大值为 。 【易错】第一，展开后整理的方向是「把含 的项归到一边」，目标是得到 与 的关系，而不是把 再拆得更碎。第二，由 判定 、 都是锐角，是因为两个正切同号：若它们都为负，则两个角都是钝角，与内角和小于 矛盾。第三，等号条件 对应的角是锐角，此时 、 也都是内角，取值可行。 【答案】 锐角与角度约束下的取值域 同一个式子，加上「锐角三角形」这几个字，取值范围会明显缩小。原因是它一次给了三条限制：每个角都小于 。这三条限制要同时写出来联立，只写其中一条，区间就会偏宽；而区间偏宽的后果不是「答案多了一点」，而是最值的位置可能整个换掉 —— 辅助角的相位跑出了给定区间，或者二次函数的对称轴挪到了区间外。 另一类约束来自「一边一角」。题目给出一个角与它的对边时，其实已经把外接圆定下来了：由正弦定理， 是一个确定的常数。于是三条边都可以写成「同一个常数 × 各自对角的正弦」，求边的范围就变成了求正弦的范围，求周长的范围就变成了求正弦和的范围。这是这类题最省力的一条路，比用余弦定理硬算快得多。 把区间卡准之后，收尾就是常规操作：凑成一个三角函数，看它在这个区间上的单调性；或者换元成二次函数，看对称轴落在区间的什么位置。要注意的是端点 —— 区间开闭由题目给的条件决定，不由函数本身决定。写成「」还是「」，取决于那个端点对应的角能不能取到。 还有一处值得单独提醒：遇到「条件里出现边的二次关系」的情形，把它与余弦定理对照，往往能直接读出某个角的余弦，再由这个角反推其余角的范围。这一步的价值在于它把「边的约束」翻译成了「角的约束」，而角才是后面所有不等式的主语。 例4（解答·★★★★☆） 已知锐角的三个内角，，所对的边分别为，，，且满足.（1）求角；（2）求的取值范围. 【切入点】（1）左边 是射影形式，整个式子等于 ，认出来就一步到位。（2）有了 ，三个角只剩一个自由变量，再看锐角三角形给出的 的区间。 【关键】（1）由正弦定理 ，条件变为 。，约去得 。 是锐角，所以 。 【关键】（2）由 得 ，即 。锐角三角形要求 ，同时 ，解得 。 【关键】把三项展开：，其中 ，所以原式等于 。由 得 ，所以 ，从而原式的取值范围为 。 【易错】第一， 这个射影形式要认得出来，否则要用正弦定理把两项分别展开，多绕一步。第二，锐角给出的 的区间来自两条限制 —— 自己是锐角、 也得是锐角，只写一条区间就宽了一倍。第三，端点要分清：右端 能取到（ 时 ，落在区间内），左端取不到（ 对应区间端点），所以是左开右闭。 【答案】（1）；（2） 变式4-1（多选·★★★☆☆） 在锐角中，则（ ） A. B. C. D. 【切入点】题干只说「锐角三角形」，四个选项却分别涉及边、正弦、余弦。这类题的公共工具只有一件：由 得到 ，再借正弦、余弦的单调性比较。逐项判定。 【关键】A 项。 是锐角，所以 ，从而 。A 正确。 【关键】B 项。锐角三角形中 ，所以 。而 与 都落在 内，正弦在这个区间上单调递增，所以 。B 正确。 【关键】C 项。同样由 ，但余弦在 上单调递减，方向要反过来：。所以 C 项断言的方向反了 —— 由 与余弦的单调性，得到的是 ，与 C 项写的不符。C 错误。 【关键】D 项。，而锐角三角形中 、、、，所以 、，两式相加即得 。D 正确。故选 ABD。 【易错】第一，B、C 两项用的是同一个不等式 ，但正弦递增、余弦递减，结论方向相反 —— 这一对是本题设的主要陷阱。第二，D 项的放缩要用到「锐角」：正因为 、 都是锐角，才有 、。第三，多选题必须逐项写出判定理由，只给一个结论「选 ABD」在过程上是不完整的。 【答案】ABD 例5（解答·★★★★☆） 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.（1）求B；（2）若为锐角三角形，求的取值范围. 【切入点】（1）条件里一边是 、一边是 。由正弦定理，，两边一比就把 约掉了。（2）三个正弦的平方和，先用降幂公式化成余弦之和。 【关键】（1）由正弦定理 ，与条件 对照，约去 得 。把右边展开：，所以 ，即 。，故 。 【关键】（2）由 ：，其中 。整理得 。 【关键】由 得 ，所以 。把后一项展开：，所以两项之和等于 。于是原式等于 。由锐角条件 得 ，所以 ，从而取值范围为 。 【易错】第一， 的展开方向是「化成同一个角」—— 把 换成 之后展开，正好凑成 。第二，余弦在 上是先减后增的，最小值 在 处取到（ 落在区间内，取得到），而要取到 需要相位等于端点，取不到 —— 所以是左闭右开。第三，原式里是 ，余弦取最小值时原式反而最大，符号方向不要弄反。 【答案】（1）；（2） 变式5-1（填空·★★★☆☆） 已知的内角的对边分别为，其内切圆半径，则边长的最小值为___________． 【切入点】条件是「内切圆半径 + 一个角的余弦」，要求某条边的最小值。内切圆半径的作用在面积公式里：，它把周长与面积绑在一起。 【关键】由 且 得 。用两种方式算面积：，同时 （）。两式相等，得 。 【关键】再由余弦定理：。把它与上面的周长式联立，可以解出 ：注意到 ，而左边等于 ，右边等于 ，所以 ，即 。 【关键】把它代回周长式：，整理得 。由基本不等式 得 ，即 。解这个二次不等式： 或 。又 要求 ，而 ，舍去，所以 ，从而 ，即 的最小值为 。 【易错】第一，内切圆半径必须走面积这条路 —— 与 联立，才把 引进边的等式。第二， 这一步是本题的枢纽，它把「周长的平方」拆成了「周长 × 差值」。第三，二次不等式解出两支要按 筛，小根约 会让 为负。 【答案】 例6（解答·★★★☆☆） 在中，角的对边成公差为2的等差数列．若为锐角三角形，求的取值范围． 【切入点】条件是「三边成等差数列」，先把三条边统一用 表示；「锐角三角形」则要落到最大角上 —— 最大角是锐角，三个角就都是锐角。 【关键】、、 成公差为 的等差数列，所以 、，最大边是 ，对应的最大角是 。 【关键】先由三边关系定下基本范围：，解得 。 【关键】再由「锐角」这一条：最大角 为锐角，等价于 ，即 。代入得 ，展开：，整理得 ，即 ，所以 或 。结合 ，得 。 【易错】第一，判断三角形是不是锐角，只需看最大角 —— 最大角是锐角，其余两个自然也锐。这一步把三条不等式并成了一条，是本题最省力的地方。第二， 这一支要舍掉，理由是边长必须为正（前面的 已经把它排除了）。第三，也可以用余弦定理算出 的表达式再令它大于零，结果一样，但整理起来比直接比 与 多一步。 【答案】 变式6-1（解答·★★★★☆） 已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，函数．若，且，求的取值范围． 【切入点】条件给了两件事：一个关于 的方程 ，一个关于边的不等式 。前者用来定角，后者用来定范围。 【关键】由 ：，即 ，移项得 。 是内角，，所以 ，，故 。 【关键】由 与余弦定理得 ，所以 是钝角，。于是 ，即 。 【关键】要求的是 ，用正弦定理化成角：。由 得 ，所以 。由 得 ，所以 ，从而 ，即取值范围为 。 【易错】第一， 解出 之后，要在 内取角，得 ，不能写成 。第二， 的作用是判定 为钝角，进而由 压出 的上界；把它当成 的范围来用就绕远了。第三，最后一步是「大于 」而不是「大于等于」—— 时 ，那时 ，不再是钝角，取不到。 【答案】 变式6-2（解答·★★★★☆） 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．（1）求角的大小；（2）求的取值范围． 【切入点】（1）条件是一个分式等式，右边的分子分母都能用余弦定理写成「边的乘积乘某个余弦」。（2）求出 之后，三个角只剩一个变量，把正弦平方降幂成余弦，再凑成辅助角。 【关键】（1）由余弦定理，、，所以等号右边等于 （最后一步用正弦定理把边换成角的正弦）。于是条件变为 。 【关键】，两边约去 后再交叉相乘：，移项得 。，约去得 ，故 。 【关键】（2）由 得 。用降幂公式：。把 代入并展开：，所以原式等于 。 【关键】由 得 ，所以 ，从而 。 【易错】第一，第（1）问右边化简要一次做两件事：先用余弦定理把 这类结构换掉，再用正弦定理把剩下的边换成角 —— 两步的顺序不能颠倒。第二， 中的 可以约掉，但要说明它不为零。第三，第（2）问最后一段， 能取到 （相位取 时 在区间内），但取不到 （那要求相位取端点），所以答案是左开右闭。 【答案】（1）；（2） 边的取值范围 要求「某条边」或「几条边之和」的范围，基本路线是把边换成角。由正弦定理，每条边都是它的对角的正弦乘同一个常数 ；要求的两条边之比、两条边之和，都可以化成两个正弦之比、两个正弦之和。这样做的代价是多出一步三角变形，收益是从此可以借三角函数的有界性和单调性说话。 换过去之后，通常要把「两个角」压成「一个角」。办法是用内角和把其中一个角写出来，再展开、合并同类项，凑成一个三角函数。如果两条边之和里出现了 这样的结构，而 是定值，那么它一定可以写成 的形状 —— 这是和角公式的直接推论，不必另外记公式。 另一条路是用余弦定理把边的关系先整理出来，再用基本不等式求范围。典型的形式是这样的：余弦定理给出一个关于三条边的等式，移项后能解出「两条边的和」与「两条边的积」之间的关系，而基本不等式 恰好把它们连起来。这条路的优势是绕开了三角变形，代价是最后要解一个二次不等式。 两条路选哪一条，看条件里是角多还是边多。条件以角为主（给出某个角、或角的等式），化角省事；条件以边为主（给出边的关系、或边的积与和），整理成基本不等式的形式往往更快。还有一处细节要留心：凡是写成「取值范围」而不是「最值」，端点通常取不到，要按三角形的边角关系判断开闭 —— 例如 严格成立，所以区间右端一般取不到。 例7（填空·★★★★☆） 的内角，，的对边分别为，，，，则角的大小为______．若角为钝角，则的取值范围为______． 【切入点】条件 里每一项都是「边乘某个角的余弦」，用正弦定理统一换成角。第一问求角 ，第二问在 为钝角的约束下求 的范围。 【关键】（1）由正弦定理化角：，左边正是两角和的正弦：（因为 ）。所以 。，约去得 ，故 。 【关键】（2）由 得 。由 为钝角且 得 ，所以 。 【关键】把 化成角：，把 代入并展开：。由 得 ，所以 。 【易错】第一，第一问的左边要认出是 ，再用 写成 —— 不认出来就要展开四项再合并，多绕一大圈。第二， 是钝角给出的区间是 ，右端来自 ，容易漏。第三， 在 为钝角时是负的，范围是开区间；端点的取舍由 取不到 与 决定。 【答案】① ；② 变式7-1（解答·★★★☆☆） 记的内角的对边分别为，若．（1）求的值；（2）求的最大值． 【切入点】（1）条件两边都是「边乘余弦」，用余弦定理代入可以整体化成一条边的关系。（2）已知 与 ，求 的最大值，用余弦定理把 写成 与 的式子，再放缩。 【关键】（1）由余弦定理 ，同理 。代入 ：，即 。 【关键】由 与正弦定理得 ，所以 。 【关键】（2）由余弦定理 ，代入 、：，所以 。由 得 。记 ，则 ，解得 ，所以 ，等号当 时成立。 【易错】第一，第（1）问把两个余弦代入之后，分母都是 ，可以直接相加 —— 两个分式的分子里 与 、 与 两两抵消，只剩 。这一处能约得这么干净，是题目刻意设计的。第二，由 看出 是关键一步，有了它才能直接算出 。第三，第（2）问最后要检验等号： 时 成立，可以取到最大值。 【答案】（1）；（2） 例8（解答·★★★★☆） 在中，内角，，的对边分别为，，，且满足.（1）求角的大小；（2）若，求的取值范围. 【切入点】（1）条件三项都是「边乘余弦」，化角后右边能凑出内角和。（2）已知 与两边的和，求第三边的范围 —— 用余弦定理把 写成 与 的式子，再用基本不等式把 放缩掉。 【关键】（1）由正弦定理化角：。把右边移到左边：。又 ，所以 ，故 。，约去得 ，所以 。 【关键】（2）由余弦定理：。把它写成只含 与 的形式：。代入 得 。 【关键】由基本不等式 ，所以 ，即 ，等号当 时成立。另一方面，三角形的边满足 （严格小于），所以 。 【易错】第一，第（2）问的关键是把 整理成 —— 只有写成这个形状，才能把已知的 代进去、再用基本不等式处理剩下的 。第二，左端能取到（ 时 确实是三角形），右端取不到（ 是严格不等式），所以是左闭右开。第三，不要忘了检查 、 时三边能否构成三角形 —— 成立，可以。 【答案】（1）；（2） 变式8-1（解答·★★★★☆） 已知中，内角的对边分别为，且满足.（1）若，求的值；（2）求角的最大值，并判断此时的形状. 【切入点】（1）已知 与 ，由正弦定理可以求出 的值，进而把 与 联系起来。（2）已知 与 的积、求角 的最大值，用余弦定理把 写成 的式子，再用基本不等式。 【关键】（1）由正弦定理 ，所以 、，即 、。于是 。 【关键】（2）由余弦定理 。由 得 。所以 ，即 的最大值为 。 【关键】等号成立的条件是 ，结合 得 ，而 ，所以此时 ， 为等边三角形。 【易错】第一，第（1）问的巧妙之处是把 、 各自用边表示出来，再相乘 —— 这样 就能直接用已知条件代入。第二，第（2）问是从「角的最小值」问法反过来出题的： 有下界等价于 有上界，余弦在 上单调递减，方向不要弄反。第三，等号能不能取到要落实： 与 确实能构成三角形。 【答案】（1）；（2） 的最大值为 ，此时 为等边三角形 例9（解答·★★★★☆） 在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足．（1）求角B；（2）若，求周长的取值范围． 【切入点】（1）条件 里的 提示用余弦定理把它换掉，换完是一个关于三条边的等式。（2）已知一角与它的对边，等于已知外接圆，可以用正弦定理把周长整个化成角。 【关键】（1）由 得 。由余弦定理 ，代入左边：，所以 ，两边同乘 ：，即 ，也就是 。 【关键】于是 ，，所以 。 【关键】（2）由正弦定理 ，所以 、，周长 。由 得 ，展开：。 【关键】由 得 ，所以 ，代入得 ，即周长范围为 。 【易错】第一，第（1）问代入 之后分母里有一个 ，要先把分式化简、再两边同乘 ，顺序反了会把式子弄乱。第二，第（2）问的关键是「已知一边一角 ⇒ 已知 」，有了 才能把三条边都写成正弦。第三， 凑成 时，要用 （因为 ），别把 写成 。 【答案】（1）；（2） 变式9-1（多选·★★★☆☆） 在中，角的对边分别为，且，则（ ） A. B. 当时， C. 当时，面积的最大值为1 D. 当为锐角三角形时，的取值范围是 【切入点】条件是三个正弦平方之间的关系，先用正弦定理把它化成边的关系，再用余弦定理定出角 。之后逐项判定。 【关键】A 项。由正弦定理把正弦平方换成边的平方：，所以 ，。A 正确。 【关键】B 项。把 代入 ：，得 。于是 ，所以 ，。B 错误。 【关键】C 项。由 与 ：。所以面积的最大值是 ，不是 。C 错误。 【关键】D 项。由正弦定理 ，而 ，展开得 。三角形为锐角三角形时 ，所以 ，从而 ，即 。D 正确。故选 AD。 【易错】第一，A 项是后面三项的基础 —— 先把 定下来，B、C、D 才有立足点。第二，C 项容易算错的地方在最后：，不要漏掉 。第三，D 项的区间端点都取不到，因为 既不能等于 （那会让 成直角）也不能等于 。 【答案】AD 变式9-2（多选·★★★☆☆） 在三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则（ ） A. B. 若，则 C. 若三角形ABC为锐角三角形，则的取值范围是 D. 若，则三角形ABC为直角三角形 【切入点】条件 给出的是角的关系，先要判断它是 还是 —— 这一步靠 排除。之后逐项判定。 【关键】A 项。 有两组解： 或 。若 ，与 相减得 ，于是 ，与题设 矛盾，舍去。所以 。A 正确。 【关键】B 项。由 得 ，用正弦定理化成边：。把余弦定理 代入：，两边乘 得 。代入 、：，整理得 ，解得 或 。由 舍去 ，故 。B 正确。 【关键】C 项。由 得 。而 ，锐角三角形要求 、、，解得 。所以 ，不是 。C 错误。 【关键】D 项。由 与正弦定理得 。又 ，而 ，代入得 。，约去后 ，即 ，（ 为内角， 是锐角，取正），所以 ，，，三角形为直角三角形。D 正确。故选 ABD。 【易错】第一，A 项的排除理由要说清：留下 会推出 ，与 矛盾。第二，B 项用 时，代入的应当是余弦定理中 的表达式；写成 会把结论做反。第三，C 项的范围上界是 而不是 —— 在 上取不到 ，因为 取不到 。 【答案】ABD 学科网（北京）股份有限公司 $