新疆石河子第二十二中学2026-2027学年九年级上学期数学第一次学情调研（人教版第二十五章《一元二次方程》、第二十六章《二次函数》综合测试）

绝密★启用前 石河子第二十二中学2027届九年级第一次学情调研 九年级数学 考试范围：第二十五章一元二次方程、第二十六章二次函数；考试时间：120分钟 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共9小题，每小题4分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列方程中，属于一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 2.若关于的函数是二次函数，则的值为(    ) A. B. C. D. 3.如果是方程的一个根，那么的值是(    ) A. B. C. D. 4.方程化为一元二次方程的一般形式是，则，的值分别是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 5.用配方法解方程时，原方程应变形为(    ) A. B. C. D. 6.某网络销售公司计划第二季度销售额达到万元，已知月的销售额为万元，设，月的销售额月平均增长率为，根据题意所列方程正确的是(    ) A. B. C. D. 7.将二次函数的图象向右平移个单位，再向下平移个单位后，所得抛物线为(    ) A. B. C. D. 8.已知抛物线经过，两点，则与的大小关系为(    ) A. B. C. D. 无法确定 9.一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中大致的图象可能是(    ) A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 10.写出一个二次函数，其图象满足：开口向上；过这个二次函数的解析式可以是                  ． 11.方程的两根是，，则的值为                           ． 12.某校九年级举行篮球赛，比赛采用单循环赛制每两队之间都赛一场，共进行了场比赛，设这次有个队参加比赛，则列方程为                       ． 13.已知二次函数，当自变量满足时，函数的最大值为                              ． 14.已知抛物线过，，则            ，            ． 15.如图，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为，，其中，，顶点纵坐标大于下列结论：；；；若，是方程的两个根，则，其中正确的结论有                      ． 三、解答题：本题共8小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题分解下列方程： ； ； ； ． 17.本小题分已知二次函数的图象经过点，． 求二次函数的解析式； 根据图象，直接写出当时，的取值范围． 18.本小题分已知关于的方程． 求证：无论取何值，该方程总有实数根； 若方程的两个根都是整数，请写出一个满足条件的的值，并求出此时方程的根． 19.本小题分如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为米的住房墙，另外三边用米长的建筑材料围成，为了方便进出，在垂直于住房墙的一边留一扇米宽的门． 如图，设猪舍与墙垂直的一边长为米，用含的式子表示另一边长的长． 当为多少时，猪舍面积为平方米？ 20.本小题分秋季流感爆发，有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感． 每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 经过三轮传染后共有多少人患了流感？ 21.本小题分平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶元，售价为每顶元，平均每周可售出顶商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于元，经调查发现：每降价元，平均每周可多售出顶设每顶头盔降价元，平均每周的销售量为顶． 每顶头盔降价元后，每顶头盔的利润是______元用含的代数式表示； 平均每周的销售量顶与降价元之间的函数关系式是______； 若该商店希望平均每周获得元的销售利润，则每顶头盔应降价多少？ 22.本小题分如图，已知一次函数的图象与二次函数的图象交于点和． 求两个函数的解析式； 求的面积． 23.本小题分有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽为，拱顶距水面． 在如图的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式； 为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于，求水面在正常水位基础上，最多涨多少米，不会影响过往船只？ 石河子第二十二中学2027届九年级第一次学情调研 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：方程是一元二次方程，选项A符合题意； B.方程不是整式方程， 方程不是一元二次方程，选项B不符合题意； C.方程含有两个未知数， 方程不是一元二次方程，选项C不符合题意； D.当时，方程不是一元二次方程，选项D不符合题意． 故选：． 利用一元二次方程的定义，逐一分析四个选项中的方程，即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键． 2.【答案】  【解析】解：根据二次函数的定义可得， ， 故选：． 根据二次函数的定义可得，然后进行计算即可解答． 本题考查了二次函数的定义，熟练掌握该知识点是关键． 3.【答案】  【解析】解：是方程的一个根， ， 解得， 故选：． 根据是方程的一个根，可以得到，然后即可求得的值． 本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确题意，求出的值． 4.【答案】  【解析】解：原方程整理得， 原方程化为一元二次方程的一般形式是， ，． 故选：． 把方程化为一元二次方程的一般形式，即可求解． 本题考查了一元二次方程化为一般形式，熟练掌握知识点是解题的关键． 5.【答案】  【解析】解：，  ，    故选：． 、根据配方法的步骤解答即可． 本题主要考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤把常数项移到等号的右边；把二次项的系数化为；等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 6.【答案】  【解析】解：根据题意得：． 故选：． 设、月的销售额月平均增长率为，则月份的销售额为万元，月份的销售额为万元，根据四月份月销售额五月份月销售额六月份月销售额，列出一元二次方程即可． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 7.【答案】  【解析】解：将二次函数的图象向右平移个单位，再向下平移个单位后，所得抛物线为． 故选：． 根据“左加右减，上加下减”平移变化规律求解即可． 本题考查二次函数图象的平移规律，掌握以上性质是解题的关键． 8.【答案】  【解析】解：抛物线的对称轴为直线， 抛物线开口向上，对称轴右侧随的增大而增大， ，，在对称轴右侧， ． 故选：． 先求得函数的对称轴为，再判断，在对称轴右侧，从而判断出与的大小关系． 本题考查了二次函数图象上点的特征，熟练掌握该知识点是关键． 9.【答案】  【解析】解：一次函数和二次函数都经过轴上的， 两个函数图象交于轴上的同一点，排除； 当时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，排除； 当时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，排除； 故选：． 根据二次函数的开口方向，与轴的交点；一次函数经过的象限，与轴的交点可得相关图象． 考查二次函数及一次函数的图象的性质；用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于，图象经过一、三象限；小于，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于，图象开口向上；二次项系数小于，图象开口向下． 10.【答案】  【解析】解：二次函数中时，抛物线开口向上， 时，抛物线与轴交点坐标为， 这个二次函数的解析式可以是答案不唯一． 故答案为：答案不唯一． 根据二次函数的性质，开口向上需满足二次项系数大于零，过点需满足常数项为，据此构造解析式． 本题考查二次函数图象与性质，掌握好系数对图象的影响是解题关键． 11.【答案】  【解析】解：、是方程的两个根， ， ， 故答案为：． 根据一元二次方程根与系数关系得到，代入即可得到答案． 此题考查了一元二次方程的根与系数关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数关系的内容是解题的关键． 12.【答案】  【解析】解：设这次有个队参加比赛， 根据题意得：， 故答案为：． 设这次有个队参加比赛，则总比赛场数为，根据共进行了场比赛，列出一元二次方程即可． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 13.【答案】  【解析】解：二次函数的对称轴为， ， 抛物线开口向上，在对称轴上有最小值， 则在区间内，最小值在处，而最大值为端点函数值较大者， 当时，； 当时，； ， 当自变量满足时，函数的最大值为， 故答案为：． 14.【答案】 【解析】解：抛物线过，  ，  解得，  抛物线为，  抛物线过点，  ，  故答案为：，． 根据待定系数法即可求得，然后把代入解析式即可求得． 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，熟知函数图象上点的坐标适合解析式是解题的关键． 15.【答案】． 【解析】解：抛物线开口向下，  ，  对称轴为直线，  ，  抛物线与轴的交点在轴正半轴，  ，  ，故正确；  抛物线的顶点纵坐标大于，  ，  ，  ，  ，故正确；  当时，，  当时，，  ，  ，故正确；  ，是方程的两个根，  ，是直线与抛物线两个交点的横坐标，  ，，故正确，  故答案为：． 由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴判定与的关系即可判断；由题意可知，进而得，即可判断；由当得，由得，进而得的取值范围，即可判断；根据函数与方程的关系即可判断． 本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与轴的交点、抛物线与轴交点的个数确定． 16.【答案】，  ， ，  ，  【解析】解：， ， 解得，； ， ， 或， ，； ， ， 或， ，； ， ， ， 或， 解得，． 运用直接开平方法进行解方程，即可作答． 运用因式分解法进行解方程，即可作答． 运用因式分解法进行解方程，即可作答． 运用因式分解法进行解方程，即可作答． 本题考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法和直接开平方法是解题的关键． 17.【答案】  或  【解析】解：的图象经过点，， ， 解得， 该函数的解析式为； ， 该函数的顶点坐标是，开口向下，过点，，，，该函数图象如图所示： 由图象可得，当时，的取值范围或． 将、坐标代入二次函数解析式求出、即可； 画出二次函数的图象，根据图象即可求解． 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象的画法、利用二次函数图象解不等式，掌握二次函数的综合知识是解题的关键． 18.【答案】证明：， ， 无论取何值，该方程总有实数根； 解：，由求根公式，得 ，， 方程的两个根都是整数， 取，方程的两根为，．  【解析】先求出判别式的值，再根据“”的意义证明即可； 根据求根公式得出，，即可求出的值和方程的根． 本题考查了求根公式和根的判别式的应用，能正确运用性质进行计算是解此题的关键． 19.【答案】米    【解析】解：另外三边用米长的建筑材料围成的，在垂直于住房墙的一边留一扇米宽的门．且设猪舍与墙垂直的一边长为米， 米， 另一边长的长为米； 猪舍面积为平方米， ， 即， ， 解得，， 当时，则舍去， 当时，则， 当时，猪舍面积为平方米． 结合矩形猪舍三边用米长的建筑材料围成的，在垂直于住房墙的一边留一扇米宽的门，进行列式表达另一边长的长为米； 根据长乘宽等于矩形的面积，列方程，再解得，，最后检验，即可作答． 本题考查一元二次方程的实际应用．读懂题意，看懂图形，列出一元二次方程是解题关键． 20.【答案】解：设每轮传染中平均一个人传染了人； 根据题意得，， 解得：，舍去， 答：每轮传染中平均一个人传染了人． 人， 答：经过三轮传染后共有人患了流感．  【解析】设每轮传染中平均一个人传染了人，根据题意列方程即可求解； 根据数据进行计算即可． 本题主要考查一元二次方程的应用，正确列出方程是解题的关键． 21.【答案】；   ；   每顶头盔应降价元．  【解析】解：进价为每顶元，原售价为每顶元， 每顶头盔降价元后，每顶头盔的利润是元； 故答案为：； 根据题意得：， 故答案为：； 根据题意得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：每顶头盔应降价元． 根据利润售价进价，列出代数式即可； 利用平均每周的销售量，即可找出与之间的函数关系式； 利用每周的销售利润每顶的销售利润每周的销售量，可列出关于的一元二次方程，解之可求出的值，再结合降价后每顶头盔的售价不高于元，即可确定结论． 本题主要考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式；根据各数量之间的关系，列式计算；找准等量关系，正确列出一元二次方程． 22.【答案】； 的面积为  【解析】二次函数的图象交于点和，  ，  解得，  二次函数的解析式；  把点代入二次函数解析式得，  把点，代入一次函数得  ，  解得，  故一次函数的解析式  一次函数与轴交于点，  ． 首先把点代入二次函数得出，再把点代入二次函数解析式得出，进一步把、代入一次函数求得一次函数即可；  利用一次函数求得点坐标，把的面积分为与的面积和即可． 此题考查待定系数法求一次函数、二次函数解析式，三角形的面积，正确利用函数图象上的点解决问题． 23.【答案】解：设所求抛物线的解析式为：， 由，到拱桥顶的距离为， 则，， 把，，的坐标分别代入得，， 抛物线的解析式为； 由题意得可设， 把点坐标代入抛物线的解析式为， 解得：， ． 即最多涨米，不会影响过往船只．  【解析】本题考查了二次函数的应用，同时也考查了利用图象上的点解决实际问题，正确理解题意是解决问题的关键． 设所求抛物线的解析式为：，由已知条件易知和的值，再把点的坐标代入求出的值即可； 由题意得可设，把点的坐标代入已经求出的抛物线解析式求出的值即可得到最多涨多少米不会影响过往船只． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $