第1讲：一元二次方程及其解法 精讲与精练 2026-2027 学年人教版九年级上册数学

第1讲：一元二次方程及其解法 题型一：一元二次方程的判断 4 题型二：一元二次方程的定义求参数问题 4 题型三：由一元二次方程的解求代数值 4 题型四：直接开平方法解一元二次方程 5 题型五、配方法解一元二次方程 5 题型六、根据判别式判断一元二次方程根的情况 6 题型七、根据一元二次方程根的情况求参数 6 题型八、公式法解一元二次方程 7 题型九、因式分解法解一元二次方程 7 题型十、换元法解一元二次方程 8 题型十一：用合适的方法解一元二次方程 9 题型十二：一元二次方程的综合问题 10 知识点一 一元二次方程的定义 （1）等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程． （2）注意以下3点： ①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③等号两边都是整式． 知识点二 一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0 (a≠0)． 其中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项． 知识点三 一元二次方程的解 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根．方程的解的定义是解方程过程中验根的依据．将此数代入这个一元二次方程的左右两边，看是否相等，若相等，就是这个方程的根；若不相等，就不是这个方程的根． 知识点四：解一元二次方程的方法 1.直接开平方法 （1）依据平方根的意义，将形如的一元二次方程“降次”转化为两个一元一次方程． （2）步骤： ①将方程转化为（或）的形式； ②分三种情况降次求解： （ⅰ）当时，，； （ⅱ）当时，； （ⅲ）当时，方程无实数根． 2. 配方法 （1）定义：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法． （2）利用配方法解一元二次方程的一般步骤： 一移：将常数项移到方程等号的右边． 二除：如果二次项系数不是，将方程两边同时除以二次项系数，将其化为． 三配：方程两边都加上一次项系数一半的平方，将方程左边配成完全平方的形式． 四开：如果方程的右边是一个非负数，就可以直接降次解方程；如果是一个负数，则原方程无实数根． （3）配方法解一元二次方程： ①配方后，化为型的方程，当时，可用直接开方法求解． ②若时，方程有两相等的根，即，而不是一个根． ③为便于配方，配方前应把二次项系数化为 1 ，要注意出现只在方程一边加上一次项系数一半的平方这种错误的情况． 3. 公式法 （1）一元二次方程根的判别式： 一般地，式子叫做方程根的判别式，通常用希腊字母表示，即． ①当>0时，方程有两个不相等的实数根，即． ②当=0时，方程有两个相等的实数根，即． ③当<0时，方程没有实数根． （2）求根公式：当时，方程的实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式． （3）公式法解一元二次方程的步骤： ①把方程化为一般形式； ②确定、、的值； ③计算的值； ④当时，把、、的值代入一元二次方程的求根公式，求得方程的根；当时，方程没有实数根． 4 因式分解法 （1）当方程缺少一次项时，可考虑用平方差公式分解因式． （2）当方程缺少常数项时，可考虑用提公因式法分解因式，且方程一定有一根为． （3）当方程中含有括号时，不要急于去括号，应观察是否能看作整体，直接因式分解． 知识点五 选择合适的方法解一元二次方程 方法名称 理论依据 适用范围 直接降次法 平方根的意义 形如或的一元二次方程 配方法 完全平方公式 所有一元二次方程 公式法 配方法 所有一元二次方程 因式分解法 若，则或 一边为，另一边易于分解成两个一次因式的积的一元二次方程 ⑴在没有规定解法时，解一元二次方程可以按下列次序选择解法：直接降次法→因式分解法→公式法→配方法． ⑵如果二次项系数为，一次项系数为偶数，用配方法比较简单，否则，因其步骤较为烦琐，一般不用配方法． 题型一：一元二次方程的判断 【例1】．（26-27九年级上·广东中山·开学考试）下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．（26-27九年级上·全国·课后作业）下列关于的方程一定是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】．（26-27九年级上·山东聊城·开学考试）下列各方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 题型二：一元二次方程的定义求参数问题 【例2】．（26-27九年级上·重庆·开学考试）若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（     ） A．3 B． C．3或 D．0 【变式1】．（25-26八年级下·山东烟台·期中）已知 是关于x的一元二次方程，则a的值为(　　) A． B． C． D． 【变式2】．（25-26九年级上·广东湛江·期末）若方程是关于x的一元二次方程，则m应满足的条件是（　） A． B． C． D． 题型三：由一元二次方程的解求代数值 【例3】．（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）已知a是方程的一个根，则代数式的值是（     ） A．1 B．－1 C．0 D．2 【变式1】．（26-27九年级上·北京海淀·开学考试）若是关于的方程的一个解，则代数式的值为（     ） A． B．1 C． D．2 【变式2】．（2026·四川雅安·一模）若关于x的一元二次方程的一个根是，则（     ） A．2029 B．2023 C． D．2025 题型四：直接开平方法解一元二次方程 【例4】．（2026九年级上·河北·专题练习）用直接开平方法解下列方程 (1) (2) (3) (4) 【变式1】．（26-27九年级上·全国·课后作业）解下列方程： (1)； (2)． 【变式2】．（26-27九年级上·全国·课后作业）解方程： (1)； (2)； (3)． 题型五、配方法解一元二次方程 【例5】．（26-27九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)． 【变式1】．（26-27九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2】．（26-27九年级上·全国·课后作业）用配方法解一元二次方程： (1)； (2)． 题型六、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【例6】．（26-27九年级上·河北唐山·开学考试）关于x的一元二次方程的根的情况是（     ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 【变式1】．（2026九年级上·全国·专题练习）一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【变式2】．（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 题型七、根据一元二次方程根的情况求参数 【例7】．（26-27九年级上·四川成都·开学考试）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B．且 C．且 D．且 【变式1】．（2026·山东济南·中考真题）若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式2】．（2026·甘肃嘉峪关·二模）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A．且 B．且 C． D．且 题型八、公式法解一元二次方程 【例8】．（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）用公式法解下列方程： (1) (2) 【变式1】．（26-27九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2】．（26-27九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 题型九、因式分解法解一元二次方程 【例9】．（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）用因式分解法解下列方程： (1) (2) 【变式1】．（26-27九年级上·河南信阳·开学考试）解一元二次方程： (1)； (2)． 【变式2】．（26-27九年级上·全国·课后作业）用因式分解法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型十、换元法解一元二次方程 【例10】．（2026九年级上·全国·专题练习）解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【变式1】．（26-27九年级上·全国·课后作业）阅读材料：为解方程，我们可以将看作一个整体，然后设 那么原方程可化为， 解得， 当时，，，； 当时，，，， 故原方程的解为． 上述解题过程中，将原方程中某个多项式视为整体，并用另一个未知数替换这个整体，从而把高次方程化为低次方程，实现降次的目的，这种解方程的方法称为“换元法”． 解答问题：请用换元法解下列方程： (1)； (2)． 【变式2】．（25-26八年级上·安徽六安·阶段检测）我们在求解结构复杂、次数较高的方程时，常常通过“降次”来简化方程后再求解，这种方法叫做换元法．例：解方程：． 解：将视为一个整体，设，则原方程可化为：， 因式分解得：，解得，， 当时，，解得；当时，，解得； 综上，原方程的解为，． 请参考例题，解下列方程： (1)； (2)． 题型十一：用合适的方法解一元二次方程 【例11】．（2026九年级上·河北·专题练习）用适当方法解下列一元二次方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1】．（26-27九年级上·山东日照·开学考试）解下列方程 (1)； (2)； (3)； (4) 【变式2】．（26-27九年级上·全国·阶段检测）用适当的方法解下列一元二次方程． (1) (2) (3) (4) 题型十二：一元二次方程的综合问题 【例12】．（25-26八年级下·北京·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：此方程总有实数根； (2)若此方程有两个互不相等的负整数根，求整数m的值． 【变式1】．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．先阅读理解下面的例题，再按要求解答问题． 例：求代数式的最小值． 解：． 因为，所以，所以的最小值是． (1)代数式的最小值为 ． (2)关于的二次多项式（为常数）有最小值为，求常数的值． (3)已知实数，满足，求的最大值． 【变式2】．（26-27九年级上·湖南长沙·开学考试）新定义：关于的一元二次方程与互为“长雅方程”． (1)根据上述定义，判断以下三组方程是否互为“长雅方程”（在题后相应的括号中，是打“”，不是打“”）； ①与（     ） ②与（     ） ③与（     ） (2)若关于的一元二次方程：的两实数根为． ①求的值； ②记方程的“长雅方程”为方程是方程的一个实数根，求的值． (3)若关于的一元二次方程与它的“长雅方程”有且只有一个公共实数根，求的值． 一、单选题 1．（26-27九年级上·山东济南·开学考试）把一元二次方程化成一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（26-27九年级上·河北张家口·开学考试）在用求根公式求一元二次方程的根时，琪琪正确代入了、、得到，则她求解的一元二次方程是（     ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·江苏南京·单元测试）已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式 的值等于（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·河北张家口·期末）嘉琪在解一元二次方程：时，不小心把常数项丢掉了，已知这个一元二次方程有两个不相等的实数根，则丢掉的常数项的最大值是（     ） A．1 B．3 C．4 D．5 5．（25-26八年级下·陕西西安·期末）已知一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（     ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·山东烟台·期末）若是一元二次方程的两个实数根，则的值是（     ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·山东淄博·期末）已知一元二次方程的两根为、，且，则（     ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·福建福州·期末）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若关于的方程是倍根方程，则的值为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（2026九年级上·全国·专题练习）关于的一元二次方程必有一根为__________． 10．（26-27九年级上·全国·课后作业）解下列方程：①；②；③； ④．用较简便的方法依次是______；______；______；______． 11．（26-27九年级上·河北唐山·开学考试）已知a，b，4分别是一个等腰三角形三边的长，且a，b是关于x的一元二次方程的两个根，则______． 12．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于___________． 三、解答题 13．（26-27九年级上·河北唐山·开学考试）解下列方程 (1)． (2)． (3)． (4)． 14．（26-27九年级上·山东济南·开学考试）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 15．（2026九年级上·全国·专题练习）已知m，n是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)若，求a的值； (2)已知等腰的一边长为7，若m，n恰好是另外两边的长，求的周长． 16．（26-27九年级上·江苏南京·单元测试）阅读与思考：配方法不仅能够帮助我们解一元二次方程，还能用来解决求最值问题．例如：求代数式的最小值，过程如下： 原式 ． ，， ， 的最小值是． 根据材料中的方法，解答下列问题． (1)的最大值为   ； (2)求的最小值． 17．（26-27九年级上·江苏南京·开学考试）在课上，我们已经学习过一元二次方程、一元三次方程根与系数的关系． (1)已知，，为一元三次方程的三个实数根，则___________，___________，___________． (2)问题解决．已知，，为方程的三个实数根，则对于下列结论一定正确的是（     ） A．     B．     C．     D． (3)若的三个根分别为，，，则的值是___________． (4)拓展提升．已知实数满足，且，求正数的最小值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1讲：一元二次方程及其解法 题型一：一元二次方程的判断 4 题型二：一元二次方程的定义求参数问题 4 题型三：由一元二次方程的解求代数值 5 题型四：直接开平方法解一元二次方程 6 题型五、配方法解一元二次方程 7 题型六、根据判别式判断一元二次方程根的情况 8 题型七、根据一元二次方程根的情况求参数 9 题型八、公式法解一元二次方程 11 题型九、因式分解法解一元二次方程 13 题型十、换元法解一元二次方程 14 题型十一：用合适的方法解一元二次方程 17 题型十二：一元二次方程的综合问题 20 知识点一 一元二次方程的定义 （1）等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程． （2）注意以下3点： ①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③等号两边都是整式． 知识点二 一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0 (a≠0)． 其中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项． 知识点三 一元二次方程的解 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根．方程的解的定义是解方程过程中验根的依据．将此数代入这个一元二次方程的左右两边，看是否相等，若相等，就是这个方程的根；若不相等，就不是这个方程的根． 知识点四：解一元二次方程的方法 1.直接开平方法 （1）依据平方根的意义，将形如的一元二次方程“降次”转化为两个一元一次方程． （2）步骤： ①将方程转化为（或）的形式； ②分三种情况降次求解： （ⅰ）当时，，； （ⅱ）当时，； （ⅲ）当时，方程无实数根． 2. 配方法 （1）定义：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法． （2）利用配方法解一元二次方程的一般步骤： 一移：将常数项移到方程等号的右边． 二除：如果二次项系数不是，将方程两边同时除以二次项系数，将其化为． 三配：方程两边都加上一次项系数一半的平方，将方程左边配成完全平方的形式． 四开：如果方程的右边是一个非负数，就可以直接降次解方程；如果是一个负数，则原方程无实数根． （3）配方法解一元二次方程： ①配方后，化为型的方程，当时，可用直接开方法求解． ②若时，方程有两相等的根，即，而不是一个根． ③为便于配方，配方前应把二次项系数化为 1 ，要注意出现只在方程一边加上一次项系数一半的平方这种错误的情况． 3. 公式法 （1）一元二次方程根的判别式： 一般地，式子叫做方程根的判别式，通常用希腊字母表示，即． ①当>0时，方程有两个不相等的实数根，即． ②当=0时，方程有两个相等的实数根，即． ③当<0时，方程没有实数根． （2）求根公式：当时，方程的实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式． （3）公式法解一元二次方程的步骤： ①把方程化为一般形式； ②确定、、的值； ③计算的值； ④当时，把、、的值代入一元二次方程的求根公式，求得方程的根；当时，方程没有实数根． 4 因式分解法 （1）当方程缺少一次项时，可考虑用平方差公式分解因式． （2）当方程缺少常数项时，可考虑用提公因式法分解因式，且方程一定有一根为． （3）当方程中含有括号时，不要急于去括号，应观察是否能看作整体，直接因式分解． 知识点五 选择合适的方法解一元二次方程 方法名称 理论依据 适用范围 直接降次法 平方根的意义 形如或的一元二次方程 配方法 完全平方公式 所有一元二次方程 公式法 配方法 所有一元二次方程 因式分解法 若，则或 一边为，另一边易于分解成两个一次因式的积的一元二次方程 ⑴在没有规定解法时，解一元二次方程可以按下列次序选择解法：直接降次法→因式分解法→公式法→配方法． ⑵如果二次项系数为，一次项系数为偶数，用配方法比较简单，否则，因其步骤较为烦琐，一般不用配方法． 题型一：一元二次方程的判断 【例1】．（26-27九年级上·广东中山·开学考试）下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、，是一元二次方程，故此选项符合题意； B、，含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C、，含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D、，当时不是一元二次方程，故此选项不符合题意． 【变式1】．（26-27九年级上·全国·课后作业）下列关于的方程一定是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、当时，该方程不含二次项，不是一元二次方程，所以该方程不一定是一元二次方程； B、方程含有，两个未知数，所以该方程不是一元二次方程； C、方程分母含未知数，不是整式方程，所以该方程不是一元二次方程； D、方程只含一个未知数，的最高次数为2，是整式方程，且二次项系数不为0，是一元二次方程． 【变式2】．（26-27九年级上·山东聊城·开学考试）下列各方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A选项：是分式方程，不是一元二次方程； B选项：展开左边得，整理得，是一元一次方程，不是一元二次方程； C选项：未明确，不一定是一元二次方程； D选项：是一元二次方程． 题型二：一元二次方程的定义求参数问题 【例2】．（26-27九年级上·重庆·开学考试）若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（     ） A．3 B． C．3或 D．0 【答案】A 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，且，由得，即或，由得， ∴． 【变式1】．（25-26八年级下·山东烟台·期中）已知 是关于x的一元二次方程，则a的值为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据题意可知，， 解得： 【变式2】．（25-26九年级上·广东湛江·期末）若方程是关于x的一元二次方程，则m应满足的条件是（　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴， ∴， 故选：C． 题型三：由一元二次方程的解求代数值 【例3】．（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）已知a是方程的一个根，则代数式的值是（     ） A．1 B．－1 C．0 D．2 【答案】A 【详解】解：∵是方程的根， ∴，即， . 【变式1】．（26-27九年级上·北京海淀·开学考试）若是关于的方程的一个解，则代数式的值为（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【详解】解：∵是方程的解， ∴，整理得， ∴． 【变式2】．（2026·四川雅安·一模）若关于x的一元二次方程的一个根是，则（     ） A．2029 B．2023 C． D．2025 【答案】A 【详解】解：将代入，得， ， ． 题型四：直接开平方法解一元二次方程 【例4】．（2026九年级上·河北·专题练习）用直接开平方法解下列方程 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解：，，，，，． （2）解：，，，，． （3）解：，，，，． （4）解：，，，． 【变式1】．（26-27九年级上·全国·课后作业）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：，，，，，，； （2）解：，，，，，，，． 【变式2】．（26-27九年级上·全国·课后作业）解方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)方程无实数根 (3) 【详解】（1）解：即； （2）解：∵，∴原方程无实数根； （3）解：即． 题型五、配方法解一元二次方程 【例5】．（26-27九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：，，，，，∴，． （2）解：，，，，，， ∴，． 【变式1】．（26-27九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)原方程无实数根 【详解】（1）解：，移项得：，方程两边同除以3得：， 配方得：，即，开平方得：，解得：； （2）解：，移项得：，方程两边同除以6得：， 配方得：，即，开平方得：，解得：； （3）解：，移项得：，方程两边同除以3得：， 配方得：，即，开平方得：，解得：； （4）解：，变为一般形式得：，移项得：， 配方得：，即，∵，∴原方程无解． 【变式2】．（26-27九年级上·全国·课后作业）用配方法解一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：，，，， ∴，∴，； （2）解：，，，， ，∴，∴，． 题型六、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【例6】．（26-27九年级上·河北唐山·开学考试）关于x的一元二次方程的根的情况是（     ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 【答案】A 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴方程没有实数根． 【变式1】．（2026九年级上·全国·专题练习）一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【答案】B 【分析】将原方程展开成一般形式，计算根的判别式，根据计算结果即可解答． 【详解】解：原方程整理，得， ， 原方程有两个不相等的实数根． 【变式2】．（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【详解】解：∵一元二次方程为， ∴，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴方程有两个不相等的实数根． 题型七、根据一元二次方程根的情况求参数 【例7】．（26-27九年级上·四川成都·开学考试）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】C 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， ∵方程有实数根， ∴， ∴， 解得， 综上，的取值范围是且． 【变式1】．（2026·山东济南·中考真题）若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的情况确定其判别式，即可求解． 【详解】解：∵ 方程有实数根， ∴ ， 即，解得． 【变式2】．（2026·甘肃嘉峪关·二模）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A．且 B．且 C． D．且 【答案】A 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， ∵方程有实数根， ∴，即， 解得， 综上，的取值范围是且． 题型八、公式法解一元二次方程 【例8】．（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）用公式法解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：即， ∴， ， ∴，. （2）解：， ∴， ， ∴，． 【变式1】．（26-27九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2) (3)， (4)方程无实数根 【详解】（1）解：，， ∴解得，； （2）解：整理得，，， ∴解得； （3）解：整理得，，， ∴解得，； （4）解：整理得，，， ∴方程无实数根． 【变式2】．（26-27九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)方程无实数根 【详解】（1）解：， 由方程可得：，，， ∵， ∴， 即，； （2）解： ， 将原方程化为一般形式，得， 由方程一般形式可得：，，， ∵， ∴， 即，； （3）解：， 将原方程化为一般形式，得， 由方程一般形式可得：，，， ∵， ∴该方程无实数根． 题型九、因式分解法解一元二次方程 【例9】．（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）用因式分解法解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)，； (2)，． 【详解】（1）解：原方程可变形为，提取公因式得， 即，因此或，解得，； （2）解：移项整理原方程得，因式分解得，因此或， 解得，． 【变式1】．（26-27九年级上·河南信阳·开学考试）解一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：或， （2）解： 或 ， 【变式2】．（26-27九年级上·全国·课后作业）用因式分解法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解：∴或，解得，； （2）解：或 解得，； （3）解：，，， 则或， 解得，； （4）解： 整理得， 或， 解得，； 题型十、换元法解一元二次方程 【例10】．（2026九年级上·全国·专题练习）解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)、、、 【详解】（1）解：设，则原方程化为， 解得，， 当时，无解，舍去； 当时，，解得； 所以原方程的解为，． （2）解：设，则原方程化为， 解得， 当时，， 解得，； 所以原方程的解为，． （3）解：设，则原方程化为， 解得，， 当时，， 整理得：， 解得：，； 当时，， 解得，． 所以原方程的解为、、、． 【变式1】．（26-27九年级上·全国·课后作业）阅读材料：为解方程，我们可以将看作一个整体，然后设 那么原方程可化为， 解得， 当时，，，； 当时，，，， 故原方程的解为． 上述解题过程中，将原方程中某个多项式视为整体，并用另一个未知数替换这个整体，从而把高次方程化为低次方程，实现降次的目的，这种解方程的方法称为“换元法”． 解答问题：请用换元法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：设， 原方程可化为， ， ，， 当时，， 经检验，是原方程的根； 当时，， 经检验，是原方程的根； 故原方程的解为． （2）解：设，原方程可化为，，， ，舍去，当时，，，故原方程解为． 【变式2】．（25-26八年级上·安徽六安·阶段检测）我们在求解结构复杂、次数较高的方程时，常常通过“降次”来简化方程后再求解，这种方法叫做换元法．例：解方程：． 解：将视为一个整体，设，则原方程可化为：， 因式分解得：，解得，， 当时，，解得；当时，，解得； 综上，原方程的解为，． 请参考例题，解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：设，则原方程可化为， ， 解得，， ∵， ∴不符合题意，舍去， 当时，， 解得，， 综上，原方程的解为，； （2）解：设，则原方程可化为， ， 解得，， 当时，， 整理得， ∵， ∴此方程无实数根； 当时，， 整理得， 解得，即，， 综上，原方程的解为，． 题型十一：用合适的方法解一元二次方程 【例11】．（2026九年级上·河北·专题练习）用适当方法解下列一元二次方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解：，，，，，； （2）解：，，，，，，； （3）解：，，，，，； （4）解：，，，， ，． 【变式1】．（26-27九年级上·山东日照·开学考试）解下列方程 (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解： 或 ，； （2）解：，，，； （3）解：，，，； （4）解：，，， ，． 【变式2】．（26-27九年级上·全国·阶段检测）用适当的方法解下列一元二次方程． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解： ， ， ， ，；                                         （2）解：原方程可变形为， 因式分解，得， 或， ，．       （3）解：， ， ， ， ， 解得，；     （4）解：， ， ， 或， 解得，． 题型十二：一元二次方程的综合问题 【例12】．（25-26八年级下·北京·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：此方程总有实数根； (2)若此方程有两个互不相等的负整数根，求整数m的值． 【答案】(1) 证明：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， ∵任意实数的平方都大于等于，即， ∴， ∴此方程总有实数根． (2) （2）解：对， 因式分解得， ∴或， 解得，， ∵方程有两个互不相等的负整数根，且为整数， ∴是负整数， ∴或， 当时，，此时两根相等，不符合题意，舍去； 当时，，两根为和，是两个互不相等的负整数根，符合题意； ∴． 【变式1】．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．先阅读理解下面的例题，再按要求解答问题． 例：求代数式的最小值． 解：． 因为，所以，所以的最小值是． (1)代数式的最小值为 ． (2)关于的二次多项式（为常数）有最小值为，求常数的值． (3)已知实数，满足，求的最大值． 【答案】(1) (2)常数的值为或 (3)最大值为 【详解】（1）解：， ， ， 的最小值是． （2）解： ， ， ， 关于的二次多项式的最小值为， 关于的二次多项式（为常数）有最小值为， ， ，即，解得，，常数的值为或； （3）解：， ， ， ，，， 当时，有最大值，最大值为． 【变式2】．（26-27九年级上·湖南长沙·开学考试）新定义：关于的一元二次方程与互为“长雅方程”． (1)根据上述定义，判断以下三组方程是否互为“长雅方程”（在题后相应的括号中，是打“”，不是打“”）； ①与（     ） ②与（     ） ③与（     ） (2)若关于的一元二次方程：的两实数根为． ①求的值； ②记方程的“长雅方程”为方程是方程的一个实数根，求的值． (3)若关于的一元二次方程与它的“长雅方程”有且只有一个公共实数根，求的值． 【答案】(1)①②③ (2)① ② (3) 【详解】（1）①两方程一次项系数互为相反数，常数项都为，二次项系数都为，但的值不确定，若则不满足条件，故打． ②两方程一次项系数互为相反数，二次项系数都为，常数项都为，符合定义，故打． ③两方程一次项系数互为相反数，二次项系数都为，常数项都为，符合定义，故打． （2）①解：关于的一元二次方程的两实数根， ， 由于； 则，，解得，．将代入原方程，得， 此时方程不成立，故舍去； 将代入原方程，得 ， 此时方程成立， 故的值为． ②解：将代入，得 ， 整理，得， 解得， 关于的一元二次方程的根 由题意，得：， 将代入，得 ， 整理，得， 解得， 用判别式验算，， 为的解， 则关于的一元二次方程的根 ． （3）解：对展开后化简， 得， 其“长雅方程”为， 设公共实数根为，需同时满足上述两个方程，可列方程组为 两式相减，得， 或． 当时，， 将代入原方程中， 解得； 此时原方程为，根为、， 原方程的“长雅方程”为，根为、， 此时满足有且只有一个公共实数根； 当时， 原方程为，无实数根， 此时不符题意，舍去； 综上所述，． 一、单选题 1．（26-27九年级上·山东济南·开学考试）把一元二次方程化成一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【详解】解：整理得， 所以二次项系数为4，一次项系数为，常数项为． 2．（26-27九年级上·河北张家口·开学考试）在用求根公式求一元二次方程的根时，琪琪正确代入了、、得到，则她求解的一元二次方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵一元二次方程求根公式为，且代入后得， ∴，解得，，解得，对比根号内的项，得，将代入，得， ∴原方程为． 3．（26-27九年级上·江苏南京·单元测试）已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式 的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵它的两根分别为，， ∴，， ∴ ． 4．（25-26八年级下·河北张家口·期末）嘉琪在解一元二次方程：时，不小心把常数项丢掉了，已知这个一元二次方程有两个不相等的实数根，则丢掉的常数项的最大值是（     ） A．1 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】设丢掉的常数项为，利用一元二次方程根的判别式得到的取值范围，找出选项中符合条件的最大值即可． 【详解】解：设丢掉的常数项为，则原方程为， ∵这个一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式， 解得， 结合选项可知，符合条件的最大值为． 5．（25-26八年级下·陕西西安·期末）已知一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得判别式为正数，得关于m的一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】解：将原方程整理为一般形式，得， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 6．（25-26八年级下·山东烟台·期末）若是一元二次方程的两个实数根，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用方程根的定义降次替换二次项，化简代数式后结合韦达定理得到两根之和，整体代入算出结果． 【详解】解：∵是一元二次方程的实数根， ∴， ∴， ∴， ∵是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴． 7．（25-26八年级下·山东淄博·期末）已知一元二次方程的两根为、，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用因式分解法求解一元二次方程，再根据确定两根的值，代入计算即可得到结果. 【详解】解： ， 或 解得，， ， ，， ∴. 8．（25-26八年级下·福建福州·期末）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若关于的方程是倍根方程，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设方程的两个根分别为和，且．根据一元二次方程根与系数的关系可得：由①得：，即．将代入②得：化简得：． 两边同乘（）得：． 二、填空题 9．（2026九年级上·全国·专题练习）关于的一元二次方程必有一根为__________． 【答案】 【详解】解： ， 或， 则该方程必有一根为． 10．（26-27九年级上·全国·课后作业）解下列方程：①；②；③；④．用较简便的方法依次是______；______；______；______． 【答案】 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法 【详解】解：①， 移项化简可得，直接开平方即可得到方程的解，因此最简便的方法是直接开平方法； ②， 移项化简可得，一次项系数为偶数，配方过程计算简便，因此最简便的方法是配方法； ③，无法直接开平方，也不易进行因式分解和配方，因此最简便的方法是公式法； ④，移项后可以提取公因式可得，因式分解计算即可，因此最简便的方法是因式分解法． 11．（26-27九年级上·河北唐山·开学考试）已知a，b，4分别是一个等腰三角形三边的长，且a，b是关于x的一元二次方程的两个根，则______． 【答案】或 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴根据根与系数的关系得， 分两种情况计算： 当为腰长，即或时， 将代入方程得：， 解得， 此时方程为，解得另一个根为， 三角形三边长为，符合三角形三边关系，满足题意； 当，即为腰长时， 此时方程有两个相等的实数根，判别式， 解得， 此时方程为，解得， 三角形三边长为，符合三角形三边关系，满足题意； 综上，的值为或． 12．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于___________． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根的定义得到，利用根与系数的关系得到，将所求代数式拆分变形后代入计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的实数根， ∴，即， ∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系可得， ∴． 三、解答题 13．（26-27九年级上·河北唐山·开学考试）解下列方程 (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解： ，； （2）解： ， ， ，； （3）解： 或 ，； （4）解： 或 ，． 14．（26-27九年级上·山东济南·开学考试）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ， 或 解得； （2）解： ， ， 解得； （3）解：， ， ， ， ， 解得； （4）解： ， ， ， 解得. 15．（2026九年级上·全国·专题练习）已知m，n是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)若，求a的值； (2)已知等腰的一边长为7，若m，n恰好是另外两边的长，求的周长． 【答案】(1)6 (2)17 【分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． （2）分类讨论：①当7为底边长时，此时方程有两个相等的实数根，②当7为腰长时，设，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵m，n是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴，且，， ， ∴ ， ∴， ∴， 或 ， ， 舍去． . （2）解：①当7为底边长时，此时方程有两个相等的实数根． ∴， 解得：， ∴方程化为：， ∴， ∴， ∵， ∴此时三角形不存在； ②当7为腰长时，设． 将代入方程， 得， ∴， 解得：或， 当时，方程变为， 解得或， ∵， ∴此时三角形不存在； 当时，方程变为， 解得：或， ∴的周长为17， 综上，的周长为17． 16．（26-27九年级上·江苏南京·单元测试）阅读与思考：配方法不仅能够帮助我们解一元二次方程，还能用来解决求最值问题．例如：求代数式的最小值，过程如下： 原式 ． ，， ， 的最小值是． 根据材料中的方法，解答下列问题． (1)的最大值为   ； (2)求的最小值． 【答案】(1)3 (2)12 【详解】（1）解： ∵ ∴ ∴的最大值为3 ∴的最大值为3； （2）解： ， ∵，， ∴． ∴的最小值是12． 17．（26-27九年级上·江苏南京·开学考试）在课上，我们已经学习过一元二次方程、一元三次方程根与系数的关系． (1)已知，，为一元三次方程的三个实数根，则___________，___________，___________． (2)问题解决．已知，，为方程的三个实数根，则对于下列结论一定正确的是（     ） A．     B．     C．     D． (3)若的三个根分别为，，，则的值是___________． (4)拓展提升．已知实数满足，且，求正数的最小值． 【答案】(1)，， (2)A (3)49 (4)3 【详解】（1）解：∵一元三次方程的三个实数根为，，， ∴， 展开，得， 对比方程可得， ，，， ∵， ∴，，． （2）解：∵，，为方程的三个实数根， ∴由（1）可得，， ∴A选项正确，D选项错误． ，的取值不确定，无法判断符号，故B选项错误． ，的取值不确定，无法判断符号，故C选项错误． （3）解：∵的三个根分别为，，， ∴，， ∵， ∴． （4）解：∵，， ∴，， ∴a，c是方程的两个实数根， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴正数的最小值为3． 2 学科网（北京）股份有限公司 $