精品解析：河北保定东方双语学校2026-2027学年第一学期九年级阶段学情自测数学试卷

2026-2027学年第一学期学科活动九年级数学 本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 一、单选题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分） 1. 一元二次方程的解为（    ） A. B. C. ， D. ， 2. 菱形具有而矩形不一定具有的性质是 ( ) A. 对角线互相垂直 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 对角互补 3. 如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，则∠BEA为（　　） A. 15° B. 30° C. 45° D. 55° 4. 若是关于x的方程的解，则a的值为（ ） A. B. C. D. 5. 张师傅应客户要求加工4个菱形零件，在交付客户之前，张师傅需要对4个零件进行检测，根据零件的检测结果，图中有可能不合格的零件是（　　） A. B. C. D. 6. 关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 7. 毕业将至，九（1）班全体学生互赠祝福卡，共赠祝福卡1560张，问：九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有名学生，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 观察下列表格，估计一元二次方程的一个解的大致范围是（ ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 0.11 0.24 0.39 0.56 0.74 0.96 1.19 1.44 1.71 A. B. C. D. 9. 如图，在四边形中，，，，交于点.添加一个条件使这个四边形成为一种特殊的平行四边形，则以下说法错误的是（ ） A. 添加“”，则四边形是菱形 B. 添加“”，则四边形是矩形 C. 添加“”，则四边形是菱形 D. 添加“”，则四边形是正方形 10. 如图，两条等宽的长方形纸条倾斜地重叠着，已知长方形纸条宽为，，则四边形的面积为（ ）． A. B. C. 4 D. 11. 如图，在矩形ABCD中，用直尺和圆规作BD的垂直平分线EF，交AB于点G，交DC于点H，若AB=4，BC=3，则AG的长为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在中，，且，点D是斜边上的一个动点，过点D分别作于点M，于点N，连接，点O为的中点，则线段的最小值为（ ） A. B. 5 C. D. 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 已知菱形的两条对角线长分别为6和4，则菱形的周长为________． 14. 如图所示，公路，互相垂直，点为公路的中点，为测量湖泊两侧、两点间的距离，若测得的长为，则，两点间的距离为________． 15. 已知一等腰三角形的底边长为5，腰长为方程的根，该等腰三角形的周长为 _____． 16. 如图，将矩形沿折叠，使点与点重合，已知，则的度数为___________． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分） 17. 解方程： （1） （2） （3） （4） 18. 已知关于的一元二次方程 （1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； （2）若该方程的一个根为3，求的值及该方程的另一根． 19. 如图，在正方形中，E，F分别是，上的点，连接，，若，求证：． 20. （1）我们发现，利用配方法解一元二次方程的步骤是相同的，因此，用配方法解一元二次方程，可以得到一元二次方程的求根公式．一般地，对于一元二次方程，当时，它的求根公式是_____，用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法． （2）小明在用公式法解方程时出现了错误，解答过如下： ，，，（第一步） ．（第二步） ∴．（第三步） ∴，．（第四步） 小明解答过程是从第______步开始出错的，其错误原因是 ． （3）请你写出此题正确的解答过程． 21. 如图，菱形对角线交于点，，，与交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求的长． 22. 已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长． (1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由． 23. 定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 【推理证明】 已知：如图1，在中，，点O是边的中点，求证：． 证明：如图2，延长至D，使，连接．请你补全余下的证明过程． 24. 如图，在矩形中，．动点P、Q分别从点A、C以的速度同时出发．动点P沿向终点B运动，动点Q沿向终点D运动，交对角线于点O．设点P的运动时间为t（秒）． （1）用含t的式子表示：______，______； （2）运动过程中，无论t为何值，四边形的面积都______； （3）当四边形是矩形时，求出t的值． （4）当是等腰三角形时，直接写出t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期学科活动九年级数学 本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 一、单选题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分） 1. 一元二次方程的解为（    ） A. B. C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可． 【详解】解：， ， ， 或， 解得，， 故选：C． 2. 菱形具有而矩形不一定具有的性质是 ( ) A. 对角线互相垂直 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 对角互补 【答案】A 【解析】 【详解】解：菱形的对角线互相垂直平分，矩形的对角线相等互相平分， 则菱形具有而矩形不一定具有的性质是：对角线互相垂直， 故选A． 3. 如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，则∠BEA为（　　） A. 15° B. 30° C. 45° D. 55° 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方形的性质，可知AB＝AD，∠BAD＝90°，再根据等边三角形的性质，可知AD＝AE，∠DAE＝60°，再由等量代换可得AB＝AE，∠BAE＝∠BAD +∠DAE＝150°，从而解出∠BEA＝15°． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴，， ∵△ADE是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴． 故选：A． 【点睛】本题关键之处在于利用正方形四边相等，四个角都等于的性质，以及等边三角形三边相等，三个角都等于的性质，得到是个顶角为等腰三角形，从而解出． 4. 若是关于x的方程的解，则a的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：把代入方程，得，即， 解得． 5. 张师傅应客户要求加工4个菱形零件，在交付客户之前，张师傅需要对4个零件进行检测，根据零件的检测结果，图中有可能不合格的零件是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形四边相等、邻角互补的性质，逐一判断选项，找出无法判定为菱形的图形． 【详解】解：A选项，四边都是，四条边相等的四边形是菱形，合格； B选项，邻角是与，由可得两对边平行，平行的两条边长度相等，可得四边形为平行四边形，又有邻边相等，则四边形是菱形，合格； C选项，邻角是与，由可得两对边平行，但并未给出两条平行的边长度相等，无法得出四边形是平行四边形，那么更无法得出该四边形是菱形，有可能是如图的情况，所以该零件有可能不合格； D选项，由给出的三个邻角可得出两组对边分别平行，则该四边形是平行四边形，又有一组邻边相等，那么该四边形是菱形，合格； 故C选项符合题意． 6. 关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】因为未说明关于x的方程是一元几次方程，因此先根据k是否等于0进行分类，若k为0，则原方程为一元一次方程，若k不为0，则原方程为一元二次方程，用根的判别式确定范围即可，最后综合起来得到最终的范围． 【详解】解：若，则原方程为， 解得，有实数根； 若，则原方程为， 其中，，， ∵方程有实数根， ∴， 解得，且此时， 综上，k的取值范围为． 7. 毕业将至，九（1）班全体学生互赠祝福卡，共赠祝福卡1560张，问：九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有名学生，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，根据每个同学都要送其他名同学一张祝福卡，因此总赠送祝福卡数是张，再根据共赠祝福卡1560张列方程即可． 【详解】解：设九（1）班共有x名学生， 由题意得：， 故选：B． 8. 观察下列表格，估计一元二次方程的一个解的大致范围是（ ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 0.11 0.24 0.39 0.56 0.74 0.96 1.19 1.44 1.71 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查估算一元二次方程近似解，根据表中数据可直接得出答案． 【详解】解：由表可知，时，随x的增大而增大， 当时，，当时，， 因此估计一元二次方程的一个解的大致范围是， 故选C． 9. 如图，在四边形中，，，，交于点.添加一个条件使这个四边形成为一种特殊的平行四边形，则以下说法错误的是（ ） A. 添加“”，则四边形是菱形 B. 添加“”，则四边形是矩形 C. 添加“”，则四边形是菱形 D. 添加“”，则四边形是正方形 【答案】B 【解析】 【分析】依次分析各选项，对各选项进行推导证明即可求出说法错误的选项． 【详解】解：A选项添加AB∥CD，则可得出∠ABD=∠BDC， 由AB=AD，BC=DC，可得出∠ABD=∠ADB，∠BDC=∠CBD， ∴∠ABD=∠ADB=∠BDC=∠CBD， ∴AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是菱形； B选项添加∠BAD=90°，无法证明其余的角也是90°，因此无法得到四边形ABCD是矩形； C选项添加OA=OC， 由AB=AD，BC=DC，可得出AC垂直平分BD， ∵OA=OC， ∴BD也垂直平分AC， ∴AB=BC， ∴AB=AD=BC=DC， 所以四边形ABCD是菱形； D选项添加“ ∠ABC=∠BCD=90° ， 由等腰三角形的性质，∠ABD=∠ADB，∠BDC=∠CBD， ∴∠ABC=∠ADC=90°， ∴∠ABC=∠ADC=∠BAC=∠BCD=90°， ∴四边形ABCD是矩形， 由AB=AD， ∴四边形ABCD是正方形． 故选B． 【点睛】本题考查了等腰三角形、菱形、矩形、正方形、线段的垂直平分线、平行线等内容，解决本题的关键是逐项分析和推导论证，本题一图多用，能较好的检测学生的基础知识与技能，加深学生对相关知识点的融会贯通． 10. 如图，两条等宽的长方形纸条倾斜地重叠着，已知长方形纸条宽为，，则四边形的面积为（ ）． A. B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作，根据题意可证明四边形是平行四边形， cm，再根据等面积法可证明，在中，根据正弦定义求出，代入菱形面积公式即可得答案． 【详解】解：如图， 过点作于点，根据题意得：，， ∴四边形是平行四边形， ∵长方形纸条宽度相等，且宽为， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， 在中，， ∴， ∴， ∵，， ∴，解得：， ∴， ∴四边形的面积为． 11. 如图，在矩形ABCD中，用直尺和圆规作BD的垂直平分线EF，交AB于点G，交DC于点H，若AB=4，BC=3，则AG的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由矩形的性质得出AD=BC=3，∠A=90°，由线段垂直平分线的性质得出DG=BG，设AG=x，则DG=BG=4-x，由勾股定理得出方程，解方程即可求出AG的长． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC=3，∠A=90°， ∵EF是BD的垂直平分线， ∴DG=BG， 设AG=x，则DG=BG=4-x， 在Rt△ADG中，由勾股定理得：AD2+AG2=DG2， 即32+x2=(4-x)2， 解得：x=； 即AG的长为； 故选C． 【点睛】本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，由勾股定理得出方程是解决问题的关键． 12. 如图，在中，，且，点D是斜边上的一个动点，过点D分别作于点M，于点N，连接，点O为的中点，则线段的最小值为（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由勾股定理求出的长，再证明四边形是矩形，可得，根据垂线段最短可得当时，的值最小，再利用三角形面积求出，可得，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， ，且，， ， ，， ， 四边形是矩形， ，， 当时，的值最小， 此时，， ， 的最小值为， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短，关键是掌握矩形的对角线相等． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 已知菱形的两条对角线长分别为6和4，则菱形的周长为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用菱形对角线互相垂直平分的性质得到直角三角形的两条直角边长，再用勾股定理求出菱形边长，即可计算周长． 【详解】 解：如图，设菱形的两条对角线，,对角线交于点． 菱形的对角线互相垂直平分， ，，，, 在中，由勾股定理得： ， 菱形四条边长度相等， 菱形周长为． 14. 如图所示，公路，互相垂直，点为公路的中点，为测量湖泊两侧、两点间的距离，若测得的长为，则，两点间的距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，根据题意得出，即可求解． 【详解】解：∵公路，互相垂直，点为公路的中点， ∴， 故答案为：． 15. 已知一等腰三角形的底边长为5，腰长为方程的根，该等腰三角形的周长为 _____． 【答案】17 【解析】 【分析】先求出一元二次方程的根，再根据三角形三边长关系进行判断即可． 【详解】解：方程， 分解因式得：， 所以或， 解得：或， 当时，三边为2，2，5，不能构成三角形； 当时，三边为6，6，5，能构成三角形， 综上，该等腰三角形的周长为17． 故答案为：17． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的定义，解一元二次方程，三角形三边长关系，掌握因式分解法求一元二次方程的解是关键． 16. 如图，将矩形沿折叠，使点与点重合，已知，则的度数为___________． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据平行线的性质求得，再根据折叠的性质即可解答． 【详解】解：在矩形中，， ， ， 根据折叠可得． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分） 17. 解方程： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】  解： 移项，得 开平方，得 解得 或 ∴； 【小问2详解】 解： 配方，得 整理得 开平方，得 ∴； 【小问3详解】 解： 移项得一般式 其中 ∴； 【小问4详解】 解： 移项，得 配方，得 整理得 开平方，得 ∴． 18. 已知关于的一元二次方程 （1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； （2）若该方程的一个根为3，求的值及该方程的另一根． 【答案】（1） （2） 的值为，方程的另一根为 【解析】 【分析】（1）根据方程有两个不相等实数根，结合判别式大于0列不等式求解； （2）可代入已知根求，再解方程得另一根，或利用根与系数的关系直接计算． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 即， 解得； 【小问2详解】 解：设方程的另一根为， 根据根与系数的关系，得， ， 解得，． 19. 如图，在正方形中，E，F分别是，上的点，连接，，若，求证：． 【答案】证明：四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】利用四边形性质得出，，结合题目条件通过证明，从而． 【详解】略． 20. （1）我们发现，利用配方法解一元二次方程的步骤是相同的，因此，用配方法解一元二次方程，可以得到一元二次方程的求根公式．一般地，对于一元二次方程，当时，它的求根公式是_____，用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法． （2）小明在用公式法解方程时出现了错误，解答过如下： ，，，（第一步） ．（第二步） ∴．（第三步） ∴，．（第四步） 小明解答过程是从第______步开始出错的，其错误原因是 ． （3）请你写出此题正确的解答过程． 【答案】（1）； （2）一，方程没有化成一般式； （3），，正确的解答过程： 方程化为， ，，， ． ∴． ∴，． 【解析】 【分析】(1)根据配方法解一元二次方程，即可求得； (2)根据公式法解一元二次方程，即可解答； (3)用公式法解此方程，即可求解． 【详解】解：（1）当时， 由原方程得：， 得， 得， 故， 故， 故答案为：； （2）由原方程得：， ，，， ∴小明解答过程是从第一步开始出错的，其错误原因是方程没有化成一般式． 故答案为：一，方程没有化成一般式； （3）略 【点睛】本题考查了利用配方法和公式法解一元二次方程，熟练掌握和运用利用配方法解一元二次方程的方法是解决本题的关键． 21. 如图，菱形对角线交于点，，，与交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求的长． 【答案】（1） ，， 四边形是平行四边形， 又菱形对角线交于点， ， 即， 四边形是矩形； （2）6 【解析】 【分析】（1）证明出四边形为平行四边形，由菱形的性质可证明，从而可证明四边形是矩形； （2）依据矩形的性质可得到，然后根据菱形的性质可得到，得即可． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：四边形是矩形， ， 四边形是菱形， ． ． 【点睛】本题主要考查的是菱形的性质、矩形的性质和判定、平行四边形的判定与性质等知识，解题的关键是熟练掌握矩形的判定与性质． 22. 已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长． (1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由． 【答案】 （1）△ABC是等腰三角形．理由如下： ∵x=﹣1是方程的根， ∴（a+c）×1﹣2b+（a﹣c）=0， ∴a+c﹣2b+a﹣c=0， ∴a﹣b=0， ∴a=b， ∴△ABC是等腰三角形； （2）△ABC是直角三角形．理由如下： ∵方程有两个相等的实数根， ∴△=， ∴， ∴， ∴△ABC是直角三角形． 【解析】 【详解】试题分析：（1）由方程解的定义把x=﹣1代入方程得到a﹣b=0，即a=b，于是由等腰三角形的判定即可得到△ABC是等腰三角形； （2）由判别式的意义得到△=0，整理得，然后由勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形． 试题解析：解：（1）略 （2）略 考点：1．根的判别式；2．等腰三角形的判定；3．勾股定理的逆定理． 23. 定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 【推理证明】 已知：如图1，在中，，点O是边的中点，求证：． 证明：如图2，延长至D，使，连接．请你补全余下的证明过程． 【答案】证明：∵点是边的中点， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 【解析】 【分析】先证明四边形是平行四边形，进而证明四边形是矩形，则由矩形的性质可得． 【详解】略 24. 如图，在矩形中，．动点P、Q分别从点A、C以的速度同时出发．动点P沿向终点B运动，动点Q沿向终点D运动，交对角线于点O．设点P的运动时间为t（秒）． （1）用含t的式子表示：______，______； （2）运动过程中，无论t为何值，四边形的面积都______； （3）当四边形是矩形时，求出t的值． （4）当是等腰三角形时，直接写出t的值． 【答案】（1）， （2）24 （3）2 （4）或或 【解析】 【分析】（1）由矩形，，可知，由勾股定理得，，则，，； （2）由题意知，根据，计算求解即可； （3）由四边形是矩形，可得，即，计算求解即可； （4）由题意知，是等腰三角形，分，，，三种情况求解：证明，则，①当时，，计算求解即可；②当时，与重合，，计算求解即可；③当时，如图，过点O作于点H，则是的中位线，，，中，由勾股定理得，，由，可得，即，计算求解即可． 【小问1详解】 解：∵矩形，， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∴，， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由题意知，， 故答案为：24； 【小问3详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，即，解得，， ∴t的值为2； 【小问4详解】 解：由题意知，是等腰三角形，分，，，三种情况求解： 由题意知，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ①当时，，解得； ②当时，与重合， ∴，解得； ③当时，如图，过点O作于点H，则是的中位线， ∴，， 在中，由勾股定理得，， ∵， ∴，即，解得； 综上所述，当或或时，是等腰三角形． 【点睛】本题考查了勾股定理，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，中位线，等腰三角形的性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $