重庆市永川中学校2026-2027学年高一上学期第一次调研检测数学试题

高2026级高一上第一次调研检测·数学学科 参考答案 一、选择题 题号 9 10 11 答案 0 & B AC ABD BD 7.【详解】由题意得A1+a)1+b)=A1+x)2,因为A>0,所以(1+a)1+b)=(1+x)2, 易知1+x>0,所以1+x=I+a)I+b), 因为1+a>0,1+b>0,则有、0+a0+s+a)+0+b)-1+a+b, 2 2 即1+≤1生即x≤ 2 8.【详解】易得：集合M=xm≤x≤m+的长度为， 集合N={xn-号≤x≤n的“长度为 因为它们都是{x0≤x≤1的子集，要使M∩N长度”最小， 集合M、N应该在{x0≤x≤1的两端. 若集合M在左，集合N在右，则m=0,n=1, 此时M=x0≤x≤，N={≤x≤1，MnW={x号≤x≤} 所以MnN的“长度为：是-号=立 若集合N在左，集合M在右，则m=子n=青 此时M=x≤x≤1，N={0≤x≤，MnN={x好≤x≤} 所以MnN的长度为：言年司 综上可知，MnN长度的最小值为2故选：C 1.【详解】对于A,2a+b=1≥2V2b,解得品≤， 疗，平方得a= 当且仪当2a=6:即a=b-时取等号，所以a0的最大值为写改A错误， 对于B, d+46+1≥4db+1-4b+ ≥24abx1=4, ab ab ab 当且仅当d2-2b2且4ab=1 6,p2=√2b2=2时取等号， 4 所以a++的最小值为4，故B正确： ab 对于C,由3a+b=2,可得b=2-3a>0,得0<a< 3 侧1+0+b3+2-2a=2+4-2a-22 1 2-a ×(4-20-2=32- 2-a 2-a 当且仅当，4-2a,即a-2 2- 2,故等号不成立，故C错误； 2 对于D,a+2b-月a+30+2（2a+b3+,LJ=2+32a+0+3a+36 a+3b 2a+b 5(a+3b)'5(2a+b) 第1页共4页 3(2a+b).3(a+3b)16 ≥2+2 5(a+3b)5(2a+b)5 当且仅当 (2a+b) 3(a+3b) 5(a+3b)-5(2a+b) 即a= b=5时取等号， 8 4 5 所认a+2办的最小值为5，故D正确 二、填空题 12.【答案】2<a-2b<7 13.【答案】{-4,0,4} 14.【答案】1≤x<3 14【详解】由4-12]+5≤0可得 由题中定义可知[x]的可能取值有1、2， 当[x]=1时，1≤x<2;当[x]=2时，2≤x<3 综上所述，使不等式4[x了-12[x]+5≤0成立的x的范围是1≤x<3 三、解答题 15.【详解】(1)由x2-3x+2<0得1<x<2, 由2x->1可得2x-1-1=2x-1-(x-.x>0,解得0或1， x-1 x-1 x-1x-1 ·.M={xx2-3x+2<0={x1<x<2h,N={x 2x-1八， x-1 ={x|x<0或x>1} (2)由(1)得M={x1<x<2},N={x|x<0或x>1}, MON=x1<x<2, 由补集的定义可得CM={x|x≤1或x≥2}，∴.(CM)UN=R 16.【详解】(1)当P为真命题时，即x∈R,x2-4x+a2>0”为真命题， 所以△=16-4a2<0,所以a<-2或a>2, 所以若p为假命题，则a的范围是{a-2≤a≤2}， 所以A={a-2≤a≤2} (2)因为x∈A是x∈B的必要不充分条件，所以BA, m+2≥2m-1 因为B≠⑦时，若B=A,只需2m-1≥-2，解得- 2sms0, m+2≤2 1 经检验，m=-。和m=0时满足条件， 1 综上所述，m的取值范围是m ≤m≤0 17.【解析】(1)当a=-2时，则-2x2-3x-1>0, 即2x2+3x+1<0,因式分解可得：(2x+1)(x+1)<0, 第2页共4页 所以-1<x<-子，则不等式的解集为(-1，-) (2)当a=0时，则ax2+(a-1)x-1>0为-x-1>0,即x<-1, 当a≠0时，则ax2+(a-1)x-1>0, 因式分解可得：(ax-1)x+1)=ax-)c+1)>0, 当a>0时，有>-1，则此时不等式解集为(-∞，-1)U(日，+∞)， 当a<0时，a(x-)c+1)>0等价于(x-)c+1)<0, 若<-1，即-1<a<0时，不等式解集为（日-1）， 若>-1，即a<-1时，不等式解集为-1日， 若}=-1，即a=-1时，不等式解集为空集， 综上所述，当a=0时，解集为(-∞，-1)， 当a=-1时，解集为0， 当a>0时，解集为(-∞，-1)U(日，+∞)， 当-1<a<0时，解集为(，-1)， 当a<-1时，解集为(-1，)： (3)因为(ax-1)x+1)+a+x>0恒成立，所以a(x2+x+1)>1, 因为x2+x+1=(x+)2+≥>0， 4 则a>则题目等价于a>(中x,xe分3， 令y=x2+x+1,开口向上，对称轴为x=-1 2 因为x∈[片，3]，所以当x=时，二次函数y=2+x+1有最小值好 因此4+的最大值为号即a>急 所以实数a的取值范围为(，+∞) 18.【详解】(1)依题意可得调整后研发人员的年人均工资为1+(2x)%a万元， 则(200-x)1+(2x)%a≥1.5×200a,(a>0),化简得x2-150x+5000≤0， 解得50≤x≤100，因为x∈N且40≤x≤80，所以50≤x≤80， 所以调整后的技术人员的人数最少为50人： (2)假设存在实数，使得技术人员在已知范围内调整后，满足以上两个条件， 由条件0得(20-0+(2%]a≥m0a, 200,2x 整理得m≤+。 +3: 25 因为20+25+3222 2002x x25 +3=11, 当且仅当200=2x,即x=50时等号成立，所以m≤11， 由条价@得如治a,解得m产高+1： 10 又因为40≤x≤80，所以m≥9.所以9≤m≤11. 第3页共4页 19.【详解】(1)设x1,x2∈A,则x1=a1+√7b1,x2=a2+V7b2,a,a2,b1,b2∈Z, 所以x1x2=a1a2+7b1b2+V7(a1b2+a2b1), 因为a1va2,b1,b2∈Z,所以a1a2+7b1b2∈Z,a1b2+a2b1∈Z,所以x1x2∈A, 所以A是一个“乘法封闭集” (2)根据题意，M中恰有2个元素，不妨设M={x,y}, 由“乘法封闭集”的定义可知，xy∈M,x2∈M,y2∈M, 由xy∈M,得xy=x或xy=y,即x(y-1)=0或y(x-1)=0,所以0∈M,或1∈M, 若令x=0,则M={0,y,所以y2=y,解得y=1(y=0舍去)，此时M={0,1}: 若令x=1,则M={1,y},所以y2=y或y2=1,解得y=0或y=-1(y=1舍去)，此时M= {0,1},或M={-1,1. 综上，M={0,1},或M={-1,1. (3)因为m+V√7n(m∈Z,n∈Z)是集合A的一个“完美元素”， 所以=a而=示+V7·n7∈A m-√7n m 1 -11 所以mm7∈Z,且m,n不同时为0， (》)得z 1 因为m2-7m2∈Z,所以m2-7n2=1,或m2-7m2=-1. 假设m2-7m2=-1,则m2+1=7m2,即m2+1为7的倍数， 设k∈Z,若m=7k,则m2+1=49k2+1,不是7的倍数： 若m=7k+1,则m2+1=49k2+14k+2=7(7k2+2)+2,不是7的倍数： 若m=7k+2,则m2+1=49k2+28k+5=7(7k2+4)+5,不是7的倍数： 若m=7k+3,则m2+1=49k2+42k+10=7(7k2+6k+1)+3,不是7的倍数； 若m=7k+4,则m2+1=49k2+56k+17=7(7k2+8k+2)+3,不是7的倍数： 若m=7k+5,则m2+1=49k2+70k+26=7(7k2+10k+3)+5,不是7的倍数： 若m=7k+6,则m2+1=49k2+84k+37=7(7k2+12k+5)+2,不是7的倍数， 假设不成立，所以m2-7m2≠-1，所以m2-7m2=1. 第4页共4页高2026级高一上第一次调研检测·数学学科 试题卷 命题人：姚元琼 审题人：王顺利 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合要求的。 1.若集合A={x∈N-1<x<3},则A的真子集个数为() A.3 B.4 C.7 D.15 2若不等式a2+bx-2>0的解集为{刘-2<x<-引，则a+b=( ) A.-18 B.8 C.1 D.-13 3.下列命题为真命题的是() A.若a<b<0,则贴<分 B.若a<b<0,则a+c<b+c C.若a>b>0,则ac2>bc2 D.若a>b>0,则al<|bl 4.若p:x-2≤1，则p成立的一个充分不必要条件是() A.2<x<3 B.1≤x≤3 C.0<x<3 D.0≤x≤4 5.若{x2-2xx∈{m-1,m+}}为单元素集合，则=() A.-1 B.0 C.1 D.2 6已如行列式的计第公式为日ad-c,若不绵式十引≥0对任应的x都恒成立。 a b 则实数a的取值范围是( ) A.a≤1 B.a≤-l C.a≤2 D.a≤-2 7.某工厂第一年的产量为A,第二年的增长率为4，第三年的增长率为b(a≥0，b≥0)，这 两年的平均增长率为x,则() A.x=a+b B.x≤地 2 C.x>a+b D.x≥a+b 2 2 2 8.设集合M={xm≤x≤m+4},N={xn-3≤x≤n,且M,N都是集合{x0≤x≤1) 的子集，如果把b一a叫做集合xa≤x≤b的长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是 () c 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 第1页共4页 9.己知全集U=R,集合M、N的关系如图所示，则下列结论中正确的( A.NnC,M=☑ U B.M∩C,N=O c.(CM)n(CN)）=C(MUN) N)M D.(CMCN)=C(MON) 10.下列命题正确的是() A.“a=0”是“ab=0”的充分不必要条件 B.“a>”是“<2”的充分不必要条件 C.“x<1,x2<1”的否定是“3x≥1，x2≥1” D.命题“3x∈R,x2-x+1=0”是假命题 11.下列命题中正确的是() A.若a>0,b>0,2a+b=1,则b的最大值为y5 B.若b>0,则+4+山的最小值为4 ab C.已知a>0,b>0,3a+b=2,则20b+a+b的最小值是2W2-2 D.若a>0,b>0,3 16 +36十2a+6=1,则a+2b的最小值为 第IⅡ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知2<a<3,-2<b<0,则a-2b的取值范围为 2口知：为要实数，代数式高高司吧g消所皮的家合 14.函数y=[x]在数学上称为高斯函数，也叫取整函数，其中[x]表示不大于x的最大整数， 如1.5]=1，[-2.3]=-3，[3]=3.那么使不等式4[x-12[x]+5≤0成立的x的范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15.(满分13分)已知集合M={xx2-3x+2<0,N={☒>1} (1)求集合M、N; (2)求MnN及(CM)UN. 第2页共4页 16.(满分15分)己知命题p:x∈R,x2-4x+a2>0,设P为假命题时实数a的取值范围 为集合A. (1)求集合A: (2)设非空集合B={a2m-1≤a≤m+2,若x∈A是x∈B的必要不充分条件，求实数m的 取值范围. 17.（满分15分)已知关于x不等式ax2+(a-1)x-1>0. (1)若a=-2时，求不等式的解集： (2)若a∈R,解这个关于x的不等式： (3)Vx∈{x片≤x≤3}，(ax-1)cx+1)+a+x>0恒成立，求实数a的取值范围. 18.(满分17分)某企业原有200名科技人员，年人均工资a万元(a>0).现加大对某芯 片研发力度，该企业把原有200名科技人员调整成技术人员和研发人员，其中技术人员x 名(x∈N且40≤x≤80).调整后，研发人员的年人均工资比调整前增加了(2x)%,技术人 第3页共4页 员的年人均工资为am- 万元 10 (1)若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前200名科技人员年总工资的1.5倍，求 调整后的技术人员最少有多少人？ (②)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同 时满足以下两个条件： ①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资： ②技术人员的年人均工资始终不低于调整前200名科技人员的年人均工资， 请问是否存在这样的实数？若存在，求出m的范围；若不存在，说明理由. 19.(满分17分)定义：设非空数集M∈R,若Vx,y∈M,xyEM,则称M是一个“乘法封 闭集”：若3x∈M,∈M,则称x为M的一个“完美元素”.已知集合A={xx=a+V7b,a∈ Zb∈Z. (1)证明：A是一个“乘法封闭集”； (2)若“乘法封闭集”M恰有4个子集，求集合M: (3)若m+√7n(m∈Z,n∈Z)是集合A的一个“完美元素”，求m2-7m2的值. 第4页共4页