精品解析：重庆市四川外国语大学附属外国语学校2026-2027学年度高一上学期第一次月考数学试卷

重庆外国语学校 2026—2027学年度（上）高2029届第一次月考 数学试题 （满分150分，时间120分钟） 命题：高2029届数学组 审题：高2029届数学组 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知命题：，，则为（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【详解】因为，的否定为，， 所以为，. 2. 函数的定义域为（　　） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定函数有意义直接列出不等式组，解不等式组作答. 【详解】依题意，，解得且， 所以的定义域为且. 故选：C 3. 定义集合运算，若，，则既有元素之和为（） A. 48 B. 54 C. 42 D. 36 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据集合和中的元素，按照新定义求出的所有元素，然后再求这些元素之和. 【详解】当时，. 当时，. 当时，. 当时，. 当时，. 当时，. 所以. 再求元素之和： 故选：D. 4. 已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的概念结合集合间的关系可得结果. 【详解】a＝3时，A＝{1，3}，A⊆B，即充分性成立； 当A⊆B时，a＝2或3，即必要性不成立； 故选：A. 5. 已知都是正数,不等式成立的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对式子移项、通分、计算,最后根据不等式的性质得到该不等式成立的条件. 【详解】,因为都是正数,所以要想使不等式成立,只需. 故选B 【点睛】本题考查了不等式成立的条件.利用不等式的性质是解题的关键. 6. 设全集U为实数集，已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. ，或， 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合交集和补集的定义，结合一元二次不等式的解法进行求解即可. 【详解】，或， ， 又图中阴影部分所表示的集合是， 而，或， 即，或， 故选：D 7. 若，，则的最小值是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据基本不等式可得a+2b≥3，构造不等式，解得即可 【详解】∵a＞0，b＞0，2ab+a+2b＝3， ∴2ab≤（）2， ∴a+2b＝3﹣2ab≥3，当且仅当a＝1，b时取等号 设a+2b＝t， 则t≥3， ∴t2+4t﹣12≥0， 解得t≤﹣6（舍去）或t≥2， ∴a+2b≥2， 故则a+2b的最小值是2， 故选D. 【点睛】本题考查了基本不等式的应用，考查了不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 8. 设为实数，记集合,，,若，分别为集合的元素个数，则下列结论不可能的是（） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合元素个数与方程根的个数之间的对应关系，对一次、二次方程的判别式进行分类讨论，逐项判断是否存在满足条件的实数. 【详解】选项A：且 要求仅有一个实根，即是唯一实根， 且无实根，需； 要求无实根，需无实根（即）， 且无实根，需； 取，则， ，符合条件；故A可能； 选项B：且 除A中情况外，还可为是唯一实根，且二次方程有重根， 即且为其根，得； 代入，则，唯一实根； 取，则，，符合条件；故B可能； 选项C：且 可为与二次方程两个不同实根 （其中一个为或都不是但二次方程有两不等实根且与一次根不同）； 要求恰有两个不同实根； 取，则，，符合条件；故C可能； 选项D：若，则，， 且不是的根，代入得， 若，由于，则有两个相异实根， 此时需是的一个根，代入得，两个条件矛盾，故D不可能； 综上，不可能成立的选项为D. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分． 9. 设全集U＝{0，1，2，3，4}，集合M＝{0，1，4}，N＝{0，1，3}，则（　　） A. M∩N＝{0，1} B. ＝{4} C. M∪N＝{0，1，3，4} D. ＝{4} 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据集合运算的定义判断. 【详解】由题意知M∩N＝{0，1}，A正确；＝{2，4}，B不正确；M∪N＝{0，1，3，4}，C正确；)＝{0，1，4}∩{2，4}＝{4}，D正确. 故选：ACD. 10. 设正实数，满足，则（ ） A. 的最小值为2 B. 有最小值为 C. 最大值为2 D. 有最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用基本不等式判断A、C、D，换元、结合二次函数的性质判断B. 【详解】对于A：因为，所以，当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为，故A正确； 对于B：因为正实数，满足，所以，又，解得， 所以，当时，有最小值为，此时，故B正确； 对于C：，因为， 所以，即最大值为，等号成立条件是，，故C正确； 对于D：， 当且仅当，即，时取等号，故D错误. 故选：ABC 11. 已知不等式，下列说法正确的是（    ） A. 若，则不等式的解为 B. 若不等式对恒成立，则整数的取值集合为 C. 若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 D. 若恰有一个整数使得不等式成立，则实数的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】解一元二次不等式判断A；按照和分类讨论，利用一元二次不等式在实数集上恒成立列不等式求解判断B；由题意对恒成立，利用一次型函数恒成立列不等式组求解判断C；由题意不等式的唯一整数解为，结合二次函数性质列不等式组求解判断D. 【详解】当时，， 所以，解得，故选项A错误. 若不等式对恒成立，则当时，不等式成立， 当时， ，解得，综上，， 则整数的取值集合为.故选项B正确. 若不等式对恒成立，则即对恒成立， 所以，解得，故选项C正确. 若恰有一个整数使得不等式成立，则，即，令， 因为，所以整数， 由题意，解得，故选项D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分． 12. 已知函数，则______． 【答案】2026 【解析】 【分析】先求出的值，再代入求出的值即可. 【详解】由题可得， 则. 13. 已知实数，满足，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【详解】由条件可求得，，所以， 又因为，两边同时乘以，不等号方向改变，得到， 两边同时加，得，即， 根据题中条件，所以， 因此的取值范围是. 14. 存在两个不相等的正实数和，使得成立，则最小值是______． 【答案】50 【解析】 【分析】先根据存在性，把问题转化成求右侧齐次式代数式最小值；利用双换元减少变量化成可用基本不等式的形式，最后验证等号成立的条件. 【详解】原不等式变形为， 题目为存在性问题，只需大于等于右侧代数式的最小值即可. 令，则 当且仅当即时取等号. 故即的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）若，求； （2）若，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用交集的定义可求. （2）根据可求实数m的取值范围． 【小问1详解】 时，故. 【小问2详解】 因为，故， 若即时，，符合； 若，则，解得， 综上，. 16. 如图,某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园.设菜园的长为，宽为. （1）若菜园面积为，则当为何值时，可使所用篱笆总长最小?并求出最小值. （2）若使用的篱笆总长度为，则当为何值时，可使菜园面积最大?并求出最大值. 【答案】（1）菜园的长为，宽为时，可使所用篱笆总长最小，最小值为 （2）菜园的长为，宽为时，可使菜园面积最大, 最大值为 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式求和的最小值即可； （2）利用基本不等式求积的最大值即可. 【小问1详解】 由已知可得，而篱笆总长为. 又，当且仅当，即时等号成立. 菜园的长为，宽为时，可使所用篱笆总长最小，最小值为. 【小问2详解】 由已知得，而菜园面积为， 则，当且仅当即时取等号. 菜园的长为，宽为时，可使菜园面积最大，最大值为. 17. 设集合，． （1）若，求； （2）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）或； （2）或 【解析】 【分析】（1）先解分式不等式化简集合；把代入，解一元二次不等式得到集合，再根据集合并集定义求出； （2）由充分条件可得，先因式分解化简集合，再根据集合包含关系，列不等式求出实数的取值范围即可. 【小问1详解】 当a＝3时，或， 因为， 所以或. 【小问2详解】 ∵“”是“”的充分条件，, ，即， 或，或， 而，要使得，则或，或． 18. 已知函数． （1）若的解集为，求，的值； （2）若，求不等式的解集； （3）在（1）的条件下，若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，解集为；当时，解集为或； 当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为. （3） 【解析】 【分析】（1）根据不等式解集得到方程的两根为1，2，代入后得到方程组，求出答案； （2）变形为，分，，，和五种情况，得到不等式的解集； （3）只需，换元后，由基本不等式求出函数最小值，进而得到，求出答案. 【小问1详解】 因为关于的不等式的解集为， 所以关于的方程的两根为1，2， 所以解得 【小问2详解】 因为，所以． ①当时，不等式为，解集为； ②当时，不等式可化为，解集为或； ③当时，，不等式可化为，解集为； ④当时，，不等式可化为，解集为； ⑤当时，，不等式可化为，解集为， 综上，当时，解集为；当时，解集为或； 当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为. 【小问3详解】 由（1）知不等式对任意恒成立， 即对任意恒成立， 只需． 因为，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，，故实数的取值范围为． 19. 若至少由两个元素构成的有限集合，且对于任意的，都有，则称为“集合”． （1）判断是否为“集合”，说明理由； （2）若双元素集为“集合”，且，求所有满足条件的集合； （3）求所有满足条件的“集合”． 【答案】（1）不是，理由如下： 因为，所以不是“一集合”． （2）； （3），其中. 【解析】 【分析】（1）根据集合新定义直接判断即可； （2）设，进而研究或是否存在正整数解即可； （3）讨论“集合”为双元素集或含有两个以上的元素，同（2）分析及反证法研究是否存在正整数解. 【小问1详解】 不是“一集合”，理由略； 【小问2详解】 设． 若，则或． 由，解得（舍去），此时； 由化为，而，故方程无正整数解． 若，则或， 由，解得，此时； 由化为，而，故方程无正整数解． 综上，所有满足条件的集合为． 【小问3详解】 若“集合”为双元素集， 不妨设，则或， 由，则，而，故，此时； 由，则，而，显然不存在正整数解； 所以，“集合”为，其中． 若“集合”含有两个以上的元素， 设最小的元素为，最大的元素为，第二大的元素为， 则是“集合”中的元素， 若，解得， 若，则，矛盾， 若，该方程的解为，则n，a不可能同时为整数，无解． 故所有满足条件的“集合”为，其中． 【点睛】关键点点睛：对于第二、三问，根据集合新定义给定公式，将问题化为研究相关方程是否存在正整数解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆外国语学校 2026—2027学年度（上）高2029届第一次月考 数学试题 （满分150分，时间120分钟） 命题：高2029届数学组 审题：高2029届数学组 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知命题：，，则为（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 函数的定义域为（　　） A. B. 且 C. 且 D. 3. 定义集合运算，若，，则既有元素之和为（） A. 48 B. 54 C. 42 D. 36 4. 已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知都是正数,不等式成立的条件是（ ） A. B. C. D. 6. 设全集U为实数集，已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. ，或， 7. 若，，则的最小值是 A. B. C. D. 8. 设为实数，记集合,，,若，分别为集合的元素个数，则下列结论不可能的是（） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分． 9. 设全集U＝{0，1，2，3，4}，集合M＝{0，1，4}，N＝{0，1，3}，则（　　） A. M∩N＝{0，1} B. ＝{4} C. M∪N＝{0，1，3，4} D. ＝{4} 10. 设正实数，满足，则（ ） A. 的最小值为2 B. 有最小值为 C. 最大值为2 D. 有最小值为 11. 已知不等式，下列说法正确的是（    ） A. 若，则不等式的解为 B. 若不等式对恒成立，则整数的取值集合为 C. 若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 D. 若恰有一个整数使得不等式成立，则实数的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分． 12. 已知函数，则______． 13. 已知实数，满足，则的取值范围是______． 14. 存在两个不相等的正实数和，使得成立，则最小值是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）若，求； （2）若，求实数m的取值范围． 16. 如图,某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园.设菜园的长为，宽为. （1）若菜园面积为，则当为何值时，可使所用篱笆总长最小?并求出最小值. （2）若使用的篱笆总长度为，则当为何值时，可使菜园面积最大?并求出最大值. 17. 设集合，． （1）若，求； （2）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围． 18. 已知函数． （1）若的解集为，求，的值； （2）若，求不等式的解集； （3）在（1）的条件下，若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 19. 若至少由两个元素构成的有限集合，且对于任意的，都有，则称为“集合”． （1）判断是否为“集合”，说明理由； （2）若双元素集为“集合”，且，求所有满足条件的集合； （3）求所有满足条件的“集合”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $