16.3.2完全平方公式（第1课时） 教学课件 2026--2027学年人教版八年级数学上册

第十六章 整式的乘法 16.3.2完全平方公式（第1课时） （人教版）八年级 上 01 教学目标 01 02 理解完全平方公式，了解完全平方公式的几何背景，能利用完全平 方公式进行简单的计算和推理； 经历探索完全平方公式的过程，感受从特殊到一般和数形结合的思 想，发展符号意识和几何直观观念。 02 新知导入 一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加 b 米.形成四块实验田，以种植不同的新品种(如图). 用不同的形式表示实验田的总面积， 并进行比较. a a b b 直接求：总面积=(a+b)(a+b) 间接求：总面积=a2+ab+ab+b2 你发现了什么？ (a+b)2=a2+2ab+b2 03 新知讲解 探究 计算下列多项式的积. (2) (m + 2)2＝_______________＝___________； (3) ( p－1)2 ＝_______________＝___________； (4) ( m－2)2＝_______________＝___________. (1) ( p + 1)2＝ ( p + 1)(p + 1)＝ p2 + 2p + 1； (m + 2)(m + 2) m2 + 4m + 4 ( p - 1)( p - 1 ) p2 - 2p + 1 (m - 2)( m - 2) m2 - 4m + 4 03 新知讲解 探究 （1）(p + 1)2 = p2 + 2p + 1； （2）(m + 2)2 = m2 + 2m + 4； （3）(p – 1)2 = p2 – 2p + 1； （4）(m – 2)2 = m2 – 4m + 4. p2 + 2·p·1 + 12 m2 + 2·m·2 + 22 p2 – 2·p·1 + 12 m2 – 2·m·2 + 22 你能发现什么规律？ 都是形如 (a ± b)2 的多项式相乘 右边第一项、最后一项分别是左边第一项、第二项的平方，中间一项是左边两项乘积的2倍 03 新知讲解 探究 猜想： (a + b)2 =____________ (a – b)2 =____________ a2 + 2ab + b2 a2 – 2ab + b2 对任意的、，上述发现的规律都成立吗？ ， ， ， ， ， ， 03 新知讲解 (a+b)2= . a2+2ab+b2 (a–b)2= . a2–2ab+b2 也就是说，两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.这两个公式叫做(乘法的)完全平方公式. 简记为： “首平方，尾平方，积的2倍放中央” 完全平方公式 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 是多项式乘法 (a+b)·(p+q) 中 p = a，q = b 的特殊情形. 03 新知讲解 公式特征： 公式中的字母a，b可以表示数、单项式和多项式. 积为二次三项式； 积中两项为两数的平方和； 另一项是两数积的2倍，且与两数中间的符号相同. 03 新知讲解 试一试 下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？ （1）(x+y)2=x2 +y2 (2) (x -y)2 =x2 -y2 (3) (-x +y)2 =x2+2xy +y2 (4) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2 × × × × (x +y)2 =x2+2xy +y2 (x -y)2 =x2 -2xy +y2 (-x +y)2 =x2 -2xy +y2 (2x +y)2 =4x2+4xy +y2 03 新知讲解 思考 你能根据图(1) 和图(2) 中图形的面积说明完全平方公式吗？ b a a b 图(1) ① ④ ② ③ b a a b 图(2) ① ② ④ ③ 03 新知讲解 思考 (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2. b a a b 图(1) ① ④ ② ③ 方法一 大正方形的边长为 a＋b，面积就是(a＋b)2. 方法二 ①②③④ 四个部分，它们的面积分别为 a2，ab，ab，b2 整个面积为 a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2. 分析：如何用不同的方法表示大正方形的面积？ 03 新知讲解 思考 借助信息技术看看。 03 新知讲解 思考 方法一 图 ② 中正方形 ① 的边长为 a－b，面积为 (a－b)2. b a a b 图(2) ① ② ④ ③ 分析：如何用不同的方法表示正方形①的面积？ 方法二 把正方形 ① 的面积看成大正方形的面积 a2 减去右边和上边两个长为 a ，宽为 b 的长方形面积之和，即 2ab ，此时重复减了 ④ 的面积，即 b2 ，应将其补上，也就是 a2－2ab＋b2. (a－b)2 ＝a2－2ab＋b2. 03 新知讲解 思考 借助信息技术看看。 03 新知讲解 例3 运用完全平方公式计算： （1）(4m+n)2； （2）(y-)2 .　 解：（1）(4m+n)2 =(4m)2+2∙(4m)∙n+n2 =16m2+8mn+n2. 首平方，尾平方，首尾二倍放中央. （2）(y-)2 =y2-2××y+()2 =y2-y+. 03 新知讲解 例4 运用完全平方公式计算： （1）1022； （2）992 .　 解：（1）1022 =(100+2)2 =1002+2×100×2+22 =10404. （2）992 =(100-1)2 =1002-2×100×1+12 =9801. 03 新知讲解 思考 （1）(a + b)2 与 (– a – b)2 相等吗？ (–a – b)2 = [–(a + b)]2 = (a + b)2 (–a – b)2 = (–a)2 – 2·(–a)·b + b2 = a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 或 （2）(a – b)2 与 (b – a)2 相等吗？ (a – b)2 = [–(b – a)]2 = (b – a)2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 = b2 – 2ab + a2 或 = (b – a)2 （3）(a – b)2 与 a2 – b2 相等吗？ (a – b)2 = (a – b)(a – b) a2 – b2 = (a + b)(a – b) 相等 相等 不相等 04 课堂练习 基础题 1.下列变形中，错误的是(　　) ①(b－4c)2＝b2－16c2； ②(a－2bc)2＝a2＋4abc＋4b2c2； ③(x＋y)2＝x2＋xy＋y2； ④(4m－n)2＝16m2－8mn＋n2. A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ A 04 课堂练习 基础题 2.给多项式4x2＋1加上一个单项式，使它成为一个完全平方式，则加上的单项式不可以是(　　) A．4x B．－4x C．4x4 D．－4x4 D 04 课堂练习 基础题 C 3．一块方巾铺在正方形的茶几上，四周刚好都垂下25 cm(四个角处除外)，如果设方巾的边长为a cm，则茶几的面积为(　　) A．(a2－2 500)cm2 B．(a2＋2 500)cm2 C．(a2－100a＋2 500)cm2 D．(a2＋100a＋2 500)cm2 04 课堂练习 基础题 4.计算： （1） ； 解：原式＝9a2＋6a＋1. （2） ； 解：原式 . （3） ; 解：原式 . 04 课堂练习 提升题 1.若，则， 的值分别为( ) D A.2，4 B.5， C.，25 D. ，25 2.已知，，则 的值等于( ) D A. B. C.1 D.2 04 课堂练习 拓展题 我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式. 例如：由图①可得到 . 04 课堂练习 拓展题 （1）写出图②所表示的数学等式：_______________________________ ________________；写出图③所表示的数学等式：__________________ _____________________________. （2）利用上述结论，解决下列问题： 已知，，求 的值. 解：由（1）可得 . 05 课堂小结 完全平方公式 注意 内容 两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍. 1.项数、符号、字母及其指数. 2.不能直接应用公式进行计算的式子，可能需要先添括号变形成符合公式的要求才行. 3.弄清完全平方公式和平方差公式不同(从公式结构特点及结果两方面). (a±b)2= a2±2ab+b2. 06 板书设计 16.3.2完全平方公式（第1课时） 完全平方公式： $