16.3.2 完全平方公式 课件 2026-2027学年人教版八年级数学上册 -

第十六章 整式的乘法 初中数学 八年级上册 人民教育出版社 观形析数，探索特殊的整式乘法 16.3.2 完全平方公式 复习引学，点燃思维 同学们，还记得多项式与多项式相乘的运算法则吗？它的符号语言是什么呢 多项式乘多项式运算法则：多项式与多项式相乘 ，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 符号语言：（a+b)(p +q)= ap + aq+bp +bq 追问1：如何利用图形的面积关系来说明这个法则？ 复习引学，点燃思维 追问1：如何利用图形的面积关系来说明这个法则？ b a p q ap bq bp aq 我们可以用长方形的面积进行直观的几何解释，这体现了“数形结合”的数学思想。核心逻辑：大长方形面积等于其分割后各小长方形面积之和，两者相等，从而验证运算法则。 “形”的角度 追问2：我们已经研究了“和乘差”的特殊结构得到平方差公式，那么如果两个完全相同的二项式相乘，又会诞生怎样简洁的运算规律？ 第十六章 整式的乘法 初中数学 八年级上册 人民教育出版社 观形析数，探索特殊的整式乘法 16.3.2 完全平方公式 探究研学，激活思维 请同学们计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ 思考： 1.四个式子的等号左边具有什么特征？计算结果有什么共同特征？ 2.能否用含字母a,b的式子表示具有以上特征的多项式乘法？ 学生活动：先独立思考，小组讨论1分钟,小组展示 (1) = = (3) = = (2) = = (4) ²= = 探究研学，激活思维 请同学们计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ 思考： 1.四个式子的等号左边具有什么特征？计算结果有什么共同特征？ 2.能否用含字母a,b的式子表示具有以上特征的多项式乘法？ 学生活动：先独立思考，小组讨论1分钟,小组展示 (1) = = (3) == (2) == 发现：上面的几个运算左边都是形如)²多项式相乘，右边形如 所以我们可以猜想： (4) ²== 探究研学，激活思维 你能否用代数的方法去验证我们的猜想呢？是否成立？ 证明: 左边= = = =右边 请你用文字语言和符号语言表达一下这一公式： 文字语言：两个数的和(或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍 符号 多项式与多项式乘法法则 我们把这两个公式叫作乘法的完全平方公式，其本质是多项式乘法中，的特殊情形. 证明: 左边= = = =右边 拼图验学，发散思维 你能否从形的角度去说明完全平方请你借助以下图形通过拼图进行说明。 几何验证： 等面积法 代数之算，几何之形，数形结合, 共同构建数学的严谨之美。 = = a² = = ab ab b² ab ab b² 辨析公式，强化思维 我们探究发现，完全平方公式有两个，你能说一说它们的异同点吗？ (a + b)2 = a2 + 2ab + b2， (a - b)2 = a2 - 2ab + b2. 积的次数和项数 相同的项 不同的项 和的完全平方公式 差的完全平方公式 二次三项式 二次三项式 a2，b2 a2，b2 +2ab -2ab 发现： 1.左边是二项式的平方，右边是二次三项式； 2.右边是两项的平方和与这两项积的2倍； 首平方，尾平方，积的2倍在中央 ,符号看前方 公式中的字母 a，b 可以表示数，单项式还可以表示多项式吗？ 观其形，辨其构，方能得其解 辨析公式，强化思维 例1 运用完全平方公式计算 分析：在(1)中，可以把看成a, n看成b, 即 = 解： =(4)² = 分析：在(2)中，可以把看成a, 看成b, 即 解 = - y + 用完全平方公式进行计算的步骤是什么？你能说一下吗？ = = 巧用公式，提升思维 例2 计算 活动要求： 1.独立思考进行解题。2.小组内交流解题思路.3.小组代表展示交流成果 法 法 = 法 思考：与相等吗？ 与相等吗？ 相等吗？为什么？ 巧用公式，提升思维 思考：与相等吗？ 与相等吗？ 相等吗？为什么？ ③ (a－b)² 与 a²－b² 不一定相等. 只有当 b＝0 或 a＝b 时，(a－b)²＝a²－b². 解：① (－a－b)² ＝(－a)²－2·(－a)·b＋b² ＝a²＋2ab＋b²＝(a＋b)²， 所以 (a＋b)² 与 (－a－b)² 相等. ② (b－а)² ＝b²－2ba＋a² ＝a²－2ab＋b²＝(a－b)²， 所以 (a－b)² 与 (b－а)² 相等. 中考衔接，拓展拔高 1.已知 x－y＝6，xy＝－8. 求： （1） x2＋y2 的值； （2） (x＋y)2 的值 ＝36－16 ＝20. 解：(1) ∵ x－y＝6，xy＝－8， (x－y)2＝x2＋y2－2xy， ∴ x2＋y2＝(x－y)2＋2xy (2) ∵ x2＋y2＝20，xy＝－8， ∴ (x＋y)2＝x2＋y2＋2xy ＝20－16 ＝4. 2.先化简，再求值：其中， 解： = = = ∴当， 时 原式= = 盘点收获，聚焦思维 1.本节课学习 的数学知识 是什么？ 2.我们是如何 得到它的？ 3.它的用途 是什么？ 4.它与多项式乘法 的联系是什么？ 完全平方公式 数形结合 特殊到一般 计算猜想 推理验证 拼图验证 简化计算 面积问题 速算 其它特殊乘法公式 类比 多项式相乘的法则: 一般到特殊 学程评量，教评融合 评价主题 评价量规 得分 一、知识理解 （30分） 1.了解完全平方公式得代数与几何双重意义，理清与多项式乘法的关系 2.能正确识别完全平方公式，区分可使用公式的多项式乘法场景 二、问题解决 （30分） 精准识别公式结构，能将复杂多项式乘法转化为完全平方公式的标准形式，熟练运用公式进行简便运算 三、思维能力 (20分） 在探索完全平方公式过程中，体会从一般到特殊得研究方法，能运用归纳、类比、转化、数形结合的思想，体会公式的推导，借助图形面积进行说明 四、学习态度 （20分） 1.课堂上积极参与小组讨论，主动发表个人观点，与组员合作良好. 2.能够独立思考，认真完成练习，并能及时改正错误. 作业布置，分层落实 分数 分层作业 教师寄语 80—100 完成《同步练习册》本节内容 芳华待灼，砥砺深耕 60—79 完成《同步练习册》中的跟踪检测部分 百舸争流，奋楫者先 60分以下 完成课本115—116页课后习题1，2题 为者常成，行者常至 等级 A B C 请同学们根据评价选择作业 感谢倾听 $