16.3.2 完全平方公式 课件 2026-2027学年人教版八年级数学上册

16.3.2 完全平方公式 1 明明订购了一个 6 寸的大披萨，不久店员打电话告知 6 寸的披萨卖完了，问能否换购一个 4 寸和一个 2 寸的小披萨(披萨近似看作圆).你认为明明应该同意吗？ 大披萨的面积：S = π·32 = 9π . 小披萨的面积之和：S = π·22 + π·12 = 5π . 你发现了什么？ (2 + 1)2 ≠ 22 + 12. 所以不应该同意. (1) ( p + 1 )2 = = . 知识点 1：完全平方公式 探究 1：计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ (2) ( m + 2 )2 = = . p2 + p + p + 12 m2 + 2m + 2m + 22 两数的___的平方 和 两数____的和， 平方 加上它们积的__倍 2 p2 + 2p + 12 m2 + 4m + 22 规律：两个数的和的平方，等于这两个数平方的和，加上它们的积的2倍. 验证：对于任意数字，探究上述结果是否仍成立？ ∵(a＋b)2 = (a＋b)(a＋b) = a2＋2ab＋b2. = a2 ＋ ab ＋ ab ＋ b2 ∴上述结果仍成立. 思路一： 你能几何的形式证明公式成立吗? b a a b 图 1 思路二： 问题1：你有几种方法求边长为 (a + b) 的正方形的面积？ a a b b 整体求：总面积 = (a + b)2. 部分求：面积和 = a2 + ab + ab + b2. (a + b)2 = . a2 + 2ab + b2 a2 b2 ab ab (3) ( p－1 )2 = ( p－1 )( p－1 ) = . p2－2p + 12 (4) ( m－2 )2 = ( m－2 )( m－2 ) = . m2－4m + 22 探究 2：结合探究1 填空，你能总结出规律并验证吗？ 规律：两个数的差的平方，等于这两个数平方的和，减去它们的积的 2 倍. 验证：对于任意数字，探究上述结果是否仍成立？ 验证： ∵(a－b)2 = (a－b)(a－b) = a2－2ab－b2. = a2 － ab － ab － b2 ∴上述结果仍成立. 思路一： 你能类比上述几何方法验证(a－b)2 = a2－2ab－b2 成立吗? 思路二： (a - b)2 = . a2 - 2ab + b2 问题2：你有几种方法求边长为 (a − b) 的正方形的面积？ 整体求：总面积 = (a − b)2. 部分求：面积差 = a2 − ab − b(a−b) = a2 − 2ab − ab + b2. a−b a a ab b(a−b) b b (a−b)2 a−b 完全平方公式 运算法则： 两个数的_________的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的_____. 这两个公式叫做 (乘法的) 完全平方公式. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 和 (或差) 2 倍 文字说明： 例1 运用完全平方公式计算： 解：(4m + n)2 = = 16m2 (1) (4m + n)2； (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (4m)2 + 2×(4m) · n + n2 + 8mn + n2. (2) . 解： = y2 - 2 · y · + ( )2 = y2 - y + (2) . 1.利用完全平方公式计算： (1) (5－a)2； (2) (－3m－4n)2； (3) (－3a＋b)2. (3) (－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2. 解：(1) (5－a)2＝25－10a＋a2. (2) (－3m－4n)2＝9m2＋24mn＋16n2. (1) 1022； 解： 1022 = (100 + 2)2 = 10000 + 400 + 4 = 10404. (2) 992. 解：992 = (100 – 1)2 = 10000 - 200 + 1 = 9801. 例2 运用完全平方公式计算： 积的次数和项数 相同的项 不同的项 和的完全平方公式 差的完全平方公式 问题：观察这两个公式，回答下列问题. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2， (a - b)2 = a2 - 2ab + b2. 二次三项式 二次三项式 a2，b2 a2，b2 +2ab -2ab 公式中的字母 a，b 可以表示数，单项式还可以表示多项式吗？ 知识点 2：添括号法则 a + (b + c) =_________； a – (b + c) = __________. a + b + c = a + (b + c)； a – b – c = a – (b + c). 去括号： 把上面两个等式的左右两边反过来，就得到添括号法则： a + b + c a – b – c 添括号时，如果括号前面是_____，括到括号里的各项都_________； 添括号法则 正号 不变符号 如果括号前面是负号，括到括号里的各项都_____符号. 改变 例3 运用乘法公式计算：(1) (x + 2y - 3)(x - 2y + 3)； = x2 – (2y – 3)2 = x2 – (4y2 – 12y + 9) = x2 – 4y2 + 12y – 9. 解：原式 = [x + (2y – 3)][x – (2y – 3)] 同号 异号 a b 平方差公式 整体 完全平方公式 解：原式 = [(a + b) + c]2 = (a + b)2 + 2(a + b)c + c2 = a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2. (2) (a + b + c)(a + b + c). 完全平方公式 都同号 完全平方公式 添括号法则 如果括号前面是_____，括到括号里的各项都_________； 如果括号前面是负号，括到括号里的各项都_____符号. 内容 两个数的_________的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的_____. 字母表示：(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 和 (或差) 2 倍 正号 不变符号 改变 1.给出下列算式： ①(2x＋y)2＝4x2＋y2； ②(a－3b)2＝a2－9b2； ③(－x－y)2＝x2－2xy＋y2； ④(4m－3n)(3n－4m)＝－16m2＋24mn－9n2. 其中错误的有(　 ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 C 随堂小练 2.如图，可验证的乘法公式是(　　) A.(m－n)2＝m2－2mn＋n2 B.(m＋n)2＝m2＋2mn＋n2 C.(m＋n)(m－n)＝m2－n2 D.(m＋n)2＝(m－n)2＋4mn A 3.如果(x＋a)2＝x2＋mx＋16，则m的值是(　　) A.4 B.－4或4 C.8 D.－8或8 D 5.(1)已知a－b＝3，ab＝10，则a2＋b2＝　　　　； 29 (2)已知(x－y)2＝4，(x＋y)2＝36，则x2＋y2－3xy＝　　　　； －4 (3)已知(a－2 026)2＋(a－2 028)2＝18，则(a－2 027)2＝　　　　. 8 4.已知2a2－a－3＝0，则(2a＋3)(2a－3)＋(2a－1)2的值是(　　) A.6 B.－5 C.－3 D.4 D　 6. 运用完全平方公式计算： （1）(2a + 5b)2； （2）(4x – 3y)2； (3)(2a＋b－3)2. 解：(1) 原式 = (2a)2 + 2·2a·5b + (5b)2 = 4a2 + 20ab + 25b2 (2) 原式 = (4x)2 – 2·4x·3y + (3y)2 = 16x2 – 24xy + 9y2 (3)原式＝［2a＋(b－3)］2＝(2a)2＋(b－3)2＋2×2a×(b－3) ＝4a2＋b2＋9－2b×3＋4ab－12a ＝4a2＋b2＋9＋4ab－12a－6b. $