广东省珠海市广东实验中学金湾学校2026-2027学年高二数学10月月考模拟卷1

2026-2027学年珠海市广东实验中学金湾学校高二数学10月月考模拟卷1 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．在正四面体ABCD中，与的夹角等于（    ） A．30° B．60° C．150° D．120° 3．若向量，且与的夹角余弦为，则（    ） A．2 B． C． D． 4．将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 5．某公园有东、南、西、北共4个大门供游客出入，小军、小明从不同的大门进入公园游玩，游玩结束后，他们随机地从其中一个大门离开，则他们恰好从同一个大门出去的概率是（    ） A． B． C． D． 6．在以下三个命题中，真命题的个数是 ①三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，共面； ②若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线； ③若，是两个不共线的向量，且，则构成空间的一个基底． A． B． C． D． 7．在“校园安全”知识竞赛中，对某校学生的参赛成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．其中样本数据的分布区间为，分组区间是，，，，，．根据频率分布直方图，估计该校学生参赛成绩的80%分位数是（   ） A．75 B．80 C．85 D．90 8．若向量，，共面，则（     ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 9．先后抛掷质地均匀的硬币两次，下列说法正确的有（    ） A．样本空间中一共含有4个样本点 B．事件“至少一次正面向上”与事件“至少一次背面向上”是互斥事件 C．事件“至少一次正面向上”与事件“两次背面向上”是对立事件 D．事件“一次正面向上一次背面向上”发生的概率是 10．数据显示，全国城镇非私营单位就业人员平均工资在2011年为40000元，到了2020年，为97379元，比上年增长7.6%.根据下图提供的信息，下面结论中正确的是（    ） 2011-2020年城镇非私营单位就业人员年平均工资及增速 A．2011年以来，全国城镇非私营单位就业人员平均工资逐年增长 B．工资增速越快，工资的绝对值增加也越大 C．与2011年相比，2019年全国城镇非私营单位就业人员平均工资翻了一番多 D．2018年全国城镇非私营单位就业人员平均工资首次突破90000元 11．若构成空间的一个基底，则下列不能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．将一枚质地均匀的六面体骰子抛掷一次，则出现“正面向上的点数小于3”的概率是___________. 13．已知A组：2，3，4，5；B组：，7，8，9，A组数据的平均数是______；若A，B两组数据的方差相等，则______. 14．已知向量，，则向量在向量上的投影向量为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．一次数学考试有道填空题，共分，每道题完全答对得分，否则得分.在试卷命题时，设计第一道题使考生都能完全答对，后三道题能完全答对的概率分别为，，，且每道题答对与否相互独立. (1)当时，求考生填空题得分的概率； (2)若考生填空题得分与得分的概率相等，求的值. 16．某市为弘扬中华传统文化，针对全市不同年龄市民，举办了“国韵流芳”知识竞赛，满分100分（90分及以上为“传统文化高认知者”）.竞赛后统计得出高认知者共人按年龄分成5组：第一组､第二组､第三组､第四组､第五组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求的值，并根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄（同一组年龄用该组区间中点值表示） (2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人担任“传统文化宣传员”.已知市民甲年龄30岁）､乙（年龄40岁）已被选入宣传员队伍.若计划从第三组和第五组被抽到的宣传员中，再随机抽取2名作为组长，求甲､乙两人至少有一人被选为组长的概率. 17．已知平行六面体，化简下列向量表达式 (1)； (2)； (3)． 18．如图，在棱长为2的正四面体中，已知是线段的中点，点在线段上，且.    (1)用向量表示； (2)求； (3)求向量与夹角的余弦值. 19．如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，侧棱底面，且，是侧棱的中点． (1)求异面直线与所成的角的大小； (2)求证：平面． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年珠海市广东实验中学金湾学校高二数学10月月考模拟卷1解析 1．【答案】D 【分析】根据向量的线性运算求解即可判断各选项． 【解】对于A，，故A不正确； 对于B，，故B不正确； 对于C，，故C不正确； 对于D，，故D正确． 故选：D． 2．【答案】D 【分析】根据正三角内角为求解. 【解】由正四面体每个面都是正三角形可知， 故选：D 3．【答案】C 【分析】直接利用向量的夹角公式即可求得. 【解】因为向量， 所以， 解得：. 故选：C 4．【答案】D 【分析】求出所有的排列方式，得出两本数学书相邻的情况，即可求出概率. 【解】解析：两本不同的数学书用a1，a2表示，语文书用b表示． 则所有的排列方式有(a1，a2，b)，(a1，b，a2)，(a2，a1，b)，(a2，b，a1)，(b，a1，a2)，(b，a2，a1)共6种． 其中两本数学书相邻的情况有4种，故所求概率为． 故选：D. 5．【答案】C 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，可求得小军、小明恰好从同一个出口出该公园的情况，再利用古典概率公式求解即可求得答案． 【解】如图， 由树状图可知，共有16种等可能结果，其中小军、小明恰好从同一个出口出该公园的有4种等可能结果， 所以小军、小明恰好从同一个出口出该公园的概率为， 故选：C． 6．【答案】C 【分析】①不能构成基底，向量，，一定共面；②向量，与任何一个向量都共面，说明，平行；③，是共面向量，不能构成基底． 【解】①正确，表示基底的向量必须不共面；②正确，向量，与任何一个向量都不能形成基底，也就是说与任何一个向量都共面，只有当向量，共线时才满足；③不正确，，不共线，当时，，，共面，故只有①②正确．故选C． 【点睛】空间中任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底． 7．【答案】C 【解】由图知40至80所占百分数为．80至90分占20%． 因此，80%分位数应为85． 8．【答案】B 【分析】利用空间三个向量共面的充要条件，将共面关系转化为线性表示关系，列方程组求解参数． 【解】空间中三个向量共面的充要条件为：若与不共线，则存在实数对，使得， 所以， 所以，即，，． 9．【答案】ACD 【分析】根据列举法判断选项A；根据互斥事件、对立事件的概念判断选项B、C；根据古典概型判断选项D. 【解】A：样本空间中一共含有：正正，正反，反正，反反共4个样本点，故A正确； B：事件“至少一次正面向上”与事件“至少一次背面向上”能同时发生， 不是互斥事件，故B错误； C：事件“至少一次正面向上”与事件“两次背面向上”是对立事件，故C正确； D：事件“一次正面向上一次背面向上”发生的概率是，故D正确. 故选：ACD. 10．【答案】AC 【分析】由图中数据对各选项逐一分析即可得答案. 【解】解：对选项A：由图可知，2011年以来，全国城镇非私营单位就业人员平均工资逐年增长，只是每年增速有变化，故选项A正确； 对选项B：工资增速越快，工资的绝对值增加也越大，这是错误的，工资的绝对值的增加还与上一年的工资水平有关系，故选项B错误； 对选项C：根据数据2019年全国城镇非私营单位就业人员平均工资为元，故选项C正确； 对选项D：根据数据2018年全国城镇非私营单位就业人员平均工资为元，所以全国城镇非私营单位就业人员平均工资首次突破90000元应为2019年，故选项D错误. 故选：AC. 11．【答案】AB 【解】空间基底判定：三个向量不共面才能构成空间基底； 若存在不全为 0 实数使，则三向量共面，不能作为基底， A：因为，系数不全为 0，所以三向量共面，不能构成基底； B：因为，系数全为 1 不全为 0，所以三向量共面，不能构成基底； C：设，整理：， 不共面，解得唯一解，所以三向量不共面，可以构成基底； D：设，整理：， 不共面，解得唯一解，所以三向量不共面，可以构成基底. 12．【答案】 【分析】根据古典概型概率公式即可求出抛掷一次出现“正面向上的点数小于3”的概率. 【解】由题意，在一枚质地均匀的六面体骰子中， 骰子共6个面，上面的6个数字为， 点数小于3的数字有和2，共2个面， ∴将一枚质地均匀的六面体骰子抛掷一次， 出现“正面向上的点数小于3”的概率是：， 故答案为：. 13．【答案】 /3.5 6或10 【分析】先根据平均数公式计算A组的平均数，再计算A组的方差，利用两组方差相等列方程求解的取值. 【解】A组的平均数：. A组的方差： . 设B组的平均数为，则. 由题意知，则 ， 整理得，即，解得或，经检验均符合要求. 14．【答案】 【分析】先求出的坐标，再根据投影向量的定义即可求解． 【解】由，，则， 则向量在向量上的投影向量为． 15．【解】（1）设考生填空题得20分、15分、10分分别为事件A，B，， 考生填空题得20分的概率 （2）由题意可得：， ， 由，得 16．【解】（1）由题意有：，解得，设这人的平均年龄为，则 5=29.75； （2）由题意得，第三组应抽取人，记为（甲）， 第五组抽取人，记为（乙）， 对应的样本空间的样本点为： ， ，共包含15个等可能的样本点 设事件为“甲､乙两人至少一人被选上”， 则，共包含9个等可能的 样本点. 所以. 答：甲､乙两人至少有一人被选上的概率为. 17．【解】（1）由题意得. （2）由题意得. （3）由题意得 18．【解】（1） ； （2） （3）因为， 所以 . . 由正四面体的棱长为2，可得， 所以. 19．【解】（1）取中点，连接， ∵是的中点，∴，∴就是异面直线与所成的角（或其补角）， 在△中，，，所以异面直线与所成的角的余弦值为 （2）证明： 连接，与交于点， 则为中点，又为中点， ∴，又平面，不在平面内， ∴平面． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $