精品解析：广东广州某校2025-2026学年高二1月月考数学试题

2025--2026学年高二数学1月月考试题 （满分：150分；时间：120分钟） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 等比数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线，，且，则（ ） A. B. C. 1或 D. 或 3. 已知双曲线的右焦点为，点在双曲线的渐近线上， 是边长为2的等边三角形(为原点)，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 日晷是我国古代按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度.我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同.二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，如此周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则下列说法不正确的是（ ） A. 白露比立秋的晷长长两尺 B. 大寒的晷长为一丈五寸 C. 处暑和谷雨两个节气的晷长相同 D. 立春的晷长比立秋的晷长长 5. 圆关于直线对称的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 在棱长为1的正四面体中，点为的中点，点在上，且，则为（ ） A. B. C. D. 7. 已知四棱锥的底面为正方形，底面，点是线段上的动点，则直线与平面所成角的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点、是椭圆的左、右焦点、点为椭圆上一点，点关于的角平分线的对称点也在椭圆上，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知等比数列的前项和为，且，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 数列为等比数列 C. D. 10. 已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点（A点在第一象限），过两点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为，则下列结论正确的是（ ） A. 抛物线的方程为 B. 线段的长度为 C. D. 线段的中点到轴的距离为 11. 已知点，，动点满足，在圆上，则下列结论正确的是（ ） A. 点的轨迹方程为 B. 的最大值为6 C. 的取值范围是 D. 过点作圆的两条切线，切点分别为，，则存在点，使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线过点，，且与直线平行，则这两条平行直线之间的距离为_______． 13. 已知等差数列的前项和为，且，则取得最小值时，__________. 14. 在长方体中，，点为侧面内一动点，且满足平面，则的最小值为__________，此时点到直线的距离为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆经过三点． （1）求圆的标准方程； （2）若圆与圆相交于，两点，求公共弦的长度． 16. 在三棱锥中，平面平面，，，分别为的中点． （1）证明：平面； （2）求平面ASB与平面SCB夹角的余弦值． 17. 已知双曲线的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为. （1）求双曲线的方程； （2）设为坐标原点，若直线过点，与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，且的面积为，求直线的方程. 18. 已知数列的前项和为，且， （1）求数列通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和； （3）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由． 19. 如图，已知圆E：，点，P是圆E上任意一点．线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q，设动点Q的轨迹为C． （1）求C的方程，并说明C是什么曲线； （2）设点，过点的直线与曲线C交于A，B两点． （ⅰ）若直线m的斜率为，设线段AB的中点为D，求直线OD的方程； （ⅱ）设直线l的方程为，且直线m与直线l相交于点N，记MA，MN，MB的斜率分别为，，，证明：，，成等差数列． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025--2026学年高二数学1月月考试题 （满分：150分；时间：120分钟） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 等比数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式可求得公比，进而可得. 【详解】设的公比为，则，从而， 则， 故选：D. 2. 已知直线，，且，则（ ） A. B. C. 1或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线的位置关系建立关于的方程，解之即可求解. 【详解】由知，，解得. 故选：A． 3. 已知双曲线的右焦点为，点在双曲线的渐近线上， 是边长为2的等边三角形(为原点)，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】不妨设点在第一象限，可求得，以及，求出、的值，由此可求得双曲线的标准方程. 【详解】不妨设点在第一象限，由题意可知， 由于是等边三角形，则，所以， 由题意可得，解得， 因此该双曲线的标准方程为. 故选：C 4. 日晷是我国古代按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度.我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同.二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，如此周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则下列说法不正确的是（ ） A. 白露比立秋的晷长长两尺 B. 大寒的晷长为一丈五寸 C. 处暑和谷雨两个节气的晷长相同 D. 立春的晷长比立秋的晷长长 【答案】B 【解析】 【分析】不妨将每一个节气晷长排成一列，组成数列，则有为等差数列，夏至晷长为，冬至晷长为，这样求出通项即可判断每一个选项. 【详解】由题意，将每一个节气晷长排成一列，组成数列，则有为等差数列，夏至晷长为，冬至晷长为，则有，解得. 对选项A，白露、立秋分别对应的为、，所以白露比立秋的晷长寸，即两尺，故A正确； 对选项B，由图可知大寒比冬至的晷长要小两个，所以大寒的晷长为寸，即一丈一尺五寸，故B错误； 对选项C，由图可知，处暑和谷雨的晷长相同，故C正确； 对选项D，可得立春的晷长为寸，立秋的晷长为. 故选：B. 5. 圆关于直线对称的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出点关于直线的对称点的坐标，即可得出所求圆的方程. 【详解】圆的圆心为，半径为， 设点关于直线的对称点为，且直线的斜率为， 所以，解得，即所求圆的圆心坐标为， 故圆关于直线对称的圆的方程为. 故选：D. 6. 在棱长为1的正四面体中，点为的中点，点在上，且，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，将题设中的和分别用线性表示，再根据向量数量积的运算律计算即得. 【详解】 如图，设，依题意， 连接，因 ， 又， 则 . 故选：A. 7. 已知四棱锥的底面为正方形，底面，点是线段上的动点，则直线与平面所成角的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算即可得到结果. 【详解】 由题意，因为为正方形，且底面， 以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 设，则， 所以，设，， 则，所以，即， 设平面的法向量为， 则，解得，取， 所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 因为单调递增，所以当时，最大， 此时，即直线与平面所成角的最大值为. 故选:C 8. 已知点、是椭圆的左、右焦点、点为椭圆上一点，点关于的角平分线的对称点也在椭圆上，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】确定在上，设，由椭圆的定义用表示出，由余弦定理确定的关系，然后在中用余弦定理求得关系，得离心率． 【详解】点关于的角平分线的对称点N必在上，因此共线，， ，设，则，，， 又，则， 中，由余弦定理得：， 即，化简得，则，， 中，，由余弦定理得， 整理得，所以离心率. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知等比数列的前项和为，且，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 数列为等比数列 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由，即可求出公比，逐项验证即可. 【详解】设等比数列的公比为，则，所以，故A正确； 所以，则，， 显然，所以数列不是等比数列，故B错误； ，，故C正确； ，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点（A点在第一象限），过两点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为，则下列结论正确的是（ ） A. 抛物线的方程为 B. 线段的长度为 C. D. 线段的中点到轴的距离为 【答案】AC 【解析】 【分析】求出抛物线的焦点坐标得，即可判断A；联立方程求出坐标得，判断B；确定坐标计算，判断C；求出线段的中点坐标，即可判断D． 【详解】由题意，直线与x轴交点为， 的焦点，可得， 即抛物线方程为，故A正确； 由，可得，解得或， 可得交点分别为，所以，故B错误； 由，可知， 可得，则，即，故C正确； 由上，线段的中点为，则线段的中点到轴的距离为，故D错误． 11. 已知点，，动点满足，在圆上，则下列结论正确的是（ ） A. 点的轨迹方程为 B. 的最大值为6 C. 的取值范围是 D. 过点作圆的两条切线，切点分别为，，则存在点，使得 【答案】ACD 【解析】 【分析】先由点到点的距离将其表示为关于的方程，再化简便可得到点的轨迹方程判断A；转化为动点到定点距离的平方加1，当到圆上的距离最大时有最大值判B； 为两个定圆上两点间的距离，最大值为圆心距加两个圆的半径，最小值为圆心距减去两个圆的半径；当时，四边形为正方形，判断存在点. 【详解】因为，所以 化简得到，点的轨迹方程为，选项A正确； ，几何意义为点到定点距离的平方加1， 因为点在圆上，圆心为 ，半径 ， 到圆心距离为 ，则到圆上的最大距离为 所以最大值为，选项B错误； 圆，圆心为 ,半径 ； 两圆心距为 ; 则的最小距离为； 的最大距离为； 所以范围是，选项C正确； 当时，四边形为正方形，故时，因为点到的最小距离为，则存在点，，选项D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线过点，，且与直线平行，则这两条平行直线之间的距离为_______． 【答案】 【解析】 【分析】求出过直线方程，由直线平行求出，再由平行线间距离公式得解. 【详解】因为直线过点，， 所以直线的方程为：，即， 因为与直线平行， 所以，所以两平行线间的距离， 故答案为： 13. 已知等差数列的前项和为，且，则取得最小值时，__________. 【答案】9 【解析】 【分析】根据等差数列的性质推出，，即可得解. 【详解】由，得， 又，所以，即， 所以，即等差数列前9项为负，从第10项开始为正， 所以前9项和最小。即当取得最小值时，. 故答案为：9 14. 在长方体中，，点为侧面内一动点，且满足平面，则的最小值为__________，此时点到直线的距离为__________. 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】由题意，根据线面平行的判定定理和面面平行的判定定理可证得平面平面，由面面平行的性质确定点的轨迹为线段，且当取最小值时，建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解点线距离即可. 【详解】如图所示，因为且，故四边形为平行四边形，则， 因为平面平面，所以平面， 同理可证平面，因为平面， 所以平面平面，因为平面，要使得平面， 则平面，因为平面平面， 故点的轨迹为线段，当取最小值时，，则为的中点， 则. 以为原点，的方向分别为，轴建立空间直角坐标系， 易知， 取， 则， 所以点到直线的距离为. 故答案为：； 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是通过平面平面确定点的轨迹为线段，即当时取最小值，注重考查学生的数学运算和逻辑推理能力. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆经过三点． （1）求圆的标准方程； （2）若圆与圆相交于，两点，求公共弦的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设圆的一般方程为，将点的坐标代入方程求解方程组，再化为标准方程即可； （2）两圆相减得直线的方程，然后利用垂径定理求解弦长即可. 【小问1详解】 设圆的一般方程为， 由题意得，，解得， 所以圆的一般方程为， 故圆的标准方程为. 【小问2详解】 由圆与圆， 两式相减得， 即直线的方程为， 则圆心到直线的距离， 又圆的半径为5，故. 16. 在三棱锥中，平面平面，，，分别为的中点． （1）证明：平面； （2）求平面ASB与平面SCB夹角的余弦值． 【答案】（1） 证明：，为中点， ，又平面平面，平面平面，平面， 平面，而平面， ，又为的中点， ，又， ．又平面， 平面． （2） 【解析】 【分析】（1）由已知的面面垂直证明，再证，可证得平面； （2）建立空间直角坐标系，向量法求两个平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过作交于点，设， 以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 故，，，． 设为平面的法向量，则，即， ，取，则， 是平面的一个法向量． 设为平面的法向量，则，即， ，取，则， 是平面的一个法向量． 设平面ASB与平面SCB夹角为，则. 17. 已知双曲线的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为. （1）求双曲线的方程； （2）设为坐标原点，若直线过点，与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，且的面积为，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用渐近线的斜率及点到直线的距离公式求出即可； （2）由题意直线的斜率存在，设其方程为，联立直线与双曲线的方程，利用弦长公式求出，再利用点到直线的距离求出点到的距离，利用三角形的面积公式建立等式求出，即可求出直线的方程． 【小问1详解】 ∵双曲线的一条渐近线方程为， ∴，即， ∵双曲线的焦点坐标为，焦点到渐近线的距离为， ∴，即， 又，则，解得， 所以双曲线的方程为． 【小问2详解】 由题意直线的斜率存在，设直线方程为，设， 由得， 由题意得，解得， 因为， 所以， 又点O到直线的距离， 所以的面积， 则，即，解得或， 又因为，所以， 所以直线的方程为或． 18. 已知数列的前项和为，且， （1）求数列通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和； （3）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）不存在，理由为： 由（1）知，，因为， 所以，整理得：， 所以，即， 因为成等差数列，即（）， 假设成等比数列，则，代入的表达式： ，化简得：， 由，得，故：， 结合，， 等号仅当时成立，这与题设(互不相等）矛盾． 故数列中不存在3项（其中成等差数列）成等比数列． 【解析】 【分析】（1）先利用作差法，消去前项和，再通过时的式子确定首项，代入公式进而得到通项； （2）先将分段数列按“奇数项、偶数项”拆分为两个基本数列（等差数列+等比数列）， 再利用等差数列、等比数列的求和公式计算两组的和，最后合并结果即可； （3）先假设存在满足条件的项，结合等比、等差数列的性质建立等式，再运用基本不等式的性质判断即可. 【小问1详解】 由数列满足， 当时，，又，所以， 当，时，， 两式相减，可得，整理得， 所以，， 所以是等比数列，则其公比为4，所以的通项公式为. 【小问2详解】 由题意，，则前项中：奇数项：，共项， 是首项为3，公差为4的等差数列（因为，相邻两项差为4）， 则：， 偶数项：，共项，对应， 是首项为4，公比为16的等比数列（），则：， 因此前项和为：． 【小问3详解】 略 19. 如图，已知圆E：，点，P是圆E上任意一点．线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q，设动点Q的轨迹为C． （1）求C的方程，并说明C是什么曲线； （2）设点，过点的直线与曲线C交于A，B两点． （ⅰ）若直线m的斜率为，设线段AB的中点为D，求直线OD的方程； （ⅱ）设直线l的方程为，且直线m与直线l相交于点N，记MA，MN，MB的斜率分别为，，，证明：，，成等差数列． 【答案】（1），的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆 （2）（ⅰ）； （ⅱ）证明：又因为，，           故 ．                                  联立，故，             故，故，，成等差数列．                        【解析】 【分析】（1）由图形的性质可得，根据椭圆的定义求解即可； （2）（i）联立直线m与椭圆方程，结合韦达定理求出直线OD的方程；（ii）分别求出，进而证明结论即可. 【小问1详解】 连接，根据题意，， 则， 故的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆， 设椭圆方程为，则有， ，则， 的轨迹方程为． 【小问2详解】 设，， 联立， 故． （ⅰ）当时，，， 故，故直线OD的方程为：，即． 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $