专题12 导数与三角函数的综合7种常见考法归类（核心题型清单）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习知识清单聚焦导数与三角函数综合专题，涵盖利用导数研究性质、最值、比较大小、解不等式、零点、恒成立问题及证明不等式七大核心题型，构建系统考法体系。 清单通过题型脑图梳理知识框架，每个题型含核心逻辑、解题步骤及易错提醒，如导数研究性质强调二阶求导与三角函数有界性结合，培养数学思维与推理能力。配套例题与变式题强化应用，助力学生自主掌握解题关键，为教师提供精准复习指导工具。

专题12 导数与三角函数的综合 题型脑图·核心考法构建 考法深研·解题技能通关 题型01 利用导数研究三角函数的性质 导数研究三角‑多项式复合函数性质 研究复合函数的奇偶性、单调性、极值、周期性、图像特征。 1.核心逻辑 奇偶性优先用定义判断；单调性依靠导数符号；由于震荡变化，一阶导符号很难直接判定，经常需要二阶求导；结合三角函数有界性辅助判断导数正负。 2.解题步骤 ①判断定义域，利用判断奇偶性，借助奇偶性简化区间分析； ②求一阶导数，若依旧含有三角函数且符号不好判定，继续求二阶、三阶导数； ③结合，放缩估计导数的上下界，判断导数正负； ④得到原函数单调区间，找到极值点； ⑤结合区间端点、周期性，综合分析函数图像特征。 3.易错提醒 直接默认导数恒正或恒负，忽略三角函数震荡导致导数符号改变；没有看清题目给定的有限区间，直接按分析。 【例1】【多选】（2026高二·河北衡水·期末）已知函数，则(    ) A．为奇函数 B． C．在上单调递减 D．最大值为 【变式1-1】【多选】（2026高二·山西太原·阶段检测）已知，函数，则（   ） A．的图象关于原点对称 B．恰有2个零点 C．恰有2个极值点 D．在上单调递增 【变式1-2】【多选】（2026高二·山东泰安·阶段检测）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．是奇函数 B．在上单调递减 C．时，的最小值是0 D．在内有且只有4个极值点 【变式1-3】【多选】（2026高三·浙江杭州·期末）已知函数，则下列结论正确的有（        ） A．在区间上单调递减 B． C．在区间上的值域为 D．设函数满足关系式且，则在上单调递减 题型02 利用导数研究三角函数的最值 三角复合函数求最值 求函数在给定区间的最大值、最小值；含参题型由最值反过来求参数范围。 1.核心逻辑 闭区间上连续函数最值出现在极值点或者区间端点；三角复合函数极值点常常无法精确求解，依靠单调性+端点比较；也可以使用换元或转化为代数函数。 2.解题步骤 ①确定定义域区间；可以换元、，此时，转化为普通函数； ②求导，分析单调性，找出区间内部的极值点； ③比较所有极值点函数值与区间端点函数值，得到最大值、最小值； ④若是含参问题，把最值条件转化为关于参数的不等式，求解参数范围。 3.易错提醒 只计算极值点，忘记对比区间端点；换元之后漏掉的取值限制。 【例2】（2026高三·四川雅安·开学考试）函数的最大值为（   ） A． B． C． D．3 【变式2-1】（2026高三·甘肃临夏·阶段检测）已知不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2026高三·河北保定·阶段检测）若函数的最小值为1，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．27 【变式2-3】（2026高二·福建福州·阶段检测）已知函数，若存在实数，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型03 利用导数比较大小 导数结合三角函数比较代数式大小 比较多个带有三角函数的代数式大小，核心手段：构造函数，利用函数单调性。 1.核心逻辑 把待比较的式子抽象成同一个函数在不同自变量处的函数值；构造辅助函数，求导判断单调性，自变量大小关系推出函数值大小关系；部分题目会结合奇偶性、对称性简化。 2.解题步骤 ①观察待比较的几个式子，抽象出公共结构，构造函数； ②求导，结合三角函数有界性判断的单调性； ③比较自变量的大小； ④依据单调性，直接得到函数值的大小； ⑤遇到偶函数，利用转化到同一单调区间再比较。 3.易错提醒 构造函数错误；没有把自变量归化到同一个单调区间直接比较。 【例3】（2026高二·北京石景山·期末）已知函数，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2026高三·贵州六盘水·阶段检测）已知函数，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026高三·安徽马鞍山·阶段检测）已知是定义在上的偶函数，导数为，且当时有，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2026高三·河南周口·阶段检测）已知函数，若，，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 题型04 利用导数解三角不等式 导数处理抽象三角型函数不等式 函数解析式中含三角函数，求解这类抽象不等式。 1.核心逻辑 先研究函数的奇偶性、单调性；利用单调性脱去函数外层“”外壳，转化普通代数或者三角不等式，再求解。 2.解题步骤 ①求导证明函数在定义域上单调递增/递减；判断奇偶性； ②利用奇偶性把不等式统一变形，化为； ③根据单调性脱去：增函数；减函数； ④解得到的三角不等式，写出解集，注意自变量的定义域限制。 3.易错提醒 脱去外层函数符号，忽略定义域；三角函数解不等式漏掉周期、区间限制。 【例4】（2026高二·山东泰安·阶段检测）已知，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2026高二·河北·期末）已知定义在上的函数，若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2026·江西景德镇·模拟预测）定义在上的函数满足，又当时，恒成立，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2026高二·河南许昌·阶段检测）已知定义域为的函数的导函数为，且满足，，则当时，不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 题型05 利用导数研究三角函数的零点 三角复合函数零点、交点、极值点问题 零点即的解；两个函数交点等价于差函数零点；极值点等价于导函数的变号零点。 1.核心逻辑 构造差函数，多次求导分析单调性；使用零点存在定理：区间两端函数值异号，则区间内至少存在一个零点；结合单调性判断零点唯一；极值点必须是导函数变号零点，只等于0不变号不是极值点。 2.解题步骤 ①求交点：令，问题转化零点个数； ②求导，分析单调性；若一阶导不好判断，继续高阶求导； ③代入区间端点，计算函数值正负，使用零点存在定理判定零点是否存在； ④看单调性：单调，则区间至多一个零点； ⑤极值点问题：研究的变号零点，不仅要，还要左右导数符号发生改变。 3.易错提醒 把导函数零点直接当作极值点，忽略“变号”条件；三角函数周期性下，漏数或者多数零点。 【例5】（26-27高三·北京海淀·开学考试）函数与在上交点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式5-1】（2026高二·辽宁鞍山·期中）若函数在区间恰有两个极值点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2026高三·山东菏泽·期中）函数的零点个数为（   ） A．1 B．0 C．3 D．2 【变式5-3】（2026·四川宜宾·模拟预测）是函数在上有零点的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型06 利用导数研究三角不等式恒成立问题 含参三角复合函数恒成立 在给定区间上（或）恒成立，求参数取值范围。 1.核心逻辑 常用手段：端点效应、主参换位、分离参数、分类讨论、三角函数有界性放缩；先取区间端点得到参数的必要条件，再证明必要性同时也是充分条件。 2.解题步骤 ①构造函数，代入区间端点，得到参数的必要条件； ②方法一：分离参数，转化为求不含参函数的最值； ③方法二：分类讨论，对参数划分范围，求导分析单调性，由列不等式； ④方法三：主参换位，把参数看作自变量，当作参数； ⑤证明充分性：证明得到的参数范围下，不等式全部成立；不在该范围举反例说明不成立。 3.易错提醒 只算必要条件，不去证明充分条件；滥用三角函数放缩导致范围扩大。 【例6】（26-27高三·全国·一轮复习），恒成立，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2026高二·广东揭阳·期末）已知函数，若恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2026高三·贵州·竞赛）设函数．当时，，则的取值范围是_____________________． 【变式6-3】（四川成都市第七中学2026届高三学期二诊模拟考试数学试卷）函数．若在区间上恒成立，则整数的最小值是__________． 题型07 利用导数证明三角不等式 证明带有三角函数的不等式 不含参数或者给定参数，证明不等式在区间上成立。 1.核心逻辑 移项构造辅助函数，转化证明恒成立；多次求导，结合的有界性放缩；也可使用经典三角不等式放缩，如；有时需要分段讨论区间。 2.解题步骤 ①把不等式全部移到一侧，构造左边右边； ②求一阶导数，若一阶导符号无法判定，继续二阶、三阶求导； ③利用三角函数有界性估计导数的正负，得到单调性； ④求出最小值，证明最小值大于等于0； ⑤复杂题目可以分段：区间一部分直接放缩，另一部分用导数证明；也可借助前面小问的结论做放缩。 3.易错提醒 放缩尺度太大，导致放缩之后不等式不成立；直接使用没有证明过的三角不等式。 【例7】（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数，． (1)若，分析的单调性； (2)证明：当时，． 【变式7-1】（2026高二·江苏扬州·期中）已知. (1)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围； (2)讨论函数是否存在极值点？若存在，求出极值点；若不存在，说明理由； (3)当时，求证：. 【变式7-2】（2027高三·全国·专题练习）已知函数． (1)当时，证明：在内存在唯一极大值点，其中； (2)当时，，求的取值范围； (3)在（1）的条件下，证明：． 【变式7-3】（2026·天津·模拟预测）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：； (3)证明：． 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 导数与三角函数的综合 题型脑图·核心考法构建 考法深研·解题技能通关 题型01 利用导数研究三角函数的性质 导数研究三角‑多项式复合函数性质 研究复合函数的奇偶性、单调性、极值、周期性、图像特征。 1.核心逻辑 奇偶性优先用定义判断；单调性依靠导数符号；由于震荡变化，一阶导符号很难直接判定，经常需要二阶求导；结合三角函数有界性辅助判断导数正负。 2.解题步骤 ①判断定义域，利用判断奇偶性，借助奇偶性简化区间分析； ②求一阶导数，若依旧含有三角函数且符号不好判定，继续求二阶、三阶导数； ③结合，放缩估计导数的上下界，判断导数正负； ④得到原函数单调区间，找到极值点； ⑤结合区间端点、周期性，综合分析函数图像特征。 3.易错提醒 直接默认导数恒正或恒负，忽略三角函数震荡导致导数符号改变；没有看清题目给定的有限区间，直接按分析。 【例1】【多选】（2026高二·河北衡水·期末）已知函数，则(    ) A．为奇函数 B． C．在上单调递减 D．最大值为 【答案】AD 【分析】分别根据奇偶函数定义、特殊值代入、导数符号、辅助角公式结合正弦函数有界性逐项判断选项正误. 【详解】的定义域为，恒成立. 选项A：，满足奇函数定义，A正确. 选项B：，取，，，，B错误. 选项C：， 时，，在该区间单调递增，C错误. 选项D：设，变形为， 由辅助角公式得，， 两边平方，，，，D正确. 【变式1-1】【多选】（2026高二·山西太原·阶段检测）已知，函数，则（   ） A．的图象关于原点对称 B．恰有2个零点 C．恰有2个极值点 D．在上单调递增 【答案】ACD 【分析】根据奇偶函数的定义判断与的关系即可判断A；求出后，式子比较复杂，构造函数，通过导数研究的单调性，零点来研究的性质，从而可判断BCD. 【详解】因为函数是定义在上的函数， 所以定义域关于原点对称，且， 所以是奇函数，所以的图象关于原点对称，故A正确； 由得， 令，则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 又，， 由函数零点存在定理知在上只有一个零点，设为， 在上只有一个零点，设为，作出的大致图象如图1： 所以当时，，即，单调递减； 当时，，即，单调递增； 当时，，即，单调递减， 所以恰有2个极值点，故C正确； 又，且当时，, 作出的大致图象如图2： 所以恰有3个零点，故B错误； 因为，由图1知， 当时，，即，单调递增，故D正确. 【变式1-2】【多选】（2026高二·山东泰安·阶段检测）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．是奇函数 B．在上单调递减 C．时，的最小值是0 D．在内有且只有4个极值点 【答案】ACD 【分析】由奇偶性的概念可判断A，通过求导确定单调性，再结合函数对称性可判断BCD. 【详解】A选项：定义域为， ，是奇函数，选项正确； B选项：，，， 故在上单调递增，选项错误； C选项：当，，， 故在单调递增，所以的最小值是，选项正确； D选项：，，解得：或， 当时，，当，， 当时，， 即在，单调递增，在单调递减， ∴在内有且只有2个极值点， 结合奇函数的对称性，在内有且只有4个极值点，选项正确. 【变式1-3】【多选】（2026高三·浙江杭州·期末）已知函数，则下列结论正确的有（        ） A．在区间上单调递减 B． C．在区间上的值域为 D．设函数满足关系式且，则在上单调递减 【答案】ACD 【分析】求导，利用导函数的符号判断函数的单调性进而逐项判断即可. 【详解】由得， 当时，，，，所以， 所以在区间上单调递减，A说法正确； 因为在区间上单调递减，所以，即，B说法错误； 因为在区间上单调递减，当时，，， 所以在区间上的值域为，C说法正确； 当时，令， 则，对求导得， 又，代入解得， 由C可知当时，恒成立，所以即单调递增， 因为，解得， 所以当时，，即在区间上单调递减，D说法正确； 故选：ACD 题型02 利用导数研究三角函数的最值 三角复合函数求最值 求函数在给定区间的最大值、最小值；含参题型由最值反过来求参数范围。 1.核心逻辑 闭区间上连续函数最值出现在极值点或者区间端点；三角复合函数极值点常常无法精确求解，依靠单调性+端点比较；也可以使用换元或转化为代数函数。 2.解题步骤 ①确定定义域区间；可以换元、，此时，转化为普通函数； ②求导，分析单调性，找出区间内部的极值点； ③比较所有极值点函数值与区间端点函数值，得到最大值、最小值； ④若是含参问题，把最值条件转化为关于参数的不等式，求解参数范围。 3.易错提醒 只计算极值点，忘记对比区间端点；换元之后漏掉的取值限制。 【例2】（2026高三·四川雅安·开学考试）函数的最大值为（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】解法一，解法二：利用基本不等式求解最大值；解法三：利用导数分析函数的单调性，进而求解最大值；解法四：由，令，换元可得，进而利用导数分析函数的单调性，再求解最大值. 【详解】解法一：，当且仅当时，等号成立， 即函数的最大值为． 解法二： ， 当且仅当时，等号成立， 即函数的最大值为． 解法三：由， 当时，； 当时，， 故的单调递增区间为， 单调递减区间为， 又，是的一个周期， 则，即函数的最大值为． 解法四：， 令，则， 令函数，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则，即． 故选：C. 【变式2-1】（2026高三·甘肃临夏·阶段检测）已知不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析得在区间上恒成立，故只需利用导数求的最小值即可. 【详解】不等式在区间上恒成立，在区间上恒成立. 设， 则. 当时，， 当且仅当时，等号成立，在区间上恒成立， 函数在区间上单调递减， ，即实数的取值范围为. 故选：A. 【变式2-2】（2026高三·河北保定·阶段检测）若函数的最小值为1，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．27 【答案】D 【分析】利用换元法转化为，结合导数判断单调性可得答案. 【详解】令，因为，所以； ，，仅当时取等号，此时为增函数， 当时，有最小值，由可得， 则函数最大值为，且时取到最大值； 故选：D 【变式2-3】（2026高二·福建福州·阶段检测）已知函数，若存在实数，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题得，通过导数求得，即可得出． 【详解】因为存在实数，使得成立， 所以， ， 令得或或， 列表 极小值 当时，有极小值也是的最小值， 所以． 故． 故选：B． 题型03 利用导数比较大小 导数结合三角函数比较代数式大小 比较多个带有三角函数的代数式大小，核心手段：构造函数，利用函数单调性。 1.核心逻辑 把待比较的式子抽象成同一个函数在不同自变量处的函数值；构造辅助函数，求导判断单调性，自变量大小关系推出函数值大小关系；部分题目会结合奇偶性、对称性简化。 2.解题步骤 ①观察待比较的几个式子，抽象出公共结构，构造函数； ②求导，结合三角函数有界性判断的单调性； ③比较自变量的大小； ④依据单调性，直接得到函数值的大小； ⑤遇到偶函数，利用转化到同一单调区间再比较。 3.易错提醒 构造函数错误；没有把自变量归化到同一个单调区间直接比较。 【例3】（2026高二·北京石景山·期末）已知函数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数判断的单调性，进而比较大小. 【详解】定义域为，，当且仅当时等号成立， 所以在上单调递增，又， 所以，即. 【变式3-1】（2026高三·贵州六盘水·阶段检测）已知函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对函数求导，根据导数确定函数单调性，再根据单调性比较大小即可． 【详解】， 当时，，， 所以， 则在单调递减， ∵， 则， ∵，即， ∴，则，即， 同理可证：， 所以， 又在单调递减， 所以，即． 故选：A． 【变式3-2】（2026高三·安徽马鞍山·阶段检测）已知是定义在上的偶函数，导数为，且当时有，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，利用导数分析函数在上的单调性，化简得出，，，结合函数在上的单调性可得出、、的大小关系. 【详解】设，所以， 因为当时，， 所以，所以在上单调递增， 因为， 且，所以，所以， 故选：B. 【变式3-3】（2026高三·河南周口·阶段检测）已知函数，若，，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数为偶函数，由导数得到函数在上为增函数．利用函数单调性的性质和基本不等式判断即可. 【详解】当时，则，所以，则有； 当时，则，所以，则有； 当时，， 综上，恒成立，所以函数为偶函数； 当时，恒成立，所以函数在上为增函数． 因为函数为偶函数，所以， 因为，所以， 又因为，且，即0， 又因为函数在上为增函数，所以，即， 故选：C． 题型04 利用导数解三角不等式 导数处理抽象三角型函数不等式 函数解析式中含三角函数，求解这类抽象不等式。 1.核心逻辑 先研究函数的奇偶性、单调性；利用单调性脱去函数外层“”外壳，转化普通代数或者三角不等式，再求解。 2.解题步骤 ①求导证明函数在定义域上单调递增/递减；判断奇偶性； ②利用奇偶性把不等式统一变形，化为； ③根据单调性脱去：增函数；减函数； ④解得到的三角不等式，写出解集，注意自变量的定义域限制。 3.易错提醒 脱去外层函数符号，忽略定义域；三角函数解不等式漏掉周期、区间限制。 【例4】（2026高二·山东泰安·阶段检测）已知，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，且等号仅在 时成立， 所以在上严格单调递增， 由可得，解得或， 所以不等式的解集为. 【变式4-1】（2026高二·河北·期末）已知定义在上的函数，若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断函数为奇函数，根据奇函数的性质化简不等式，利用导数判断出函数的单调性，由此去函数符号，再解不等式求得的取值范围. 【详解】由，， 所以为奇函数， 又，，，， ，即为上的增函数， 若，则， ，解得. 故选：C. 【变式4-2】（2026·江西景德镇·模拟预测）定义在上的函数满足，又当时，恒成立，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由构造，借助其单调性解抽象不等式即可. 【详解】令， 则， 所以为偶函数， 当时，， 所以在上单调递增， 又因为，， 所以 因为 所以， 所以， 所以， 故选：A. 【变式4-3】（2026高二·河南许昌·阶段检测）已知定义域为的函数的导函数为，且满足，，则当时，不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，则.利用导数分析其单调性，将不等式转化为，再根据的单调性，结合正弦函数的性质求解即可. 【详解】令函数，则. ，所以是减函数. 因为 ， 所以. 因为，所以. 题型05 利用导数研究三角函数的零点 三角复合函数零点、交点、极值点问题 零点即的解；两个函数交点等价于差函数零点；极值点等价于导函数的变号零点。 1.核心逻辑 构造差函数，多次求导分析单调性；使用零点存在定理：区间两端函数值异号，则区间内至少存在一个零点；结合单调性判断零点唯一；极值点必须是导函数变号零点，只等于0不变号不是极值点。 2.解题步骤 ①求交点：令，问题转化零点个数； ②求导，分析单调性；若一阶导不好判断，继续高阶求导； ③代入区间端点，计算函数值正负，使用零点存在定理判定零点是否存在； ④看单调性：单调，则区间至多一个零点； ⑤极值点问题：研究的变号零点，不仅要，还要左右导数符号发生改变。 3.易错提醒 把导函数零点直接当作极值点，忽略“变号”条件；三角函数周期性下，漏数或者多数零点。 【例5】（26-27高三·北京海淀·开学考试）函数与在上交点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】将两函数交点问题转化为构造函数的零点问题，根据导数与单调性的关系，结合零点存在定理求解即可. 【详解】与在上的交点个数，等价于方程在上的解的个数. 构造函数，. 对求导得： . 当时，，，则，故在上单调递减. 又，故对任意，，此时无零点. 当时，，，则，故在上单调递增. 又，， 根据零点存在定理，存在唯一使得. 综上，在上仅有1个零点，即两函数交点个数为1. 【变式5-1】（2026高二·辽宁鞍山·期中）若函数在区间恰有两个极值点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数有两个极值点得到导函数有两个零点，从而转化为有两个不等变号实根，构造函数，使和有两个交点即可求解. 【详解】函数，求导得：， 因为函数在区间恰有两个极值点， 所以在区间有两个相异的变号实根， 即方程在区间有两个相异的变号实根， 构造函数，则，， 当或时，， 当时，， 所以在和单调递增，在单调递减， 所以当时，取极大值， 当时，取极小值， 又当时，，又， 所以， 要使方程在区间有两个相异的实根， 则函数和函数有两个交点，则， 即， 故实数的取值范围是. 故选：A 【变式5-2】（2026高三·山东菏泽·期中）函数的零点个数为（   ） A．1 B．0 C．3 D．2 【答案】A 【分析】利用导数判断函数的单调性，结合，即可判断出答案. 【详解】由，可得，即定义域为， 所以， 由于，故， 即，当且仅当时取等号， 即在上为单调递增函数，又， 所以仅有一个零点． 故选：A． 【变式5-3】（2026·四川宜宾·模拟预测）是函数在上有零点的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】求出函数的导数，令，根据，得到当时在无零点，即是函数在上有零点的不充分条件；分别讨论当，时函数在上是否有零点，得到是函数在上有零点的必要条件. 【详解】由知， ， 令，则， ，，， 作出函数，的图象如下图，    当时，，在单调递增， 又，在无零点； ， 是函数在上有零点的不充分条件； 当时，，在单调递减， 又，在无零点； 当时，当时，， 故存在唯一的，使得， 且时，时， 在单调递减，在单调递增， 而，， 若即，则在无零点； 若即，则在有一个零点； 综上，当时，在无零点； 当时，在有一个零点； 当时， 在无零点； 而当时，不管在有无零点， 当函数在上有零点时都有， 是函数在上有零点的必要条件. 是函数在上有零点的必要不充分条件. 故选：B. 题型06 利用导数研究三角不等式恒成立问题 含参三角复合函数恒成立 在给定区间上（或）恒成立，求参数取值范围。 1.核心逻辑 常用手段：端点效应、主参换位、分离参数、分类讨论、三角函数有界性放缩；先取区间端点得到参数的必要条件，再证明必要性同时也是充分条件。 2.解题步骤 ①构造函数，代入区间端点，得到参数的必要条件； ②方法一：分离参数，转化为求不含参函数的最值； ③方法二：分类讨论，对参数划分范围，求导分析单调性，由列不等式； ④方法三：主参换位，把参数看作自变量，当作参数； ⑤证明充分性：证明得到的参数范围下，不等式全部成立；不在该范围举反例说明不成立。 3.易错提醒 只算必要条件，不去证明充分条件；滥用三角函数放缩导致范围扩大。 【例6】（26-27高三·全国·一轮复习），恒成立，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，利用端点效应，证明符合题意，不满足题意可得答案. 【详解】构建函数，由题意只需在恒成立，， 又，由端点效应，故需. 下证时恒成立. 主参换位，以为主元，为参数，看作，由，显然单调递增， 故．故只需证即可，， 在上，∴在上单调递增， ∴，∴在上恒成立， 所以当，时,恒成立，符合题意； 当时，由函数图象的连续性可知满足： 当时，所以在单调递减， 所以当时，，与题意矛盾． 综上可得． 【变式6-1】（2026高二·广东揭阳·期末）已知函数，若恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据定义判断函数的奇偶性，利用导数研究函数的单调性，进而将不等式化为恒成立，利用导数研究右侧的最大值，即可得. 【详解】由，因此是R上的奇函数， 其中，仅在处导数为0，因此是R上的单调递增函数， 原不等式，则，得，即恒成立， 令，则， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 因此的最大值为 所以，只需，即的取值范围是. 【变式6-2】（2026高三·贵州·竞赛）设函数．当时，，则的取值范围是_____________________． 【答案】 【分析】对进行变形，再求的必要条件，最后证明的充分条件. 【详解】由题意，当时，得，令，则 . 因为成立，在上恒成立，所以，所以. 当时，，所以在上单调增加. 又，所以当时，，即. 因此，的取值范围是. 【变式6-3】（四川成都市第七中学2026届高三学期二诊模拟考试数学试卷）函数．若在区间上恒成立，则整数的最小值是__________． 【答案】 【分析】利用特值法判断成立的必要条件，再根据导数判断函数单调性，即可证明其充分性. 【详解】由，要使在区间上恒成立，则， 当时，， 此时在上恒成立， 故在区间上单调递增， 此时，也即在上恒成立， 故整数的最小值为． 题型07 利用导数证明三角不等式 证明带有三角函数的不等式 不含参数或者给定参数，证明不等式在区间上成立。 1.核心逻辑 移项构造辅助函数，转化证明恒成立；多次求导，结合的有界性放缩；也可使用经典三角不等式放缩，如；有时需要分段讨论区间。 2.解题步骤 ①把不等式全部移到一侧，构造左边右边； ②求一阶导数，若一阶导符号无法判定，继续二阶、三阶求导； ③利用三角函数有界性估计导数的正负，得到单调性； ④求出最小值，证明最小值大于等于0； ⑤复杂题目可以分段：区间一部分直接放缩，另一部分用导数证明；也可借助前面小问的结论做放缩。 3.易错提醒 放缩尺度太大，导致放缩之后不等式不成立；直接使用没有证明过的三角不等式。 【例7】（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数，． (1)若，分析的单调性； (2)证明：当时，． 【答案】(1)在区间上单调递减． (2)证明：当时，， 要证，只需证， 又当时，，即证． ． 令，则当时，， 所以在上单调递减，因此， 所以，因此在区间上单调递减，所以． 综上，原不等式得证，即当时，． 【分析】（1）根据导数与函数单调性的关系判断即可. （2）要证，只需证，结合时，，只需证.通过构造函数，结合导数与单调性及最值的关系证明即可. 【详解】（1）当时，，则． 设，则， 当时，，所以单调递减，， 当时，，所以. 所以当时，，，即， 故在区间上单调递减． （2）略 【变式7-1】（2026高二·江苏扬州·期中）已知. (1)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围； (2)讨论函数是否存在极值点？若存在，求出极值点；若不存在，说明理由； (3)当时，求证：. 【答案】(1) (2)当时，无极值点；当时，函数的极小值点为，无极大值点 (3) 法一：由（2）知，当时，，则， 即，即，， 所以要证，只要证， 也即证，设， 则在区间恒成立， 所以在区间上为增函数，则，故原不等式成立. 法二：当时，，命题成立； 当时，要证， 只要证，也即证， 由（2）知，当时，， 则，即，得， 也即证，则， 令，当时， 可得恒成立， 则在区间上为减函数，所以，即， 所以在区间上为减函数， 则，故原不等式成立. 法三：由（1）知，当时，在区间上单调递增， 则，即， 所以要证，只要证，也即证， 设，则， 因为函数在上均为增函数，故函数在是增函数， 因为， 由零点存在性定理可知存在，使. 故时，，则在上为减函数， 当时，，则在上为增函数， 因为， 所以时，，故原不等式成立. 【分析】（1）利用导数的性质求解函数的最值，进而结合函数的单调性得到不等式，最后求出取值范围即可. （2）对参数范围分类讨论，先得到单调性，最后求解极值点即可. （3）法一利用放缩法转化为证明，再构造函数并利用导数证明不等式即可，法二利用放缩法转化为证明，再构造函数并利用导数证明不等式即可，法三利用放缩法转化为证明，再构造函数并利用导数证明不等式即可. 【详解】（1）由题意知：对恒成立， 即，由于在区间上为增函数， 则，故解得. （2）由（1）知， ①当时，恒成立，在上单调递增，无极值； ②当时，令，得， 0 单调递减 极小值 单调递增 此时，函数在处取得极小值，无极大值 综上所述，当时，无极值点； 当时，函数的极小值点为，无极大值点. （3）略 【变式7-2】（2027高三·全国·专题练习）已知函数． (1)当时，证明：在内存在唯一极大值点，其中； (2)当时，，求的取值范围； (3)在（1）的条件下，证明：． 【答案】(1)求导得，令， 则， 当时，，， 所以，即在上单调递减， 因为，，，， 所以，， 所以，由零点存在性定理得，存在唯一实数，使得， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 所以，在内存在唯一极大值点，证毕． (2) (3)由（1）得当时，在内存在唯一极大值点， 所以，即，， 令，则， 所以，所以①， 特别地，当时，，且②， 由①②得，， 所以，，下面先讨论时的情况， 因为，，故，，，， 所以，，令，，则在恒成立， 所以在上单调递增，又，所以， 由①②得，即， 令，，则， 令，，则在上恒成立， 所以在上单调递增，， 所以在上恒成立， 所以在上单调递增，所以，即， 所以，令，， 则， 因为，，，， 所以在上恒成立，所以在上单调递减， 又，所以，即在上恒成立， 所以， 因为，， 所以，所以， 即，，另一方面，当时， 即证，成立，因为，， 由在上恒成立可得：，即不等式成立． 综上，，． 【分析】（1）先求一阶导，再二次求导判断导函数在目标区间单调递减；代入区间端点算出导函数两端点值一正一负，由零点定理得到唯一零点，结合导函数符号变化证明该零点为唯一极大值点； （2）移项构造新函数，两次求导判断导函数在单调递增；以为分界分类，时导函数恒非负，原函数最小值在处满足不等式；时原点附近导数为负，函数先递减出现负值，与恒成立矛盾，最终锁定参数范围； （3）设换元缩小自变量范围至，利用极值点条件得到等式，构造两个单调函数、比较与大小；再借助基础放缩完成不等式证明，分、验证. 【详解】（1）略 （2）时，，即恒成立， 令，，则， 令，则， 当时，，，，， 所以，即在上单调递增， 因为，， 所以，当，即时，在上恒成立， 故在上单调递增，则，即成立，满足题意； 当，即时，无论的取值为正或负， 在区间均存在其子集，， 使得时，，函数在上单调递减， 故，与恒成立矛盾，不满足题意； 综上，，即的取值范围为． （3）略 【变式7-3】（2026·天津·模拟预测）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：； (3)证明：． 【答案】(1) (2)证明：要证明，即证， 即证， 令，定义域为，显然， 则，其中， 当时，令，则， 其中，，故， 故在上单调递增， 又，故在上恒成立， 故在上单调递减， 当时，， 所以在上单调递增， 所以恒成立，从而，当时，等号成立； (3)证明：由（2）知，当时，， 即，当时，， 故， 故 【分析】（1）求导，得到，由导函数几何意义得到切线方程； （2）即证，构造函数，求定义域，得到函数单调性，从而得到不等式； （3）在（2）基础上，得到，求和得到不等式. 【详解】（1）由题可知， ，则， 故曲线在点处的切线方程为， 即； （2）略 （3）略 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $