3.2.1 单调性与最大(小)值（第1课时） 函数的单调性 （题型专练）数学人教A版2019必修第一册

3.2.1 函数的单调性（第1课时） 题型一：图象法求单调区间 1.如图是函数的图象，则函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 2.函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 3.已知函数的图象如图所示，则该函数的减区间为（    ）    A． B． C． D． 4.定义在上的函数的单调递减区间是 . 题型二：函数单调性的判断 1．已知四个函数的图象如图所示，其中在定义域内具有单调性的函数是（    ） A． B． C． D． 2.（多选题）在区间上为减函数的是（    ） A． B． C． D． 3.(多选题)下列函数中，在R上是增函数的是（    ） A．y=|x| B．y=x C．y=x2 D．y= 4.下列函数中，在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 题型三：利用函数的单调性比较大小 1.函数在R上为减函数，则有（    ） A． B． C． D． 2.函数在上是减函数，且为实数，则有（    ） A． B． C． D． 3.函数在上单调递减，那么与的大小关系是 . 4.已知函数，若对任意，且，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型四：证明或判断函数的单调性 1.下列函数中，满足“对任意，，当时，都有”的是（    ） A． B． C． D． 2.函数在上的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 3.下列函数中，在区间上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 4.已知函数的定义域为，则下列说法中正确的是（    ） A．若满足，则在区间内单调递增 B．若满足，则在区间内单调递减 C．若在区间内单调递增，在区间内单调递增，则在区间内单调递增 D．若在区间内单调递增，在区间内单调递增，则在区间内单调递增 题型一：求函数的单调区间 1.函数的单调增区间为（    ） A． B． C．和 D． 2.函数的单调递增区间是（    ） A．（，1] B．[1，） C．[1，4] D．[2，1] 3.已知，则函数的单调增区间是 . 4.（24-25高一上·全国·课堂例题）已知函数，，根据图象写出它的单调区间．． 题型二：函数单调性的应用 1.已知函数在区间上是减函数，则整数a的取值可以为（ ） A． B． C．0 D．1 2.若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.若函数（为实数）是R上的减函数，则（    ） A． B． C． D． 4.若在上为减函数，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 题型三：利用单调性比较大小或解不等式 1.若函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.已知函数f（x）的定义域为R，且对任意的x1，x2且x1≠x2都有[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＞0成立，若f（x2+1）＞f（m2﹣m﹣1）对x∈R恒成立，则实数m的取值范围是（　　） A．（﹣1，2） B．[﹣1，2] C．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞） 3.设函数在区间上有意义，任意两个不相等的实数，下列各式中，能够确定函数在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 4.(多选题)设函数在上为减函数，则（    ） A． B． C． D． E． 【感悟提升】利用单调性比较大小或解不等式的方法 (1)利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小．在解决比较函数值的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上． (2)利用抽象函数的单调性求范围 ①依据：定义在[m，n]上的增(减)函数中函数值与自变量的关系f(a)<f(b)⇔ ②方法：依据函数的单调性去掉符号“f”，转化为不等式问题求解． 1.如图所示是函数的图象，图中曲线与直线无限接近但是永不相交，则以下描述正确的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．此函数在定义域中不单调 D．对于任意的，都有唯一的自变量x与之对应 2.若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3.函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4.(多选题)下列函数中，在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.2.1 函数的单调性（第1课时） 题型一：图象法求单调区间 1.如图是函数的图象，则函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据图像判断函数单调性 【分析】根据函数图象即可得出单调递减区间. 【详解】根据题意，结合函数图象可得函数的单调递减区间为：. 故选：. 2.函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求函数的单调区间 【分析】先求出定义域，再利用二次函数单调性判断出结果. 【详解】函数的定义域需要满足，解得定义域为， 因为在上单调递增，所以在上单调递增， 故选：D. 3.已知函数的图象如图所示，则该函数的减区间为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据图像判断函数单调性 【分析】由图象上升下降的情况判断即可. 【详解】函数的图象在区间和是下降的，在区间和是上升的， 故该函数的减区间为． 故选：C. 4.定义在上的函数的单调递减区间是 . 【答案】 【知识点】求函数的单调区间 【分析】直接利用对勾函数的性质得到答案. 【详解】，取 如图所示： 单调递减区间是 故答案为 【点睛】本题考查了函数的单调区间，熟练掌握对勾函数的性质是解题的关键. 题型二：函数单调性的判断 1．已知四个函数的图象如图所示，其中在定义域内具有单调性的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据图像判断函数单调性、定义法判断或证明函数的单调性 【解析】若函数在定义内具有单调性，则图像从左到右呈上升趋势（或下降趋势），可判断正确答案. 【详解】对于A，函数分别在及上单调递增， 但存在，使，故A不符合题意； 对于C，函数分别在及上单调递增， 但存在，使，故C不符合题意； 对于D，函数分别在及上单调递减， 但存在，，使，故D不符合题意； 只有B完全符合增函数的定义，具有单调性. 故选:B. 【点睛】本题考查函数图像识别函数的单调性，判断函数的单调性可通过图像、定义，属于基础题. 2.（多选题）在区间上为减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】根据简单函数的性质，进行判断和选择即可. 【详解】解：函数是上的减函数， 函数在区间上单调递减， 函数在区间单调递减. 函数在区间单调递增， 所以A，B，C符合要求；D项不符合要求. 故选：ABC. 3.(多选题)下列函数中，在R上是增函数的是（    ） A．y=|x| B．y=x C．y=x2 D．y= 【答案】BD 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】根据基本初等函数的单调性判断可得； 【详解】解：选项A，，当x<0时单调递减，不符合题意； 选项B，显然在R上是增函数，符合题意； 选项C，y=x2，当x<0时单调递减，不符合题意； 选项D，作出草图如下，实线部分，观察图象可得函数在R上为增函数，符合题意.    故选：BD 【点睛】 本题考查了基本初等函数的单调性的应用问题，属于基础题． 4.下列函数中，在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】根据基本初等函数的单调性的判定方法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，函数在上单调递减，所以A不符合题意； 对于B中，函数在上单调递减，单调递增，所以B符合题意； 对于C中，函数在上单调递减，所以C不符合题意； 对于D中，时函数在上单调递减，所以D符合题意. 故选：D. 题型三：利用函数的单调性比较大小 1.函数在R上为减函数，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性 【分析】由减函数定义，观察自变量的大小可得． 【详解】∵，是上的减函数，∴． 故选：C． 【点睛】本题考查函数单调性的概念．要注意我们所学的单调性都是“严格”单调的，即在单调区间内对任意的，有，函数为增函数，，函数为减函数，两个函数值不可能相等． 2.函数在上是减函数，且为实数，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】比较函数值的大小关系 【分析】利用可排除ABD；根据函数单调性和恒成立可知C正确. 【详解】当时，ABD中不等式左右两侧均为，不等式不成立，ABD错误； 对于恒成立，即恒成立，又为上的减函数， ，C正确. 故选：C. 3.函数在上单调递减，那么与的大小关系是 . 【答案】 【知识点】比较函数值的大小关系 【分析】比较自变量的大小，根据单调性可得结果. 【详解】解：∵， 又∵在上单调递减， ∴. 【点睛】本题考查利用单调性比较大小，考查学生的变形能力，属于基础题. 4.已知函数，若对任意，且，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知二次函数单调区间求参数值或范围、定义法判断或证明函数的单调性 【解析】易知 在上是增函数，然后利用二次函数的性质求解. 【详解】因为对任意，且，不等式恒成立， 所以 在上是增函数， 所以，解得， 所以实数的取值范围是， 故选：C 题型四：证明或判断函数的单调性 1.下列函数中，满足“对任意，，当时，都有”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性 【解析】根据题意，结合函数解析式，选择在上单调递增的函数即可. 【详解】因为对任意，，当时，都有，所以在上为增函数， A选项，在上为增函数，不符合题意. B选项，在上为减函数，不符合题意. C选项，在上为增函数，符合题意. D选项，在上为增函数，不符合题意. 故选：C. 2.函数在上的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】根据题意可知函数在上单调递减，结合单调性求最值. 【详解】因为在上单调递增，且恒成立， 可知函数在上单调递减， 当时，，所以函数在上的最小值为. 故选：B. 3.下列函数中，在区间上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】选项A先判断函数在区间上为减函数，再判断选项A错误；选项B先判断函数在区间上为增函数，再判断选项B正确；选项C先判断函数在区间上为减函数，再判断选项C错误；选项D先判断函数在区间上为减函数，再判断选项D错误. 【详解】选项A：，开口向下，对称轴为，所以函数在区间上为减函数，故选项A错误； 选项B：，所以函数在区间上为增函数，故选项B正确； 选项C：可以看作由函数向左平移一个单位得到，所以函数在区间上为减函数，故选项C错误； 选项D：，开口向下，对称轴为，所以函数在区间上为减函数，故选项D错误. 故选：B. 4.已知函数的定义域为，则下列说法中正确的是（    ） A．若满足，则在区间内单调递增 B．若满足，则在区间内单调递减 C．若在区间内单调递增，在区间内单调递增，则在区间内单调递增 D．若在区间内单调递增，在区间内单调递增，则在区间内单调递增 【答案】C 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性 【分析】根据单调性的定义和性质逐项分析判断即可. 【详解】对于AB：函数满足，或，特值并不具有任意性， 所以区间端点值的大小关系并不能确定函数在区间上的单调性，故A，B错误； 对于C：区间和有交集，故函数在区间内单调递增，故C正确， 对于D：区间和没有交集，故不能确定函数在区间内的单调性. 例如在和上递增，但，故D错误． 故选：C. 题型一：求函数的单调区间 1.函数的单调增区间为（    ） A． B． C．和 D． 【答案】C 【知识点】求函数的单调区间 【分析】由可得且，然后求出的减区间即可. 【详解】由可得且， 因为开口向下，其对称轴为， 所以的减区间为和 所以的单调增区间为和 故选：C 2.函数的单调递增区间是（    ） A．（，1] B．[1，） C．[1，4] D．[2，1] 【答案】D 【知识点】与二次函数相关的复合函数问题、复合函数的单调性 【分析】先求出函数的定义域，再换元，然后利用复合函数单调性“同增异减”的方法求解 【详解】由，得，解得， 令，则， 因为在上递增，在上递减，而在上递增， 所以在上递增，在上递减， 所以的单调递增区间是， 故选：D 3.已知，则函数的单调增区间是 . 【答案】 【知识点】判断二次函数的单调性和求解单调区间、求函数的单调区间 【分析】根据二次函数对称轴与定义区间位置关系以及开口方向确定函数单调区间. 【详解】解：因为，对称轴为 ，又开口向下， 又，∴函数的单调递增区间为． 故答案为： 4.（24-25高一上·全国·课堂例题）已知函数，，根据图象写出它的单调区间．． 【答案】单调递增区间为，单调递减区间为． 【知识点】求函数的单调区间、函数图象的应用 【分析】根据二次函数的性质作出函数图象，即可根据图象求解单调区间. 【详解】， 函数图象如图所示． 由图象可知，函数的单调递增区间为，单调递减区间为． 题型二：函数单调性的应用 1.已知函数在区间上是减函数，则整数a的取值可以为（ ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【知识点】根据函数的单调性求参数值 【分析】由题意可得，解不等式即可得出答案. 【详解】解：由题意可得，解得， ∴整数a的取值可以为. 故选：A 2.若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据函数的单调性求参数值 【分析】根据二次函数的单调性求解即可. 【详解】函数的对称轴为， 由题意可知，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：B. 3.若函数（为实数）是R上的减函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一次函数的图像和性质、函数 【分析】一次函数当时单调递减 【详解】由题意知，解得 故选：D 4.若在上为减函数，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据函数的单调性求参数值 【分析】根据为上的减函数列不等式，解不等式求得的取值范围. 【详解】为上的减函数， 时， 递减，即，①， 时， 递减，即，②且 ，③ 联立①②③解得， . 故选：C. 【点睛】本小题主要考查根据函数的单调性求参数的取值范围，属于基础题. 题型三：利用单调性比较大小或解不等式 1.若函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据函数的单调性解不等式 【分析】由单调性可直接得到，解不等式即可求得结果. 【详解】在上单调递增，，，解得：， 实数的取值范围为. 故选：C. 2.已知函数f（x）的定义域为R，且对任意的x1，x2且x1≠x2都有[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＞0成立，若f（x2+1）＞f（m2﹣m﹣1）对x∈R恒成立，则实数m的取值范围是（　　） A．（﹣1，2） B．[﹣1，2] C．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞） 【答案】A 【分析】由对任意的x1，x2且x1≠x2都有[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＞0成立，可知函数f（x）在定义域R上为增函数，然后利用增函数的性质得x2+1＞m2﹣m﹣1恒成立，则1＞m2﹣m﹣1，从而可求出m的取值范围 【详解】解：由题意，可知： ∵对任意的x1，x2且x1≠x2都有[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＞0成立， ∴函数f（x）在定义域R上为增函数． 又∵f（x2+1）＞f（m2﹣m﹣1）对x∈R恒成立， ∴x2+1＞m2﹣m﹣1， ∴m2﹣m﹣1＜1， 即：m2﹣m﹣2＜0． 解得﹣1＜m＜2． 故选：A． 【点睛】此题考查了增函数的性质，利用增函数的性质解不等式，考查了不等式恒成立问题，属于中档题. 3.设函数在区间上有意义，任意两个不相等的实数，下列各式中，能够确定函数在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性 【分析】由于函数在区间上单调递增，则任意两个不相等的实数，与应该同号，从而可得答案. 【详解】解：函数在区间上单调递增，则任意两个不相等的实数，与应该同号，所以， 故选：C. 【点睛】此题考查增函数的定义和质，属于基础题. 4.(多选题)设函数在上为减函数，则（    ） A． B． C． D． E． 【答案】BE 【知识点】作差法比较代数式的大小、比较函数值的大小关系 【分析】取特殊值，可判断ACD选项；利用作差法比较和、和的大小，进而结合函数单调性即可判断BE选项. 【详解】由题意，函数在上为减函数. 当时，，，， 则，，，故ACD错误； 对于B，因为，所以， 所以，故B正确； 对于E，因为，所以，故E正确. 故选：BE. 【感悟提升】利用单调性比较大小或解不等式的方法 (1)利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小．在解决比较函数值的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上． (2)利用抽象函数的单调性求范围 ①依据：定义在[m，n]上的增(减)函数中函数值与自变量的关系f(a)<f(b)⇔ ②方法：依据函数的单调性去掉符号“f”，转化为不等式问题求解． 1.如图所示是函数的图象，图中曲线与直线无限接近但是永不相交，则以下描述正确的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．此函数在定义域中不单调 D．对于任意的，都有唯一的自变量x与之对应 【答案】C 【知识点】抽象函数的定义域、函数图象的应用、根据图像判断函数单调性、抽象函数的值域 【分析】由函数图象确定定义域和值域，单调性判断各项的正误. 【详解】由图知：的定义域为，值域为，A、B错； 显然在分别递增，但在定义域上不单调，C对； 显然，对应自变量x不唯一，D错. 故选：C 2.若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据函数的单调性求参数值、已知二次函数单调区间求参数值或范围 【分析】首先对a是否为零讨论，再让在对称轴的右边即可求得结果 【详解】当时，上单调递减，满足题意； 当时，的对称轴为直线，由在上单调递减， 知，解得． 综上，实数的取值范围为． 故选：D. 3.函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据函数的单调性求参数值、根据分段函数的单调性求参数 【分析】由分段函数单调性列不等式组求解 【详解】，故在上单调递减， 由题意得解得， 故选：B 4.(多选题)下列函数中，在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】根据图像判断函数单调性 【分析】画出各选项的函数图像，利用函数的图象来研究函数的单调性判断即可. 【详解】画出函数图象如图所示， 由图可得A，D中的函数在上单调递增，B，C中的函数在上不单调． 故选:AD． 学科网（北京）股份有限公司 $$