2027年高考数学一轮复习检测卷（全国二卷03）

2027年高考一轮复习检测卷（全国二卷03） 数学·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B D B A D A C B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BCD CD ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．129 14．3 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 【解析】（1）在中，由余弦定理， 即，（2分） 整理得，解得或， 因为为整数，故. 由正弦定理，得.（6分） （2）在中，. 设，由的面积为，得，（9分） 即，化简得，解得，即. 在中，. 因长度为正，故.（13分） 16．（15分） 【解析】（1）因为四边形为菱形，所以. 因为平面，平面，所以平面. 又平面，且平面平面，由线面平行的性质定理知.（6分） （2）因为平面平面，交线为，为等边三角形，所以点在平面上的投影为的中点，且到平面的距离为. 以为原点，所在直线为轴，在平面内过且垂直于的直线为轴，过且垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，.（9分） 于是，，. 设平面的法向量为，由，，得，. 取，得平面的一个法向量.（13分） 设直线和平面所成的角为，则.（15分） 17．（15分） 【解析】（1）由，则，， 又， 所以，．（4分） （2）已知，令， 则由题可知，当时，；（6分） 当时，， 所以．（8分） （3）由题可知的取值为， 表示第户是单元的最后一户住户的概率， 从户中选户，其中第户是单元的最后一户住户， 那么前户中有户是单元的住户，所以， 所以，（10分） 因为， 所以， 又，则， 则．（15分） 18．（17分） 【解析】（1）抛物线的焦点，准线为：， 设点，动点到其准线的距离为， 由拋物线定义得，，则，当且仅当时取等号， 依题意，，所以抛物线的方程为.（4分） （2）（i）显然直线不垂直于坐标轴，设直线的方程为：， 设，又， 由消去得，，（6分） ， 由，得，整理得，同理得，（8分） 所以.（10分） （ii）设直线的方程为：，而， 由消去得，则， 又，由，得，（13分） 即，则，解得， 由，得，解得或，则 所以直线的斜率的取值范围是.（17分） 19．（17分） 【解析】（1）由题意得，， 令，则，即切点为， 得到，则切线斜率， 综上，切线方程为，化简得.（4分） （2）若对任意，恒成立，即对恒成立， 因为，则有，即， 令，则， 当时，，单调递减， 当时，， 单调递增， 所以，故对恒成立，（6分） 因此对两边同时除以得， 令，原问题转化为， 令，则， 因为，则， 当时，，单调递减， 当时，， 单调递增， 所以，即恒成立，（8分） 从而，结合， 则有，当且仅当时取等号， 即，即，即实数的取值范围为.（9分） （3）令， 因为，同时除以得， 由题意得与有两个不同的交点， 得到， 令，则， 当时，，单调递减， 当时，， 单调递增， 所以，（11分） 其中，所以，即， 即对恒成立， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，，当时， ， 要使有两个不同根，必须有，不妨设， 因为，且在上单调递减， 所以，（13分） 又因为，故只需证明对任意，都有， 可得， 分母部分由上知对于恒成立，对于恒成立， 所以的分母恒正，即只由分子部分决定正负， 分子部分整理得，令， 则， 令， 由有，因此， 得到， 因为，所以，又因为， 故，进而， 故，所以单调递减，（16分） 所以， 即，即，即， 因为在单调递减，所以，进而.（17分） 7 / 7学 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年高考一轮复习检测卷（全国二卷03） 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 故选：B 2．已知集合，，则（     ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【解析】 或 3．【改编】已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（   ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】B 【解析】由题意，设，，， 则， 则，则. 4．【改编】已知是函数的一个零点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，得， 所以，. 故选：A 5．若是奇函数，则的值为（    ） A． B． C．7 D．-7 【答案】D 【解析】根据奇函数的性质可求出，即可求出的值.因为是奇函数， 当时，则，所以， 又是奇函数，所以 ， 所以， 所以，所以. 故选：D. 6．已知向量，，则向量在上的投影向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 所以向量在上的投影向量为. 故选：A 7．若圆：上有四个不同的点到直线的距离为3，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】圆， 故圆心为，半径为6． 设圆心到直线的距离为， 要使圆上有四个不同的点到直线的距离为3， 则与直线平行且距离为3的两条直线都必须与圆相交于两个不同的点， 所以，得，即， 解得， 故选：C． 8．【改编】已知，，函数，对任意，恒有成立，则的最小值为（     ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解析】由，得， 则， 即， 即对于恒成立， 因为函数在上为增函数，且零点为， 而函数开口向上，对称轴为， 要使对于恒成立， 则为函数的零点，且时，，时，， 所以，则，且， 所以， 则时，取得最小值. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图，矩形是圆柱的轴截面，，为的中点，为的中点，则（   ） A．圆柱的侧面积为 B．三棱锥的体积为 C．圆柱的外接球的表面积为 D．平面 【答案】BCD 【解析】对于A，圆柱的侧面积，故A错误； 对于B，由题意得，且 所以，故B正确； 对于C，取的中点，连接，易求得， 即圆柱的外接球的半径为，故该球的表面积为，故C正确； 对于D，取的中点．连接．因为为的中点，所以， 又，所以，所以四边形为平行四边形， 则，又平面，平面，所以平面，故D正确． 故选：BCD． ， 10．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，则（    ） A．椭圆的离心率为 B．存在点，使得 C．的最大值为4 D．使得为等腰三角形的点共有6个 【答案】CD 【解析】由椭圆，得，则， 对于A，椭圆的离心率，故A错误； 对于B，当点在短轴端点处时，最大，此时，又， 所以，即，所以不存在点，使得，故B错误； 对于C，由椭圆定义得， 由基本不等式可得，当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，要使得为等腰三角形，分下面三种情况： 当时，对应短轴两个端点，共2个点； 当，，对应上下2个点； 当，，对应上下2个点； 综上，使得为等腰三角形的点共有6个，故D正确. 11．锐角中内角的对边分别为，外接圆半径为，点是边的中点，若 ，且 ，则（    ） A． B．面积的最大值为 C． D．的取值范围为 【答案】ABD 【解析】根据题意结合正弦定理角化边可知：，即， 由余弦定理可得，所以，选项A正确； 由正弦定理可得，所以，选项C错误； ，由，即，所以，所以，当且仅当时取等， 所以，选项B正确； 因为点是边的中点，所以，即 ，将代入得， 锐角三角形，三个角全小于，，故，， 所以，由正弦定理得，， 所以，， 所以，代入，的取值范围为，选项D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知直线为曲线的一条切线，则________； 【答案】 【解析】设切点为，对求导得. 由切线斜率为，得，解得. 将代入切线方程，得， 即切点为. 切点在曲线上，代入得： 13．已知数列满足，，则的前13项和为______. 【答案】129 【解析】设数列的前项和为，那么 . 14．盒子中装有编号依次为1，2，3，4，5的5个除编号外均相同的小球，现从中有放回地摸）次，每次摸出1个小球，记这次摸出的小球中最大编号为，若的期望，则的最小值为_____. 【答案】3 【解析】由题可知，随机变量的所有可能取值为1，2，3，4，5， ， 其中1，2，3，4，5，则 化简得， ， 令，则， 因为，所以，即 因为随的增大而减小，所以， 当时，，不成立； 当时，，不成立； 当时，，成立， 综上所述，的最小值为3. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在中，，，，且的长为整数． (1)求； (2)若点在射线上，且的面积为，求线段的长． 【解析】（1）在中，由余弦定理， 即，（2分） 整理得，解得或， 因为为整数，故. 由正弦定理，得.（6分） （2）在中，. 设，由的面积为，得，（9分） 即，化简得，解得，即. 在中，. 因长度为正，故.（13分） 16．（15分） 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，平面平面，是等边三角形． (1)若平面平面，证明：； (2)求直线和平面所成角的正弦值； 【解析】（1）因为四边形为菱形，所以. 因为平面，平面，所以平面. 又平面，且平面平面，由线面平行的性质定理知.（6分） （2）因为平面平面，交线为，为等边三角形，所以点在平面上的投影为的中点，且到平面的距离为. 以为原点，所在直线为轴，在平面内过且垂直于的直线为轴，过且垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，.（9分） 于是，，. 设平面的法向量为，由，，得，. 取，得平面的一个法向量.（13分） 设直线和平面所成的角为，则.（15分） 17．（15分） 满足且的正态分布称为标准正态分布，其在正态分布中扮演着核心角色，这是因为如果，那么令，则可以证明，即任意正态分布通过变换都可化为标准正态分布．某市为鼓励居民节约用电，实行阶梯电价制度．根据统计，该市居民月用电量（单位：度）服从正态分布，用电费用．（参考数据：若，，） (1)求和； (2)为制定阶梯电价方案，需了解月用电量的分布情况，求； (3)若某小区一共有户住户，其电表编号为，国家电网工作人员随机读取该小区所有住户的电表数据，每户读取时长为分钟，已知某幢楼单元有户住户，记随机变量表示单元最后一户住户读取结束所用的时长（从第户开始读取到最后一个单元住户读取结束所用的总时长），求：表达式（用含、的式子表示）． 【解析】（1）由，则，， 又， 所以，．（4分） （2）已知，令， 则由题可知，当时，；（6分） 当时，， 所以．（8分） （3）由题可知的取值为， 表示第户是单元的最后一户住户的概率， 从户中选户，其中第户是单元的最后一户住户， 那么前户中有户是单元的住户，所以， 所以，（10分） 因为， 所以， 又，则， 则．（15分） 18．（17分） 已知抛物线的焦点为上的动点到点的距离与到其准线的距离之和的最小值为2. (1)求抛物线的方程； (2)已知点是抛物线上不同的三点. （i）若直线过点，且交准线于点，求的值； （ii）若直线的斜率分别为，且，求直线的斜率的取值范围. 【解析】（1）抛物线的焦点，准线为：， 设点，动点到其准线的距离为， 由拋物线定义得，，则，当且仅当时取等号， 依题意，，所以抛物线的方程为.（4分） （2）（i）显然直线不垂直于坐标轴，设直线的方程为：， 设，又， 由消去得，，（6分） ， 由，得，整理得，同理得，（8分） 所以.（10分） （ii）设直线的方程为：，而， 由消去得，则， 又，由，得，（13分） 即，则，解得， 由，得，解得或，则 所以直线的斜率的取值范围是.（17分） 19．（17分） 已知函数，，． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数存在两个不同零点，，且满足，求证：． 【解析】（1）由题意得，， 令，则，即切点为， 得到，则切线斜率， 综上，切线方程为，化简得.（4分） （2）若对任意，恒成立，即对恒成立， 因为，则有，即， 令，则， 当时，，单调递减， 当时，， 单调递增， 所以，故对恒成立，（6分） 因此对两边同时除以得， 令，原问题转化为， 令，则， 因为，则， 当时，，单调递减， 当时，， 单调递增， 所以，即恒成立，（8分） 从而，结合， 则有，当且仅当时取等号， 即，即，即实数的取值范围为.（9分） （3）令， 因为，同时除以得， 由题意得与有两个不同的交点， 得到， 令，则， 当时，，单调递减， 当时，， 单调递增， 所以，（11分） 其中，所以，即， 即对恒成立， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，，当时， ， 要使有两个不同根，必须有，不妨设， 因为，且在上单调递减， 所以，（13分） 又因为，故只需证明对任意，都有， 可得， 分母部分由上知对于恒成立，对于恒成立， 所以的分母恒正，即只由分子部分决定正负， 分子部分整理得，令， 则， 令， 由有，因此， 得到， 因为，所以，又因为， 故，进而， 故，所以单调递减，（16分） 所以， 即，即，即， 因为在单调递减，所以，进而.（17分） 1 / 15学 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年高考一轮复习检测卷（全国二卷03） 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数，则等于（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，，则（     ） A． B．或 C．或 D．或 3．【改编】已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（   ） A．2 B．3 C．4 D． 4．【改编】已知是函数的一个零点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．若是奇函数，则的值为（    ） A． B． C．7 D．-7 6．已知向量，，则向量在上的投影向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 7．若圆：上有四个不同的点到直线的距离为3，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．【改编】已知，，函数，对任意，恒有成立，则的最小值为（     ） A． B． C．1 D．2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图，矩形是圆柱的轴截面，，为的中点，为的中点，则（   ） A．圆柱的侧面积为 B．三棱锥的体积为 C．圆柱的外接球的表面积为 D．平面 10．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，则（    ） A．椭圆的离心率为 B．存在点，使得 C．的最大值为4 D．使得为等腰三角形的点共有6个 11．锐角中内角的对边分别为，外接圆半径为，点是边的中点，若 ，且 ，则（    ） A． B．面积的最大值为 C． D．的取值范围为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知直线为曲线的一条切线，则________； 13．已知数列满足，，则的前13项和为______. 14．盒子中装有编号依次为1，2，3，4，5的5个除编号外均相同的小球，现从中有放回地摸）次，每次摸出1个小球，记这次摸出的小球中最大编号为，若的期望，则的最小值为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在中，，，，且的长为整数． (1)求； (2)若点在射线上，且的面积为，求线段的长． 16．（15分） 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，平面平面，是等边三角形． (1)若平面平面，证明：； (2)求直线和平面所成角的正弦值； 17．（15分） 满足且的正态分布称为标准正态分布，其在正态分布中扮演着核心角色，这是因为如果，那么令，则可以证明，即任意正态分布通过变换都可化为标准正态分布．某市为鼓励居民节约用电，实行阶梯电价制度．根据统计，该市居民月用电量（单位：度）服从正态分布，用电费用．（参考数据：若，，） (1)求和； (2)为制定阶梯电价方案，需了解月用电量的分布情况，求； (3)若某小区一共有户住户，其电表编号为，国家电网工作人员随机读取该小区所有住户的电表数据，每户读取时长为分钟，已知某幢楼单元有户住户，记随机变量表示单元最后一户住户读取结束所用的时长（从第户开始读取到最后一个单元住户读取结束所用的总时长），求：表达式（用含、的式子表示）． 18．（17分） 已知抛物线的焦点为上的动点到点的距离与到其准线的距离之和的最小值为2. (1)求抛物线的方程； (2)已知点是抛物线上不同的三点. （i）若直线过点，且交准线于点，求的值； （ii）若直线的斜率分别为，且，求直线的斜率的取值范围. 19．（17分） 已知函数，，． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数存在两个不同零点，，且满足，求证：． 1 / 6学 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $