1.6.2 有理数的乘方 课件 2026--2027学年沪科版七年级数学上册

第1章 有理数 1.6 有理数的乘方（第二课时） 1 观察有理数混合运算的算式，识别乘方、括号等运算符号，分析算式结构，发展符号意识和数感，能区分不同运算的先后层级。 01 理解有理数混合运算顺序，遵循先乘方、再乘除、后加减，有括号先算括号内的规则，规范分步演算，提升运算能力与推理意识。 02 运用有理数混合运算的模型进行计算，有条理地表达运算过程，建立模型意识，能利用运算规则解决相关计算问题，发展应用意识。 03 教学目标 2 周末奶茶店，这一单到底该付多少钱？ 4名同学各买一杯奶茶，原价8元，每杯降价3元；另买两份小食，每份原价10元，打对折；出示会员券，再减去（-2）2元。 请列出综合算式： 4×（8-3）+2×（10÷2）-（-2）2 解 原式=4×5+2×5-4 =20+10-4 =26 所以这一单要付26元。 想一想：这里的（-2）2，能直接当成-22来计算吗？ 新知导入 3 探究一 有理数的乘方 1.有理数乘方回顾：an：a是底数，n是指数，表示n个a相乘。区分(-a)n与-an： (-a)n底数为-a； -an底数是a，是an的相反数。 2.有理数混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号，先算括号内部（由内向外）。 3.乘除同级运算规则：乘、除属于同级运算，必须从左向右依次计算。 4.运算技巧：乘法分配律 形如（a+b+c）×m，可以展开为a×m+b×m+c×m，简化分数运算。 新知讲解 4 探究一 有理数的乘方 5.绝对值运算：算式中含有绝对值，优先计算绝对值内部，再去掉绝对值符号。 6.符号判断要点：负数的偶次幂为正，负数的奇次幂为负；计算时先定符号，再算数值。 新知讲解 5 例1 计算 （1）-10+8÷（-2）2-（-4）×（-3）； 解 （1）-10+8÷（-2）2-（-4）×（-3） =-10+8÷4-4×3 =-10+2-12 =-20 典例分析 6 例1 计算 （2）（- ）×（- ）2+（- ）÷[（- ）3- ]. 解（2）（- ）×（- ）2+（- ）÷[（- ）3- ] =（- ）× +（- ）÷[（- ）- ] =（- ）×+（- ）÷（- ） =-5+1 =-4 典例分析 7 【知识技能类作业】必做题： 【解析】本题为还原问题，采用倒推法求解。从最后苹果恰好吃完的状态向前逆推：第三天吃掉余下的一半又多半个后无剩余，可知这多吃的半个苹果即为第三天苹果数量的一半，求得第三天原有苹果1个；再根据第二天吃完余下1个，可算出第二天原有苹果3个；最后由第一天吃完余下3个，求得苹果总数为7个。经正向验算，总数7个符合题目条件，因此答案选B。【详解】故选：B B 1.小明从家带来一些苹果，第一天吃了全部的一半又多半个，第二天吃了余下的一半又多半个，第三天再吃余下的一半又多半个，恰好吃完．小明从家带来了（ ）个苹果 A．10 B．7 C．13 D．9 课堂练习 8 【知识技能类作业】必做题： 【解析】本题考查有理数乘除与乘方运算的符号判断。A式含有因数0，结果为0；B式先算平方再加减，结果为正数；C式负因数个数为2个，偶数个负数相乘，积为正数；D式中(-1.84)2是正数，5×(-0.5)为负数，负数除以正数，商为负数。因此计算结果是负数的是D。 【详解】故选：D． 2.下列计算结果是负数的是( ) A．(−2) × (−3) × (−4) ×0 B．(−4)2+ (−5)2−62 C．(−1.2) × |−3.75| × (−0.125) D．5 × (−0.5) ÷ (−1.84)2 D 课堂练习 9 【知识技能类作业】必做题： 【解析】观察图形，数出圆圈数量：第①个图形：5 = 4×1+1；第②个图形：9 = 4×2+1；第③个图形：13 = 4×3+1 。可以发现规律：每增加一个图形，就增加4个圆圈。因此第n个图形圆圈个数为4n+1，答案选B。 【详解】故答案为B 3.如图，由相同大小的圆圈按照一定规律摆放，那么第n个图形中圆圈的个数是（ ） A．4n−1 B．4n+1 C．4n−2 D．4n+2 B 课堂练习 10 【知识技能类作业】必做题： 4.定义Δ运算，观察下列运算： （+5）Δ（+14）=+19， （−13）Δ（−7）=+20， （−2）Δ（+15）=−17， （+18）Δ（−7）=−25， 0Δ（−19）=+19， （+13）Δ0=+13． 请你认真思考上述运算，归纳Δ运算的法则，并解答下列问题： （1）计算：（+17）Δ[0Δ−16]=______． （2）若2×（2Δa）−1=3a，则a=________． 33 -5或3 课堂练习 11 【知识技能类作业】必做题： 【解析】先归纳Δ运算法则：两数Δ运算，同号得正，异号得负，并将绝对值相加；0Δa=-a，aΔ0=a。 (1) 先计算括号内0Δ(-16)=16，再计算(+17)Δ(+16)=17+16=33。 (2) 分a>0、a<0两种情况讨论：当a>0时，2Δa=2+a，解得a=3；当a<0时，2Δa=-(2+|a|)，解得a=-5。a=0不满足方程，舍去，故a=-5或3。 【详解】故答案为（1）33；（2）-5或3。 课堂练习 12 【知识技能类作业】选做题： 【解析】解：原式=-4+4-(-8)-8=-4+4+8-8=0。本题重点辨析乘方符号：-22表示2平方的相反数，结果为-4；(-2)2、(-2)3是底数为-2的乘方，按照乘方法则计算，再进行加减运算。 【详解】故选：C． 1.式子−22+（−2）2−（−2）3−23的值为( ） A．-18 B．-2 C．0 D．6 C 课堂练习 13 【知识技能类作业】选做题： 2.如图，关于变量x，y的程序计算，若开始输入的x值为2，则最后输出因变量y的值为（ ） A．3 B．8 C．63 D．64 C 【解析】解：程序计算式子为(x+1)(x-1)=x2-1。输入x=2：22-1=3，3<15，重新输入x=3；32-1=8，8<15，重新输入x=8；82-1=63，63>15，输出y=63。故选C。 【详解】故选：C． 课堂练习 14 【知识技能类作业】选做题： 3.某校规定英语竞赛成绩85分以上为优秀，老师将85分记为0，并将一组5名同学的成绩简记为−3，+14，0，+5，−6，这5名同学的平均成绩是（ ） A．83 B．87 C．82 D．84 B 【解析】基准分：85分，简记成绩：-3，+14，0，+5，-6。1. 先求简记分数的和：(-3)+14+0+5+(-6)=10；2. 简记分数的平均值：10÷5=2；3. 实际平均成绩：85+2=87。【详解】故选：B． 课堂练习 15 【知识技能类作业】选做题： 4.进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． 十进制数1024=1×103+0×102+2×101+4，记作1024； 八进制数（1024）8=1×83+0×82+2×81+4，记作（1024）8； 二进制数（1101）2转化为十进制数为（ ） A．12 B．13 C．14 D．15 B 【解析】根据题目的进位制规则，二进制转十进制，每一位数字乘以2的对应次方再相加。(1101)2=1×23+1×22+0×21+1×20=8+4+0+1=13，故选B。 【详解】故选：B． 课堂练习 16 【综合拓展类作业】 1.已知A=4x2+ax+b，B=2bx2−3x−1，且A−2B的值与x的取值无关． （1）求a，b的值； （2）求代数式a2−2ab−(−b)2022的值． 【解析】先化简 A-2B，代数式的值与x无关，则二次项、一次项系数为0，列出方程求出a,b；再将a,b的值代入代数式计算结果。 【详解】（1）解：由题意可得：A−2B=4x2+ax+b−2（2bx2−3x−1）=4x2+ax+b−4bx2+6x+2=（4−4b）x2+(a+6)x+b+2 ∵A−2B的值与x的取值无关∴4-4b=0，a+6=0。解得：b=1，a-6 （2）解：原式=（−6）2−2×（−6）×1−（−1）2022=36+12-1=47 课堂练习 17 【综合拓展类作业】 2.计算机的运算编程与数学原理是密不可分的，相对简单的运算编程就是数值转换机． (1)如图，A同学设置了一个数值转换机，若输入a的值为2，则输出的结果为____． (2)如图，B同学设置了一个数值转化机，如果输入的分别为和1，那么输出的结果分别为_____和______． 3 课堂练习 18 【综合拓展类作业】 (3)C同学也设置了一个计算装置示意图，A，B是数据入口，是计算结果的出口，计算过程是由A，B分别输入自然数m和n，经过计算后的有理数k由C输出，此种计算装置完成的计算满足以下三个条件： ①若A，B分别输入1，则输出结果1，记K=C（1，1）=1；②若B输入1，A输入自然数增大1，则输出结果为原来的3倍，记k=C（m，1）=3C（m-1，1）；③若A输入任何固定自然数不变，B输入自然数增大1，则输出结果比原来增加，记k=C（m，n）=C（m，n-1）+，问：当A输入自然数6，B输入自然数6时，k的值是多少？ 课堂练习 19 【综合拓展类作业】 【解析】（1）按照转换机列式，把小数、带分数统一为分数，代入a=2进行有理数混合运算，得到。（2）先计算x，判断结果与1的大小，选择对应的运算：x=时，x=≤1，代入减法再相乘；x=1时，x=>1，做加法，结果分别为和3。（3）先根据条件②递推求出C（6，1）=35=243；再利用条件③，B从1增加到6，共增加5次，每次加，算出C（6，6）=243+5×=243. 课堂练习 20 【综合拓展类作业】 【详解】解（1）将a=2代入流程：2×2=4，∴4 - =3.5，∴3.5+0.375=3.875，∴3.875-|-2|=1.625，故答案为：1.625；（2）若输入的x为时，x= × = ，∵<1，∴ -（-2）= + = ，∴×2 = × = ，若输入的x为1时， x= ×1 = × = ，∵>1，∴ +（1）= + = 3。故答案为：和3； 课堂练习 21 【综合拓展类作业】 （3）由三个条件可知，当A，B均为1时，输出结果为1，先输入B数值为1，则可得到当A输入2时，C（2，1）=3C（1，1）=3，∴当A输入3时，C=（3，1）=3C（2，1）=3×3=9，同理可得C（4，1）=3C（3，1）=27，C（5，1）=3C（4，1）=81，C（6，1）=3C（5，1）=243，若A输入固定值为6，C=（6，2）=C（6，1）+，同理可得k=C（6，6）=243+5×=243，答：当A输入自然数6，B输入自然数6时，k的值是243. 课堂练习 22 总结 1.回顾有理数乘方的概念，明确底数、指数含义，辨析(-a)n与-an的差别，结合实际算式，引出有理数混合运算的学习，感受学习混合运算的必要性。 2.认识有理数混合运算包含乘方、乘除、加减，还会涉及括号、绝对值运算；掌握乘方符号规律，负数的奇次幂结果为负，负数的偶次幂结果为正。 3.总结有理数混合运算顺序：先乘方，再乘除，后加减；有括号先算括号里面的，同级运算要从左向右依次计算；可以灵活运用乘法分配律简化分数算式。 4.借助课本例题和课堂练习进行计算，重点规避运算顺序、乘方符号判断等常见错误，规范书写解题步骤，提高有理数综合运算的能力。 课堂小结 23 【知识技能类作业】必做题： 1.计算（）2×（-）2的结果是（ ） A． B．0 C．1 D． 2.下列各式计算正确的是（ ） A．4×（-3）2-6=30 B．+÷=2 C．0-23÷（-4）3=- D．16.8÷（-）×0=-25.2 C A 作业布置 24 【知识技能类作业】必做题： 3.下列算式中，①（2016）2；②（-2）5；③-32016，④4×（-）2-23÷（-8）；⑤3024÷（-36）-2016：⑥（-2）3-×5-×（-32）；计算结果是负数的有（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 4.计算：(1)(-1)2025＋|-22+4|-（－＋）×(-24)； (2)（-）2÷（-）4×(-1)6-（1＋1－2）×48； (3) [-14-（1-0.5×）]×|3-(-3)2|-（-）。 B 作业布置 25 【知识技能类作业】必做题： 【详解】（1）原式＝-1+0+12-6+3=8。 （2）原式=×16×1-（×48+×48-×48）＝1-(66+64-132)＝1-(-2)＝3。 （3）原式＝[-1-（1-×）]×|3-9|＋＝[-1-（1-）]×6＋＝（-1-）×6＋＝（-）×6＋＝-11＋＝-10。 作业布置 26 【知识技能类作业】选做题： 1.小刚平时很爱跟爸爸一起研究数学，一天爸爸带小刚去一家餐厅吃饭．刚进门，小刚就发现，这个餐厅把WIFI密码设置成了一道如下图所示的数学题．小刚与爸爸讨论了一会儿，拿出爸爸的手机输入密码，顺利连接到了这家餐厅的WIFI，那么他输入的密码是（ ） A．143549 B．103545 C．113545 D．123545 B 作业布置 27 【知识技能类作业】选做题： 2.现有这样一种算法程序，任意输入一个数后会不断地反复进行“先乘以-，后加上4”的运算，即若输入2，通过第一次运算输出x1，随后输入x1，通过第二次运算输出x2，随后输入x2，……，一直这样运算下去，运算结果会越来越接近于（ ） A．3.3 B．3 C．2 D．2.5 B 作业布置 28 【知识技能类作业】选做题： 3.如图，在正五边形中，已知a，b，c，d，e为正整数，且每条边上的三个数之和都等于-3，则c3+a-b-d-e=_____． 117 作业布置 29 【综合拓展类作业】 1.聪明的小明根据某市自来水公司的居民用水收费标准，制定了如下水费计算程序转换机示意图： (1)根据该程序转换机计算下列各户月应缴纳水费（元） 用户 张大爷 刘奶奶 王阿姨 小明家 输入（m3） 7 15 18 25 输出（元）       21 45 60 95 作业布置 30 【综合拓展类作业】 (2)当x>15时，月应缴纳水费_________元.（用含x的代数式表示）； (3)小丽家某月缴纳水费120元，则小丽家该月用水多少m3？ （5x-30） 作业布置 31 【综合拓展类作业】 【详解】（1）解：张大爷应缴纳水费：7×3=21（元），刘奶奶应缴纳水费：15×3=45（元），王阿姨应缴纳水费：（18-15）×5+15×3=60（元），小明家应缴纳水费：（25-15）×5+15×3=95（元），故答案为：21、45、60、95； （2）由水费计算程序转换机示意图可知： 当x>15时，月应缴纳水费为（x-15）×5+15×3=（5x-30）（元）， 故答案为：（5x-30）； （3）∵120>45，∴小丽家该月用水>15m3，∴5x-30=120，解得x=30，答：小丽家该月用水30m3. 作业布置 32 板书设计 33 1.6有理数的乘方（第二课时） 知识回顾 乘方概念：an，底数，指数 易混辨析：（-a）n和-an 乘方符号：负数奇次幂负、偶次幂正 运算法则 运算顺序：先乘方→再乘除→后加减 括号优先：先小括号，由内向外 同级运算：从左往右依次计算 简便运算 乘法分配律：（a+b）×c=a×c+b×c 适合分数、带括号算式简化计算 常见易错点 混淆（-2）2与-22，运算顺序颠倒，先算加减再算乘方，符号判断出错，括号、绝对值漏算 $