专题02 数轴中的九类动态模型（几何模型讲义）数学新教材苏科版七年级上册

该初中数学讲义以数轴动态问题为核心，通过九类模型（动态规律、中点等分点等）系统构建知识体系，用流程图呈现“画图-写点-表距离-列式”解题步骤，表格归纳模型特征与核心公式，清晰展现数形结合、分类讨论思想的内在联系。 亮点在于分层练习设计（A组基础、B组提升、C组压轴）和标准化解题模板，如动态中点模型通过代数表达式转化几何问题，培养抽象能力与推理意识。易错点总结与多情境典例（如动点往返运动）助力基础生掌握方法，优秀生深化思维，教师可据此实施精准分层教学。

专题02 数轴中的九类动态模型 数轴中的动态压轴问题属于苏科版七年级上册必考压轴题型，主要以数轴为载体，体现动态分析、分类讨论和数形结合等思想，考查学生的分析与综合能力。要求学生吃透数轴动点的核心模型，掌握动点表示、距离计算、最值、相遇追及推导逻辑，规避高频易错点，熟练套用标准化解题模板，实现所有数轴动态题型全覆盖、解题步骤规范化。 模型来源 1 知识储备 1 例讲模型 2 模型1.动态规律（左右跳跃）模型 2 模型2.动态中点与n等分点模型 4 模型3.单（多）动点匀速模型 8 模型4.单（多）动点变速模型 11 模型5.动点往返运动模型 15 模型6.动态定值（无参型）模型 19 模型7.动态定值（含参型）模型 22 模型8.数轴折叠（翻折）模型 26 模型9.数轴上的线段移动模型 29 易错点与方法总结 34 模型运用 35 A组（基础题） 35 B组（能力提升题） 42 C组（综合压轴题） 52 数轴中的动态模型（如动点问题）的历史发展，本质上是数轴工具与运动数学思想结合的产物，其演变可分为三个阶段：工具创造‌（17世纪）→动态启蒙‌（19-20世纪）→教学定型‌（21世纪）。数轴动态模型是‌笛卡尔几何工具‌与‌运动数学思想‌在教育场景中的实践结晶，其发展映射了数学从抽象理论向应用建模的转化过程。 数轴动态压轴模型（动点模型）的核心本质：用代数式子表示数轴上运动的点，将几何点的运动问题，转化为代数方程、不等式、绝对值计算问题。 ①若A、B两点在数轴上对应的数字是 a、b，则AB两点间的距离；AB中点对应的数字是：。 ②数轴动点问题主要步骤： 1）画图：在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度； 2）写点：写出所有点表示的数：常用含t的代数式表示，向右运动用“+”表示，向左运动用“-”表示； 3）表示距离：右—左，若无法判定两点的左右需加绝对值； 4）列式求解：根据条件列方程或代数式，求值。 注意：要注意动点是否会来回往返运动，速度是否改变等。 ③核心数学思想：数形结合、动态分析、分类讨论，是初中从静态几何向动态几何过渡的首个核心模型，也是后续平面直角坐标系动点、几何动点问题的基础。 （1）数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，注意多种情况的分类讨论。 （2）对于两个动点P、Q，若点P、Q的左右位置关系不明确或有多种情况，可用p、q两数差的绝对值表示PQ 两点距离，从而避免复杂分类讨论。 模型1.动态规律（左右跳跃）模型 【模型提炼与证明】 1. 运动规律性‌：动点按“左右交替”方向移动，步长呈现递增或周期性变化。 1. ‌代数表达‌：动点位置需用含时间变量t的代数式表示。 1. 例如，第n次移动后的位置可表示为：xn=xn−1±kn，其中k为步长基数，符号由移动方向决定。 1. ‌分类讨论‌：根据移动次数、方向变化和步长规律进行分段分析，尤其注意动点是否跨越原点或特定临界点。 常见模型（1）：“1左1右”的等差数列式跳跃，两个一组根据规律计算即可； 常见模型（2）：“2左2右”的等差数列式跳跃，四个一组根据规律计算即可。 【模型运用】 【典例1】（2025·山东淄博·二模）在数轴上，点表示原点，现将点从点开始沿数轴按如下规律移动：第一次点向左移动1个单位长度到达点，第二次将点向右移动2个单位长度到达点，第三次将点向左移动3个单位长度到达点，第四次将点向右移动4个单位长度到达点，…，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，当时，点与原点的距离是 个单位． 【典例2】（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）如图，一个动点从原点开始向左运动，每秒运动1个单位长度，并且规定：每向左运动3秒就向右运动2秒，则该动点运动到第2025秒时所对应的数是（    ） A． B． C． D． 【典例3】（25-26七年级上·福建漳州·期末）在数轴上，一个动点从初始位置处开始移动：第一次向右移动2个单位长度至，第二次向左移动4个单位长度至，第三次向右移动6个单位长度至，第四次向左移动8个单位长度至，若这个动点在完成第次为正整数移动后恰好落在数轴原点处，则初始位置在数轴上表示的数为（    ） A． B． C． D． 【典例4】（25-26七年级上·福建厦门·期末）数轴上的一个动点从原点出发，按照以下规则移动： 第1次：向右移动1个单位；第2次：向左移动4个单位；第3次：向右移动7个单位；第4次：向左移动10个单位；．．．记移动次后，动点的位置记为．对任意正整数，点与的距离为_________．（用含的式子表示） 模型2. 动态中点与n等分点模型 【模型提炼与证明】 1）动态中点模型：动态中点指两动点在数轴上运动时，其中点位置随动点运动而变化。设动点A和B在时间t的位置分别为xA（t）和xB（t），则动态中点M（t）的坐标：。 该公式适用于任意时刻动态中点计算。 2）动态n等分模型：将线段AB分为n等份时，第k个等分点的坐标为：。 若A和B为动点，则等分点位置随时间变化，需建立动态表达式。 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级上·河北保定·期末）已知点A，B在数轴上对应的数为a，b，点A与点B之间的距离记为，且． (1)填空：________，________，________． (2)现有点P从点A出发，以4个单位长度/秒的速度向右运动，同时，另一点Q从点B出发，以1个单位长度/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒．①当时，P，Q两点之间的距离为________． ②求在运动过程中，当线段时，t的值．③在运动过程中，是否在某一时刻t，使得线段？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【典例2】（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）如图所示，A、B两点在数轴上分别表示有理数a、b，且，O为原点，点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴负方向运动，点Q同时从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒． (1) ________； ________；(2)当时，P、Q两点间的距离为________；(3)在运动过程中是否存在时间t使A、P两点间的距离与B、Q两点间的距离相等？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．(4)若点M同时从点B以每秒5个单位长度的速度沿数轴负方向运动，直接写出t为何值时，P、Q、M三点满足其中一点到另外两点距离相等（任意两点或者三点重合除外）． 【典例3】（24-25七年级上·江苏苏州·阶段检测）定义：数轴上的三个点，若其中一个点与其他两个点的距离满足2倍关系，则称该点是其他两个点的“友好点”，这三点满足“友好关系”，已知数轴上点A，B表示的数分别为，点C从点B出发，沿数轴的负方向运动．在运动过程中，使A，B，C三点满足“友好关系”的点C表示的数的和是________． 【典例4】（24-25七年级上·湖南长沙·期中）【知识准备】若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为．（1）在一条数轴上，O为原点，点对应的数为，点对应的数为，且有，则的中点N所对应的数为_____． 【问题探究】（2）在（1）的条件下，若点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时点Q从点D出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动．设运动时间为秒，为何值时，的中点所对应的数为1？ 【拓展延伸】（3）若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为靠近点A的三等分点，则我们有三等分点公式：点M对应的数为；若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为最靠近点A的四等分点，则我们有四等分点公式：点M对应的数为． 填空：若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的等分点，则我们有等分点公式：点M对应的数为_____．（其中n为正整数） 模型3. 单（多）动点匀速模型 【模型提炼与证明】 模型（1）:动点P从点A（点A在数轴上对应的数是a）出发，以每秒v个单位的速度向右移动，t秒后，到达B点，B点对应的数是：a+vt。 模型（2）:动点P从点A（点A在数轴上对应的数是a）出发，以每秒v个单位的速度向左移动，t秒后，到达C点，C点对应的数是：a-vt。 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级上·山东潍坊·期末）如图，在数轴上，点表示，点表示，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度在数轴上沿某一固定方向运动，设运动时间为秒．当时，运动时间的值为 ． 【典例2】（25-26七年级上·江苏无锡·期末）【阅读】在数轴上，点对应的有理数为，点对应的有理数为，则以、为端点的线段的长度，以、为端点线段的中点对应数为． 【运用】如图，已知、、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为，现有一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动；同时，另一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间为秒． (1)、两点间的距离______，线段的中点表示的数为______； (2)用含的代数式表示：点对应的数是______，点对应的是______，动点经过______秒时运动到点与点的中点处； (3)经过多少秒时，点与点之间的距离恰好是点与点之间距离的一半？ 【典例3】（25-26七年级上·天津河北·期中）如图，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是最小的正整数，且，满足，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，设运动时间为秒． (1)问：______，_____，_____；(2)当点与点到原点的距离相等时，求此时点对应的数； (3)探究：在运动过程中，的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 模型4. 单（多）动点变速模型 【模型提炼与证明】 单个动点在数轴上运动时，速度随时间或位置发生改变，需分段描述其运动轨迹。 例如：动点先以速度v1运动t1秒，再以速度v2反向运动t2秒。 其‌位置表达式‌：分段表示为x(t)=x0+v1t（0≤t≤t1）和x(t)=x(t1)−v2(t−t1)（t1<t≤t1+t2）。 上式中为x0初始位置，x(t)为t时刻的位置。 多个动点以不同速度或方向变化协同运动，需分别建模后寻找关联条件（如相遇、距离等）。 动态关系式‌：分别表示各动点位置，再通过相遇条件xP(t)=xQ(t)或距离公式∣xP(t)−xQ(t)∣=L列方程。 上式中xP(t)为动点P在t时刻的位置；xQ(t)为动点Q在t时刻的位置。 数轴上的单（多）动点变速模型用于描述动点在运动中速度发生变化的场景，需结合分段分析（按时间或位置划分运动阶段，确保每个阶段内速度恒定）和动态方程构建解决问题，最后注意检查解是否在对应时间段内，排除超时或重复解。 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级上·四川成都·期末）如图，在数轴上，点，在原点的两侧，分别表示，，．点以每秒个单位的速度从点向右运动，同时，点以每秒个单位的速度从点向左运动，是线段的中点，设运动时间为． (1)求点与点之间的距离；(2)当为何值时，，并求出此时点表示的数； (3)在，两点开始运动时，点以每秒个单位的速度从点向左运动．点经过原点后，其速度变为原来的倍，点变速后，若线段的长度始终是一个定值，求的值． 【典例2】（25-26七年级上·湖北武汉·期中）如图，已知在数轴上的对应点为，且两点到原点的距离相等并位于原点两侧，满足． (1)______，____，_____； (2)若将数轴折叠，使得与重合，此时点与点重合，求点在数轴上表示的数为多少？ (3)对应的数为，在处各折一下得到图2的“折线数轴”，为线段上一点．我们将折线数轴上两点的“累计距离”记为，则．点从出发，以3个单位长度/秒的起始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动，点从出发，以6个单位长度/秒的起始速度沿着“折线数轴”向其负方向运动（，同时运动，运动到点时，，均停止运动）．点，在运动过程中，上坡速度分别变为起始速度的三分之一，下坡速度分别变为起始速度的三倍．将运动时间记为在运动过程中，是否存在值，使得？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【典例3】（25-26七年级上·四川成都·期中）已知数轴上有A、B、C三个点，分别表示有理数、9、20，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右移动．设移动时间为t秒，如图1，若用分别表示点P与点A、点B、点C之间的距离，试回答以下问题： (1)当点P运动5秒时，______，______，______． (2)当点P运动了t秒时，请用含t的代数式表示点P与点A、点B、点C之间的距离： ______，______，______． (3)经过几秒后，点P到点A、点C的距离相等？此时点P表示的数是多少？ (4)如图2，当动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点C出发，以1个单位/秒速度向左运动．O、B两点之间为“变速区”，规则为从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速．是否存在符合条件的t，使P、Q两点到点B的距离相等？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 模型5. 动点往返运动模型 【模型提炼与证明】 1. 数轴上动点往返运动的位置计算需结合‌方向变化、分段累加‌和‌代数建模。 1. 注意事项： 1. 1）‌时间范围验证‌：解方程后需检查时间是否在对应运动阶段内。 1. 2）‌多解可能性‌：往返可能导致动点多次经过同一位置，需列绝对值方程并分情况讨论。 3）通过以上方法，可系统计算数轴动点往返后的位置，需重点关注‌方向符号处理‌和‌分段累加规则。‌ 【模型运用】 【典例1】（24-25七年级上·重庆忠县·期末）如果有理数、在数轴上分别表示点、，那么线段的中点在数轴上表示的数为，线段的长度表示为．如图，设，两点在数轴上表示的数，满足，、是数轴上的两个动点，点从点出发，以单位长度秒的速度往右运动，到达点后立即停止，点从点出发，以单位长度秒的速度往左运动，到达点后立即原路原速返回．已知、两点同时出发同时停止，设运动时间为秒． (1)当时，求线段的中点表示的数和线段的长度； (2)在运动过程中，求当为何值时，点恰好是线段的中点； (3)在运动过程中，当为何值时，线段、恰好相差个单位长度，请直接写出的值． 【典例2】（25-26七年级上·福建莆田·期中）如图，点，均在数轴上，点所对应的数是，点在点的右边，且距点个单位长度，点、是数轴上两个动点． (1)求出点所对应的数；(2)当点到点、的距离之和是个单位长度时，求出此时点所对应的数； (3)若点、分别同时从点、出发，均沿数轴相向运动，运动时间为，点保持每秒运动个单位长度，点保持每秒运动个单位长度，点到立即折返，点到立即折返，直接写出、距离为时的值． 【典例3】（25-26七年级上·江苏南通·期中）在数轴上有一个探测仪和一个金属球，当探测仪与金属球距离小于5个单位长度时，探测仪会探测到金属球．金属球从原点出发，以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动1秒，到达表示数1的点，再折返以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动1秒，到达表示数的点，再折返以每秒3个单位长度的速度向右匀速运动1秒，到达表示数2的点，，依此类推；在金属球出发的同时，探测仪从表示数的点出发，以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动．设金属球从原点出发运动了秒． (1)当时，金属球的位置对应的数是 ，探测仪的位置对应的数是 ； (2)当时，若金属球和探测仪所在位置到原点的距离相等，求的值； (3)在运动过程中，当探测仪第一次恰好探测不到金属球时，请直接写出此时的值． 模型6. 动态定值（无参型）模型 【模型提炼与证明】 数轴上的动态定值（无参型）模型描述动点运动过程中某些量（如线段长度、距离差等）保持不变的场景，需通过代数表达和几何关系分析定值的存在性及数值。题目中不引入额外参数（如速度、时间变量），直接通过动点初始位置、运动规则或几何关系推导定值。 1）解题策略与步骤：‌ ‌步骤1‌：用代数式表示动点位置，例如动点A从x0​出发，以速度v移动，则t秒后位置为x0+vt。 ‌步骤2‌：根据题目条件（如中点、等分点）建立相关量的表达式（如线段长度、差值的绝对值）。 ‌步骤3‌：化简表达式，观察是否消去变量项，验证是否为定值。 2）常见定值类型： 线段长度定值‌：两动点或动点与定点间的距离保持恒定。 ‌代数式定值‌：如∣xA−xB∣±kxC的值为固定常数。 ‌位置关系定值‌：如动点始终为中点或特定分点，导致相关表达式不变。 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法． (1)已知是数轴上的两点（点在点的右侧），点表示的数为，两点的距离是点到原点的距离的倍，即．则点表示的数是____，若点为数轴上的一动点，当时，点表示的数为_____．(2)动点分别从点和同时出发向左匀速运动，点的速度分别为每秒个单位长度和每秒个单位长度．设运动时间为．①当点与点之间的距离为个单位长度时，求的值；②若点为数轴上两点之间的动点，且点始终满足，点在运动到点的过程中，的值是否发生变化？若不变、求其值；若变化，说明理由． 【典例2】（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）如图1，已知数轴上两点A，B对应的数分别为，5，点为数轴上的一动点，其对应的数为． (1)若是线段的中点，求的值．(2)若，求的值． (3)如图2，点以每秒个单位的速度向左运动，同时点以每秒个单位的速度向右运动，点以每秒个单位的速度从点向右运动，且，在运动过程中，M，N分别是、的中点，试探究的值是否发生变化？若不变，求其值，若改变，请说明理由． 【典例3】（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在数轴上，点O为原点，点表示的数为，点表示的数为，且a，b满足． (1) ___________； ___________；(2)动点分别从点，点同时出发，沿着数轴向右匀速运动，点的速度为每秒2个单位长度，点的速度为每秒1个单位长度．①几秒时，点与点距离6个单位长度？②动点分别从点，点出发的同时，动点也从原点O出发，沿着数轴向右匀速运动，速度为每秒个单位长度．记点与点之间的距离为，点与点Q之间的距离为，点O与点之间的距离为．设运动时间为秒，请问：是否存在的值，使得在运动过程中，的值是定值？若存在，请求出此值和这个定值；若不存在，请说明理由 模型7. 动态定值（含参型）模型 【模型提炼与证明】 数轴上动态定值（含参型）模型需分析含参数（如速度、距离比例等）的动点运动过程中某些量的恒定性，通过代数建模和参数消去法验证定值存在性及数值。 ‌线段和差定值‌：如PA+PB或∣PA−PB∣恒为常数，需结合参数化简表达式。 ‌代数式定值‌：如kxA+mxB的值与时间无关，需分离含时项并令其系数为零。 速度参数‌：多个动点以不同速度运动，需联立方程消去时间变量，验证定值。 ‌比例参数‌：如线段比例或代数式含系数m（如mAB−2BC），需通过参数约束条件确定定值。 通过参数化建模、代数式分离与含时项消去，可系统解决含参型动态定值问题，需特别注意参数解的适用范围及多解可能性。 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级上·广东江门·阶段练习）唐代文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无”，当代印度诗人泰戈尔也写道：“世界上最遥远的距离，不是瞬间便无处寻觅；而是尚未相遇，便注定无法相聚”．距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度．已知点P，Q在数轴上分别表示有理数p，q，P，Q两点之间的距离表示为．例如，在数轴上，有理数3与1对应的两点之间的距离为；有理数5与﹣2对应的两点之间的距离为；…；解决问题： 已知有理数a，b，c在数轴上对应的点分别为A，B，C，且满足，． (1)分别求a，b，c的值； (2)若点D在数轴上对应的数为x，当A、D间距离是B、C间距离的4倍时，请求出x的值； (3)点M是AB的中点，O为原点，点N为数轴上一动点y，当取最小时，满足条件的点N对应的y的整数值共有 个． (4)若点A和点B分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为t秒，是否存在一个常数k，使得的值在一定时间范围内不随运动时间t的改变而改变？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 【典例2】（24-25七年级下·广东揭阳·开学考试）如图，在数轴上点表示的数，点表示数，和满足，点是数轴原点． (1)点表示的数为________，点表示的数为________，线段的长为________． (2)若点从点出发，以3个单位长度每秒的速度向点运动，与此同时，点从点出发，以2个单位长度每秒的速度向点运动，当一个点到达终点时，另一个点立即停止运动．在两点运动过程中是否存在某个时刻，使得？若存在，请求出此时点表示的数；若不存在，请说明理由． (3)点、分别以3个单位/秒和2个单位/秒的速度同时向右运动，点从原点以5个单位/秒的速度向右运动，是否存在常数，使得为定值，若存在，请求出值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 【典例3】（25-26七年级上·重庆·期中）如图，在数轴上有A，B，C三个点，所表示的数分别是a，b，，原点O是线段上一点．已知，且，有两条动线段和满足，．初始状态点P与点C重合，点N与点B重合，若线段以每秒2个单位的速度从点C开始沿数轴向右匀速运动，同时线段以每秒1个单位的速度从点B开始沿数轴向左匀速运动． (1)直接写出a，b的值； ， ； (2)设运动时间为t秒，当点M运动到点C时，线段，同时停止运动，当C，P，M中某一点为另外两点构成线段的中点时，求时间t的值；(3)当点Q运动到点B时，线段立即以相同的速度返回，直到点M运动到点C时，线段，同时停止运动，设运动时间为t秒，当时，存在两个常数m，n使得的值与t无关，请直接写出m与n的数量关系． 模型8.数轴折叠（翻折）模型 【模型提炼与证明】 数轴折叠模型通过几何对称性分析折叠前后点的对应关系，解决折痕位置、对称点等问题。 1）若折叠后点a与点b重合，则折痕对应的点m为两点的中点，满足：或b=2m−a 2）折叠后，对称点到折痕的距离相等，折痕位置可通过线段比例或代数方程求解。 3）若折叠后动点继续运动，需分段分析折叠前后的位置变化及运动轨迹。 【模型运用】 【典例1】（25-26·重庆·七年级期中）已知在纸面上有一数轴（如图）折叠纸面． （1）若1表示的点与表示的点重合，则表示的点与数_____表示的点重合； （2）若1表示的点与表示的点重合，回答以下问题： ①13表示的点与数_____表示的点重合；②若数轴上A、B两点之间的距离为2022（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数是多少？ 【典例2】（25-26·江苏·七年级期中）平移和翻折是初中数学中两种重要的图形变化，阅读并回答下列问题： （一）平移：在平面内，讲一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移． （1）把笔尖放在数轴的原点处，先向左移动3个单位长度，再向右移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示的数是 ；（2）一个机器人从数轴上原点出发，并在数轴上移动2次，每次移动2个单位后到达B点，则B点表示的数是 ；（3）如图，数轴上点A表示的数为−1，点B表示的数为1，点P从5出发，若P，A两点的距离是A，B两点距离的2倍，则需将点P向左移动 个单位． （二）翻折：将一个图形沿着某一条直线折叠的运动． （4）若折叠纸条，表示−3的点与表示1的点重合，则表示−4的点与表示 的点重合； （5）若数轴上A，B两点之间的距离为10，点A在点B的左侧，A，B两点经折叠后重合，折痕与数轴相交于表示−1的点，则A点表示的数为 ； （6）在数轴上，点M表示是的数为4，点N表示的数为x，将点M，N两点重合后折叠，得折痕①，折痕①与数轴交于P点；将点M与点P重合后折叠，得折痕②，折痕②与数轴交于Q点．若此时点M与点Q的距离为2，则x＝ ． 【典例3】（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）数轴是一个非常重要的数学工具，它把数和数轴上的点建立了对应关系，形象地揭示了数与数轴上的点之间的内在联系，是数形结合的基础．小明在一条长方形纸带上画了一条数轴，进行如下操作探究： (1)操作1：折叠纸带，若数轴上表示的点与表示的点重合，则与表示的点重合的点表示的数是______． (2)操作2：若点、表示的数分别是、，点从点出发，沿数轴以每秒个单位长度的速度向左匀速运动；同时，点从点出发，沿数轴以每秒个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒， ①在运动过程中，当为______时，点与点重合； ②在运动过程中，当为何值时，点与点之间的距离为； (3)操作3：在数轴上剪下个单位长度（从到）的一条线段，并把这条线段沿某点向左对折，然后在重叠部分的某处剪一刀得到三条线段（如图），若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点表示的数可能是______． 模型9.数轴上的线段移动模型 【模型提炼与证明】 数轴上的线段移动模型研究线段整体平移的动态变化规律，需结合代数表达与几何关系分析线段长度、覆盖范围等核心问题。 线段沿数轴以固定速度单向或往返移动，需用代数式表示端点位置变化（如左移减速度，右移加速度）；动态过程中需关注线段覆盖区域，及与其他线段的交互（如重叠）。部分模型中，线段长度或端点间的代数差保持恒定（如平移速度对称时，两动线段差为定值）。 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级上·福建泉州·期末）如图，点，，，在数轴上对应的数分别为，，，，且，，，，． (1)求线段的长度；(2)若线段以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，线段以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，运动时间为秒（），点，分别为，的中点． ①在运动过程中，的长度是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由； ②求出线段与重叠部分的长度（用含的代数式表示）． 【典例2】（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）如图，在数轴上有两个正方形和，点为原点，点、、、表示的数分别为，，4，14．正方形以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时正方形以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间为秒，运动后的正方形分别记为正方形与正方形． (1)点表示的数为______，点表示的数为______．(2)当时，求的值． (3)在运动过程中，两个正方形会出现重叠部分，设重叠部分的面积为． ①当达到最大值时，求持续的时间为几秒；②当时，请直接写出点所表示的数． 【典例3】（24-25七年级上·广东深圳·期末）如图1，点C是线段上一点，若，我们称为点在线段上的“分割值”，记为．例如点在上，，则；反之当，则． (1)如图2，数轴、两点对应的数为、，且分别满足和． ①求出 ； ；②请在图2的数轴上画出、两点． (2)为数轴上一个动点，从点向终点匀速运动．①若点表示的数为，则 ． ②如图，数轴上另一个点从点出发向点运动，到达点后立即以原速返回点，当点到达点B时，，都停止运动．若点和点的运动速度分别为每秒个单位和每秒个单位，且点和点同时出发，运动秒后，是否存在，若存在，求出的值；不存在，请说明理由． (3)如图4，在四边形中，，，，，点，同时从点出发向终点匀速运动，点沿折线运动，点沿线段运动．设点，的速度分别为和且满足，若，当点运动到线段上时，则 ．（用含有的代数式表示） 【典例4】（25-26七年级上·江苏连云港·期中）伴随着连淮扬镇铁路淮镇段的首发运行，世界首座高速铁路悬索桥——五峰山长江大桥正式开通运营.如图，点O为原点，向右为正方向.甲动车位于处，向右行驶.乙动车位于处，向左行驶.五峰山长江大桥主桥为；甲、乙两动车长度相等，速度均为米/秒.表示的数分别是，且满足. (1)______，间的距离是______米，间的距离是______米；(2)从此刻开始算起，甲动车A处有个在座位上的乘客记为点M，求甲动车行驶多少秒时，点M到点C的距离等于米？(3)从此刻开始算起，甲动车A处有个在座位上的乘客记为点M，求甲动车行驶多少秒时，点M到点B的距离与点M到点C的距离之和等于米？(4)两车同时运行，若甲动车A处的乘客记为点M，向右走，速度为2米/秒、乙动车处于中点位置的座位上的乘客记为点N，乘客M从车尾走到车头的过程中是否存在一段时间t，恰好同时在五峰山长江大桥上？如存在，请直接写出t的值. 模型常见易错点 1）忽略时间取值范围； 2）动点运动方向公式记反； 3）两点距离直接大数减小数，忘记绝对值； 4）双动点运动未分类讨论； 5）最值问题忽略动点运动区间限制； 6）混淆相遇与追及核心条件。 解题方法总结 1）单动点问题通用解题步骤 适用题型：单点动态位置、距离定值、静态求值问题 步骤1：设时间为；步骤2：根据运动方向，用t表示动点对应数值（右加左减）；步骤3：根据距离公式、题干条件列绝对值方程/整式方程；步骤4：解方程，舍去t＜0的无效解，规范作答。 模板二：双动点相遇追及通用解题步骤 适用题型：双动点同向、相向运动，相遇、追及、相距定值问题 步骤1：设运动时间t，分别表示两个动点t时刻的对应数；步骤2：根据题意列等式：相遇/追及→位置相等；相距定值→距离绝对值等于定值；步骤3：解方程，分类讨论相遇前、相遇后两种情况；步骤4：结合t≥0筛选有效解。 模板三：动点最值与存在性压轴步骤 适用题型：动点结合绝对值最值、参数取值、存在性判断 步骤1：代数表示动点位置，列出动态绝对值表达式；步骤2：套用绝对值和/差最值模型结论；步骤3：结合t的取值范围，验证最值可取性、条件存在性；步骤4：总结最值结果或存在性结论。 1．（25-26七年级上·广东深圳·校考期中）如图，已知两点在数轴上，点表示的数为，，点以每秒个单位长度的速度从点向右运动．点以每秒个单位长度的速度从点向左运动（点、点同时出发）．经过几秒，点、点分别到原点的距离相等？（　　） A．5秒 B．5秒或者4秒 C．5秒或秒 D．秒 2．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）如图，在数轴上，点表示的数为，．若点以每秒个单位长度的速度从点向右运动，同时点以每秒个单位长度的速度从点向左运动，经过秒，，两点之间的距离为，则的值为（   ） A．6 B．9 C．6或9 D．9或12 3．（25-26七年级上·江苏·期中）定义：数轴上的三个点，若其中一个点与其它两个点的距离满足2倍关系，则称该点是其它两个点的“友好点”，这三点满足“友好关系”，已知数轴上点A，B表示的数分别为，2，点C从点B出发，沿数轴的负方向运动，在运动过程中，使A，B，C三点满足“友好关系”的点C表示的数值的和是 . 4.（25-26七年级上·福建泉州·阶段练习）已知，A、在数轴上对应的数分别用、表示，且，是数轴上的一个动点．动点从原点开始第一次向右移动1个单位长度，第二次向左移动3个单位长度，第三次向右移动5个单位长度，第四次向左移动7个单位长度，．点在移动过程中，第 次移动与点A重合． 5．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）已知动点A从原点O出发沿数轴向左运动，同时动点B也从原点出发沿数轴向右运动，动点A的速度为每秒1个单位长度，动点B的速度为每秒2个单位长度，5秒后动点B调转方向向左运动，A、B两点的速度仍保持不变，则 秒后A、B、O三点中一点到另两个点的距离相等． 6．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）【知识准备】若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为．（1）在一条数轴上，O为原点，点对应的数为，点对应的数为，且有，则的中点N所对应的数为_____． 【问题探究】（2）在（1）的条件下，若点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时点Q从点D出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动．设运动时间为秒，为何值时，的中点所对应的数为1？ 【拓展延伸】（3）若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为靠近点A的三等分点，则我们有三等分点公式：点M对应的数为；若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为最靠近点A的四等分点，则我们有四等分点公式：点M对应的数为． 填空：若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的等分点，则我们有等分点公式：点M对应的数为_____．（其中n为正整数） 7．（25-26七年级下·广东汕头·期中）综合与实践：如图，实数、、在数轴上表示的点分别是点A、B、C，且、、满足． (1)直接写出、、的值；(2)若点沿数轴向左以每秒1个单位的速度运动，点和点沿数轴向右运动，速度分别是2个单位/秒、3个单位/秒．设运动时间为（秒）．试探究：的值是否随着时间的变化而变化？若不变化，求这个不变的值；若变化，求这个值的变化范围；(3)若点沿数轴向右以每秒1个单位的速度运动，点和点沿数轴向左运动，速度分别是2个单位/秒、3个单位/秒．设运动时间为（秒）．是否存在某一时刻，满足点和点之间的距离是点和点之间的距离的？若存在，直接写出时间的值；若不存在，说明理由． 8．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在数轴上A点表示数，B点表示数b，C点表示数7，b是最小的正整数， (1)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则折痕与数轴交点对应的点是________，并且点B与数________对应的点重合；(2)若点A、B、C是数轴上的动点，点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B以每秒2个单位向右运动，点C以4个单位长度的速度向右运动，点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，求的值. 9．（25-26七年级上·湖南长沙·阶段练习）平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化，而一个动点在数轴上的移动是初中数学的一个难关. (1)平移运动：把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动个单位长度，再向正方向移动个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是_____． A．     B． C．     D． (2)翻折变换：①若折叠纸条，表示的点与表示的点重合，则表示的点与表示______的点重合． ②若数轴上、两点之间的距离为（在的左侧，且折痕与①折痕相同），且、两点经折叠后重合，则点表示_____，点表示_____． (3)动点移动：如果、对应的数分别为、，点P为数轴上一动点，当点P以每秒个单位长的速度从数轴的原点出发，几秒后可使？ 1．（25-26七年级上·山东·校考期中）如图所示，数轴上O，A两点的距离为8，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处，按照这样的规律继续跳动到点，，，…，（，n是整数）处，问经过这样2023次跳动后的点与的中点的距离是 ． 2．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）数轴上点A表示．点B表示6，点C表示12，点D表示18．如图，将数轴在原点O和点B、C处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离．例如．点A和点D在折线数轴上的和调距离为个单位长度，动点M从点A出发．以4个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动．从点O运动到点C期间速度变为原来的一半，过点C后继续以原来的速度向终点D运动，点M从点A出发的同时，点N从点D出发，一直以3个单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点A运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动，设运动的时间为t秒． (1)当秒时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为 ；(2)当 时，M、N两点在折线段上相遇；(3)当 时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度；(4)当t为几秒时，M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等？（请写出解题过程） 3．（25-26七年级上·陕西安康·期中）如图，在数轴上点A，B，C分别表示的数为a，b，c．已知a，b分别是多项式的次数和常数项，c是单项式的系数． (1)填空：______，______，______；并在数轴上标出原点O； (2)若动点M，N分别从点A，B同时出发沿数轴向左运动，点M的速度是每秒2个单位长度，点N的速度是每秒1个单位长度，求运动几秒后，点M可以追上点N？ (3)若动点P从原点O出发，以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动．设运动的时间为t秒，当点Q到原点O的距离为3时，求点P表示的数． 4．（24-25七年级上·重庆九龙坡·期末）如图，已知数轴上点表示的数为，是数轴上在原点左侧的一点，且A，两点间的距离为．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．(1)点运动到线段的中点时，它所表示的数是_____． (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．点在数轴上表示的数为，动点从点出发，沿数轴向右匀速运动，动点，，同时出发． ①当点运动多少秒时，点追上点？②动点、运动到点时则立即返回以原速度向点运动，动点运动到点时又立即以原速度向点运动，点不停地以原速度往返于点与点之间．当动点运动到秒时，动点、、三点同时停止运动，则点运动多少秒时，点与点间的距离为个单位长度? 5．（25-26七年级上·湖北黄石·期末）已知数轴上两点对应的数分别为，且满足，点对应的数为20．(1)求的值；(2)若点从点出发，以每秒2个单位长度向轴正半轴运动，求运动时间为多少时，点到点的距离是点到点距离的2倍； (3)若动点、分别从、同时出发向右运动，点P的速度为2个单位长度/秒，点的速度为1个单位长度/秒．点运动到点立刻原速返回，到达点后停止运动．点运动至C点处又以原速返回至A点，一直这样在之间做往返运动，当点Q停止运动后，点P随之停止运动．求在整个运动过程中，两点同时到达的点在数轴上表示的数． 6．（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图，数轴上有A，B，C三点，点表示的数为60，点在点的左侧且，点A，B表示的数互为相反数．数轴上有一动点从点出发，以5个单位/秒的速度向左沿数轴运动，设运动时间为秒． (1)点表示的数是__________：点表示的数是__________．(2)当为何值时，？ (3)若点，点，点与点同时在数轴上运动，点和点分别以2个单位/秒和1个单位/秒的速度向右运动，点以4个单位/秒的速度向左运动．请问：是否存在某一时段，使的值为一个定值？若存在，请求出这个定值及对应的的取值范围；若不存在，请说明理由． 7．（25-26七年级上·广东惠州·期中）如图，在数轴上点A，B表示的数分别为a，b，且，点为原点．(1)请直接写出______，_____，A，B两点之间的距离为_____； (2)一动点P从A出发，以每秒2个单位长度向左运动，一动点Q从B出发，以每秒3个单位长度向左运动，设运动时间为t（秒）．①试探究：P，Q两点到原点的距离可能相等吗？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由；②若动点Q从点B出发后，到达原点O后保持原来的速度向右运动，当点Q在线段上运动时，分别取和的中点E，F，试判断的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 8．（25-26七年级上·重庆石柱·期中）已知，、、三点在数轴上的位置如图所示，这三点对应的数分别、、，点为原点，如果，与是同类项，线段的中点是． (1)直接写出、、的值，则有：_______，_________，_______． (2)动点、分别从点、同时出发，点以每秒3个单位长度向右运动，点以每秒2个单位长度向左运动，运动时间为秒，当和相距5个单位长度时，求的值． (3)点、从各自的位置出发在数轴上运动，若点以每秒2个单位长度的速度向左运动，点以每秒4个单位长度的速度向右运动，在运动过程中，若将线段沿着原点向右翻折，使点落在数轴的正半轴上的点处，若线段和线段的其中一段为另一段的2倍，请求出这时点表示的数． 9．（25-26七年级上·浙江·期中）平移和翻折是初中数学两种重要的图形变换 (1)平移运动：①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动4个单位长度，再向正方向移动1个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是 ． A． B． C． D． ②一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳2022次时，落在数轴上的点表示的数是 ． (2)翻折变换：①若折叠纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示2022的点与表示 的点重合； ②若数轴上A、B两点之间的距离为2022（A在B的左侧，且折痕与①折痕相同），且A、B两点经折叠后重合，则A点表示 ，B点表示 ． ③一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是、8，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A对应的点落在点B的右边，并且，求点C表示的数． 10．（24-25七年级上·湖南怀化·期末）如图，在数轴上有A、B、C三点，分别表示有理数a，b，c，且a，b，c满足式子；如图：动点P从点A出发，以2个单位/秒的速度一直向右运动，点P运动5秒后，长度为6个单位的线段（M为线段左端点且与点B重合，N为线段右端点）从B点出发以3个单位/秒的速度向右运动，当点N到达点C后，线段立即以同样的速度返回向左运动，当点M到达点B后线段再以同样的速度向右运动，如此往返．设点P运动时间为t秒． (1)求a，b，c的值；(2)当　 　秒时，点P与点C重合，并求出此时线段上点N所表示的数； (3)记线段的中点为Q，在运动过程中，当点P与点Q的距离为1个单位时，求t的值． 1．（25-26七年级上·浙江金华·期中）一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向以每前进步后退步的程序运动．设该机器人每秒前进或后退步，且每步的距离都是个单位长度，表示第秒时机器人在数轴上的位置所对应的数．则下列结论：；；；，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）定义：若，，为数轴上三点，若点到点的距离是点到点的距离倍，我们就称点是【，】的美好点．若规定、两点之间的距离为，即当时，我们称点是【，】的美好点． 例如：如图，点表示的数为，点表示的数为．表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点是【，】的美好点；又如，表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点就不是【，】的美好点，但点是【，】的美好点． 如图2，，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为． (1)点，，表示的数分别是，，，其中是【，】美好点的是；写出【，】美好点所表示的数是______． (2)现有一只电子蚂蚁从点开始出发，以个单位每秒的速度向左运动．请你写出当为何值时，，和中恰有一个点为其余两点的美好点？ 3．（25-26七年级上·四川乐山·期中）已知两点在数轴上，与互为相反数，点表示的数是，且．      (1)点表示的数为______；(2)如图1，当点位于原点的同侧时，动点分别从点处在数轴上同时相向而行，动点的速度是动点的速度的1.5倍，4秒后两动点相遇，当动点到达点时，运动停止．在整个运动过程中，当　　秒，使得两点的距离为5； (3)如图2，当点位于原点的异侧时，动点分别从点处在数轴上向右运动，动点比动点晚出发1秒；当动点运动2秒后，动点到达点处，此时动点立即掉头以原速向左运动3秒恰与动点相遇；相遇后动点又立即掉头以原速的2倍向右运动6秒，此时动点到达点处，动点到达点处，当时，求动点的原速和运动的速度． 4．（25-26七年级上·深圳·校考期末）将自然界的事物或现象进行“抽象”与“理想化”是科学研究的重要手段． 【阅读材料】“碰撞”在生活中无处不在，其中“弹性碰撞”是一种没有任何能量损失的碰撞，属于碰撞中的一种“理想情况”．科学家们经过研究发现，两个完全一样的物体相向运动时，如果发生弹性碰撞，会立即反向运动，且速度大小互换．例如：甲木块以的速度自西向东运动，乙木块以的速度自东向西运动，二者发生弹性碰撞后，甲木块立即变为以的速度自东向西运动，乙木块立即变为的速度自西向东运动．如果完全一样且同向运动的物体发生弹性碰撞，则运动方向不变，仅速度大小互换． 【情境呈现】如图1，在一个长的轨道上，两个小铁球分别以、的初始速度从轨道两端沿直线相向运动，发生碰撞后，两个小铁球均反向运动，最终分别从左右两端离开轨道．如图2，若在轨道右侧添加一挡板后，小球与挡板碰撞后会反弹，最后两个小球都会从左侧离开轨道． 【情境转化】为便于研究，我们可以将上述过程进行“抽象”与“理想化”：两小球完全一样且体积忽略不计，可以看作两个点，小球运动速度只会因为碰撞而发生改变，小球与小球的碰撞为“弹性碰撞”，小球与挡板碰撞后立即以原速度反向运动．由此，我们可以使用数轴来表示轨道，数轴上点的运动来表示小球的运动．如图3建立数轴，点从原点点出发，沿正方向以4个单位长度的速度匀速运动，点从点出发，沿负方向以1个单位长度的速度匀速运动．若点运动到线段之外，则认为小球离开轨道．已知． 【问题解决】若两小球（、两点）同时出发，、两点在轨道上的运动时间分别为、秒，请回答以下问题：(1)如图3，两小球第一次相遇时，_____．根据计算，我们可以得知点代表的小球会先从右侧离开轨道，则它离开轨道的瞬间，_____． (2)如图4，在点所在位置放置挡板，则点代表的小球在到达点后会立即反向运动，速度不变．请求出两小球第二次相遇时的值．(3)在（2）的条件下，将轨道沿射线的方向进行延长，设延长至点，如图5，则需要延长多少个单位长度（即的长度为何值时），才能使得？ 5．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）如图，已知数轴上两点A、B对应的数分别为a、b，，且．动点P从点B出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒（）．    (1)写出数轴上点A表示的数为________，点B表示的数为________，点P表示的数为________（用含t的式子表示）；(2)动点Q从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动，动点M从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，且点P，Q，M同时出发．①当t为何值时，点P、Q两点到原点的距离相等？②式子的值不随时间t的变化而变化，请求出m的值． 6．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知：数轴上有，，三点 (位置如图所示) ，点和点相距个单位长度且点，表示的有理数互为相反数，点A和点C相距个单位长度，数轴上有一动点从点出发，以2个单位秒的速度向右沿数轴运动，设运动时间为秒． (1)点表示的有理数是 ，点表示的有理数是 ，点表示的数是 （用含的式子表示）． (2)当、两点之间相距10个单位长度时，求t的值．(3)若点A、点和点与点同时在数轴上运动，点以1个单位秒的速度向左运动，点和点分别以3个单位秒和4个单位秒的速度向右运动，若两点间的距离用表示两点的大写字母表示，如： 点 A，P两点间的距离表示为，是否存在常数，使得为一个定值，若存在，请求出值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 7．（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，数轴上有两条线段和（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧），线段的长度为6个单位长度，线段的长度为4个单位长度，点B、D在数轴上表示的数分别是和14．线段同时从图中位置出发，线段以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，线段以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，运动时间为t秒．（整个运动过程中，线段和保持长度不变） (1)在运动过程中，点B表示的数是______，点C表示的数是______．（用含t的代数式表示） (2)当运动开始后，______秒时，线段与线段开始有重叠部分：______秒后，线段与线段不再有重叠部分．(3)当点C在线段AB上，且时，求t的值．(4)当点B与C相遇时，线段立即以初始速度的2倍向左匀速运动；当点B与点D相遇时，线段的速度变为初始速度的继续向左匀速运动．在整个运动过程中，线段的运动速度和方向保持不变，直接写出当时t的值． 8．（25-26七年级上·广东珠海·期中）如图，在数轴上有两个长方形和，这两个长方形的宽都是个单位长度，长方形的长是个单位长度，长方形的长是个单位长度，点在数轴上表示的数是5．且、两点之间的距离为个单位长度，点O是原点． (1)填空：点H在数轴上表示的数是________；点A在数轴上表示的数是________； (2)若线段的中点为，线段上一点，，点以每秒4个单位的速度向右匀速运动，点以每秒3个单位长度的速度同时向左匀速运动，设运动时间为秒，当时，求t； (3)若长方形以每秒4个单位的速度向右匀速运动，长方形以每秒2个单位的速度向右匀速运动，当两个长方形重叠部分的面积为6时，请直接写出长方形运动的时间． 33 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 数轴中的九类动态模型 数轴中的动态压轴问题属于苏科版七年级上册必考压轴题型，主要以数轴为载体，体现动态分析、分类讨论和数形结合等思想，考查学生的分析与综合能力。要求学生吃透数轴动点的核心模型，掌握动点表示、距离计算、最值、相遇追及推导逻辑，规避高频易错点，熟练套用标准化解题模板，实现所有数轴动态题型全覆盖、解题步骤规范化。 模型来源 1 知识储备 1 例讲模型 2 模型1.动态规律（左右跳跃）模型 2 模型2.动态中点与n等分点模型 4 模型3.单（多）动点匀速模型 8 模型4.单（多）动点变速模型 11 模型5.动点往返运动模型 15 模型6.动态定值（无参型）模型 19 模型7.动态定值（含参型）模型 22 模型8.数轴折叠（翻折）模型 26 模型9.数轴上的线段移动模型 29 易错点与方法总结 34 模型运用 35 A组（基础题） 35 B组（能力提升题） 42 C组（综合压轴题） 52 数轴中的动态模型（如动点问题）的历史发展，本质上是数轴工具与运动数学思想结合的产物，其演变可分为三个阶段：工具创造‌（17世纪）→动态启蒙‌（19-20世纪）→教学定型‌（21世纪）。数轴动态模型是‌笛卡尔几何工具‌与‌运动数学思想‌在教育场景中的实践结晶，其发展映射了数学从抽象理论向应用建模的转化过程。 数轴动态压轴模型（动点模型）的核心本质：用代数式子表示数轴上运动的点，将几何点的运动问题，转化为代数方程、不等式、绝对值计算问题。 ①若A、B两点在数轴上对应的数字是 a、b，则AB两点间的距离；AB中点对应的数字是：。 ②数轴动点问题主要步骤： 1）画图：在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度； 2）写点：写出所有点表示的数：常用含t的代数式表示，向右运动用“+”表示，向左运动用“-”表示； 3）表示距离：右—左，若无法判定两点的左右需加绝对值； 4）列式求解：根据条件列方程或代数式，求值。 注意：要注意动点是否会来回往返运动，速度是否改变等。 ③核心数学思想：数形结合、动态分析、分类讨论，是初中从静态几何向动态几何过渡的首个核心模型，也是后续平面直角坐标系动点、几何动点问题的基础。 （1）数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，注意多种情况的分类讨论。 （2）对于两个动点P、Q，若点P、Q的左右位置关系不明确或有多种情况，可用p、q两数差的绝对值表示PQ 两点距离，从而避免复杂分类讨论。 模型1.动态规律（左右跳跃）模型 【模型提炼与证明】 1. 运动规律性‌：动点按“左右交替”方向移动，步长呈现递增或周期性变化。 1. ‌代数表达‌：动点位置需用含时间变量t的代数式表示。 1. 例如，第n次移动后的位置可表示为：xn=xn−1±kn，其中k为步长基数，符号由移动方向决定。 1. ‌分类讨论‌：根据移动次数、方向变化和步长规律进行分段分析，尤其注意动点是否跨越原点或特定临界点。 常见模型（1）：“1左1右”的等差数列式跳跃，两个一组根据规律计算即可； 常见模型（2）：“2左2右”的等差数列式跳跃，四个一组根据规律计算即可。 【模型运用】 【典例1】（2025·山东淄博·二模）在数轴上，点表示原点，现将点从点开始沿数轴按如下规律移动：第一次点向左移动1个单位长度到达点，第二次将点向右移动2个单位长度到达点，第三次将点向左移动3个单位长度到达点，第四次将点向右移动4个单位长度到达点，…，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，当时，点与原点的距离是 个单位． 【答案】1013 【分析】根据前4个点的运动规律可得：第次移动到点，当n为奇数时，点表示的数是，当n为偶数时，点表示的数是，进而求解． 【详解】解：因为第一次点向左移动1个单位长度到达点，点表示的数是， 第二次将点向右移动2个单位长度到达点，点表示的数是1， 第三次将点向左移动3个单位长度到达点，点表示的数是， 第四次将点向右移动4个单位长度到达点，点表示的数是2，…， 所以第次移动到点，当n为奇数时，点表示的数是，当n为偶数时，点表示的数是， 所以当时，点表示的数是，与原点的距离是1013；故答案为：1013. 【典例2】（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）如图，一个动点从原点开始向左运动，每秒运动1个单位长度，并且规定：每向左运动3秒就向右运动2秒，则该动点运动到第2025秒时所对应的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：一个动点从原点开始向左运动，每秒运动1个单位长度，并且规定：每向左运动3秒就向右运动2秒，该点运动周期为5秒，每5秒向左运动一个单位， ，该点运动到2025秒时对应的数为，故选：A． 【典例3】（25-26七年级上·福建漳州·期末）在数轴上，一个动点从初始位置处开始移动：第一次向右移动2个单位长度至，第二次向左移动4个单位长度至，第三次向右移动6个单位长度至，第四次向左移动8个单位长度至，若这个动点在完成第次为正整数移动后恰好落在数轴原点处，则初始位置在数轴上表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设在数轴上表示的数为． ∵第一次移动后位置为;第二次移动后位置为;第三次移动后位置为 第四次移动后位置为……观察规律可知，完成第次移动后，位置为． 又∵第次移动后落在原点处，即位置为;∴;解得 所以初始位置表示的数为．故选：B． 【典例4】（25-26七年级上·福建厦门·期末）数轴上的一个动点从原点出发，按照以下规则移动： 第1次：向右移动1个单位；第2次：向左移动4个单位；第3次：向右移动7个单位；第4次：向左移动10个单位；．．．记移动次后，动点的位置记为．对任意正整数，点与的距离为_________．（用含的式子表示） 【答案】 【详解】解：由题意得，，，， ，，,， ∴当时，； 当时， 当时， 当时， ∴，故答案为：． 模型2. 动态中点与n等分点模型 【模型提炼与证明】 1）动态中点模型：动态中点指两动点在数轴上运动时，其中点位置随动点运动而变化。设动点A和B在时间t的位置分别为xA（t）和xB（t），则动态中点M（t）的坐标：。 该公式适用于任意时刻动态中点计算。 2）动态n等分模型：将线段AB分为n等份时，第k个等分点的坐标为：。 若A和B为动点，则等分点位置随时间变化，需建立动态表达式。 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级上·河北保定·期末）已知点A，B在数轴上对应的数为a，b，点A与点B之间的距离记为，且． (1)填空：________，________，________． (2)现有点P从点A出发，以4个单位长度/秒的速度向右运动，同时，另一点Q从点B出发，以1个单位长度/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒．①当时，P，Q两点之间的距离为________． ②求在运动过程中，当线段时，t的值．③在运动过程中，是否在某一时刻t，使得线段？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；12；10；(2)①9；②t为2.4或4；③存在．t的值为3或6 【详解】（1）解：∵，∴，，∴，， ∴，故答案为：；12；10； （2）解：①当时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴P、Q两点之间的距离为，故答案为：9； ②当时，分以下两种情况： 如图，若B为的中点，则，即，解得； 如图，若P，Q重合，则，即，解得； 综上所述，当线段时，t的值为2.4或4； ③假设存在，分以下两种情况： 如图，若Q为的中点，则，即，解得； 如图，若B，P重合，则，即，解得； 综上所述，存在线段，t的值为3或6． 【典例2】（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）如图所示，A、B两点在数轴上分别表示有理数a、b，且，O为原点，点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴负方向运动，点Q同时从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒． (1) ________； ________；(2)当时，P、Q两点间的距离为________；(3)在运动过程中是否存在时间t使A、P两点间的距离与B、Q两点间的距离相等？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．(4)若点M同时从点B以每秒5个单位长度的速度沿数轴负方向运动，直接写出t为何值时，P、Q、M三点满足其中一点到另外两点距离相等（任意两点或者三点重合除外）． 【答案】(1)(2)9(3)存在，或(4)或或 【详解】（1）∵，∴，∴．故答案为：； （2）t秒后点P表示的数是，点Q表示的数是，， 当时，．故答案为：9； （3）当时，，解得或； （4）由题意得，t秒后点M表示的数是， 当点M和点Q重合时，，解得． 当点M和点P重合时，，解得． 当时，即点Q在P、M之间，，解得； 当时，即点M在P、Q之间，，解得； 当时，即点P在M、Q之间，，解得； 综上可知，当或或时，P、Q、M三点满足其中一点到另外两点距离相等． 【典例3】（24-25七年级上·江苏苏州·阶段检测）定义：数轴上的三个点，若其中一个点与其他两个点的距离满足2倍关系，则称该点是其他两个点的“友好点”，这三点满足“友好关系”，已知数轴上点A，B表示的数分别为，点C从点B出发，沿数轴的负方向运动．在运动过程中，使A，B，C三点满足“友好关系”的点C表示的数的和是________． 【答案】 【详解】解：设点C表示的数为m， 当点C到点A的距离是点C到点B的距离的2倍时，则， ∴或，解得或（舍去）； 当点C到点B的距离是点C到点A的距离的2倍时，则， ∴或，解得或； 当点A到点C的距离是点A到点B的距离的2倍时，则， ∴或，解得或（舍去）； 当点A到点B的距离是点A到点C的距离的2倍时，则， ∴或，解得或； 当点B到点A的距离是点B到点C的距离的2倍时，则， ∴或，解得或（舍去）； 当点B到点C的距离是点B到点A的距离的2倍时，则， ∴或，解得或（舍去）； 综上所述，符合题意的m的值为或或或或或， ∴在运动过程中，使A，B，C三点满足“友好关系”的点C表示的数的和是，故答案为：． 【典例4】（24-25七年级上·湖南长沙·期中）【知识准备】若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为．（1）在一条数轴上，O为原点，点对应的数为，点对应的数为，且有，则的中点N所对应的数为_____． 【问题探究】（2）在（1）的条件下，若点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时点Q从点D出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动．设运动时间为秒，为何值时，的中点所对应的数为1？ 【拓展延伸】（3）若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为靠近点A的三等分点，则我们有三等分点公式：点M对应的数为；若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为最靠近点A的四等分点，则我们有四等分点公式：点M对应的数为． 填空：若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的等分点，则我们有等分点公式：点M对应的数为_____．（其中n为正整数） 【答案】（1）；（2）；（3）； 【详解】解：（1）∵，∴，，解得：，， ∴点对应的数为，点对应的数为，∴的中点N所对应的数为； （2）由（1）知，，，则点所对应的数为，点所对应的数为． 则中点所对应的数为，解得：． （3）∵数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的等分点， ∴点M对应的数为． 模型3. 单（多）动点匀速模型 【模型提炼与证明】 模型（1）:动点P从点A（点A在数轴上对应的数是a）出发，以每秒v个单位的速度向右移动，t秒后，到达B点，B点对应的数是：a+vt。 模型（2）:动点P从点A（点A在数轴上对应的数是a）出发，以每秒v个单位的速度向左移动，t秒后，到达C点，C点对应的数是：a-vt。 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级上·山东潍坊·期末）如图，在数轴上，点表示，点表示，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度在数轴上沿某一固定方向运动，设运动时间为秒．当时，运动时间的值为 ． 【答案】或 【详解】解：由数轴知，， 当点在点左侧时，由题意得，解得， 当点在点右侧时，由题意得，得， 综上，当时，运动时间的值为或，故答案为：或． 【典例2】（25-26七年级上·江苏无锡·期末）【阅读】在数轴上，点对应的有理数为，点对应的有理数为，则以、为端点的线段的长度，以、为端点线段的中点对应数为． 【运用】如图，已知、、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为，现有一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动；同时，另一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间为秒． (1)、两点间的距离______，线段的中点表示的数为______； (2)用含的代数式表示：点对应的数是______，点对应的是______，动点经过______秒时运动到点与点的中点处； (3)经过多少秒时，点与点之间的距离恰好是点与点之间距离的一半？ 【答案】(1)12；(2)；；1.2(3)秒或秒 【详解】（1）解：由题意，两点间的距离， 线段的中点表示的数为；故答案为：，； （2）解：由题意，点表示的数为，点表示的数为，由题意：，解得； 故动点经过1.2秒时运动到点与点的中点处； （3）解：由（2）可知，，， ∴，解得或， 答：经过或秒时，点 与点 之间的距离恰好是点 与点 之间距离的一半． 【典例3】（25-26七年级上·天津河北·期中）如图，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是最小的正整数，且，满足，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，设运动时间为秒． (1)问：______，_____，_____；(2)当点与点到原点的距离相等时，求此时点对应的数； (3)探究：在运动过程中，的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1),,；(2)；(3)不随时间的变化而改变，值为． 【详解】（1）解：，，，解得：，， 是最小的正整数，，故答案为：，，； （2）解：运动时间为秒时，点表示的数是 ，点表示的数是， 点与点到原点的距离相等，可得：，解得：，此时点对应的数为； （3）解：运动时间为秒时，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是， ，， ， 在运动过程中，的值不随时间的变化而改变，值为． 模型4. 单（多）动点变速模型 【模型提炼与证明】 单个动点在数轴上运动时，速度随时间或位置发生改变，需分段描述其运动轨迹。 例如：动点先以速度v1运动t1秒，再以速度v2反向运动t2秒。 其‌位置表达式‌：分段表示为x(t)=x0+v1t（0≤t≤t1）和x(t)=x(t1)−v2(t−t1)（t1<t≤t1+t2）。 上式中为x0初始位置，x(t)为t时刻的位置。 多个动点以不同速度或方向变化协同运动，需分别建模后寻找关联条件（如相遇、距离等）。 动态关系式‌：分别表示各动点位置，再通过相遇条件xP(t)=xQ(t)或距离公式∣xP(t)−xQ(t)∣=L列方程。 上式中xP(t)为动点P在t时刻的位置；xQ(t)为动点Q在t时刻的位置。 数轴上的单（多）动点变速模型用于描述动点在运动中速度发生变化的场景，需结合分段分析（按时间或位置划分运动阶段，确保每个阶段内速度恒定）和动态方程构建解决问题，最后注意检查解是否在对应时间段内，排除超时或重复解。 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级上·四川成都·期末）如图，在数轴上，点，在原点的两侧，分别表示，，．点以每秒个单位的速度从点向右运动，同时，点以每秒个单位的速度从点向左运动，是线段的中点，设运动时间为． (1)求点与点之间的距离；(2)当为何值时，，并求出此时点表示的数； (3)在，两点开始运动时，点以每秒个单位的速度从点向左运动．点经过原点后，其速度变为原来的倍，点变速后，若线段的长度始终是一个定值，求的值． 【答案】(1)(2)的值为或，点表示的数为或(3) 【详解】（1）解：∵点表示的数为， ∴， ∵，∴， ∵点在原点的两侧，∴点表示的数为，∴ ； （2）解：当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 根据题意得，， 即或， 解得或， 当时，； 当时，； 答：当的值为或时，，此时点表示的数为或； （3）解：若，则， 当时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，∴， ∵点变速后，若线段的长度始终是一个定值，∴，∴． 【典例2】（25-26七年级上·湖北武汉·期中）如图，已知在数轴上的对应点为，且两点到原点的距离相等并位于原点两侧，满足． (1)______，____，_____； (2)若将数轴折叠，使得与重合，此时点与点重合，求点在数轴上表示的数为多少？ (3)对应的数为，在处各折一下得到图2的“折线数轴”，为线段上一点．我们将折线数轴上两点的“累计距离”记为，则．点从出发，以3个单位长度/秒的起始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动，点从出发，以6个单位长度/秒的起始速度沿着“折线数轴”向其负方向运动（，同时运动，运动到点时，，均停止运动）．点，在运动过程中，上坡速度分别变为起始速度的三分之一，下坡速度分别变为起始速度的三倍．将运动时间记为在运动过程中，是否存在值，使得？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，6，(2)(3)2秒或秒 【详解】（1）解：∵，∴，，解得：，， ∵在数轴上的对应点为，∴在数轴上的对应点为，6， ∵在数轴上的对应点为，两点到原点的距离相等并位于原点两侧， ∴，故答案为：，6，； （2）∵将数轴折叠，使得与重合，∴的中点为， ∵此时点与点重合，∴的中点也是，∴点表示的数是； （3）∵，C表示的数分别为，，6，， ∴，，， ∵点从出发，以3个单位长度/秒的起始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动，上坡速度分别变为起始速度的三分之一，∴点到需要的时间为9秒， ∵点从出发，以6个单位长度/秒的起始速度沿着“折线数轴”向其负方向运动，上坡速度分别变为起始速度的三分之一，∴点到需要的时间为秒， ∵上坡速度分别变为起始速度的三分之一，下坡速度分别变为起始速度的三倍， ∴点到需要的时间为秒， ∵点点到B只需1秒，∴当时，有可能，则， 解得：；当时，、重合时，，则，解得：， 综上所述，当为2秒或秒时，． 【典例3】（25-26七年级上·四川成都·期中）已知数轴上有A、B、C三个点，分别表示有理数、9、20，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右移动．设移动时间为t秒，如图1，若用分别表示点P与点A、点B、点C之间的距离，试回答以下问题： (1)当点P运动5秒时，______，______，______． (2)当点P运动了t秒时，请用含t的代数式表示点P与点A、点B、点C之间的距离： ______，______，______． (3)经过几秒后，点P到点A、点C的距离相等？此时点P表示的数是多少？ (4)如图2，当动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点C出发，以1个单位/秒速度向左运动．O、B两点之间为“变速区”，规则为从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速．是否存在符合条件的t，使P、Q两点到点B的距离相等？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，11，22(2) (3)经过8秒后，点P到点A、点C的距离相等，点P表示的数是4 (4)12或25 【详解】（1）解：当时，点P运动了10个单位长度，则，点P表示的有理数为， ；故答案为：，11，22； （2）解：当点P运动了t秒时，，点P表示的有理数为， ∴；故答案为：； （3）解：设经过t秒后，点P到点A、点C的距离相等，则得：，解得：， 此时点P表示的有理数为； 即经过8秒后，点P到点A、点C的距离相等，点P表示的数是4； （4）解：点P在运动时间为（秒），在运动时间为（秒），在运动的时间为（秒）；点Q在运动时间为（秒），在运动时间为（秒），在运动时间为（秒）； ①当时，如图，则P在线段上，表示的数为；Q在线段上，表示的数为， 由题意得：，解得：， 不合题意，此时不存在P、Q两点到点B的距离相等； ②当时，如图，P都在线段上，P表示的数为，Q在线段上，表示的数为， 则，方程无解， 此时不存在P、Q两点到点B的距离相等； ③当时，如图，P、Q都在线段上， 两点重合，P、Q两点到点B的距离相等； 此时P表示的数为，Q表示的数为，所以，得； 符合题意，即不存在P、Q两点到点B的距离相等； ④当时，如图，P仍在线段上，点Q在线段上， 此时点Q在点O的左侧，点P在点O的右侧，同在点B的左侧，且，所以P、Q两点到点B的距离不可能相等； ⑤当时，如图，P在射线上，Q在射线上，P表示的数为，Q表示的数是， 所以，解得； 综上所述，P、Q两点到点B的距离相等，运动时间为12秒或25秒，故答案为：12或25． 模型5. 动点往返运动模型 【模型提炼与证明】 1. 数轴上动点往返运动的位置计算需结合‌方向变化、分段累加‌和‌代数建模。 1. 注意事项： 1. 1）‌时间范围验证‌：解方程后需检查时间是否在对应运动阶段内。 1. 2）‌多解可能性‌：往返可能导致动点多次经过同一位置，需列绝对值方程并分情况讨论。 3）通过以上方法，可系统计算数轴动点往返后的位置，需重点关注‌方向符号处理‌和‌分段累加规则。‌ 【模型运用】 【典例1】（24-25七年级上·重庆忠县·期末）如果有理数、在数轴上分别表示点、，那么线段的中点在数轴上表示的数为，线段的长度表示为．如图，设，两点在数轴上表示的数，满足，、是数轴上的两个动点，点从点出发，以单位长度秒的速度往右运动，到达点后立即停止，点从点出发，以单位长度秒的速度往左运动，到达点后立即原路原速返回．已知、两点同时出发同时停止，设运动时间为秒． (1)当时，求线段的中点表示的数和线段的长度； (2)在运动过程中，求当为何值时，点恰好是线段的中点； (3)在运动过程中，当为何值时，线段、恰好相差个单位长度，请直接写出的值． 【答案】(1)线段的中点表示的数为，线段的长度为；(2)或；(3)或或． 【详解】（1）解：∵，∴，， ∴秒后，两点表示的数为，两点表示的数为， ∴线段的中点表示的数为，线段的长度为； （2）解：（秒），（秒）， 由题意可得，当时，点表示的数为， 当时，点表示的数为， 当时，点表示的数为， 点恰好是线段的中点有两种情况： 当时，，解得，符合题意， 当时，，解得，符合题意， 综上所述，当的值为或时，点恰好是线段的中点； （3）解：由（）可得， 当时，， 此时只能，即，解得， 而当时，， 此时，即，解得或， ∴的值为或或． 【典例2】（25-26七年级上·福建莆田·期中）如图，点，均在数轴上，点所对应的数是，点在点的右边，且距点个单位长度，点、是数轴上两个动点． (1)求出点所对应的数；(2)当点到点、的距离之和是个单位长度时，求出此时点所对应的数； (3)若点、分别同时从点、出发，均沿数轴相向运动，运动时间为，点保持每秒运动个单位长度，点保持每秒运动个单位长度，点到立即折返，点到立即折返，直接写出、距离为时的值． 【答案】(1)点所对应的数是(2)点所对应的数是或(3)或或或 【详解】（1）解：，故点所对应的数是； （2）解：，点在点的左边，， 点在点的右边，，故点所对应的数是或； （3）解：点到达点所需时间为：，点到达点所需时间为：； ①当时，P：；Q：；∴，解得：或， ②时，P：；Q：；∴，解得：（舍去）或（舍去）， ③时，P：；Q：；∴，解得：或， 综上：或或或． 【典例3】（25-26七年级上·江苏南通·期中）在数轴上有一个探测仪和一个金属球，当探测仪与金属球距离小于5个单位长度时，探测仪会探测到金属球．金属球从原点出发，以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动1秒，到达表示数1的点，再折返以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动1秒，到达表示数的点，再折返以每秒3个单位长度的速度向右匀速运动1秒，到达表示数2的点，，依此类推；在金属球出发的同时，探测仪从表示数的点出发，以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动．设金属球从原点出发运动了秒． (1)当时，金属球的位置对应的数是 ，探测仪的位置对应的数是 ； (2)当时，若金属球和探测仪所在位置到原点的距离相等，求的值； (3)在运动过程中，当探测仪第一次恰好探测不到金属球时，请直接写出此时的值． 【答案】(1)；0(2)1或(3) 【详解】（1）解：∵金属球从原点出发，以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动1秒，到达表示数1的点，再折返以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动1秒，到达表示数的点， ∴当时，金属球到达表示数的点， ∵探测仪从表示数的点出发，以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动， ∴探测仪的位置对应的数为：， ∴当时，探测仪的位置对应的数为：；故答案为：；0； （2）由题意可知，当时，金属球到达表示数1的点，发生第一次折返；当时，金属球到达表示数的点，发生第二次折返．∴当时，金属球折返一次，需分两种情况： 第一种：当时，金属球在数轴上表示的数为t， ∵金属球和探测仪所在位置到原点的距离相等，∴，解得； 第二种：当时，金属球在数轴上表示的数为：， ∵金属球和探测仪所在位置到原点的距离相等，∴，解得（舍去）或； 综上：当时，若金属球和探测仪所在位置到原点的距离相等，的值为1或；故答案为：1或； （3）观察金属球的运动规律：1，，2，，...，可知，当t为奇数时，金属球表示的数为；当t为偶数时，金属球表示的数为，金属球在时的运动速度为． ∵当时，金属球的速度始终大于探测器的速度， ∴当探测器第一次观测不到金属球的位置时，金属球的运动方向向左． （因为若金属球的运动方向与探测器相同，金属球的速度又比探测器快，无论金属球在探测器的左侧还是右侧，必存在更早的时刻使得金属球与探测器之间的距离等于5．） 假设当t在某个偶数时刻，金属球与探测器之间的距离恰好为5， ∴，解得，∴第一次相遇时，， ∵当探测器第一次观测不到金属球的位置时，金属球的运动方向向左， ∴，金属球的运动速度为每秒6 个单位长度， ∴此时金属球在数轴上表示的数为． ∴，解得．故答案为：． 模型6. 动态定值（无参型）模型 【模型提炼与证明】 数轴上的动态定值（无参型）模型描述动点运动过程中某些量（如线段长度、距离差等）保持不变的场景，需通过代数表达和几何关系分析定值的存在性及数值。题目中不引入额外参数（如速度、时间变量），直接通过动点初始位置、运动规则或几何关系推导定值。 1）解题策略与步骤：‌ ‌步骤1‌：用代数式表示动点位置，例如动点A从x0​出发，以速度v移动，则t秒后位置为x0+vt。 ‌步骤2‌：根据题目条件（如中点、等分点）建立相关量的表达式（如线段长度、差值的绝对值）。 ‌步骤3‌：化简表达式，观察是否消去变量项，验证是否为定值。 2）常见定值类型： 线段长度定值‌：两动点或动点与定点间的距离保持恒定。 ‌代数式定值‌：如∣xA−xB∣±kxC的值为固定常数。 ‌位置关系定值‌：如动点始终为中点或特定分点，导致相关表达式不变。 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法． (1)已知是数轴上的两点（点在点的右侧），点表示的数为，两点的距离是点到原点的距离的倍，即．则点表示的数是____，若点为数轴上的一动点，当时，点表示的数为_____．(2)动点分别从点和同时出发向左匀速运动，点的速度分别为每秒个单位长度和每秒个单位长度．设运动时间为．①当点与点之间的距离为个单位长度时，求的值；②若点为数轴上两点之间的动点，且点始终满足，点在运动到点的过程中，的值是否发生变化？若不变、求其值；若变化，说明理由． 【答案】(1)；或(2)①或；②不会发生变化，其值为 【详解】（1）解：∵点表示的数为，∴，设点表示的数为， 由题意得，,解得，∴点表示的数是， ∵，，∴点在点的左边或点点的右边， 设点表示的数为，当点在点的左边时，则，解得， 当点在点的右边时，则，解得，∴点表示的数为或； （2）解：①由题意得，点表示的数为，点表示的数为， 当点与点之间的距离为个单位长度时，则， 即，解得或，∴的值为或； ②由题意可知，点在点右侧，点由原点右侧往原点方向运动， ∴，∴， ∵，∴， ∴点表示的数为，∴， ∴， ∴点在运动到点的过程中，的值不会发生变化，其值为． 【典例2】（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）如图1，已知数轴上两点A，B对应的数分别为，5，点为数轴上的一动点，其对应的数为． (1)若是线段的中点，求的值．(2)若，求的值． (3)如图2，点以每秒个单位的速度向左运动，同时点以每秒个单位的速度向右运动，点以每秒个单位的速度从点向右运动，且，在运动过程中，M，N分别是、的中点，试探究的值是否发生变化？若不变，求其值，若改变，请说明理由． 【答案】(1)(2)数轴上存在点，使，此时x的值为或． (3)的值不发生变化，为定值2． 【详解】（1）解：∵两点A，B对应的数分别为，5，点为数轴上的一动点，其对应的数为． 是线段的中点，∴． （2）解：①当点在两点之间时，，不符合题意，舍去； ②当点在点的右边时，，，，解得； ③当点在点的左边时，，解得． 综上所述，数轴上存在点，使，此时x的值为或． （3）解：的值不发生变化，为定值2，理由如下： 设运动时间为t秒，则点A表示的数为，点P表示的数为，点B表示的数为， ∴，，∵M，N分别是、的中点， ∴点M表示的数为，点N表示的数为， ∵，∴， ∴，∴的值不发生变化，为定值2． 【典例3】（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在数轴上，点O为原点，点表示的数为，点表示的数为，且a，b满足． (1) ___________； ___________；(2)动点分别从点，点同时出发，沿着数轴向右匀速运动，点的速度为每秒2个单位长度，点的速度为每秒1个单位长度．①几秒时，点与点距离6个单位长度？②动点分别从点，点出发的同时，动点也从原点O出发，沿着数轴向右匀速运动，速度为每秒个单位长度．记点与点之间的距离为，点与点Q之间的距离为，点O与点之间的距离为．设运动时间为秒，请问：是否存在的值，使得在运动过程中，的值是定值？若存在，请求出此值和这个定值；若不存在，请说明理由 【答案】(1)，6(2)①8秒或20秒时，点P与点Q距离6个单位长度； ②存在，当n的值为4时，使得在运动过程中，的值是定值，定值为34. 【详解】（1）解：，∴，解得：；故答案为：，6； （2）解：①运动时间为t秒，P表示的数为，Q表示的数为， ∵点P与点Q距离6个单位长度，∴，解得：或， ∴8秒或20秒时，点P与点Q距离6个单位长度； ②存在n的值，使得在运动过程中，的值是定值，由题意可知，R表示的数是， ∵，∴，，，， ∴， 当，即时，的值为34， 即n的值为4时，的值是定值，定值为34； 模型7. 动态定值（含参型）模型 【模型提炼与证明】 数轴上动态定值（含参型）模型需分析含参数（如速度、距离比例等）的动点运动过程中某些量的恒定性，通过代数建模和参数消去法验证定值存在性及数值。 ‌线段和差定值‌：如PA+PB或∣PA−PB∣恒为常数，需结合参数化简表达式。 ‌代数式定值‌：如kxA+mxB的值与时间无关，需分离含时项并令其系数为零。 速度参数‌：多个动点以不同速度运动，需联立方程消去时间变量，验证定值。 ‌比例参数‌：如线段比例或代数式含系数m（如mAB−2BC），需通过参数约束条件确定定值。 通过参数化建模、代数式分离与含时项消去，可系统解决含参型动态定值问题，需特别注意参数解的适用范围及多解可能性。 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级上·广东江门·阶段练习）唐代文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无”，当代印度诗人泰戈尔也写道：“世界上最遥远的距离，不是瞬间便无处寻觅；而是尚未相遇，便注定无法相聚”．距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度．已知点P，Q在数轴上分别表示有理数p，q，P，Q两点之间的距离表示为．例如，在数轴上，有理数3与1对应的两点之间的距离为；有理数5与﹣2对应的两点之间的距离为；…；解决问题： 已知有理数a，b，c在数轴上对应的点分别为A，B，C，且满足，． (1)分别求a，b，c的值； (2)若点D在数轴上对应的数为x，当A、D间距离是B、C间距离的4倍时，请求出x的值； (3)点M是AB的中点，O为原点，点N为数轴上一动点y，当取最小时，满足条件的点N对应的y的整数值共有 个． (4)若点A和点B分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为t秒，是否存在一个常数k，使得的值在一定时间范围内不随运动时间t的改变而改变？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)或(3)3(4)存在， 【详解】（1）解：∵，∴， ∴，∴； （2）∵，∴点A表示的数为1，点B表示的数为，点C表示的数为， ∴，∵，∴，∴或； （3）∵点A表示的数为1，点B表示的数为，点M是的中点，∴点M表示的数为， 当N在之间时，， 当N在A点右边时，， 当N点在B点左边时，，∴的最小值是4， ∵点N为数轴上一动点y，∴，则， 当时，， 当时，，∴， 当时，，∴的最小值为， ∴只有和都取最小时，才取最小值，也就是当时，取最小值，满足条件的点N对应的整数值有，，共有3个，故答案为：3； （4）存在符合条件的k值，∵点A表示的数为1，点B表示的数为，点C表示的数为， ∴经过t秒点A表示的数是，点B表示的数是， ∴，， ∴， ∴时，的值在一定时间范围内不随运动时间t的改变而改变， 即存在符合条件的k值使得的值在一定时间范围内不随运动时间t的改变而改变． 【典例2】（24-25七年级下·广东揭阳·开学考试）如图，在数轴上点表示的数，点表示数，和满足，点是数轴原点． (1)点表示的数为________，点表示的数为________，线段的长为________． (2)若点从点出发，以3个单位长度每秒的速度向点运动，与此同时，点从点出发，以2个单位长度每秒的速度向点运动，当一个点到达终点时，另一个点立即停止运动．在两点运动过程中是否存在某个时刻，使得？若存在，请求出此时点表示的数；若不存在，请说明理由． (3)点、分别以3个单位/秒和2个单位/秒的速度同时向右运动，点从原点以5个单位/秒的速度向右运动，是否存在常数，使得为定值，若存在，请求出值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，4，(2)存在，或(3)存在，时，定值为28 【详解】（1）解：∵，，∴， ∴，∴，∴点A表示的数为，点B表示的数为， ∴，故答案为：，4，； （2）解：设运动时间为t，∴点P表示的数为，点Q表示的数为， 当P、Q两点相遇前，时，∴，解得，∴此时点Q表示的数为； 当P、Q两点相遇后，时，∴，解得，∴此时点Q表示的数为； ∵，∴当运动时间为2秒时，，此时点Q表示的数为；当运动时间为秒时，，此时点Q表示的数为； （3）解：存在，当点、分别以3个单位/秒和2个单位/秒的速度同时向右运动，点从原点以5个单位/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒， 则t秒时，点A表示的数为，点B表示的数为，点表示的数为， ∴， 当，即时，为定值28 【典例3】（25-26七年级上·重庆·期中）如图，在数轴上有A，B，C三个点，所表示的数分别是a，b，，原点O是线段上一点．已知，且，有两条动线段和满足，．初始状态点P与点C重合，点N与点B重合，若线段以每秒2个单位的速度从点C开始沿数轴向右匀速运动，同时线段以每秒1个单位的速度从点B开始沿数轴向左匀速运动． (1)直接写出a，b的值； ， ； (2)设运动时间为t秒，当点M运动到点C时，线段，同时停止运动，当C，P，M中某一点为另外两点构成线段的中点时，求时间t的值；(3)当点Q运动到点B时，线段立即以相同的速度返回，直到点M运动到点C时，线段，同时停止运动，设运动时间为t秒，当时，存在两个常数m，n使得的值与t无关，请直接写出m与n的数量关系． 【答案】(1)；2(2)或4(3) 【详解】（1）解：∵，点C表示的数为，∴点A表示的数，∴， ∵，∴，∴； （2）解：t秒后点M表示的数为，点P表示的数为， 当点P为的中点时，则：，解得：； 当点M为的中点时，则：，解得：； 综上分析可知：当C，P，M中某一点为另外两点构成线段的中点时，时间t的值为或4． （3）解：点Q运动到点B需要的时间为：（秒）， ∴当时，线段向左运动，点Q表示的数为， ∴，， ∴， ∵常数m，n使得的值与t无关，∴，即． 模型8.数轴折叠（翻折）模型 【模型提炼与证明】 数轴折叠模型通过几何对称性分析折叠前后点的对应关系，解决折痕位置、对称点等问题。 1）若折叠后点a与点b重合，则折痕对应的点m为两点的中点，满足：或b=2m−a 2）折叠后，对称点到折痕的距离相等，折痕位置可通过线段比例或代数方程求解。 3）若折叠后动点继续运动，需分段分析折叠前后的位置变化及运动轨迹。 【模型运用】 【典例1】（25-26·重庆·七年级期中）已知在纸面上有一数轴（如图）折叠纸面． （1）若1表示的点与表示的点重合，则表示的点与数_____表示的点重合； （2）若1表示的点与表示的点重合，回答以下问题： ①13表示的点与数_____表示的点重合；②若数轴上A、B两点之间的距离为2022（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数是多少？ 【答案】（1）5；（2）①-17；②A点表示的数为-1013，B点表示的数为1009 【详解】解：（1）∵表示1的点与表示-1的点重合， ∴与表示-5的点重合的点表示的数为1+（-1）-（-5）=5．故答案为：5． （2）①∵表示1的点与表示-5的点重合，∴与表示13的点重合的点表示的数为1-5-13=-17．故答案为：-17． ②设A点表示的数为x，则B点表示的数为x+2022， 根据题意得：1-5=x+x+2022，解得：x=-1013，∴x+2022=1009． 答：A点表示的数为-1013，B点表示的数为1009． 【典例2】（25-26·江苏·七年级期中）平移和翻折是初中数学中两种重要的图形变化，阅读并回答下列问题： （一）平移：在平面内，讲一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移． （1）把笔尖放在数轴的原点处，先向左移动3个单位长度，再向右移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示的数是 ；（2）一个机器人从数轴上原点出发，并在数轴上移动2次，每次移动2个单位后到达B点，则B点表示的数是 ；（3）如图，数轴上点A表示的数为−1，点B表示的数为1，点P从5出发，若P，A两点的距离是A，B两点距离的2倍，则需将点P向左移动 个单位． （二）翻折：将一个图形沿着某一条直线折叠的运动． （4）若折叠纸条，表示−3的点与表示1的点重合，则表示−4的点与表示 的点重合； （5）若数轴上A，B两点之间的距离为10，点A在点B的左侧，A，B两点经折叠后重合，折痕与数轴相交于表示−1的点，则A点表示的数为 ； （6）在数轴上，点M表示是的数为4，点N表示的数为x，将点M，N两点重合后折叠，得折痕①，折痕①与数轴交于P点；将点M与点P重合后折叠，得折痕②，折痕②与数轴交于Q点．若此时点M与点Q的距离为2，则x＝ ． 【答案】（1）；（2）或或；（3）2或10；（4）2；（5）-6；（6）或 【详解】解：（1）笔尖的位置表示的数为故答案为； （2）机器人向右移动两次，则B点表示的数为 机器人向左移动两次，则B点表示的数为 机器人向右移动一次，再向左移动一次，则B点表示的数为 故答案为或或 （3）设点P向左移动个单位，则点P表示的数为，，， 由题意可得：，解得或即向左平移2或10个单位长度 故答案为2或10 （4）由题意可得：对称中心为，则表示−4的点与表示2的点重合 故答案为2 （5）由题意可得，A点在表示−1的点的左侧5个单位长度，则A点表示的数为 故答案为-6 （6）由题意可得：，则， 即之间的距离为8 当在左侧时，，点N表示的数为-4 当在右侧时，，点N表示的数为12 故答案为或 【典例3】（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）数轴是一个非常重要的数学工具，它把数和数轴上的点建立了对应关系，形象地揭示了数与数轴上的点之间的内在联系，是数形结合的基础．小明在一条长方形纸带上画了一条数轴，进行如下操作探究： (1)操作1：折叠纸带，若数轴上表示的点与表示的点重合，则与表示的点重合的点表示的数是______． (2)操作2：若点、表示的数分别是、，点从点出发，沿数轴以每秒个单位长度的速度向左匀速运动；同时，点从点出发，沿数轴以每秒个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒， ①在运动过程中，当为______时，点与点重合； ②在运动过程中，当为何值时，点与点之间的距离为； (3)操作3：在数轴上剪下个单位长度（从到）的一条线段，并把这条线段沿某点向左对折，然后在重叠部分的某处剪一刀得到三条线段（如图），若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点表示的数可能是______． 【答案】(1)(2)①；②或(3)或或或 【详解】（1）解：折叠纸带，若数轴上表示的点与表示的点重合，折痕点表示的数是， 表示数的点与它重合的点重表示的数为：，故答案为：； （2）解：由题意得，， 点、表示的数分别是、，点表示的数为，点表示的数为， ①点与点重合，，解得，故答案为：； ②点与点之间的距离为，，解得或； （3）设表示的点是， 表示的点是，，， 当三条线段的比值为时，，，则； 当三条线段的比值为时，，，则； 当三条线段的比值为时，，，则； 当三条线段的比值为时，，，则； 当三条线段的比值为时，，，则； 当三条线段的比值为时，，，则； 折痕处对应的点表示的数可能是或或或，故答案为∶或或或． 模型9.数轴上的线段移动模型 【模型提炼与证明】 数轴上的线段移动模型研究线段整体平移的动态变化规律，需结合代数表达与几何关系分析线段长度、覆盖范围等核心问题。 线段沿数轴以固定速度单向或往返移动，需用代数式表示端点位置变化（如左移减速度，右移加速度）；动态过程中需关注线段覆盖区域，及与其他线段的交互（如重叠）。部分模型中，线段长度或端点间的代数差保持恒定（如平移速度对称时，两动线段差为定值）。 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级上·福建泉州·期末）如图，点，，，在数轴上对应的数分别为，，，，且，，，，． (1)求线段的长度；(2)若线段以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，线段以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，运动时间为秒（），点，分别为，的中点． ①在运动过程中，的长度是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由； ②求出线段与重叠部分的长度（用含的代数式表示）． 【答案】(1)15(2)①是定值，；②或或． 【详解】（1）解：，，． ，，．． （2）解：的值为定值，理由如下：①记所对应的数为，． 运动秒后，点，，，在数轴上对应的数分别：，，，． ，分别为，的中点，，， ．的值为定值． ②∵，线段和线段的速度和为每秒3个单位长度 ∴当点B和点C重合时的时间为（秒），∴当时，没有重叠部分； 当点B和点D重合时的时间为（秒）， ∴当时，点在点与点之间，∴； 当点A和C重合时的时间为（秒），∴当时，； 当点A和点D重合时的时间为（秒）， ∴当时，点在点与点之间，∴． 当时，没有重叠部分．综上所述，或2或． 【典例2】（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）如图，在数轴上有两个正方形和，点为原点，点、、、表示的数分别为，，4，14．正方形以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时正方形以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间为秒，运动后的正方形分别记为正方形与正方形． (1)点表示的数为______，点表示的数为______．(2)当时，求的值． (3)在运动过程中，两个正方形会出现重叠部分，设重叠部分的面积为． ①当达到最大值时，求持续的时间为几秒；②当时，请直接写出点所表示的数． 【答案】(1)；(2)1或3；(3)①秒；②3或9． 【详解】（1）解：点表示的数为：，点表示的数为：，故答案为：；； （2）解：，，解得：或，的值为1或3； （3）解：①由题意得：当正方形完全落在正方形内时，重叠部分的面积最大， 秒后，点表示的数为，点表示的数为， 当点与点重合时：，解得：， 秒后，点表示的数为，点表示的数为， 点与点重合时：，解得，（秒），持续的时间为秒； ②根据题意可得正方形的边长为， 当点在线段上，重叠面积为，，，解得， 表示的数为， 当点在线段上，重叠面积为时，，，解得， 表示的数为，故点表示的数为3或9． 【典例3】（24-25七年级上·广东深圳·期末）如图1，点C是线段上一点，若，我们称为点在线段上的“分割值”，记为．例如点在上，，则；反之当，则． (1)如图2，数轴、两点对应的数为、，且分别满足和． ①求出 ； ；②请在图2的数轴上画出、两点． (2)为数轴上一个动点，从点向终点匀速运动．①若点表示的数为，则 ． ②如图，数轴上另一个点从点出发向点运动，到达点后立即以原速返回点，当点到达点B时，，都停止运动．若点和点的运动速度分别为每秒个单位和每秒个单位，且点和点同时出发，运动秒后，是否存在，若存在，求出的值；不存在，请说明理由． (3)如图4，在四边形中，，，，，点，同时从点出发向终点匀速运动，点沿折线运动，点沿线段运动．设点，的速度分别为和且满足，若，当点运动到线段上时，则 ．（用含有的代数式表示） 【答案】(1)①；；②见解析；(2)①；②或；(3) 【详解】（1）①，， ，，，，故答案为：，； ②点和点如图所示， （2）解：①由（1）可得， 点表示的数为，，，，故答案为：； ②第一种情况：当点到达点之前时， 此时，，，，，，解得； 第二种情况：当点到达点后，返回点时，此时，， ，，，解得；综上，的值为或； （3）解：，∴设点速度为，点速度为， 设运动时间为，则，，即，， （点的运动路程）， ．故答案为：． 【典例4】（25-26七年级上·江苏连云港·期中）伴随着连淮扬镇铁路淮镇段的首发运行，世界首座高速铁路悬索桥——五峰山长江大桥正式开通运营.如图，点O为原点，向右为正方向.甲动车位于处，向右行驶.乙动车位于处，向左行驶.五峰山长江大桥主桥为；甲、乙两动车长度相等，速度均为米/秒.表示的数分别是，且满足. (1)______，间的距离是______米，间的距离是______米；(2)从此刻开始算起，甲动车A处有个在座位上的乘客记为点M，求甲动车行驶多少秒时，点M到点C的距离等于米？(3)从此刻开始算起，甲动车A处有个在座位上的乘客记为点M，求甲动车行驶多少秒时，点M到点B的距离与点M到点C的距离之和等于米？(4)两车同时运行，若甲动车A处的乘客记为点M，向右走，速度为2米/秒、乙动车处于中点位置的座位上的乘客记为点N，乘客M从车尾走到车头的过程中是否存在一段时间t，恰好同时在五峰山长江大桥上？如存在，请直接写出t的值. 【答案】(1) ；；(2)秒或秒(3)秒或秒(4) 【详解】（1）解：∵ ∴， ，;∴ ，， ∵甲、乙两动车长度相等;∴ （米） ;（米）故答案为：100，1400，1600； （2）解：（米），（米）（秒）（秒） 答：甲动车行驶秒或秒时，，点M到点C的距离等于米． （3）解：分两种情况，当点M在点B左侧时； （米）;（米）;（米）;（秒） 当点M在点C右侧时； （米）;（米）;（米）;（秒） 答：甲动车行驶秒或秒时，点M到点B的距离与点M到点C的距离之和等于米． （4）解：存在；乘客M到达点B的时间为： （秒） 乘客M到达点C的时间为：（秒） 乘客N到达点C的时间为：（秒） 乘客N到达点B的时间为：（秒） ，;（秒）;故的值为：； 模型常见易错点 1）忽略时间取值范围； 2）动点运动方向公式记反； 3）两点距离直接大数减小数，忘记绝对值； 4）双动点运动未分类讨论； 5）最值问题忽略动点运动区间限制； 6）混淆相遇与追及核心条件。 解题方法总结 1）单动点问题通用解题步骤 适用题型：单点动态位置、距离定值、静态求值问题 步骤1：设时间为；步骤2：根据运动方向，用t表示动点对应数值（右加左减）；步骤3：根据距离公式、题干条件列绝对值方程/整式方程；步骤4：解方程，舍去t＜0的无效解，规范作答。 模板二：双动点相遇追及通用解题步骤 适用题型：双动点同向、相向运动，相遇、追及、相距定值问题 步骤1：设运动时间t，分别表示两个动点t时刻的对应数；步骤2：根据题意列等式：相遇/追及→位置相等；相距定值→距离绝对值等于定值；步骤3：解方程，分类讨论相遇前、相遇后两种情况；步骤4：结合t≥0筛选有效解。 模板三：动点最值与存在性压轴步骤 适用题型：动点结合绝对值最值、参数取值、存在性判断 步骤1：代数表示动点位置，列出动态绝对值表达式；步骤2：套用绝对值和/差最值模型结论；步骤3：结合t的取值范围，验证最值可取性、条件存在性；步骤4：总结最值结果或存在性结论。 1．（25-26七年级上·广东深圳·校考期中）如图，已知两点在数轴上，点表示的数为，，点以每秒个单位长度的速度从点向右运动．点以每秒个单位长度的速度从点向左运动（点、点同时出发）．经过几秒，点、点分别到原点的距离相等？（　　） A．5秒 B．5秒或者4秒 C．5秒或秒 D．秒 【答案】C 【详解】解：点表示的数为，∴，∵，则，∴点表示的数为， ∵点以每秒个单位长度的速度从点向右运动，点以每秒个单位长度的速度从点向左运动（点、点同时出发），∴点从点到点的时间为：秒；点从点到点的时间为：秒；点从点到点的时间为：（秒）；根据题意，设经过秒， ∴点表示的数为：，点表示的数为：， 第一种情况，点在原点左边，点在原地右边， ∴，，且∴，解得，； 第二种情况，点都在原点左边， ∴，，且，∴，解得，； 第三种情况，当点在原点右边时，运动时间大于秒，则点在点坐标，不存在； 综上所述，当秒或秒时，点、点分别到原点的距离相等，故选：C ． 2．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）如图，在数轴上，点表示的数为，．若点以每秒个单位长度的速度从点向右运动，同时点以每秒个单位长度的速度从点向左运动，经过秒，，两点之间的距离为，则的值为（   ） A．6 B．9 C．6或9 D．9或12 【答案】C 【详解】解：∵点表示的数为，，∴，∴点表示的数为， 设经过秒，则点P表示的数为，点Q表示的数为， 当，相遇前，可得，解得：； 当，相遇后，可得，解得：；综上，t的值为6或9；故选：C． 3．（25-26七年级上·江苏·期中）定义：数轴上的三个点，若其中一个点与其它两个点的距离满足2倍关系，则称该点是其它两个点的“友好点”，这三点满足“友好关系”，已知数轴上点A，B表示的数分别为，2，点C从点B出发，沿数轴的负方向运动，在运动过程中，使A，B，C三点满足“友好关系”的点C表示的数值的和是 . 【答案】 【详解】解：设点C表示的数为x，当点C在点A和点B之间时， 若，则，解得； 若，则，解得； 若，则，解得； 当点C在点A的左侧时， 若，则，解得； 若，则，解得； 若，则，解得； ∴点C表示的数值的和是,故答案为：． 4.（25-26七年级上·福建泉州·阶段练习）已知，A、在数轴上对应的数分别用、表示，且，是数轴上的一个动点．动点从原点开始第一次向右移动1个单位长度，第二次向左移动3个单位长度，第三次向右移动5个单位长度，第四次向左移动7个单位长度，．点在移动过程中，第 次移动与点A重合． 【答案】15 【详解】第一次移动P的对应点表示的数为， 第二次移动点P所得的对应点表示的数为， 第三次移动点P所得的对应点表示的数为， 第四次移动点P所得的对应点表示的数为， 第五次移动点P所得的对应点表示的数为， 第六次移动点P所得的对应点表示的数为， 第n次移动点P所得的对应点表示的数为， 观察发现：当n为奇数时，点P对应的数为奇数n；当n为偶数时，点P对应的数为偶数， ∵，，且， ∴，解得∴点A表示的数是15，点B表示的数是， ∴当仅当时，点表示的数为15，第15次移动点P所得的对应点P与点A重合． 5．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）已知动点A从原点O出发沿数轴向左运动，同时动点B也从原点出发沿数轴向右运动，动点A的速度为每秒1个单位长度，动点B的速度为每秒2个单位长度，5秒后动点B调转方向向左运动，A、B两点的速度仍保持不变，则 秒后A、B、O三点中一点到另两个点的距离相等． 【答案】或10或或20 【详解】解：设运动时间为t秒． 当时，点A表示的数为，点B表示的数为，点O在线段上（不包含顶点）， ∴，∴不存在的情况； 当时，点A表示的数为，点B表示的数为，点O在线段上（不包含顶点），∴，根据题意得：，解得：； 当时，点B，O重合，此时； 当时，点A表示的数为，点B表示的数为，点B在线段上（不包含顶点），∴，，根据题意得：，解得：； 当时，点A，B重合，此时； 当时，点A表示的数为，点B表示的数为，点A在线段上（不包含顶点）， ∴，，∴不存在的情况． 综上所述，当或10或或20时，A、B、O三点中一点到另两个点的距离相等． 故答案为：或10或或20． 6．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）【知识准备】若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为．（1）在一条数轴上，O为原点，点对应的数为，点对应的数为，且有，则的中点N所对应的数为_____． 【问题探究】（2）在（1）的条件下，若点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时点Q从点D出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动．设运动时间为秒，为何值时，的中点所对应的数为1？ 【拓展延伸】（3）若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为靠近点A的三等分点，则我们有三等分点公式：点M对应的数为；若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为最靠近点A的四等分点，则我们有四等分点公式：点M对应的数为． 填空：若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的等分点，则我们有等分点公式：点M对应的数为_____．（其中n为正整数） 【答案】（1）；（2）；（3）； 【详解】解：（1）∵，∴，，解得：，， ∴点对应的数为，点对应的数为，∴的中点N所对应的数为； （2）由（1）知，，，则点所对应的数为，点所对应的数为． 则中点所对应的数为，解得：． （3）∵数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的等分点， ∴点M对应的数为． 7．（25-26七年级下·广东汕头·期中）综合与实践：如图，实数、、在数轴上表示的点分别是点A、B、C，且、、满足． (1)直接写出、、的值；(2)若点沿数轴向左以每秒1个单位的速度运动，点和点沿数轴向右运动，速度分别是2个单位/秒、3个单位/秒．设运动时间为（秒）．试探究：的值是否随着时间的变化而变化？若不变化，求这个不变的值；若变化，求这个值的变化范围；(3)若点沿数轴向右以每秒1个单位的速度运动，点和点沿数轴向左运动，速度分别是2个单位/秒、3个单位/秒．设运动时间为（秒）．是否存在某一时刻，满足点和点之间的距离是点和点之间的距离的？若存在，直接写出时间的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，，(2)值不随着时间的变化而变化，始终(3)存在，或 【详解】（1）解：依题意，．所以； （2）解：秒后，点始终在点的左侧，∴， 点始终在点的右侧，∴， ∵是定值， ∴的值不随着时间的变化而变化，始终， （3）解：∵点A沿数轴向右以每秒1个单位的速度运动，点和点沿数轴向左运动，速度分别是2个单位/秒、3个单位/秒，∴秒后A表示的数为，表示的数为，表示的数为， 当A、相遇时，，解得，当、相遇时，，解得， ∴当时，，， ∵，，解得； 当时，，， ∵，∴，解得； 当时，，， ∵，∴，解得，舍去； 当时，，解得（舍弃）．故答案为：或． 8．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在数轴上A点表示数，B点表示数b，C点表示数7，b是最小的正整数， (1)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则折痕与数轴交点对应的点是________，并且点B与数________对应的点重合；(2)若点A、B、C是数轴上的动点，点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B以每秒2个单位向右运动，点C以4个单位长度的速度向右运动，点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，求的值. 【答案】(1)，4(2)12 【详解】（1）解：∵将数轴折叠，使得A点与C点重合，在数轴上A点表示数，C点表示数7， ∴，∴则折痕与数轴交点对应的点是， ∵B点表示数b，b是最小的正整数，∴，则， ∴点B与数4对应的点重合，故答案为：，4； （2）解：依题意，秒钟后，点表示，点表示，点表示， ，，， 故的值不变，其值为12． 9．（25-26七年级上·湖南长沙·阶段练习）平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化，而一个动点在数轴上的移动是初中数学的一个难关. (1)平移运动：把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动个单位长度，再向正方向移动个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是_____． A．     B． C．     D． (2)翻折变换：①若折叠纸条，表示的点与表示的点重合，则表示的点与表示______的点重合． ②若数轴上、两点之间的距离为（在的左侧，且折痕与①折痕相同），且、两点经折叠后重合，则点表示_____，点表示_____． (3)动点移动：如果、对应的数分别为、，点P为数轴上一动点，当点P以每秒个单位长的速度从数轴的原点出发，几秒后可使？ 【答案】(1)D(2)①；②，(3)秒或秒时，可使 【详解】（1）解：∵笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动个单位长度，再向正方向移动个单位长度，∴笔尖的位置表示什么数为．故选：D． （2）①∵表示的点与表示的点重合，∴折叠的中点表示的数为， ∵，，∴表示的点与表示的点重合．故答案为： ②∵数轴上、两点之间的距离为（在的左侧，且折痕与①折痕相同）， ∴折叠中间点表示的数为， ∵、两点经折叠后重合，∴点表示的数为，点表示的数为． 故答案为：， （3）设运动时间为，∵，∴在点左侧，或在点右侧， ①当点向左运动时，∵、对应的数分别为、，点P以每秒个单位长的速度从数轴的原点出发， ∴点表示的数为，∴，， ∵，∴，解得：． ②当向左运动时，∵、对应的数分别为、，点P以每秒个单位长的速度从数轴的原点出发， ∴点表示的数为，∴，∴，解得：． 综上所述：秒或秒时，． 1．（25-26七年级上·山东·校考期中）如图所示，数轴上O，A两点的距离为8，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处，按照这样的规律继续跳动到点，，，…，（，n是整数）处，问经过这样2023次跳动后的点与的中点的距离是 ． 【答案】 【详解】解：由题意可得，点A1表示的数为，点A2表示的数为， 点A3表示的数为，…，点表示的数为， ∴点表示的数为. ∵的中点表示的数为，∴2023次跳动后的点与的中点的距离是：.故答案：． 2．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）数轴上点A表示．点B表示6，点C表示12，点D表示18．如图，将数轴在原点O和点B、C处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离．例如．点A和点D在折线数轴上的和调距离为个单位长度，动点M从点A出发．以4个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动．从点O运动到点C期间速度变为原来的一半，过点C后继续以原来的速度向终点D运动，点M从点A出发的同时，点N从点D出发，一直以3个单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点A运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动，设运动的时间为t秒． (1)当秒时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为 ；(2)当 时，M、N两点在折线段上相遇；(3)当 时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度；(4)当t为几秒时，M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等？（请写出解题过程） 【答案】(1)(2)(3)或．(4)为秒或秒时 【详解】（1）解：当秒时，点表示的数为，点表示的数为， ，故答案为：． （2）解：当点运动到点时，，当点运动到点时，（秒）， 当点运动到点时，，当点运动到点时，（秒）， 当点、都运动到折线段上时，即， ∴点表示的数为，点表示的数为； ∴、两点间的和谐距离；、两点间的和谐距离； 当、两点相遇时，，解得，故答案为：； （3）解：由（2）可得当、两点相遇前相距4，则，解得： 相遇后相距4，则，解得：；故答案为：或． （4）解：当点在上即时，点表示的数为，点表示的数为， 依题意得，解得不合题意，舍去； 当点在折线段上，即时，点表示的数为，点表示的数为， 题意得，或，解得或； 当点在上，即时，点表示的数为，点表示的数为，则点在点的左侧，依题意得，解得不合题意，舍去； 综上，当为秒或秒时，、两点在折线数轴上的和谐距离与、两点在折线数轴上的和谐距离相等． 3．（25-26七年级上·陕西安康·期中）如图，在数轴上点A，B，C分别表示的数为a，b，c．已知a，b分别是多项式的次数和常数项，c是单项式的系数． (1)填空：______，______，______；并在数轴上标出原点O； (2)若动点M，N分别从点A，B同时出发沿数轴向左运动，点M的速度是每秒2个单位长度，点N的速度是每秒1个单位长度，求运动几秒后，点M可以追上点N？ (3)若动点P从原点O出发，以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动．设运动的时间为t秒，当点Q到原点O的距离为3时，求点P表示的数． 【答案】(1)5，，(2)运动7秒后，点M可以追上点N(3)或 【详解】（1）解：a，b分别是多项式的次数和常数项，c是单项式的系数， ，，，故答案为：5，，； （2）解：设运动秒后，点M可以追上点N，根据题意得：，解得：， 运动7秒后，点M可以追上点N； （3）解：当点Q由点A向点O运动时， ，，解得：，此时点P表示的数是； 当点Q由点O向点A运动时，，，解得：， 此时点P表示的数是；综上所述，点P表示的数是或 4．（24-25七年级上·重庆九龙坡·期末）如图，已知数轴上点表示的数为，是数轴上在原点左侧的一点，且A，两点间的距离为．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．(1)点运动到线段的中点时，它所表示的数是_____． (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．点在数轴上表示的数为，动点从点出发，沿数轴向右匀速运动，动点，，同时出发． ①当点运动多少秒时，点追上点？②动点、运动到点时则立即返回以原速度向点运动，动点运动到点时又立即以原速度向点运动，点不停地以原速度往返于点与点之间．当动点运动到秒时，动点、、三点同时停止运动，则点运动多少秒时，点与点间的距离为个单位长度? 【答案】(1)(2)（2）①当点运动秒时，点追上点；②点运动秒或秒或秒或秒时，点与点间的距离为个单位长度 【详解】（1）解：数轴上点表示的数为，是数轴上在原点左侧的一点，且A，两点间的距离为， 点表示的数为：，点运动到线段的中点时，它所表示的数是，故答案为：； （2）解：①根据题意得，解得：，当点运动秒时，点追上点； ②，（秒）， 当时，点在点右侧，点与点间的距离为个单位长度，，解得：； 点在点左侧，点与点间的距离为个单位长度，，解得：；（秒）， 当时，，解得：；，（秒）， 当点，运动秒时，点运动到点， 此时点运动到的点表示的数为， 当时，，解得：； 综上，点运动秒或秒或秒或秒时，点与点间的距离为个单位长度． 5．（25-26七年级上·湖北黄石·期末）已知数轴上两点对应的数分别为，且满足，点对应的数为20．(1)求的值；(2)若点从点出发，以每秒2个单位长度向轴正半轴运动，求运动时间为多少时，点到点的距离是点到点距离的2倍； (3)若动点、分别从、同时出发向右运动，点P的速度为2个单位长度/秒，点的速度为1个单位长度/秒．点运动到点立刻原速返回，到达点后停止运动．点运动至C点处又以原速返回至A点，一直这样在之间做往返运动，当点Q停止运动后，点P随之停止运动．求在整个运动过程中，两点同时到达的点在数轴上表示的数． 【答案】(1) (2)运动时间为6秒或2秒时，点P到点A的距离是点P到点B距离的2倍 (3)相遇点表示的数为8或16 【详解】（1）解：∵，， ∴，∴，∴； （2）解：由（1）得点A表示的数为，点B表示的数为2， 设点P的运动时间为t秒，则点P表示的数为，∴， ∵点P到点A的距离是点P到点B距离的2倍，∴， ∴或，解得或， ∴运动时间为秒或秒时，点P到点A的距离是点P到点B距离的2倍； （3）解：设运动时间为x秒，秒，秒， ∴点P第一次到达点C需要12秒，点Q到达点C需要18秒，点P第一次返回A的时间为24秒，点Q返回B的时间为36秒， 当点P没有到达点C时，则点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴，解得，∴此时相遇点表示的数为； 当点P第一次到达点C后，点Q未到点C时，则点P表示的数为，点Q表示的数为，∴，解得，∴此时相遇点表示的数为； 当点P第一次返回点A时，点Q未到点B时，则点P表示的数为，点Q表示的数为，∴，解得，∴此时相遇点表示的数为； 综上所述，相遇点表示的数为或． 6．（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图，数轴上有A，B，C三点，点表示的数为60，点在点的左侧且，点A，B表示的数互为相反数．数轴上有一动点从点出发，以5个单位/秒的速度向左沿数轴运动，设运动时间为秒． (1)点表示的数是__________：点表示的数是__________． (2)当为何值时，？ (3)若点，点，点与点同时在数轴上运动，点和点分别以2个单位/秒和1个单位/秒的速度向右运动，点以4个单位/秒的速度向左运动．请问：是否存在某一时段，使的值为一个定值？若存在，请求出这个定值及对应的的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；10(2)或时，(3)存在，当时，其值为定值，此定值为360 【详解】（1）解：点表示的数为60，点在点的左侧且，点B表示的数是， 又点A，B表示的数互为相反数，点A表示的数是，故答案为：，10； （2）解：点表示的数为，点表示数为，点表示数为10， ，， ，，或．答：或时，． （3）解：，，，， ，，， ． 当时，其值为， 当时，其值为360， 当时，其值为， 当时，其值为定值，此定值为360． 7．（25-26七年级上·广东惠州·期中）如图，在数轴上点A，B表示的数分别为a，b，且，点为原点． (1)请直接写出______，_____，A，B两点之间的距离为_____； (2)一动点P从A出发，以每秒2个单位长度向左运动，一动点Q从B出发，以每秒3个单位长度向左运动，设运动时间为t（秒）．①试探究：P，Q两点到原点的距离可能相等吗？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由；②若动点Q从点B出发后，到达原点O后保持原来的速度向右运动，当点Q在线段上运动时，分别取和的中点E，F，试判断的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)，9，12(2)①或12；②的值是一个定值，为2 【详解】（1）解：∵，∴， ∴，∴A，B两点之间的距离为； （2）解：①∵若动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从出发，以每秒3个单位长度向左运动， ∵点A表示的数为，点B表示的数为9，∴运动t秒后P点对应的数为，Q点对应的数为， ∴，， 当时，，解得或12， 答：点P的运动时间t为或12秒； ②的值是一个定值，理由如下：当点Q运动到线段上时，中点E表示的数是 ， 当Q从B向O运动时，中点F表示的数是， 则，所以； 当Q从O向B运动时，Q点对应数为，中点F表示的数是， 则，所以；故的值是一个定值，为2． 8．（25-26七年级上·重庆石柱·期中）已知，、、三点在数轴上的位置如图所示，这三点对应的数分别、、，点为原点，如果，与是同类项，线段的中点是． (1)直接写出、、的值，则有：_______，_________，_______． (2)动点、分别从点、同时出发，点以每秒3个单位长度向右运动，点以每秒2个单位长度向左运动，运动时间为秒，当和相距5个单位长度时，求的值． (3)点、从各自的位置出发在数轴上运动，若点以每秒2个单位长度的速度向左运动，点以每秒4个单位长度的速度向右运动，在运动过程中，若将线段沿着原点向右翻折，使点落在数轴的正半轴上的点处，若线段和线段的其中一段为另一段的2倍，请求出这时点表示的数． 【答案】(1)；1；18(2)或(3) 【详解】（1）解：∵，∴或，∵点A在原点左侧，∴，∴， ∵与是同类项，∴，∴，∵线段的中点是，∴，∴； （2）解：∵点以每秒3个单位长度向右运动，点以每秒2个单位长度向左运动，运动时间为秒， ∴点P表示的数为，点Q表示的数为， 根据题意得：或解得：或， 即当和相距5个单位长度时，的值为或． （3）解：设运动时间为x秒，则x秒后，点A表示的数为，点表示的数为，点B表示的数为， 当时，，解得：,（负数不符合题意舍去）， 此时点A表示的数为：；当时，， 解得：，不符合题意舍去； 综上分析可知：线段和线段的其中一段为另一段的2倍时，点表示的数为． 9．（25-26七年级上·浙江·期中）平移和翻折是初中数学两种重要的图形变换 (1)平移运动：①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动4个单位长度，再向正方向移动1个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是 ． A． B． C． D． ②一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳2022次时，落在数轴上的点表示的数是 ． (2)翻折变换：①若折叠纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示2022的点与表示 的点重合； ②若数轴上A、B两点之间的距离为2022（A在B的左侧，且折痕与①折痕相同），且A、B两点经折叠后重合，则A点表示 ，B点表示 ． ③一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是、8，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A对应的点落在点B的右边，并且，求点C表示的数． 【答案】(1)①D；②1011(2)①；②，1012；③ 【详解】（1）解：①根据移动过程可得：，故选：D． ②∵， ∴当机器人跳次2022时，落在数轴上的点表示的数是；故答案为：； （2）解：①∵表示的点与表示3的点重合，∴折痕处的点表示的数为， 设表示2022的点与表示x的点重合，则，解得：， ∴表示2022的点与表示重合；故答案为： ； ②∵数轴上A、B两点之间的距离为2022，A、B两点到折痕1处的距离都是1011， ∴B点表示数为1012，A点表示的数为；故答案为：，1012； ③根据题意可知点表示的数为， ∵点A、表示的数分别是、10，点C为折点，∴点C表示的数：． 10．（24-25七年级上·湖南怀化·期末）如图，在数轴上有A、B、C三点，分别表示有理数a，b，c，且a，b，c满足式子；如图：动点P从点A出发，以2个单位/秒的速度一直向右运动，点P运动5秒后，长度为6个单位的线段（M为线段左端点且与点B重合，N为线段右端点）从B点出发以3个单位/秒的速度向右运动，当点N到达点C后，线段立即以同样的速度返回向左运动，当点M到达点B后线段再以同样的速度向右运动，如此往返．设点P运动时间为t秒． (1)求a，b，c的值；(2)当　 　秒时，点P与点C重合，并求出此时线段上点N所表示的数； (3)记线段的中点为Q，在运动过程中，当点P与点Q的距离为1个单位时，求t的值． 【答案】(1)，，14(2)22，11(3)或15 【详解】（1）解：∵，，，， ∴，，，∴，，， ∴，，； （2）解：当秒时，点P与点C重合， ∵A所表示数为，C所表示数为14，∴， ∴点P从A运动到点C所用时间为：（秒），故答案为：22； 线段的运动时间为（秒）， 线段从B运动到C所用时间为：（秒）， ∵数轴上点N起始位置所表示数为：， ∴线段运动17秒后，点N所表示数为：； （3）解：点Q的起始位置所表示数为：； 在运动过程中：点P所表示数为：， ①当，即时，点Q第一次由B向C运动， 点Q所表示数为：，， 解得（舍去）或（舍去）； ②当，即时，点Q第一次由C向B运动， 点Q所表示数为：，即：，解得或； ③当，即时，点Q第二次由B向C运动， 点Q所表示数为：，，解得（舍去）或（舍去）， 综上所述：t的值为或15． 1．（25-26七年级上·浙江金华·期中）一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向以每前进步后退步的程序运动．设该机器人每秒前进或后退步，且每步的距离都是个单位长度，表示第秒时机器人在数轴上的位置所对应的数．则下列结论：；；；，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意每前进步后退步的程序运动则有 ，，，，， ，，，，， ，，，，，，故正确，正确； 由上可知，“前进步后退步”这秒组成一个循环结构， 第个循环第个数；第个循环第个数； 第个循环第个数；第个循环第个数； 第个循环第个数，第个循环第个数，…… 第个循环第个数，第个循环第个数， ∵，∴在第个循环第个数， ∵，∴，，，故正确； 由上规律可得：∵，∴，∴， ∴，故正确，综上可知：正确，故选：． 2．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）定义：若，，为数轴上三点，若点到点的距离是点到点的距离倍，我们就称点是【，】的美好点．若规定、两点之间的距离为，即当时，我们称点是【，】的美好点． 例如：如图，点表示的数为，点表示的数为．表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点是【，】的美好点；又如，表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点就不是【，】的美好点，但点是【，】的美好点． 如图2，，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为． (1)点，，表示的数分别是，，，其中是【，】美好点的是；写出【，】美好点所表示的数是______． (2)现有一只电子蚂蚁从点开始出发，以个单位每秒的速度向左运动．请你写出当为何值时，，和中恰有一个点为其余两点的美好点？ 【答案】(1)；或(2)，，，，， 【详解】（1）解：根据美好点的定义，，，，只有点G符合条件，故答案是：． 结合图，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点的距离是到点的距离倍的点，点N的右侧不存在满足条件的点，点M和之间靠近点一侧应该有满足条件的点，进而可以确定符合条件．点的左侧距离点M的距离等于点和点的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是． 故答案为：或； （2）解：根据美好点的定义，，和中恰有一个点为其余两点的美好点分种情况， 第一情况：当为【，】的美好点，点在，之间，如图， 当时，则， 因此秒； 第二种情况，当为【，】的美好点，点在，之间，如图2， 当时，则，因此秒； 第三种情况，为【N，M】的美好点，点在左侧，如图3， 当时，则，因此秒； 第四种情况，M为【P，N】的美好点，点在左侧，如图4， 当时，则，点对应的数为，因此秒； 第五种情况，M为【N，P】的美好点，点在左侧，如图5， 当时，则，点对应的数为，因此秒； 第六种情况，M为【N，P】的美好点，点在，左侧，如图， 当时，则，因此秒； 第七种情况，为【，】的美好点，点在左侧， 当时，则，因此秒， 第八种情况，N为【M，P】的美好点，点在右侧， 当时，则，因此秒， 综上所述，的值为：，，，，，． 3．（25-26七年级上·四川乐山·期中）已知两点在数轴上，与互为相反数，点表示的数是，且．      (1)点表示的数为______；(2)如图1，当点位于原点的同侧时，动点分别从点处在数轴上同时相向而行，动点的速度是动点的速度的1.5倍，4秒后两动点相遇，当动点到达点时，运动停止．在整个运动过程中，当　　秒，使得两点的距离为5； (3)如图2，当点位于原点的异侧时，动点分别从点处在数轴上向右运动，动点比动点晚出发1秒；当动点运动2秒后，动点到达点处，此时动点立即掉头以原速向左运动3秒恰与动点相遇；相遇后动点又立即掉头以原速的2倍向右运动6秒，此时动点到达点处，动点到达点处，当时，求动点的原速和运动的速度． 【答案】(1)11或(2)的值为2或6；(3)动点运动的速度为；动点的原速为或 【详解】（1）解：与互为相反数，．设点表示的数为， 点表示的数是，且，，或．故答案为：11或； （2）解：在整个运动过程中，存在某个时刻（秒），使得，两点的距离为5，的值为2或6．理由： 当点、位于原点的同侧时，，．设动点的速度为，则动点的速度是， 秒后两动点相遇，，． ，两点运动（秒）后，使得，两点的距离为5，或，解得：或6． 在整个运动过程中，存在某个时刻（秒），使得，两点的距离为5，的值为2或6； （3）解：动点比动点晚出发1秒，当动点运动2秒后，动点到达点处，此时动点立即掉头以原速向左运动3秒恰与动点相遇， ，两点在点处相遇，此时点的运动时间为5秒，距离为10，运动的速度为； 设动点的原速为，则，， 由题意得：，，或．动点的原速为或． 4．（25-26七年级上·深圳·校考期末）将自然界的事物或现象进行“抽象”与“理想化”是科学研究的重要手段． 【阅读材料】“碰撞”在生活中无处不在，其中“弹性碰撞”是一种没有任何能量损失的碰撞，属于碰撞中的一种“理想情况”．科学家们经过研究发现，两个完全一样的物体相向运动时，如果发生弹性碰撞，会立即反向运动，且速度大小互换．例如：甲木块以的速度自西向东运动，乙木块以的速度自东向西运动，二者发生弹性碰撞后，甲木块立即变为以的速度自东向西运动，乙木块立即变为的速度自西向东运动．如果完全一样且同向运动的物体发生弹性碰撞，则运动方向不变，仅速度大小互换． 【情境呈现】如图1，在一个长的轨道上，两个小铁球分别以、的初始速度从轨道两端沿直线相向运动，发生碰撞后，两个小铁球均反向运动，最终分别从左右两端离开轨道．如图2，若在轨道右侧添加一挡板后，小球与挡板碰撞后会反弹，最后两个小球都会从左侧离开轨道． 【情境转化】为便于研究，我们可以将上述过程进行“抽象”与“理想化”：两小球完全一样且体积忽略不计，可以看作两个点，小球运动速度只会因为碰撞而发生改变，小球与小球的碰撞为“弹性碰撞”，小球与挡板碰撞后立即以原速度反向运动．由此，我们可以使用数轴来表示轨道，数轴上点的运动来表示小球的运动．如图3建立数轴，点从原点点出发，沿正方向以4个单位长度的速度匀速运动，点从点出发，沿负方向以1个单位长度的速度匀速运动．若点运动到线段之外，则认为小球离开轨道．已知． 【问题解决】若两小球（、两点）同时出发，、两点在轨道上的运动时间分别为、秒，请回答以下问题：(1)如图3，两小球第一次相遇时，_____．根据计算，我们可以得知点代表的小球会先从右侧离开轨道，则它离开轨道的瞬间，_____． (2)如图4，在点所在位置放置挡板，则点代表的小球在到达点后会立即反向运动，速度不变．请求出两小球第二次相遇时的值．(3)在（2）的条件下，将轨道沿射线的方向进行延长，设延长至点，如图5，则需要延长多少个单位长度（即的长度为何值时），才能使得？ 【答案】(1)4；5(2)(3)需要延长个单位长度，才能使得 【详解】（1）解：两小球第一次相遇时，； 此时，点代表的小球的路程为个单位长度； 此后，点代表的小球沿正方向以4个单位长度每秒的速度运动，点代表的小球沿负方向以1个单位长度每秒的速度匀速运动；∴秒后，点代表的小球会先从右侧离开轨道； 故点代表的小球会先从右侧离开轨道，则它离开轨道的瞬间，；故答案为：4；5 （2）解：由（1）得：秒后，点代表的小球到达点，此时，、两点相距：个单位长度；此后，点代表的小球沿负方向以4个单位长度每秒的速度运动； 经过秒后，两小球第二次相遇；∴； （3）解：由（2）得：两小球第二次相遇时，，且此时两小球距离点个单位长度； ∴两小球距离点个单位长度；此后，点代表的小球沿负方向以个单位长度每秒的速度运动，点代表的小球沿负方向以个单位长度每秒的速度匀速运动； 设，则， 若，则，解得； ∴需要延长个单位长度，才能使得 5．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）如图，已知数轴上两点A、B对应的数分别为a、b，，且．动点P从点B出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒（）．    (1)写出数轴上点A表示的数为________，点B表示的数为________，点P表示的数为________（用含t的式子表示）；(2)动点Q从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动，动点M从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，且点P，Q，M同时出发．①当t为何值时，点P、Q两点到原点的距离相等？②式子的值不随时间t的变化而变化，请求出m的值． 【答案】(1)，12，(2)①或；②4 【详解】（1）解：因为，所以，解得：， 所以点A表示的数为，点B表示的数为12． 因为动点P从点B出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，且运动时间为t秒， 所以点P表示的数为； （2）解：①由题意可知点Q表示的数为， 因为点P、Q两点到原点的距离相等，所以，解得：或， 故当或时，点P、Q两点到原点的距离相等； ②由题意可知点M表示的数为，所以． 因为， 所以． 因为式子的值不随时间t的变化而变化，所以，解得：． 6．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知：数轴上有，，三点 (位置如图所示) ，点和点相距个单位长度且点，表示的有理数互为相反数，点A和点C相距个单位长度，数轴上有一动点从点出发，以2个单位秒的速度向右沿数轴运动，设运动时间为秒． (1)点表示的有理数是 ，点表示的有理数是 ，点表示的数是 （用含的式子表示）． (2)当、两点之间相距10个单位长度时，求t的值． (3)若点A、点和点与点同时在数轴上运动，点以1个单位秒的速度向左运动，点和点分别以3个单位秒和4个单位秒的速度向右运动，若两点间的距离用表示两点的大写字母表示，如： 点 A，P两点间的距离表示为，是否存在常数，使得为一个定值，若存在，请求出值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，(2)或(3)存在，，定值为 【详解】（1）解：设点表示的数为，则点表示的数为， 点和点间距个单位长度，，解得， 点表示的有理数是；点表示的有理数是， ，点表示的有理数是， 动点从点出发，以2个单位长度秒的速度向右沿数轴运动，运动时间为秒， 点表示的数是，故答案为：，，； （2）解：当点在点左边时，， 、两点之间相距个单位长度，，解得， 当点在点右边时，， 、两点之间相距个单位长度，，解得， 当或秒时，、两点之间相距个单位长度， （3）解：存在常数，使得为一个定值， 理由如下：由题意可知，点表示的数为；点表示的数为；点表示的数为， ，，， ， 要使得为一个定值，，解得， ，，这个定值为． 7．（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，数轴上有两条线段和（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧），线段的长度为6个单位长度，线段的长度为4个单位长度，点B、D在数轴上表示的数分别是和14．线段同时从图中位置出发，线段以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，线段以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，运动时间为t秒．（整个运动过程中，线段和保持长度不变） (1)在运动过程中，点B表示的数是______，点C表示的数是______．（用含t的代数式表示） (2)当运动开始后，______秒时，线段与线段开始有重叠部分：______秒后，线段与线段不再有重叠部分．(3)当点C在线段AB上，且时，求t的值．(4)当点B与C相遇时，线段立即以初始速度的2倍向左匀速运动；当点B与点D相遇时，线段的速度变为初始速度的继续向左匀速运动．在整个运动过程中，线段的运动速度和方向保持不变，直接写出当时t的值． 【答案】(1)，(2)5，．(3)(4)或． 【详解】（1）解：由题意可得：在运动过程中，点B表示的数是， ∵点D在数轴上表示的数是14，线段的长度为4个单位长度， ∴点C表示，∴在运动过程中，点C表示的数是．故答案为：，． （2）解：∵线段的长度为6个单位长度，线段的长度为4个单位长度，点B、D在数轴上表示的数分别是和14，∴点A表示，点C表示，∴在运动过程中，点A表示的数是，点B表示的数是，点C表示的数是，点D表示的数是， ∵当点C和点B表示的数相同时，开始重叠，∴，解得：， ∴当时，线段与线段开始有重叠部分； ∵点D和点A表示的数相同时，开始不再有重叠部分；∴，解得：， ∴当时，线段与线段开始不再有重叠部分．故答案为：5，． （3）解：∵在运动过程中，点A表示的数是，点B表示的数是，点C表示的数是，点D表示的数是，点C在线段上，∴，， ∵，∴，解得：，∴当点C在线段上，且时，t的值为． （4）解：∵当点C和点B相遇时，即点C和点B表示的数相同时，∴，解得：， ∵当点B与点D相遇时，即点D和点B表示的数相同时， ∴，解得：，此后点C的运动每秒个单位长度向左运动， ∴当点C和点B相遇后，时点C表示的数为5，以后点C表示的数为； 当点C在点A的右侧时，， ∵，∴，解得：或不合题意舍弃； 当点B与点D相遇后，点C表示的数为 当点C在点A的右侧时，， ∵，∴，解得：符合题意或不合题意舍弃； 综上，当时，或． 8．（25-26七年级上·广东珠海·期中）如图，在数轴上有两个长方形和，这两个长方形的宽都是个单位长度，长方形的长是个单位长度，长方形的长是个单位长度，点在数轴上表示的数是5．且、两点之间的距离为个单位长度，点O是原点． (1)填空：点H在数轴上表示的数是________；点A在数轴上表示的数是________； (2)若线段的中点为，线段上一点，，点以每秒4个单位的速度向右匀速运动，点以每秒3个单位长度的速度同时向左匀速运动，设运动时间为秒，当时，求t； (3)若长方形以每秒4个单位的速度向右匀速运动，长方形以每秒2个单位的速度向右匀速运动，当两个长方形重叠部分的面积为6时，请直接写出长方形运动的时间． 【答案】(1)，(2)或；(3)长方形的运动的时间为8秒或11秒． 【详解】（1）解：由题意知，，则点H对应的有理数为：； 由于点在数轴上表示的数是5．且E、D两点之间的距离为个单位长度，， 则，所以点A表示的数为：，故答案为：，； （2）解：因，，则点M、N对应的数为、， 由题意知，它们运动秒后M、N点对应的数分别为：、， 由题意得，解得或； （3）解：设长方形运动的时间为秒， 当运动到如图时，，重叠部分面积为； 长方形运动秒后D、E点对应的数分别为：、， ∵，解得； 当运动到如图时，，重叠部分面积为； 长方形运动秒后A、H点对应的数分别为：、， ∵，解得； 综上，长方形的运动的时间为8秒或11秒． 1 / 61 学科网（北京）股份有限公司 $