专题03 线段中的双（多）中点模型（几何模型讲义）数学新教材苏科版七年级上册

专题03. 线段中的双（多）中点模型 对于刚接触几何的七年级学生来说，关于线段的计算是有很大难度的，这就要求学生面对这类题时具有一定的思路，知道大概的思考方向。一般来讲，这类题通常由问题出发，先由线段和差确定解题方向，然后辅以线段中点来解决。但是，对于有公共部分的线段双中点模型，可以写出的线段和差种类较多，这就增加了思考的难度。 如果掌握了这个模型的结论，那就可以快速选取正确的线段和差，迅速解题，如果是填空选择，则可以直接口算出答案。总之，基本模型的掌握既可以快速得出小题的答案，又可以为大题的解决确立方向。 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 2 模型1.线段的双中点模型 2 模型2.线段的多中点模型 5 易错点与方法总结 10 模型运用 11 A组（基础题） 11 B组（能力提升题） 14 C组（综合压轴题） 18 双中点模型源于对中点性质的逆向应用。线段的双中点模型是解决共线线段中点距离问题的几何工具，其核心结论为‌两个中点之间的距离等于共端点的两线段和或差的一半‌。 ‌通用公式‌：在线段AC上任取一点B（点B可以在线段上、延长线或反向延长线），分别取AB、BC的中点为M和N，则。‌ ‌应用技巧‌：在选择题或填空题中，直接利用中点模型可简化计算。该模型还可推广至‌多中点场景‌，如通过多个中点将复杂线段转化为简单比例关系。‌ 1）线段中点定义：中点将线段分为两条相等的线段，； 2）线段和差基本推理； 3）整式代数化简（去括号、合并同类项）； 4）数轴动点、线段动点问题。 模型1.线段的双中点模型 【模型提炼与证明】 1）线段的双中点模型 条件：点M、N分别为线段AB、BC的中点，结论：. 证明：①当点B在线段AC上，如图1， 图1 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM+BN，∴； ②当点B在线段AC的延长线上，如图2， 图2 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM-BN，∴； ③当点B在线段CA的延长线上 图3 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BN-BM，∴； 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级上·浙江温州·阶段检测）如图，O是线段的中点，B是上任意一点，M，N分别是，的中点，若，，则下列四个结论中，不成立的是（　　） A． B． C． D． 【典例2】（25-26七年级上·广西玉林·期末）如图，点C是线段AB上一点，AC<CB，M、N分别是AB和CB的中点，，，则线段 ．    【典例3】（25-26七年级上·山东威海·期末）如图，线段上有点M，C，B，N，且，，点M，N分别是，的中点，则的长度为（     ） A．7 B． C．8 D．无法确定 【典例4】（24-25七年级上·重庆北碚·期中）如图，在同一直线上，已知，，点，点分别是、的中点，若，则 ．    【典例5】（25-26七年级上·山东淄博·期中）如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为4，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为的中点，设运动时间为秒，则下列结论中正确的有________________． ①B对应的数是2；②点P到达点B时，；③时，；④在点P的运动过程中，线段的长度不变． 【典例6】（25-26七年级上·福建福州·期末）如图，有公共端点的两条线段组成一条折线，若该折线上一点把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点叫做这条折线的“折中点”．已知点是折线的“折中点”，则的值为（   ） A． B．2 C．3 D． 【典例7】（24-25七年级下·江苏南京·开学考试）已知点C为线段所在直线上一点，，，点E为的中点，F为的中点．则 ． 模型2.线段的多中点模型 【模型提炼与证明】 线段的多中点模型 条件：如图，点M在线段的延长线上，且线段，第1次操作：分别取线段和的中点、﹔第2次操作：分别取线段和的中点，﹔第3次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作n次，结论：． 证明：∵、是和的中点，∴，， ∴，∵、是和的中点， ∴，，∴， ∵，是和的中点，∴，， ∴，……发现规律：， 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级上·广东广州·期末）已知点为线段的中点，且，若点是线段的三等分点，则（    ）． A． B． C． D． 【典例2】（25-26七年级下·广西南宁·开学考试）如图所示，B在线段上，且，D是线段的中点，E是的三等分点且，则下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的有________． 【典例3】（24-25七年级上·浙江·期末）如图，点C是线段的中点，点N是线段的三等分点．若线段的长为12，则线段的长度是 ． 【典例4】（25-26七年级上·河北唐山·期末）如图，点在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、；第二次操作：分别取线段和的中点、；第三次操作：分别取线段和的中点、；……连续这样操作10次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和即（    ） A． B． C． D． 【典例5】（24-25七年级上·广东·期中）学习了线段的中点之后，小明利用数学软件做了n次取线段中点实验：如图，设线段，第1次，取的中点；第2次，取的中点；第3次，取的中点，第4次，取的中点；… (1)请完成下列表格数据． 次数      线段的长 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 ①______ ②________ … … … (2)小明对线段的表达式进行了如下化简： 因为，所以， 两式相加，得，所以． 请你参考小明的化简方法，化简的表达式． (3)类比猜想：_____，=_____，随着取中点次数n的不断增大，的长最终接近的值是____． 【典例6】（25-26·辽宁·七年级统考期末）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道问题产生了探究的兴趣：如图1，点C在线段AB上，M，N分别是AC，BC的中点．若AB＝12，AC＝8，求MN的长． (1)根据题意，小明求得MN＝___________；(2)小明在求解（1）的过程中，发现MN的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究． 设AB＝a，C是线段AB上任意一点（不与点A，B重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答． ①如图1，M，N分别是AC，BC的中点，则MN＝______________； ②如图2，M，N分别是AC，BC的三等分点，即，，求MN的长； ③若M，N分别是AC，BC的n等分点，即，，则MN＝___________； 模型常见易错点 1）分不清拼接型、内含型，乱用和差公式 解决：两段拼一起用和一半；一段包含一段用差一半，先看图结构，再套公式。 2）只算数、不会字母推理，题目无具体数值就不会做 解决：双中点模型核心是恒等式，不靠数值，靠倍半关系化简。 3）多层中点数错次数、指数写错 解决：第n次对半，分母一定是2n，不要写成2n。 4）点的位置不确定，忘记分类讨论 解决：题干未说明点在内部/外部，需分：点在线段上、点在线段延长线上两种情况。 解题方法总结 看图定结构：两段拼接 → 和一半；两段内含 → 差一半；多次中点 → 2n分母规律。 线段和差代换、合并化简；直接得出最终固定结论。 终极口诀： 双中点，看排布； 相接取半和，内含取半差； 多点层层半，二幂定长短。 1.（24-25七年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，点在线段上，点、分别是、的中点，设，则的长度是（   ） A． B． C． D． 2.（24-25七年级上·安徽淮南·期末）如图，点是线段上的一点且，点是的中点，点是的中点，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．无法确定 3.（24-25七年级上·重庆秀山·期末）如图，点在线段上，，是的中点，是的中点，，则的长为 ． 4.（25-26七年级上·河南焦作·期末）如图，是的中点，是的中点，下列式子中错误的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）如图，线段上有一点，且，是中点，已知长为，则长为_____． 6．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）已知数轴上的、两点对应的数字分别为、，点，同时分别从，出发沿数轴正方向运动，点的运动速度为个单位/秒，点的运动速度为个单位/秒，点是线段的中点，若运动过程中，线段的长度是一个固定的值，则______． 7.（24-25七年级上·山东青岛·期末）如图，，的中点M与的中点N的距离是，则 ． 8．（25-26七年级上·安徽阜阳·期末）如图点在线段上，线段，点，分别是，的中点．(1)若，求的长；(2)若，求的长． 1.（24-25七年级上·陕西西安·期末）如图，线段，动点P从A出发，以的速度向点B运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（   ） ①运动后，；②在点P运动过程中，值随着点P位置的变化而变化； ③当时，运动时间为． A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 2．（25-26七年级上·河南安阳·期末）有两根木条，一根长为，另一根长为，在它们的中点处各有一个小圆孔M，N（圆孔直径忽略不计，M，N可抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离是（   ） A． B． C．或 D．或 3．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，点、、、在同一射线上，，线段(点在点的左边)长度为5，线段从点与重合开始，沿射线向右运动，其速度为每秒2个单位长度，运动时间为秒．下列说法正确的是（   ） ①若，则；②若点和点均在线段上，且，则 ③若点是的中点，点是的中点，当时，或 ④若点在延长线上，点是的中点，点是的中点，为定值 A．①③ B．②④ C．③④ D．②③④ 4．（25-26七年级上·山东潍坊·期末）如图，已知线段上有任意两点C和D，，下列说法正确的是（    ）（多选题） A．若，则 B．若点C和点D是的三等分点，则 C．取的中点E，则 D．若点M为中点，点N为中点，则 5．（25-26七年级上·安徽铜陵·期末）在直线l上取A、B、C三点，使得，．如果O是线段的中点，则线段的长度为______cm． 6.（24-25七年级上·贵州六盘水·期末）如图，线段，在直线上作线段，使得，若是线段的中点，是线段的中点，则线段的长为 ． 1．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期末）如图，数轴上点表示，点表示，动点，分别从，同时出发，分别以个单位长度/秒和个单位长度/秒的速度向射线方向运动．设运动时间为秒，点为的中点，点为的中点．以下结论：①，两点之间的距离不会随着的变化而变化；②当 时，；③． 其中正确的结论是（     ） A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 2.（24-25七年级上·四川成都·期末）已知点在线段上，、分别为线段、的中点，分别为线段的中点，分别为线段的中点，，分别为线段的中点．若线段，则线段的值是 ． 3．（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）若线段上的一个点把这条线段分成两部分，则称这个点是这条线段的三等分点．如图，，C、D两点分别从A、B同时出发，以相同的速度沿射线运动．在C，D出发的同时，点E也从B出发，以某一速度沿相同方向运动；在运动过程中，当点C为的三等分点时，点E恰好为中点，此时的长为______． 4．（24-25七年级上·湖北孝感·期末）已知线段上的两点、，点为线段的中点，． (1)如图1，求线段的长；(2)如图2，点在的延长线上，点在线段上，满足，则点是否为线段的中点？请作出判断，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，，点为的中点，，求的长． 5．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）定义：若点在同一直线上，则，例如，则，如图，已知线段． (1)如图1，若点是线段的中点，则_________； (2)是直线上的两个动点，点从点出发向右运动，点从点出发向左运动；若点运动速度为，点的运动速度为，设运动时间为； ①当时，求的值；②当时，试求出可能的的值． 6．（25-26七年级上·河北衡水·期末）综合与实践 问题情境：图1为一款可伸缩自拍杆，自拍杆共三段，三段可近似看作三条线段（线段、线段和线段），长分别为，设计时为防止脱落，两段自拍杆之间有重叠． 问题探究：如图2，当自拍杆延伸至最长状态时，． （1）自拍杆延伸至最长状态时，__________．（填“”“”或“”） （2）求自拍杆延伸至最长状态时的总长度（的长）． 问题拓展：（3）如图3，固定第一段不动，收缩自拍杆第二段和第三段，使其总长度为55，此时点恰好为中点，求的长． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03. 线段中的双（多）中点模型 对于刚接触几何的七年级学生来说，关于线段的计算是有很大难度的，这就要求学生面对这类题时具有一定的思路，知道大概的思考方向。一般来讲，这类题通常由问题出发，先由线段和差确定解题方向，然后辅以线段中点来解决。但是，对于有公共部分的线段双中点模型，可以写出的线段和差种类较多，这就增加了思考的难度。 如果掌握了这个模型的结论，那就可以快速选取正确的线段和差，迅速解题，如果是填空选择，则可以直接口算出答案。总之，基本模型的掌握既可以快速得出小题的答案，又可以为大题的解决确立方向。 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 2 模型1.线段的双中点模型 2 模型2.线段的多中点模型 5 易错点与方法总结 10 模型运用 11 A组（基础题） 11 B组（能力提升题） 14 C组（综合压轴题） 18 双中点模型源于对中点性质的逆向应用。线段的双中点模型是解决共线线段中点距离问题的几何工具，其核心结论为‌两个中点之间的距离等于共端点的两线段和或差的一半‌。 ‌通用公式‌：在线段AC上任取一点B（点B可以在线段上、延长线或反向延长线），分别取AB、BC的中点为M和N，则。‌ ‌应用技巧‌：在选择题或填空题中，直接利用中点模型可简化计算。该模型还可推广至‌多中点场景‌，如通过多个中点将复杂线段转化为简单比例关系。‌ 1）线段中点定义：中点将线段分为两条相等的线段，； 2）线段和差基本推理； 3）整式代数化简（去括号、合并同类项）； 4）数轴动点、线段动点问题。 模型1.线段的双中点模型 【模型提炼与证明】 1）线段的双中点模型 条件：点M、N分别为线段AB、BC的中点，结论：. 证明：①当点B在线段AC上，如图1， 图1 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM+BN，∴； ②当点B在线段AC的延长线上，如图2， 图2 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM-BN，∴； ③当点B在线段CA的延长线上 图3 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BN-BM，∴； 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级上·浙江温州·阶段检测）如图，O是线段的中点，B是上任意一点，M，N分别是，的中点，若，，则下列四个结论中，不成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，，∴， ∵M，N分别是，的中点，∴， ，∴，故A选项正确； ∵点O是线段的中点，∴， ∴，故B选项错误；，故C选项正确； ，故D选项正确． 【典例2】（25-26七年级上·广西玉林·期末）如图，点C是线段AB上一点，AC<CB，M、N分别是AB和CB的中点，，，则线段 ．    【答案】4 【详解】由N是CB的中点，NB=5，得：BC=2NB=10．由线段的和差，得：AB=AC+BC=8+10=18． ∵M是AB的中点，∴，由线段的和差，得：MN=MB-NB=9-5=4，故答案为：4. 【典例3】（25-26七年级上·山东威海·期末）如图，线段上有点M，C，B，N，且，，点M，N分别是，的中点，则的长度为（     ） A．7 B． C．8 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据点M，N分别是，的中点得到，，从而推出得到结果． 【详解】解：M，N分别是，的中点，，， ， ，，． 【典例4】（24-25七年级上·重庆北碚·期中）如图，在同一直线上，已知，，点，点分别是、的中点，若，则 ．    【答案】 【详解】解：设，∴∴ ∵，∴，∴∴ ∵点是的中点，∴∴ ∵点是的中点，∴∴ ∴∴故答案为： 【典例5】（25-26七年级上·山东淄博·期中）如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为4，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为的中点，设运动时间为秒，则下列结论中正确的有________________． ①B对应的数是2；②点P到达点B时，；③时，；④在点P的运动过程中，线段的长度不变． 【答案】②④/④② 【详解】解：∵点A对应的数为4，且，在的左侧，∴点对应的数是，故①错误； 由题意得：，∴时，点到达点，故②正确； 分两种情况：当点在点的右侧， ，，，时，； 当点在点的左侧，，，，时，， 综上所述，时，或4，故③错误； 分两种情况：当点在点的右侧，∵分别为的中点，， ， 当点在点的左侧，∵分别为的中点，∴， ， ∴在点的运动过程中，线段的长度不变，故④正确．所以，上述结论中正确的是②④． 【典例6】（25-26七年级上·福建福州·期末）如图，有公共端点的两条线段组成一条折线，若该折线上一点把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点叫做这条折线的“折中点”．已知点是折线的“折中点”，则的值为（   ） A． B．2 C．3 D． 【答案】B 【详解】解：∵是折线的“折中点”，∴点将折线分成的两部分长度相等，均为． 分两种情况讨论：①当点在线段上时，如图：此时从到的距离为，则， ∵，∴， ∴，∴； ②当点在线段上时，如图，此时从到的距离为，则， ∵，∴， ∴，∴．综上所述，的值为2． 【典例7】（24-25七年级下·江苏南京·开学考试）已知点C为线段所在直线上一点，，，点E为的中点，F为的中点．则 ． 【答案】或 【详解】解：∵点E，F分别是线段，的中点，且线段，线段， 当点C在点B的右侧时，如图1所示，∴，∴，    当点C在点B的左侧时，如图2所示，∴，∴，    故答案为：或． 模型2.线段的多中点模型 【模型提炼与证明】 线段的多中点模型 条件：如图，点M在线段的延长线上，且线段，第1次操作：分别取线段和的中点、﹔第2次操作：分别取线段和的中点，﹔第3次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作n次，结论：． 证明：∵、是和的中点，∴，， ∴，∵、是和的中点， ∴，，∴， ∵，是和的中点，∴，， ∴，……发现规律：， 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级上·广东广州·期末）已知点为线段的中点，且，若点是线段的三等分点，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：点为线段的中点，且，， 点是线段的三等分点，如图， 当点在线段内，，； 当点在线段内，，．故选D． 【典例2】（25-26七年级下·广西南宁·开学考试）如图所示，B在线段上，且，D是线段的中点，E是的三等分点且，则下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的有________． 【答案】①④ 【详解】解：设，，， 是的三等分点且，，， ，，故①正确； 是线段的中点，，，故②错误； 同时，，，，故③错误； ，，，故④正确； 正确结论的有①④．故答案为：①④． 【典例3】（24-25七年级上·浙江·期末）如图，点C是线段的中点，点N是线段的三等分点．若线段的长为12，则线段的长度是 ． 【答案】8或10 【详解】解：，点是中点，， 分两种情况讨论：①点的位置如图所示： 点是线段的三等分点，，； ②点位置如图所示： 点是线段的三等分点，，； 综上可知：的长度为8或10，故答案为：8或10． 【典例4】（25-26七年级上·河北唐山·期末）如图，点在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、；第二次操作：分别取线段和的中点、；第三次操作：分别取线段和的中点、；……连续这样操作10次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和即（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，、分别是线段和的中点， ∴；∵、分别是线段和的中点， ∴，根据规律得到； ∴，故选：B． 【典例5】（24-25七年级上·广东·期中）学习了线段的中点之后，小明利用数学软件做了n次取线段中点实验：如图，设线段，第1次，取的中点；第2次，取的中点；第3次，取的中点，第4次，取的中点；… (1)请完成下列表格数据． 次数      线段的长 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 ①______ ②________ … … … (2)小明对线段的表达式进行了如下化简： 因为，所以， 两式相加，得，所以． 请你参考小明的化简方法，化简的表达式． (3)类比猜想：_____，=_____，随着取中点次数n的不断增大，的长最终接近的值是____． 【答案】(1)①；② (2)(3) 【详解】（1）解：，； 故答案为：，； （2）因为，所以． 两式相加，得．所以； （3），随着取中点次数的不断增大的长最终接近的值是． 故答案为：． 【典例6】（25-26·辽宁·七年级统考期末）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道问题产生了探究的兴趣：如图1，点C在线段AB上，M，N分别是AC，BC的中点．若AB＝12，AC＝8，求MN的长． (1)根据题意，小明求得MN＝___________；(2)小明在求解（1）的过程中，发现MN的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究． 设AB＝a，C是线段AB上任意一点（不与点A，B重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答． ①如图1，M，N分别是AC，BC的中点，则MN＝______________； ②如图2，M，N分别是AC，BC的三等分点，即，，求MN的长； ③若M，N分别是AC，BC的n等分点，即，，则MN＝___________； 【答案】(1)6(2)①；②；③ 【详解】（1）解：∵AB=12，AC=8，∴BC=AB-AC=4， ∵M，N分别是AC，BC的中点，∴CM=AC=4，CN=BC=2，∴MN=CM+CN=6；故答案为：6； （2）解：①∵M，N分别是AC，BC的中点，∴CM=AC，CN=BC，∴MN=AC+BC=AB， ∵AB=a，∴MN=a；故答案为：a； ②∵AM=AC，BN=BC，∴CM=AC，CN=BC，∴MN=CM+CN=AC+BC=AB，∵AB=a，∴MN=a； ③∵AM=AC，BN=BC，∴CM=AC，CN=BC，∴MN=CM+CN=AC+BC=AB， ∵AB=a，∴MN=a，故答案为：a． 模型常见易错点 1）分不清拼接型、内含型，乱用和差公式 解决：两段拼一起用和一半；一段包含一段用差一半，先看图结构，再套公式。 2）只算数、不会字母推理，题目无具体数值就不会做 解决：双中点模型核心是恒等式，不靠数值，靠倍半关系化简。 3）多层中点数错次数、指数写错 解决：第n次对半，分母一定是2n，不要写成2n。 4）点的位置不确定，忘记分类讨论 解决：题干未说明点在内部/外部，需分：点在线段上、点在线段延长线上两种情况。 解题方法总结 看图定结构：两段拼接 → 和一半；两段内含 → 差一半；多次中点 → 2n分母规律。 线段和差代换、合并化简；直接得出最终固定结论。 终极口诀： 双中点，看排布； 相接取半和，内含取半差； 多点层层半，二幂定长短。 1.（24-25七年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，点在线段上，点、分别是、的中点，设，则的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：点、分别是、的中点，， 故选：C． 2.（24-25七年级上·安徽淮南·期末）如图，点是线段上的一点且，点是的中点，点是的中点，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．无法确定 【答案】B 【详解】解：∵，∴， ∵点是的中点，∴，∴， ∵点是的中点，∴，∴，故选：B． 3.（24-25七年级上·重庆秀山·期末）如图，点在线段上，，是的中点，是的中点，，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：∵，∴设，，， ∵是的中点，是的中点，∴，， ∴，∴， ∴，∴，故答案为：． 4.（25-26七年级上·河南焦作·期末）如图，是的中点，是的中点，下列式子中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵C是的中点，D是的中点，∴， ∵，故A正确，不符合题意； ∵，∴，故B选项错误，符合题意； ∵，，∴，故C正确，不符合题意； ∵，，∴，故D正确，不符合题意．故选：B． 5．（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）如图，线段上有一点，且，是中点，已知长为，则长为_____． 【答案】3 【详解】解：，是中点，， ，且，， 即，解得：，．故答案为：3． 6．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）已知数轴上的、两点对应的数字分别为、，点，同时分别从，出发沿数轴正方向运动，点的运动速度为个单位/秒，点的运动速度为个单位/秒，点是线段的中点，若运动过程中，线段的长度是一个固定的值，则______． 【答案】 【详解】解：设两点运动的时间为秒，已知，则，， 点是的中点，，， 可知当，的长度固定为，故答案为：． 7.（24-25七年级上·山东青岛·期末）如图，，的中点M与的中点N的距离是，则 ． 【答案】 【详解】解：∵∴设，，， ∵M是的中点，N是的中点，∴，， ∵的中点M与的中点N的距离是∴， ∴，∴．故答案为：． 8．（25-26七年级上·安徽阜阳·期末）如图点在线段上，线段，点，分别是，的中点．(1)若，求的长；(2)若，求的长． 【答案】(1)9； (2) 【详解】（1）解：（1）因为，所以． 因为点分别是的中点，所以， 所以． （2）解：设，因为点是的中点，所以， 因为，且点是的中点，所以， 则，即，解得．所以． 1.（24-25七年级上·陕西西安·期末）如图，线段，动点P从A出发，以的速度向点B运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（   ） ①运动后，；②在点P运动过程中，值随着点P位置的变化而变化； ③当时，运动时间为． A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 【答案】D 【详解】解：运动后，， ∵为的中点，为的中点，∴， ∴，故①正确；设运动秒，则， ∵为的中点，为的中点，， ∴，， ∴的值不变，故②错误；， ，解得：，故③正确；故选：D． 2．（25-26七年级上·河南安阳·期末）有两根木条，一根长为，另一根长为，在它们的中点处各有一个小圆孔M，N（圆孔直径忽略不计，M，N可抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】解：∵点是线段的中点，点是线段的中点， ∴，根据题意得，分两种情况进行讨论： ①如图所示，当A，C或B，D重合，且剩余两端点在重合点同侧时，此时，； ②如图所示，当B，C或A，D重合，且剩余两端点在重合点两侧时，此时，；故选：D． 3．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，点、、、在同一射线上，，线段(点在点的左边)长度为5，线段从点与重合开始，沿射线向右运动，其速度为每秒2个单位长度，运动时间为秒．下列说法正确的是（   ） ①若，则 ②若点和点均在线段上，且，则 ③若点是的中点，点是的中点，当时，或 ④若点在延长线上，点是的中点，点是的中点，为定值 A．①③ B．②④ C．③④ D．②③④ 【答案】D 【详解】解：对于①，分两种情况：当点在线段上时，，解得； 当点在延长线上时，，解得；故①中有两个解，①错误； 对于②，点、均在线段上，，即，解得， 此时，， 由得，解得，符合，故②正确； 对于③，，是中点，，，，， 是中点，∴，， 由得，即， 当时，，解得； 当时，，解得；故或，③正确； 对于④，点在延长线上，，即， ∵是中点，，∵，，∴． ∵是中点，，∴， ，是定值，故④正确；综上，②③④正确，故选：D． 4．（25-26七年级上·山东潍坊·期末）如图，已知线段上有任意两点C和D，，下列说法正确的是（    ）（多选题） A．若，则 B．若点C和点D是的三等分点，则 C．取的中点E，则 D．若点M为中点，点N为中点，则 【答案】BCD 【详解】解：∵，∴， ∴无法确定，∴A选项不正确，不符合题意； ∵点C和点D是的三等分点，∴，∴B选项正确，符合题意； ∵点E是的中点，∴，∴C选项正确，符合题意； ∵点M为中点，点N为中点， ∴， ∴D选项正确，符合题意．故选：BCD． 5．（25-26七年级上·安徽铜陵·期末）在直线l上取A、B、C三点，使得，．如果O是线段的中点，则线段的长度为______cm． 【答案】2或7 【详解】解：①如图所示：∵，．∴， ∵O是线段的中点，∴，∴． ②如图所示：∵，．∴，    ∵O是线段的中点，∴，∴， 综上所述：或，故答案为：2或7． 6.（24-25七年级上·贵州六盘水·期末）如图，线段，在直线上作线段，使得，若是线段的中点，是线段的中点，则线段的长为 ． 【答案】1或5 【详解】解：如图所示，当点C在线段上时， ∵，是线段的中点，∴； ∵，是线段的中点，∴，∴； 如图所示，当点C在的延长线上时， ∵，是线段的中点，∴； ∵，是线段的中点，∴，∴； 综上所述，的长为1或5；故答案为：1或5． 1．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期末）如图，数轴上点表示，点表示，动点，分别从，同时出发，分别以个单位长度/秒和个单位长度/秒的速度向射线方向运动．设运动时间为秒，点为的中点，点为的中点．以下结论：①，两点之间的距离不会随着的变化而变化；②当 时，；③． 其中正确的结论是（     ） A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【详解】解：根据题意得，点表示的数为，点表示的数为， 点为的中点，点表示， 点表示的数为， 点为的中点， 点表示的数为； ①，即，两点之间的距离不会随着的变化而变化，故①正确； ②，， 当时，即，或，解得或，故②错误； ③，， ，，故③正确；综上所述，正确的结论是①③． 2.（24-25七年级上·四川成都·期末）已知点在线段上，、分别为线段、的中点，分别为线段的中点，分别为线段的中点，，分别为线段的中点．若线段，则线段的值是 ． 【答案】 【详解】解：∵、分别为线段、的中点，，∴， ∵分别为线段的中点，∴， ∵分别为线段的中点，∴，， ∴，故答案为：． 3．（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）若线段上的一个点把这条线段分成两部分，则称这个点是这条线段的三等分点．如图，，C、D两点分别从A、B同时出发，以相同的速度沿射线运动．在C，D出发的同时，点E也从B出发，以某一速度沿相同方向运动；在运动过程中，当点C为的三等分点时，点E恰好为中点，此时的长为______． 【答案】或6 【详解】∵C、D两点分别从A、B同时出发，以相同的速度沿射线运动，∴， ①当点C靠近A点的的三等分点，如图所示： ∵E为中点，， ，，； ②当点C靠近E点的的三等分点，如图所示： ， ∵E为中点，， ，，．故答案为：或6． 4．（24-25七年级上·湖北孝感·期末）已知线段上的两点、，点为线段的中点，． (1)如图1，求线段的长；(2)如图2，点在的延长线上，点在线段上，满足，则点是否为线段的中点？请作出判断，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，，点为的中点，，求的长． 【详解】（1）解：因为为的中点，所以． 因为，所以； (2)点是线段的中点 理由如下：因为，，所以， 所以，即，所以点为的中点． （3）解：由（1）可得，设，则，．    因为为的中点，所以．所以． 由（2）知，为的中点，所以． 所以，所以解得，即． 5．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）定义：若点在同一直线上，则，例如，则，如图，已知线段． (1)如图1，若点是线段的中点，则_________； (2)是直线上的两个动点，点从点出发向右运动，点从点出发向左运动；若点运动速度为，点的运动速度为，设运动时间为； ①当时，求的值；②当时，试求出可能的的值． 【答案】(1)(2)①；②的值为或16 【详解】（1）解：点是线段的中点，，，故答案为：； （2）解：①当时，，，∴； ②依题意，当点Q在点A右侧时，，，， ，，解得； 当点Q在点A左侧时，，，， ，，解得，综上，的值为或16． 6．（25-26七年级上·河北衡水·期末）综合与实践 问题情境：图1为一款可伸缩自拍杆，自拍杆共三段，三段可近似看作三条线段（线段、线段和线段），长分别为，设计时为防止脱落，两段自拍杆之间有重叠． 问题探究：如图2，当自拍杆延伸至最长状态时，． （1）自拍杆延伸至最长状态时，__________．（填“”“”或“”） （2）求自拍杆延伸至最长状态时的总长度（的长）． 问题拓展：（3）如图3，固定第一段不动，收缩自拍杆第二段和第三段，使其总长度为55，此时点恰好为中点，求的长． 【答案】（1）；（2）66；（3）5 【详解】解：（1）． 因为，所以，即．故答案为：； （2）因为，所以，同理可得， 所以． （3）因为为中点，所以，所以， 所以，所以． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $