专题13 动态几何模型与绝对值中的最值模型（几何模型讲义）数学苏科版2024七年级上册

该初中数学复习讲义通过框架图系统构建动态几何与绝对值最值的知识体系，分模块梳理数轴、线段、角度动态模型及计数问题，用思维导图呈现动态变化中的数量关系与空间形式，突出旋转、运动等核心题型的解题逻辑与内在联系。 讲义亮点在于动态问题的分层设计，如三角板绕顶点旋转求角度培养几何直观，绝对值最值题渗透模型意识，配套易错点标注和多解分析，帮助学生提升推理能力，教师可据此实施精准复习，满足不同层次学生需求。

专题13.动态几何模型与绝对值中的最值模型 本专题包含数轴中的动态模型、线段中的动态模型、角度中的动态模型、绝对值中的最值模型、计数模型等。 1．（24-25七年级上·河北·阶段练习）题目： “一块含角的直角三角板和一块含角的直角三角板拼成如图1所示的图案后， 三角板固定不动， 将三角板绕顶点B旋转一周， 如图2． 当时（注： 均指图中不超过的角）， 求旋转角的度数．”对于其答案， 甲答：， 乙答：， 则正确的是 （    ） A．只有甲答的对 B．只有乙答的对 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．甲、乙答案合在一起也不完整 2．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，是一条射线，将一把直角三角尺的直角顶点放在处，，将绕着点按每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒，分别作出、的角平分线、．在旋转过程中，当或中有一条射线与平行时，的值为（   ）．（注：本题中所有的角均是指大于0度且小于或等于180度的角） A． B． C．或 D．或 3．（24-25七年级下·河南安阳·阶段练习）如图所示，两条直线相交所组成的角中，对顶角有2对，三条直线相交，交点最多时所组成的角中，对顶角有6对……那么条直线相交，交点最多时，所组成的角中对顶角有（　　）    A．对 B．2对 C．对 D．对 4．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，数形结合是解决数学问题的重要思想方法，例如：代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与3所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离．请结合数轴探究，当表示数x的点在数轴上移动时，代数式的最小值为 ． 5．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）如图，若，，，射线绕点O以每秒的速度逆时针旋转，射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转，射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转，三条射线同时旋转，当一条射线与直线重合时，三条射线同时停止运动．则经过 秒后，其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线． 6.（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，C为射线上一点，，比的多5，P、Q两点分别从A、B两点同时出发，分别以3单位/秒和2单位/秒的速度在射线上沿方向运动，运动时间为t秒，M为线段上一点，且，N为的中点，以下结论： ①；②；③当时，，其中正确的是 ． 7．（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）如图，已知线段，，半径，当点M在的上方，且时，点M绕着点O以每秒的速度在圆周上逆时针旋转一周后停止，同时点N从点B沿线段向点A运动，若点M、N两点能相遇，则点N的运动速度为 ． 8．（24-25七年级上·天津和平·期末）已知线段 ，线段 在直线 上运动（ 在 的左侧，在 的左侧）． (1)若 满足 ①当 点与 点重合时， ；②、分别是 、的中点，当 时，求 的长；(2)当线段 运动到 点距离 点一个单位长度时，若有一点 在 点右侧且位于线段 的延长线上，试求 的值． 9．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，直线上有两点，，点是线段上的一点，． (1)____________；(2)若点是直线上一点，且满足，求的长； (3)若动点分别从同时出发，向右运动，点的速度为，点的速度为．设运动时间为，当点与点重合时，两点停止运动．问当为何值时，． 10．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图①，点M是线段上任意一点，图中共有三条线段和，若其中的两条较短线段中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段的“友好点”． (1)若，点M是线段上靠近点A的“友好点”，求的长； (2)如图②，若，点M是线段的“友好点”，点N是线段的中点，则__________； (3)如图③，已知，动点P从点A出发，以速度沿向点B匀速移动，点从点B出发，以的速度沿向点A匀速移动，点同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．设移动的时间为t，请求出t为何值时， 三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“友好点”． 11．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，已知线段，点，在线段上，，点是的中点，点是的中点． (1)若，，当，求线段的长度；(2)当线段在线段上运动时，试判断线段的长度是否发生变化，如果不变，请求出线段的长度；如果变化，请说明理由． 12．（24-25七年级上·江西赣州·期末）已知：如图，点M是线段上一定点，，C、D两点分别从点M、B出发以、的速度在直线上运动，运动方向如图中箭头所示（点C在线段上，点D在线段上） (1)若，当点C、D运动了，此时 ， ；（直接填空） (2)当点C、D运动了时，求的值；(3)若点C、D运动时，总有，则 （填空）； (4)在（3）的条件下，N是直线上一点，且，求的值． 13．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）【新知理解】如图①，点C在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“巧点”． （1）线段的中点________这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）； （2）若，，判断点C是否为线段的巧点，并说明理由； 【解决问题】（3）如图②，已知．动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点B匀速移动；点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．设移动的时间为．当t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点？说明理由． 14．（24-25七年级上·天津·期末）（1）如图1， 点B， D在线段上． ①填空：．②若D是线段中点， 则 ． （2）如图2，射线上有一点C，，一动点P从点C出发，以每秒m个单位的速度沿射线的方向运动，同时，射线开始绕点C按顺时针方向以每秒的速度旋转一周． ①当第一次转至与垂直时， ；（用含m的代数式表示） ②当A、P、C三点中有一个点是另外两个点构成的线段的中点时，求m的值． 15．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）如图，线段在线段上运动，点、点分别是、的中点．(1)若线段，，求的长．(2)若，，由此可以猜想______（用、表示）．(3)我们发现角的很多规律和线段一样：如图，在的内部，绕点逆时针旋转（初始位置、重合），、分别平分和，若，，在旋转过程中，的大小是否为定值？若是，请求出该值；若不是，请说明理由． 16．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图1，点O为直线上一点，线段在直线上，且端点与点重合，端点在点左侧，． (1)若图1中的线段从点出发沿直线向左匀速运动，同时点从点出发沿直线向右匀速运动，且它们的速度比为，设运动时间为，如图2，当时，，此时线段的运动速度为______，点P的运动速度为______； (2)在（1）的条件下，线段按原来的速度继续向左匀速运动，点P按原速改变方向也向左运动，再经过几秒，； (3)如图3，在直线上方作射线，使，在直线上方作射线，若射线绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时射线也绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转一周，当射线停止运动时，射线也停止运动，请直接写出经过几秒所在的直线平分． 17．（24-25七年级上·四川泸州·期末）（1）特例感知：如图①，已知线段，线段在线段上运动（点不超过点，点不超过点，点和点分别是的中点． ①若，则______；若，则______； ②线段运动时，试判断线段的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度：如果变化，请说明理由；（2）知识迁移：我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知在内部转动，射线分别平分和． ①若，则______； ②猜想与之间的数量关系：______； （3）类比探究：如图③，在内部转动，若，，求的度数（用表示） 18．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）（1）如图1，点在线段上，图中共有3条线段：，和，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点是线段的“二倍点”．则线段上共有_____个“二倍点”． （2）类似的如图1，射线在内部，图中共有3个角：，和，若其中一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“二倍线”．则内部共有_____条“二倍线”． （3）如图2，若线段，点． 从点的位置开始，以每秒的速度向点A运动，当点到达点A时停止运动，设运动的时间为秒．问为何值时，点是线段的“二倍点”． （4）如图3，若，射线从射线的位置开始，绕点按逆时针方向以每秒的速度向射线旋转，当射线到达射线的位置时停止旋转，设射线旋转的时间为秒，若射线是的“二倍线”，求的值． 19．（24-25七年级上·广东汕头·期末）（1）如图，线段，C为的中点，点P从点A出发，以的速度沿线段向右运动，到点B停止；点Q从点B出发，以的速度沿线段向左运动，到点A停止．若P，Q两点同时出发，当其中一点停止运动时，另一点也随之停止．设点P的运动时间为x（）s．① ．②是否存在某一时刻，使得C，P，Q这三点中，有一点恰为另外两点所连线段的中点？若存在，求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由． （2）一副三角板按图（1）中的方式拼接在一起，其中边、与直线上，，． ① 度．②如图（2），三角板固定不动，将三角板绕点O按顺时针方向旋转角（即），在转动过程中两个三角板一直处于直线的上方．在旋转过程中，是否存在某一时刻满足？若存在，求此时的角；若不存在，请说明理由． 20．（24-25七年级上·山西朔州·期末）综合与探究:如图，，，射线从初始位置出发，绕点O以/秒的速度顺时针旋转，旋转时间为t秒．射线分别平分，． (1)当时，求的度数．(2)若在转动的同时，也绕点O从初始位置开始向方向转动，速度为/秒，两射线中的一条转动到时，射线都停止转动，当时，求t的值． 21．（24-25七年级上·四川泸州·期末）已知，在下列各图中，点为直线上一点，，直角三角板的直角顶点放在点处． (1)如图1，三角板一边在射线上，另一边在直线的下方，求的度数． (2)如图2，三角板一边恰好在的角平分线上，另一边在直线的下方，求的度数．(3)延长线段得到射线，如图3，求、的度数． (4)将图1中的三角板绕点按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第秒时，直线恰好平分锐角，求的值． 22．（24-25七年级上·广东广州·阶段练习）将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶点按如图方式叠放在一起，，，． (1)①若，则的度数为 ；②若，则的度数为 ； (2)由（1）猜想与的数量关系，并说明理由．(3)现固定，将绕点旋转，点永远在直线上方，使两块三角尺有一组边互相平行，请直接写出所有满足条件的的度数． 23．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）学校进行了创意设计大赛，请根据表格中提供的信息答题． 信息1 如图所示为小明设计的个性手表，时针，分针只在右半表盘来回转动（顺时针转至的位置再逆时针旋转至，来回旋转，转动速度与普通手表一致），左半表盘显示对应的时间．（不足一分钟的部分不显示） 信息2 学校作息时间表 第一节 8：00～8：40 第五节 13：00～13：40 第二节 8：50～9：30 第六节 13：50～14：35 大课间 9：30～10：00 第七节 14：45～15：25 第三节 10：00～10：40 第八节 15：35～16：15 第四节 10：50～11：35 体活课 16：25～16：55 (1)图1为学校大课间开始时手表盘面的示意图，此时时针和分钟所成的夹角为_____度； (2)已知某天上午第一节为数学课．请在图3中画出该节数学课下课时，时针与分针的位置．该位置与当天上课期间另一时刻时针和分针的位置都一致，这个时刻对应的时间为________； (3)若右半表面有一光线，始终保持平分．若在某一时刻射线刚好指向刻度2的位置，此时的位置记为，经过一个小时，射线的位置记为．若，请直接写出当在处时，电子表盘所显示的时间． 24．（24-25七年级上·福建福州·期末）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图①所示，若，则是的内半角． (1)如图①所示，已知，，是的内半角，则_________． (2)如图②，已知，将绕点O按顺时针方向旋转一个角度至，当旋转的角度为何值时，是的内半角？ (3)已知，把一块含有角的三角板如图③叠放，记为初始位置，将三角板绕顶点O以秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线始终在的外部，射线，，，能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由． 25．（24-25七年级上·贵州贵阳·期末）将三角板的直角顶点O放置在直线上． (1)若按图1的方式摆放，且，射线平分，则________． (2)如图2，，将三角尺绕点O按顺时针方向旋转一个角度（即，）． ①当平分由，，其中两条射线组成的角时，求满足要求的所有的值． ②在旋转过程中是否存在？若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由． 26．（24-25七年级上·天津河北·期末）如图1，已知，，且m、n满足等式，射线从处绕点O以4度/秒的速度逆时针旋转． (1)试求的度数．(2)如图1，当射线从处绕点O开始逆时针旋转，同时射线从处以1度/秒的速度绕点O顺时针旋转，当他们旋转多少秒时，使得？ (3)如图2，若射线为的平分线，当射线从处绕点O开始逆时针旋转，同时射线从射线处以x度/秒的速度绕点O顺时针旋转，使得这两条射线重合于射线处（在的内部）时，且，试求x． 27．（24-25七年级上·海南儋州·期中）如图，在数轴上点表示数，点示数，点表示数，的相反数是，且、满足． (1)________；________；________；(2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数________表示的点重合；若数轴上有一点为线段的三等分点（点在线段内），则点表示的数是________； (3)点、、开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，是否存在常数，使为定值，若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 28．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）我们知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索： (1)填空：_______，若，则______；(2)填空：使得成立的x是________； (3)由以上探索，猜想对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，写出最小值，如果没有，说明理由． (4)由以上探索，猜想对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，直接写出最小值，并写出此时x的值，如果没有，说明理由． 29．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）同学们都知道：表示与-之差的绝对值，实际上也可理解为与-两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：    (1)数轴上表示与-的两点之间的距离可以表示为 ． (2)同样的道理，表示数轴上有理数所对应的点到-和所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是 ． (3)根据数轴，若的最小值是，请直接写出的值． (4)由以上探索猜想是否有最小值？如果有，直接写出最小值，并求出所有符合条件的整数的和；如果没有，说明理由． 30．（24-25七年级上·广西玉林·期中）阅读下列材料并解决问题： 数轴是一种非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与形之间的联系，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离，可以用这两个数的差的绝对值表示，这也体现了绝对值的几何意义．若在数抽上有理数对应的点为，有理数对应的点为，则A，B两点之间的距离可表示为或，记为．如式子的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数的点之间的距离． 根据上述材料，回答下列问题：(1)与3的距离是______；(2)式子的最小值是______； (3)应用：如图，某环形道路上顺次排列有四家快递公司：A，B，C，D，它们依次有快递车15辆，9辆，5辆，11辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有多少种调配方案，使调动的车辆数最少？并求出调出的最少车辆数． 31．（24-25七年级上·广东东莞·期末）【试验观察】 （1）如图①，已知两点确定一条直线，则： 图②中不在同一直线上的3个点最多可以确定______条直线； 图③中不在同一直线上的4个点最多可以确定______条直线； 图④中不在同一直线上的5个点最多可以确定______条直线． 【探索归纳】（2）如果平面内有个点，且任意3个点均不在同一直线上，那么最多可以确定__________条直线．（用含n的代数式表示） 【解决问题】（3）某次班级聚会中，45名同学每两人之间都要握1次手问好，那么他们共握了多少次手？ 32．（24-25·湖北恩施·七年级校考阶段练习）（1）【观察思考】如图，线段上有两个点、，分别以点、、、为端点的线段共有________条． （2）【模型构建】若线段上有个点（包括端点），则该线段上共有___________条线段． （3）【拓展应用】若有10支球队参加校级篮球比赛，比赛采用单循环制（即每支球队之间都要进行一场比赛），请你应用上述模型构建，求一共要进行多少场比赛？ 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13.动态几何模型与绝对值中的最值模型 本专题包含数轴中的动态模型、线段中的动态模型、角度中的动态模型、绝对值中的最值模型、计数模型等。 1．（24-25七年级上·河北·阶段练习）题目： “一块含角的直角三角板和一块含角的直角三角板拼成如图1所示的图案后， 三角板固定不动， 将三角板绕顶点B旋转一周， 如图2． 当时（注： 均指图中不超过的角）， 求旋转角的度数．”对于其答案， 甲答：， 乙答：， 则正确的是 （    ） A．只有甲答的对 B．只有乙答的对 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．甲、乙答案合在一起也不完整 【答案】C 【详解】解：由题意，可知：，∴， 当两个三角板不重合时，如图：则：， 当两个三角板有重合部分时，如图：∵，∴， ∴，∴；故甲、乙答案合在一起才完整；故选C． 2．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，是一条射线，将一把直角三角尺的直角顶点放在处，，将绕着点按每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒，分别作出、的角平分线、．在旋转过程中，当或中有一条射线与平行时，的值为（   ）．（注：本题中所有的角均是指大于0度且小于或等于180度的角） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】解：①如图，当时，∵，∴， ∵平分，∴， ∴，即：，解得：； ②如图，当时，∵，∴， ∵平分，∴，∴，解得：， 综上所述，在旋转过程中，当或中有一条射线与平行时，的值为秒或秒，故选：C． 3．（24-25七年级下·河南安阳·阶段练习）如图所示，两条直线相交所组成的角中，对顶角有2对，三条直线相交，交点最多时所组成的角中，对顶角有6对……那么条直线相交，交点最多时，所组成的角中对顶角有（　　）    A．对 B．2对 C．对 D．对 【答案】C 【详解】解：两条直线相交只有1个交点，对顶角有对， 三条直线相交有3个交点，对顶角有对，四条直线相交有6个交点，对顶角有对， 则n条直线相交，交点最多时，所组成的角中，对顶角有对，故选：C． 4．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，数形结合是解决数学问题的重要思想方法，例如：代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与3所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离．请结合数轴探究，当表示数x的点在数轴上移动时，代数式的最小值为 ． 【答案】7 【详解】解：的几何意义数轴上x所对应的点到的距离与x所对应的点到5的距离之和， 当在数与5之间时，的和为7， 当在的左侧或5的右侧时，，的最小值为7，故答案为：7． 5．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）如图，若，，，射线绕点O以每秒的速度逆时针旋转，射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转，射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转，三条射线同时旋转，当一条射线与直线重合时，三条射线同时停止运动．则经过 秒后，其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线． 【答案】或或4 【详解】解：设经过的时间为x秒，∵，，． 在旋转过程中，，，， 分别令，，可得，． 可见当时，三条射线停止运动．①如图，当为、夹角的角平分线时， ．，解得，此时，不合题意； ②当为、夹角的角平分线时， ．，解得； ③当为、夹角的角平分线时， ∴．，解得； ④当为、夹角的角平分线时， ．，解得； 答：经过秒、秒、4秒时，其中一条射线是另两条射线夹角的平分线．故答案为：或或4． 6.（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，C为射线上一点，，比的多5，P、Q两点分别从A、B两点同时出发，分别以3单位/秒和2单位/秒的速度在射线上沿方向运动，运动时间为t秒，M为线段上一点，且，N为的中点，以下结论： ①；②；③当时，，其中正确的是 ． 【答案】① 【详解】解：当在线段上时，∵，比的多5， ∴，解得：，则，∴， 当在线段外时，∵，比的多5， ∴，解得：，不合题意；故①正确； ∵P、Q两点分别从A、B两点同时出发，分别以3单位/秒和2单位/秒的速度在射线上沿方向运动，运动时间为t秒，∴时间为时，，， 当在左边时，，∵，∴， ∴，∴， ∵N为的中点，∴，∴，∴； 当在右边时，，∵，∴， ∴，∴， ∵N为的中点，∴，此时不一定等于；故②错误， 当在左边时，，， ∴当时，则，解得：， 当在右边时，，， ∴当时，则，解得：，故③错误，故答案为：①． 7．（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）如图，已知线段，，半径，当点M在的上方，且时，点M绕着点O以每秒的速度在圆周上逆时针旋转一周后停止，同时点N从点B沿线段向点A运动，若点M、N两点能相遇，则点N的运动速度为 ． 【答案】或 【详解】解：当点N与点M在点O左边相遇时，则点N的速度为， 当点N与点M在点O右边相遇时，则点N的速度为； 综上所述，点N的速度为或，故答案为：或． 8．（24-25七年级上·天津和平·期末）已知线段 ，线段 在直线 上运动（ 在 的左侧，在 的左侧）． (1)若 满足 ①当 点与 点重合时， ；②、分别是 、的中点，当 时，求 的长；(2)当线段 运动到 点距离 点一个单位长度时，若有一点 在 点右侧且位于线段 的延长线上，试求 的值． 【答案】(1)①；②；(2)8或4 【详解】（1）解：，，， ①当D点与B点重合时，； ②如下图1，分别为线段的中点， ， ； 如上图2，分别为线段的中点， ， ； （2）如下图， 由题意得：， ； 如下图，， ． 9．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，直线上有两点，，点是线段上的一点，． (1)____________；(2)若点是直线上一点，且满足，求的长； (3)若动点分别从同时出发，向右运动，点的速度为，点的速度为．设运动时间为，当点与点重合时，两点停止运动．问当为何值时，． 【答案】(1)24；12(2)或(3)或 【详解】（1）∵， ∵，解得，，故答案为：24；12； （2）设的长是，依题意有： ①当点在线段上时，，解得，； ②当点在线段上时，，解得，（舍去）； ③当点在线段的延长线上时，，解得，， 故的长为或； （3）当运动时间为时，点表示的数为，点表示的数为， 当时，， ，， 当时，有，解得，； 当时，有，解得， 故当为或时，． 10．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图①，点M是线段上任意一点，图中共有三条线段和，若其中的两条较短线段中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段的“友好点”． (1)若，点M是线段上靠近点A的“友好点”，求的长； (2)如图②，若，点M是线段的“友好点”，点N是线段的中点，则__________； (3)如图③，已知，动点P从点A出发，以速度沿向点B匀速移动，点从点B出发，以的速度沿向点A匀速移动，点同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．设移动的时间为t，请求出t为何值时， 三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“友好点”． 【答案】(1)；(2)或；(3)或4或或． 【详解】（1）点M是线段上靠近点A的“友好点” 根据“友好点”的定义可得，， ，，解得，． （2）由题意可知，点N是线段的中点，不是线段的中点，当点是靠近点的三等分点时， 有，，，， ，， 当点是靠近点的三等分点时，有， ，，， ，． （3）由题意可知，A点不可能是“三等分点”，故P或Q点是“三等分点”． ，t秒后，，， 当P点是“三等分点”时，， 当时，有，解得 当时，有，解得， 当Q点是“三等分点”时，， 当时，有，解得 当时，有，解得综上所述：或4或或． 11．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，已知线段，点，在线段上，，点是的中点，点是的中点． (1)若，，当，求线段的长度；(2)当线段在线段上运动时，试判断线段的长度是否发生变化，如果不变，请求出线段的长度；如果变化，请说明理由． 【答案】(1)(2)线段的长度不发生变化，长度为 【详解】（1）解：，，， ， 点是的中点，点是的中点．，， ； （2）线段的长度不发生变化．理由如下： 点是的中点，点是的中点，，， ， 线段的长度不发生变化，长度为． 12．（24-25七年级上·江西赣州·期末）已知：如图，点M是线段上一定点，，C、D两点分别从点M、B出发以、的速度在直线上运动，运动方向如图中箭头所示（点C在线段上，点D在线段上） (1)若，当点C、D运动了，此时 ， ；（直接填空） (2)当点C、D运动了时，求的值；(3)若点C、D运动时，总有，则 （填空）； (4)在（3）的条件下，N是直线上一点，且，求的值． 【答案】(1)，(2)(3)(4)或1 【详解】（1）解：由题意得，， ∵，∴， ∴，．故答案为：，； （2）解：由题意，当点C、D运动了时，有， ∵，∴； （3）解：由题意，根据C、D的运动速度知：， ∵，∴，即． ∵，∴，∴，故答案为：． （4）解：①当点N在线段上时，如图1， ， ∵，又∵，∴， ∴，∴； ②当点N在线段的延长线上时，如图2， ∵，又∵，∴，∴．综上所述或1． 13．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）【新知理解】如图①，点C在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“巧点”． （1）线段的中点________这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）； （2）若，，判断点C是否为线段的巧点，并说明理由； 【解决问题】（3）如图②，已知．动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点B匀速移动；点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．设移动的时间为．当t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点？说明理由． 【答案】（1）是；（2）8或12或16；（3）t为或4.5或，理由见详解 【详解】（1）解：C是线段的中点， ， C是线段的“巧点”；故答案：是； （2）解：∵，，∴， ∴∴∴点C是线段的巧点； （3）解：t为或4.5或，理由如下：①当是、的“巧点”， (ⅰ)如图，，    ，，，，解得：， (ⅱ)如图，， ，，，，解得：； ②当是、的“巧点”， (ⅰ)如图，，    ，，，， ，，解得：； (ⅱ)如图，， 同理可得：，解得：，此种情况不合题意，舍去； 综上所示：当t为或4.5或时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“巧点”． 14．（24-25七年级上·天津·期末）（1）如图1， 点B， D在线段上． ①填空：．②若D是线段中点， 则 ． （2）如图2，射线上有一点C，，一动点P从点C出发，以每秒m个单位的速度沿射线的方向运动，同时，射线开始绕点C按顺时针方向以每秒的速度旋转一周． ①当第一次转至与垂直时， ；（用含m的代数式表示） ②当A、P、C三点中有一个点是另外两个点构成的线段的中点时，求m的值． 【答案】（1）①，；②；（2）①；②1或4 【详解】解：（1）①，故答案为：，． ②设，，， 是线段中点，，，，． （2）①由题意知，当第一次转至与垂直，即旋转角为， ∴时间为（秒），∴，故答案为：； ②由题意知，当绕点顺时针旋转时，时间为（秒）， 当三点中有一个点是另外两个点构成的线段的中点， 当为中点，，即，解得； 当为中点，，即，解得，； 当绕点顺时针旋转时，时间为（秒）， 为中点，，即，解得．综上，的值为1或4． 15．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）如图，线段在线段上运动，点、点分别是、的中点．(1)若线段，，求的长．(2)若，，由此可以猜想______（用、表示）．(3)我们发现角的很多规律和线段一样：如图，在的内部，绕点逆时针旋转（初始位置、重合），、分别平分和，若，，在旋转过程中，的大小是否为定值？若是，请求出该值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)(2)(3)的度数不变，恒为 【详解】（1）解：∵，，∴， ∵点、点分别是，的中点，∴，， ，∴； （2）解：∵，，∴， ∵分别是的中点，∴，， ， ，故答案为：； （3）解：的度数不变，恒为 ∵，，∴， ∵分别平分和，∴， ， ∴；综上，的度数不变，恒为． 16．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图1，点O为直线上一点，线段在直线上，且端点与点重合，端点在点左侧，． (1)若图1中的线段从点出发沿直线向左匀速运动，同时点从点出发沿直线向右匀速运动，且它们的速度比为，设运动时间为，如图2，当时，，此时线段的运动速度为______，点P的运动速度为______； (2)在（1）的条件下，线段按原来的速度继续向左匀速运动，点P按原速改变方向也向左运动，再经过几秒，； (3)如图3，在直线上方作射线，使，在直线上方作射线，若射线绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时射线也绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转一周，当射线停止运动时，射线也停止运动，请直接写出经过几秒所在的直线平分． 【答案】(1)4；8(2)或秒(3)或秒 【详解】（1）解：设线段的运动速度为，则点的运动速度为，根据题意列方程得， ，解得：，， 答：线段的运动速度为，则点的运动速度为，故答案为：4；8； （2）由（1）可知，，，设再经过秒，， ①当点在点的右侧时，，，，解得：， ②当点在点的左侧时，，，，解得：， 答：再经过或秒时，． （3）设经过秒所在的直线平分，则，旋转的角度为， ①若平分，， 解得：， ②若所在直线平分，， ，解得：， 综上所述，经过或秒时，所在直线平分． 17．（24-25七年级上·四川泸州·期末）（1）特例感知：如图①，已知线段，线段在线段上运动（点不超过点，点不超过点，点和点分别是的中点． ①若，则______；若，则______； ②线段运动时，试判断线段的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度：如果变化，请说明理由；（2）知识迁移：我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知在内部转动，射线分别平分和． ①若，则______； ②猜想与之间的数量关系：______； （3）类比探究：如图③，在内部转动，若，，求的度数（用表示） 【答案】（1）①；②不变，；（2）①；②（3） 【详解】解：（1）①∵，，， ∴， ∵点C和点D分别是，的中点， ∴，， ∴，∴； ∵线段，，∴， ∵点C和点D分别是，的中点， ∴，， ∴，故答案为：； ②不变，理由如下： ∵点C和点D分别是，的中点， ∴，，∴， 又∵，， ∴， ∴，∴； （2）①∵和分别平分和， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，∴． 故答案为：； ②．理由如下： ∵和分别平分和， ∴，， ∴， ∴ ； （3）∵，， ∴， ∵ ， ∴，， ∴， ， ∴， ∴． 18．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）（1）如图1，点在线段上，图中共有3条线段：，和，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点是线段的“二倍点”．则线段上共有_____个“二倍点”． （2）类似的如图1，射线在内部，图中共有3个角：，和，若其中一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“二倍线”．则内部共有_____条“二倍线”． （3）如图2，若线段，点． 从点的位置开始，以每秒的速度向点A运动，当点到达点A时停止运动，设运动的时间为秒．问为何值时，点是线段的“二倍点”． （4）如图3，若，射线从射线的位置开始，绕点按逆时针方向以每秒的速度向射线旋转，当射线到达射线的位置时停止旋转，设射线旋转的时间为秒，若射线是的“二倍线”，求的值． 【答案】（1）3；（2）3；（3）秒或5秒或10秒；（4）15秒或10秒或20秒 【详解】解：（1）当点C是的中点时，， 当点C为靠近B的三等分点时，，当点C为靠近A的三等分点时，， ∴线段上共有3个“二倍点”；故答案为∶3； （2）有三种情况∶①当为角平分线时，， ②当靠近的三等分线时，， ③当靠近的三等分线时，， ∴内部共有3条“二倍线”；故答案为∶3； （3）分三种情况∶①当点M是的中点时，，∴，∴， ②当点M为靠近B的三等分点时，，∴，∴， ③当点M为靠近A的三等分点时，，∴，∴， 综上：t为秒或5秒或10秒时，点M是线段的“二倍点” （4）有三种情况∶①当为角平分线时∶，∴，∴， ②当靠近的三等分线时，，∴∴； ③当靠近的三等分线时，，∴∴； 综上，t的值是15秒或10秒或20秒时射线是的“二倍线” 19．（24-25七年级上·广东汕头·期末）（1）如图，线段，C为的中点，点P从点A出发，以的速度沿线段向右运动，到点B停止；点Q从点B出发，以的速度沿线段向左运动，到点A停止．若P，Q两点同时出发，当其中一点停止运动时，另一点也随之停止．设点P的运动时间为x（）s．① ．②是否存在某一时刻，使得C，P，Q这三点中，有一点恰为另外两点所连线段的中点？若存在，求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由． （2）一副三角板按图（1）中的方式拼接在一起，其中边、与直线上，，． ① 度．②如图（2），三角板固定不动，将三角板绕点O按顺时针方向旋转角（即），在转动过程中两个三角板一直处于直线的上方．在旋转过程中，是否存在某一时刻满足？若存在，求此时的角；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）①10；②存在，或；（2）①75；②存在，或 【详解】解：（1）①∵为的中点，，故答案为：10； ②存在，（ⅰ）∵P的速度，Q的速度是，∴， 又，∴，∴不是线段的中点； （ⅱ）当为线段的中点时，得，解得：； （iii）当为线段的中点时，得，解得：；综上所述：或． （2）①，，故答案为： 75 ； ②解：当在的左侧时，则，， ，，； 当在的右侧时，则，， ，，； 综上所述，当或时，存在． 20．（24-25七年级上·山西朔州·期末）综合与探究:如图，，，射线从初始位置出发，绕点O以/秒的速度顺时针旋转，旋转时间为t秒．射线分别平分，． (1)当时，求的度数．(2)若在转动的同时，也绕点O从初始位置开始向方向转动，速度为/秒，两射线中的一条转动到时，射线都停止转动，当时，求t的值． 【答案】(1)(2)当时，t的值为 【详解】（1）解：当时，， 射线分别平分，． ，， ； （2）解：由题意可得，， 射线分别平分，． ，， 当在上方，则，解得； 当在下方，则，解得（舍去）； 当时，t的值为． 21．（24-25七年级上·四川泸州·期末）已知，在下列各图中，点为直线上一点，，直角三角板的直角顶点放在点处． (1)如图1，三角板一边在射线上，另一边在直线的下方，求的度数． (2)如图2，三角板一边恰好在的角平分线上，另一边在直线的下方，求的度数．(3)延长线段得到射线，如图3，求、的度数． (4)将图1中的三角板绕点按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第秒时，直线恰好平分锐角，求的值． 【答案】(1)(2)(3)，(4)或 【详解】（1）解：∵，与互补，∴， ∵，∴. （2）解：∵三角板一边恰好在的角平分线上，，， 又∵，∴， （3）解：∵，，∴， 又∵，∴ （4）解：当直线恰好平分锐角，此时则从图中的位置旋转到射线恰好平分锐角时所旋转的度数为： ，∵速度为每秒，∴，解得； 当射线的反向延长线恰好平分时，此时旋转的角度为：， ∵速度为每秒，∴，解得． 22．（24-25七年级上·广东广州·阶段练习）将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶点按如图方式叠放在一起，，，． (1)①若，则的度数为 ；②若，则的度数为 ； (2)由（1）猜想与的数量关系，并说明理由．(3)现固定，将绕点旋转，点永远在直线上方，使两块三角尺有一组边互相平行，请直接写出所有满足条件的的度数． 【答案】(1)①，②(2)，理由见解析(3)、、、、 【详解】（1）解：①，，， ，，故答案为：； ②，，， ，故答案为：； （2）解：猜想：，理由如下：， 又，，即； （3）解：的度数为、、、、．理由：当时，如图1所示： ，； 当时，如图2所示：； 当时，如图3所示：，； 当时，如图4所示：，； 当时，延长交于，如图5所示： ，，， ，． 综上：所有满足条件的的度数为、、、、． 23．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）学校进行了创意设计大赛，请根据表格中提供的信息答题． 信息1 如图所示为小明设计的个性手表，时针，分针只在右半表盘来回转动（顺时针转至的位置再逆时针旋转至，来回旋转，转动速度与普通手表一致），左半表盘显示对应的时间．（不足一分钟的部分不显示） 信息2 学校作息时间表 第一节 8：00～8：40 第五节 13：00～13：40 第二节 8：50～9：30 第六节 13：50～14：35 大课间 9：30～10：00 第七节 14：45～15：25 第三节 10：00～10：40 第八节 15：35～16：15 第四节 10：50～11：35 体活课 16：25～16：55 (1)图1为学校大课间开始时手表盘面的示意图，此时时针和分钟所成的夹角为_____度； (2)已知某天上午第一节为数学课．请在图3中画出该节数学课下课时，时针与分针的位置．该位置与当天上课期间另一时刻时针和分针的位置都一致，这个时刻对应的时间为________； (3)若右半表面有一光线，始终保持平分．若在某一时刻射线刚好指向刻度2的位置，此时的位置记为，经过一个小时，射线的位置记为．若，请直接写出当在处时，电子表盘所显示的时间． 【答案】(1)；(2)第一节数学课下课时，时针与分针的位置如图所示； (3)时分或时分． ． 【详解】（1）表盘上一大格的角度是， 图1为学校大课间开始时手表盘面的示意图，此时时间是， 时针和分针中间有三个半大格，所成的夹角为，故答案为：． （2）第一节数学课下课时，时针与分针的位置如图所示； 该位置与当天上课期间另一时刻时针和分针的位置都一致，结合该电子表盘可知，这个时刻对应的时间为． （3）一小时后，分针的位置不变，时针不经过拐点时会向前转动， 若要，则时针在一小时后会经过刻度或刻度并反向运动， 若时针一开始在刻度之间，与分针所成角的平分线不可能在刻度的位置， 故时针开始的位置在刻度之间．设显示的时间是时分， 当时，， ， 当时，， ， 故具体的时间是时分或时分，表盘上不足一分钟的时间不显示， 故当在处时，电子表盘所显示的时间是时分或时分 24．（24-25七年级上·福建福州·期末）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图①所示，若，则是的内半角． (1)如图①所示，已知，，是的内半角，则_________． (2)如图②，已知，将绕点O按顺时针方向旋转一个角度至，当旋转的角度为何值时，是的内半角？ (3)已知，把一块含有角的三角板如图③叠放，记为初始位置，将三角板绕顶点O以秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线始终在的外部，射线，，，能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由． 【答案】(1)(2)当旋转的角度为时，是的内半角，理由见解析 (3)能，秒；30秒；90秒 【详解】（1）解∶∵，是的内半角，∴， ∵，∴，；故答案∶； （2）解：当旋转的角度为时，是的内半角；理由如下： 由旋转得：，∴ ， ∵∴，， ∵是的内半角，∴，∴，解得：﹔ （3）在旋转一周的过程中，射线，，，能构成内半角，理由如下； 设按顺时针方向旋转一个角度，旋转的时间为t， 如图1：∵是的内半角，， ∴，∴，解得：， 如图2，∵是的内半角，， ∴，∴，解得：，， 如图3，是的内半角，， ∴，∴，解得：，， 25．（24-25七年级上·贵州贵阳·期末）将三角板的直角顶点O放置在直线上． (1)若按图1的方式摆放，且，射线平分，则________． (2)如图2，，将三角尺绕点O按顺时针方向旋转一个角度（即，）． ①当平分由，，其中两条射线组成的角时，求满足要求的所有的值． ②在旋转过程中是否存在？若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)①或；②存在，的值为或 【详解】（1）解：∵，∴， ∵射线平分，∴，故答案为：． （2）解：①（Ⅰ）如图，当平分由，两条射线组成的角时，∴， ∵，∴，∴； （Ⅱ）如图，当平分由，两条射线组成的角时，∴； （Ⅲ）如图，当平分由，两条射线组成的角时， ∴，∴此时旋转角大于，不符合题意，舍去； 综上，满足要求的所有的值为或． ②（Ⅰ）如图，当时，∵，，， ∴，， ∵，∴，解得，符合题设； （Ⅱ）如图，当时，∵，，， ∴，， ∵，∴，解得，符合题设； （Ⅲ）如图，当时，∵，，， ∴，， ∵，∴，解得，不符合题设，舍去； 综上，在旋转过程中存在，此时的值为或． 26．（24-25七年级上·天津河北·期末）如图1，已知，，且m、n满足等式，射线从处绕点O以4度/秒的速度逆时针旋转． (1)试求的度数．(2)如图1，当射线从处绕点O开始逆时针旋转，同时射线从处以1度/秒的速度绕点O顺时针旋转，当他们旋转多少秒时，使得？ (3)如图2，若射线为的平分线，当射线从处绕点O开始逆时针旋转，同时射线从射线处以x度/秒的速度绕点O顺时针旋转，使得这两条射线重合于射线处（在的内部）时，且，试求x． 【答案】(1)160°(2)30秒或34秒(3) 【详解】（1）∵，∴3，解得，， ∴，∴； （2）设他们旋转x秒时，使得，则， ①当射线与射线相遇前有：， 即：，解得：； ②当射线与射线相遇后有：， 即：，解得：， 答：当他们旋转30秒或34秒时，使得； （3）设t秒后这两条射线重合于射线处，则， ∵为的平分线，∴，∴， ∵，∴， 则，°，∴，解得：，∴，解得：． 27．（24-25七年级上·海南儋州·期中）如图，在数轴上点表示数，点示数，点表示数，的相反数是，且、满足． (1)________；________；________；(2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数________表示的点重合；若数轴上有一点为线段的三等分点（点在线段内），则点表示的数是________； (3)点、、开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，是否存在常数，使为定值，若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，(2)，或(3)存在， 【详解】（1）解：，，，，， 的相反数为，，故答案为：，，； （2）解：与重合，即，重合，折点为，与点重合的点是， 由三等分点得或， ∴表示的数为或．故答案为：；或； （3）解：存在， ∵点表示的数是，向左的速度为每秒个单位长度，点表示的数是，向右的速度为每秒个单位长度，点表示的数是，向右的速度为每秒个单位长度，设运动时间为秒， 点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ，， 为定值，的值与无关，，∴． 28．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）我们知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索： (1)填空：_______，若，则______；(2)填空：使得成立的x是________； (3)由以上探索，猜想对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，写出最小值，如果没有，说明理由． (4)由以上探索，猜想对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，直接写出最小值，并写出此时x的值，如果没有，说明理由． 【答案】(1)9，6或(2)或3(3)有最小值，原式最小值为7(4)有，当时，最小值为3 【详解】（1）解：根据题意可得，， 若，则与1的距离等于5，则或；故答案为：9，6或 （2）表示在数轴上x到和2的距离之和为8， 当时，，解得， 当时，，x不存在， 当时，，解得， 综上可知，使得成立的x是或，故答案为：或 （3）有最小值，最小值为7，理由是： 当时，根据两点之间线段最短，得到有最小值，最小值为； （4）有最小值，为表示x的点到表示1、3和4的点的距离和， 由题可得，先观察1和3两数， ∴x点到这两点距离之和最小值需处在1和3之间，x又必须离4最近， 则当时，以上条件均符合，当时，为最小值， 有最小值，当的时，最小值为3． 29．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）同学们都知道：表示与-之差的绝对值，实际上也可理解为与-两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：    (1)数轴上表示与-的两点之间的距离可以表示为 ． (2)同样的道理，表示数轴上有理数所对应的点到-和所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是 ． (3)根据数轴，若的最小值是，请直接写出的值． (4)由以上探索猜想是否有最小值？如果有，直接写出最小值，并求出所有符合条件的整数的和；如果没有，说明理由． 【答案】(1)(2)，，，(3)或(4)有，最小值为，和为 【详解】（1）数轴上表示与的两点之间的距离可以表示为，故答案为； （2）表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的点的距离之和，， 为到之间的整数，这样的整数有、、、，故答案为、、、； （3）∵的最小值是，即表示到的和为 由于与之间的距离为，小于最小值，则或； ①当时，即，则在到之间时，最小值为 ∴∴ ②当时，即，∴ 综上所述，或 （4）有最小值，理由是|理解为：在数轴上表示到、、和的距离之和，∴当在和之间时，取得最小值， ∴最小值为∴符合条件的整数为 ∴所有符合条件的整数的和为 30．（24-25七年级上·广西玉林·期中）阅读下列材料并解决问题： 数轴是一种非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与形之间的联系，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离，可以用这两个数的差的绝对值表示，这也体现了绝对值的几何意义．若在数抽上有理数对应的点为，有理数对应的点为，则A，B两点之间的距离可表示为或，记为．如式子的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数的点之间的距离． 根据上述材料，回答下列问题：(1)与3的距离是______；(2)式子的最小值是______； (3)应用：如图，某环形道路上顺次排列有四家快递公司：A，B，C，D，它们依次有快递车15辆，9辆，5辆，11辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有多少种调配方案，使调动的车辆数最少？并求出调出的最少车辆数． 【答案】(1)(2)(3)有5种方案调运车辆数最小，都为10辆． 【详解】（1）解：与3的距离是； （2）解：∵表示在数轴上数对应的点与数，对应的点的距离之和， ∴当数在与之间时，即时，最小， ∴当时，式子有最小值，最小值是， （3）解：根据题意，（辆），（辆），即共有40辆车，每个公司10辆， ∴调运方案如下： ∴有5种方案调运车辆数最小，都为10辆． 31．（24-25七年级上·广东东莞·期末）【试验观察】 （1）如图①，已知两点确定一条直线，则： 图②中不在同一直线上的3个点最多可以确定______条直线； 图③中不在同一直线上的4个点最多可以确定______条直线； 图④中不在同一直线上的5个点最多可以确定______条直线． 【探索归纳】（2）如果平面内有个点，且任意3个点均不在同一直线上，那么最多可以确定__________条直线．（用含n的代数式表示） 【解决问题】（3）某次班级聚会中，45名同学每两人之间都要握1次手问好，那么他们共握了多少次手？ 【答案】（1）3，6，10；（2）；（3）他们共握了次手 【详解】解：（1）根据图形得： 如果经过两点画直线，那么图②中最多可以画3条直线；图③中最多可以画6条直线；图④中最多可以画10条直线；故答案为：3，6，10； （2）如果平面上有个点，且任意3个点均不在同一条直线上， ∴（条）那么经过两点最多可以画条直线；故答案为：； （3）某班级聚会中，若每两人握1次手问好，那么共握次， 把代入，得（次）．答：他们共握了次手． 32．（24-25·湖北恩施·七年级校考阶段练习）（1）【观察思考】如图，线段上有两个点、，分别以点、、、为端点的线段共有________条． （2）【模型构建】若线段上有个点（包括端点），则该线段上共有___________条线段． （3）【拓展应用】若有10支球队参加校级篮球比赛，比赛采用单循环制（即每支球队之间都要进行一场比赛），请你应用上述模型构建，求一共要进行多少场比赛？ 【答案】（1）6；（2）；（3）45场 【详解】（1）解：∵以点A为左端点向右的线段有：线段AB、AC、AD， 以点C为左端点向右的线段有线段CD、CB， 以点D为左端点的线段有线段DB，∴共有3＋2＋1＝6（条）．故答案为：6； （2）设线段上有m个点，该线段上共有线段x条， 则x＝（m−1）＋（m−2）＋（m−3）＋…＋3＋2＋1， ∴倒序排列有x＝1＋2＋3＋…＋（m−3）＋（m−2）＋（m−1）， ∴2x＝m＋m＋m＋…＋m＝m（m−1），∴x＝m（m−1）．故答案为：； （3）把10支球队看作直线上的10个点，每两支球队之间的一场比赛看作一条线段， 由题知，当m＝10时，． 答：一共要进行45场比赛． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $