专题04 双（多）角平分线模型（角度）（几何模型讲义）数学新教材人教版七年级上册

专题04 双（多）角平分线模型（角度） 本模型是初中几何第一个重要模型，属于几何入门核心基石，贯穿七上到九年级。基础题直接套模型计算；中档题是射线动点，需要分类讨论（射线在角内部/外部）；压轴小问常结合多角平分线，用设元法求解。七上只要求会推导、规范书写步骤。 角平分线是几何线段、角度转化最基础工具。学好本模型，直接为后续：角平分线全等模型、平行线倒角、三角形内心、圆的圆周角倒角、相似倒角打基础。很多学生后面几何学不动，根源就是七上双角平分线模型没有吃透，不会用角平分线做角度等量代换。 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 2 模型1.双角平分线模型 2 模型2.角n等分线模型 7 易错点与方法总结 11 模型运用 12 A组（基础题） 12 B组（能力提升题） 16 C组（综合压轴题） 22 角平分线的最早系统研究可追溯至欧几里得（约公元前330—前275年）所著的《几何原本》，他首次将角平分线理论化，这也为后来数学工作者提炼双角平分线模型提供了理论支持，是从角平分线定义衍生出来的经典几何二级结论。在双角平分线模型基础上，通过推广角平分线的等分性质，形成更通用的角n等分线模型‌。两者均需结合图形分析，灵活选择结论或推导过程‌。 1）角平分线定义、角的和差； 2）平角、周角定义、三角形内角和； 3）角度计算中的方程思想。 模型1.双角平分线模型 【模型提炼与证明】 图1 图2 图3 1）双角平分线模型（两个角无公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC；结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，， ∴，∴。 2）双角平分线模型（两个角有公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC；结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，， ∴，∴。 3）拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角） 条件：如图3，已知∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC； 结论：。 证明：∵OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC，∴，， ∵∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，∴∠BOC+∠AOC=360°-∠AOB， ∴。 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级上·山东烟台·期末）如图，是直线上一点，为射线，若平分，平分，则的度数为____________． 【典例2】（25-26七年级上·甘肃白银·期末）如图，射线平分，射线平分，则下列等式中成立的有______（填序号）。①；②；③④． 【典例3】（25-26七年级下·浙江宁波·阶段检测）如图，在内部，已知，，平分，平分，则________． 【典例4】（25-26七年级上·山西忻州·期末）如图，，射线在内部，其中，在的下方，平分，平分，则的度数是_____． 【典例5】（25-26七年级上·辽宁营口·期末）如图是一直线，分别是的平分线．若，，则的度数为 ． 【典例6】（25-26七年级上·江苏镇江·期末）已知平分，，则的度数为（   ） A． B．或 C． D．或 【典例7】（25-26七年级上·吉林长春·阶段练习）如图1，已知内部有三条射线．平分，平分．（1）若，求； （2）若，，则________；（3）若，猜想出与的关系________． 【拓展提问】若射线在的外部如下图2，图3，，平分，平分，分别写出与的关系的结论．（直接写出结论） 模型2.角n等分线模型 【模型提炼与证明】 条件：如图，分别是和的平分线，分别是和的平分线，分别是和的平分线，…，分别是和的平分线； 结论：． 证明：，、分别是和的平分线， ，， 、分别是和的平分线，， ， 、分别是和的平分线，， ，…， 由此规律得：。 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级上·安徽六安·期末）如图，已知，平分，射线在内部，，作射线，使射线是三等分线，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 【典例2】（25-26七年级上·山东东营·期中）如图，，射线是的角平分线，射线是的角平分线，射线是的角平分线……以此类推，请借助所给图形思考的度数为 ． 【典例3】（25-26七年级上·上海普陀·期末）如图1，已知、是内的两条射线． (1)已知，，，那么________． (2)如图2，设的度数是，的度数是，作射线平分，射线平分． ①如果，，求的度数．②如图3，作平分，平分；作平分，平分，按此规律以此类推……作平分，平分，用含、、的代数式表示和的度数．（直接写出答案） 【典例4】（25-26七年级上·陕西渭南·期末）【概念理解】 新定义：如果的内部有一条射线将分成两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们称射线为的n倍分线．例如，如图1，则为的4倍分线．，则也是的4倍分线． 【数学思考】（1）如图1，若，则的度数为__________； 【初步应用】（2）如图2与互为补角，若分别为和的3倍分线，求的度数； 【问题解决】（3）如图3，点O在直线上，从O点分别作射线、、、，已知，且射线、恰好分别为和的3倍分线是的平分线，求的度数． 模型常见易错点 1）看到 “两条角平分线” 直接套公式，不看图形射线位置 解决方案：先画图！ 做题第一步画出草图，标记OC 在角内还是角外；内部相加、外部相减，公式只是推导结果，不能脱离图形。 2）动点题型，题目没有限定射线位置，漏掉分类讨论 解决方案：题干出现“平面内射线OC”，立刻警惕分类讨论，分为：OC在角内部、OC在角外部两大类。 3）解答题直接写模型结果，省略角平分线定义步骤，被扣步骤分 解决方案：答题硬性规范：只要出现角平分线，必须写出 “∵XX 平分∠X，∴∠XXX=1/2∠X”，再进行角度加减。 4）多角平分线题目，看错平分对象，分不清哪条射线平分哪个角 解决方案：图形上做标记：相同角度用相同弧线标记；多角平分线优先设最小角为x，用代数代替角，降低识图难度。 解题方法总结 解题步骤：① 识图标记：在图上用弧线标记被平分产生的相等角，确定分割射线在大角内部 / 外部； ② 提取条件：圈出 “平分” 关键词，写出角平分线定义的等式； ③ 模型判定：判断属于共顶点双角平分线，还是三角形双角平分线；多角平分线选择设元法； ④ 角度运算：利用角的和差，合并代数式； ⑤ 代入数值，计算结果； ⑥ 检查 + 作答：动点问题回头检查是否完成分类讨论，规范写答。 1．（25-25七年级上·吉林四平·期末）如图，是的两条三等分线，则下列等式不正确的是（   ） A． B． C． D． 2.（24-25七年级上·山东泰安·期中）如图，平分，平分，若，，则的大小是（    ） A． B． C． D． 3.（24-25·湖北七年级期中）如图，已知，，平分，平分，则的度数是 ．    4.（2024·江苏南京·中考真题）如图，点在同一条直线上，是的平分线，是的平分线．若，则 ． 5．（25-26七年级上·河南洛阳·期末）如图，，是位于内的一条射线，平分，平分．求的度数． 6．（25-26七年级上·湖北武汉·期末）已知． (1)如图1，判断与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，射线平分，射线平分，求的度数． 7．（25-26七年级上·安徽六安·期末）如图1，是内部的一条射线，、分别平分、．(1)若，，则_____； (2)与的大小有什么关系，写出你的结论并说明理由； (3)如图2，如果是外部的一条射线，、分别平分、．那么（2）中与的大小关系还成立吗？请说明理由． 8．（25-26七年级上·辽宁盘锦·期末）（1）如图1所示，射线在的内部，平分，平分．①当，请直接写出的度数为________． ②如图2所示，当，求的度数． （2）如图3所示，射线在的外部，平分，平分，，请直接用含的式子表示的度数． 1.（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）已知，，平分，平分，则的度数是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．（25-26七年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，已知O为直线上一点，以O为端点作射线，，将射线绕点O逆时针旋转，旋转速度为，旋转后对应射线为，旋转时间为t秒，当与重合时运动停止，射线为的角平分线，射线为的四等分线，即，当时，t的值为（    ） A．或28 B．或28 C．或 D． 3．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）定义：从角的顶点出发的射线将角平均分成三等分，则称该射线为角的三等分线．如图，已知，，若为的三等分线，则的度数为 ． 4．（25-26七年级上·四川成都·期末）如图，射线在内部． (1)已知射线在内部，且，射线在内部，且．若，求的值． (2)若，，从点引射线，满足，，请求出的值． 5．（25-26八年级上·广东云浮·期末）综合与实践 【特例感知】（1）如图1，线段，，，分别是，的中点，则． 【知识迁移】（2）我们发现角的很多规律和线段一样．如图，在的内部转动，射线 和射线 分别平分 和．①若，，求的度数． ②请你猜想 和之间有怎样的数量关系，并说明理由． 【类比探究】（）如图，在 的内部转动．若，，，，求的度数（用含有，的式子来表示）． 6．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，，将绕点顺时针旋转得到，再将绕点顺时针旋转得到分别平分． (1)若，则__________°； (2)若，求的度数； (3)在的变化过程中，的度数随着的变化而变化．直接写出的度数（用含有的代数式表示）及对应的的取值范围． 7．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）已知下图中的均为直角． (1)如图一，是的角平分线，是的角平分线； ①若，求的大小； ②若，请直接写出的度数（用含的代数式表示）； (2)如图二，若内部的射线OP、OQ把分成了三部分，且使得，我们称OP、OQ为的“三等分线”． 在图三中，OD是的三等分线，OE是的三等分线，且，请直接写出的度数（用含的代数式表示）． 1．（24-25七年级上·山东·期末）如图，是内部的一条射线，分别平分，平分．下列结论：①；②；③；④．其中，所有正确结论的序号 ． 2．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）问题情境：七年级数学活动周以探究“线段与角的共性”为主题，同学们通过类比线段的中点与角平分线知识与方法，促进同学们知识迁移与融合能力． (1)【特例感知】如图1，已知线段在线段上运动，线段，，点、分别是、的中点．解答下列问题： ①在如图1中，若，则的长______；（直接写出结果） ②小聪发现：保持线段在线段上运动，其他条件不变，则的长保持不变．小聪理由如下 分别是、的中点， ______，______， ，不变，的长不变； (2)【类比探究】小聪继续探究发现角与线段类似，如图2已知在内部转动，和分别平分和，则与、有一定的数量关系，说明理由． (3)【知识迁移】如图3，已知在内部转动，将和分别平分和改为分别作出射线，若，，直接写出与、的数量关系． 3．（25-26七年级上·上海·阶段练习）如图，已知在内部转动，射线和射线分别平分和。(1)若，，求的度数 (2)请你猜想，和三个角有怎样的数量关系？（直接写答案） (3)如图，在内部转动，若，，，，求的度数．（用含有的式子表示计算结果） 4．（24-25七年级上·四川成都·期末）若，我们则称是的“绝配角”．例如：若，，则是的“绝配角”，请注意：此时不是的“绝配角”． (1)如图1，已知，在内存在一条射线，使得是的“绝配角”，此时__________；（直接填写答案） (2)如图2，已知，若平面内存在射线、（在直线的上方），使得是的“绝配角”，，求大小； (3)如图3，若，射线从出发绕点以每秒的速度逆时针旋转，射线绕点从出发以每秒的速度顺时针旋转，平分，平分，运动时间为秒（）．若是的“绝配角”，求出此时的值． 5．（24-25七年级上·福建福州·期末）阅读理解：已知一个锐角，从这个角的顶点出发，在角的外部作一条射线，分别与这个角的两边组成两个角，若这两个角互为余角，则称该射线为“外邻余线”，例如，如图，已知，射线在外部，射线分别与的两边所组成的两个角是和，若和互为余角，则称射线是的“外邻余线”． (1)如图，已知是的“外邻余线”．求的度数． (2)如图，已知是的“外邻余线”，是的“外邻余线”，且，试判断是否为的三等分线？并说明理由． (3)如图，已知点在同一条直线上，平分平分和分别是和的“外邻余线”，求的度数（用含的式子表示）． 6．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）从一个角的顶点出发，把这个角分成三个相等的角的射线，叫作这个角的三等分线．如图1，有两条三等分线，射线是靠近射线的三等分线，射线是靠近射线的三等分线． (1)如图2，，射线是靠近射线的三等分线，则________； (2)如图3，，射线从与射线重合的位置开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转．射线从与射线重合的位置开始，绕点以每秒的速度顺时针旋转．当射线与射线重合时，运动停止； ①是否存在某个时刻（秒），使得的度数是，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由； ②在射线、、中，是否存在其中一条射线是另外两条射线组成的角的三等分线？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 7．（25-26七年级上·河南平顶山·期末）综合与探究 【背景知识】（1）如图1，线段，点C在上，，P是的中点，Q是中点，则___． （2）如图2，线段，，点C、D在线段上，且点C在点D的左侧，，P是的中点，Q是的中点，则_________． 【知识探究】（3）对于图1，若C是上的动点，其他条件不变，的长度是否发生改变？请说明理由． （4）对于图2，若线段在线段上运动，其他条件不变，的长是多少？ 【类比探究】（5）对于角，也有和线段类似的规律．如图3，已知在内部转动，射线在的左侧，，分别平分和，且，． ①若，，则的度数是__________． ②试判断：若在内部转动，的大小是否发生变化？如果不变，请直接写出的大小（用含α和β的式子表示），如果变化，请说明理由． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 双（多）角平分线模型（角度） 本模型是初中几何第一个重要模型，属于几何入门核心基石，贯穿七上到九年级。基础题直接套模型计算；中档题是射线动点，需要分类讨论（射线在角内部/外部）；压轴小问常结合多角平分线，用设元法求解。七上只要求会推导、规范书写步骤。 角平分线是几何线段、角度转化最基础工具。学好本模型，直接为后续：角平分线全等模型、平行线倒角、三角形内心、圆的圆周角倒角、相似倒角打基础。很多学生后面几何学不动，根源就是七上双角平分线模型没有吃透，不会用角平分线做角度等量代换。 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 2 模型1.双角平分线模型 2 模型2.角n等分线模型 7 易错点与方法总结 11 模型运用 12 A组（基础题） 12 B组（能力提升题） 16 C组（综合压轴题） 22 角平分线的最早系统研究可追溯至欧几里得（约公元前330—前275年）所著的《几何原本》，他首次将角平分线理论化，这也为后来数学工作者提炼双角平分线模型提供了理论支持，是从角平分线定义衍生出来的经典几何二级结论。在双角平分线模型基础上，通过推广角平分线的等分性质，形成更通用的角n等分线模型‌。两者均需结合图形分析，灵活选择结论或推导过程‌。 1）角平分线定义、角的和差； 2）平角、周角定义、三角形内角和； 3）角度计算中的方程思想。 模型1.双角平分线模型 【模型提炼与证明】 图1 图2 图3 1）双角平分线模型（两个角无公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，， ∴，∴。 2）双角平分线模型（两个角有公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，， ∴，∴。 3）拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角） 条件：如图3，已知∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC； 结论：。 证明：∵OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC，∴，， ∵∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，∴∠BOC+∠AOC=360°-∠AOB， ∴。 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级上·山东烟台·期末）如图，是直线上一点，为射线，若平分，平分，则的度数为____________． 【答案】 【详解】解：∵平分，平分，∴， ∴，∴． 【典例2】（25-26七年级上·甘肃白银·期末）如图，射线平分，射线平分，则下列等式中成立的有______（填序号）。①；②；③④． 【答案】① 【详解】解：∵平分，平分，∴，， ∵，∴，故①正确； ∵，∴，故②错误； ∵，∴， ∴，∴，故③错误； ∵，，∴，故④错误； 综上所述，等式中成立的只有①． 【典例3】（25-26七年级下·浙江宁波·阶段检测）如图，在内部，已知，，平分，平分，则________． 【答案】 【详解】解：∵平分，，∴， ∵ 平分，，∴，∴． 【典例4】（25-26七年级上·山西忻州·期末）如图，，射线在内部，其中，在的下方，平分，平分，则的度数是_____． 【答案】 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵，即， ∵，∴，故答案为：度 ． 【典例5】（25-26七年级上·辽宁营口·期末）如图是一直线，分别是的平分线．若，，则的度数为 ． 【答案】 【详解】解：平分，， 又，，同理． 又，． 【典例6】（25-26七年级上·江苏镇江·期末）已知平分，，则的度数为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【详解】解：∵，平分，∴． 情况1：当在外部时，如图，∵∴． 情况2：当在内部时 ∵∴． 综上，的度数为或，故选：D． 【典例7】（25-26七年级上·吉林长春·阶段练习）如图1，已知内部有三条射线．平分，平分．（1）若，求； （2）若，，则________；（3）若，猜想出与的关系________． 【拓展提问】若射线在的外部如下图2，图3，，平分，平分，分别写出与的关系的结论．（直接写出结论） 【答案】（1）；（2）；（3）；【拓展提问】图2：；图3： 【详解】解：（1）∵，平分，平分， ∴，∴； （2）∵，，平分，平分， ∴， ∴；故答案为：； （3）平分，平分，∴， ∴， ∵，∴；故答案为：； 【拓展提问】如图2，∵平分，平分，∴， ∴，∵，∴； 如图3，∵平分，平分，∴， ∴， ∵，∴． 模型2.角n等分线模型 【模型提炼与证明】 条件：如图，分别是和的平分线，分别是和的平分线，分别是和的平分线，…，分别是和的平分线； 结论：． 证明：，、分别是和的平分线， ，， 、分别是和的平分线，， ， 、分别是和的平分线，， ，…， 由此规律得：。 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级上·安徽六安·期末）如图，已知，平分，射线在内部，，作射线，使射线是三等分线，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】解： 平分，，， ，，∵是三等分线，∴①若， 则，； ②若，则，； 综上，的度数为或，故选：C． 【典例2】（25-26七年级上·山东东营·期中）如图，，射线是的角平分线，射线是的角平分线，射线是的角平分线……以此类推，请借助所给图形思考的度数为 ． 【答案】 【详解】解：∵，射线是的角平分线，∴， ∵射线是的角平分线，∴， ∵射线是的角平分线，∴， ∴，则．故答案为：． 【典例3】（25-26七年级上·上海普陀·期末）如图1，已知、是内的两条射线． (1)已知，，，那么________． (2)如图2，设的度数是，的度数是，作射线平分，射线平分． ①如果，，求的度数．②如图3，作平分，平分；作平分，平分，按此规律以此类推……作平分，平分，用含、、的代数式表示和的度数．（直接写出答案） 【答案】(1)(2)①；②， 【详解】（1）解：∵，，∴， 又∵，∴，故答案为：； （2）解：①∵，，∴， ∵平分，平分．∴， ∴，∴； ②∵的度数是，的度数是，∴， ∵平分，平分．∴， ∴，又∵平分，平分， ∴，∴， 同理，， ∴， ∴． 【典例4】（25-26七年级上·陕西渭南·期末）【概念理解】 新定义：如果的内部有一条射线将分成两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们称射线为的n倍分线．例如，如图1，则为的4倍分线．，则也是的4倍分线． 【数学思考】（1）如图1，若，则的度数为__________； 【初步应用】（2）如图2与互为补角，若分别为和的3倍分线，求的度数； 【问题解决】（3）如图3，点O在直线上，从O点分别作射线、、、，已知，且射线、恰好分别为和的3倍分线是的平分线，求的度数． 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）解：∵ ，OQ是的4倍分线， ∴ ，∴ ， ∵ OP是的4倍分线，∴ ，∴ 故答案为：． （2）解：∵ 与互为补角，∴ ， ∵ OP是的3倍分线，且，∴ ， ∵ OQ是的3倍分线，且，∴ ， ∴ ． （3）解：设，∵ OM是的3倍分线，且， ∴ ，．设， ∵ ON是的3倍分线，且，∴ ，． ∵ 点O在直线AB上，∴ ，，． ∵ ，∴ ， 联立方程：解得：，． ∵ OC是的平分线，∴ ， ∴ ．答：的度数为． 模型常见易错点 1）看到 “两条角平分线” 直接套公式，不看图形射线位置 解决方案：先画图！ 做题第一步画出草图，标记OC 在角内还是角外；内部相加、外部相减，公式只是推导结果，不能脱离图形。 2）动点题型，题目没有限定射线位置，漏掉分类讨论 解决方案：题干出现“平面内射线OC”，立刻警惕分类讨论，分为：OC在角内部、OC在角外部两大类。 3）解答题直接写模型结果，省略角平分线定义步骤，被扣步骤分 解决方案：答题硬性规范：只要出现角平分线，必须写出 “∵XX 平分∠X，∴∠XXX=1/2∠X”，再进行角度加减。 4）多角平分线题目，看错平分对象，分不清哪条射线平分哪个角 解决方案：图形上做标记：相同角度用相同弧线标记；多角平分线优先设最小角为x，用代数代替角，降低识图难度。 解题方法总结 解题步骤：① 识图标记：在图上用弧线标记被平分产生的相等角，确定分割射线在大角内部 / 外部； ② 提取条件：圈出 “平分” 关键词，写出角平分线定义的等式； ③ 模型判定：判断属于共顶点双角平分线，还是三角形双角平分线；多角平分线选择设元法； ④ 角度运算：利用角的和差，合并代数式； ⑤ 代入数值，计算结果； ⑥ 检查 + 作答：动点问题回头检查是否完成分类讨论，规范写答。 1．（25-25七年级上·吉林四平·期末）如图，是的两条三等分线，则下列等式不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：是的两条三等分线，， ，故A选项等式正确，不符合题意； ，，即， ，故B选项等式不正确，符合题意； ，故C选项等式正确，但不符合题意； ，，故D选项等式正确，但不符合题意．故选：B． 2.（24-25七年级上·山东泰安·期中）如图，平分，平分，若，，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵平分，平分，∴，， ∵，， ∴， 设，则，∴，解得：， ∴，故选：A． 3.（24-25·湖北七年级期中）如图，已知，，平分，平分，则的度数是 ．    【答案】 【详解】解：∵，，∴， ∵平分，平分，∴，， ∴，故答案为：． 4.（2024·江苏南京·中考真题）如图，点在同一条直线上，是的平分线，是的平分线．若，则 ． 【答案】 【详解】解：∵，∴， ∵是的平分线，∴， ∴，∴， ∵是的平分线，， ∴；故答案为： 5．（25-26七年级上·河南洛阳·期末）如图，，是位于内的一条射线，平分，平分．求的度数． 【答案】 【详解】解：∵平分，平分，∴，， ∴， 又∵，，∴． 6．（25-26七年级上·湖北武汉·期末）已知． (1)如图1，判断与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，射线平分，射线平分，求的度数． 【答案】(1)解：，理由如下： ，， ， ，； （2）解：由（1）知， 又射线平分，射线平分， ， ． 7．（25-26七年级上·安徽六安·期末）如图1，是内部的一条射线，、分别平分、． (1)若，，则_____； (2)与的大小有什么关系，写出你的结论并说明理由； (3)如图2，如果是外部的一条射线，、分别平分、．那么（2）中与的大小关系还成立吗？请说明理由． 【详解】（1）解：、分别平分，，， ，， ∵，，故答案为：； (2)，理由如下：、分别平分，，， ， ，； (3)成立，理由如下，、分别平分，， ， ， 又∵，． 8．（25-26七年级上·辽宁盘锦·期末）（1）如图1所示，射线在的内部，平分，平分．①当，请直接写出的度数为________． ②如图2所示，当，求的度数． （2）如图3所示，射线在的外部，平分，平分，，请直接用含的式子表示的度数． 【答案】（1）①，②；（2） 【详解】解：（1）①平分，平分．，， ，，故答案为：； ②平分，平分．，，， ，， （2）平分，平分．，，， ， ，∴． 1.（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）已知，，平分，平分，则的度数是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【详解】解：分为两种情况：如图1，当在内部时， ，，， 平分，平分，，， ； 如图2，当在外部时，，，， 平分，平分，，， ；综上，的度数是或．故选:C． 2．（25-26七年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，已知O为直线上一点，以O为端点作射线，，将射线绕点O逆时针旋转，旋转速度为，旋转后对应射线为，旋转时间为t秒，当与重合时运动停止，射线为的角平分线，射线为的四等分线，即，当时，t的值为（    ） A．或28 B．或28 C．或 D． 【答案】B 【详解】解：①当时，， ∵射线为的角平分线，射线为的四等分线， ∴，， ∴，解得（舍去）或； ②当时，， ∵射线为的角平分线，射线为的四等分线， ∴，， ，解得（舍去）或； 综上所述，t的值为或28；故选：B． 3．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）定义：从角的顶点出发的射线将角平均分成三等分，则称该射线为角的三等分线．如图，已知，，若为的三等分线，则的度数为 ． 【答案】或 【详解】解：分两种情况讨论：①当时， 如图，，为的三等分线，， ，； ②当时，如图，，为的三等分线， ，； 综上，的度数为或，故答案为：或． 4．（25-26七年级上·四川成都·期末）如图，射线在内部． (1)已知射线在内部，且，射线在内部，且．若，求的值． (2)若，，从点引射线，满足，，请求出的值． 【答案】(1)(2)n的值为或 【详解】（1）解：∵射线在内部，且， ∴，∴ ； （2）解：当射线在内部时，设，则， ∵，而， ∴， ∴，解得， 又∵，，∴，解得； 当射线在射线的下方时，同理可得，， 又∵，∴， 解得；当射线在射线的左侧时，明显不成立． 综上所述，n的值为或． 5．（25-26八年级上·广东云浮·期末）综合与实践 【特例感知】（1）如图1，线段，，，分别是，的中点，则． 【知识迁移】（2）我们发现角的很多规律和线段一样．如图，在的内部转动，射线 和射线 分别平分 和．①若，，求的度数． ②请你猜想 和之间有怎样的数量关系，并说明理由． 【类比探究】 （）如图，在 的内部转动．若，，，，求的度数（用含有，的式子来表示）． 【详解】解：（1）∵，分别是的中点， ∴，， ∴， ∴ （2）①由条件可知， 所以． 因为， 所以， 所以， 所以． ②． 理由：由条件可知， 所以， 所以 ． （3）由条件可知． 因为， 所以， 所以， 所以． 6．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，，将绕点顺时针旋转得到，再将绕点顺时针旋转得到分别平分． (1)若，则__________°； (2)若，求的度数； (3)在的变化过程中，的度数随着的变化而变化．直接写出的度数（用含有的代数式表示）及对应的的取值范围． 【答案】(1)55(2)(3)当时，；当时，；当时， 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵是的平分线，∴， ∵是的平分线，∴， ∴，故答案为：55； （2）解：如图， ∵，∴, ∵是的平分线，∴， ∵是的平分线，∴， ∴， （3）解：①当时，的平分线在内部，如图， ∵，∴， ∵是的平分线，∴， ∵是的平分线，∴， ∴； ②当时，与重合，当时，如图， 同理可得， ∵是的平分线，∴， ∵是的平分线，∴， ∴； 当时，在的下方，如图， 同理可得，． 综上，当时，；当时，；当时，． 7．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）已知下图中的均为直角． (1)如图一，是的角平分线，是的角平分线； ①若，求的大小； ②若，请直接写出的度数（用含的代数式表示）； (2)如图二，若内部的射线OP、OQ把分成了三部分，且使得，我们称OP、OQ为的“三等分线”． 在图三中，OD是的三等分线，OE是的三等分线，且，请直接写出的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1)①；②；(2)或或或． 【详解】（1）解：是的角平分线，是的角平分线 ∴，∵均为直角∴ ①由可得，∴； ②由可得，∴； （2）是的三等分线，是的三等分线，分以下四种情况， 当是靠近的三等分线，是靠近的三等分线时， ，，∴； 当是靠近的三等分线，是靠近的三等分线时， ，，∴； 当是靠近的三等分线，是靠近的三等分线时， ，，∴； 当是靠近的三等分线，是靠近的三等分线时， ，，∴； 综上：的度数为或或或． 1．（24-25七年级上·山东·期末）如图，是内部的一条射线，分别平分，平分．下列结论：①；②；③；④．其中，所有正确结论的序号 ． 【答案】①②③④ 【详解】解：∵分别平分，∴， ∴， ∵平分，∴，∴，故①正确； ∴，即，故②正确； ∵，∴，故③正确； ，故④正确． 故答案为：①②③④ 2．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）问题情境：七年级数学活动周以探究“线段与角的共性”为主题，同学们通过类比线段的中点与角平分线知识与方法，促进同学们知识迁移与融合能力． (1)【特例感知】如图1，已知线段在线段上运动，线段，，点、分别是、的中点．解答下列问题： ①在如图1中，若，则的长______；（直接写出结果） ②小聪发现：保持线段在线段上运动，其他条件不变，则的长保持不变．小聪理由如下 分别是、的中点， ______，______， ，不变，的长不变； (2)【类比探究】小聪继续探究发现角与线段类似，如图2已知在内部转动，和分别平分和，则与、有一定的数量关系，说明理由． (3)【知识迁移】如图3，已知在内部转动，将和分别平分和改为分别作出射线，若，，直接写出与、的数量关系． 【答案】(1)①6；②，．(2)，理由见解析(3) 【详解】（1）解：①∵线段，，点、分别是、的中点． ∴，，∴ ，故答案为；； ②小聪发现：保持线段在线段上运动，其他条件不变，则的长保持不变．小聪理由如下 分别是、的中点，，， ， ，不变，的长不变； （2）解：， 理由如下：∵和分别平分和，∴， ∴ ； （3）解：， 理由如下：∵，，∴， ∴ ． 3．（25-26七年级上·上海·阶段练习）如图，已知在内部转动，射线和射线分别平分和 (1)若，，求的度数 (2)请你猜想，和三个角有怎样的数量关系？（直接写答案） (3)如图，在内部转动，若，，，，求的度数．（用含有的式子表示计算结果） 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：∵射线和射线分别平分和． ， ． （2）解：，∵射线和射线分别平分和． ， ，即； （3）解：，， 又 ∵，， ． 4．（24-25七年级上·四川成都·期末）若，我们则称是的“绝配角”．例如：若，，则是的“绝配角”，请注意：此时不是的“绝配角”． (1)如图1，已知，在内存在一条射线，使得是的“绝配角”，此时__________；（直接填写答案） (2)如图2，已知，若平面内存在射线、（在直线的上方），使得是的“绝配角”，，求大小； (3)如图3，若，射线从出发绕点以每秒的速度逆时针旋转，射线绕点从出发以每秒的速度顺时针旋转，平分，平分，运动时间为秒（）．若是的“绝配角”，求出此时的值． 【答案】(1)(2)的度数为或(3)的值为或或 【详解】（1）解：已知，∴，则， ∵是的“绝配角”，∴，∴， 解得，，故答案为：； （2）解：如图所示，当在内部时， 由（1）可得，，∴， ∵，∴，∴； 如图所示，当在外部时， ∴，∴， ∵是的“绝配角”，∴， ∴，解得，，∴， ∵，∴，∴； 综上所述，的度数为或； （3）解：∵，是的“绝配角”， ∴，∴， 由题意可得，，， ∵平分，平分，∴，， ①当未转够，即时，如图所示， ∴，，整理得，，解得，； ②当转够，即时， 由题意可得，转了，，∴， ∵平分，平分， ∴，，如图所示， ∴，∴，∴， 整理得，，解得，； ③当时，若时，，射线旋转超过，，超过， 转了，转了，如图所示， ∴，，∵平分，平分， ∴，， ∵，∴，整理得，， 解得，；综上所述，的值为或或． 5．（24-25七年级上·福建福州·期末）阅读理解：已知一个锐角，从这个角的顶点出发，在角的外部作一条射线，分别与这个角的两边组成两个角，若这两个角互为余角，则称该射线为“外邻余线”，例如，如图，已知，射线在外部，射线分别与的两边所组成的两个角是和，若和互为余角，则称射线是的“外邻余线”． (1)如图，已知是的“外邻余线”．求的度数． (2)如图，已知是的“外邻余线”，是的“外邻余线”，且，试判断是否为的三等分线？并说明理由． (3)如图，已知点在同一条直线上，平分平分和分别是和的“外邻余线”，求的度数（用含的式子表示）． 【详解】（1）解：∵是的“外邻余线”，∴， 情况在远离的一侧 此时．设，则， ∴，得，∴． 情况在远离的一侧 此时．设，则， ∴，解得，综上的度数为或． (2)是三等分线，理由如下：∵是的“外邻余线”， 即与互余，∴， 又∵，∴，∴； ∵是的“外邻余线”，即与互余，∴， ∴，∴，∴． ∴，∴是的三等分线； （3）解：∵点在同一条直线上，， ∴，∴． ∵平分，∴， ∵平分，∴， ∵是的“外邻余线”，是的“外邻余线”， ∴， ∴． 即， 又∵，∴，∴， ∴． 6．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）从一个角的顶点出发，把这个角分成三个相等的角的射线，叫作这个角的三等分线．如图1，有两条三等分线，射线是靠近射线的三等分线，射线是靠近射线的三等分线． (1)如图2，，射线是靠近射线的三等分线，则________； (2)如图3，，射线从与射线重合的位置开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转．射线从与射线重合的位置开始，绕点以每秒的速度顺时针旋转．当射线与射线重合时，运动停止； ①是否存在某个时刻（秒），使得的度数是，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由； ②在射线、、中，是否存在其中一条射线是另外两条射线组成的角的三等分线？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)①或；②或或或 【详解】（1）解：射线是靠近射线的三等分线， ；故答案为：； （2）解：①存在，（i）当相遇前， ， ，，即，解得； （ii）当相遇后，， ，，，解得； 综上，存在，或时，的度数是； ②存在，（i）当相遇前，射线是靠近射线的三等分线， ，， ，即，解得； （ii）当相遇前，射线是靠近射线的三等分线， ，， ，解得； （iii）当相遇后，射线是靠近射线的三等分线， ，， ，解得； （iv）当相遇后，射线是靠近射线的三等分线， ，， ，解得； 综上，存在，或或或． 7．（25-26七年级上·河南平顶山·期末）综合与探究 【背景知识】（1）如图1，线段，点C在上，，P是的中点，Q是中点，则___． （2）如图2，线段，，点C、D在线段上，且点C在点D的左侧，，P是的中点，Q是的中点，则_________． 【知识探究】（3）对于图1，若C是上的动点，其他条件不变，的长度是否发生改变？请说明理由． （4）对于图2，若线段在线段上运动，其他条件不变，的长是多少？ 【类比探究】（5）对于角，也有和线段类似的规律．如图3，已知在内部转动，射线在的左侧，，分别平分和，且，． ①若，，则的度数是__________． ②试判断：若在内部转动，的大小是否发生变化？如果不变，请直接写出的大小（用含α和β的式子表示），如果变化，请说明理由． 【详解】解：（1）∵，，∴， ∵P是的中点，Q是中点，∴，， ∴； （2）∵，，∴， ∵，∴， ∵P是的中点，Q是的中点，∴，， ∴； （3）的长度不发生改变，理由如下： ∵P是的中点，Q是中点，∴，， ∴，∴的长度不发生改变； （4）∵，，∴， ∵P是的中点，Q是的中点，∴，， ∴； （5）①∵，，∴， ∵，分别平分和，∴，， ∴ ； ②大小不变，∵，，∴， ∵，分别平分和，∴，， ∴ ． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $