专题02 数轴中的九类动态模型（几何模型讲义）数学新教材人教版七年级上册

该初中数学讲义以“数轴动态问题”为核心，通过九类模型框架图系统构建知识体系，涵盖动态规律、中点等分点、单多动点等类型，用思维导图呈现“动点表示-距离计算-分类讨论”的解题逻辑，突出数形结合思想与重难点分布。 亮点在于分层练习设计与模型化方法指导，如动态定值模型通过参数消去法验证恒定性，双动点追及问题用分类讨论模板培养推理意识。A组基础题、B组提升题、C组压轴题满足不同层次需求，助力学生抽象能力与模型意识提升，为教师精准教学提供系统资源。

专题02 数轴中的九类动态模型 数轴中的动态压轴问题属于人教版七年级上册必考压轴题型，主要以数轴为载体，体现动态分析、分类讨论和数形结合等思想，考查学生的分析与综合能力。要求学生吃透数轴动点的核心模型，掌握动点表示、距离计算、最值、相遇追及推导逻辑，规避高频易错点，熟练套用标准化解题模板，实现所有数轴动态题型全覆盖、解题步骤规范化。 模型来源 1 知识储备 1 例讲模型 2 模型1.动态规律（左右跳跃）模型 2 模型2.动态中点与n等分点模型 4 模型3.单（多）动点匀速模型 8 模型4.单（多）动点变速模型 11 模型5.动点往返运动模型 15 模型6.动态定值（无参型）模型 19 模型7.动态定值（含参型）模型 22 模型8.数轴折叠（翻折）模型 26 模型9.数轴上的线段移动模型 29 易错点与方法总结 34 模型运用 35 A组（基础题） 35 B组（能力提升题） 42 C组（综合压轴题） 52 数轴中的动态模型（如动点问题）的历史发展，本质上是数轴工具与运动数学思想结合的产物，其演变可分为三个阶段：工具创造‌（17世纪）→动态启蒙‌（19-20世纪）→教学定型‌（21世纪）。数轴动态模型是‌笛卡尔几何工具‌与‌运动数学思想‌在教育场景中的实践结晶，其发展映射了数学从抽象理论向应用建模的转化过程。 数轴动态压轴模型（动点模型）的核心本质：用代数式子表示数轴上运动的点，将几何点的运动问题，转化为代数方程、不等式、绝对值计算问题。 ①若A、B两点在数轴上对应的数字是 a、b，则AB两点间的距离；AB中点对应的数字是：。 ②数轴动点问题主要步骤： 1）画图：在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度； 2）写点：写出所有点表示的数：常用含t的代数式表示，向右运动用“+”表示，向左运动用“-”表示； 3）表示距离：右—左，若无法判定两点的左右需加绝对值； 4）列式求解：根据条件列方程或代数式，求值。 注意：要注意动点是否会来回往返运动，速度是否改变等。 ③核心数学思想：数形结合、动态分析、分类讨论，是初中从静态几何向动态几何过渡的首个核心模型，也是后续平面直角坐标系动点、几何动点问题的基础。 （1）数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，注意多种情况的分类讨论。 （2）对于两个动点P、Q，若点P、Q的左右位置关系不明确或有多种情况，可用p、q两数差的绝对值表示PQ 两点距离，从而避免复杂分类讨论。 模型1.动态规律（左右跳跃）模型 【模型提炼与证明】 1. 运动规律性‌：动点按“左右交替”方向移动，步长呈现递增或周期性变化。 1. ‌代数表达‌：动点位置需用含时间变量t的代数式表示。 1. 例如，第n次移动后的位置可表示为：xn=xn−1±kn，其中k为步长基数，符号由移动方向决定。 1. ‌分类讨论‌：根据移动次数、方向变化和步长规律进行分段分析，尤其注意动点是否跨越原点或特定临界点。 常见模型（1）：“1左1右”的等差数列式跳跃，两个一组根据规律计算即可； 常见模型（2）：“2左2右”的等差数列式跳跃，四个一组根据规律计算即可。 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级上·重庆·阶段练习）一个动点P从数轴上的原点O出发开始移动，第1次向右移动1个单位长度到达点，第2次向右移动2个单位长度到达点，第3次向左移动3个单位长度到达点，第4次向左移动4个单位长度到达点，第5次向右移动5个单位长度到达点，…，点P按此规律移动，则移动第2022次后到达的点在数轴上表示的数为（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】D 【详解】解：∵表示的数为+1，表示的数为+3，表示的数为0，表示的数为，表示的数为+1，.....， ∴每移动四次相当于向左移动4个单位长度， ∵2022÷4=505……2，∴，∴在数轴上表示的数为2023，故选：D． 【典例2】（24-25七年级上·北京·期中）一个电子蚂蚁从数轴上的原点出发，按下列规则运动：先沿数轴的正方向前进5个单位，然后后退3个单位，如此反复进行；已知电子蚂蚁每秒只能前进或后退1个单位．设表示第秒电子蚂蚁在数轴上的位置所对应的数，则为 ，所表示的数在数轴上对应的位置，电子蚂蚁在运动过程中会经过 次． 【答案】 506 4 【详解】解：依题意得，点P每8秒完成一个前进和后退，各数据依次为： 1、2、3、4、5、4、3、2； 3、4、5、6、7、6、5、4； 5、6、7、8、9、8、7、6； 7、8、9、10、11、10、9、8； 9、10、11、12、13、12、11、10； 11、12、13、14、15、14、13、12；……． 因为，所以第2024秒对应的数位于第253行第8个数． 由数据发现，数据的第8列数的规律为：（n为行数），所以． 由数据发现，除1，2，3外，都重复4次， 所以所表示的数在数轴上对应的位置，电子蚂蚁在运动过程中会经过4次．故答案为：506，4． 【典例3】（25-26七年级上·浙江·专题练习）如图，一动点从原点开始向左运动，每秒运动个单位长度，规定：每向左运动秒就向右运动秒．则动点运动到第秒时所对应的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：当动点从原点出发向左运动秒，到达的点表示的数为， 再向右运动秒到达的点表示的数为，动点运动秒向左移动个单位长度， ，动点向左运动了个秒， 动点运动到第秒时所对应的数是．故选：A． 模型2. 动态中点与n等分点模型 【模型提炼与证明】 1）动态中点模型：动态中点指两动点在数轴上运动时，其中点位置随动点运动而变化。设动点A和B在时间t的位置分别为xA（t）和xB（t），则动态中点M（t）的坐标：。 该公式适用于任意时刻动态中点计算。 2）动态n等分模型：将线段AB分为n等份时，第k个等分点的坐标为：。 若A和B为动点，则等分点位置随时间变化，需建立动态表达式。 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级上·河南郑州·期中）如图，已知数轴上点A表示的数为4，点B表示的数为1，C是数轴上一点，C在原点左侧，且，动点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点C表示的数为______，并用含 t的代数式表示点P所表示的数为______； (2)设M是的中点，N是的中点，点P在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求线段的长度； (3)动点Q从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点R从点C出发，以每秒1个单位长度沿数轴向左匀速运动，若P、Q、R三点同时出发，在运动过程中，P到R的距离、P到Q的距离，这两段距离何时相等，请求出此时t的值． 【答案】(1)；(2)点P在运动过程中，线段的长度不发生变化，其值为5(3)t的值为1或 【详解】（1）解：设点C表示的数为x，根据题意得：，解得：， 数轴上点C表示的数为，当运动时间为t秒时，点P表示的数为．故答案为：，； （2）解：线段的长度不发生变化，其值为．当运动时间为t秒时，点P表示的数为， 是的中点，N是的中点， 点M表示的数为，点N表示的数为，， 点P在运动过程中，线段的长度不发生变化，其值为5； （3）解：当运动时间为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为，点R表示的数为， 根据题意得：，即或， 解得：或．答：t的值为1或． 【典例2】（25-26七年级上·江西赣州·期末）在数轴上，点在原点，点在原点的左侧，点在原点的右侧，点距离原点12个单位长度，点距离原点2个单位长度． (1)点对应的数为________，______个单位长度．(2)若点为数轴上一点，且，求的长． (3)点从点以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点从点以每秒3个单位长度的速度也向右运动，在运动过程中，设运动时间为秒，当三个点，其中有一个点与另外两个点的距离相等时，求的值． 【答案】(1)，14(2)的长为10或18(3)的值为2或6或26 【详解】（1）解：∵在数轴上，点A在原点的左侧，点B在原点的右侧，点A距离原点12个单位长度，点B距离原点2个单位长度，∴点A对应的数为，点B对应的数为2， ∴A，B两点之间的距离为．故答案为：，14； （2）解：∴①当在左侧时 ②当在右侧时 综上所述，的长为10或18 （3）解：①当时，，解得； ②当时（与重合），，解得； ③当时，，解得， 综上所述，的值为2或6或26 【典例3】（25-26七年级上·湖北荆门·期末）定义：数轴上的三个点A、B、C，若其中一个点到另外两个点之间的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“奇妙点”．例如数轴上点A、B、C所表示的数分别为5、8、9，此时点B是点A、C的“奇妙点”．若点A表示数，点B表示数15． (1)如图1，若点M表示数25，判断点M是否为点A，B的“奇妙点”，并说明理由； (2)如图2，点N是数轴上位于点A的左侧，且点N是点A、B的“奇妙点”，求点N表示的数； (3)若动点P、Q分别从点A、B位置同时出发，分别以每秒1个单位长度、每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，运动时间为t秒．①当点Q运动多少秒时，点Q追上点P？②在运动过程中，求出点P运动多少秒时点A成为点P、Q的“奇妙点”？ 【答案】(1)是，理由见解析(2)(3)①20秒；②4秒或秒或12秒 【详解】（1）解：∵，，∴∴点M为点A、B的“奇妙点” （2）解：设点N表示的数为x，∴， ∵点N是数轴上位于点A的左侧，且点N是点A、B的“奇妙点”， ∴∴∴∴点N表示的数为； （3）解：运动t秒后，点P表示的数为，点Q表示的数为， ①∵点Q追上点P，∴，解得，∴运动20秒后，点Q追上点P． ②当Q在点A、B之间运动时，，， 当时，，解得， 当时，，解得， 当Q运动到点A左边时，，， 则，，解得， 综上所述，点运动4秒或秒或12秒时点A成为点P、Q的“奇妙点”． 【典例4】（24-25七年级上·湖南长沙·期中）【知识准备】若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为．（1）在一条数轴上，O为原点，点对应的数为，点对应的数为，且有，则的中点N所对应的数为_____． 【问题探究】（2）在（1）的条件下，若点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时点Q从点D出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动．设运动时间为秒，为何值时，的中点所对应的数为1？ 【拓展延伸】（3）若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为靠近点A的三等分点，则我们有三等分点公式：点M对应的数为；若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为最靠近点A的四等分点，则我们有四等分点公式：点M对应的数为． 填空：若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的等分点，则我们有等分点公式：点M对应的数为_____．（其中n为正整数） 【答案】（1）；（2）；（3）； 【详解】解：（1）∵，∴，，解得：，， ∴点对应的数为，点对应的数为，∴的中点N所对应的数为； （2）由（1）知，，，则点所对应的数为，点所对应的数为． 则中点所对应的数为，解得：． （3）∵数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的等分点， ∴点M对应的数为． 模型3. 单（多）动点匀速模型 【模型提炼与证明】 模型（1）:动点P从点A（点A在数轴上对应的数是a）出发，以每秒v个单位的速度向右移动，t秒后，到达B点，B点对应的数是：a+vt。 模型（2）:动点P从点A（点A在数轴上对应的数是a）出发，以每秒v个单位的速度向左移动，t秒后，到达C点，C点对应的数是：a-vt。 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级下·河南南阳·阶段练习）如图，点A在数轴上表示的数为，点B在数轴上表示的数为8，C是线段上的一点，且．动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动．若，则点P的运动时间为 秒． 【答案】3或5/5或3 【详解】解：∵点A在数轴上表示的数为，点B在数轴上表示的数为8，点C是线段上一点，且， ，，，∴点C在数轴上表示的数为． 当运动时间为t秒时，点P在数轴上表示的数为， ，，即或，解得：或， 点P运动秒或秒，，故答案为：或． 【典例2】（25-26七年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在数轴上点表示的数是，点在点的右侧，且到点的距离是16，点在点，之间，且到点的距离与到点的距离相等． (1)点B表示的数是_____；点C表示的数是_____． (2)若点从点出发，沿数轴以每秒4个单位长度的速度向右运动，同时点从点出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向左运动．设运动时间为秒，在运动过程中，当为何值时，点与点相遇？ (3)在（2）的条件下，是否存在符合条件的值，使得？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，(2)(3)存在，或 【详解】（1）解：由题意得，点B表示的数是，点C表示的数是，故答案为：，； （2）解：由题意得，，解得，∴当时，点与点相遇； （3）解：存在，由题意得，，解得或． 【典例3】（25-26七年级上·江西赣州·期末）已知：b是最小的正整数，且a、b、c满足，请回答问题． (1)请直接写出a、b、c的值．______，______，______； (2)a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为一动点，其对应的数为x，点P在0到1之间运动时，请化简式子：（请写出化简过程）； (3)在（1）（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度也向左运动，运动时间为是否存在t，使A、B、C中一点是其它两点的中点，若存在，求t的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)；1；5(2)(3)t的值是或1或 【详解】（1）解：∵b是最小的正整数，∴， ∵，∴，，∴，； （2）解：当时，； （3）解：存在t，使A、B、C中一点是其它两点的中点，理由如下： 根据题意，运动后A表示的数是，B表示的数是，C表示的数是， ①A是的中点时，，解得， ②B是中点时，，解得， ③C是中点时，，解得， 综上所述，t的值是或1或． 模型4. 单（多）动点变速模型 【模型提炼与证明】 单个动点在数轴上运动时，速度随时间或位置发生改变，需分段描述其运动轨迹。 例如：动点先以速度v1运动t1秒，再以速度v2反向运动t2秒。 其‌位置表达式‌：分段表示为x(t)=x0+v1t（0≤t≤t1）和x(t)=x(t1)−v2(t−t1)（t1<t≤t1+t2）。 上式中为x0初始位置，x(t)为t时刻的位置。 多个动点以不同速度或方向变化协同运动，需分别建模后寻找关联条件（如相遇、距离等）。 动态关系式‌：分别表示各动点位置，再通过相遇条件xP(t)=xQ(t)或距离公式∣xP(t)−xQ(t)∣=L列方程。 上式中xP(t)为动点P在t时刻的位置；xQ(t)为动点Q在t时刻的位置。 数轴上的单（多）动点变速模型用于描述动点在运动中速度发生变化的场景，需结合分段分析（按时间或位置划分运动阶段，确保每个阶段内速度恒定）和动态方程构建解决问题，最后注意检查解是否在对应时间段内，排除超时或重复解。 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级上·四川成都·期末）如图，在数轴上，点，在原点的两侧，分别表示，，．点以每秒个单位的速度从点向右运动，同时，点以每秒个单位的速度从点向左运动，是线段的中点，设运动时间为． (1)求点与点之间的距离；(2)当为何值时，，并求出此时点表示的数； (3)在，两点开始运动时，点以每秒个单位的速度从点向左运动．点经过原点后，其速度变为原来的倍，点变速后，若线段的长度始终是一个定值，求的值． 【答案】(1)(2)的值为或，点表示的数为或(3) 【详解】（1）解：∵点表示的数为， ∴， ∵，∴， ∵点在原点的两侧，∴点表示的数为，∴ ； （2）解：当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 根据题意得，， 即或， 解得或， 当时，； 当时，； 答：当的值为或时，，此时点表示的数为或； （3）解：若，则， 当时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，∴， ∵点变速后，若线段的长度始终是一个定值，∴，∴． 【典例2】（24-25七年级上·重庆·期中），如图1，点与点到原点的距离相等，、、分别表示、、三点在数轴上对应的数，如图2，我们将数轴在点和点处各弯折一次，使与处于水平位置、动点从点出发到点停止，以每秒2个单位的速度沿数轴正方向运动，上坡时的速度变为原来的一半，之后恢复原来的速度，动点从点处出发到点停止，以每秒1个单位的速度沿数轴负方向运动，下坡时的速度变为原来的两倍，之后恢复为原来的速度，若、同时出发，设运动时间为． (1)_____，_____，_____； (2)当、两点相遇时，求运动时间的值； (3)在运动过程中，是否存在，使动点、两点在数轴上相距的长度是、两点在数轴上相距的长度的倍，若存在，直接写出的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)(2)当、两点相遇时，运动时间的值为 (3)存在动点、两点在数轴上相距的长度是、两点在数轴上相距的长度的倍，的值为或或 【详解】（1）解：∵，， ∴，解得，，∴点表示的数为，点表示的数为， ∵点与点到原点的距离相等，∴点表示的数为，即，故答案为：； （2）解：动点从点出发到点停止，以每秒2个单位的速度沿数轴正方向运动，上坡时的速度变为原来的一半，动点从点处出发到点停止，以每秒1个单位的速度沿数轴负方向运动，下坡时的速度变为原来的两倍，设运动时间为，由（1）可知，当在点表示的数为，点表示的数为， ∴点从的时间为，从的时间为，从的时间为， 点从的时间为，从的时间为，从的时间为， ∴当时，点在上，点在上，不能相遇，不符合题意； 当时，点走的路程为，点走的路程为， 当、两点相遇时，，解得，，不符合题意，舍去； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 当、两点相遇时，，解得，； ∴当、两点相遇时，运动时间的值为； （3）解：存在，理由如下，第一种情况：时，点在上，点在上， 点、两点在数轴上相距为：， 点、两点在数轴上相距为，∴，解得，； 第二种情况：时，点在上、在上， 点、两点在数轴上相距为:， 点、两点在数轴上相距为，∴，解得：； 第三种情况：时，点、在上， 点、两点在数轴上相距为:， 点、两点在数轴上相距为，∴，解得，； 第四种情况：时，点在上，点在上， 点、两点在数轴上相距为：， 点、两点在数轴上相距为，∴，解得：；（舍去） 第五种情况：时，点在上，点在上时， 点、两点在数轴上相距为:， 点、两点在数轴上相距为，∴，解得，（舍去）； 综上所述，存在动点、两点在数轴上相距的长度是、两点在数轴上相距的长度的倍，的值为或或． 【典例3】（25-26七年级上·四川成都·期中）已知数轴上有A、B、C三个点，分别表示有理数、9、20，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右移动．设移动时间为t秒，如图1，若用分别表示点P与点A、点B、点C之间的距离，试回答以下问题： (1)当点P运动5秒时，______，______，______． (2)当点P运动了t秒时，请用含t的代数式表示点P与点A、点B、点C之间的距离： ______，______，______． (3)经过几秒后，点P到点A、点C的距离相等？此时点P表示的数是多少？ (4)如图2，当动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点C出发，以1个单位/秒速度向左运动．O、B两点之间为“变速区”，规则为从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速．是否存在符合条件的t，使P、Q两点到点B的距离相等？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，11，22(2) (3)经过8秒后，点P到点A、点C的距离相等，点P表示的数是4 (4)12或25 【详解】（1）解：当时，点P运动了10个单位长度，则，点P表示的有理数为， ；故答案为：，11，22； （2）解：当点P运动了t秒时，，点P表示的有理数为， ∴；故答案为：； （3）解：设经过t秒后，点P到点A、点C的距离相等，则得：，解得：， 此时点P表示的有理数为； 即经过8秒后，点P到点A、点C的距离相等，点P表示的数是4； （4）解：点P在运动时间为（秒），在运动时间为（秒），在运动的时间为（秒）；点Q在运动时间为（秒），在运动时间为（秒），在运动时间为（秒）； ①当时，如图，则P在线段上，表示的数为；Q在线段上，表示的数为， 由题意得：，解得：， 不合题意，此时不存在P、Q两点到点B的距离相等； ②当时，如图，P都在线段上，P表示的数为，Q在线段上，表示的数为， 则，方程无解， 此时不存在P、Q两点到点B的距离相等； ③当时，如图，P、Q都在线段上， 两点重合，P、Q两点到点B的距离相等； 此时P表示的数为，Q表示的数为，所以，得； 符合题意，即不存在P、Q两点到点B的距离相等； ④当时，如图，P仍在线段上，点Q在线段上， 此时点Q在点O的左侧，点P在点O的右侧，同在点B的左侧，且，所以P、Q两点到点B的距离不可能相等； ⑤当时，如图，P在射线上，Q在射线上，P表示的数为，Q表示的数是， 所以，解得； 综上所述，P、Q两点到点B的距离相等，运动时间为12秒或25秒，故答案为：12或25． 模型5. 动点往返运动模型 【模型提炼与证明】 1. 数轴上动点往返运动的位置计算需结合‌方向变化、分段累加‌和‌代数建模。 1. 注意事项： 1. 1）‌时间范围验证‌：解方程后需检查时间是否在对应运动阶段内。 1. 2）‌多解可能性‌：往返可能导致动点多次经过同一位置，需列绝对值方程并分情况讨论。 3）通过以上方法，可系统计算数轴动点往返后的位置，需重点关注‌方向符号处理‌和‌分段累加规则。‌ 【模型运用】 【典例1】 （25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）A，B在数轴上，分别表示数，，且． (1)直接写出的值是 ，的值是 ，线段的长度是 ； (2)如图1，是一条定长的线段（点在点的左侧），它在数轴上从左向右匀速运动，在运动过程中，线段完全经过点（即点在线段上的这段过程）所需的时间为3秒，线段完全经过线段（即线段与线段有公共点的这段过程）所需的时间为15秒．①求线段的长；②直接写出线段运动的速度为 个单位长度/秒；③如图2，当动线段运动到点与点重合时，与此同时，点从点出发，在动线段上，以1个单位长度/秒的速度向点运动，遇到点后，点立即原速返回，向点运动，遇到点后也立即原速返回，向点运动．设动线段，以及点同时运动的时间为秒（），当时，求的值． 【答案】(1)，21，24(2)①；②2；③的值是或 【详解】（1）解：∵，∴，，解得，， ∴，故答案为：，21，24； （2）解：①设的长度为m，则，解得，∴线段； ②∵线段完全经过点A所需的时间为3秒，∴， 即运动的速度为2个单位长度/秒，故答案为：2； ③当时，点P对应的数是，点C从P到点Q需要秒， 由此开始秒后，点P对应的数是，点Q表示的数是， 当点Q到达点时，，解得，分三种情况讨论： 阶段1：当时，点未到达点，点从点出发，未到达点，此时点C对应的数是， ∴，，∵，∴，解得； 阶段2：当时，点未到达点，点到达点，开始返回点，此时点C对应的数是， 当时，点C对应的数是9，∴，， ∵，∴，解得（舍去）； 阶段3：当时，点已经超过点，点到达点，又返回向点运动，此时点C对应的数是，∴，， ∵，∴，解得； 阶段4：当时，点已经超过点，点到达点，又返回向点运动，此时点C对应的数是，∴，， ∵，∴，解得（舍去）；综上，的值是或． 【典例2】（25-26七年级上·辽宁锦州·期中）阅读材料：数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，若、为有理数，则表示数与数的差的绝对值，也可以理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 例如：如图①，在数轴上，有理数3与1对应两点之间的距离为；有理数5与对应两点间的距离为；有理数与3对应两点之间的距离为… (1)问题提出：如图②，数轴上点表示的数为，点表示的数为13，、两点之间的距离为______，若点是点和点之间的一个动点，点表示的数为，则的值为______． (2)拓展探究：如图②，数轴上点表示的数为，点表示的数为13，若点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点从点出发．以每秒2个单位长度的速度向左运动．设运动时间为秒。①用含的式子表示：秒后，点表示的数为______；点表示的数为______； ②求当为何值时，、两点相遇，并写出相遇点所表示的数． (3)类比延伸：在（2）的条件下，如果、两点相遇后按照原来的速度继续运动，当各自到达线段的端点后立即改变运动方向，并以原来的速度在线段上做往复运动，那么从开始运动经过多长时间、两点第二次相遇．请直接写出所需要的时间和此时相遇点所表示的数． 【答案】(1)15；15(2)①；；②当t为3时，P、Q两点相遇；相遇点所表示的数是7 (3)所需要的时间为9秒；相遇点所表示的数是1 【详解】（1）解：∵A表示的数为，点B表示的数为13，∴， ∵点是点和点之间的一个动点，点表示的数为， ∴，，∴；故答案为：15；15； （2）解：①t秒后，点P表示的数为，点Q表示的数为；故答案为：；； ②根据题意得：，解得，相遇点所表示的数为； 答：当t为3时，P，Q两点相遇，相遇点所表示的数是7； （3）解：由已知得：P运动5秒到B，Q运动秒到A， 返回途中，P表示的数是，Q表示的数是， 根据题意得：，解得，第二次相遇点所表示的数为：， 答：所需要的时间为9秒，相遇点所表示的数是1． 【典例3】（25-26七年级上·四川成都·期中）定义：对于整数n：若n为3的倍数，则称n为平数；若为3的倍数，则称n为优数；若为3的倍数，则称n为劣数．从这些点出发的智能狗分别称为平动狗、优动狗、劣动狗．在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，b是最小的质数，，c是多项式的次数． (1)判断：a是______数，b是______数，c是______数．（选填“优”、“平”、“劣”） (2)在原点处有一个速度改变装置，对于从负半轴向正方向运动的智能狗：优动狗经过时速度将瞬时提高到原来的3倍；劣动狗经过时速度将瞬时降至原来的一半；平动狗不产生变化．在点12处有一能量挡板，智能狗触碰后运动方向变为原来的相反方向，优动狗的速度将降为原来的一半，劣动狗的速度将提升至原来的2倍，平动狗的速度大小不改变．当有一只智能狗从正半轴向负方向运动到原点时，所有智能狗都停止运动．P、Q、R三只智能狗分别从A、B、C处同时出发向右运动，运动初始速度均为每秒2个单位，运动时间为t秒．①当t为何值时，P为的中点？②当P将分割为的两部分时，三只智能狗将一起投射“我爱四天”字样，当t为何值时，会投射此字样？ 【答案】(1)优，劣，平； (2)①或时，P为的中点；②或或或或或 【详解】（1）解：∵b是最小的质数，，c是多项式的次数，∴， ∵, ∴a是优数，b是劣数，c是平数，故答案为：优，劣，平； （2）①∵P、Q、R三只智能狗分别从A、B、C处同时出发向右运动， ∴P(优动狗)：初始点 ，Q(劣动狗)：初始点 ，R(平动狗)：初始点， 初始速度均为2（向右）， 点P运动情况：∴当时，P 由  向右，速度2，点P表示的数为： ； 当到达原点，因P为“优动狗”，过原点后速度变为原来的3倍，即6； ∴时，点P表示的数为： ； 当 到达12处后方向反转，速度变为原来的一半，即3； ∴时，点P表示的数为： ； 点Q运动情况：∵， ∴当时，一直向右，速度2，点Q表示的数为：；   到达12处后方向反转，因Q为“劣动狗”，速度变为原来的2倍，即4(向左)；  ∴时，点Q表示的数为：； 点R运动情况：∵， 当时，一直向右，速度2，点R表示的数为：；   到达12处后方向反转，因R为“平动狗”，速度大小不变仍为2(向左)； ∴时，点R表示的数为： ； ∴当时，点P不可能为QR的中点； 当时，，解得：； 当时，，解得：； 当时，，方程无解； 综上可得：或时，P为的中点； ②∵P将分割为的两部分，∴或， 由①得：当时，点P不可能在QR的中间，不符合题意； 当时，点P表示的数为：；点Q表示的数为：；点R表示的数为：； ∴，， ， ∴或，解得：或或或（不符合题意，舍去）； 当时，点P表示的数为：；点Q表示的数为：；点R表示的数为：， ∴，， ， ∴或， 解得：或或或（不符合题意，舍去）； 当时，点P表示的数为：，当点P回到原点时，，解得：； 点Q表示的数为：，当点Q回到原点时，，解得：； 点R表示的数为：，当点R回到原点时，，解得：；∴总的运动时间为7秒， ∴，， ， ∴或， 解得：（不符合题意）或（不符合题意，舍去）或（不符合题意，舍去）或（不符合题意，舍去）； 综上可得：或或或或或． 模型6. 动态定值（无参型）模型 【模型提炼与证明】 数轴上的动态定值（无参型）模型描述动点运动过程中某些量（如线段长度、距离差等）保持不变的场景，需通过代数表达和几何关系分析定值的存在性及数值。题目中不引入额外参数（如速度、时间变量），直接通过动点初始位置、运动规则或几何关系推导定值。 1）解题策略与步骤：‌ ‌步骤1‌：用代数式表示动点位置，例如动点A从x0​出发，以速度v移动，则t秒后位置为x0+vt。 ‌步骤2‌：根据题目条件（如中点、等分点）建立相关量的表达式（如线段长度、差值的绝对值）。 ‌步骤3‌：化简表达式，观察是否消去变量项，验证是否为定值。 2）常见定值类型： 线段长度定值‌：两动点或动点与定点间的距离保持恒定。 ‌代数式定值‌：如∣xA−xB∣±kxC的值为固定常数。 ‌位置关系定值‌：如动点始终为中点或特定分点，导致相关表达式不变。 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级上·广东佛山·阶段练习）【问题背景】我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数，对应点之间的距离． 【问题解决】（1）在数轴上，点表示的数是2，点表示的数是，则点与点之间的距离______． （2）如果点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为4，点与点之间的距离为5，那么_______．（3）若，则的最小值为________，此时正整数的值为________． 【关联运用】（4）点、、是数轴上的三个点，点表示的数是，点表示的数是1，点表示的数是8，点、、开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请问的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出的值． 【答案】（1）5；（2）或9；（3）3，1或2；（4）不会改变，值为5 【详解】（1）解：由题意知，，故答案为：5； （2）解：由题意知，或，故答案为：或9； （3）解：，表示数轴上表示的点到数轴上表示和 2 的点之间的距离和， ∵，∴当表示和 2 之间的点时，有最小值 3 ， ∴此时正整数的值为 1 或 2 ；故答案为：3，1或2． （4）解：不变，理由如下：由题意知，秒钟时，运动后的点表示的数分别为， ，由题意知，， ∴的值不会随着时间的变化而改变，其值为5． 【典例2】（25-26七年级上·安徽马鞍山·期中）已知代数式是关于的二次多项式，且二次项的系数为．如图，在数轴上有点三个点，且点三点所表示的数分别为．已知． (1)求的值；(2)若动点分别从两点同时出发，向右运动，且点不超过点，点不超过点．在运动过程中，点为线段的中点，点为线段的中点，若动点的速度为每秒2个单位长度，动点的速度为每秒3个单位长度，问代数式是否为一个定值，如果是，求出这个定值．如果不是，请说明理由． 【答案】(1)，，．(2)是定值，值为2 【详解】（1）解：∵是关于x的二次多项式，二次项的系数为b， ，，， ，，，，，，． （2）设点P的出发时间为t秒，由题意得：，，，，， 当时，如图1， ， ，∴； 当时，此时点Q与点A重合，如图2， 此时，点F对应的数值为，点P在点O的右侧，， 点E对应的值为，， ，，； 综上，的值是定值，值是2． 【典例3】（25-26七年级上·重庆·期中）如图，数轴上A、B两点对应的数分别是a、b，其中，b为最大的负整数，且．将数轴折叠，点B与表示数3的点重合，点A与点C重合，点C对应的数是c． (1) ， ， ；(2)点A在数轴上以每秒3个单位长度的速度向右运动，求运动多少秒时点A与点B的距离为5？(3)若点B以每秒1个单位长度向左运动，同时，点A、C分别以每秒2个单位长度的速度和3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒．在运动过程中，的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1)，， 5(2)运动秒时点A与点B的距离为5 (3)当时，的值不变，为26；当时，的值随时间t的变化而变化 ，见解析 【详解】（1）解：∵，∴或；∵b为最大的负整数，∴； ∵，∴；∵点B与表示数3的点重合，∴对称点为， ∵点A与点C重合，，∴点C对应的数是，∴；故答案为：，，5； （2）解：设运动秒时点A与点B的距离为5，由题意可得：， 解得：或，由实际意义知，所以， 答：运动秒时点A与点B的距离为5； （3）解：由题意得：点A、B、C运动后表示的数分别为：， 则；； 所以， ①当时，，此时的值不变； ②当时，，此时的值随时间t的变化而变化；   综上，当时，的值不变，为26；当时，的值随时间t的变化而变化． 模型7. 动态定值（含参型）模型 【模型提炼与证明】 数轴上动态定值（含参型）模型需分析含参数（如速度、距离比例等）的动点运动过程中某些量的恒定性，通过代数建模和参数消去法验证定值存在性及数值。 ‌线段和差定值‌：如PA+PB或∣PA−PB∣恒为常数，需结合参数化简表达式。 ‌代数式定值‌：如kxA+mxB的值与时间无关，需分离含时项并令其系数为零。 速度参数‌：多个动点以不同速度运动，需联立方程消去时间变量，验证定值。 ‌比例参数‌：如线段比例或代数式含系数m（如mAB−2BC），需通过参数约束条件确定定值。 通过参数化建模、代数式分离与含时项消去，可系统解决含参型动态定值问题，需特别注意参数解的适用范围及多解可能性。 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）【背景知识】数轴是重要的数学学习工具，利用数轴可以将数与形完美结合，已知结论：数轴上点、表示的数分别为、，则、两点之间的距离；线段的中点表示的数为 (1)【知识运用】点、表示的数分别为、，若，则、两点之间的距离为_____；线段的中点表示的数为_____ (2)【拓展迁移】：在（1）的条件下，动点从点出发以每秒3个单位的速度沿数轴向左运动，同时动点从点出发以每秒5个单位的速度沿数轴向左运动，设运动时间为，点是线段的中点． ①点表示的数是_____（用含的代数式表示）；②在运动过程中，点、、中恰有一点是另外两点连接所得线段的中点，求运动时间；③线段、的长度随时间的变化而变化，当点在点左侧时，存在常数，使为定值，请直接写出常数的值和该定值． 【答案】(1)12；1(2)①；②或；③，定值为 【详解】（1）解：∵，且， ∴，∴，∴， ∴，线段的中点表示的数为； （2）解：①由题意得，运动t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵点是线段的中点，∴点M表示的数为； ②由题意得，运动t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为， 当点A是的中点时，则，解得； 当点P是的中点时，则，解得（舍去）； 当点Q是的中点时，则，解得；综上所述，t的值为或； ③当点与点重合时，，解得 当点在点左侧时，，， ∴， ∵为定值，∴时，∴，此时，． 【典例2】（24-25七年级下·广东揭阳·开学考试）如图，在数轴上点表示的数，点表示数，和满足，点是数轴原点． (1)点表示的数为________，点表示的数为________，线段的长为________． (2)若点从点出发，以3个单位长度每秒的速度向点运动，与此同时，点从点出发，以2个单位长度每秒的速度向点运动，当一个点到达终点时，另一个点立即停止运动．在两点运动过程中是否存在某个时刻，使得？若存在，请求出此时点表示的数；若不存在，请说明理由． (3)点、分别以3个单位/秒和2个单位/秒的速度同时向右运动，点从原点以5个单位/秒的速度向右运动，是否存在常数，使得为定值，若存在，请求出值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，4，(2)存在，或(3)存在，时，定值为28 【详解】（1）解：∵，，∴， ∴，∴，∴点A表示的数为，点B表示的数为， ∴，故答案为：，4，； （2）解：设运动时间为t，∴点P表示的数为，点Q表示的数为， 当P、Q两点相遇前，时，∴，解得，∴此时点Q表示的数为； 当P、Q两点相遇后，时，∴，解得，∴此时点Q表示的数为； ∵，∴当运动时间为2秒时，，此时点Q表示的数为；当运动时间为秒时，，此时点Q表示的数为； （3）解：存在，当点、分别以3个单位/秒和2个单位/秒的速度同时向右运动，点从原点以5个单位/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒， 则t秒时，点A表示的数为，点B表示的数为，点表示的数为， ∴， 当，即时，为定值28 【典例3】（24-25七年级上·四川成都·期中）阅读材料：在数轴上，点表示的有理数为，点表示的有理数为，当时，点，之间的距离记作：；当时，点，之间的距离记作：．例如：，，则． 根据以上知识解决下列问题：如图，已知数轴上两点，表示的数分别为，12，动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)__________，点表示的数为__________．（用含的式子表示） (2)动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，动点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，点，，同时出发．①若点，两点到原点的距离相等，求的值； ②在某个时间段内，的值不随的变化而变化，求出该时段，应满足的数量关系． 【答案】(1)(2)①当或时，点，两点到原点的距离相等；②的值不随的变化而变化，该时段，应满足的数量关系为：或 【详解】（1）解：数轴上两点，表示的数分别为，12，∴， ∵动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒， ∴点表示的数为，故答案为：； （2）解：①动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，∴点表示的数为：， ∴点到原点的距离为，点到原点的距离为：， ∵点，两点到原点的距离相等，∴， 当时，，解得，；当时，，解得，； 综上所述，当或时，点，两点到原点的距离相等； ②根据题意，点表示的数为，点表示的数为：，点表示的数为， 如图所示，点在店左边， ∴，，∴ ， ∵的值不随的变化而变化，∴；如图所示，点在店右边， ∴，， ∴， ∵的值不随的变化而变化，∴； 综上所述，的值不随的变化而变化，该时段，应满足的数量关系为：或． 模型8.数轴折叠（翻折）模型 【模型提炼与证明】 数轴折叠模型通过几何对称性分析折叠前后点的对应关系，解决折痕位置、对称点等问题。 1）若折叠后点a与点b重合，则折痕对应的点m为两点的中点，满足：或b=2m−a 2）折叠后，对称点到折痕的距离相等，折痕位置可通过线段比例或代数方程求解。 3）若折叠后动点继续运动，需分段分析折叠前后的位置变化及运动轨迹。 【模型运用】 【典例1】（25-26·重庆·七年级期中）已知在纸面上有一数轴（如图）折叠纸面． （1）若1表示的点与表示的点重合，则表示的点与数_____表示的点重合； （2）若1表示的点与表示的点重合，回答以下问题： ①13表示的点与数_____表示的点重合；②若数轴上A、B两点之间的距离为2022（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数是多少？ 【答案】（1）5；（2）①-17；②A点表示的数为-1013，B点表示的数为1009 【详解】解：（1）∵表示1的点与表示-1的点重合， ∴与表示-5的点重合的点表示的数为1+（-1）-（-5）=5．故答案为：5． （2）①∵表示1的点与表示-5的点重合，∴与表示13的点重合的点表示的数为1-5-13=-17．故答案为：-17． ②设A点表示的数为x，则B点表示的数为x+2022， 根据题意得：1-5=x+x+2022，解得：x=-1013，∴x+2022=1009． 答：A点表示的数为-1013，B点表示的数为1009． 【典例2】（25-26·江苏·七年级期中）平移和翻折是初中数学中两种重要的图形变化，阅读并回答下列问题： （一）平移：在平面内，讲一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移． （1）把笔尖放在数轴的原点处，先向左移动3个单位长度，再向右移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示的数是 ；（2）一个机器人从数轴上原点出发，并在数轴上移动2次，每次移动2个单位后到达B点，则B点表示的数是 ；（3）如图，数轴上点A表示的数为−1，点B表示的数为1，点P从5出发，若P，A两点的距离是A，B两点距离的2倍，则需将点P向左移动 个单位． （二）翻折：将一个图形沿着某一条直线折叠的运动． （4）若折叠纸条，表示−3的点与表示1的点重合，则表示−4的点与表示 的点重合； （5）若数轴上A，B两点之间的距离为10，点A在点B的左侧，A，B两点经折叠后重合，折痕与数轴相交于表示−1的点，则A点表示的数为 ； （6）在数轴上，点M表示是的数为4，点N表示的数为x，将点M，N两点重合后折叠，得折痕①，折痕①与数轴交于P点；将点M与点P重合后折叠，得折痕②，折痕②与数轴交于Q点．若此时点M与点Q的距离为2，则x＝ ． 【答案】（1）；（2）或或；（3）2或10；（4）2；（5）-6；（6）或 【详解】解：（1）笔尖的位置表示的数为故答案为； （2）机器人向右移动两次，则B点表示的数为 机器人向左移动两次，则B点表示的数为 机器人向右移动一次，再向左移动一次，则B点表示的数为 故答案为或或 （3）设点P向左移动个单位，则点P表示的数为，，， 由题意可得：，解得或即向左平移2或10个单位长度 故答案为2或10 （4）由题意可得：对称中心为，则表示−4的点与表示2的点重合 故答案为2 （5）由题意可得，A点在表示−1的点的左侧5个单位长度，则A点表示的数为 故答案为-6 （6）由题意可得：，则， 即之间的距离为8 当在左侧时，，点N表示的数为-4 当在右侧时，，点N表示的数为12 故答案为或 【典例3】（25-26七年级上·福建龙岩·阶段检测）数轴是一个非常重要的数学工具，它把数和数轴上的点建立了对应关系，形象地揭示了数与数轴上的点之间的内在联系，是数形结合的基础．小明在一条长方形纸带上画了一条数轴，进行如下操作探究： (1)操作1：折叠纸带，若数轴上表示1的点与表示5的点重合，则折痕处对应的点表示的数是__________，此时表示数a的点与表示数__________的点重合； (2)操作2：若点A、B表示的数分别是、4，点P从点A出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动；同时，点Q从点B出发，沿数轴以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒，在运动过程中，当t为何值时，点P与点Q之间的距离为2；(3)操作3：在数轴上剪下6个单位长度（从到5）的一条线段，并把这条线段沿某点向左对折，然后在重叠部分的某处剪一刀得到三条线段（如图），若这三条线段的长度之比为，求出折痕处对应的点表示的数． 【答案】(1)3，；(2)或；(3)1或或或3． 【详解】（1）解：∵数轴上表示1的点与表示5的点重合，∴折痕点表示的数是， 表示数a的点与它重合的点重表示的数为：，故答案为∶3，； （2）解：当点P在点Q左边时，则，解得∶ ； 当点P在点Q的右边时，则，解得： ， 综上，当秒或秒时，点点P在点Q之间的距离为2． （3）解：设表示的点是A， 表示5的是D，．， 当三条线段的比值为时时，，，则； 当三条线段的比值为时，，，则； 当三条线段的比值为时，，，则； 当三条线段的比值为时，，，则； 当三条线段的比值为时，，，则；     当三条线段的比值为时，，，则． 综上，折痕处对应的点表示的数为1或或或3． 模型9.数轴上的线段移动模型 【模型提炼与证明】 数轴上的线段移动模型研究线段整体平移的动态变化规律，需结合代数表达与几何关系分析线段长度、覆盖范围等核心问题。 线段沿数轴以固定速度单向或往返移动，需用代数式表示端点位置变化（如左移减速度，右移加速度）；动态过程中需关注线段覆盖区域，及与其他线段的交互（如重叠）。部分模型中，线段长度或端点间的代数差保持恒定（如平移速度对称时，两动线段差为定值）。 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级上·四川成都·阶段检测）如图，数轴上有两条线段和（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧），线段的长度为6个单位长度，线段的长度为4个单位长度，点B、D在数轴上表示的数分别是和14．线段同时从图中位置出发，线段以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，线段以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，运动时间为t秒．（整个运动过程中，线段和保持长度不变） (1)在运动过程中，点B表示的数是_______，点C表示的数是_______．（用含t的代数式表示） (2)当运动开始后，运动多少秒时，线段与线段开始有重叠部分？(3)当点B与C相遇时，线段立即以初始速度的2倍向左匀速运动；当点B与点D相遇时，线段的速度变为初始速度的继续向左匀速运动．在整个运动过程中，线段的运动速度和方向保持不变，当时，求t的值． 【答案】(1)；(2)从5秒开始，线段与线段开始有重叠部分(3)6或 【详解】（1）解：B点表示的数为：，，且点表示的数为14，则C点表示的数为， 所以点C表示的数为：；故答案为：；； （2）解：当点B与点C重合时，线段与线段开始有重叠部分，由题意得：，解得：； 即从5秒开始，线段与线段开始有重叠部分； （3）解：当点C在线段上时， ∵，∴；∵，∴两点重合；由（2）知，当时，B、C重合， 当两点重合时，点D表示的数为：，由于5秒后到点B与点D相遇，运动速度为原来的2倍，则有，解得：； 当点C在点A左侧时， 当C运动6秒时，点C表示的数为，继续运动后C表示的数为：， 则，解得：；综上，当t的值为6或时，． 【典例2】（25-26七年级上·贵州黔西南·阶段检测）如图所示，在数轴上有两个边长相同的正方形．已知正方形的顶点，分别对应，．正方形的顶点，分别对应，．现正方形以每秒个单位的速度向右运动，正方形以每秒个单位的速度也向右运动． (1)秒后，点对应的数是______，点对应的数是______．(2)设运动时间为（秒），正方形从刚好追上正方形到完全超过需要多少时间？求出的值（刚好追上指边与边重合）． (3)求当正方形和正方形相距个单位长度时，求此时点表示的数．（一个图形内的任意一点与另一个图形内的任意一点距离中的最小值叫做这两个图形间的距离） (4)如图，在运动过程中，两个正方形重合部分的面积（阴影面积）与空白部分面积的和之比为，此时点对应的数是______（直接写出答案）． 【答案】(1)，(2)(3)或(4)或 【详解】（1）解：正方形以每秒个单位的速度向右运动，正方形以每秒个单位的速度也向右运动，秒后，，， 秒后点对应的数是，点对应的数是，故答案为：，； （2）刚好追上指边与边重合，，解得， 设经过秒后正方形完全超过正方形，，解得， ，正方形从刚好追上正方形到完全超过需要秒； （3）设经过秒正方形和正方形相距个单位长度， 当正方形在正方形的左边时，，解得， 此时点表示的数为，当正方形在正方形的右边时， ，解得，此时点表示的数为，点表示的数为或； （4）两个正方形重合部分的面积（阴影面积）与空白部分面积的和之比为，而两块空白部分面积相等，所以阴影部分与每一块空白面积相等，故此时重合部分边长为，则重合部分右下角的点表示的数比重合部分左下角的点表示的数大，当正方形在后时，点在点前个单位，则， 解得，此时表示的数为， 当正方形在前时，点在点前个单位，， 解得，此时表示的数为，综上所述，点表示的数为或； 【典例3】（24-25七年级上·广东深圳·期末）如图1，点C是线段上一点，若，我们称为点在线段上的“分割值”，记为．例如点在上，，则；反之当，则． (1)如图2，数轴、两点对应的数为、，且分别满足和． ①求出 ； ；②请在图2的数轴上画出、两点． (2)为数轴上一个动点，从点向终点匀速运动．①若点表示的数为，则 ． ②如图，数轴上另一个点从点出发向点运动，到达点后立即以原速返回点，当点到达点B时，，都停止运动．若点和点的运动速度分别为每秒个单位和每秒个单位，且点和点同时出发，运动秒后，是否存在，若存在，求出的值；不存在，请说明理由． (3)如图4，在四边形中，，，，，点，同时从点出发向终点匀速运动，点沿折线运动，点沿线段运动．设点，的速度分别为和且满足，若，当点运动到线段上时，则 ．（用含有的代数式表示） 【答案】(1)①；；②见解析；(2)①；②或；(3) 【详解】（1）①，， ，，，，故答案为：，； ②点和点如图所示， （2）解：①由（1）可得， 点表示的数为，，，，故答案为：； ②第一种情况：当点到达点之前时， 此时，，，，，，解得； 第二种情况：当点到达点后，返回点时，此时，， ，，，解得；综上，的值为或； （3）解：，∴设点速度为，点速度为， 设运动时间为，则，，即，， （点的运动路程）， ．故答案为：． 【典例4】（25-26七年级上·江苏连云港·期中）伴随着连淮扬镇铁路淮镇段的首发运行，世界首座高速铁路悬索桥——五峰山长江大桥正式开通运营.如图，点O为原点，向右为正方向.甲动车位于处，向右行驶.乙动车位于处，向左行驶.五峰山长江大桥主桥为；甲、乙两动车长度相等，速度均为米/秒.表示的数分别是，且满足. (1)______，间的距离是______米，间的距离是______米；(2)从此刻开始算起，甲动车A处有个在座位上的乘客记为点M，求甲动车行驶多少秒时，点M到点C的距离等于米？(3)从此刻开始算起，甲动车A处有个在座位上的乘客记为点M，求甲动车行驶多少秒时，点M到点B的距离与点M到点C的距离之和等于米？(4)两车同时运行，若甲动车A处的乘客记为点M，向右走，速度为2米/秒、乙动车处于中点位置的座位上的乘客记为点N，乘客M从车尾走到车头的过程中是否存在一段时间t，恰好同时在五峰山长江大桥上？如存在，请直接写出t的值. 【答案】(1) ；；(2)秒或秒(3)秒或秒(4) 【详解】（1）解：∵ ∴， ，;∴ ，， ∵甲、乙两动车长度相等;∴ （米） ;（米）故答案为：100，1400，1600； （2）解：（米），（米）（秒）（秒） 答：甲动车行驶秒或秒时，，点M到点C的距离等于米． （3）解：分两种情况，当点M在点B左侧时； （米）;（米）;（米）;（秒） 当点M在点C右侧时； （米）;（米）;（米）;（秒） 答：甲动车行驶秒或秒时，点M到点B的距离与点M到点C的距离之和等于米． （4）解：存在；乘客M到达点B的时间为： （秒） 乘客M到达点C的时间为：（秒） 乘客N到达点C的时间为：（秒） 乘客N到达点B的时间为：（秒） ，;（秒）;故的值为：； 模型常见易错点 1）忽略时间取值范围； 2）动点运动方向公式记反； 3）两点距离直接大数减小数，忘记绝对值； 4）双动点运动未分类讨论； 5）最值问题忽略动点运动区间限制； 6）混淆相遇与追及核心条件。 解题方法总结 1）单动点问题通用解题步骤 适用题型：单点动态位置、距离定值、静态求值问题 步骤1：设时间为；步骤2：根据运动方向，用t表示动点对应数值（右加左减）；步骤3：根据距离公式、题干条件列绝对值方程/整式方程；步骤4：解方程，舍去t＜0的无效解，规范作答。 模板二：双动点相遇追及通用解题步骤 适用题型：双动点同向、相向运动，相遇、追及、相距定值问题 步骤1：设运动时间t，分别表示两个动点t时刻的对应数；步骤2：根据题意列等式：相遇/追及→位置相等；相距定值→距离绝对值等于定值；步骤3：解方程，分类讨论相遇前、相遇后两种情况；步骤4：结合t≥0筛选有效解。 模板三：动点最值与存在性压轴步骤 适用题型：动点结合绝对值最值、参数取值、存在性判断 步骤1：代数表示动点位置，列出动态绝对值表达式；步骤2：套用绝对值和/差最值模型结论；步骤3：结合t的取值范围，验证最值可取性、条件存在性；步骤4：总结最值结果或存在性结论。 1．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）在数轴上，点表示的数为，点表示的数为15，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右运动．设运动时间为秒，当点到、两点距离之和为40时，则的值是（   ） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】B 【详解】解：设点P表示的数为n，∴，， ∵点到、两点距离之和为40，即， 当时，， 当时，∴，解得：，∴，∴；故选：B 2．（25-26七年级上·天津河东·期中）如图，数轴上有、两点（O为原点），两点距离为9个数轴单位长度，动点、分别从、两点同时出发，向右运动，点的速度为3个单位长度/，点的速度为1个单位长度，设运动时间为，若点、两点之间的距离为7个单位长度，则t为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】解：当点在点的左侧时，由题意得，解得； 当点在点的右侧时，由题意得，解得； ∴点、两点之间的距离为7个单位长度，则t为或；故选：D． 3．（25-26七年级上·浙江·期中）如图，已知两点在数轴上，点表示的数为，，点以每秒个单位长度的速度从点向右运动．点以每秒个单位长度的速度从点向左运动（点、点同时出发）．经过几秒，点、点分别到原点的距离相等？（    ） A．秒 B．秒或者秒 C．秒或秒 D．秒 【答案】B 【详解】解：∵点表示的数为，，∴，∴点表示的数为， 设经过秒，点、点分别到原点的距离相等，则点运动距离为，则点表示的数为，点运动的距离为，点表示的数为， ∴，， 根据题意得：时，即， ∴或，解得：或， 即经过秒或秒后，点到原点的距离相等．故选：B． 4．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在数轴上有一个动点P从原点出发，以每秒1个单位长度的速度在数轴上运动，若点P的运动规律是先向右运动1个单位长度，再向左运动2个单位长度，再向右运动3个单位长度，再向左运动4个单位长度，以此类推，第113秒时，点P在数轴上所对应的数是 ． 【答案】1 【详解】解：第1次向右运动1个单位长度，用时1秒，在数轴上对应的数为1， 第2次向左运动2个单位长度，用时2秒，在数轴上对应的数为， 第3次向右运动3个单位长度，用时3秒，在数轴上对应的数为2， 第4次向左运动4个单位长度，用时4秒，在数轴上对应的数为， 第5次向右运动5个单位长度，用时5秒，在数轴上对应的数为3， 第6次向左运动6个单位长度，用时6秒，在数轴上对应的数为，…，发现第n次运动n个单位长度，用时n秒，n为奇数时，在数轴上对应的数为，n为偶数时，在数轴上对应的数为， ∵，，∴，， ∴第113秒是在第105秒后的第8秒，∴第113秒的位置是第14次终点向右运动第8秒的位置， ∵，∴，∴第113秒时，点P在数轴上所对应的数是1，故答案为：1． 5．（24-25七年级上·河南郑州·期末）如图，点和在数轴上表示的数分别是和8，动点从出发，以1个单位每秒的速度沿射线的方向向右运动，同时动点从点出发，以3个单位每秒的速度沿射线的方向向左运动，运动时间为秒，当点A，P，Q这三点中恰好有一点是以另外两点为端点的线段的中点时，的值为 ． 【答案】或4或7 【详解】解：当运动时间为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为， 当点P是线段的中点时，，解得：； 当点Q是线段的中点时，，解得：； 当点A是线段的中点时，，解得：． 综上所述，t的值为或4或7．故答案为：或4或7． 6．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t（秒）．    (1)当时，求点Q表示的数；(2)当时，求点Q表示的数； (3)当点Q到原点O的距离为4时，求点P表示的数． 【答案】(1)6(2)2(3)或 【详解】（1）解：当时，点Q表示的数为； （2）解：当时，点Q运动的路程为，点Q表示的数为 （3）解：①点还没达到原点时，点运动的路程为， 秒，点表示的数为； ②点达到原点时，点运动的路程为， 秒，点表示的数为，故点P表示的数为或． 7．（25-26七年级上·福建福州·阶段练习）【知识准备】若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为． （1）在一条数轴上，为原点，点对应的数为，点对应的数为，且有，则的中点所对应的数为______； 【问题探究】（2）在（）的条件下，若点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动．设运动时间为秒，为何值时，的中点所对应的数为？ 【拓展延伸】（3）若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为靠近点的三等分点，则我们有三等分点公式：点对应的数为；若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的四等分点，则我们有四等分点公式：点对应的数为：．填空：若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的五等分点．则点对应的数为______． 【答案】（）；（）当时，的中点所对应的数为；（）； 【详解】解：（），∴，，∴，， ∴点对应的数为，点对应的数为∴的中点所对应的数为，故答案为：； （）由题意可得，点表示的数为，点表示的数为， ∴，解得，当时，的中点所对应的数为； （）根据题意：五等分点公式点对应的数为，故答案为：； 8．（25-26七年级上·吉林四平·期末）如图，点O为原点，为数轴上两点，，且，若点同时向数轴负方向运动，点P从点A出发，点Q从原点出发，点M从点B出发，且点P的运动速度是每秒3个单位长度，点Q与点M的运动速度相同，都是每秒5个单位长度，设运动的时间为t秒，请回答下列问题： (1)A点表示的数为______，B点表示的数为______；(2)t秒后，点P表示的数为______；点M表示的数为______； (3)请求出当t为何值时，；(4)运动过程中，当其中一个点与另外两个点的距离相等时，不包括两点重合时刻，请直接写出此时t的值？ 【答案】(1)，(2)， (3) 或 (4) 、或 【详解】（1）已知，且，∴， ∵在点O的左侧，在点O的右侧，∴A点表示的数为，B点表示的数为． （2）点P从点A出发，向数轴负方向运动， ∵点P的运动速度是每秒3个单位长度，∴点P表示的数为， 点M从点B出发，向数轴负方向运动， ∵点M的运动速度是每秒5个单位长度， ∴点M表示的数为． （3）由（2）可知，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴， 当时，即，则或，解得或． （4）由题意可知，点P表示的数为，点Q表示的数为，点M表示的数为， ∴，，， 当时，，即，解得， 当时，，即，或解得或， 当时，点M表示的数为，点P表示的数为，此时两点重合，故舍去； 当时，，得或，解得或， 当时，点P表示的数为，点表示的数为，两点重合，舍去； 综上所述，或或． 9．（25-26七年级上·广东深圳·期中）已知多项式的次数为，常数项为，，分别对应着数轴上的A、两点．(1) ， ；(2)若点从点A出发，以每秒3个单位长度单位的速度向轴正半轴运动，求运动时间为多少时，点到点A的距离是点到点的距离的2倍； (3)数轴上还有一点所表示的数为30，点从点A出发，同时从点出发，以每秒3个单位长度的速度向点运动，当到达点后，立即以同样的速度返回A点，以每秒1个单位长度的速度向数轴正方向运动，当重新运动到A时，，同时停止运动．当，两点之间的距离为6个单位长度时，此时点运动的时间为 秒．（直接写答案） 【答案】(1)4，16(2)运动秒或8秒，点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍 (3)点P和点Q运动3秒或秒时，P，Q两点之间的6 【详解】（1）解：∵多项式的次数为a，常数项为b，∴，故答案为：4，16； （2）解：设运动t秒，点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍，则点P表示的数为：， 根据题意得：，解得或， 答：运动秒或8秒，点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍； （3）解：当点P到达C时，时间为秒， 设运动x秒，P，Q两点之间的距离为6个单位长度， ①点P到达C之前，P，Q两点表示的数分别为：，， P，Q两点之间的距离为6个单位长度，，解得或（舍去）， ②点P到达C之后，P，Q两点表示的数分别为：，， P，Q两点之间的距离为6个单位长度，，解得或（舍去）， 综上所述，点P和点Q运动3秒或秒时，P，Q两点之间的6个单位长度． 10．（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）已知数轴上两点，对应的数分别为，3，点为数轴上一动点，其对应的数为． (1)若将数轴折叠，使得点与点重合，折叠点为，则点表示的数为_____，与重合的点为_____； (2)数轴上是否存在点，使点到点、点的距离之和为6？若存在，请求出的值；若不存在，说明理由；(3)点、点分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时点以6个单位长度/分的速度从点向左运动．当遇到时，点立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点与点之间，求当点与点重合时，点所经过的总路程是多少？ 【答案】(1)1；4(2)存在，的值为或4(3)24个单位长度 【详解】（1）解：由题意得，点为点与点的中点，点表示的数为， 设与重合的点为，由题意得，，解得：， 与重合的点为4．故答案为：1；4． （2）解：若点在点的左侧，则，， 点到点、点的距离之和为6，，解得：； 若点在点和点之间，则，，此时，不符合题意； 若点在点的右侧，则，， 点到点、点的距离之和为6，，解得：；存在点，的值为或4． （3）解：设经过分钟后点与点重合，由题意得，，解得：， 当点与点重合时，点所经历的运动时间为4分钟， 点所经过的总路程是个单位长度． 11．（25-26七年级上·广东东莞·期中）如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，其中b是最小的正整数，且多项式是关于x的二次多项式，一次项系数为c． (1) ， ， ；(2)若将数轴折叠，使得点A与点C重合，此时点B与某数表示的点重合，则此数为 ；(3)点A，点B与点C同时开始在数轴上运动，若点A，点B分别以每秒3个单位长度和每秒2个单位长度的速度向左运动，点C以每秒1个单位长度的速度向右运动，t秒过后，若点A，点B之间的距离表示为，点B与点C间的距离表示为，则＝ ，＝ （用含t的代数式表示），请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由，若不变，请求其值． 【答案】(1)(2)3(3)，不变，为4 【详解】（1）解：∵是关于x的二次多项式，一次项系数为c， ∴，，解得：，∵b是最小的正整数，∴，故答案为：；1；6； （2）解：（1）知：点A、B、C表示的数分别为：、1、6， 将数轴折叠，使得点A与点C重合，∴点A与点C的中点为：， 此时与点B重合的数为：，故答案为：3； （3）解：由（1）知：点A、B、C表示的数分别为：、1、6， ∵点A，点B分别以每秒3个单位长度和每秒2个单位长度的速度向左运动，点C以每秒1个单位长度的速度向右运动，∴t秒过后，点A、B、C表示的数分别为：、、， 则，， （定值）， ∴的值不随着时间t的变化而改变，定值为：4． 12．（25-26·河南漯河·七年级统考期中）操作探究：已知在纸上有一数轴（如图所示）． (1)操作一：折叠纸面，若使1表示的点与表示的点重合，则表示的点与________表示的点重合． (2)操作二：折叠纸面，若使表示的点与3表示的点重合，回答以下问题： ①5表示的点与数________表示的点重合；②若数轴上A，B两点之间距离为10（A在B左侧），且A，B两点经折叠后重合，则点A表示的数为________，点B表示的数为________； (3)操作三：点E以每秒3个单位长度的速度从数5对应的点沿着数轴的负方向运动，点F以每秒1个单位长度的速度从数对应的点沿着数轴的负方向运动，且两个点同时出发，请直接写出多少秒后，折叠纸面，使1表示的点与表示的点重合时，点E与点F也恰好重合． 【答案】(1)3(2)①；②，6(3)秒 【详解】（1）设表示的点与x表示的点重合 ∵1表示的点与表示的点重合，∴折痕经过数表示的点，即原点， ∴，∴∴表示的点与3表示的点重合；故答案为：3 （2）①∵表示的点与3表示的点重合，∴折痕经过数表示的点， 设5表示的点与数x表示的点重合，则，∴；故答案为：； ②设点A表示的数为x，则点B表示的数为， ，∴，，故答案为：，6； （3）设t秒，则点E表示的数为，点F表示的数为， ∵1表示的点与表示的点重合时，折痕经过原点， ∴点E与点F也恰好重合时，，∴． 1．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）一个电子跳蚤在数轴上做跳跃运动．第一次从原点O起跳，落点为，点表示的数为1；第二次从点起跳，落点为的中点；第三次从点起跳，落点为的中点；如此跳跃下去…最后落点为的中点，则点表示的数为 ． 【答案】 【详解】解：第一次落点为处，点表示的数为1； 第二次落点为的中点，点表示的数为； 第三次落点为的中点，点表示的数为；… 则点表示的数为，即点表示的数为；故答案为：． 2．（24-25七年级上·上海长宁·期中）阅读理解： 若、、为数轴上三个点，点到的距离是点到点距离的2倍，我们就称点是[，]的赞点． (1)如图1，点表示的数为，点表示的数为，表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点是[，]的赞点；又如表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点_______[，]的赞点，但点_______[，]的赞点；（横线上填写“是”或“不是”） (2)若、为数轴上两点，点所表示的数是，点所表示的数是，则数_______所表示的点是[，]的赞点；(3)如图2，、为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数是．现在有一辆电动小汽车从点B出发前往点，以个单位每秒的速度向左运动，到达点停止．当经过_________秒时，、和中恰有一个点是其中两个点的赞点？ 【答案】(1)不是，是(2)或 (3)当经过秒或秒或秒时，、和中恰有一个点是其中两个点的赞点 【详解】（1）解：由题意得：，， ，即是[，]的赞点，但不是[，]的赞点，故答案为：不是，是； （2）设这个数是， 由题意得：，解得：或， 数或所表示的点是[，]的赞点，故答案为：或； （3）设点运动的时间为，由题意得：，，， 点到达点所用的时间为（秒），分四种情况： ①当时，，解得：，此时是[，]的赞点； ②当时，，解得：，此时是[，]的赞点； ③当时，，解得：，此时是[，]的赞点； ④当时，，解得：，此时是[，]的赞点； 综上所述，当经过秒或秒或秒时，、和中恰有一个点是其中两个点的赞点． 3．（24-25七年级上·广东广州·期末）（1）如图1，已知线段上有一点B，点D为的中点，，则的长度为______； （2）如图1，已知线段上有一点B，点D为的中点，，猜想的长度（用含a、b的代数式表示），并说明理由； （3）如图2，已知数轴上有一点A表示的数为，点A的右侧有三点B、C、D，，．若点B以每秒2个单位长度的速度向右运动，点C以每秒3个单位长度的速度向左运动，点D以每秒1个单位长度的速度向左运动；三个点同时运动，当点C运动到A点时，三个点都停止运动．设运动的时间为t秒，试求当t为何值时，B、C、D中的一点是另外两点为端点的线段的中点？ 【答案】（1）11；（2），理由见解析；（3）当t的值为、或8时，B、C、D中的一点是另外两点组成的线段的中点． 【详解】（1）解：如图1：∵，∴， ∵D是的中点，，； （2）解：，理由如下：如图1：∵，∴， ∵D是的中点，，∴． （3）解：A表示，点表示5，点C表示21，点D表示17，当运动的时间为t秒时，点B表示，点C表示，点D表示，点，，， ①当点C在点D的右侧，即，解得：， ∴当时，如图2所示，D是的中点，由题意可得：， 即，解得：，不符合题意，舍去； ②当点C在点D的左侧且点C在点B的右侧，即，解得：， ∴当时，如图3所示，C是的中点， 由题意可得：，即，解得：，符合题意； ③当点C在点B的左侧且点D在点B的右侧，则，解得：， ∴当时，如图4所示，B是的中点，由题意可得：， 即，解得∶，符合题意； ④当点D在点B的左侧到停止前，则，解得：， ∴当时，如图5所示，D是的中点，由题意可得：， 即，解得，符合题意． 综上所述，当t的值为、或8时，B、C、D中的一点是另外两点组成的线段的中点． 4．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图，线段，点A在点B的左边． (1)点C在直线上，，则 ．(2)点D在线段上，．点P从点D出发，以每秒4个单位长度的速度沿直线向右运动，设运动时间为t秒． ①点M是线段的中点，点N是线段的中点．当t为何值时，？ ②若点P从点D出发时，以每秒4个单位长度的速度沿直线向右运动，点Q从点B同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿直线向右运动．点P与点Q相遇后，点P保持原来运动方向不变，速度变为2个单位长度/秒，点Q改变原来的运动方向沿直线向左运动，且速度变为3个单位长度/秒．在整个运动过程中，当时， ． 【答案】(1)12或24(2)①2.5或3.5；②2或 【详解】（1）解：∵，∴①当点C在点B左侧时，， ②当点C在点B右侧时，， ∴，∴；故答案为：12或24； （2）解：①令点A表示的数为0，则点B表示的数为16，点D表示的数为4，点M表示的数为，点N表示的数为， ∵不确定点P在点B左侧还是右侧，∴，∴， 解得：或，答：当t为秒或秒时，； ②当点P与点Q相遇时，，即，解得：， 分两种情况：Ⅰ．点P与点Q相遇前即时，，，， 当时，，解得：或（不合题意，舍去）； Ⅱ．点P与点Q相遇后即时，，， ， 当时，，解得：，故答案为：2或． 5．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）已知点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为，关于，的多项式是六次多项式，且常数项为． (1)点到点的距离为_________；(2)已知点是数轴上一点，且点到点的距离是点到点的距离的3倍（即），求点在数轴上对应的数；(3)如图，点，分别从点，同时出发，分别以，的速度沿数轴负方向运动（点在点，之间运动，点在点，之间运动），运动时间为，为点，之间的一点，且点到点的距离是点到点的距离的一半（即），若点，运动过程中点到点的距离（即的值）为一个固定的值，求的值． 【答案】(1)8(2)3或9(3) 【详解】（1）解：∵关于，的多项式是六次多项式，且常数项为， ∴，∴,∴点到点的距离为，故答案为：8； （2）解：由（1）知，点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为5，点到点的距离为8， 设点在数轴上对应的数为， ①若点在点与点之间，则，∴，∴点在数轴上对应的数为3； ②若点在的延长线上，则，∴，∴点在数轴上对应的数为9； ③若点在的延长线上，则，，∴，故此种情况不符合题意； 综上，点在数轴上对应的数是3或9； （3）解：由题意，得，，∴，， ∴，∴， ∵点，运动过程中点到点的距离（即的值）为一个固定的值， ∴的值与无关，∴，∴． 6．（25-26七年级上·广东广州·期中）【阅读理解】若数轴上两点A，B所表示的数分别为a和b，则有 ①两点A，B两点的中点表示的数为； ②两点A，B两点之间的距离；若，则可简化为． 【解决问题】数轴上两点A，B所表示的数分别为a和b，且．（1）直接写出： ． （2）点C在数轴上对应的数是c，且关于x，y的多项式是三次四项式，在数轴上是否存在点P，使？若存在，求出点P对应的数；若不存在，说明理由． 【数学思考】（3）点E以每秒1个单位的速度从原点O出发向右运动，同时点M从点A出发以每秒7个单位的速度向左运动，点N从点B出发，以每秒10个单位的速度向右运动，P、Q分别为、的中点．思考：在运动过程中，的值是否发生变化？并说明理由． 【答案】（1）10；（2）存在，16或0；（3）在运动过程中，的值不变，见解析 【详解】解：（1）∵，∴，， ∴，，∴，故答案为：10； （2）∵关于x，y的多项式是三次四项式， ∴，解得，∴点C表示的数为，∴， ∴点P不可能位于点A的左侧，设点P对应的数为y， ①当点P在点B右侧，由题意得，解得， ②当点P在A、B之间，由题意得，解得 综上所述，点P对应的数为16或0； （3）在运动过程中，的值不变，理由如下： 设运动时间为t，则点E对应的数是t，点M对应的数是，点N对应的数是， ∵P是的中点，∴P点对应的数是， 又∵Q是的中点，∴Q点对应的数是， ∴，，， ∴，∴在运动过程中，的值不变． 7．（25-26·江苏·七年级专题练习）平移和翻折是初中数学中两种重要的图形变化，阅读并回答下列问题： （一）平移：在平面内，讲一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移． （1）把笔尖放在数轴的原点处，先向左移动3个单位长度，再向右移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示的数是 ；（2）一个机器人从数轴上原点出发，并在数轴上移动2次，每次移动2个单位后到达B点，则B点表示的数是 ；（3）如图，数轴上点A表示的数为−1，点B表示的数为1，点P从5出发，若P，A两点的距离是A，B两点距离的2倍，则需将点P向左移动 个单位． （二）翻折：将一个图形沿着某一条直线折叠的运动． （4）若折叠纸条，表示−3的点与表示1的点重合，则表示−4的点与表示 的点重合； （5）若数轴上A，B两点之间的距离为10，点A在点B的左侧，A，B两点经折叠后重合，折痕与数轴相交于表示−1的点，则A点表示的数为 ；（6）在数轴上，点M表示是的数为4，点N表示的数为x，将点M，N两点重合后折叠，得折痕①，折痕①与数轴交于P点；将点M与点P重合后折叠，得折痕②，折痕②与数轴交于Q点．若此时点M与点Q的距离为2，则x＝ ． 【答案】（1）；（2）或或；（3）2或10；（4）2；（5）-6；（6）或 【详解】解：（1）笔尖的位置表示的数为故答案为； （2）机器人向右移动两次，则B点表示的数为 机器人向左移动两次，则B点表示的数为 机器人向右移动一次，再向左移动一次，则B点表示的数为故答案为或或 （3）设点P向左移动个单位，则点P表示的数为， ， 由题意可得：，解得或即向左平移2或10个单位长度 故答案为2或10 （4）由题意可得：对称中心为，则表示−4的点与表示2的点重合 故答案为2 （5）由题意可得，A点在表示−1的点的左侧5个单位长度，则A点表示的数为 故答案为-6 （6）由题意可得：，则， 即之间的距离为8 当在左侧时，，点N表示的数为-4 当在右侧时，，点N表示的数为12 故答案为或 8．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）【思考背景】数轴是数学中的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，帮助我们更加直观的思考问题．平移和翻折是数学中两种重要的图形变化，从变化的角度观察数轴，可以提出很多有趣的问题： 【问题情境】（1）平移运动：如图1，数轴上的一点向右移动4个单位长度，再向左移动1个单位长度到达点．①______（用含的代数式表示）； ②将点沿着数轴先向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度得到点，求点表示的数；③一机器人从原点开始，第1次向左移动1个单位，紧接着第2次向右移动2个单位，第3次向左移动3个单位，第4次向右移动4个单位，…，以此规律，当它移动2023次时，所在数轴上的点表示的数是______． （2）翻折变换：①若在原点处折叠数轴使之两侧重合，数轴上的点与点恰好重合，则点与点表示的数、满足关系：______；②若以表示的点为折点，折叠数轴使之两侧重合，与表示的点重合的点在数轴上表示的数是______；③如图2，一条数轴上有点、、，其中点、表示的数分别是、8，现以点为折点，将数轴向右对折重合，若点、对应重合的点分别为点、，点与点相距2个单位长度，请直接写出点表示的数． 【迁移拓展】请你结合以上情境，思考并提出一个合理的数学问题．（不要求作答） 【答案】（1）①；②；③；（2）①；②；③P对应的数为或．迁移拓展：问题见解析，表示的数为． 【详解】解：（1）①数为； ②点沿着数轴先向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度得到点，点表示的数为；； ③由题意可得： ； （2）①在原点处折叠数轴使之两侧重合，数轴上的点与点恰好重合，则点与点表示的数、满足关系为； ②由题意可得：； ③设折点P对应的数为，则对应的数为， ∵点与点相距2个单位长度，∴，即， ∴或，解得：或，∴P对应的数为或． 迁移拓展：问题如下：一条数轴上有点、、，其中点、表示的数分别是、8，现以点为折点，将数轴向右对折，若点对应的点落在点的右边，把向右平移2个单位得到点，并且线段的长度为5，请直接写出点表示的数． 解答如下：点对应的点落在点的右边，把向右平移2个单位得到点， 设在数轴上表示的数为，则对应的数为， ∴，∴，∴，点为，故表示的数为． 9．（25-26七年级上·重庆·期中）如图，数轴上、表示的数分别为、20，有两条动线段和，点与点重合，点对应的数是4，且点在点的左边，点在点的左边，，．线段以每秒4个单位的速度向右匀速运动，同时线段以每秒1个单位的速度向右匀速运动．当点运动到点时，线段立即返回，并且速度变为原速的一半，同时，线段的速度变为两倍；当点到达点时，线段、同时停止运动．设运动时间为秒（整个运动过程中，线段和保持长度不变）． (1)当时，点表示的数为 ，点表示的数为 ； (2)在线段从到的过程中，点是的中点，点是的中点，若，求点在数轴上对应的数；(3)在整个运动过程中，请直接写出时所对应的的值． 【答案】(1)，(2)或(3)t的值为或或7或 【详解】（1）解：∵数轴上、表示的数分别为、20，∴，∵，∴， ∵线段以每秒4个单位的速度向右匀速运动，当点运动到点时，线段立即返回，∴， ∵当点到达点时，点对应的数是4，，线段以每秒1个单位的速度向右匀速运动． ∴点对应的数是， 当时，点C表示的数为，点D表示的数为，点M表示的数为，点N表示的数为， ∵当点运动到点时，线段立即返回，并且速度变为原速的一半，当点运动到点时，线段立即返回，并且速度变为原速的一半，同时，线段的速度变为两倍； ∴，，即点在9秒到达点B， 当时，点C表示的数为，点D表示的数为， 点M表示的数为，点N表示的数为， 当时，点D表示的数为，点N表示的数为；故答案为：，； （2）解：当时，∵点E是的中点，点F是的中点， ∴点E表示的数为； ∴点F表示的数为，∴， ∵∴，解得或； 当时，点表示的数为；当时，点表示的数为； 综上：点在数轴上表示的数为或； （3）解：当点C第一次与点M重合时，则，解得， 当时，，，∵， ∴，解得：(不符合题意，舍去)； 当点D第一次与点N重合时，则，解得， 当时，，， ∵，∴，解得：， 当点D与点B重合时，， 当时，，， ∵，∴，解得：， 当点D第二次与点N重合时，由（1）得当时，点D表示的数为，点N表示的数为， 则，解得； 当时，点M表示的数为， 点C表示的数为， 则， ∵，∴，解得：， 当点C第二次与点M重合时，由（1）得当时，点C表示的数为，点M表示的数为， 则，解得； 当时，， ∵，∴，解得：， 当时，，， ∵，∴，解得：(不符合题意，舍去)； 综上所述，在整个运动过程中，时所对应的t的值为或或7或． 1．（25-26·广东·七年级 校考期中）如图，A、O、B两点在数轴上对应的数分别为﹣20、0、40，C点在A、B之间，在A、B两点处各放一个挡板，M、N两个小球同时从C处出发，M以2个单位/秒的速度向数轴负方向运动，N以4个单位/秒的速度向数轴正方向运动，碰到挡板后则反方向运动，速度大小不变．设两个小球运动的时间为t秒钟（0＜t＜40），当M小球第一次碰到A挡板时，N小球刚好第一次碰到B挡板．则：①C点在数轴上对应的数为0；②当10＜t＜25时，N在数轴上对应的数可以表示为80﹣4t；③当25＜t＜40时，2MA+NB始终为定值160；④只存在唯一的t值，使3MO＝NO，以上结论正确的有（　　） A．①②③④ B．①③ C．②③ D．①②④ 【答案】D 【详解】解：设C点在数轴上对应的数为，则， 当M小球第一次碰到A挡板时，N小球刚好第一次碰到B挡板，则 解得，即C点在数轴上对应的数为0，①正确； 当时，N小球运动的距离为，刚好到达点， 当时，N小球运动的距离为，刚好到达点，M小球运动的距离为 当10＜t＜25时，N小球从点向点开始运动，此时， 点表示数的为，②正确； 当时，N小球运动的距离为，M小球运动的距离为 当25＜t＜40时，N小球从点向点开始运动，M小球向点运动 则，，，③错误； 当时，，，由题意得，，解得，不符题意； 当时，，， 由题意得，，解得，不符题意； 当时，，当时，， 由题意得，，解得，此时三点重合，成立； 当时，，由题意得，，解得，不符题意； 当时，，由题意得，，解得，不符题意； ④正确 故选：D 2．（25-26七年级上·湖南衡阳·期末）一个动点从数轴上的原点出发，沿数轴的正方向以前进4个单位，后退2个单位的程序运动，已知点每秒前进或后退1个单位．设表示第秒点在数轴上的位置所对应的数，如，，，则为（    ） A．673 B．674 C．675 D．676 【答案】C 【详解】解：∵动点从数轴上的原点出发，沿数轴的正方向以前进4个单位，后退2个单位的程序运动， ∴每6秒点P完成一次前进和一次后退运动，且每6秒内点P向数轴正方形运动2个单位， ∵，∴为，故选：C． 3．（25-26七年级上·重庆·期中）点，在数轴上分别表示有理数，且满足．现将数轴在点，处剪断，再用绳子将它们连接，就可得到如图所示的“拱形数轴”，其中点为绳子上一点且满足．在此数轴上，我们定义任意两点的距离为它们之间折线段的长度之和，如图1，，两点的距离为线段的长，记为，记，两点的距离为． (1)请直接写出________，________； (2)若，点在数轴上表示有理数6，一动点从点出发以每秒3个单位长度沿“拱形数轴”向正方向运动，同时，另一动点从点出发以每秒1个单位长度沿“拱形数轴”向负方向运动，两个点运动到点处均停止，设运动时间为秒，请问取何值时，使得？ (3)如图2，已知，动点从点出发以每秒2个单位长度沿着“拱形数轴”向正方向运动，同时点从点出发，以每秒1个单位长度沿着“拱形数轴”向负方向运动；两点相遇后，点速度立即变为原来的一半并沿着“拱形数轴”向负方向运动，同时点保持速度不变并沿着“拱形数轴”向正方向运动．设运动时间为秒，是否存在使得？如果存在，请直接写出的值，如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)，4(2)(3)存在， 【详解】（1）∵，∴，，∴，，故答案为：，4； （2）∵，∴点N在数轴上表示有理数4，∵点B在数轴上表示有理数6，∴B点位置如图所示， ∵，由题意知，，，，∵，∴， 当时，， ∴（舍去）， 当时，，∴时，使得； （3）存在，理由如下，∵，∴相遇时，两点各自运动的时间为（秒）， ∴由题意知，当时，，，∴，∴（舍去）， 当时，，，∴,∴， ∴当时，． 4．（25-26七年级上·广东广州·期中）如图，数轴上有、两个定点， (1)线段的中点表示的数为 ；若数轴上点，满足时，则点所表示的数为 ． (2)数轴上的动点、、按以下方式运动（速度单位：单位／秒）；、分别以 、的速度从点出发向右运动，同时以 的速度从点出发向左运动，当、相遇后，立即反向按原速运动，而当、相遇后，又立即反向按原速运动，依此类推，当、相遇时，点的运动路程是 个单位； (3)若点为线段的中点，点为线段的中点，点为线段的中点，依此类推，点为线段的中点，它们在数轴上表示的数分别为， 为正整数）． ①当时，求出的值；②记， 求当时，的值等于 ． 【答案】(1)；或(2)(3)①；② 【详解】（1）解：线段的中点表示的数为 设点所表示的数为根据题意得：，即（）或（），解得：或 点在数轴上所表示的数为或；故答案为：或； （2）设经过秒，点，相遇，根据题意得：解得： 点的运动路程是个单位．故答案为：； （3）①由题意得：表示的数为，表示的数为，表示的数为，…，表示的数为，表示的数为， ∴当时， ， 则当时，为定值为； ②由①得：当时，，， 同理得：，，…，， ∴，， ． 5．（25-26七年级上·浙江宁波·阶段练习）在一个轨道长为的轨道架上做钢球碰撞实验，如图所示，轨道架上放了三个大小、质量完全相同的钢球A，B，C，  左右各有一个钢制挡板D 和E， 其中C 到左挡板的距离为，B 到右挡板的距离为，A，B 两球相距．以轨道所在的直线画数轴，A 球在原点，B球表示的数为30．    (1)C球表示的数为 ， 挡板E表示的数为 ；(2)碰撞实验中（钢球大小、相撞时间不计），钢球的运动都是匀速的，当一钢球以一速度撞向另一静止钢球时，这个钢球停留在被撞钢球的位置，被撞钢球则以同样的速度向前运动，钢球撞到左右挡板则以相同的速度反向运动，现A 球以每秒的速度 向右匀速运动，① 秒后B 球第一次撞向右挡板E， 秒后B球第二次撞向右挡板E； ②当三个球运动的路程和为时， 球正在运动（填“A”，“B”，“C”）， 此时，A 球表示的数为 ，B 球表示的数为 ，C 球表示的数为 ． 【答案】(1)-60；80 (2)①8；44；②C；；30； 【详解】（1）解：A和C两球间的距离为C球表示的数为； A球到挡板E的距离为，挡板E表示的数为；故答案为：；． （2）解：①，秒后B 球第一次撞向右挡板E， ，，秒后B球第二次撞向右挡板E；故答案为：8，44． ②当A球第三次回到原点时，三个球运动的路程和为， 再经过路程，A球向左撞到C球， 当C球向左行时，三个球运动的路程和为， 当三个球运动的路程和为时，C球正在运动； 此时，A 球在原C球的位置，表示的数为，B 球在原来球的位置，表示的数为30，C 球表示的数为． 故答案为： C；；30；． 6．（24-25七年级上·江苏南通·期中）已知数轴上有三个点分别为，对应的数分别是，满足．规定：两点间的距离可用这两点的字母表示，如点与点之间的距离表示为．(1)直接写出的值：______，______，______； (2)点在数轴同时运动，它们的速度分别是3个单位/秒、2个单位/秒，设运动时间为秒． ①点向右运动t秒时对应的数为______（用含的式子表示）； ②点向右运动，当，求点运动的时间的数值； ③当点向左运动，点向右运动．试问：是否存在一个常数使得不随运动时间的改变而改变．若存在，请求出；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)①；②；③ 【详解】（1）∵，∴， ∴，故答案为：； （2）①∵点A表示的数为，向右运动速度是3个单位/秒， ∴点A向右运动t秒时对应的数为，故答案为：； ②∵点C表示的数为12，向右运动速度是2个单位/秒，∴点C向右运动t秒时对应的数为， ∴， ∵∴，解得； ③∵点A向左运动t秒时对应的数为，点C向右运动t秒时对应的数为， ∴，， ∴ ∵不随运动时间t的改变而改变∴∴． 7．（25-26七年级上·福建厦门·期中）我们规定：对于数轴上不同的三个点，，，当点在点右侧时，若点到点的距离恰好为点到点的距离的倍，且为正整数，（即），则称点是“关联点”，如图，已知在数轴上，原点为，点，点表示的数分别为，，且，满足． (1)由题意得，______，______；(2)若点是“关联点”，则点所表示的数为______； (3)点在，之间运动，且不与，两点重合，作“关联点”，记为，作“关联点”，记为，且满足，分别在线段和上．当点运动时，若存在整数，，使得式子为定值，求出，满足的数量关系． 【答案】(1)4，(2)0或(3) 【详解】（1）∵，∴，∴， ∵点A，点B表示的数分别为a，b，且a，b满足，∴，，故答案为：4，； （2）∵点A，点B表示的数分别为4，，∴， 若点C是“关联点”，则， 当点C在线段上时，，此时，点C所表示的数为； 当点C在线段的延长线上时，，此时，点C所表示的数为， 综上所述，点C所表示的数0或，故答案为：0或； （3）设点Q表示的数为， ∵点在，之间运动，且不与，两点重合，作“关联点”，记为，作“关联点”，记为，且满足，分别在线段和上． ∴，，，， ∴，， ∴， 当点Q运动时，若存在整数m、n，使得式子为定值，则    ， ∴，即整数m、n满足的数量关系是． 8．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）已知，两点在数轴上所表示的数分别为，，且，满足． (1)求，的值；(2)①有一个玩具火车如图1所示，放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，当点移动到点时，点所对应的数为，当点移动到点时，点所对应的数为，则玩具火车的长为_____个单位长度；②如图1所示，将第①题中的玩具火车沿数轴左右水平移动，当时，直接写出此时点所表示的数；(3)在（2）的条件下，当火车以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点和点从M、N出发，分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，记火车运动后对应的位置为，是否存在常数使得的值与它们的运动时间无关？若存在，请求出和这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，(2)①；②4或 (3)存在，使的值与它们的运动时间无关，且定值为12，理由见解析 【详解】（1）解：，，，，； （2）解：①由（1）知，， 表示的数：，表示的数为：，， 当点移动到点时，点所对应的数为，当点移动到点时，点所对应的数为． 故，即，，玩具火车的长为3个单位长度，故答案为：3； ②设点表示的数为，则点表示的数为：，，， 点在的右侧，当时可知，，故、两点只能在点的右侧， 只能向右运动，即， 当时，，解得：或，点所表示的数为：4或； （3）解：存在，使的值与它们的运动时间无关，且定值为：12； 理由：在（2）的条件下，点所表示的数为：4或， 当火车以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点和点从、出发，分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，表示的数：，表示的数为：， 分两种情况：①为4时，此时为7，则时，表示的数：，表示的数：， 表示的数：，表示的数：，则，， 当的值与它们的运动时间无关， ，解得：，此时定值为； ②为时，此时为，则时，表示的数：，表示的数：， 表示的数：，表示的数：，则，， 当的值与它们的运动时间无关， ，解得：，此时定值为； 综上所述：存在，使的值与它们的运动时间无关，且定值为：12． 9．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图1，在数轴上有A，B两点，点A表示的数为4，点B在A点的左边，且，若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动．若点P，Q分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒． (1)写出数轴上点B表示的数为________，P所表示的数为________（用含t的代数式表示）． (2)点P运动多少秒与Q相距3个单位长度？ (3)如图2，分别以和为边，在数轴上方作正方形和正方形，如图所示，求当t为何值时，两个正方形的重叠部分面积是正方形面积的一半？ 【答案】(1)；(2)3或5秒(3)4.8或24 【详解】（1）解：点在点的左边，，点表示4，点表示的数为， 动点从数轴上点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，则点表示的数为， 故答案为：；； （2）解：依题意得，点表示的数为，点表示的数为， 若点在点右侧时：，解得：； 若点在点左侧时：，解得：； 综上所述，点运动3秒或5秒时与相距3个单位长度； （3）解：如图1，均在线段上， 两正方形有重叠部分，点在点的左侧，， ，重叠部分面积， 重叠部分的面积为正方形面积的一半，，∵，，解得：； 如图2，均在线段外，， 重叠部分面积，，∵，，解得：，故答案为：4.8或24． 10．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“形数轴”．图中点A表示，点表示，点表示，我们称点和点在“形数轴”上相距个长度单位．动点，同时出发，点从点出发，以单位秒的速度沿着“形数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复到原来的速度；动点从点出发，以单位秒的速度沿着“形数轴”的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复到原来的速度．设运动的时间为秒．请根据以上条件回答：(1)动点从点运动至点需要多少时间？(2)当，两点相遇时，求值；(3)当，两点在“形数轴”上相距的长度与，两点在“形数轴”上相距的长度相等时，则的值为______(直接写出结果)． 【答案】(1)(2)(3)或或或 【详解】（1）解：点表示，点表示，点表示，，，， ，动点从点运动至点需要； （2）从到需要，从到需要， 在上运动时，表示的数为，表示的数为， ，解得，当，两点相遇时，的值为； （3）①当时，在上，在上，表示的数为表示的数为 ，解得， ②当时，在上，在上，表示的数为，表示的数为 ，解得； ③当时，在上，在上，表示的数为，表示的数为， ，解得； ④当时，在上，在上，表示的数为，表示的数为， ，方程无解； ⑤当时，在上，在上，表示的数为，表示的数为， ，解得； 综上所述，的值为或或或．故答案为：或或或． 1 / 64 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 数轴中的九类动态模型 数轴中的动态压轴问题属于人教版七年级上册必考压轴题型，主要以数轴为载体，体现动态分析、分类讨论和数形结合等思想，考查学生的分析与综合能力。要求学生吃透数轴动点的核心模型，掌握动点表示、距离计算、最值、相遇追及推导逻辑，规避高频易错点，熟练套用标准化解题模板，实现所有数轴动态题型全覆盖、解题步骤规范化。 模型来源 1 知识储备 1 例讲模型 2 模型1.动态规律（左右跳跃）模型 2 模型2.动态中点与n等分点模型 4 模型3.单（多）动点匀速模型 8 模型4.单（多）动点变速模型 11 模型5.动点往返运动模型 15 模型6.动态定值（无参型）模型 19 模型7.动态定值（含参型）模型 22 模型8.数轴折叠（翻折）模型 26 模型9.数轴上的线段移动模型 29 易错点与方法总结 34 模型运用 35 A组（基础题） 35 B组（能力提升题） 42 C组（综合压轴题） 52 数轴中的动态模型（如动点问题）的历史发展，本质上是数轴工具与运动数学思想结合的产物，其演变可分为三个阶段：工具创造‌（17世纪）→动态启蒙‌（19-20世纪）→教学定型‌（21世纪）。数轴动态模型是‌笛卡尔几何工具‌与‌运动数学思想‌在教育场景中的实践结晶，其发展映射了数学从抽象理论向应用建模的转化过程。 数轴动态压轴模型（动点模型）的核心本质：用代数式子表示数轴上运动的点，将几何点的运动问题，转化为代数方程、不等式、绝对值计算问题。 ①若A、B两点在数轴上对应的数字是 a、b，则AB两点间的距离；AB中点对应的数字是：。 ②数轴动点问题主要步骤： 1）画图：在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度； 2）写点：写出所有点表示的数：常用含t的代数式表示，向右运动用“+”表示，向左运动用“-”表示； 3）表示距离：右—左，若无法判定两点的左右需加绝对值； 4）列式求解：根据条件列方程或代数式，求值。 注意：要注意动点是否会来回往返运动，速度是否改变等。 ③核心数学思想：数形结合、动态分析、分类讨论，是初中从静态几何向动态几何过渡的首个核心模型，也是后续平面直角坐标系动点、几何动点问题的基础。 （1）数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，注意多种情况的分类讨论。 （2）对于两个动点P、Q，若点P、Q的左右位置关系不明确或有多种情况，可用p、q两数差的绝对值表示PQ 两点距离，从而避免复杂分类讨论。 模型1.动态规律（左右跳跃）模型 【模型提炼与证明】 1. 运动规律性‌：动点按“左右交替”方向移动，步长呈现递增或周期性变化。 1. ‌代数表达‌：动点位置需用含时间变量t的代数式表示。 1. 例如，第n次移动后的位置可表示为：xn=xn−1±kn，其中k为步长基数，符号由移动方向决定。 1. ‌分类讨论‌：根据移动次数、方向变化和步长规律进行分段分析，尤其注意动点是否跨越原点或特定临界点。 常见模型（1）：“1左1右”的等差数列式跳跃，两个一组根据规律计算即可； 常见模型（2）：“2左2右”的等差数列式跳跃，四个一组根据规律计算即可。 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级上·重庆·阶段练习）一个动点P从数轴上的原点O出发开始移动，第1次向右移动1个单位长度到达点，第2次向右移动2个单位长度到达点，第3次向左移动3个单位长度到达点，第4次向左移动4个单位长度到达点，第5次向右移动5个单位长度到达点，…，点P按此规律移动，则移动第2022次后到达的点在数轴上表示的数为（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【典例2】（24-25七年级上·北京·期中）一个电子蚂蚁从数轴上的原点出发，按下列规则运动：先沿数轴的正方向前进5个单位，然后后退3个单位，如此反复进行；已知电子蚂蚁每秒只能前进或后退1个单位．设表示第秒电子蚂蚁在数轴上的位置所对应的数，则为 ，所表示的数在数轴上对应的位置，电子蚂蚁在运动过程中会经过 次． 【典例3】（25-26七年级上·浙江·专题练习）如图，一动点从原点开始向左运动，每秒运动个单位长度，规定：每向左运动秒就向右运动秒．则动点运动到第秒时所对应的数是（   ） A． B． C． D． 模型2. 动态中点与n等分点模型 【模型提炼与证明】 1）动态中点模型：动态中点指两动点在数轴上运动时，其中点位置随动点运动而变化。设动点A和B在时间t的位置分别为xA（t）和xB（t），则动态中点M（t）的坐标：。 该公式适用于任意时刻动态中点计算。 2）动态n等分模型：将线段AB分为n等份时，第k个等分点的坐标为：。 若A和B为动点，则等分点位置随时间变化，需建立动态表达式。 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级上·河南郑州·期中）如图，已知数轴上点A表示的数为4，点B表示的数为1，C是数轴上一点，C在原点左侧，且，动点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点C表示的数为______，并用含 t的代数式表示点P所表示的数为______； (2)设M是的中点，N是的中点，点P在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求线段的长度； (3)动点Q从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点R从点C出发，以每秒1个单位长度沿数轴向左匀速运动，若P、Q、R三点同时出发，在运动过程中，P到R的距离、P到Q的距离，这两段距离何时相等，请求出此时t的值． 【典例2】（25-26七年级上·江西赣州·期末）在数轴上，点在原点，点在原点的左侧，点在原点的右侧，点距离原点12个单位长度，点距离原点2个单位长度． (1)点对应的数为________，______个单位长度．(2)若点为数轴上一点，且，求的长． (3)点从点以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点从点以每秒3个单位长度的速度也向右运动，在运动过程中，设运动时间为秒，当三个点，其中有一个点与另外两个点的距离相等时，求的值． 【典例3】（25-26七年级上·湖北荆门·期末）定义：数轴上的三个点A、B、C，若其中一个点到另外两个点之间的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“奇妙点”．例如数轴上点A、B、C所表示的数分别为5、8、9，此时点B是点A、C的“奇妙点”．若点A表示数，点B表示数15． (1)如图1，若点M表示数25，判断点M是否为点A，B的“奇妙点”，并说明理由； (2)如图2，点N是数轴上位于点A的左侧，且点N是点A、B的“奇妙点”，求点N表示的数； (3)若动点P、Q分别从点A、B位置同时出发，分别以每秒1个单位长度、每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，运动时间为t秒．①当点Q运动多少秒时，点Q追上点P？②在运动过程中，求出点P运动多少秒时点A成为点P、Q的“奇妙点”？ 【典例4】（24-25七年级上·湖南长沙·期中）【知识准备】若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为．（1）在一条数轴上，O为原点，点对应的数为，点对应的数为，且有，则的中点N所对应的数为_____． 【问题探究】（2）在（1）的条件下，若点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时点Q从点D出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动．设运动时间为秒，为何值时，的中点所对应的数为1？ 【拓展延伸】（3）若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为靠近点A的三等分点，则我们有三等分点公式：点M对应的数为；若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为最靠近点A的四等分点，则我们有四等分点公式：点M对应的数为． 填空：若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的等分点，则我们有等分点公式：点M对应的数为_____．（其中n为正整数） 模型3. 单（多）动点匀速模型 【模型提炼与证明】 模型（1）:动点P从点A（点A在数轴上对应的数是a）出发，以每秒v个单位的速度向右移动，t秒后，到达B点，B点对应的数是：a+vt。 模型（2）:动点P从点A（点A在数轴上对应的数是a）出发，以每秒v个单位的速度向左移动，t秒后，到达C点，C点对应的数是：a-vt。 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级下·河南南阳·阶段练习）如图，点A在数轴上表示的数为，点B在数轴上表示的数为8，C是线段上的一点，且．动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动．若，则点P的运动时间为 秒． 【典例2】（25-26七年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在数轴上点表示的数是，点在点的右侧，且到点的距离是16，点在点，之间，且到点的距离与到点的距离相等． (1)点B表示的数是_____；点C表示的数是_____． (2)若点从点出发，沿数轴以每秒4个单位长度的速度向右运动，同时点从点出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向左运动．设运动时间为秒，在运动过程中，当为何值时，点与点相遇？ (3)在（2）的条件下，是否存在符合条件的值，使得？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【典例3】（25-26七年级上·江西赣州·期末）已知：b是最小的正整数，且a、b、c满足，请回答问题． (1)请直接写出a、b、c的值．______，______，______； (2)a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为一动点，其对应的数为x，点P在0到1之间运动时，请化简式子：（请写出化简过程）； (3)在（1）（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度也向左运动，运动时间为是否存在t，使A、B、C中一点是其它两点的中点，若存在，求t的值，若不存在，说明理由． 模型4. 单（多）动点变速模型 【模型提炼与证明】 单个动点在数轴上运动时，速度随时间或位置发生改变，需分段描述其运动轨迹。 例如：动点先以速度v1运动t1秒，再以速度v2反向运动t2秒。 其‌位置表达式‌：分段表示为x(t)=x0+v1t（0≤t≤t1）和x(t)=x(t1)−v2(t−t1)（t1<t≤t1+t2）。 上式中为x0初始位置，x(t)为t时刻的位置。 多个动点以不同速度或方向变化协同运动，需分别建模后寻找关联条件（如相遇、距离等）。 动态关系式‌：分别表示各动点位置，再通过相遇条件xP(t)=xQ(t)或距离公式∣xP(t)−xQ(t)∣=L列方程。 上式中xP(t)为动点P在t时刻的位置；xQ(t)为动点Q在t时刻的位置。 数轴上的单（多）动点变速模型用于描述动点在运动中速度发生变化的场景，需结合分段分析（按时间或位置划分运动阶段，确保每个阶段内速度恒定）和动态方程构建解决问题，最后注意检查解是否在对应时间段内，排除超时或重复解。 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级上·四川成都·期末）如图，在数轴上，点，在原点的两侧，分别表示，，．点以每秒个单位的速度从点向右运动，同时，点以每秒个单位的速度从点向左运动，是线段的中点，设运动时间为． (1)求点与点之间的距离；(2)当为何值时，，并求出此时点表示的数； (3)在，两点开始运动时，点以每秒个单位的速度从点向左运动．点经过原点后，其速度变为原来的倍，点变速后，若线段的长度始终是一个定值，求的值． 【典例2】（24-25七年级上·重庆·期中），如图1，点与点到原点的距离相等，、、分别表示、、三点在数轴上对应的数，如图2，我们将数轴在点和点处各弯折一次，使与处于水平位置、动点从点出发到点停止，以每秒2个单位的速度沿数轴正方向运动，上坡时的速度变为原来的一半，之后恢复原来的速度，动点从点处出发到点停止，以每秒1个单位的速度沿数轴负方向运动，下坡时的速度变为原来的两倍，之后恢复为原来的速度，若、同时出发，设运动时间为． (1)_____，_____，_____； (2)当、两点相遇时，求运动时间的值； (3)在运动过程中，是否存在，使动点、两点在数轴上相距的长度是、两点在数轴上相距的长度的倍，若存在，直接写出的值，若不存在，说明理由． 【典例3】（25-26七年级上·四川成都·期中）已知数轴上有A、B、C三个点，分别表示有理数、9、20，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右移动．设移动时间为t秒，如图1，若用分别表示点P与点A、点B、点C之间的距离，试回答以下问题： (1)当点P运动5秒时，______，______，______． (2)当点P运动了t秒时，请用含t的代数式表示点P与点A、点B、点C之间的距离： ______，______，______． (3)经过几秒后，点P到点A、点C的距离相等？此时点P表示的数是多少？ (4)如图2，当动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点C出发，以1个单位/秒速度向左运动．O、B两点之间为“变速区”，规则为从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速．是否存在符合条件的t，使P、Q两点到点B的距离相等？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 模型5. 动点往返运动模型 【模型提炼与证明】 1. 数轴上动点往返运动的位置计算需结合‌方向变化、分段累加‌和‌代数建模。 1. 注意事项： 1. 1）‌时间范围验证‌：解方程后需检查时间是否在对应运动阶段内。 1. 2）‌多解可能性‌：往返可能导致动点多次经过同一位置，需列绝对值方程并分情况讨论。 3）通过以上方法，可系统计算数轴动点往返后的位置，需重点关注‌方向符号处理‌和‌分段累加规则。‌ 【模型运用】 【典例1】 （25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）A，B在数轴上，分别表示数，，且． (1)直接写出的值是 ，的值是 ，线段的长度是 ； (2)如图1，是一条定长的线段（点在点的左侧），它在数轴上从左向右匀速运动，在运动过程中，线段完全经过点（即点在线段上的这段过程）所需的时间为3秒，线段完全经过线段（即线段与线段有公共点的这段过程）所需的时间为15秒．①求线段的长；②直接写出线段运动的速度为 个单位长度/秒；③如图2，当动线段运动到点与点重合时，与此同时，点从点出发，在动线段上，以1个单位长度/秒的速度向点运动，遇到点后，点立即原速返回，向点运动，遇到点后也立即原速返回，向点运动．设动线段，以及点同时运动的时间为秒（），当时，求的值． 【典例2】（25-26七年级上·辽宁锦州·期中）阅读材料：数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，若、为有理数，则表示数与数的差的绝对值，也可以理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 例如：如图①，在数轴上，有理数3与1对应两点之间的距离为；有理数5与对应两点间的距离为；有理数与3对应两点之间的距离为… (1)问题提出：如图②，数轴上点表示的数为，点表示的数为13，、两点之间的距离为______，若点是点和点之间的一个动点，点表示的数为，则的值为______． (2)拓展探究：如图②，数轴上点表示的数为，点表示的数为13，若点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点从点出发．以每秒2个单位长度的速度向左运动．设运动时间为秒。①用含的式子表示：秒后，点表示的数为______；点表示的数为______； ②求当为何值时，、两点相遇，并写出相遇点所表示的数． (3)类比延伸：在（2）的条件下，如果、两点相遇后按照原来的速度继续运动，当各自到达线段的端点后立即改变运动方向，并以原来的速度在线段上做往复运动，那么从开始运动经过多长时间、两点第二次相遇．请直接写出所需要的时间和此时相遇点所表示的数． 【典例3】（25-26七年级上·四川成都·期中）定义：对于整数n：若n为3的倍数，则称n为平数；若为3的倍数，则称n为优数；若为3的倍数，则称n为劣数．从这些点出发的智能狗分别称为平动狗、优动狗、劣动狗．在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，b是最小的质数，，c是多项式的次数． (1)判断：a是______数，b是______数，c是______数．（选填“优”、“平”、“劣”） (2)在原点处有一个速度改变装置，对于从负半轴向正方向运动的智能狗：优动狗经过时速度将瞬时提高到原来的3倍；劣动狗经过时速度将瞬时降至原来的一半；平动狗不产生变化．在点12处有一能量挡板，智能狗触碰后运动方向变为原来的相反方向，优动狗的速度将降为原来的一半，劣动狗的速度将提升至原来的2倍，平动狗的速度大小不改变．当有一只智能狗从正半轴向负方向运动到原点时，所有智能狗都停止运动．P、Q、R三只智能狗分别从A、B、C处同时出发向右运动，运动初始速度均为每秒2个单位，运动时间为t秒．①当t为何值时，P为的中点？②当P将分割为的两部分时，三只智能狗将一起投射“我爱四天”字样，当t为何值时，会投射此字样？ 模型6. 动态定值（无参型）模型 【模型提炼与证明】 数轴上的动态定值（无参型）模型描述动点运动过程中某些量（如线段长度、距离差等）保持不变的场景，需通过代数表达和几何关系分析定值的存在性及数值。题目中不引入额外参数（如速度、时间变量），直接通过动点初始位置、运动规则或几何关系推导定值。 1）解题策略与步骤：‌ ‌步骤1‌：用代数式表示动点位置，例如动点A从x0​出发，以速度v移动，则t秒后位置为x0+vt。 ‌步骤2‌：根据题目条件（如中点、等分点）建立相关量的表达式（如线段长度、差值的绝对值）。 ‌步骤3‌：化简表达式，观察是否消去变量项，验证是否为定值。 2）常见定值类型： 线段长度定值‌：两动点或动点与定点间的距离保持恒定。 ‌代数式定值‌：如∣xA−xB∣±kxC的值为固定常数。 ‌位置关系定值‌：如动点始终为中点或特定分点，导致相关表达式不变。 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级上·广东佛山·阶段练习）【问题背景】我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数，对应点之间的距离． 【问题解决】（1）在数轴上，点表示的数是2，点表示的数是，则点与点之间的距离______． （2）如果点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为4，点与点之间的距离为5，那么_______．（3）若，则的最小值为________，此时正整数的值为________． 【关联运用】（4）点、、是数轴上的三个点，点表示的数是，点表示的数是1，点表示的数是8，点、、开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请问的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出的值． 【典例2】（25-26七年级上·安徽马鞍山·期中）已知代数式是关于的二次多项式，且二次项的系数为．如图，在数轴上有点三个点，且点三点所表示的数分别为．已知． (1)求的值；(2)若动点分别从两点同时出发，向右运动，且点不超过点，点不超过点．在运动过程中，点为线段的中点，点为线段的中点，若动点的速度为每秒2个单位长度，动点的速度为每秒3个单位长度，问代数式是否为一个定值，如果是，求出这个定值．如果不是，请说明理由． 【典例3】（25-26七年级上·重庆·期中）如图，数轴上A、B两点对应的数分别是a、b，其中，b为最大的负整数，且．将数轴折叠，点B与表示数3的点重合，点A与点C重合，点C对应的数是c． (1) ， ， ；(2)点A在数轴上以每秒3个单位长度的速度向右运动，求运动多少秒时点A与点B的距离为5？(3)若点B以每秒1个单位长度向左运动，同时，点A、C分别以每秒2个单位长度的速度和3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒．在运动过程中，的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 模型7. 动态定值（含参型）模型 【模型提炼与证明】 数轴上动态定值（含参型）模型需分析含参数（如速度、距离比例等）的动点运动过程中某些量的恒定性，通过代数建模和参数消去法验证定值存在性及数值。 ‌线段和差定值‌：如PA+PB或∣PA−PB∣恒为常数，需结合参数化简表达式。 ‌代数式定值‌：如kxA+mxB的值与时间无关，需分离含时项并令其系数为零。 速度参数‌：多个动点以不同速度运动，需联立方程消去时间变量，验证定值。 ‌比例参数‌：如线段比例或代数式含系数m（如mAB−2BC），需通过参数约束条件确定定值。 通过参数化建模、代数式分离与含时项消去，可系统解决含参型动态定值问题，需特别注意参数解的适用范围及多解可能性。 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）【背景知识】数轴是重要的数学学习工具，利用数轴可以将数与形完美结合，已知结论：数轴上点、表示的数分别为、，则、两点之间的距离；线段的中点表示的数为 (1)【知识运用】点、表示的数分别为、，若，则、两点之间的距离为_____；线段的中点表示的数为_____ (2)【拓展迁移】：在（1）的条件下，动点从点出发以每秒3个单位的速度沿数轴向左运动，同时动点从点出发以每秒5个单位的速度沿数轴向左运动，设运动时间为，点是线段的中点． ①点表示的数是_____（用含的代数式表示）；②在运动过程中，点、、中恰有一点是另外两点连接所得线段的中点，求运动时间；③线段、的长度随时间的变化而变化，当点在点左侧时，存在常数，使为定值，请直接写出常数的值和该定值． 【典例2】（24-25七年级下·广东揭阳·开学考试）如图，在数轴上点表示的数，点表示数，和满足，点是数轴原点． (1)点表示的数为________，点表示的数为________，线段的长为________． (2)若点从点出发，以3个单位长度每秒的速度向点运动，与此同时，点从点出发，以2个单位长度每秒的速度向点运动，当一个点到达终点时，另一个点立即停止运动．在两点运动过程中是否存在某个时刻，使得？若存在，请求出此时点表示的数；若不存在，请说明理由． (3)点、分别以3个单位/秒和2个单位/秒的速度同时向右运动，点从原点以5个单位/秒的速度向右运动，是否存在常数，使得为定值，若存在，请求出值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 【典例3】（24-25七年级上·四川成都·期中）阅读材料：在数轴上，点表示的有理数为，点表示的有理数为，当时，点，之间的距离记作：；当时，点，之间的距离记作：．例如：，，则． 根据以上知识解决下列问题：如图，已知数轴上两点，表示的数分别为，12，动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)__________，点表示的数为__________．（用含的式子表示） (2)动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，动点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，点，，同时出发．①若点，两点到原点的距离相等，求的值； ②在某个时间段内，的值不随的变化而变化，求出该时段，应满足的数量关系． 模型8.数轴折叠（翻折）模型 【模型提炼与证明】 数轴折叠模型通过几何对称性分析折叠前后点的对应关系，解决折痕位置、对称点等问题。 1）若折叠后点a与点b重合，则折痕对应的点m为两点的中点，满足：或b=2m−a 2）折叠后，对称点到折痕的距离相等，折痕位置可通过线段比例或代数方程求解。 3）若折叠后动点继续运动，需分段分析折叠前后的位置变化及运动轨迹。 【模型运用】 【典例1】（25-26·重庆·七年级期中）已知在纸面上有一数轴（如图）折叠纸面． （1）若1表示的点与表示的点重合，则表示的点与数_____表示的点重合； （2）若1表示的点与表示的点重合，回答以下问题： ①13表示的点与数_____表示的点重合；②若数轴上A、B两点之间的距离为2022（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数是多少？ 【典例2】（25-26·江苏·七年级期中）平移和翻折是初中数学中两种重要的图形变化，阅读并回答下列问题： （一）平移：在平面内，讲一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移． （1）把笔尖放在数轴的原点处，先向左移动3个单位长度，再向右移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示的数是 ；（2）一个机器人从数轴上原点出发，并在数轴上移动2次，每次移动2个单位后到达B点，则B点表示的数是 ；（3）如图，数轴上点A表示的数为−1，点B表示的数为1，点P从5出发，若P，A两点的距离是A，B两点距离的2倍，则需将点P向左移动 个单位． （二）翻折：将一个图形沿着某一条直线折叠的运动． （4）若折叠纸条，表示−3的点与表示1的点重合，则表示−4的点与表示 的点重合； （5）若数轴上A，B两点之间的距离为10，点A在点B的左侧，A，B两点经折叠后重合，折痕与数轴相交于表示−1的点，则A点表示的数为 ； （6）在数轴上，点M表示是的数为4，点N表示的数为x，将点M，N两点重合后折叠，得折痕①，折痕①与数轴交于P点；将点M与点P重合后折叠，得折痕②，折痕②与数轴交于Q点．若此时点M与点Q的距离为2，则x＝ ． 【典例3】（25-26七年级上·福建龙岩·阶段检测）数轴是一个非常重要的数学工具，它把数和数轴上的点建立了对应关系，形象地揭示了数与数轴上的点之间的内在联系，是数形结合的基础．小明在一条长方形纸带上画了一条数轴，进行如下操作探究： (1)操作1：折叠纸带，若数轴上表示1的点与表示5的点重合，则折痕处对应的点表示的数是__________，此时表示数a的点与表示数__________的点重合； (2)操作2：若点A、B表示的数分别是、4，点P从点A出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动；同时，点Q从点B出发，沿数轴以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒，在运动过程中，当t为何值时，点P与点Q之间的距离为2；(3)操作3：在数轴上剪下6个单位长度（从到5）的一条线段，并把这条线段沿某点向左对折，然后在重叠部分的某处剪一刀得到三条线段（如图），若这三条线段的长度之比为，求出折痕处对应的点表示的数． 模型9.数轴上的线段移动模型 【模型提炼与证明】 数轴上的线段移动模型研究线段整体平移的动态变化规律，需结合代数表达与几何关系分析线段长度、覆盖范围等核心问题。 线段沿数轴以固定速度单向或往返移动，需用代数式表示端点位置变化（如左移减速度，右移加速度）；动态过程中需关注线段覆盖区域，及与其他线段的交互（如重叠）。部分模型中，线段长度或端点间的代数差保持恒定（如平移速度对称时，两动线段差为定值）。 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级上·四川成都·阶段检测）如图，数轴上有两条线段和（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧），线段的长度为6个单位长度，线段的长度为4个单位长度，点B、D在数轴上表示的数分别是和14．线段同时从图中位置出发，线段以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，线段以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，运动时间为t秒．（整个运动过程中，线段和保持长度不变） (1)在运动过程中，点B表示的数是_______，点C表示的数是_______．（用含t的代数式表示） (2)当运动开始后，运动多少秒时，线段与线段开始有重叠部分？(3)当点B与C相遇时，线段立即以初始速度的2倍向左匀速运动；当点B与点D相遇时，线段的速度变为初始速度的继续向左匀速运动．在整个运动过程中，线段的运动速度和方向保持不变，当时，求t的值． 【典例2】（25-26七年级上·贵州黔西南·阶段检测）如图所示，在数轴上有两个边长相同的正方形．已知正方形的顶点，分别对应，．正方形的顶点，分别对应，．现正方形以每秒个单位的速度向右运动，正方形以每秒个单位的速度也向右运动． (1)秒后，点对应的数是______，点对应的数是______．(2)设运动时间为（秒），正方形从刚好追上正方形到完全超过需要多少时间？求出的值（刚好追上指边与边重合）． (3)求当正方形和正方形相距个单位长度时，求此时点表示的数．（一个图形内的任意一点与另一个图形内的任意一点距离中的最小值叫做这两个图形间的距离） (4)如图，在运动过程中，两个正方形重合部分的面积（阴影面积）与空白部分面积的和之比为，此时点对应的数是______（直接写出答案）． 【典例3】（24-25七年级上·广东深圳·期末）如图1，点C是线段上一点，若，我们称为点在线段上的“分割值”，记为．例如点在上，，则；反之当，则． (1)如图2，数轴、两点对应的数为、，且分别满足和． ①求出 ； ；②请在图2的数轴上画出、两点． (2)为数轴上一个动点，从点向终点匀速运动．①若点表示的数为，则 ． ②如图，数轴上另一个点从点出发向点运动，到达点后立即以原速返回点，当点到达点B时，，都停止运动．若点和点的运动速度分别为每秒个单位和每秒个单位，且点和点同时出发，运动秒后，是否存在，若存在，求出的值；不存在，请说明理由． (3)如图4，在四边形中，，，，，点，同时从点出发向终点匀速运动，点沿折线运动，点沿线段运动．设点，的速度分别为和且满足，若，当点运动到线段上时，则 ．（用含有的代数式表示） 【典例4】（25-26七年级上·江苏连云港·期中）伴随着连淮扬镇铁路淮镇段的首发运行，世界首座高速铁路悬索桥——五峰山长江大桥正式开通运营.如图，点O为原点，向右为正方向.甲动车位于处，向右行驶.乙动车位于处，向左行驶.五峰山长江大桥主桥为；甲、乙两动车长度相等，速度均为米/秒.表示的数分别是，且满足. (1)______，间的距离是______米，间的距离是______米；(2)从此刻开始算起，甲动车A处有个在座位上的乘客记为点M，求甲动车行驶多少秒时，点M到点C的距离等于米？(3)从此刻开始算起，甲动车A处有个在座位上的乘客记为点M，求甲动车行驶多少秒时，点M到点B的距离与点M到点C的距离之和等于米？(4)两车同时运行，若甲动车A处的乘客记为点M，向右走，速度为2米/秒、乙动车处于中点位置的座位上的乘客记为点N，乘客M从车尾走到车头的过程中是否存在一段时间t，恰好同时在五峰山长江大桥上？如存在，请直接写出t的值. 模型常见易错点 1）忽略时间取值范围； 2）动点运动方向公式记反； 3）两点距离直接大数减小数，忘记绝对值； 4）双动点运动未分类讨论； 5）最值问题忽略动点运动区间限制； 6）混淆相遇与追及核心条件。 解题方法总结 1）单动点问题通用解题步骤 适用题型：单点动态位置、距离定值、静态求值问题 步骤1：设时间为；步骤2：根据运动方向，用t表示动点对应数值（右加左减）；步骤3：根据距离公式、题干条件列绝对值方程/整式方程；步骤4：解方程，舍去t＜0的无效解，规范作答。 模板二：双动点相遇追及通用解题步骤 适用题型：双动点同向、相向运动，相遇、追及、相距定值问题 步骤1：设运动时间t，分别表示两个动点t时刻的对应数；步骤2：根据题意列等式：相遇/追及→位置相等；相距定值→距离绝对值等于定值；步骤3：解方程，分类讨论相遇前、相遇后两种情况；步骤4：结合t≥0筛选有效解。 模板三：动点最值与存在性压轴步骤 适用题型：动点结合绝对值最值、参数取值、存在性判断 步骤1：代数表示动点位置，列出动态绝对值表达式；步骤2：套用绝对值和/差最值模型结论；步骤3：结合t的取值范围，验证最值可取性、条件存在性；步骤4：总结最值结果或存在性结论。 1．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）在数轴上，点表示的数为，点表示的数为15，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右运动．设运动时间为秒，当点到、两点距离之和为40时，则的值是（   ） A．10 B．15 C．20 D．25 2．（25-26七年级上·天津河东·期中）如图，数轴上有、两点（O为原点），两点距离为9个数轴单位长度，动点、分别从、两点同时出发，向右运动，点的速度为3个单位长度/，点的速度为1个单位长度，设运动时间为，若点、两点之间的距离为7个单位长度，则t为（   ） A． B． C．或 D．或 3．（25-26七年级上·浙江·期中）如图，已知两点在数轴上，点表示的数为，，点以每秒个单位长度的速度从点向右运动．点以每秒个单位长度的速度从点向左运动（点、点同时出发）．经过几秒，点、点分别到原点的距离相等？（    ） A．秒 B．秒或者秒 C．秒或秒 D．秒 4．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在数轴上有一个动点P从原点出发，以每秒1个单位长度的速度在数轴上运动，若点P的运动规律是先向右运动1个单位长度，再向左运动2个单位长度，再向右运动3个单位长度，再向左运动4个单位长度，以此类推，第113秒时，点P在数轴上所对应的数是 ． 5．（24-25七年级上·河南郑州·期末）如图，点和在数轴上表示的数分别是和8，动点从出发，以1个单位每秒的速度沿射线的方向向右运动，同时动点从点出发，以3个单位每秒的速度沿射线的方向向左运动，运动时间为秒，当点A，P，Q这三点中恰好有一点是以另外两点为端点的线段的中点时，的值为 ． 6．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t（秒）．    (1)当时，求点Q表示的数；(2)当时，求点Q表示的数； (3)当点Q到原点O的距离为4时，求点P表示的数． 7．（25-26七年级上·福建福州·阶段练习）【知识准备】若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为． （1）在一条数轴上，为原点，点对应的数为，点对应的数为，且有，则的中点所对应的数为______； 【问题探究】（2）在（）的条件下，若点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动．设运动时间为秒，为何值时，的中点所对应的数为？ 【拓展延伸】（3）若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为靠近点的三等分点，则我们有三等分点公式：点对应的数为；若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的四等分点，则我们有四等分点公式：点对应的数为：．填空：若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的五等分点．则点对应的数为______． 8．（25-26七年级上·吉林四平·期末）如图，点O为原点，为数轴上两点，，且，若点同时向数轴负方向运动，点P从点A出发，点Q从原点出发，点M从点B出发，且点P的运动速度是每秒3个单位长度，点Q与点M的运动速度相同，都是每秒5个单位长度，设运动的时间为t秒，请回答下列问题： (1)A点表示的数为______，B点表示的数为______；(2)t秒后，点P表示的数为______；点M表示的数为______； (3)请求出当t为何值时，；(4)运动过程中，当其中一个点与另外两个点的距离相等时，不包括两点重合时刻，请直接写出此时t的值？ 9．（25-26七年级上·广东深圳·期中）已知多项式的次数为，常数项为，，分别对应着数轴上的A、两点．(1) ， ；(2)若点从点A出发，以每秒3个单位长度单位的速度向轴正半轴运动，求运动时间为多少时，点到点A的距离是点到点的距离的2倍； (3)数轴上还有一点所表示的数为30，点从点A出发，同时从点出发，以每秒3个单位长度的速度向点运动，当到达点后，立即以同样的速度返回A点，以每秒1个单位长度的速度向数轴正方向运动，当重新运动到A时，，同时停止运动．当，两点之间的距离为6个单位长度时，此时点运动的时间为 秒．（直接写答案） 10．（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）已知数轴上两点，对应的数分别为，3，点为数轴上一动点，其对应的数为． (1)若将数轴折叠，使得点与点重合，折叠点为，则点表示的数为_____，与重合的点为_____； (2)数轴上是否存在点，使点到点、点的距离之和为6？若存在，请求出的值；若不存在，说明理由；(3)点、点分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时点以6个单位长度/分的速度从点向左运动．当遇到时，点立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点与点之间，求当点与点重合时，点所经过的总路程是多少？ 11．（25-26七年级上·广东东莞·期中）如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，其中b是最小的正整数，且多项式是关于x的二次多项式，一次项系数为c． (1) ， ， ；(2)若将数轴折叠，使得点A与点C重合，此时点B与某数表示的点重合，则此数为 ；(3)点A，点B与点C同时开始在数轴上运动，若点A，点B分别以每秒3个单位长度和每秒2个单位长度的速度向左运动，点C以每秒1个单位长度的速度向右运动，t秒过后，若点A，点B之间的距离表示为，点B与点C间的距离表示为，则＝ ，＝ （用含t的代数式表示），请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由，若不变，请求其值． 12．（25-26·河南漯河·七年级统考期中）操作探究：已知在纸上有一数轴（如图所示）． (1)操作一：折叠纸面，若使1表示的点与表示的点重合，则表示的点与________表示的点重合． (2)操作二：折叠纸面，若使表示的点与3表示的点重合，回答以下问题： ①5表示的点与数________表示的点重合；②若数轴上A，B两点之间距离为10（A在B左侧），且A，B两点经折叠后重合，则点A表示的数为________，点B表示的数为________； (3)操作三：点E以每秒3个单位长度的速度从数5对应的点沿着数轴的负方向运动，点F以每秒1个单位长度的速度从数对应的点沿着数轴的负方向运动，且两个点同时出发，请直接写出多少秒后，折叠纸面，使1表示的点与表示的点重合时，点E与点F也恰好重合． 1．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）一个电子跳蚤在数轴上做跳跃运动．第一次从原点O起跳，落点为，点表示的数为1；第二次从点起跳，落点为的中点；第三次从点起跳，落点为的中点；如此跳跃下去…最后落点为的中点，则点表示的数为 ． 2．（24-25七年级上·上海长宁·期中）阅读理解： 若、、为数轴上三个点，点到的距离是点到点距离的2倍，我们就称点是[，]的赞点． (1)如图1，点表示的数为，点表示的数为，表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点是[，]的赞点；又如表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点_______[，]的赞点，但点_______[，]的赞点；（横线上填写“是”或“不是”） (2)若、为数轴上两点，点所表示的数是，点所表示的数是，则数_______所表示的点是[，]的赞点；(3)如图2，、为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数是．现在有一辆电动小汽车从点B出发前往点，以个单位每秒的速度向左运动，到达点停止．当经过_________秒时，、和中恰有一个点是其中两个点的赞点？ 3．（24-25七年级上·广东广州·期末）（1）如图1，已知线段上有一点B，点D为的中点，，则的长度为______； （2）如图1，已知线段上有一点B，点D为的中点，，猜想的长度（用含a、b的代数式表示），并说明理由； （3）如图2，已知数轴上有一点A表示的数为，点A的右侧有三点B、C、D，，．若点B以每秒2个单位长度的速度向右运动，点C以每秒3个单位长度的速度向左运动，点D以每秒1个单位长度的速度向左运动；三个点同时运动，当点C运动到A点时，三个点都停止运动．设运动的时间为t秒，试求当t为何值时，B、C、D中的一点是另外两点为端点的线段的中点？ 4．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图，线段，点A在点B的左边． (1)点C在直线上，，则 ．(2)点D在线段上，．点P从点D出发，以每秒4个单位长度的速度沿直线向右运动，设运动时间为t秒． ①点M是线段的中点，点N是线段的中点．当t为何值时，？ ②若点P从点D出发时，以每秒4个单位长度的速度沿直线向右运动，点Q从点B同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿直线向右运动．点P与点Q相遇后，点P保持原来运动方向不变，速度变为2个单位长度/秒，点Q改变原来的运动方向沿直线向左运动，且速度变为3个单位长度/秒．在整个运动过程中，当时， ． 5．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）已知点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为，关于，的多项式是六次多项式，且常数项为． (1)点到点的距离为_________；(2)已知点是数轴上一点，且点到点的距离是点到点的距离的3倍（即），求点在数轴上对应的数；(3)如图，点，分别从点，同时出发，分别以，的速度沿数轴负方向运动（点在点，之间运动，点在点，之间运动），运动时间为，为点，之间的一点，且点到点的距离是点到点的距离的一半（即），若点，运动过程中点到点的距离（即的值）为一个固定的值，求的值． 6．（25-26七年级上·广东广州·期中）【阅读理解】若数轴上两点A，B所表示的数分别为a和b，则有 ①两点A，B两点的中点表示的数为； ②两点A，B两点之间的距离；若，则可简化为． 【解决问题】数轴上两点A，B所表示的数分别为a和b，且．（1）直接写出： ． （2）点C在数轴上对应的数是c，且关于x，y的多项式是三次四项式，在数轴上是否存在点P，使？若存在，求出点P对应的数；若不存在，说明理由． 【数学思考】（3）点E以每秒1个单位的速度从原点O出发向右运动，同时点M从点A出发以每秒7个单位的速度向左运动，点N从点B出发，以每秒10个单位的速度向右运动，P、Q分别为、的中点．思考：在运动过程中，的值是否发生变化？并说明理由． 7．（25-26·江苏·七年级专题练习）平移和翻折是初中数学中两种重要的图形变化，阅读并回答下列问题： （一）平移：在平面内，讲一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移． （1）把笔尖放在数轴的原点处，先向左移动3个单位长度，再向右移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示的数是 ；（2）一个机器人从数轴上原点出发，并在数轴上移动2次，每次移动2个单位后到达B点，则B点表示的数是 ；（3）如图，数轴上点A表示的数为−1，点B表示的数为1，点P从5出发，若P，A两点的距离是A，B两点距离的2倍，则需将点P向左移动 个单位． （二）翻折：将一个图形沿着某一条直线折叠的运动． （4）若折叠纸条，表示−3的点与表示1的点重合，则表示−4的点与表示 的点重合； （5）若数轴上A，B两点之间的距离为10，点A在点B的左侧，A，B两点经折叠后重合，折痕与数轴相交于表示−1的点，则A点表示的数为 ；（6）在数轴上，点M表示是的数为4，点N表示的数为x，将点M，N两点重合后折叠，得折痕①，折痕①与数轴交于P点；将点M与点P重合后折叠，得折痕②，折痕②与数轴交于Q点．若此时点M与点Q的距离为2，则x＝ ． 8．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）【思考背景】数轴是数学中的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，帮助我们更加直观的思考问题．平移和翻折是数学中两种重要的图形变化，从变化的角度观察数轴，可以提出很多有趣的问题： 【问题情境】（1）平移运动：如图1，数轴上的一点向右移动4个单位长度，再向左移动1个单位长度到达点．①______（用含的代数式表示）； ②将点沿着数轴先向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度得到点，求点表示的数；③一机器人从原点开始，第1次向左移动1个单位，紧接着第2次向右移动2个单位，第3次向左移动3个单位，第4次向右移动4个单位，…，以此规律，当它移动2023次时，所在数轴上的点表示的数是______． （2）翻折变换：①若在原点处折叠数轴使之两侧重合，数轴上的点与点恰好重合，则点与点表示的数、满足关系：______；②若以表示的点为折点，折叠数轴使之两侧重合，与表示的点重合的点在数轴上表示的数是______；③如图2，一条数轴上有点、、，其中点、表示的数分别是、8，现以点为折点，将数轴向右对折重合，若点、对应重合的点分别为点、，点与点相距2个单位长度，请直接写出点表示的数． 【迁移拓展】请你结合以上情境，思考并提出一个合理的数学问题．（不要求作答） 9．（25-26七年级上·重庆·期中）如图，数轴上、表示的数分别为、20，有两条动线段和，点与点重合，点对应的数是4，且点在点的左边，点在点的左边，，．线段以每秒4个单位的速度向右匀速运动，同时线段以每秒1个单位的速度向右匀速运动．当点运动到点时，线段立即返回，并且速度变为原速的一半，同时，线段的速度变为两倍；当点到达点时，线段、同时停止运动．设运动时间为秒（整个运动过程中，线段和保持长度不变）． (1)当时，点表示的数为 ，点表示的数为 ； (2)在线段从到的过程中，点是的中点，点是的中点，若，求点在数轴上对应的数；(3)在整个运动过程中，请直接写出时所对应的的值． 1．（25-26·广东·七年级 校考期中）如图，A、O、B两点在数轴上对应的数分别为﹣20、0、40，C点在A、B之间，在A、B两点处各放一个挡板，M、N两个小球同时从C处出发，M以2个单位/秒的速度向数轴负方向运动，N以4个单位/秒的速度向数轴正方向运动，碰到挡板后则反方向运动，速度大小不变．设两个小球运动的时间为t秒钟（0＜t＜40），当M小球第一次碰到A挡板时，N小球刚好第一次碰到B挡板．则：①C点在数轴上对应的数为0；②当10＜t＜25时，N在数轴上对应的数可以表示为80﹣4t；③当25＜t＜40时，2MA+NB始终为定值160；④只存在唯一的t值，使3MO＝NO，以上结论正确的有（　　） A．①②③④ B．①③ C．②③ D．①②④ 2．（25-26七年级上·湖南衡阳·期末）一个动点从数轴上的原点出发，沿数轴的正方向以前进4个单位，后退2个单位的程序运动，已知点每秒前进或后退1个单位．设表示第秒点在数轴上的位置所对应的数，如，，，则为（    ） A．673 B．674 C．675 D．676 3．（25-26七年级上·重庆·期中）点，在数轴上分别表示有理数，且满足．现将数轴在点，处剪断，再用绳子将它们连接，就可得到如图所示的“拱形数轴”，其中点为绳子上一点且满足．在此数轴上，我们定义任意两点的距离为它们之间折线段的长度之和，如图1，，两点的距离为线段的长，记为，记，两点的距离为． (1)请直接写出________，________； (2)若，点在数轴上表示有理数6，一动点从点出发以每秒3个单位长度沿“拱形数轴”向正方向运动，同时，另一动点从点出发以每秒1个单位长度沿“拱形数轴”向负方向运动，两个点运动到点处均停止，设运动时间为秒，请问取何值时，使得？ (3)如图2，已知，动点从点出发以每秒2个单位长度沿着“拱形数轴”向正方向运动，同时点从点出发，以每秒1个单位长度沿着“拱形数轴”向负方向运动；两点相遇后，点速度立即变为原来的一半并沿着“拱形数轴”向负方向运动，同时点保持速度不变并沿着“拱形数轴”向正方向运动．设运动时间为秒，是否存在使得？如果存在，请直接写出的值，如果不存在，请说明理由． 4．（25-26七年级上·广东广州·期中）如图，数轴上有、两个定点， (1)线段的中点表示的数为 ；若数轴上点，满足时，则点所表示的数为 ． (2)数轴上的动点、、按以下方式运动（速度单位：单位／秒）；、分别以 、的速度从点出发向右运动，同时以 的速度从点出发向左运动，当、相遇后，立即反向按原速运动，而当、相遇后，又立即反向按原速运动，依此类推，当、相遇时，点的运动路程是 个单位； (3)若点为线段的中点，点为线段的中点，点为线段的中点，依此类推，点为线段的中点，它们在数轴上表示的数分别为， 为正整数）． ①当时，求出的值；②记， 求当时，的值等于 ． 5．（25-26七年级上·浙江宁波·阶段练习）在一个轨道长为的轨道架上做钢球碰撞实验，如图所示，轨道架上放了三个大小、质量完全相同的钢球A，B，C，  左右各有一个钢制挡板D 和E， 其中C 到左挡板的距离为，B 到右挡板的距离为，A，B 两球相距．以轨道所在的直线画数轴，A 球在原点，B球表示的数为30．    (1)C球表示的数为 ， 挡板E表示的数为 ；(2)碰撞实验中（钢球大小、相撞时间不计），钢球的运动都是匀速的，当一钢球以一速度撞向另一静止钢球时，这个钢球停留在被撞钢球的位置，被撞钢球则以同样的速度向前运动，钢球撞到左右挡板则以相同的速度反向运动，现A 球以每秒的速度 向右匀速运动，① 秒后B 球第一次撞向右挡板E， 秒后B球第二次撞向右挡板E； ②当三个球运动的路程和为时， 球正在运动（填“A”，“B”，“C”）， 此时，A 球表示的数为 ，B 球表示的数为 ，C 球表示的数为 ． 6．（24-25七年级上·江苏南通·期中）已知数轴上有三个点分别为，对应的数分别是，满足．规定：两点间的距离可用这两点的字母表示，如点与点之间的距离表示为．(1)直接写出的值：______，______，______； (2)点在数轴同时运动，它们的速度分别是3个单位/秒、2个单位/秒，设运动时间为秒． ①点向右运动t秒时对应的数为______（用含的式子表示）； ②点向右运动，当，求点运动的时间的数值； ③当点向左运动，点向右运动．试问：是否存在一个常数使得不随运动时间的改变而改变．若存在，请求出；若不存在，请说明理由． 7．（25-26七年级上·福建厦门·期中）我们规定：对于数轴上不同的三个点，，，当点在点右侧时，若点到点的距离恰好为点到点的距离的倍，且为正整数，（即），则称点是“关联点”，如图，已知在数轴上，原点为，点，点表示的数分别为，，且，满足． (1)由题意得，______，______；(2)若点是“关联点”，则点所表示的数为______； (3)点在，之间运动，且不与，两点重合，作“关联点”，记为，作“关联点”，记为，且满足，分别在线段和上．当点运动时，若存在整数，，使得式子为定值，求出，满足的数量关系． 8．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）已知，两点在数轴上所表示的数分别为，，且，满足． (1)求，的值；(2)①有一个玩具火车如图1所示，放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，当点移动到点时，点所对应的数为，当点移动到点时，点所对应的数为，则玩具火车的长为_____个单位长度；②如图1所示，将第①题中的玩具火车沿数轴左右水平移动，当时，直接写出此时点所表示的数；(3)在（2）的条件下，当火车以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点和点从M、N出发，分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，记火车运动后对应的位置为，是否存在常数使得的值与它们的运动时间无关？若存在，请求出和这个定值；若不存在，请说明理由． 9．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图1，在数轴上有A，B两点，点A表示的数为4，点B在A点的左边，且，若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动．若点P，Q分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒． (1)写出数轴上点B表示的数为________，P所表示的数为________（用含t的代数式表示）． (2)点P运动多少秒与Q相距3个单位长度？ (3)如图2，分别以和为边，在数轴上方作正方形和正方形，如图所示，求当t为何值时，两个正方形的重叠部分面积是正方形面积的一半？ 10．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“形数轴”．图中点A表示，点表示，点表示，我们称点和点在“形数轴”上相距个长度单位．动点，同时出发，点从点出发，以单位秒的速度沿着“形数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复到原来的速度；动点从点出发，以单位秒的速度沿着“形数轴”的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复到原来的速度．设运动的时间为秒．请根据以上条件回答：(1)动点从点运动至点需要多少时间？(2)当，两点相遇时，求值；(3)当，两点在“形数轴”上相距的长度与，两点在“形数轴”上相距的长度相等时，则的值为______(直接写出结果)． 36 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $