专题01 绝对值的八类最值模型（绝对值的几何意义）（几何模型讲义）数学新教材人教版七年级上册

该初中数学讲义聚焦绝对值的八类最值模型，以几何意义为核心，通过表格分类、数轴图示系统梳理知识脉络，清晰呈现距离和差、含参数等模型的推导逻辑与内在联系，突出数形结合思想的重难点。 讲义亮点在于分层练习设计与模型化方法指导，A组基础题巩固“奇中点偶中段”规律，B组提升题结合动点距离问题培养几何直观，C组压轴题融入新定义题型发展推理意识。配套解题模板和易错点总结，助力学生自主复习，便于教师实施精准分层教学。

专题01 绝对值的八类最值模型（绝对值的几何意义） 最值问题一直都是初中数学的最难点之一，但也是高分的必须突破点，而绝对值中的最值模型是初中学生第一次接触最值类问题，该类最值模型主要依据绝对值的几何意义或代数意义，考查分类讨论和数形结合的数学思想。需要牢记绝对值中的最值情况规律，解题时能达到事半功倍的效果。本专题就绝对值中的八类最值模型进行梳理及对应试题分析，方便大家掌握。 命题趋势：弱化纯代数计算，强化几何意义应用，多以“多绝对值叠加最值、含参数绝对值最值、动点距离最值”形式出题。推导逻辑（数形结合，吃透原理，拒绝死记硬背）。 模型来源 2 知识储备 2 例讲模型 2 模型1. 的最小值模型 2 模型2. 的最小值和最大值模型 5 模型3. 的最小值模型 8 模型4.系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 13 模型5. 型或型最值模型 17 模型6.绝对值最值模型的实际应用 18 模型7.绝对值相关运算与最值问题 21 模型8.绝对值最值中的新定义问题 23 易错点与方法总结 28 模型运用 29 A组（基础题） 29 B组（能力提升题） 38 C组（综合压轴题） 42 绝对值最值问题的历史发展脉络源于几何直观与代数研究的结合，其核心理论随数学分析的发展逐步完善。绝对值的概念源于物理学中的距离概念，表示一个数到原点的距离。在数学中，绝对值用于表示一个数到数轴原点的距离，因此绝对值总是非负的。这一性质使得绝对值在数学分析中有着广泛的应用，特别是在处理不等式和最值问题时显得尤为重要。在解决含绝对值的代数式最值问题时，可以利用绝对值的几何意义或零点分段法，整体来说绝对值的几何意义较为简单适用。 ①绝对值具有非负性，即；②绝对值的几何意义：表示数轴上的有理数a所对应的点到原点的距离；表示数轴上的有理数x所对应的点到有理数a所对应的点的距离。‌ 绝对值最值问题本质是数轴上动点到定点的距离和、距离差的最值问题，无需复杂代数计算，依托数轴几何特征即可快速求解，是数形结合思想的经典应用。 模型1. 的最小值模型 【模型提炼与证明】 求的最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值。 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时（在点a的左侧） 的值大于 当时（在点a、b之间） 的值为定值，即为 当（在点b的左侧） 的值大于 结论：在时，取得最小值为。 另解：也可用绝对值的代数意义（即分类讨论思想）完成绝对值的最值问题。 【模型运用】 【典例1】（24-25七年级上·山东济南·阶段检测）数轴是非常重要的“数形结合”的工具之一，它揭示了数与点之间的内在联系．我们知，表示数到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，在数轴上，点、表示的数分别为，，那么点与点的距离表示为，利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示和的两点之间的距离是________，数轴上表示和的两点之间的距离是________； (2)数轴上表示和的两点、之间的距离表示为________，如果，那么的值为________； (3)因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． 发现问题：的最小值是多少？ 探究问题：若点，，分别表示数，，，则． 因为的几何意义是线段与的长度之和，所以当点在线段上时（如图），；当点在点的左侧或点的右侧时，．所以的最小值是． 解决问题：的最小值是________． 【答案】(1)，；(2)，或；(3)6 【详解】（1）解：，， 数轴上表示和的两点之间的距离是，轴上表示和的两点之间的距离是故答案为：，； （2）解：数轴上表示和的两点、之间的距离表示为， ∵，∴，∴或，∴为或故答案为：，或； （3）解：∵，∴如图，表示点到点的距离与点到点的距离之和 当点在线段上时，， 当点在点的左侧或点的右侧时，，所以的最小值是； 【典例2】（25-26七年级上·广东江门·阶段检测）阅读下面材料：点、在数轴上分别表示有理数、，在数轴上、两点之间的距离．回答下列问题： (1)数轴上表示和1两点之间的距离是______，数轴上表示和2的两点之间的距离是______； (2)数轴上表示和1的两点之间的距离为6，则表示的数为______； (3)若表示一个有理数，则有最小值吗？若有，请直接写出最小值；若没有，请说明理由． (4)请你画出数轴，探究：是否存在数，使？如果存在，则在数轴上表示出来，并写出的值；如果不存在，简要说明理由． 【答案】(1)4，(2)或(3)5(4)如图所示，或 【详解】（1）解：数轴上表示和1两点之间的距离是， 数轴上表示x和2的两点之间的距离是，故答案为：4，； （2）解：∵数轴上表示a和1的两点之间的距离为6，∴， ∴或，故答案为：或． （3）解：∵数轴上表示x和的两点之间的距离是， 数轴上表示x和3两点之间的距离是， 数轴上表示和3两点之间的距离是， ∴在数轴上的几何意义是：表示有理数x的点到及到3距离之和， ∴当，即表示有理数x的点在和3之间时，它的最小值为5； （4）由（3）得，在数轴上的几何意义是：表示有理数x的点到及到3距离之和， 当时，表示的点到及到3距离之和为； 当时，表示4点到及到3距离之和为． 如图所示，或 【典例3】（25-26七年级上·安徽宿州·期中）姗姗在学习绝对值的时候发现： 定义：一个数的绝对值就是这个数在数轴上所对应的点到原点的距离． 如：表示在数轴上所对应的点到原点0的距离，于是可以看作，即．那么可看成数轴上表示2和表示1的两点间的距离，即；而，即可看成数轴上表示2和表示的两点间的距离，即． 根据上面的发现，姗姗进行了探索： 将看成数轴上表示x与表示3的两点在数轴上的距离，那么可看成表示x的点与表示的两点在数轴上的距离． 姗姗继续研究发现：表示到表示3和表示的两点距离之和，当取3与之间（包括3和）的某个数时，有最小值，其最小值为表示3与表示的两点在数轴的距离．请你借助数轴，解决下列问题： (1)可看成数轴上表示_______和表示______的两点间的距离；(2)若，求x的值； (3)当的最小值为4时，求最小整数x的值；(4)若的最小值为3，求a的值． 【答案】(1)2，(2)x的值为或5(3)x的最小整数值是(4)或 【详解】（1）解：可看成数轴上表示2和表示的两点间的距离；故答案为：2，． （2）解：∵可看成数轴上表示x的点到表示2的点的距离为3，∴x的值为或5． （3）解：∵表示x到表示1和表示的两点之间的距离之和，且最小值为4， ∴x为数轴上表示1与两点之间（包括1和）的某个点．∴x的最小整数值是． （4）解：表示数轴上到与到-1两点之间的距离之和， 当介于与-1之间时，的值最小，其最小值为表示与表示-1的两点在数轴上的距离． 的最小值为3，∴与的距离为3，∴或，解得或． 模型2. 的最小值和最大值模型 【模型提炼与证明】 求的最大值或最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的取最大值或最小值： 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 （在点a的左侧） 的值为定值，即为— 当时 （在点a、b之间） 当 （在点b的左侧） 的值为定值，即为 结论：在时，取得最小值为；在时，取得最大值。（几何意义） 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级上·湖北武汉·期末）数轴上点A、B表示的数为a、b，则A、B两点之间的距离可表示为线段，如：数轴上表示数x的点与表示数的点之间的距离为．代数式的最大值等于 ． 【答案】5 【详解】解：当时，； 当时，，当时，有最大值5； 当时，． 综上， 的最大值为5．故答案为5． 【典例2】（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·期中）（阅读理解）我们知道，数轴上两点之间的距离可以用这两点所表示的数的差的绝对值来表示，例如：点A表示的数是a，点B表示的数是b，则A、B两点之间的距离．根据以上信息，解决下列问题：(1)计算 ___ ；(2)若，求x的值； (3)若，求所有符合条件的整数x；(4)是否存在有理数x，使得有最大值？若存在，求出最大值及对应的x的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)7(2)或(3)x为、2(4)存在，最大值为5，此时 【详解】（1）解： （2）解：表示x到3的距离为4，则或； （3）解：式子表示x到和1的距离之和为5， 当时，，解得；当时，，无解； 当时，，解得；符合条件的整数x为、2； （4）解：存在，当时，原式； 当时，原式，最大值小于5； 当时，原式；故最大值为5，此时． 【典例3】（25-26七年级上·贵州六盘水·期末）数形结合是解决数学问题的重要方法，数轴上两点之间的距离可以用两数之差的绝对值来表示，点A表示的数是a，点B表示的数是b，则A，B两点之间的距离．例如：若点A表示5，点B表示，则．解决下列问题： (1)若点A表示的数是4，点B表示的数是，则A，B两点之间的距离是_______； (2)当时，请在数轴上标记x所在的位置并写出x的值； (3)是否存在有理数m，使得有最大值？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)或，图见解析(3)当时，的值最大，最大值为 【详解】（1）解：∵点A表示的数是4，点B表示的数是，∴A，B两点之间的距离是； （2）解：∵，∴或，∴或， 在数轴上标记x所在的位置如图所示： （3）解：当时，， 当时，，此时， 当时，， ∴当时，的值最大，最大值为． 模型3. 的最小值模型 【模型提炼与证明】 的最小值的分析： 找到上述式子中的‬零点，按从小到大‬排序（不妨假设）‬，借助数轴容易得到： ‬当n‬奇数‬时‬‬，则x取‬中间数（即）‬‬时，‬取得‬最小值‬； ‬当n‬‬偶数时‬，‬则‬x取‬中间‬段‬（即）时，‬取得‬最小值‬。 规律可总结为：“奇中点，偶中段”。 【模型运用】 【典例1】（24-25七年级上·广东深圳·期中）数形结合是解决数学问题的重要思想方法． 材料分析：如图1，已知数轴上两点，．则两点距离为两数差的绝对值，即 如：1到3的距离为两数差的绝对值，即；到3的距离为两数差的绝对值，即． 根据以上思想，完成下题 如图2．已知数轴上两点，表示的数分别为，6． (1)两点间的距离为________；(2)表示的是到________的距离； (3)①当时，代数式取得最小值为_______；②当______时，代数式的最小值为2；③代数式的最小值为________； (4)点表示的数是4，点以2个单位/秒的速度沿着数轴的正方向一直运动．点同时以1个单位/秒的速度也沿着数轴的正方向运动，但点到达点处立刻返回沿着数轴的负方向运动．设点运动的时间为，在此过程中存在使得点到点的距离等于2，请求出的值． 【答案】(1)8(2)(3)①8；②或；11(4)或 【详解】（1）解：，故答案为：8； （2）解：表示的是到的距离，故答案为：； （3）解：①当时，有最小值，即，故答案为：8； ②表示到的距离和到6的距离的和， 当代数式的最小值为2时，即到6的距离为2， 可得解得或，故答案为：或； ③表示到的距离，到6的距离，到9的距离的和， 则当时，有最小值，即，故答案为：11； （4）解：点表示的数为，， 当时，即点还未返回时，点表示的数为，， 解得（不合题意，舍去）或（不合题意，舍去）， 当时，即点返回后，点表示的数为，， 解得或．综上，或． 【典例2】（25-26七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）同学们知道，表示8与3的差的绝对值，也可理解为数轴上表示数8与数3两点间的距离．试探索： (1)表示数轴上数x与数 两点间的距离；(2)的最小值是 ； (3)计算的最小值． 【答案】(1)；(2)5(3)1001000 【详解】（1）解：表示数轴上数x与数两点间的距离，故答案为：； （2）解：可理解为数轴上表示数  ��  的点到表示数和 2的点的距离之和，当点  ��  位于点数 和 2之间（含端点）时，该距离之和最小，最小值为点数和点2之间的距离，当时，取得最小值5．故答案为：5； （3）解：表示数轴上x所对应的点到1、2、3、…、2001所对应的点的距离之和，当时，距离之和最小， 最小值为： . 【典例3】（25-26七年级上·四川成都·期中）材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，如表示、在数轴上对应的两点之间的距离：，所以表示、在数轴上对应的两点之间的距离； ，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离．综上， 数轴上、两点对应的数分别为、， 且、两点之间的距离可以表示为， 则（或）． (1)数轴上表示和的两点之间的距离是 ，若，则 ； (2)的最小值是 ；当 时的最小值是 ； (3)求的最小值． 【答案】(1)，或(2)，，(3)的最小值为． 【详解】（1）解：∵，∴数轴上表示和的两点之间的距离是， ∵， ∴或，∴或，故答案为：，或． （2）解：∵表示数轴上点到点和点的距离之和， 当点在点和点之间时取得最小值，的最小值是， ∵表示数轴上点到点、点和点的距离之和， 当点在中间点处时取得最小值，∴当时,的最小值是．故答案为：，，． （3）解：，共个数，中间两个数为和， 根据绝对值的几何意义可知，当时，取得最小值， 当时， ， ∴的最小值为． 【典例4】（24-25七年级上·福建泉州·阶段检测）我们知道的几何意义是：数轴上表示的点到原点的距离，即，这个结论可以推广为表示，两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 根据以上结论探究： (1)表示与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，所以 ；表示与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，所以 ． (2)数轴上表示数的点在与之间移动时，的值是一个固定的值，为 ． (3)可理解为与 两数在数轴上所对应的两点之间的距离．若，则 ． (4)当式子取最小值时，求出的值． (5)的最小值是多少？ (6)的最小值为 ，此时的取值范围是 ． 【答案】(1)；(2)(3)；或(4)(5)(6)； 【详解】（1）解：；； （2）解：∵，∴，，∴， ∴数轴上表示数x的点在1与5之间移动时，的值总是一个固定的值为4． （3）解：可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 表示数轴上表示数x与表示数3，的距离之和， ∴根据解析（2）可得：当时，，∴或， ①当时，，即，解得； ②时，，即，解得，综上分析可知，x的值为：或4； （4）解：根据的几何意义，可得表示x到数轴上，2，3，三个数的距离之和，∴当时，有最小值． （5）解：根据的几何意义，可得表示x到数轴上1，2，3，4，5，五个数的距离之和， ∴当时，有最小值， ∴的最小值为： ． （6）解：根据的几何意义，可得表示x到数轴上1，2，3，……，100，共100个数的距离之和， ∴当时，有最小值， ∴的最小值为： ． 【典例5】（25-26七年级上·甘肃酒泉·阶段检测）已知点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离表示为回答问题： (1)数在数轴上对应的点到的距离为______；(2)已知，求的最小值为______； (3)已知，且有的最小值为你能否求出的值？的值？或，之间的关系？ 【答案】(1)(2) (3)当，且的最小值为时．或或 【详解】（1）解：由题意得，数在数轴上对应的点到的距离为：，故答案为：． （2），， 的意义是在数轴上表示的点到和的距离之和， 当时，，故答案为：． （3）当时，则有，， 当时，则有，，，即， 当时，则有，，， 答：当，且的最小值为时． 或或 模型4. 系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 【模型提炼与证明】 系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 ①绝对值系数不为“1”：如：｜x-1｜+2｜x-2｜+3｜x-3｜+4｜x-4｜+5｜x-5｜ 解题步骤：第1步：将x平铺展开；第2步：找到每个式子的零点，分别为：1、2、2、3、3、3、4、4、4、4、5、5、5、5、5、5共15个零点；第3步：根据“奇中点，偶中段”，在第八个数时，即x=4时，有最小值，带入x=4，最小值为15。 ②x系数不为“1”：如：求｜2x-4｜+｜5x+5｜的最小值。 解题步骤：第1步：x的系数不为1，所以首先‬第一步‬想办法把x的系数化为1，采用提取公因数的方法（或乘法分配律的逆用）；即：｜2x-4｜+｜5x+5｜=｜2（x-2）｜+｜5（x+1）｜=2｜x-2｜+5｜x+1｜。 第2步：进入①中的三个步骤即可。这时，x的系数已经变成了1，我们就可以展开‬，然后‬利用“奇中点‬，偶中段”来求了‬。解‬得‬当x=-1时‬取得‬最小值，最小值‬为‬6。 另解：上述两类问题也可以采用绝对值的代数意义（根据零点分区讨论）求解。 【模型运用】 【典例1】（24-25七年级上·广东清远·期中）阅读材料：任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题．例如：表示4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，类似的，表示5与之间的距离，一般地，两点在数轴上表示有理数，那么、之间的距离可以表示为． 解决问题：已知数轴上两点、对应的数分别为和4，数轴上另有一个点对应的数为，试探索： (1)①点A、B之间的距离为：_______． ②点、之间的距离________．（用含的式子表示） (2)若点在点两点之间，则的值为12；若，则点表示的数为_______，由此可得，点到、的距离之和的最小值为12． (3)点在数轴上，则的最小值为________；的最小值为________． (4)如果点以每秒1个单位长度的速度从点出发沿数轴向右运动，同时点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，当点到达点时，点与同时停止运动．设点的运动时间为秒（）．当点、点与点三个点中，其中一个点到另外两个点的距离相等时，求出的值． 【答案】(1)①；②(2)或6(3)，8(4)3秒或4秒或秒 【详解】（1）解：①∵数轴上两点、对应的数分别为和4， ∴点A、B之间的距离为：故答案为：； ②∵数轴上另有一个点对应的数为，∴点、之间的距离，故答案为：； （2）；当时，，解得：； 当时，，解得：， 综上所述，点表示的数为或6，故答案为：或6； （3）当时，， ∵，∴，∴； 当时，； 当时，， ∵，∴，∴； 当时，； 当时，， ∵，∴； 当时，； 当时，， ∵，∴，∴， 综上所述，当时，有最小值，故答案为：； 由上述可知，最小值只能在或或或中取到， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，， 综上所述，当当时，有最小值8，故答案为：8； （4）∵数轴上两点、对应的数分别为和4，∴， ∵如果点以每秒1个单位长度的速度从点出发沿数轴向右运动，同时点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，当点到达点时，点与同时停止运动，设点的运动时间为秒（）， ∴点P表示的数是：，点Q表示的数是：，（秒），∴， 当P与Q相遇时，，解得：，此时点、点与点距离相等； 当时，若P是的中点，则，解得：； 当时，若Q为的中点，，，则，解得：， 综上所述，当点、点与点三个点中，其中一个点到另外两个点的距离相等时，求出的值为3秒或4秒或秒． 【典例2】（25-26七年级·江苏·培优）先阅读下面的材料，然后解答问题： 数轴上的个点表示的数分别是，且是数轴上一点，其表示的数为，对于代数式，由绝对值的几何意义可得：若为奇数，则时，的值最小；若为偶数，则时，的值最小． (1)求的最小值． (2)求的最小值． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：一共123个数，当时，的值最小， 此时，； （2）解： 有2个，3个，5个，7个，9个，共个数， ，当取第13个数时，的值最小， 此时， ． 【典例3】（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为 ，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．利用此结论，回答以下问题： （一）数轴上表示数的点和表示数2的点之间的距离是 ． （二）数轴上点A用数a表示，（1）若，那么a的值是 （2）最小值是 ．（3）最小值是 ． （4）当a为何值时，有最小值，最小值为多少？ 【答案】（一）4；（二）（1）或；（2）2028；（3）；（4）a为时，的最小值为． 【详解】解：（一）表示数的点和表示数2的点之间的距离是，故答案为：4； （二）（1），或，解得或， 的值是或，故答案为：或； （2）表示数轴上表示的点与、3的点的距离之和， 当时，的最小值是2028，故答案为：2028； （3）当时，； 当时，， 时，取最小值为； 当时，， 综上所述，的最小值为，故答案为：； （4），， 当时，有最小值， 当时，有最小值，所以当时，原式有最小值， 最小值为 综上，a为时，的最小值为． 模型5. 型或型最值模型 【模型提炼与证明】 1）：当a＞0时，∵，∴，即取得最小值为b； 当a＜0时，∵，∴，即取得最大值为b。 2）：当a＞0时，∵，∴，即取得最小值为b； 当a＜0时，∵，∴，即取得最大值为b。 【模型运用】 【典例1】（26-27七年级·浙江·暑假作业）代数式的最小值是_____，的最小值是_____． 【答案】 0 3 【详解】解：∵，∴的最小值为0；∵，∴，∴的最小值是3． 【典例2】（25-26七年级上·河北唐山·阶段检测）若k为任意有理数，算式存在最大值，则这个最大值是（    ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 【答案】B 【详解】，，，最大值为； 【典例3】（25-26七年级上·广东·单元复习）根据这一性质，解答下列问题： (1)当 时，有最小值，此时最小值为 ； (2)当a取何值时，有最小值？这个最小值是多少？ (3)当a取何值时，有最大值？这个最大值是多少？ 【答案】(1)4，0(2)，3(3)，4 【详解】（1）因为，所以当时，有最小值，这个最小值是0．故答案为：4，0 （2）因为，所以当时，有最小值，这个最小值是3． （3）因为，所以，所以当时，有最大值，这个最大值是4． 【典例4】（25-26七年级上·成都·期中）若，为有理数，下列判断正确的个数是（　　） （1）的最小值是；（2）的最小值是；（3）的最大值为；（4）的最大值是． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，，即的最小值是，故（1）正确； ，，当，即时，，故的最小值不是； 当时，则，即，即，故最小值不是；故（2）不正确； 的最小值为，故（3）错误；的最大值是，故（4）正确；．故选：B． 模型6. 绝对值最值模型的实际应用 ‌灵活运用数形结合‌：将绝对值的几何意义与代数表达式结合，可以帮助直观地解决问题。 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离． （1）【探究问题】如图，数轴上，点A，B，P分别表示数，2，x，因为的几何意义是线段与的长度之和，当点P在线段上时，，而当点P在点A的左侧或点B的右侧时，．所以当点P在线段上时，有最小值，最小值是3． 填空： 若， 则x的值为 ； （2）【解决问题】①直接写出式子的最小值为 ； ②若代数式的最小值是2，则a的值为 ； （3）【实际应用】如图，在一条笔直的街道上有E，F，G，H四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为．已知E，F，G，H四个小区各有2个，2个，2个，1个学生在同一所中学的同一班级上学，安全起见，这7个同学约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的他们通过分析，发现在街道上的M处汇合使所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请问汇合地点M设置在什么位置的时候，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，并求出此最小值． 【答案】（1）1或3；（2）①6；②或；（3）当M在点F上时，四个点到M的距离之和最小，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值为 【详解】解：（1）表示x所对应的点与2所对应的点之间的距离为1， ∴或，故答案为：1或3； （2）①表示x所对应的点到4和所对应的点的距离之和，当x在4和之间时，有最小值，∴的最小值为，故答案为：6； ②表示x所对应的点到和所对应的点的距离之和，当x在和之间时，有最小值，最小值为， ∵代数式的最小值是2，∴，解得：或，故答案为：或； （3）如图所示，设M表示的数为x，距离之和为s， 则所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和为： 表示x所对应的点到、、、、、、七个点的距离之和， ∴奇数个点时取正中间的数时有最小值，即时，， ∴当M在点F上时，四个点到M的距离之和最小，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值为． 【典例2】（25-26七年级上·广东肇庆·期末）数轴是初中数学的一个重要工具，任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，它是“数形结合”的基础． 【知识呈现】新定义：我们规定：点A，B在数轴上分别表示数，，则A，B两点之间的距离可表示为：，如式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离；式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示的点之间的距离． 【初步理解】（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是________；数轴上表示和5.2的两点之间的距离是________； （2）已知数轴上点A所表示的数是，点B所表示的数是6，x表示数轴上任意一点，则的最小值是________； 【深入探究】（3）结合数轴，利用以上的新定义求式子的最小值，求出此时x的值，并简单说明理由． 【实际应用】（4）某市一条东西走向的大道一侧有四个小区，分别是兴园小区、梦园小区、竹园小区、名园小区，如图（每个小区看作一个点），每相邻两个小区之间相距800米，为方便各小区居民出行，公交公司想在某一个小区处建一个公交站台，使所建公交站台到四个小区的距离之和最小，问这个公交站台应建在哪个小区？所建公交站台到四个小区距离之和的最小值是多少?（不用说明理由） 【答案】（1）3，7.7；（2）7；（3）时，式子有最小值为6，见解析；（4）公交站台应建在梦园小区或竹园小区，所建公交站台到四个小区距离之和的最小值为3200米 【详解】解：（1）由题可知，和两点的距离可表示为， 和两点的距离可表示为，故答案为，； （2）表示数轴上表示x的点到表示和6的点的距离之和， 当时，有最小值，最小值为，故答案为：； （3）根据新定义可知，表示数轴上表示的点到表示的点之间的距离， 表示数轴上表示的点到表示的点之间的距离， 表示数轴上表示的点到表示4的点之间的距离， 如图，代数式存在最小值，即存在最小值， 所以当点与点重合，即时，有最小值，此时最小值为， 所以当时，式子有最小值为； （4）由题意，当所建公交站台在兴园小区和名园小区之间时，到兴园小区和名园小区的距离之和最小，当所建公交站台在梦园小区和竹园小区之间时，到梦园小区和竹园小区的距离之和最小， 故为使所建公交站台到四个小区的距离之和最小，公交站台应建在梦园小区或竹园小区，所建公交站台到四个小区距离之和的最小值为米． 模型7. 绝对值相关运算与最值问题 【模型运用】 【典例1】（24-25七年级上·重庆·阶段检测）数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值．例：点，在数轴上分别对应的数为，，则，两点间的距离表示为． 根据以上知识解题：(1)若，则能取到的最小值是__________，最大值是__________． (2)的最小值为___．(3)已知，求的最大值和最小值． 【答案】(1)，3(2)(3)10， 【详解】（1）解：将化简为， 根据绝对值的几何意义可得，x到3的距离与x到的距离的和为4， ∵3到的距离为4，∴x位于3到，则能取到的最小值是，最大值是3； （2）解：可表示为x到的距离与x到的距离和，则当时，最小值为2， ∵的占比为，的占比为，∴当越大时，越小． 则当时取得最大值，； （3）解：根据题意得，且， ∵，∴当，时，符合题意， 此时，的最小值为3，的最小值为9， ∴的最大值为：，的最小值为：． 【典例2】（24-25七年级上·陕西西安·阶段检测）阅读理解：数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些问题．数轴上，若A，B两点分别表示数a、b，那么A，B两点之间的距离与a，b两数的差有如下关系：或、如表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离． 问题（1）：当x的值取在______的范围时，的最小值是______； 问题（2）：当______时，的最小值是______； 问题（3）：若的最小值是5，求a的值． 问题（4）：已知，则求出的最大值和最小值． 【答案】问题（1）：；4；问题（2）：2；5；问题（3）：4或；问题（4）：最大值为7，最小值为 【详解】解：问题（1）：表示数x在数轴上对应的点到数1和表示的点的距离之和，则当x在数1和之间时，数x在数轴上对应的点到数1和的距离之和最小， 即当时，的最小值是；故答案为：；4 问题（2）：表示数x在数轴上对应的点到数，2，4表示的点的距离之和，则当x与数2重合时，表示数x在数轴上对应的点到数，2，4表示的点的距离之和最小， 即当时，的最小值是；故答案为：2；5 问题（3）：表示数x在数轴上对应的点到数和a表示的点的距离之和，则当x在数和a之间时，数x在数轴上对应的点到数和a的距离之和最小，最小值为， ∵的最小值是5，∴，解得：或； 问题（4）：根据题意得：的最小值为， 的最小值为，的最小值为， ∴， ∵， ∴，，，∴，，， ∴，即的最大值为7，最小值为． 【典例3】（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）材料一：我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点到原点的距离．这个结论可以推广为：的几何意义是：在数轴上数，对应点，之间的距离，例如在数轴上点表示数1，点表示数，则． 材料二：在数轴上，对于点与线段的距离，我们给出如下定义：对于该数轴上的一点与线段上一点，如果有最小值，那么称这个最小值为点与线段的距离．显然，若点落在线段上（含端点），则点与线段的距离为0． 【简单应用】（1）数轴上表示2和5的两点距离为______； （2）数轴上点，，分别表示数，2，4，则若点与线段的距离为______； （3）数轴上点，，分别表示数，2，，若点与线段的距离为2，则______． 【关联应用】（1）代数式的最小值为______； （2）若代数式的值为12，求的最大值． 【实际应用】如图，某工厂自动化直线型流水线上设有4个工位，，，和一个中控中心，，分别位于中控中心点左侧8米，左侧3米，，分别位于中控中心右侧2米，右侧5米，工位，分别需要2个机器人同时操作，工位，只需要1个机器人操作，现要在直线型流水线上设置一个长度为2米的可移动的物料区，供6个机器人取用，要求6个机器人到物料区的距离之和最小，请直接写出距离之和最小值． 【答案】[简单应用] （1） ；（2）；（3）或；[关联应用] （1）；（2）；[实际应用] 【详解】[简单应用] （1）解：数轴上表示2和5的两点距离为； （2）利用题中定义可得点与线段的距离为； （3）当点在左边时，，解得； 当点在右边时，，解得，综上，或；故答案为：；；或； [关联应用]（1）解： 表示到的距离加上到的距离， 当时，到的距离加上到的距离最小，最小值为，故的最小值为， 故答案为：； （2）根据（1）可得在时，取最小值为， 在时，取最小值为，在时，取最小值为， ， ，，， ，，，的最大值为； [实际应用]解：设点为原点，则可得，，，表示的数分别为， 由题意可得在之间时，距离最小，设表示的数为，则表示的数为， 当时，，此时6个机器人到物料区的距离之和为：， 当时，，此时6个机器人到物料区的距离之和为：， 则6个机器人到物料区的距离之和为， 即， 在时，取最小值，在时，取最小值， 的最小值为，综上，距离之和最小值为． 模型8. 绝对值最值中的新定义问题 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级上·安徽合肥·阶段检测）是双重绝对值运算，运算顺序是先求的差的绝对值，再求与差的绝对值的差的绝对值．求： （1）若，，，的最小值为_______． （2）若随意三个互不相等的正整数输入双重绝对值进行运算，如果最大值为18，则最小值为________ 【答案】 2 14 【详解】解：（1）根据，，，得，，故答案为：2． （2）解：根据是双重绝对值运算， 故三个互不相等的正整数输入双重绝对值进行运算，得或或， 当时，由三个互不相等的正整数，且双重绝对值最大值为18， ，，此时最小值是18； 当时，由三个互不相等的正整数，且双重绝对值最大值为18， 时，当时，，不符合题意； 当时，，，最小值为：， 当时，当时，，最小值为18， 当时，，，最小值为：， 同理可证的最小值也是14或18，综上所述，最小值为14，故答案为：14． 【典例2】（25-26七年级上·湖南长沙·阶段检测）对于有理数，，，，若，则称和关于的“美好关联数”为，例如，，则2和3关于1的“美好关联数”为3． (1)和5关于2的“美好关联数”为______；(2)若和3关于的“美好关联数”为7，求的值： (3)若1和2关于的“美好关联数”为，3和4关于的“美好关联数”为，求①的最小值；②的最小值． 【答案】(1)8(2)或(3)①1；②4 【详解】（1）解：，故答案为：8； （2）解：和3关于x的“美好关联数”为7，∴，即， 当时，，解得：； 当时，，解得：； 当时，，此时无解，故或； （3）解：①∵1和2关于x的“美好关联数”为，∴， ∴在数轴上可以看作数x到1的距离与数x到2的距离和为， ∵在数轴上可以看作数x到1的距离与数x到2的距离和的最小值为，∴的最小值为1； ②∵1和2关于x的“美好关联数”为，∴， ∴在数轴上可以看作数x到1的距离与数x到2的距离和为， ∵3和4关于x的“美好关联数”为，∴， ∴在数轴上可以看作数x到3的距离与数x到4的距离和为， ∴可以看作数x到1的距离与数x到2的距离与数x到3的距离与数x到4的距离的和，根据绝对值的意义，当时，取到最小值为4． 【典例3】（25-26七年级上·江苏盐城·期末）在数轴上存在不同的三个点，三个点表示的数分别为，对于三个点的“完美距离”规定如下：若，则关于点的“完美距离”；若，则关于点的“完美距离”．点是点的“完美相关点”． 例如：对于点，三个点表示的数分别为，因为，所以关于点的“完美距离”． 【初步理解】（1）已知数轴上不同的三个点，三个点表示的数分别为，则关于点的“完美距离”为_____； 【深入应用】（2）已知数轴上不同的三个点，三个点表示的数分别为． ①若关于点的“完美距离”，求的值；②若，则关于点的“完美距离”的最大值为_____． 【知识迁移】（3）已知数轴上不同的三个点，三个点表示的数分别为，且，关于点的“完美距离”的最大值为；数轴上不同的三个点，三个点表示的数分别为1，且在和之间，关于点的“完美距离”的最大值为．若均是整数，求的值． 【答案】（1）（2）①或；②（3）的值为：，，， 【详解】解：（1）∵，， ∴数轴上不同的三个点，三个点表示的数分别为，则关于点的“完美距离”为． （2）①∵数轴上不同的三个点，三个点表示的数分别为，关于点的“完美距离” ∴当时，则，解得：（不符合题意舍去）， 当时，则，解得：（不符合题意舍去），综上：或． ②∵，如图， ∴的中点对应的数为，∴当表示时， 关于点的“完美距离”取最大值，最大值为． （3）∵数轴上不同的三个点，三个点表示的数分别为，且，关于点的“完美距离”的最大值为；结合（2）可得：当为的中点时， ， ∵数轴上不同的三个点，三个点表示的数分别为1，且在和之间，关于点的“完美距离”的最大值为，∴， 同理可得：，∴， ∵均是整数，∴的值为：，，，． 模型常见易错点 1）混淆和模型与差模型的最值属性； 2）偶数个定点时，误以为只有中间点取最值； 3）未排序定点，直接判断中间点； 4）去绝对值符号符号出错； 5）忽略参数题型的双解； 6）认为所有绝对值最值都需要分段讨论。 解题方法总结 1）绝对值距离和最值解题模板 适用题型： 步骤1：排序：将常数从小到大数轴排序；步骤2：判奇偶：数定点个数；步骤3：定取值：奇数个取中间点，偶数个取中间区间；步骤4：算最值：代入对应x（或区间任意数）计算最小值； 2）绝对值距离差最值解题模板 适用题型： 步骤1：定定点：确定两个定点左右位置，标注a＜b；步骤2：直接写结论：最大值=（x≤a时取得）；最小值=（x≥b时取得）；步骤3：验算：特殊值代入验证，避免符号错误。 注意：所有绝对值最值问题，优先几何意义（数轴），次选代数分段讨论；综合题型中，可结合“零点分段法”辅助验证模型结论。 1．（25-26·广东·七年级统考期末）在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数的点与表示数-2的点的距离，的几何意义是数轴上表示数的点与表示数3的点的距离．当取得最小值时，的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【详解】解：如图， 当时，，，； 当时，，，； 当时，，，； 综上所述，当时，取得最小值， 所以当取得最小值时，的取值范围是．故选：B． 2．（25-26七年级上·福建泉州·期中）如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【答案】C 【详解】解：∵x为有理数式子存在最大值， ∴当，最大为2023，故选C． 3．（25-26七年级上·陕西西安·阶段练习）已知式子，则的最大值是 ． 【答案】8 【详解】解：由题意得：原式可化成：， 表示数轴上表示x的点与表示和2的点的距离和， 当时，有最小值3， 表示数轴上表示y的点与表示和4的点的距离和， 当时，有最小值7， ∵，∴，， ∴的最大值是，故答案为：8． 4．（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）代数式有最小值是 ． 【答案】3 【详解】解：∵，∴，∴代数式的最小值是3．故答案为：3． 5．（25-26七年级上·北京西城·期中）当式子取最小值时， ． 【答案】81 【详解】解：，，当式子取最小值时，， 解得，则，故答案为：81． 6．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段练习）数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为　　　．(2)若，则　　　． (3)最大值为　　　 ，最小值为　　　． 【答案】(1)(2)1或(3)5， 【详解】（1）解：数轴上表示x和的两点之间的距离表示为．故答案为： （2）解： 或 或 故答案为： 1或 （3）解：∵式子可看作是数轴上表示x的点到3、两点的距离之差， ∴当时，有最大值； 当时，有最小值； 故答案为：5，． 7．（24-25七年级上·安徽六安·期中）若点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离表示为（1）若，这样的数x为 ；（2）结合数轴探究：存在x的值，使式子有最大值，这个最大值是 ． 【答案】 5或1 6 【详解】（1）由绝对值的几何意义知：表示在数轴上x表示的点到3的距离等于2， ∴，或，∴或1；故答案为：5或1； （2）当时，即表求x的点在的左侧时， 当时，即表求x的点在和5之间时， ∴， 当时，即表求x的点在5的右侧时， ∴的最大值为6，故答案为：6． 8．（24-25七年级上·四川·期中）数轴上表示整数的点称为整点．数轴上点M表示的数为a，点N表示的数为，其中a为负整数，如果在线段上有201个整点（包括M和N点），则代数式的最小值为 ． 【答案】192 【详解】解：由题可得，故或， ∵a为负整数，∴，∴代数式， ∵表示数轴上表示x的点到96和两点的距离之和， ∴当时，最小，且最小值为：．故答案为：192． 9．（24-25七年级上·重庆·期中）一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数、，那么A、B之间的距离可表示为．则的最小值为 ． 【答案】5 【详解】解：当时，则， 当时，则， 当时，则， ∴的最小值为，故答案为：5 10．（24-25七年级上·四川南充·期中）规定：，，例如，．下列结论中，正确的序号为 ． ①若，则；②若，则；③式子的最小值是7． 【答案】①②③ 【详解】解：①∵，即，∴，， ∴，，∴，∴①正确； ②∵，∴，∴②正确； ③，它的几何意义是数轴上表示的点到表示3的点与到表示的点的距离之和，∴当表示x的点位于表示3的点与表示的点之间时，其距离之和最小，最小值为， ∴④正确．综上，①②③正确．故答案为：①②③． 11．（24-25七年级上·安徽淮南·期中）阅读下列材料： 我们知道的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为表示在数轴上数，对应点之间的距离，在解题中，我们会常常运用绝对值的几何意义； 例1：已知，求x的值． 解：在数轴上与原点距离为2的点对应的数为，即． 例2：已知，求x的值． 解：的几何意义是：在数轴上表示数x的点与表示数1的点之间的距离为2．在数轴上与表示数1的点的距离为2的点对应的数为，3，即或． 参考阅读材料，解答下列问题： (1)已知，则x的值为__________． (2)已知，则x的值为__________． (3)已知x是有理数，当x取不同数时，式子的值也会发生变化，问式子是否有最小值？若有，请求出最小值，若没有，请说出理由． (4)当时，则的最大值为__________． 【答案】(1)(2)2或(3)8(4)13 【详解】（1）解：，数轴上表示数x的点到原点的距离为3， 因此或，故答案为：； （2）解：，在数轴上与的距离为3的点对应的数2或，故答案为：2或； （3）解：表示在数轴上表示数x的点到表示数2与表示数的距离之和， 因此当时，这个距离之和最小，最小值就是2与之间的距离，为8，故有最小值，是8； （4）解：∵表示在数轴上表示数x的点到表示数与表示数2的距离之和， ∴由（3）可得，当时，有最小值3 ∵表示在数轴上表示数y的点到表示数1与表示数3的距离之和， ∴由（3）可得，当时，有最小值2 ∵∴只有当且时等式成立 ∴，∴当，时，有最大值，即． 12．（25-26七年级上·陕西西安·阶段练习）（1）数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数2和5的两点距离为 ；数轴上表示数3和的两点距离为 ； （2）代数式的最小值是 ；此时x的取值范围是 ； （3）代数式的最大值是 ；若，则x的值为 ； （4）在笔直的公路（数轴）一侧有A、B、C、E四个村庄，分别表示数，，3，8，现要在公路上开一家超市，使各村庄到超市的距离和最小，则超市的位置应在哪里，为什么？ 【答案】（1）3，4（2）7；；（3）7，，7；（4）超市的位置在时，各村庄到超市的距离和最小 【详解】解：（1）；；故答案为：3，4； （2）当时，； 当时，； 当时，； 所以，代数式的最小值是7，此时x的取值范围是；故答案为：7；； （3）当时，； 当时，； 当时，； 因此，当时，有最大值，为7故答案为：7； 对于方程：， 当时，，解得，； 当时，，此时，方程无解； 当时，，解得，， 所以方程解为，，故答案为：，7； （4）设超市的位置对应的数为x，根据题意得： 当时，原式，此时最小值为原式， 当时，原式，当时，原式有最小值，为； 当时，原式； 当时，原式； 当时，原式 ∴当超市的位置在时，各村庄到超市的距离和最小 13．（24-25七年级上·广东湛江·期中）先阅读，结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： 【阅读】：表示与差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】：(1)数轴上表示和两点之间的距离是________；一般地、数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是，那么的值为________． (2)若，，且数、在数轴上表示的点分别是点、点，则、两点间的最大距离是________，最小距离是________； (3)利用数轴找出所有符合条件的整数点，使得，这些点表示的数的和是________． (4)应用：小明妈妈要租房，使小明到学校与妈妈到上班地点距离和最小，若把租房地记作，妈妈上班地点记作，小明学校记作2，那么距离和的最小值是：________． (5)拓展：的最小值是：________． 【答案】(1)，或；(2)，；(3)；(4)；(5)． 【详解】（1）解：数轴上表示和两点之间的距离是； 表示数和的两点之间的距离是，， 整理得：，解得：或；故答案为：；或； （2）解：，，解得：或， ，，解得：或， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 、两点间的最大距离是，最小距离是； （3）解：如下图所示，， 表示数轴上表示的点到表示数的点之间的距离， 表示数轴上表示的点到表示数的点之间的距离， 表示到点和的距离之和等于的点， 从数轴上可知，表示数的点在数轴上表示数和之间， 这些点表示的数有、、、、、、、， 这些点表示的数的和是，故答案为：； （4）解：当时，， ，，； 当时，， 当时，， ，，，距离和的最小值是：； （5）解：由可知当时，有最小值， ， 故答案为：． 14．（24-25七年级上·黑龙江·期中）我们知道一个数的绝对值的几何意义是在数轴上表示这个数的点离原点（表示数0）的距离，的绝对值表示为，也可以写成，比如．在数轴上表示两个数，的点之间的距离可以表示为，比如，表示3的点与的点之间的距离表示为．是表示的点与1的点之间的距离跟表示的点与-2的点之间的距离的和．结合数轴易知：如图，当点的位置在点和点之间（包含点和点）时，点与点的距离跟点与点的距离之和最小，最小值为3，即的最小值是3，此时的范围为． 请根据以上阅读，解答下列问题：(1)的最小值是_____，此时的范围为_____； (2)求的最小值和此时的值． 【答案】(1)3， (2)3，0 【详解】（1）解：由题意，可知：当时，有最小值，为；故答案为：3， （2）根据题意，得的最小值为3，此时． 因为，所以的最小值为0，所以的最小值为3，此时的值为0． 15．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）我们知道，式子的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离是，则式子的最小值（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， 的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离与数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离之和， 当表示数x的点在表示数的点与表示数的点之间时，值最小，也即是表示数的点与表示数的点之间距离，的最小值为， 的最小值是0，且取最小值时x的值为，且当时，最小值是3， 的最小值为，的最小值是，故选：． 16．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）已知，求的最大值（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：当时，， ∵，∴，∵，∴，∴， ∵，∴，∴； 当时，， ∵，∴，∴， ∵，∴； 当时，， ∵，∴，∴； 当时，； ∵，即，∴，∴； 综上，的最大值，故选：B． 17．（2024·四川成都·三模）函数的最小值为3，则a的值为 ． 【答案】或 【详解】解：∵∴根据绝对值的意义，是指到和到的距离之和 ∵函数的最小值为3，∴此时在和的之间，且是和的之间的距离为3 即∴∴或 故答案为：或． 18．（25-26七年级上·安徽滁州·阶段练习）对于有理数a，b，c，d，若，则称a和b关于n的“相对关系值”为d．例如：，则2和3关于1的“相对关系值”为3． （1）2和关于2的“相对关系值”为 ； （2）若m和n关于2的“相对关系值”为2，则的最大值为 ． 【答案】 7 6 【详解】解：（1）由题意得，．故答案为：7． （2）由题意得，．根据绝对值的几何意义：点到2的距离之和为2， 所以当所表示的数同为大于及等于2的时候，取最大值， 当，解得：，则，解得：或（舍去）的最大值为6． 故答案为：6． 19．（2024·湖北武汉·七年级期中）我们知道，的几何意义是数轴上表示数a的点与原点的距离，一般地，点A，B在数轴上分别表示数a，b，那么A，B之间的距离可表示为|a-b|，请根据绝对值的几何意义并结合数轴解答下列问题： （1）数轴上的数x与1所对应的点的距离为__ ，数x与-1所对应的点的距离为__ ；（2）求的最大值；（3）直接写出的最大值为______． 【答案】（1）|x-1|，|x+1|；（2）2；（3）20 【详解】（1）由题意得到：数轴上的数x与1所对应的点的距离为， 数x与-1所对应的点的距离为，故答案为：， ； （2）表示x到1之间的距离，表示x到-1之间的距离， ①当x≤-1时，=1-x，=-1-x，∴=（-1-x）-（1-x）=-2； ②当-1≤x≤1时，=1-x，=x+1，∴=（x+1）-（1-x）=2x≤2； ③当x≥1时，=x-1，=x+1，∴=（x+1）-（x-1）=2，∴的最大值为2 （3）由（2）知：的最大值为2，由此可得： 的最大值为4， 的最大值是6，的最大值是8， ∴的最大值是2+4+6+8=20 20．（24-25七年级上·广东梅州·期中）【定义新知】我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数1的点之间的距离．因此，若点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离．若点表示的数为，请根据数轴解决以下问题： （1）式子在数轴上的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数______的点之间的距离；在数轴上的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数______的点之间的距离； （2）若，则的值为______； （3）当的值最小且为整数时，则的取值可以为______； 【解决问题】（4）如图，一条笔直的公路边有三个居民区、、和市民广场，居民区、、分别位于市民广场左侧，右侧，右侧．鉴于环保之需，现计划在该路段建设一座垃圾中转站，以负责接收并转运上述三个居民区每日产生的生活垃圾．假设生活垃圾的清理运输费用为每公里50元，试问垃圾中转站应选址于这条公路的何处，以实现总运输成本的最小化？最低运输成本是多少元？ 【答案】（1），；（2）或；（3），，，，； （4）垃圾中转站应选址于市民广场右侧，以实现总运输成本的最小化，最低运输成本是元． 【详解】解：（1）由题意可知，式子在数轴上的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离；在数轴上的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离；故答案为：，． （2），即，在数轴上的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离为，所以或，故答案为：或； （3）在数轴上的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离与表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离之和， 当的值最小且为整数时，则的取值可以为，，，，， 故答案为：，，，，． （4）根据居民区、、分别位于市民广场左侧，右侧，右侧． 分别记市民广场为原点，向右为正方向，则居民区、、为，，， 要垃圾中转站实现总运输成本的最小化， 即垃圾中转站到居民区、、的距离和最小， 则垃圾中转站应建在居民区处，此时距离和， 所以最低运输成本是（元）， 答：垃圾中转站应选址于市民广场右侧，以实现总运输成本的最小化，最低运输成本是元． 21．（24-25七年级上·福建漳州·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示1和4的两点之间的距离是_______；数轴上表示和2两点之间的距离是_______；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如数轴上表示数与数5两点之间的距离等于． (2)若数轴上的点表示的数，求的最小值； (3)若数轴上的点表示的数，当的最小值为10（为常数），求的值． 【答案】(1)，(2)6(3)或 【详解】（1）解：数轴上表示4和1的两点之间的距离是， 数轴上表示和2两点之间的距离是； （2）解：当数轴上表示数的点位于表示数与2两点之间时（包括这两点），的值为6； 当数轴上表示数的点在表示数2的点的右边时，的值大于6； 当数轴上表示数的点在表示数的点的左边时，的值大于6； 所以的最小值为6； （3）解：当时，的最小值为6，不合题意，舍去； 当时，要使的最小值为10，结合数轴可得； 当时，要使的最小值为10，结合数轴可得；综上所述或． 22．（25-26·江苏·七年级专题练习）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 例如，式子的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与-1所对应的点之间的距离． 结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）若，则 ；的最小值是 ． （2）若，则的值为 ；若，则的值为 ． （3）是否存在使得取最小值，若存在，直接写出这个最小值及此时的取值情况；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）5或-1；5；（2）或4；或；（3）的最小值为17，此时 【详解】解：（1）∵，∴，∴，∴或； 设A点表示的数为-2，B点表示的数为3，P点表示的数为x， ∴表示的意义即为数轴上一点P到A的距离和到B的距离之和， 如图所示，当P在AB之间（包含A、B）时，； 当P在A点左侧时； 同理当P在B点右侧时； ∴的最小值为5，故答案为：5或-1；5； （2）设A点表示的数为-2，B点表示的数为3，P点表示的数为x， 由（1）可知当当P在AB之间（包含A、B）时，，当P在A点左侧时，当P在B点右侧时 ∵，∴当P在A点左侧时即，∴； 同理当P在B点右侧时即，∴；∴当时，或4； 当时，∵，∴，解得符合题意； 当时，∵，∴，解得符合题意； 当时∵，∴，解得不符合题意； 当时∵，∴，解得不符合题意； ∴综上所述，当，或；故答案为：或4；或； （3）当时，∴， 当时，∴， 当时∴， 当时∴， ∴此时∴综上所述，的最小值为17，此时． 23．（25-26七年级上·重庆江北·期中）数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作．数轴上表示数的点与表示数的点距离记作，如表示数轴上表示数3的点与表示数5的点的距离，表示数轴上表示数3的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数的点与表示数3的点的距离． 根据以上材料回答下列问题：（将结果直接填写在相应位置，不写过程） (1)若，则______；若，则_______． (2)若，则能取到的最小值是_______，最大值是_______． (3)当到取最小值时，则的值为_______． (4)的最小值为_______．(5)若，求的值． 【答案】(1)，(2)，(3)(4)(5)或 【详解】（1）表示数轴上表示x的点到表示和的距离相等， 因此到和距离相等的点表示的数为， 表示数轴上表示x的点到表示和的距离相等， 因此到和距离相等的点表示的数为，故答案为：，； （2）表示的意义是数轴上表示x的点到表示和两点的距离之和为，可得，因此x的最大值为，最小值为；故答案为：，； （3）表示的意义是数轴上表示x的点到表示，和三点的距离之和，根据数轴直观可得，最小值为3，由（2）可知， ∴当取最小值时，，故答案为：； （4） 根据绝对值几何意义，当时，有最小值，最小值为 故 的最小值为：；故答案为:； （5）当 时， ，去绝对值为：， 当 时，去绝对值为：9(不成立)， 当 时，去绝对值为：， ，综上，或． 24．（24-25七年级上·福建漳州·期中）阅读理解：我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离，也就是说，表示在数轴上数与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数，对应点之间的距离．举例：数轴上表示数和的两点和之间的距离是． 问题探究：参考阅读材料，解答下列问题．(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是______； (2)若数轴上表示数的点位于与5之间，求的值是______； (3)当取最小值时，相应的数的取值范围是______；(4)求的最小值是______． 实际应用：(5)问题：某一直线沿街一侧有2023户居民（相邻两户居民间隔相同），每户按序标记为：，，，，，…，，某餐饮公司想为这2023户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店，点选在______，才能使这2023户居民到点的距离总和最小．（填住户标记字母） 拓展提升：(6)若数满足，求的最小值为______． 【答案】(1)3(2)8(3)(4)2(5)(6) 【详解】（1）解：数轴上表示2和5的两点之间的距离为：，故答案为：3； （2）解：数轴上表示数a的点位于与5之间，， ，故答案为：8； （3）解：表示数a到点1与2的距离之和， 当时，取最小值，故答案为：； （4）解：表示数a到点1、2、3的距离之和， 当时，取得最小值，最小值为：，故答案为：2； （5）解：点，，，，，…，中，最中间的点是， 故点P选在紧靠居民家，才能使这2023户居民到点P的距离总和最小，故答案为：； （6）解：表示数a到点1与3的距离之和，当时，取得最小值； 表示数b到点4与的距离之和， 当时，取得最小值，此时， ∵a的最小值为1，b的最小值为，的最小值为：，故答案为：． 25．（24-25七年级上·广西玉林·期中）阅读下列材料并解决问题： 数轴是一种非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与形之间的联系，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离，可以用这两个数的差的绝对值表示，这也体现了绝对值的几何意义．若在数抽上有理数对应的点为，有理数对应的点为，则A，B两点之间的距离可表示为或，记为．如式子的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数的点之间的距离． 根据上述材料，回答下列问题：(1)与3的距离是______；(2)式子的最小值是______； (3)应用：如图，某环形道路上顺次排列有四家快递公司：A，B，C，D，它们依次有快递车15辆，9辆，5辆，11辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有多少种调配方案，使调动的车辆数最少？并求出调出的最少车辆数． 【答案】(1)(2)(3)有5种方案调运车辆数最小，都为10辆． 【详解】（1）解：与3的距离是； （2）解：∵表示在数轴上数对应的点与数，对应的点的距离之和， ∴当数在与之间时，即时，最小， ∴当时，式子有最小值，最小值是， （3）解：根据题意，（辆），（辆），即共有40辆车，每个公司10辆， ∴调运方案如下： ∴有5种方案调运车辆数最小，都为10辆． 3 / 47 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 绝对值的八类最值模型（绝对值的几何意义） 最值问题一直都是初中数学的最难点之一，但也是高分的必须突破点，而绝对值中的最值模型是初中学生第一次接触最值类问题，该类最值模型主要依据绝对值的几何意义或代数意义，考查分类讨论和数形结合的数学思想。需要牢记绝对值中的最值情况规律，解题时能达到事半功倍的效果。本专题就绝对值中的八类最值模型进行梳理及对应试题分析，方便大家掌握。 命题趋势：弱化纯代数计算，强化几何意义应用，多以“多绝对值叠加最值、含参数绝对值最值、动点距离最值”形式出题。推导逻辑（数形结合，吃透原理，拒绝死记硬背）。 模型来源 2 知识储备 2 例讲模型 2 模型1. 的最小值模型 2 模型2. 的最小值和最大值模型 5 模型3. 的最小值模型 8 模型4.系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 13 模型5. 型或型最值模型 17 模型6.绝对值最值模型的实际应用 18 模型7.绝对值相关运算与最值问题 21 模型8.绝对值最值中的新定义问题 23 易错点与方法总结 28 模型运用 29 A组（基础题） 29 B组（能力提升题） 38 C组（综合压轴题） 42 绝对值最值问题的历史发展脉络源于几何直观与代数研究的结合，其核心理论随数学分析的发展逐步完善。绝对值的概念源于物理学中的距离概念，表示一个数到原点的距离。在数学中，绝对值用于表示一个数到数轴原点的距离，因此绝对值总是非负的。这一性质使得绝对值在数学分析中有着广泛的应用，特别是在处理不等式和最值问题时显得尤为重要。在解决含绝对值的代数式最值问题时，可以利用绝对值的几何意义或零点分段法，整体来说绝对值的几何意义较为简单适用。 ①绝对值具有非负性，即；②绝对值的几何意义：表示数轴上的有理数a所对应的点到原点的距离；表示数轴上的有理数x所对应的点到有理数a所对应的点的距离。‌ 绝对值最值问题本质是数轴上动点到定点的距离和、距离差的最值问题，无需复杂代数计算，依托数轴几何特征即可快速求解，是数形结合思想的经典应用。 模型1. 的最小值模型 【模型提炼与证明】 求的最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值。 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时（在点a的左侧） 的值大于 当时（在点a、b之间） 的值为定值，即为 当（在点b的左侧） 的值大于 结论：在时，取得最小值为。 另解：也可用绝对值的代数意义（即分类讨论思想）完成绝对值的最值问题。 【模型运用】 【典例1】（24-25七年级上·山东济南·阶段检测）数轴是非常重要的“数形结合”的工具之一，它揭示了数与点之间的内在联系．我们知，表示数到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，在数轴上，点、表示的数分别为，，那么点与点的距离表示为，利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示和的两点之间的距离是________，数轴上表示和的两点之间的距离是________； (2)数轴上表示和的两点、之间的距离表示为________，如果，那么的值为________； (3)因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． 发现问题：的最小值是多少？ 探究问题：若点，，分别表示数，，，则． 因为的几何意义是线段与的长度之和，所以当点在线段上时（如图），；当点在点的左侧或点的右侧时，．所以的最小值是． 解决问题：的最小值是________． 【典例2】（25-26七年级上·广东江门·阶段检测）阅读下面材料：点、在数轴上分别表示有理数、，在数轴上、两点之间的距离．回答下列问题： (1)数轴上表示和1两点之间的距离是______，数轴上表示和2的两点之间的距离是______； (2)数轴上表示和1的两点之间的距离为6，则表示的数为______； (3)若表示一个有理数，则有最小值吗？若有，请直接写出最小值；若没有，请说明理由． (4)请你画出数轴，探究：是否存在数，使？如果存在，则在数轴上表示出来，并写出的值；如果不存在，简要说明理由． 【典例3】（25-26七年级上·安徽宿州·期中）姗姗在学习绝对值的时候发现： 定义：一个数的绝对值就是这个数在数轴上所对应的点到原点的距离． 如：表示在数轴上所对应的点到原点0的距离，于是可以看作，即．那么可看成数轴上表示2和表示1的两点间的距离，即；而，即可看成数轴上表示2和表示的两点间的距离，即． 根据上面的发现，姗姗进行了探索： 将看成数轴上表示x与表示3的两点在数轴上的距离，那么可看成表示x的点与表示的两点在数轴上的距离． 姗姗继续研究发现：表示到表示3和表示的两点距离之和，当取3与之间（包括3和）的某个数时，有最小值，其最小值为表示3与表示的两点在数轴的距离．请你借助数轴，解决下列问题： (1)可看成数轴上表示_______和表示______的两点间的距离；(2)若，求x的值； (3)当的最小值为4时，求最小整数x的值；(4)若的最小值为3，求a的值． 模型2. 的最小值和最大值模型 【模型提炼与证明】 求的最大值或最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的取最大值或最小值： 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 （在点a的左侧） 的值为定值，即为— 当时 （在点a、b之间） 当 （在点b的左侧） 的值为定值，即为 结论：在时，取得最小值为；在时，取得最大值。（几何意义） 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级上·湖北武汉·期末）数轴上点A、B表示的数为a、b，则A、B两点之间的距离可表示为线段，如：数轴上表示数x的点与表示数的点之间的距离为．代数式的最大值等于 ． 【典例2】（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·期中）（阅读理解）我们知道，数轴上两点之间的距离可以用这两点所表示的数的差的绝对值来表示，例如：点A表示的数是a，点B表示的数是b，则A、B两点之间的距离．根据以上信息，解决下列问题：(1)计算 ___ ；(2)若，求x的值； (3)若，求所有符合条件的整数x；(4)是否存在有理数x，使得有最大值？若存在，求出最大值及对应的x的取值范围；若不存在，请说明理由． 【典例3】（25-26七年级上·贵州六盘水·期末）数形结合是解决数学问题的重要方法，数轴上两点之间的距离可以用两数之差的绝对值来表示，点A表示的数是a，点B表示的数是b，则A，B两点之间的距离．例如：若点A表示5，点B表示，则．解决下列问题： (1)若点A表示的数是4，点B表示的数是，则A，B两点之间的距离是_______； (2)当时，请在数轴上标记x所在的位置并写出x的值； (3)是否存在有理数m，使得有最大值？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由． 模型3. 的最小值模型 【模型提炼与证明】 的最小值的分析： 找到上述式子中的‬零点，按从小到大‬排序（不妨假设）‬，借助数轴容易得到： ‬当n‬奇数‬时‬‬，则x取‬中间数（即）‬‬时，‬取得‬最小值‬； ‬当n‬‬偶数时‬，‬则‬x取‬中间‬段‬（即）时，‬取得‬最小值‬。 规律可总结为：“奇中点，偶中段”。 【模型运用】 【典例1】（24-25七年级上·广东深圳·期中）数形结合是解决数学问题的重要思想方法． 材料分析：如图1，已知数轴上两点，．则两点距离为两数差的绝对值，即 如：1到3的距离为两数差的绝对值，即；到3的距离为两数差的绝对值，即． 根据以上思想，完成下题 如图2．已知数轴上两点，表示的数分别为，6． (1)两点间的距离为________；(2)表示的是到________的距离； (3)①当时，代数式取得最小值为_______；②当______时，代数式的最小值为2；③代数式的最小值为________； (4)点表示的数是4，点以2个单位/秒的速度沿着数轴的正方向一直运动．点同时以1个单位/秒的速度也沿着数轴的正方向运动，但点到达点处立刻返回沿着数轴的负方向运动．设点运动的时间为，在此过程中存在使得点到点的距离等于2，请求出的值． 【典例2】（25-26七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）同学们知道，表示8与3的差的绝对值，也可理解为数轴上表示数8与数3两点间的距离．试探索： (1)表示数轴上数x与数 两点间的距离；(2)的最小值是 ； (3)计算的最小值． 【典例3】（25-26七年级上·四川成都·期中）材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，如表示、在数轴上对应的两点之间的距离：，所以表示、在数轴上对应的两点之间的距离； ，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离．综上， 数轴上、两点对应的数分别为、， 且、两点之间的距离可以表示为， 则（或）． (1)数轴上表示和的两点之间的距离是 ，若，则 ； (2)的最小值是 ；当 时的最小值是 ； (3)求的最小值． 【典例4】（24-25七年级上·福建泉州·阶段检测）我们知道的几何意义是：数轴上表示的点到原点的距离，即，这个结论可以推广为表示，两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 根据以上结论探究： (1)表示与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，所以 ；表示与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，所以 ． (2)数轴上表示数的点在与之间移动时，的值是一个固定的值，为 ． (3)可理解为与 两数在数轴上所对应的两点之间的距离．若，则 ． (4)当式子取最小值时，求出的值． (5)的最小值是多少？ (6)的最小值为 ，此时的取值范围是 ． 【典例5】（25-26七年级上·甘肃酒泉·阶段检测）已知点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离表示为回答问题： (1)数在数轴上对应的点到的距离为______；(2)已知，求的最小值为______； (3)已知，且有的最小值为你能否求出的值？的值？或，之间的关系？ 模型4. 系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 【模型提炼与证明】 系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 ①绝对值系数不为“1”：如：｜x-1｜+2｜x-2｜+3｜x-3｜+4｜x-4｜+5｜x-5｜ 解题步骤：第1步：将x平铺展开；第2步：找到每个式子的零点，分别为：1、2、2、3、3、3、4、4、4、4、5、5、5、5、5、5共15个零点；第3步：根据“奇中点，偶中段”，在第八个数时，即x=4时，有最小值，带入x=4，最小值为15。 ②x系数不为“1”：如：求｜2x-4｜+｜5x+5｜的最小值。 解题步骤：第1步：x的系数不为1，所以首先‬第一步‬想办法把x的系数化为1，采用提取公因数的方法（或乘法分配律的逆用）；即：｜2x-4｜+｜5x+5｜=｜2（x-2）｜+｜5（x+1）｜=2｜x-2｜+5｜x+1｜。 第2步：进入①中的三个步骤即可。这时，x的系数已经变成了1，我们就可以展开‬，然后‬利用“奇中点‬，偶中段”来求了‬。解‬得‬当x=-1时‬取得‬最小值，最小值‬为‬6。 另解：上述两类问题也可以采用绝对值的代数意义（根据零点分区讨论）求解。 【模型运用】 【典例1】（24-25七年级上·广东清远·期中）阅读材料：任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题．例如：表示4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，类似的，表示5与之间的距离，一般地，两点在数轴上表示有理数，那么、之间的距离可以表示为． 解决问题：已知数轴上两点、对应的数分别为和4，数轴上另有一个点对应的数为，试探索： (1)①点A、B之间的距离为：_______． ②点、之间的距离________．（用含的式子表示） (2)若点在点两点之间，则的值为12；若，则点表示的数为_______，由此可得，点到、的距离之和的最小值为12． (3)点在数轴上，则的最小值为________；的最小值为________． (4)如果点以每秒1个单位长度的速度从点出发沿数轴向右运动，同时点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，当点到达点时，点与同时停止运动．设点的运动时间为秒（）．当点、点与点三个点中，其中一个点到另外两个点的距离相等时，求出的值． 【典例2】（25-26七年级·江苏·培优）先阅读下面的材料，然后解答问题： 数轴上的个点表示的数分别是，且是数轴上一点，其表示的数为，对于代数式，由绝对值的几何意义可得：若为奇数，则时，的值最小；若为偶数，则时，的值最小． (1)求的最小值． (2)求的最小值． 【典例3】（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为 ，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．利用此结论，回答以下问题： （一）数轴上表示数的点和表示数2的点之间的距离是 ． （二）数轴上点A用数a表示，（1）若，那么a的值是 （2）最小值是 ．（3）最小值是 ． （4）当a为何值时，有最小值，最小值为多少？ 模型5. 型或型最值模型 【模型提炼与证明】 1）：当a＞0时，∵，∴，即取得最小值为b； 当a＜0时，∵，∴，即取得最大值为b。 2）：当a＞0时，∵，∴，即取得最小值为b； 当a＜0时，∵，∴，即取得最大值为b。 【模型运用】 【典例1】（26-27七年级·浙江·暑假作业）代数式的最小值是_____，的最小值是_____． 【典例2】（25-26七年级上·河北唐山·阶段检测）若k为任意有理数，算式存在最大值，则这个最大值是（    ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 【典例3】（25-26七年级上·广东·单元复习）根据这一性质，解答下列问题： (1)当 时，有最小值，此时最小值为 ； (2)当a取何值时，有最小值？这个最小值是多少？ (3)当a取何值时，有最大值？这个最大值是多少？ 【典例4】（25-26七年级上·成都·期中）若，为有理数，下列判断正确的个数是（　　） （1）的最小值是；（2）的最小值是；（3）的最大值为；（4）的最大值是． A． B． C． D． 模型6. 绝对值最值模型的实际应用 ‌灵活运用数形结合‌：将绝对值的几何意义与代数表达式结合，可以帮助直观地解决问题。 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离． （1）【探究问题】如图，数轴上，点A，B，P分别表示数，2，x，因为的几何意义是线段与的长度之和，当点P在线段上时，，而当点P在点A的左侧或点B的右侧时，．所以当点P在线段上时，有最小值，最小值是3． 填空： 若， 则x的值为 ； （2）【解决问题】①直接写出式子的最小值为 ； ②若代数式的最小值是2，则a的值为 ； （3）【实际应用】如图，在一条笔直的街道上有E，F，G，H四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为．已知E，F，G，H四个小区各有2个，2个，2个，1个学生在同一所中学的同一班级上学，安全起见，这7个同学约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的他们通过分析，发现在街道上的M处汇合使所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请问汇合地点M设置在什么位置的时候，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，并求出此最小值． 【典例2】（25-26七年级上·广东肇庆·期末）数轴是初中数学的一个重要工具，任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，它是“数形结合”的基础． 【知识呈现】新定义：我们规定：点A，B在数轴上分别表示数，，则A，B两点之间的距离可表示为：，如式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离；式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示的点之间的距离． 【初步理解】（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是________；数轴上表示和5.2的两点之间的距离是________； （2）已知数轴上点A所表示的数是，点B所表示的数是6，x表示数轴上任意一点，则的最小值是________； 【深入探究】（3）结合数轴，利用以上的新定义求式子的最小值，求出此时x的值，并简单说明理由． 【实际应用】（4）某市一条东西走向的大道一侧有四个小区，分别是兴园小区、梦园小区、竹园小区、名园小区，如图（每个小区看作一个点），每相邻两个小区之间相距800米，为方便各小区居民出行，公交公司想在某一个小区处建一个公交站台，使所建公交站台到四个小区的距离之和最小，问这个公交站台应建在哪个小区？所建公交站台到四个小区距离之和的最小值是多少?（不用说明理由） 模型7. 绝对值相关运算与最值问题 【模型运用】 【典例1】（24-25七年级上·重庆·阶段检测）数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值．例：点，在数轴上分别对应的数为，，则，两点间的距离表示为． 根据以上知识解题：(1)若，则能取到的最小值是__________，最大值是__________． (2)的最小值为___．(3)已知，求的最大值和最小值． 【典例2】（24-25七年级上·陕西西安·阶段检测）阅读理解：数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些问题．数轴上，若A，B两点分别表示数a、b，那么A，B两点之间的距离与a，b两数的差有如下关系：或、如表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离． 问题（1）：当x的值取在______的范围时，的最小值是______； 问题（2）：当______时，的最小值是______； 问题（3）：若的最小值是5，求a的值． 问题（4）：已知，则求出的最大值和最小值． 【典例3】（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）材料一：我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点到原点的距离．这个结论可以推广为：的几何意义是：在数轴上数，对应点，之间的距离，例如在数轴上点表示数1，点表示数，则． 材料二：在数轴上，对于点与线段的距离，我们给出如下定义：对于该数轴上的一点与线段上一点，如果有最小值，那么称这个最小值为点与线段的距离．显然，若点落在线段上（含端点），则点与线段的距离为0． 【简单应用】（1）数轴上表示2和5的两点距离为______； （2）数轴上点，，分别表示数，2，4，则若点与线段的距离为______； （3）数轴上点，，分别表示数，2，，若点与线段的距离为2，则______． 【关联应用】（1）代数式的最小值为______； （2）若代数式的值为12，求的最大值． 【实际应用】如图，某工厂自动化直线型流水线上设有4个工位，，，和一个中控中心，，分别位于中控中心点左侧8米，左侧3米，，分别位于中控中心右侧2米，右侧5米，工位，分别需要2个机器人同时操作，工位，只需要1个机器人操作，现要在直线型流水线上设置一个长度为2米的可移动的物料区，供6个机器人取用，要求6个机器人到物料区的距离之和最小，请直接写出距离之和最小值． 模型8. 绝对值最值中的新定义问题 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级上·安徽合肥·阶段检测）是双重绝对值运算，运算顺序是先求的差的绝对值，再求与差的绝对值的差的绝对值．求： （1）若，，，的最小值为_______． （2）若随意三个互不相等的正整数输入双重绝对值进行运算，如果最大值为18，则最小值为________ 【典例2】（25-26七年级上·湖南长沙·阶段检测）对于有理数，，，，若，则称和关于的“美好关联数”为，例如，，则2和3关于1的“美好关联数”为3． (1)和5关于2的“美好关联数”为______；(2)若和3关于的“美好关联数”为7，求的值： (3)若1和2关于的“美好关联数”为，3和4关于的“美好关联数”为，求①的最小值；②的最小值． 【典例3】（25-26七年级上·江苏盐城·期末）在数轴上存在不同的三个点，三个点表示的数分别为，对于三个点的“完美距离”规定如下：若，则关于点的“完美距离”；若，则关于点的“完美距离”．点是点的“完美相关点”． 例如：对于点，三个点表示的数分别为，因为，所以关于点的“完美距离”． 【初步理解】（1）已知数轴上不同的三个点，三个点表示的数分别为，则关于点的“完美距离”为_____； 【深入应用】（2）已知数轴上不同的三个点，三个点表示的数分别为． ①若关于点的“完美距离”，求的值；②若，则关于点的“完美距离”的最大值为_____． 【知识迁移】（3）已知数轴上不同的三个点，三个点表示的数分别为，且，关于点的“完美距离”的最大值为；数轴上不同的三个点，三个点表示的数分别为1，且在和之间，关于点的“完美距离”的最大值为．若均是整数，求的值． 模型常见易错点 1）混淆和模型与差模型的最值属性； 2）偶数个定点时，误以为只有中间点取最值； 3）未排序定点，直接判断中间点； 4）去绝对值符号符号出错； 5）忽略参数题型的双解； 6）认为所有绝对值最值都需要分段讨论。 解题方法总结 1）绝对值距离和最值解题模板 适用题型： 步骤1：排序：将常数从小到大数轴排序；步骤2：判奇偶：数定点个数；步骤3：定取值：奇数个取中间点，偶数个取中间区间；步骤4：算最值：代入对应x（或区间任意数）计算最小值； 2）绝对值距离差最值解题模板 适用题型： 步骤1：定定点：确定两个定点左右位置，标注a＜b；步骤2：直接写结论：最大值=（x≤a时取得）；最小值=（x≥b时取得）；步骤3：验算：特殊值代入验证，避免符号错误。 注意：所有绝对值最值问题，优先几何意义（数轴），次选代数分段讨论；综合题型中，可结合“零点分段法”辅助验证模型结论。 1．（25-26·广东·七年级统考期末）在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数的点与表示数-2的点的距离，的几何意义是数轴上表示数的点与表示数3的点的距离．当取得最小值时，的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 2．（25-26七年级上·福建泉州·期中）如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 3．（25-26七年级上·陕西西安·阶段练习）已知式子，则的最大值是 ． 4．（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）代数式有最小值是 ． 5．（25-26七年级上·北京西城·期中）当式子取最小值时， ． 6．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段练习）数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为　　　．(2)若，则　　　． (3)最大值为　　　 ，最小值为　　　． 7．（24-25七年级上·安徽六安·期中）若点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离表示为（1）若，这样的数x为 ；（2）结合数轴探究：存在x的值，使式子有最大值，这个最大值是 ． 8．（24-25七年级上·四川·期中）数轴上表示整数的点称为整点．数轴上点M表示的数为a，点N表示的数为，其中a为负整数，如果在线段上有201个整点（包括M和N点），则代数式的最小值为 ． 9．（24-25七年级上·重庆·期中）一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数、，那么A、B之间的距离可表示为．则的最小值为 ． 10．（24-25七年级上·四川南充·期中）规定：，，例如，．下列结论中，正确的序号为 ． ①若，则；②若，则；③式子的最小值是7． 11．（24-25七年级上·安徽淮南·期中）阅读下列材料： 我们知道的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为表示在数轴上数，对应点之间的距离，在解题中，我们会常常运用绝对值的几何意义； 例1：已知，求x的值． 解：在数轴上与原点距离为2的点对应的数为，即． 例2：已知，求x的值． 解：的几何意义是：在数轴上表示数x的点与表示数1的点之间的距离为2．在数轴上与表示数1的点的距离为2的点对应的数为，3，即或． 参考阅读材料，解答下列问题： (1)已知，则x的值为__________． (2)已知，则x的值为__________． (3)已知x是有理数，当x取不同数时，式子的值也会发生变化，问式子是否有最小值？若有，请求出最小值，若没有，请说出理由． (4)当时，则的最大值为__________． 12．（25-26七年级上·陕西西安·阶段练习）（1）数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数2和5的两点距离为 ；数轴上表示数3和的两点距离为 ； （2）代数式的最小值是 ；此时x的取值范围是 ； （3）代数式的最大值是 ；若，则x的值为 ； （4）在笔直的公路（数轴）一侧有A、B、C、E四个村庄，分别表示数，，3，8，现要在公路上开一家超市，使各村庄到超市的距离和最小，则超市的位置应在哪里，为什么？ 13．（24-25七年级上·广东湛江·期中）先阅读，结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： 【阅读】：表示与差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】：(1)数轴上表示和两点之间的距离是________；一般地、数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是，那么的值为________． (2)若，，且数、在数轴上表示的点分别是点、点，则、两点间的最大距离是________，最小距离是________； (3)利用数轴找出所有符合条件的整数点，使得，这些点表示的数的和是________． (4)应用：小明妈妈要租房，使小明到学校与妈妈到上班地点距离和最小，若把租房地记作，妈妈上班地点记作，小明学校记作2，那么距离和的最小值是：________． (5)拓展：的最小值是：________． 14．（24-25七年级上·黑龙江·期中）我们知道一个数的绝对值的几何意义是在数轴上表示这个数的点离原点（表示数0）的距离，的绝对值表示为，也可以写成，比如．在数轴上表示两个数，的点之间的距离可以表示为，比如，表示3的点与的点之间的距离表示为．是表示的点与1的点之间的距离跟表示的点与-2的点之间的距离的和．结合数轴易知：如图，当点的位置在点和点之间（包含点和点）时，点与点的距离跟点与点的距离之和最小，最小值为3，即的最小值是3，此时的范围为． 请根据以上阅读，解答下列问题：(1)的最小值是_____，此时的范围为_____； (2)求的最小值和此时的值． 15．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）我们知道，式子的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离是，则式子的最小值（   ） A． B． C． D． 16．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）已知，求的最大值（    ） A． B． C． D． 17．（2024·四川成都·三模）函数的最小值为3，则a的值为 ． 18．（25-26七年级上·安徽滁州·阶段练习）对于有理数a，b，c，d，若，则称a和b关于n的“相对关系值”为d．例如：，则2和3关于1的“相对关系值”为3． （1）2和关于2的“相对关系值”为 ； （2）若m和n关于2的“相对关系值”为2，则的最大值为 ． 19．（2024·湖北武汉·七年级期中）我们知道，的几何意义是数轴上表示数a的点与原点的距离，一般地，点A，B在数轴上分别表示数a，b，那么A，B之间的距离可表示为|a-b|，请根据绝对值的几何意义并结合数轴解答下列问题： （1）数轴上的数x与1所对应的点的距离为__ ，数x与-1所对应的点的距离为__ ； （2）求的最大值； （3）直接写出的最大值为______． 20．（24-25七年级上·广东梅州·期中）【定义新知】我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数1的点之间的距离．因此，若点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离．若点表示的数为，请根据数轴解决以下问题： （1）式子在数轴上的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数______的点之间的距离；在数轴上的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数______的点之间的距离； （2）若，则的值为______； （3）当的值最小且为整数时，则的取值可以为______； 【解决问题】（4）如图，一条笔直的公路边有三个居民区、、和市民广场，居民区、、分别位于市民广场左侧，右侧，右侧．鉴于环保之需，现计划在该路段建设一座垃圾中转站，以负责接收并转运上述三个居民区每日产生的生活垃圾．假设生活垃圾的清理运输费用为每公里50元，试问垃圾中转站应选址于这条公路的何处，以实现总运输成本的最小化？最低运输成本是多少元？ 21．（24-25七年级上·福建漳州·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示1和4的两点之间的距离是_______；数轴上表示和2两点之间的距离是_______；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如数轴上表示数与数5两点之间的距离等于． (2)若数轴上的点表示的数，求的最小值； (3)若数轴上的点表示的数，当的最小值为10（为常数），求的值． 22．（25-26·江苏·七年级专题练习）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 例如，式子的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与-1所对应的点之间的距离． 结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）若，则 ；的最小值是 ． （2）若，则的值为 ；若，则的值为 ． （3）是否存在使得取最小值，若存在，直接写出这个最小值及此时的取值情况；若不存在，请说明理由． 23．（25-26七年级上·重庆江北·期中）数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作．数轴上表示数的点与表示数的点距离记作，如表示数轴上表示数3的点与表示数5的点的距离，表示数轴上表示数3的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数的点与表示数3的点的距离． 根据以上材料回答下列问题：（将结果直接填写在相应位置，不写过程） (1)若，则______；若，则_______． (2)若，则能取到的最小值是_______，最大值是_______． (3)当到取最小值时，则的值为_______． (4)的最小值为_______．(5)若，求的值． 24．（24-25七年级上·福建漳州·期中）阅读理解：我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离，也就是说，表示在数轴上数与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数，对应点之间的距离．举例：数轴上表示数和的两点和之间的距离是． 问题探究：参考阅读材料，解答下列问题．(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是______； (2)若数轴上表示数的点位于与5之间，求的值是______； (3)当取最小值时，相应的数的取值范围是______；(4)求的最小值是______． 实际应用：(5)问题：某一直线沿街一侧有2023户居民（相邻两户居民间隔相同），每户按序标记为：，，，，，…，，某餐饮公司想为这2023户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店，点选在______，才能使这2023户居民到点的距离总和最小．（填住户标记字母） 拓展提升：(6)若数满足，求的最小值为______． 25．（24-25七年级上·广西玉林·期中）阅读下列材料并解决问题： 数轴是一种非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与形之间的联系，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离，可以用这两个数的差的绝对值表示，这也体现了绝对值的几何意义．若在数抽上有理数对应的点为，有理数对应的点为，则A，B两点之间的距离可表示为或，记为．如式子的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数的点之间的距离． 根据上述材料，回答下列问题：(1)与3的距离是______；(2)式子的最小值是______； (3)应用：如图，某环形道路上顺次排列有四家快递公司：A，B，C，D，它们依次有快递车15辆，9辆，5辆，11辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有多少种调配方案，使调动的车辆数最少？并求出调出的最少车辆数． 25 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $